Aula 1.1 Circuitos Magnéticos - Prof. Dr. João...

Conversão de Energia II

Aula 1.1

Circuitos Magnéticos

Prof. João Américo Vilela

Departamento de Engenharia Elétrica

Bibliografia


FITZGERALD, A. E., KINGSLEY Jr. C. E UMANS, S. D. Máquinas Elétricas: comIntrodução à Eletrônica De Potência. 7ª Edição, AMGH Editora LTDA, 2014.

Capítulo 1 – Circuitos magnéticos e materiais magnéticos

TORO, V. Del, MARTINS, O. A. Fundamentos de Máquinas

Elétricas. LTC, 1999.

Capítulo 1 – Teoria e circuitos magnéticos Pag. 1 - 33

CHAPMAN, S. J. Fundamentos de Máquinas Elétricas.

5º Edição, AMGH Editora LTDA, 2013.

Capítulo 1 – Introdução aos princípios de máquinas

Intensidade do campo magnético


O campo elétrico [E] que produz a diferença de potencial (tensão) nocircuito elétrico é análogo a intensidade do campo magnético [H] queproduz a força magnetomotriz (Fmm) no circuito magnético.

Intensidade do campo magnético


O campo elétrico [E] que produz a diferença de potencial (tensão) nocircuito elétrico é análogo a intensidade do campo magnético [H] queproduz a força magnetomotriz (Fmm) no circuito magnético.

ldHFmmldEv

B

A

B

A

BA⋅−=⇔⋅−= ∫∫

Onde:

Fmm = força magnetomotriz [Ae];

H = intensidade do campo magnético [A/m];

E = campo elétrico [V/m];

v = força eletromotriz do circuito elétrico (tensão) [V].

Lei circuital de Ampère


A lei circuital de Ampère estabelece que a integral de linha do vetorintensidade do campo magnético [H] em torno de uma trajetória fechada éigual à corrente total enlaçada pela trajetória.

Onde:

H = intensidade do campo magnético;

i = corrente [A];

dl = elemento de comprimento da

trajetória escolhida [m];

∑∫ =⋅ ildH

C

Essa equação relaciona a corrente com aintensidade do campo magnético produzidopor essa corrente.

Lei circuital de Ampère


Pela lei de Ampère para determinação do campo em um ponto da trajetóriaescolhida, distante perpendicularmente r1 do condutor, resulta em:

1

1112

2r

iHirH

⋅⋅=⇒=⋅⋅⋅

ππ

Força magnetomotriz


O sentido do fluxo magnético gerado é dado pela regra da mão direita.

A corrente que circula pelo condutormultiplicado pelo número de espiras doenrolamento definem a forçamagnetomotriz [Fmm] que é análoga àtensão ou força eletromotriz do circuitoelétrico.

INFmm ⋅=Onde:


N = número de espiras;

I = corrente que circula pelas espiras [A];

Força magnetomotriz


A força magnetomotriz é o produto da corrente nas espiras pelo númerode espiras que envolve o material magnético. Essa corrente produz umaintensidade de campo magnético que multiplicado pelo comprimentomédio do circuito magnético também fornece a Fmm.

C

C

lHldHINFmm ⋅=⋅=⋅= ∫

Onde:


N = número de espiras;

I = corrente que circula pelas espiras [A];

lC = comprimento médio do circuito

magnético [m].

Exercício


A bobina de um núcleo magnético toroidal de comprimento médio igual a29 [cm] tem 100 espiras. Determine o campo magnético no núcleo quandoa corrente contínua é 0,0166 [A]. Supor que o campo seja uniforme.

Fluxo e densidade de fluxo magnético


sdsdJiS

∫∫ ⋅=⇒⋅=S

Bφ

Onde:

J = densidade de corrente [A/m2];

B = densidade de fluxo [Wb/m2];

Φ = fluxo magnético [Wb];

S = superfície plana na qual passa o

fluxo ou corrente [m2];

Os circuitos magnéticos são mais facilmente compreendidos quando feitauma analogia com os circuitos elétricos.

Nessa analogia a corrente do circuito elétrico é comparada ao fluxomagnético no circuito magnético.



αφ cos⋅⋅= SB

Onde:



S = superfície plana na qual passa o fluxo ou corrente [m2];

Quando a densidade de fluxo é constante ao longo de toda superfícieanalisada, temos:

A unidade da densidade de fluxo é o Tesla representado por [ T ], que éigual a [Wb/m2].



CmAB ⋅=φ

Onde:



AC = superfície plana na qual passa o fluxo [m2];

A densidade de fluxo num circuito magnético com seção constante, tendea ser uniforme, assim:

Relutância magnética


A relação entre tensão e corrente permite calcular a resistência do circuitoelétrico, de forma análoga a relação entre força magnetomotriz e fluxopermite calcular a relutância do circuito magnético.

