Congruencia de segmentos e angulosMODULO 1 - AULA 2

Aula 2 – Congruencia de segmentos e angulos

Objetivos

• Introduzir um conceito fundamental em Geometria: o conceito de con-

gruencia.

• Estudar congruencia de segmentos e de angulos.

Introducao

Vamos agora estudar um conceito fundamental em Geometria: o con-

ceito de congruencia. Intuitivamente, podemos dizer que duas figuras planas

sao congruentes se e possıvel sobrepo-las exatamente, ou seja, sem “faltar”

nem “sobrar” um ponto em nenhuma das duas, mesmo que para isso seja ne-

cessario virar uma delas “ao avesso” (o que ocorre quando uma e a imagem

da outra refletida num espelho). Faca uma experiencia desenhando a mao

livre a mesma figura em dois papeis transparentes. Procure juntar os dois e

olha-los contra a luz. Provavelmente as figuras nao ficarao exatamente so-

brepostas: e muito difıcil desenhar figuras congruentes a mao livre. A figura

14 mostra tres figuras congruentes.

Fig. 14: Figuras congruentes.

Figuras planas

Uma figura plana e formada

por um conjunto de pontos

no plano.

Congruencia de segmentos

No caso especıfico de segmentos, a congruencia e relacionada ao “ta-

manho”. Assim, intuitivamente, dois segmentos de reta sao congruentes se

tem o mesmo tamanho. Partindo dessa nocao intuitiva, podemos formular

os seguintes axiomas:

19 CEDERJ

Congruencia de segmentos e angulos

• Todo segmento e congruente a si mesmo.

• Se AB e congruente a CD, entao CD e congruente a AB.

• Se AB e congruente a CD e CD e congruente a EF , entao AB

e congruente a EF .

Congruencia de segmentos

O primeiro axioma sobre

congruencia de segmentos

diz que a congruencia de

segmentos e reflexiva. O

segundo diz que a

congruencia de segmentos e

simetrica e o terceiro diz que

a congruencia de segmentos

e transitiva. Uma relacao em

Matematica, que satisfaz as

tres propriedades acima, e

chamada de relacao de

equivalencia.

Para indicar que dois segmentos sao congruentes, usaremos o sımbolo≡.

Assim, se AB e CD sao dois segmentos congruentes, vamos escrever AB ≡CD (le-se AB e congruente a CD). Nos desenhos, a indicacao de segmentos

congruentes e feita com alguns riscos curtos transversais, de modo a indicar

que todos os segmentos cortados com um risco sao congruentes entre si; todos

aqueles cortados com dois riscos sao congruentes entre si, e assim por diante,

como voce pode ver na figura 15.

M

N

P

Q

Fig. 15: Segmentos congruentes.

O proximo axioma (ilustrado na figura 16) diz que a congruencia de

segmentos e aditiva:

A

B

C

D

E

F

Fig. 16: A congruencia de segmentos e aditiva.

• Se B esta entre A e C, E esta entre D e F , AB ≡ DE e

BC ≡ EF entao AC ≡ DF .

Nocoes comuns

Alguns axiomas por nos

colocados estao relacionados

com o que Euclides chamou

de “nocoes comuns”. Como

exemplo, podemos citar o

axioma que diz que a

congruencia de segmentos e

aditiva. Esse axioma esta

relacionado com a seguinte

nocao comum: se iguais sao

adicionados a iguais entao os

resultados sao iguais.

CEDERJ 20

Congruencia de segmentos e angulosMODULO 1 - AULA 2

Dado um segmento de reta AB, a nossa intuicao nos diz que existem

varios segmentos que sao congruentes a ele e que se voce considerar uma reta

r qualquer, e um ponto C nessa reta, vao existir exatamente dois segmentos

de reta congruentes a AB contidos em r e comecando em C (um para cada

“lado” de C). O axioma a seguir formaliza essa ideia.

Axioma de transporte de segmentos.

• Dados um segmento AB e uma semi-reta−−→CD, existe um unico

ponto E ∈ −−→CD tal que AB ≡ CE (veja a figura 17).

B

C

E

D

A

Fig. 17: Transporte do segmento AB para a semi-reta→CD.

