Aula 4 - Instituto Tecnológico de Aeronáutica · 2019. 8. 14. · EE-254 (Controle Preditivo)...

Aula 4

20 Ago 2019

EE-254 (Controle Preditivo) Aula 4 20 Ago 2019 1 / 60

Resumo da aula passada

DMC: Sintonia de parametros (Perıodo de amostragem, M, N, ρ)

Implementacao em Matlab/Simulink

Exemplo 1: Aquecedor de agua

Exemplo 2: Pendulo de haste rıgida (modelo de simulacao nao linear)

Consideracoes sobre as constantes de polarizacao na malha decontrole

Importante: A abordagem DMC e aplicavel a planta estaveis em malhaaberta.


Topicos da aula de hoje

Uso de funcoes de transferencia

Implementacao em Matlab

Exemplo com planta instavel em malha aberta


Modelo auto-regressivo

Plantau y

y(k) + a1y(k − 1) + a2y(k − 2) + · · ·+ any(k − n)

= b1u(k − 1) + b2u(k − 2) + · · · bnu(k − n)

Modelo Auto-Regressivo com entrada eXogena (ARX)

Equacao a diferencas relacionando a sequencia de entrada u com asequencia de saıda y .


Exemplo (Circuito RC)

u(t)+

y(t)-

C

R i(t)i(t) = Cy(t)

i(t) =u(t)− y(t)

R

Cy(t) =u(t)− y(t)

R⇒ y(t) +

1

RCy(t) =

1

RCu(t)


Exemplo: Funcao de Transferencia

y(t) +1

RCy(t) =

1

RCu(t)

Aplicando a Transformada de Laplace a ambos os lados da equacao eassumindo condicoes iniciais nulas:(

s +1

RC

)Y (s) =

1

RCU(s)⇒ Hc(s) =

Y (s)

U(s)=

1RC

s + 1RC

Hc(s) denota a funcao de transferencia entre a entrada (tensao dafonte) e a saıda (tensao do capacitor) do circuito.

Hc(s) tambem corresponde a Transformada de Laplace da resposta aimpulso (delta de Dirac) do circuito.

O ındice c e usado para indicar que se trata de uma funcao detransferencia associada a um modelo de tempo contınuo.


Exemplo: Discretizacao aproximada

y(t) +1

RCy(t) =

1

RCu(t) (1)

Pode-se aproximar a derivada por uma diferenca finita:

y(t) ' 1

T[y(t + T )− y(t)] (2)

sendo T o tamanho do passo empregado.

Substituindo (2) em (1), tem-se

1

T[y(t + T )− y(t)] +

1

RCy(t) =

1

RCu(t)

⇒ y(t + T ) +

(T

RC− 1

)y(t) =

T

RCu(t)


y(t + T ) +

(T

RC− 1

)y(t) =

T

RCu(t) (3)

Se T for um perıodo de amostragem, os instantes de amostragem seraodados por t = kT , k ∈ Z.

Substituindo t = kT em (3), tem-se

y((k + 1)T ) +

(T

RC− 1

)y(kT ) =

T

RCu(kT )

ou, fazendo k = k − 1,

y(kT ) +

(T

RC− 1

)y((k − 1)T ) =

T

RCu((k − 1)T )


Finalmente, denotando y(kT ) e u(kT ) simplesmente por y(k) e u(k),chega-se a uma expressao da forma

y(k) + a1y(k − 1) = b1u(k − 1)

em que

a1 =

(T

RC− 1

), b1 =

T

RC


Exemplo: Discretizacao exata

y(t) +1

RCy(t) =

1

RCu(t)

Se a entrada u(t) for constante entre os instantes de amostragem, isto e,

u(t) = u(kT ), ∀t ∈ [kT ,(k + 1)T )

pode-se obter uma equacao a diferencas que relaciona as sequencias{u(kT ), k ∈ Z} e {y(kT ), k ∈ Z} de maneira exata.


