Aula 1 - Vibrações Excitada Harmonicamente
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Vibrações Excitada Harmonicamente.
Prof. Jean Rodrigo Bocca
Maringá, 05/2013
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• O sistema sofre vibração forçada sempre que é fornecida energia externa for fornecida ao sistema durante a vibração.
• A natureza da força ou excitação aplicada no sistema pode ser:– Harmônica.– Não Harmônica, mas periódica– Não Periódica, Aleatória
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• Seja o Sistema:
A equação do movimento pode ser obtida:
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– Por se tratar de uma equação não homogênea, a solução geral será dado pela soma da solução homogênea, xh(x), com a solução particular, xp(x).
– Para um sistema amortecido, a vibração livre cessa após um determinado tempo, assim a componente da solução homogênea deixa de existir e somente a solução particular estará presente no regime permanente.
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• Resposta de um Sistema Não Amortecido a Força Harmônica.– Seja a força harmônica atuante no sistema :
– A equação do movimento é dada por:
– A solução Homogenia será:
– Solução Particular:
)cos()( 0 tFtF
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Sendo X é uma constante que denota a máxima amplitude de xp(t), derivando a solução particular e substituindo na eq. 3.3, conseguimos encontrar X:
Onde δst=Fo/k é a deflexão da massa sob uma força Fo, denominada também deflexão estática (vem da lei de Hooke)A solução geral fica:
Aplicando as condições iniciais:
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As constantes ficam:
Substituindo na equação:
A máxima amplitude X pode ser dada por:
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A razão X/δst representa a razão entre a amplitude dinamica e amplitude estatica,pode ser denominada por fator de ampliação, fator de amplificação ou coeficiente de amplitude.
Existe 3 tipos de resposta para o sistema:
1 – Caso: Quando 0<w/wn<1 , a resposta é dada pela eq. 3.5, e a resposta harmônica esta em fase com a força externa.
2 – Caso: Quando w/wn>1, o denominador da eq 3.10 é negativo, a resposta esta defasada 180º em relação a força, e a resposta é dada por:
E a amplitude é redefinida como:
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3 – Caso: Quando w/wn=1, temos que X tende para o infinito, esse fenomeno onde wn=w é conhecido como ressonancia e deve ser evitado.
A resposta do sistema é dado por:
Comportamento é observado pelo gráfico:
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Podemos reescrever a resposta total da seguinte forma:
A e ϕ pode ser determinado pela eq. 2.21
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• Fenomeno de Batimento:– Se forçante for proxima, mas não exatamente igual a frequencia natural
do sistema, pode ocorrer um fenomeno conhecido como Batimento.
– No Batimento a amplitude aumenta e diminui de acordo com um padrão regular.
– N equação 3.9, as as condições iniciais forem:
– Então:
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Supondo que a freqüência forçante w seja ligeiramente menor que a freqüência natural:
Onde Є é uma quantidade pequena positiva, então:
Multiplicando as duas equações:
Substituindo os resultados anteriores:
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A amplitude variável é dada por:
O tempo entre os pontos de amplitude zero ou entre amplitude máxima é denominado período de batimento e é dado por:
E freqüência de batimento é dado por:
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• Resposta de um Sistema Amortecido a Força Harmônica– Se a função forçante for dada por:
– A equação do movimento será:
– A solução particular será da forma:
– Sendo X e Φ, a amplitude e o ângulo de fase da resposta, podemos encontrar:
)cos()( 0 tFtF
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Utilizando as seguintes relações nas eq. 3.28 e 3.29, obtemos:
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– Resposta Total
A solução completa é dada por:
Assim:
Sendo Xo e Φo encontrados com as condições iniciais.
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– Resposta de um Sistema Amortecido a :
A equação do movimento fica:
A solução particular:
Determinando X:
Multiplicando o numerador e denumerador da eq 3.79 por:
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Obtêm:
Usando as seguintes relações:
Temos:
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Assim a solução a regime permanente:
Resposta em Freqüência:
A equação 3.49 pode ser reescrita como:
Onde H(iw) é conhecida como a resposta em freqüência complexa do sistema, o valor absoluto é dado por:
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Assim:
Podemos escrever a solução de outra maneira:
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Se a força externa for:
A solução será reescrita como:
Onde Re denota a parte real da função.
)cos()( 0 tFtF
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Se a força for do tipo:
A solução será:
Onde Im refere-se a parte imaginaria da função
)()( 0 tsenFtF
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• Resposta de um Sistema Amortecido a Movimento Harmonico de Base.Seja o sistema conforme figura:
Seja y(t) o deslocamento de base e x(t) o deslocamento da massa em relação a sua condição de equilibrio estático, então a elongação da mola liquida sera(x-y) e a velocidade entre as duas extremidades do amortecedor (x’ – y’). A equação do movimento será:
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Se
Então:
A solução fica
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Usando identidades trigonométricas:
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A razão entre a amplitude da resposta e do movimento da base,X/Y, é denominado transmissibilidade de deslocamento.
Se a excitação harmônica de base for expressa em forma complexa como:
Então:
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– Força Transmitida.
A força é transmitida para a base ou suporte devido as reações da mala ou amortecedor, essa força pode se determinada como:
Podendo ser escrita,
Sendo:
A razão FT/KY é conhecida como transmissibilidade de força
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– Movimento Relativo
Se z=x-y for o movimento da massa em relação a base, a equação do movimento fica:
A solução em regime permanente da eq 3.75:
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A amplitude de z(t) pode ser dada por:
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• Resposta de um Sistema Amortecimento ao Desbalanceamento Rotativo.
O desbalanceamento de maquinas rotativas é um dos principais causadores de vibrações. Um modelo esta apresentado na figura abaixo.
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A força de excitação tem como origem a força centriguga da massas excentricas (m), e é dado por:
A equação do movimento será:
Onde M é a massa da Maquina, a solução será:
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Podemos encontrar novamente:
Lembrando que:
Então:
• Vibração Forçada com Amortecimento Coulomb.– Podemos escrever a equação do movimento para o sistema
mostrado na figura como:
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– Se a força de atrito atuante no sistema for grande comparado com F0 a solução da equação se torna extremante trabalhosa.
– Mas se a força de atrito for pequena em relação a F0, podemos considerar que o sistema em regime permanente seja aproximadamente harmônico e então podemos encontrar um coeficiente de amortecimento viscoso equivalente e determinar a solução da equação.
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– Para determinar o Ceq, primeiro encontramos a energia dissipada em um ciclo, é dada por:
– Sabendo que a energia dissipada em um ciclo completo com amortecimento viscoso é dado por:
– Igualando, encontramos o Ceq:
– A resposta em regime permanente será:
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– A amplitude :
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– A condição que deve ser satisfeita para poder utilizar esta aproximação é:
– Com isso o ângulo de fase pode ser determinado:
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