Como ja dissemos, o que temos visto ate agora sao propriedades e ca-

racterısticas de objetos ideais. Em Desenho Geometrico estuda-se como obter

boas aproximacoes dessas ideias, usando apenas regua e compasso para de-

senhar no papel retas, circunferencias, segmentos congruentes, etc. Algumas

dessas construcoes geometricas serao vistas na secao de exercıcios desta aula

e ao longo das proximas.

Desenho geometrico e

Geometria

Como linguagem de

comunicacao e expressao, a

arte do desenho antecede em

muito a escrita. Atraves de

desenhos feitos nas paredes

das cavernas, o homem

pre-historico registrou fatos

relacionados com o seu

cotidiano, deixando registros

para que possamos conhecer

um pouco seu modo de vida.

Podemos dizer que a arte do

desenho e algo inerente ao

homem. O Desenho

Geometrico nasceu na

Geometria grega. Entre os

gregos era tenue a diferenca

entre Desenho Geometrico e

Geometria. Podemos dizer

que o Desenho Geometrico e

uma parte da Geometria que

se propoe a resolver

problemas com o auxılio de

instrumentos.

Veja o exemplo a seguir onde dois segmentos AB e CD sao somados

sobre uma semi-reta−→EF . Pelo axioma de transporte de segmentos, existe

um unico ponto G ∈ −→EF tal que AB ≡ EG. O mesmo axioma garante que

existe um unico ponto H na semi-reta oposta a−−→GE tal que GH ≡ CD. Veja

a figura 18. O segmento EH obtido representa a soma dos segmentos AB e

CD.

B E

G

A

D C

H

F

Fig. 18: Soma dos segmentos AB e CD.21 CEDERJ

Congruencia de segmentos e angulos

Do mesmo modo, podemos obter multiplos de um segmento AB dado,

somando-o repetidas vezes a ele mesmo. Veja na figura 19 um caso particular

em que somamos 4 copias do segmento AB. Neste caso, podemos escrever

que CE = 4AB.

Quando ocorre de um segmento CD “conter” exatamente n segmentos

congruentes a AB, escrevemos simplesmente CD ≡ nAB ou AB ≡ 1nCD.

Dizemos que um segmento CD e multiplo de AB se CD ≡ nAB para al-

gum numero natural n nao-nulo. Nesse caso, diz-se tambem que AB e um

submultiplo de CD.

B

C

A

E

D

Fig. 19: Multiplo de um segmento.

Essas consideracoes nos conduzem naturalmente a ideia de medir seg-

mentos. A ideia de medir segmentos servira para fundamentarmos a nocao

de congruencia. Para medir segmentos adotamos um segmento AB como

unidade de medida e verificamos simplesmente quantas vezes ele “cabe” em

um outro segmento dado. A ideia e de fato simples, mas o processo pode

trazer surpresas como veremos adiante. Por exemplo, o segmento a ser me-

dido pode nao ser um multiplo de AB. Faca um teste com os segmentos da

figura 20, usando o segmento AB como unidade de medida, para medir os

demais segmentos (voce pode usar uma regua ou um palito com o mesmo

comprimento de AB).

Consideramos

N = {0, 1, 2, . . .} o conjunto

dos numeros naturais.

Observe que incluımos o 0

(zero) no conjunto dos

numeros naturais.

Representamos o conjunto

dos numeros naturais,

excluindo o 0 (zero), por N∗.O conjunto

Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}e chamado de conjunto dos

numeros inteiros.

Dizer que um numero e

inteiro positivo e o mesmo

que dizer que esse numero e

natural nao-nulo.

Um numero e dito racional

se ele pode ser escrito na

formap

q, sendo p e q

numeros inteiros e q 6= 0.

B A

C D

E F

G H

Fig. 20: Medida de um segmento.

CEDERJ 22

Congruencia de segmentos e angulosMODULO 1 - AULA 2

Note que, na figura 20, o segmento CD e congruente a 2AB e o seg-

mento EF e congruente a 3AB. Adotando AB como unidade de medida,

dizemos que a medida de CD e 2 e que a medida de EF e 3. Porem, o

segmento GH nao e um multiplo de AB. Esse segmento e congruente a tres

vezes 12AB. Nesse caso, dizemos que a medida de GH e 3

2. Em geral, quando

ocorre de um dado segmento ser congruente a m vezes 1nAB, dizemos que

sua medida e mn

.