Com efeito, seja uma equacao diferencial da forma

y(t) + acy(t) = bcu(t) (4)

que corresponde a equacao anterior com ac = 1RC e bc = 1

RC .

A solucao de (4) partindo de uma condicao inicial y(t0) e dada por

y(t) = e−ac(t−t0)y(t0) +

∫ t

t0

e−ac(t−τ)bcu(τ)dτ

Logo, fazendo t0 = kT , t = (k + 1)T e supondo u(τ) = u(kT ),∀τ ∈ [kT ,(k + 1)T ), tem-se

y((k + 1)T ) = e−acT y(kT ) +

[∫ (k+1)T

kTe−ac((k+1)T−τ)bcdτ

]u(kT )


y((k + 1)T ) = e−acT y(kT ) +

[∫ (k+1)T

kTe−ac((k+1)T−τ)bcdτ

]u(kT ) (5)

Fazendo (k + 1)T − τ = ξ, tem-se

τ = kT ⇒ ξ = T

τ = (k + 1)T ⇒ ξ = 0

dτ = −dξ

Logo, (5) pode ser re-escrita como

y((k + 1)T ) = e−acT y(kT ) +

[∫ T

0e−acξbcdξ

]u(kT )


y((k + 1)T ) = e−acT y(kT ) +

[∫ T

0e−acξbcdξ

]u(kT )

Por fim, fazendo k = k − 1 e denotando y(kT ) e u(kT ) simplesmente pory(k) e u(k), chega-se a

y(k) + a1y(k − 1) = b1u(k − 1)

sendo

a1 = −e−acT , b1 =

∫ T

0e−acξbcdξ


Observacoes sobre a discretizacao exata

A premissa de u constante entre os instantes de amostragem seravalida, por exemplo, se o sinal u for gerado por um conversor D/Adotado de segurador de ordem zero (zero-order-hold, ZOH)

Pode-se efetuar a discretizacao exata com a funcao c2d do MatlabControl Systems Toolbox (opcao ’zoh’).


Se o perıodo de amostragem T for pequeno, resultados similares saoobtidos ao se fazer a discretizacao de forma exata ou aproximada. Porexemplo:

y(t) + acy(t) = bcu(t)

Discretizacao aproximada:

1

T[y((k + 1)T ))− y(kT )] + acy(kT ) = bcu(kT )

y((k + 1)T )) + (−1 + acT )︸︷︷︸a1,aprox

y(kT ) = bcT︸︷︷︸b1,aprox

u(kT )

Discretizacao exata (ZOH):

a1,zoh = −e−acTT↓' −(1− acT )

b1,zoh =

∫ T

0e−acξbcdξ

T↓' bcT


Escolha do perıodo de amostragem

Se a planta for estavel, a escolha do perıodo de amostragem T podeser feita com base na resposta a degrau, seguindo as regras vistaspara o DMC.

Alternativamente, pode-se escolher T supondo a existencia de umfiltro anti-aliasing com frequencia de corte fc igual a metade dafrequencia de amostragem, isto e fc = 1/(2T ). Seleciona-se entao omaior valor de T para o qual a presenca do filtro nao entre emconflito com os requisitos de desempenho para o sistema de controle.

Consideracoes gerais sobre a escolha do perıodo de amostragempodem ser encontradas em FRANKLIN, G.F. Rational rate. IEEEControl Systems Magazine, v. 27, n. 4, p. 19, Aug. 2007.


Uso da Transformada Z

Um modelo no formato de equacao a diferencas pode ser convertido para aforma de funcao de transferencia utilizando a transformada Z .

A Transformada Z de uma sequencia y(k), k ≥ 0 e definida como

Z [y(k)] = Y (z) =∞∑k=0

y(k)z−k

Duas propriedades a destacar sao:

Linearidade: Z [αy1(k) + βy2(k)] = αY1(z) + βY2(x).

Atraso no tempo: Z [y(k − n)] = z−nY (z), n > 0.


