Aula 3 Trabalho e Energia - Bioenergética · Aula 3 Trabalho e Energia - Bioenergética. Cálculo...
Transcript of Aula 3 Trabalho e Energia - Bioenergética · Aula 3 Trabalho e Energia - Bioenergética. Cálculo...
Cálculo diferencial
x
xfxxfx ∆
−∆+
→∆
)()(lim
0
Taxa de variação instantânea de uma função:
(Função derivada)
dx
df
x
xfxxfx
=∆
−∆+
→∆
)()(lim
0
Notação:
Cálculo integral
xxfxxfxxfxxfÁreaN
ii ∆=+∆+∆+∆= ∑
=1
321 )(...).().().(
Área sob o gráfico de uma função:
xx ∆∆
)( 1xf )( 2xf
Dividindo em infinitas partições: ∫∑ =∆==
→∆
fx
x
N
ii
xdxxfxxfÁrea
0
)()(lim1
0
Teorema fundamental do cálculo
A integral é definida como a antiderivada
Se então
Para calcular a integral, é necessário calcular F:
∫= dxxfxF )()( )(xfdx
dF=
)()(|)()( 00
0
xFxFxFdxxf f
x
x
x
x
f
f
−==∫
Exemplo:• A função derivada da função
É igual a
Então o cálculo da integral será o procedimento quase inverso:
nxxf =)(
1−= nnxdx
df
+−
+=
+=
+++
∫ 111)(
1
0
11
00n
x
n
x
n
xdxxf
nnf
x
x
nx
x
ff
Produto escalar de vetores
• Dados:
• Produto escalar:
jaiaA yx
rrr+=
jbibB yx
rrr+=
αcos.. BABArrrr
=⋅
α
Ar
Br
Produto escalar: forma alternativa
• Dados:
• Produto escalar:
jaiaA yx
rrr+=
jbibB yx
rrr+=
( ) ( ) yyxxyxyx babajbibjaiaBA +=+⋅+=⋅rrrrrr
α
Ar
Br
Exemplo 1: São dados dois vetores:
a) Determine o produto escalar entre os vetoresb) Calcule o ângulo formado pelos vetores
Exemplo 2: São dados dois vetores, e sabe-se que
Determine o produto escalar
jiArrr
43 += jiBrrr
125 +−=
10=Ar
20=Br
o60=θ
Trabalho e energia
• Trabalho de uma força constante: dado pelo produto escalar da força pelo deslocamento produzido
αcos.. sFsFrrrr
∆=∆⋅Fr
sr
∆
α
Exemplo:
Tr
Nr
Pr
atFr
m 10
m/s 10
constante m/s 5
5
2.0
2
is
g
iv
kgm
rr
r
rr
=∆
=
=
=
=µ
Como calcular o vetor força T e o trabalho das forças envolvidas?
030
Trabalho de uma força variável
• A fórmula de trabalho constante não pode mais ser utilizada
Fr
sr
∆
α
∑ ∫=∆=→∆
fx
xx
xdxFxFW0
).(.lim0
rrrr
Trabalho de uma força variável:o exemplo da força elástica
• Força elástica
kxLLkF −=−−= )( 0
0L x0L
∑ ∫∫
−=−==∆=
=
=
=
=2
).().(.2
00
kxdxkxdxxFxFW
xx
x
xx
x
Trabalho de uma força variável:o exemplo da força elétrica
• Força elétrica:
(ε0 = constante de permissividade elétrica do meio)
2
21
04
1
x
qqF
πε=
x
x
qqdx
x
qqdxxFW
xxx
x
xx
x
1
4
1
4
1
4).(
0
21
0
21
2
0
21
πεπεπε−=
−===
∞
=
∞=
=
∞=
∫∫
xq1 q2
• Exemplo 1: Um dado corpo é abandonado do repouso de uma altura de 8m em relação ao solo. Assumindo g=10m/s2 e que a massa vale 4kg
a) Determine o trabalho realizado pela força peso, na descidab) Após chegar ao chão, o corpo é puxado de volta, 10m para cima, com aceleração constante de 2m/s2. Determine o trabalho da força pesoc) É possível determinar a força que puxa o corpo pra cima? Explique
• Exemplo 2: É dado um sistema do tipo massa-mola, como ilustrado na figura. A constante de mola vale k=2000N/m e a massa do corpo vale m=2kg. Em um dado momento, estica-se a mola de uma distância de 5cm e abandona-se a mesma, a partir do repouso. A origem do sistema coincide com a posição em que a mola está relaxada
a) Determine o trabalho realizado pela força elástica, desde a posição em que a massa foi abandonada até a origem do sistema de coordenadas
b) O sinal do trabalho é sempre positivo? Explique
Definição de energia potencial
• A variação de energia potencial é definida como o negativo do trabalho da força
• É necessário um estado de referência! (um “zero“ de potencial). Não há energia potencial absoluta
• A força também pode ser escrita em função de U, invertendo a expressão acima:
).(U
0
∫−=−=∆
fx
x
xdxFWrr
)(dx
dUxF −=
• Exemplo: São dadas duas cargas elétricas, +10 µC e -5 µC. Inicialmente as cargas estão separadas de 2cm. Sabe-se que :
a) Determine a força entre as cargas, nesta situação
b) Determine a energia potencial, nesta situação
c) Determine o trabalho realizado pela força elétrica, para aumentar a separação das cargas para 4cm
229
0
..10.94
1 −== CmNKπε
O teorema trabalho-energia cinética (T.E.C.)
22
2
0
2mvmv
KWW fFF iR
−=∆==∑
• O trabalho de todas as forças que agem sobre um determinado corpo é igual à variação de sua energia cinética:
• Exemplo: Um corpo de massa m=3kg desce um plano inclinado de 30º. A distância percorrida sobre o plano vale d=5m. Adotando o ponto mais baixo da rampa como o zero de energia, determine:a) A energia potencial do corpo, na posição mais alta.b) O trabalho realizado pela força peso, na descida.c) A velocidade final do corpo, usando o teorema T.E.C.
• Exemplo: Um corpo se move em uma região do espaço, apenas na direção x. A energia potencial varia, conforme a função: A massa do corpo vale 2 kg, e a energia total do corpo é constante, de valor 10 J. Nessas condições, determine:
a) A função da força F(x) que age sobre o corpob) A força que age sobre o corpo em x= - 2mc) A velocidade do corpo na posição x = 1md) Os pontos de x em que o corpo se encontra em equilíbrio
e) Os pontos de x em que o corpo se encontra em repouso
f) As posições em x onde é possível encontrar o corpo
4 2)(2 += xxU
Conservação da energia mecânica
• A soma da energia cinética e potencial éconstante (para forças conservativas)
)(
)(
iiffifif
ifif
UKUKUUKK
UUUWKKW
+=+⇒−−=−
−−=∆−=⇒−=