Considere agora um segmento CD. Ainda pensando no segmento AB

como unidade de medida, podem acontecer tres situacoes: a medida de CD

e um numero inteiro positivo, ou a medida de CD e um numero racional

positivo ou CD nao e congruente a nenhum multiplo de nenhum segmento

da forma 1nAB, para nenhum n inteiro. Nos dois primeiros casos, dizemos

que AB e CD sao comensuraveis. No ultimo, dizemos que AB e CD sao

incomensuraveis.

A existencia de segmentos que nao sao comensuraveis e atribuıda aos

pitagoricos. Voltaremos a falar de tais segmentos na aula 11.

Considerando essa nocao de medida de segmento que acabamos de in-

troduzir, e fixando uma unidade de medida, apresentamos os seguintes axio-

mas:

• A cada segmento AB esta associado um numero real positivo

que chamamos medida de AB, e escrevemos m(AB). Dois

segmentos sao congruentes se, e somente se, suas medidas sao

iguais. Do mesmo modo, se considerarmos um numero real posi-

tivo qualquer, digamos c, entao existem segmentos com medida

igual a c.

• Se B esta entre A e C, entao m(AC) = m(AB) +m(BC).

Se AB e CD sao incomensuraveis, a medida de CD, usando AB como

unidade de medida, sera um numero irracional positivo.

Usando essa nocao de medida, definimos distancia entre pontos:

Definicao 7 (Distancia entre dois pontos)

A distancia entre dois pontos distintos X e Y e a medida do segmento XY .

Pitagoras, filosofo e

matematico grego, nasceu na

ilha de Samos, na costa

oeste da Asia Menor. Foi

estudioso na juventude e

entao viajou cerca de 30

anos. Aos mais ou menos 50

anos de idade emigrou para a

colonia grega de Crotona, no

sul da Italia, onde comecou

sua vida publica. Ele se

estabeleceu como professor e

fundou a Escola Pitagorica,

uma associacao semi-secreta

com centenas de alunos e

que disputa a honra de ser a

primeira universidade do

mundo. O movimento

fundado por Pitagoras

chamou-se pitagorismo e

tinha propositos religiosos,

polıticos e filosoficos. Os

pitagoricos aconselhavam

obediencia, silencio,

abstinencia de certos

alimentos, simplicidade no

vestir e nas posses e o habito

da auto-analise.

Acreditavam na imortalidade

e na transmigracao da alma.

Pitagoras foi o primeiro a

conceber a Matematica

como um sistema de

pensamento mantido coeso

por provas dedutivas. Foi

mesmo o primeiro a usar a

palavra Mathematike para

designar a Matematica.

Antes dele, havia apenas a

palavra mathemata, que

designava conhecimento ou

aprendizado em geral.

Consulte:

http://catanduvas.g12.br/

desgeo/

23 CEDERJ

Congruencia de segmentos e angulos

Atividade 1:

(Tracando segmentos congruentes) Para esta atividade voce devera

usar regua e compasso. O objetivo e construir na semi-reta−−→CD da figura 21

um segmento de reta comecando no ponto C e congruente ao segmento AB

dado. Ou seja, vamos marcar um ponto E em−−→CD tal que AB ≡ CE.

A C

D

B

Fig. 21: Atividade 1.

Primeiro metodo: Use uma regua graduada para medir o segmento AB

e depois marcar o ponto E de forma que m(AB) = m(CE).

Segundo metodo: Coloque uma das pontas do compasso no ponto A e a

outra no ponto B, ao mesmo tempo. Ao fazer isso, voce estara fixando uma

abertura do compasso. Veja figura 22. Sem modificar essa abertura, coloque

a ponta de metal do compasso no ponto C e faca um risco com a ponta de

grafite cruzando a semi-reta−−→CD. Atencao! Se o compasso abrir ou fechar

um pouquinho nessa operacao, voce deve comecar de novo. O ponto E que

fica determinado pela intersecao da semi-reta−−→CD com o traco do compasso

e o ponto procurado.