Relacao entre equacao a diferencas e funcao de transferencia

y(k) + a1y(k − 1) + a2y(k − 2) + · · ·+ any(k − n) =

= b1u(k − 1) + b2u(k − 2) + · · · bnu(k − n)

Aplicando a Transformada Z a ambos os lados desta equacao, tem-se

H(z) ,Y (z)

U(z)=

b1z−1 + b2z

−2 + · · ·+ bnz−n

1 + a1z−1 + a2z−2 + · · ·+ anz−n

H(z) denota a funcao de transferencia entre as sequencias de entradae saıda do modelo.

H(z) tambem corresponde a Transformada Z da resposta a impulso(delta de Kronecker) do modelo.


Funcao de transferencia: Observacoes

H(z) =b1z−1 + b2z

−2 + · · ·+ bnz−n

1 + a1z−1 + a2z−2 + · · ·+ anz−n

Se b1 for igual a 0, H(z) pode ser re-escrita como

H(z) =b2z−2 + · · ·+ bnz

−n

1 + a1z−1 + a2z−2 + · · ·+ anz−n

= z−1

(b2z−1 + · · ·+ bnz

−n+1 + 0z−n

1 + a1z−1 + a2z−2 + · · ·+ anz−n

)Nesse caso, o modelo descrevera um sistema com atraso de transporte deum perıodo de amostragem.

Se b1 = b2 = · · · = bd = 0, o modelo descrevera um sistema comatraso de transporte de d perıodos de amostragem.


Funcao de transferencia: Observacoes

H(z) =b1z−1 + b2z

−2 + · · ·+ bnz−n

1 + a1z−1 + a2z−2 + · · ·+ anz−n

Multiplicando o numerador e o denominador por zn, a funcao detransferencia tambem pode ser expressa como

H(z) =b1z

n−1 + b2zn−2 + · · ·+ bn

zn + a1zn−1 + a2zn−2 + · · ·+ an

Numero de polos = Grau do denominador = Ordem do modelo = n


Predicao um passo a frente

Seja um modelo da forma

y(k) + a1y(k − 1) + a2y(k − 2) + · · ·+ any(k − n) =

= b1u(k − 1) + b2u(k − 2) + · · ·+ bnu(k − n)

Fazendo k = k + 1 tem-se

y(k + 1) + a1y(k) + a2y(k − 1) + · · ·+ any(k − n + 1) =

= b1u(k) + b2u(k − 1) + · · ·+ bnu(k − n + 1)

Em termos de valores preditos:

y(k + 1|k) + a1y(k) + a2y(k − 1) + · · ·+ any(k − n + 1) =

= b1u(k|k) + b2u(k − 1) + · · ·+ bnu(k − n + 1)


y(k + 1|k) + a1y(k) + a2y(k − 1) + · · ·+ any(k − n + 1) =

= b1u(k|k) + b2u(k − 1) + · · ·+ bnu(k − n + 1)

Em forma matricial:

y(k + 1|k) + [a1 a2 · · · an]

y(k)

y(k − 1)...

y(k − n + 1)

=

= b1u(k|k) + [b2 b3 · · · bn]

u(k − 1)u(k − 2)

...u(k − n + 1)


Predicoes ate N passos a frente (N > n)


Equacao de predicao

Ta(N×N)︷︸︸︷

1 0 0 · · · 0 0 · · · 0 0a1 1 0 · · · 0 0 · · · 0 0a2 a1 1 · · · 0 0 · · · 0 0...

......

......

......

......

an−1 an−2 an−3 · · · 1 0 · · · 0 0an an−1 an−2 · · · a1 1 · · · 0 00 an an−1 · · · a2 a1 · · · 0 0...

......

......

......

......