Os imãs permanentes são fontes de fluxo magnético, análogas às fontesde corrente em circuitos elétricos.

φ

Fmm

i

vR =ℜ⇔=

Permeabilidade relativa do material magnético é análogo a condutividadedo material num circuito elétrico.

H

B

C=µ Obs. A permeabilidade do

material não é constante.

)]/([104 7

0 AmWb ⋅⋅⋅= −πµ µ0 = permeabilidade magnética no vácuo

Circuitos magnéticos


Abaixo temos um dado dispositivo magnético formado por dois materiaisferromagnéticos de permeabilidade µC e µC1 de comprimentos médios lC elC1.

A força magnetomotriz e gerada pelacorrente que circula pelas N espiras dabobina.

Vamos considerar que todo o fluxomagnético está confinado no interior donúcleo.

Considerando também que o fluxo estádistribuído de forma uniforme dentro donúcleo.



Podemos construir o circuito magnético desse dispositivo, sendo suaanalise semelhante a utilizada num circuito elétrico. Em virtude, dasemelhança dos dois circuitos.

A fonte Ni no circuito magnético equivale a uma fonte de tensão no circuitoelétrico.



Pensando em termos de circuito elétrico, cada resistor ficaria submetido auma parcela da tensão total. Aqui cada material magnético fica submetidoa uma parcela da força magnetomotriz.

11 CCCClHlHldH ⋅+⋅=⋅∫

iNldH ⋅=⋅∫

11 CCCClHlHiN ⋅+⋅=⋅



Considerou-se que a densidade de fluxo é constante na seção transversaldo núcleo. Sendo o fluxo perpendicular a seção transversal.

11 CCCCmABAB ⋅=⋅=φ

CCCHB ⋅= µ

Vamos considerar constante apermeabilidade relativa dos materiais.

Sendo:

111 CCCHB ⋅= µ

Temos:

CCCmAH ⋅⋅= µφ 111 CCCm

AH ⋅⋅= µφ



Colocando em evidência a intensidade docampo magnético.

CC

m

C

AH

⋅=

µ

φ

11

1

CC

m

C

AH

⋅=

µ

φ

Substituído na equação da forçamagnetomotriz.

1

11

C

CC

m

C

CC

ml

Al

AiN ⋅

⋅+⋅

⋅=⋅

µ

φ

µ

φ

Manipulando a equação, obtemos:

11

1

CC

C

CC

C

mA

l

A

liN

⋅+

⋅=

⋅

µµφ



A força magnetomotriz dividido Colocando em evidência a intensidade docampo magnético pelo fluxo equivale a relutância do circuito magnético.

A relutância dos matérias utilizados nonúcleo podem ser calculadas da seguinteforma:

11

1

CC

C

CC

C

mA

l

A

liN

⋅+

⋅=

⋅

µµφ

CC

C

C

A

l

⋅=ℜ

µ11

11

CC

C

C

A

l

⋅=ℜ

µ

Assim:

( )1CCmiN ℜ+ℜ=⋅ φ



A equação do circuito magnético é análoga à lei das tensões elétricas deKirchhoff.

∑∑ ⋅ℜ=k

kk

k

kFmm φ

A lei das correntes elétricas de Kirchhoff pode ser aplicada ao circuitomagnético de forma análoga.

0=∑x

xφ

Equações


Força Magnetomotriz [Ae] =>C

C

lHldHINFmm ⋅=⋅=⋅= ∫

∑∫ =⋅ ildH

C

A lei circuital de Ampère =>

sd∫ ⋅=S

BφFluxo magnético através da área Ac =>

Fluxo magnético uniforme na seção reta Ac =>C

AB ⋅=φ

)]/([104 7

0 AmWb ⋅⋅⋅= −πµPermeabilidade => HHBr 0µµµ =⋅=

( )1CCmiNFmm ℜ+ℜ=⋅= φForça Magnetomotriz [Ae] =>

Relutância =>

CC

C

C

A

l

⋅=ℜ

µ

Exercício


No circuito magnético mostrado abaixo, os matérias possuempermeabilidade µC = 5.103.µ0 e µC1 = 20.103.µ0 na faixa de fluxo escolhidopara a sua operação. Sendo lC = 99 [cm], lC1 = 1 [cm] e AC = AC1 = 100[cm2]. Para uma corrente de 1 [A] circulando na bobina de 100 espirasdetermine:a) O fluxo magnético;b) A intensidade do campo magnético exigida para cada um dos materiais;c) A corrente na bobina para que a densidade de fluxo BC1 = 1,25T;

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