Fig. 22: Fixando uma abertura do compasso.

CEDERJ 24

Congruencia de segmentos e angulosMODULO 1 - AULA 2

Congruencia de angulos

No caso de angulos, a congruencia e relacionada a abertura de seus la-

dos. Assim, intuitivamente, dois angulos sao congruentes se eles tem a mesma

abertura. Partindo dessa nocao intuitiva, formulamos o seguinte axioma:

Axioma de transporte de angulos

• Dados um angulo BAC e uma semi-reta−−→DE, em cada semi-

plano determinado pela reta←→DE (que e o prolongamento de−−→

DE) existe uma unica semi-reta−−→DF tal que BAC e congru-

ente a EDF . Veja a figura 23.

A

B

C

D

E

F

Fig. 23: Transporte do angulo A.

Usaremos tambem o sımbolo ≡ para indicar a congruencia de angulos.

Assim, para denotar que BAC e congruente a EDF escreveremos simples-

mente BAC ≡ EDF .

Finalizamos os axiomas sobre congruencia de angulos com os proximos

dois axiomas. O primeiro deles formaliza a nossa pratica de medir angulos

com ajuda de um transferidor (veja a Atividade 2 desta aula) e o ultimo diz

que a medida de angulos e aditiva.

• A cada angulo BAC do plano esta associado um numero real

positivo menor que 180 chamado medida do angulo BAC, e

denotado por m(BAC), tal que dois angulos sao congruentes

se, e somente se, tem a mesma medida. Reciprocamente, para

todo numero real positivo c menor que 180, existe um angulo

cuja medida e c.

• Se−−→AD e uma semi-reta que divide BAC, entao m(BAC) =

m(BAD) +m(CAD), veja figura 24.

25 CEDERJ

Congruencia de segmentos e angulos

A

B

C

D

Fig. 24: m(BAC) = m(BAD) +m(DAC).

Nota: No segundo axioma enunciado acima usamos a nocao de semi-reta

que divide um angulo. Uma semi-reta divide um angulo se ela tem como

origem a origem do angulo e esta contida no interior do angulo. Outro modo

equivalente de definir este conceito seria: “uma semi-reta divide um angulo

se possui origem coincidente com a origem do angulo, e intersecta qualquer

segmento cujas extremidades pertencam aos lados distintos do angulo”. Veja

a figura 24.

Voce sabia que...

A base de numeracao hindu

era decimal, exatamente

como utilizamos hoje.

Porem, a base de numeracao

babilonica era sexagesimal.

Isto significa que eles

utilizavam 60 sımbolos

(algarismos) distintos para

escrever todos os numeros.

Infelizmente o zero era

representado por uma

lacuna, o que tornava a

leitura de alguns numeros

confusa. Talvez essa tenha

sido a dificuldade essencial,

que levou esse sistema a nao

ser absorvido pelas

civilizacoes que sucederam a

civilizacao babilonica.

Para esse povo, que utilizava

um sistema de numeracao de

base 60, foi muito natural

dividir o cırculo em 360

partes (grau), e cada uma

destas partes em 60 partes

(minuto) e repetir o processo

para essas subpartes. Assim,

o “grau” e uma invencao dos

babilonios, que entraram

para a historia da ciencia

matematica tendo dado a ela

uma contribuicao importante

que utilizamos ate hoje.

Atividade 2:

(Tracando angulos congruentes) Para esta atividade voce devera

usar regua, compasso e transferidor. O objetivo e construir um angulo a

partir da semi-reta−−→BC da figura 25 que seja congruente ao angulo A dado.

A C

B

Fig. 25: Atividade 2.

Primeiro metodo: Neste metodo use um transferidor. O primeiro passo

e medir o angulo A usando esse instrumento. Observe que o transferidor e

transparente e tem o formato de um meio cırculo (ou de um cırculo). Proximo

ao meio do lado reto (ou no centro do cırculo), esta marcado um ponto.

Chame esse ponto de centro do transferidor. Coloque o transferidor sobre

o angulo A de forma que o centro do transferidor fique em cima do ponto

A, e o zero do bordo do transferidor fique em cima de uma das semi-retas

que determinam o angulo A. Veja figura 26. A outra semi-reta determina a

medida do angulo no bordo circular do transferidor.