0 0 0 · · · 0 0 · · · 1 00 0 0 · · · 0 0 · · · a1 1

︸︷︷︸

FormatoToeplitz

y(N×1)︷︸︸︷

y(k + 1|k)y(k + 2|k)y(k + 3|k)

...y(k + n|k)

y(k + n + 1|k)y(k + n + 2|k)

...y(k + N − 1|k)y(k + N|k)

+


+

Sa(N×n)︷︸︸︷

a1 a2 · · · ana2 a3 · · · 0a3 a4 · · · 0...

.... . .

...an 0 · · · 00 0 · · · 00 0 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 00 0 · · · 0

︸︷︷︸

FormatoHankel

yp(n×1)︷︸︸︷y(k)

y(k − 1)...

y(k − n + 1)

=


=

Tb(N×N)︷︸︸︷

b1 0 · · · 0b2 b1 · · · 0b3 b2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 00 0 · · · 00 0 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 00 0 · · · b1

︸︷︷︸

FormatoToeplitz

u(N×1)︷︸︸︷u(k|k)

u(k + 1|k)...

u(k + N − 1|k)

+


+

Sb[N×(n−1)]︷︸︸︷

b2 b3 · · · bnb3 b4 · · · 0b4 b5 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 00 0 · · · 00 0 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 00 0 · · · 0

︸︷︷︸

FormatoHankel

up[(n−1)×1)]︷︸︸︷u(k − 1)u(k − 2)

...u(k − n + 1)


Tay + Sayp = Tbu + Sbup


Equacao de predicao: Exemplo

H(z) =8z + 3

z2 + 4z + 5=

8z−1 + 3z−2

1 + 4z−1 + 5z−2=

Y (z)

U(z)

y(k) + 4y(k − 1) + 5y(k − 2) = 8u(k − 1) + 3u(k − 2)

n = 2

Coeficientes do numerador: b1 = 8, b2 = 3

Coeficientes do denominador: a1 = 4, a2 = 5

Escrever a equacao de predicao para N = 4.


Equacao de predicao:

Ta︸︷︷︸N×N

y︸︷︷︸N×1

+ Sa︸︷︷︸N×n

yp︸︷︷︸n×1

= Tb︸︷︷︸N×N

u︸︷︷︸N×1

+ Sb︸︷︷︸N×(n−1)

up︸︷︷︸(n−1)×1

Neste exemplo: n = 2 e N = 4. Logo,

Ta =

1 0 0 0a1 1 0 0a2 a1 1 00 a2 a1 1

, y =

y(k + 1|k)y(k + 2|k)y(k + 3|k)y(k + 4|k)

,Sa =

a1 a2

a2 00 00 0

, yp =

[y(k)

y(k − 1)

]

Tb =

b1 0 0 0b2 b1 0 00 b2 b1 00 0 b2 b1

, u =

u(k|k)

u(k + 1|k)u(k + 2|k)u(k + 3|k)

,Sb =

b2

000

, up = u(k − 1)


Equacao de predicao na forma usual

Tay + Sayp = Tbu + Sbup

⇒ y = T −1a (Tbu + Sbup − Sayp)

⇒ y = Hu + fu

em que H = T −1a Tb e fu = T −1

a (Sbup − Sayp) .


Calculo de T −1a

Ta =

1 0 0 · · · 0 0

a1 1 0. . . 0 0

a2 a1 1. . . 0 0

.... . .

. . .. . .

. . ....

0 0 0. . . 1 0

0 0 0 · · · a1 1

N×N

Matriz Toeplitz construıda com os coeficientes de

A(z) = 1 + a1z−1 + a2z

−2 + · · ·+ anz−n


Propriedade: T −1a = Ta−1 , Matriz Toeplitz construıda com os

coeficientes de

A−1(z) =1

1 + a1z−1 + a2z−2 + · · ·+ anz−n

Com efeito, seja

Q(z) = 1 + q1z−1 + q2z

−2 + · · · =1

1 + a1z−1 + a2z−2 + · · ·+ an


Por definicao, tem-se A(z)Q(z) = 1, isto e

(1 + a1z−1 + a2z

−2 + · · ·+ an)(1 + q1z−1 + q2z

−2 + · · · ) = 1

Logo,

Ta Tq =

1 0 0 · · · 0a1 1 0 · · · 0a2 a1 1 · · · 0...

......

. . ....

an an−1 an−2 · · · 1

1 0 0 · · · 0q1 1 0 · · · 0q2 q1 1 · · · 0...

......

. . ....

qn qn−1 qn−2 · · · 1

=

=

1 0 0 · · · 00 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · 1


Calculo de T −1a : Exemplo

A(z) = 1 + 2z−1 + 3z−2

A−1(z) =1

1 + 2z−1 + 3z−2= 1 + q1z

−1 + q2z−2 + q3z

−3 + · · ·

Para um horizonte de predicao N = 3:

Ta =

1 0 02 1 03 2 1

, Ta−1 = Tq =

1 0 0q1 1 0q2 q1 1

Problema: Determinar q1 e q2 .


Determinacao de q1 e q2:

1

1 + 2z−1 + 3z−2= 1 + q1z

−1 + q2z−2 + q3z

−3 + · · ·

⇒ (1 + 2z−1 + 3z−2)(1 + q1z−1 + q2z

−2 + q3z−3 + · · · ) = 1

⇒

z−1 : q1 + 2 = 0⇒ q1 = −2

z−2 : q2 + 2q1 + 3 = 0⇒ q2 = −2q1 − 3⇒ q2 = 1

Ta−1 =

1 0 0q1 1 0q2 q1 1

=

1 0 0−2 1 01 −2 1


Calculo de T −1a : Exemplo (Verificacao)

Ta Ta−1 =

1 0 02 1 03 2 1

1 0 0−2 1 01 −2 1

=

1 0 00 1 00 0 1

Alternativa: Divisao longa de 1/A(z).


Formulacao em termos de incrementos da entrada ∆u

+

{y(k) + a1y(k − 1) + · · ·+ any(k − n)

= b1u(k − 1) + · · ·+ bnu(k − n)

−

{y(k − 1) + a1y(k − 2) + · · ·+ any(k − n − 1)

= b1u(k − 2) + · · ·+ bnu(k − n − 1)

y(k) + (a1 − 1)y(k − 1) + (a2 − a1)y(k − 2) + · · ·++ (an − an−1)y(k − n)− any(k − n − 1) =

= b1∆u(k − 1) + · · ·+ bn∆u(k − n)


y(k) + a′1y(k − 1) + · · ·+ a′ny(k − n) + a′n+1y(k − n − 1)

= b1∆u(k − 1) + · · ·+ bn∆u(k − n)

em quea′1 = a1 − 1

a′2 = a2 − a1

...

a′n = an − an−1

a′n+1 = −an

Vale salientar que o modelo passa a ser de ordem n + 1, devido a inclusaoimplıcita de um integrador a tempo discreto.


Interpretacao alternativa: Seja ∆(z) = 1− z−1

A(z)Y (z) = B(z)U(z)

⇒ ∆(z)A(z)Y (z) = B(z)∆(z)U(z)

⇒ A′(z)Y (z) = B(z)∆U(z)

em que

A′(z) = (1− z−1)(1 + a1z−1 + · · ·+ anz

−n) =

= 1 + (a1 − 1)z−1 + (a2 − a1)z−2 + · · ·++ (an − an−1)z−n − anz

−n−1

Como se pode observar, o novo modelo possui um polo em z = 1, que estaassociado a presenca de um integrador a tempo discreto.