CEDERJ 26

Congruencia de segmentos e angulosMODULO 1 - AULA 2

Fig. 26: Transporte de um angulo usando transferidor.

O segundo passo e transportar o angulo. Coloque o transferidor sobre

a semi-reta−−→BC de modo que seu centro fique sobre o ponto B. Faca o zero

da borda cair sobre a semi-reta−−→BC e marque um ponto na posicao da borda

correspondente a medida que voce tomou. Chame esse ponto de D. O angulo

CBD tera a mesma medida de A.

Segundo metodo: Neste metodo use um compasso e uma regua (que nao

precisa ter marcacao de medida). Fixe a ponta de metal do compasso sobre

o ponto A e, com qualquer abertura, trace com a outra ponta uma curva

que corte as duas semi-retas que formam o angulo A em dois pontos, E e F .

Agora mantenha a abertura do compasso e fixe-o com a ponta de metal no

ponto B. Trace com a outra ponta uma curva que corte−−→BC (em um ponto

que chamaremos G) e seja grande o bastante para cortar o angulo depois de

transportado (voce deve ter uma estimativa do tamanho que ele vai ficar).

Agora marque com o compasso a distancia entre E e F e transporte para

a curva no segundo desenho comecando em G, determinando um ponto H.

Trace a semi-reta−−→BH. O angulo GBH sera congruente a A. Confira usando

um transferidor. Veja a figura 27.

A C

B

E

F

H

G

Fig. 27: Transporte de angulo usando compasso.

Unidade de Medida de angulo

Por motivos historicos, usa-se o grau para indicar a medida de um

angulo. Assim, se a medida de BAD e 50, por exemplo, dizemos que BAC

mede 50o(cinquenta graus).

Observe que...

A congruencia de angulos

tambem e uma relacao de

equivalencia.

27 CEDERJ

Congruencia de segmentos e angulos

Seja BAC um angulo e D um ponto tal que A esta entre C e D (veja

figura 28). O angulo BAD e chamado angulo suplementar adjacente ao

angulo BAC.

A

B

C D

Fig. 28: BAC e BAD sao angulos suplementares adjacentes.

Usando os axiomas anteriores, pode-se mostrar que a soma das medidas

de dois angulos suplementares adjacentes e 180o. Em vista disso, estendemos

a nocao de angulos e de medida de angulos para o caso em que seus lados

sao semi-retas coincidentes e para o caso em que seus lados sao semi-retas

opostas. No primeiro caso dizemos que o angulo e nulo, e no segundo caso

dizemos que o angulo e raso. A medida de um angulo nulo e zero e a medida

de um angulo raso e 180o.

Dois angulos sao chamados suplementares se a soma de suas medidas

for 180o, e sao chamados complementares se a soma de suas medidas for 90o.

Se dois angulos suplementares adjacentes sao congruentes (ou seja, tem

a mesma medida), eles sao chamados retos , e indicados como o angulo BAC

na figura 29. Como a soma das medidas de dois angulos suplementares

adjacentes e 180o, tem-se que a medida de um angulo reto e 90o.

Alem do grau, ha tambem

outras unidades para medir

angulos, como o radiano e o

grado.

Um angulo mede um grado

quando corresponde a 1/400

de uma circunferencia.

Falaremos sobre o radiano

na aula 17.

A

B

C D

Fig. 29: BAC ≡ BAD sao angulos retos.

Com relacao a figura 29, tome um ponto E pertencente ao interior do

angulo BAC (veja figura 30). O angulo EAC e menor que o angulo BAC

e o angulo EAD e maior que o angulo BAD. Um angulo e chamado agudo

se ele for menor que um angulo reto e e chamado obtuso se for maior que

um angulo reto. Assim, a medida de um angulo agudo e menor que 90o e a

medida de um angulo obtuso e maior que 90o.

CEDERJ 28

Congruencia de segmentos e angulosMODULO 1 - AULA 2

A

B

C D

E

Fig. 30: BAC e BAD sao angulos retos, EAC e agudo e EAD e obtuso.