Correcao implıcita de perturbacoes

O uso do modelo reformulado em termos de ∆u permite efetuar umacorrecao implıcita de perturbacoes constantes:

vPlanta

u yd+

+

v(k) + a1v(k − 1) + a2v(k − 2) + · · ·+ anv(k − n) =

= b1u(k − 1) + b2u(k − 2) + · · ·+ bnu(k − n)

y(k) = v(k) + d ⇒ v(k) = y(k)− d


v(k) + a1v(k − 1) + a2v(k − 2) + · · ·+ anv(k − n) =

= b1u(k − 1) + b2u(k − 2) + · · ·+ bnu(k − n) (6)

v(k) = y(k)− d (7)

Substituindo (7) em (6), tem-se

[y(k)− d ] + a1[y(k − 1)− d ] + a2[y(k − 2)− d ] + · · ·+ an[y(k − n)− d ]

= b1u(k − 1) + b2u(k − 2) + · · ·+ bnu(k − n)


[y(k)− d ] + a1[y(k − 1)− d ] + a2[y(k − 2)− d ] + · · ·+ an[y(k − n)− d ]

= b1u(k − 1) + b2u(k − 2) + · · ·+ bnu(k − n) (8)

[y(k−1)−d ]+a1[y(k−2)−d ]+a2[y(k−3)−d ]+ · · ·+an[y(k−n−1)−d ]

= b1u(k − 2) + b2u(k − 3) + · · ·+ bnu(k − n − 1) (9)

Subtraindo (9) de (8), chega-se a

y(k) + (a1 − 1)y(k − 1) + (a2 − a1)y(k − 2) + · · ·+

+ (an − an−1)y(k − n)− any(k − n − 1) =

= b1∆u(k − 1) + · · ·+ bn∆u(k − n)

Portanto, a relacao entre ∆u e y continua sendo valida mesmo napresenca de perturbacoes constantes na saıda da planta.


Equacao de Predicao em termos de ∆u

y(k) + a′1y(k − 1) + · · ·+ a′ny(k − n) + a′n+1y(k − n − 1)

= b1∆u(k − 1) + · · ·+ bn∆u(k − n)

Ta′ y + Sa′yp = Tb∆u + Sb∆up

⇒ y = G∆u + f

em queG = T −1

a′ Tbf = T −1

a′ (Sb∆up − Sa′yp)

Se M < N, basta usar somente as M primeiras colunas de Tb.


Resposta livre f: Observacao

f = T −1a′ (Sb∆up − Sa′yp)

Por conveniencia de implementacao, sera empregada a seguinte notacao:

f = K∆u∆up + Kyyp

em que

K∆u = T −1a′ Sb, Ky = −T −1

a′ Sa′


MPC empregando modelo ARX: Resumo

Informacao requerida sobre a planta:

Funcao de transferencia: H(z) = b1z−1+b2z−2+···+bnz−n

1+a1z−1+a2z−2+···+anz−n

Parametros de projeto:

Peso do controle ρ

Horizonte de predicao N

Horizonte de controle M

Inicializacao:

Montar as matrizes T −1a′ , Sa′ , Tb, Sb

Calcular G = T −1a′ Tb, K∆u = T −1

a′ Sb, Ky = −T −1a′ Sa′

Calcular KMPC = [ 1 0 · · · 0 ](GTG + ρIM)−1GT

Fazer k = 0, y(−1) = y(−2) = · · · = y(−n) = 0 e∆u(−1) = ∆u(−2) = · · · = ∆u(−n + 1) = 0 (supondo que a plantaesteja inicialmente em repouso).


Rotina principal:

1 Ler y(k) (saıda da planta) e yref (valor de referencia)

2 Fazer r = [yref ]N3 Fazer

∆up =

∆u(k − 1)∆u(k − 2)

...∆u(k − n + 1)

, yp =

y(k)

y(k − 1)...

y(k − n + 1)