E importante enfatizar que voce nao deve decorar os axiomas e sim se

convencer de que eles sao naturais. Muitas das propriedades que estao nestas

duas primeiras aulas em forma de axiomas vao ser usadas nas aulas seguintes

sem justificativa e, muitas vezes, nem notaremos que estamos usando um

desses axiomas.

Angulo reto e angulo raso

O angulo reto mede 90o e o

angulo raso mede 180o. Mas

qual e a razao para os

valores serem justamente 90

e 180?

Para entendermos isso,

retornaremos ao ano de 4000

a.C., quando egıpcios e

arabes estavam tentando

elaborar um calendario.

Nessa epoca, acreditava-se

que o Sol girava em torno da

Terra numa orbita que

levava 360 dias para

completar uma volta. Desse

modo, a cada dia o Sol

percorria uma parcela dessa

orbita, ou seja, um arco de

circunferencia de sua orbita.

A esse arco fez-se

corresponder um angulo cujo

vertice era o centro da Terra

e cujos lados passavam pelas

extremidades de tal arco.

Assim, esse angulo passou a

ser uma unidade de medida

e foi chamado de grau ou

angulo de um grau.

Pode-se concluir, entao, que

para os antigos egıpcios e

arabes o grau era a medida

do arco que o Sol percorria

em torno da Terra durante

um dia.

Hoje, sabemos que e a Terra

que gira em torno do Sol,

mas, manteve-se a tradicao e

convencionou-se dizer que o

arco de circunferencia mede

um grau quando corresponde

a 1/360 dessa circunferencia.

Vamos resumir a nomenclatura sobre angulos e suas medidas:

Angulos e suas medidas

• Angulo reto - Um angulo cuja medida e 90 graus.

• Angulo agudo - Um angulo cuja medida e menor que 90 graus.

• Angulo obtuso - Um angulo cuja medida e maior que 90 graus.

• Angulo nulo - Um angulo cuja medida e 0 grau.

• Angulo raso - Um angulo cuja medida e 180 graus.

• Angulos suplementares - Angulos cuja soma das medidas e 180

graus.

• Angulos complementares - Angulos cuja soma das medidas e 90

graus.

Resumo

Nesta aula voce aprendeu...

• O significado de congruencia em Geometria.

• Alguns axiomas de congruencia de segmentos e de angulos.

• As nocoes de medida de angulo e de medida de segmento.

29 CEDERJ

Congruencia de segmentos e angulos

Exercıcios

1. Faca um desenho onde constem pontos A, B, C e D e retas r e s,

satisfazendo ao mesmo tempo a todos os itens abaixo:

• r e s sao concorrentes,

• A ∈ r e B ∈ r,• C ∈ s e D ∈ s,• AB ≡ CD,

• AB e CD nao se intersectam.

2. Desenhe sobre uma reta r tres pontos diferentes A, B e C (nao neces-

sariamente nessa ordem). Diga se e verdadeira ou falsa cada afirmacao

abaixo, de acordo com seu desenho.

• m(AB) = m(BC),

• CB ≡ AB,

• Se B esta entre A e C, entao m(AB) = m(BC),

• m(AB) = 2m(BA).

Alguma das afirmacoes depende do desenho que voce fez para ser falsa

ou verdadeira? Alguma delas e sempre falsa (independentemente do

seu desenho)? Alguma delas e sempre verdadeira?

3. Considere tres pontos A, B e C tais que B esteja entre A e C. Se

m(AC) = 18cm e m(BC) = 2m(AB), determine m(AB) e m(BC).

4. Considere quatro pontos A, B, C e D tais que B esteja entre A e C e C

esteja entre B e D. Se m(AD) = 30cm, m(AB) = 2m(BC) e m(BC)

= 3m(CD), determine m(AB), m(BC) e m(CD).

5. Sejam AB,CD e EF segmentos tais que CD ≡ 2AB e CD ≡ 5EF.

Adotando AB como unidade de medida, determine a medida de EF.

6. Considere quatro pontos A,B,C e D dispostos nessa ordem sobre uma

reta r (ou seja, B esta entre A e C e C esta entre B e D). Se AB ≡ CD,

mostre que AC ≡ BD.

CEDERJ 30