4 Calcular f = K∆u∆up + Kyyp

5 Calcular o incremento no controle ∆u(k) = KMPC (r − f)

6 Atualizar o controle aplicado a planta: u(k) = u(k − 1) + ∆u(k)

7 Fazer k = k + 1

8 Aguardar o proximo instante de amostragem e retornar ao passo 1.



long division.m: Obtem os coeficientes de Q(z) = A−1(z)

matrizes arx du.m: Monta as matrizes T −1a′ ,Sa′ ,Tb,Sb

mpc arx du.m: S-function que implementa o controlador


Exemplo: Sistema de levitacao magnetica

Fonte deCorrente

MPC

Foto-receptor

yp

yref

upi

f

mg

Ele

troí

mã

h

Foto-emissor

+-

yp

y

up

+

+

u


f = Kfi2

h2, i = i0 + rup

yp = y0 + γh⇒ h =yp − y0

γ

mh = mg − Kfi2

h2⇒ h = g − Kf

m

i2

h2

⇒ ypγ

= g − Kf

m

(i0 + rup)2γ2

(yp − y0)2⇒ yp = γg − Kf

m

(i0 + rup)2γ3

(yp − y0)2

Dinamica nao-linear


yp = γg − Kf

m

(i0 + rup)2γ3

(yp − y0)2

Em equilıbrio:

Kf

m

(i0 + r up)2γ3

(yp − y0)2= γg ⇒ Kf (i0 + r up)2γ2 = mg(yp − y0)2

i0 + r up =yp − y0

γ

√mg

Kf

⇒ up =1

r

(yp − y0

γ

√mg

Kf− i0

)


yp = f (yp,up) = γg − Kf

m

(i0 + rup)2γ3

(yp − y0)2

Seja y = yp − yp e u = up − up, isto e:

yp = yp + y , up = up + u

Tem-se entao que

yp = y = f (yp + y ,up + u) ' f (yp,up)︸︷︷︸0

+∂f

∂yp

∣∣∣∣(yp ,up)

y +∂f

∂up

∣∣∣∣(yp ,up)

u


f (yp,up) = γg − Kf

m

(i0 + rup)2γ3

(yp − y0)2

∂f

∂yp=

2Kf (i0 + r up)2γ3

m(yp − y0)3=

2Kf (yp − y0)2γ−2 mgKfγ3

m(yp − y0)3=

2γg

yp − y0

∂f

∂up= −2Kf (i0 + r up)2rγ3

m(yp − y0)2= −

2Kf (yp − y0)2γ−1√

mgKf

rγ3

m(yp − y0)2=

− 2rγ2

yp − y0

√Kf g

m


Modelo linearizado:y = ηy − βu

η =2γg

yp − y0, β =

2rγ2

yp − y0

√Kf g

m

Funcao de transferencia em s:

Hc(s) = − β

s2 − η

Funcao de transferencia em z :

H(z) =b1z−1 + b2z

−2

1 + a1z−1 + a2z−2


Parametros do modelo

Parametros fısicos levantados experimentalmente:

m = 2,12× 10−2 kg

y0 = −7,47 V

γ = 328 V/m

i0 = 0,514 A

r = 0,166 A/V

Kf = 1,2× 10−4 Nm2/A2

Faixa de trabalho: yp ∈ [−2 V, +2 V]

Assume-se ainda g = 9,8 m/s−2

Ponto de equilıbrio considerado: yp = 0 V (centro da faixa de trabalho)

Perıodo de amostragem adotado: T = 5 ms

Referencia: GRIMM, C. Um Controlador Digitalmente Assistido para um Sistemade Levitacao Magnetica. Tese de Mestrado, ITA, 2002.


Arquivos Matlab

parametros maglev.m: Define os parametros do levitador magnetico

levitador mpc.mdl: Diagrama de simulacao

Observar o resultado obtido com horizontes de predicao muito longos(N = 200, por exemplo) → Mau condicionamento da matriz dinamica G .


Resumo da aula de hoje

Uso de funcoes de transferencia (modelos ARX)


Exemplo com planta instavel em malha aberta (levitador magnetico)


Topicos da proxima aula

Uso de modelos no espaco de estados


Uso de observador de estados

Consideracoes sobre acao integral de controle


Aula 4 - Instituto Tecnológico de Aeronáutica · 2019. 8. 14. · EE-254 (Controle Preditivo)...

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