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Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016
Vibrações mecânicas
Justificação da ocorrência
► Sistema mecânico em equilíbrio estável
► Introduz-se uma perturbação por exemplo na forma do deslocamento
► Liberta-se
► Depois disso o sistema tende voltar à sua posição do equilíbrio estável
► Neste passo actuam as forças de restituição (forças elásticas das molas,
forças de gravidade)
► O sistema em geral atinge a sua posição de equilíbrio estável com uma
certa velocidade, assim o sistema “ultrapassa” a sua posição de equilíbrio,
cria-se um movimento repetitivo, chamado oscilatório, a oscilação efectua-
se em torno da posição do equilíbrio estável
Corpos ou sistema de corpos com 1 grau de liberdade cinemática
Este movimento chama-se vibração mecânica, em princípio
representa sempre efeitos indesejáveis
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Vibrações amortecidas
Vibrações não-amortecidas
Vibrações livres
O movimento mantém-se apenas devido às forças de restituição, a
perturbação que inicia o movimento corresponde a um deslocamento
ou a uma velocidade aplicada ao sistema, não há forças exteriores
aplicadas ao sistema.
Vibrações forçadas
Há forças exteriores aplicadas ao sistema (e além disso pode haver um
deslocamento ou uma velocidade aplicada ao sistema).
Vamos considerar somente as forças periódicas.
Devido ao atrito (interno ou externo) o movimento baixa a sua
amplitude (definição a seguir), passado algum tempo cessa se for livre,
mantém-se indefinidamente se for forçado.
Efeito do atrito é desprezável, o movimento continua indefinidamente.
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Movimento periódico (repetitivo)
Período
Frequência
t
u
T T T T T
Tempo necessário para completar um ciclo
de movimento
T T T T
1sT
1f
A unidade s-1 chama-se Hertz
O número de ciclos num segundo
Heinrich Rudolf Hertz
1857-1894
cíclica
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Movimento harmónico
Movimento não-periódico
Amplitude
Gráfico descrito pelas funções de seno e coseno
t
u
t
u
Deslocamento
máximo no valor
absoluto
maxu
maxuOs termos período,
frequência e amplitude usam-
se também para a força de
excitação harmónica, etc.
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Molas As forças de restituição são as forças elásticas
estu
Vibrações livres não-amortecidas
mola
indeformada
de rigidez k
+ massa m
na posição
de equilíbrio
estável
mg
este kuF
k
mguest
0u
+ perturbação u0,
depois de “retirar” a
causa da perturbação
inicia-se o movimento
oscilatório
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Equação do movimento
0uukmgma est
0kuum Equação diferencial ordinária de 2ª ordem homogénea
0m
keu 2t
Equação característica
mg
ma
uukF este na posição
geral u>0
continuação do
movimento a
m
ki1
m
ki2 n
k
m 1 2cos sinn nu C t C t
0um
ku vu avu
ma
kuFe
Começando do
equilíbrio estático
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C1 e C2 das condições iniciais (“perturbação”), condições iniciais não podem
ser homogéneas, se forem, não há movimento
0 0 10u t u u C
0v0tv
1 2 1 2cos sin sin cosn n n n nu C t C t v C t C t
0 0 20 nv t v v C
00
0
cos sin cos sin sin cos sinn n u n n u n
vu u t t A t t A t
2
20 0 0 00
0 0
cos & sin tan &nu
u n u
v u u vA u
A A v
0
00
v
uarctan
m
k0
2
0
02
0u
vuA
0 0v
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0sinuu A t
uumax Au
maxu
t0
u
u
sinA
Au: amplitude do deslocamento
Φ: ângulo de fase 2
n
T
2
nf
2n f
ωn: frequência natural (circular)
uA
0
0
0
0
arctan( ) 02
arctan( ) 02
v
parau
parau
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0 0cosuv A t
2
0 0sinua A t
Período e fase
mantêm-se
v u nA A
2
a u nA A
1. Estabelecer a equação do movimento
2. Alterar do modo que o coeficiente do termo de aceleração equivale a 1
3. Frequência natural equivale à raiz quadrada do coeficiente do parâmetro
de deformação (deslocamento)
Simplificações: mola equivalente
Problemas sobre frequência natural de movimento
Amplitude
1. Resolução usando equações de movimento
0mu ku 0k
u um
2 0nu u
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Molas equivalentes
Ligação em série
Ligação em paralelo
1k2k
3k
1k2k
3ku
uk1 uk2
uk3
321eq kkkk
1k
2k
u
11uk
22uk
ukukukF eq2211e
11uk
1k
k
k
k
2
eq
1
eq
21
eq
k
1
k
1
1k
eqk
eqk
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Pêndulo
Forças de restituição são as forças de gravidade
Molas equivalentes dos elementos elásticos deformáveis
elu
P
el
eqeleqeu
PkukFP
Outros mecanismos
Forças de restituição de ambos tipos
eqk
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2. Resolução usando conservação de energia mecânica
1. Escolher a posição de velocidade máxima (posição do equilíbrio estático
estável) como nível zero para a energia potencial
2. Máxima energia potencial ocorre quando a cinética é nula (velocidade é
zero), neste caso o deslocamento é máximo
3. Escrever o princípio de igualdade de energia entre estas duas posições
Nota: na posição do deslocamento máximo a velocidade muda o seu sentido,
ou seja passa por zero
umax Au
Amplitude do deslocamento corresponde ao deslocamento máximo
0max0uvmax uAAv
Amplitude da velocidade corresponde à velocidade máxima
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Problemas em que é possível dispensar o efeito do peso
Estes casos correspondem aos sistemas em que existem partes flexíveis
(molas) cuja deformação é necessária para assegurar o equilíbrio estático
estável.
Em outras palavras nestes casos a força elástica (estática) equilibra o peso.
No entanto é possível desprezar apenas as componentes directamente
equilibradas.
Para ter a certeza quais as partes desprezar, é possível escrever:
a) A equação do equilíbrio estático (na posição deformada);
b) A equação do movimento com as forças elásticas “completas” e com o
efeito de peso e ver a parcela que se anule devido ao equilíbrio estático.
No caso de se fazer esta verificação usando o princípio de conservação de
energia, é preciso ter cuidado, porque esta equação envolve quantidades
pequenas ao quadrado. Por esta razão o coseno do argumento pequeno é
preciso de substituir pelo (1-argumento2/2). A substituição do seno do
argumento pequeno mantêm-se como na equação do movimento, ou seja
seno do argumento pequeno equivale ao argumento.
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Vibrações livres amortecidas
2 0nu u Equação diferencial ordinária de 2ª ordem homogénea
Recorda-se a equação do movimento de vibração livre não-amortecida
O termo livre significa que não existe força harmónica que excitava este
movimento, assim o lado direito da equação equivale a 0 (equação
homogénea)
O termo não-amortecida significa que o amortecimento é desprezável, assim
falta o termo da primeira derivada da função variável
Quando se considera amortecimento, este habitualmente é viscoso, ou seja
proporcional à velocidade, e assim a equação em acima ganha mais um termo
2 0n
cu u u
m
onde c [N.s/m] é o coeficiente do amortecimento viscoso
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Amortecimento
Externo: forças de atrito entre ou corpos
Interno: entre as moléculas que constituem o corpo
►mola
indeformada de
rigidez k
► amortecedor
de coeficiente c
estu
maxu
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Equação do movimento
já com eliminação do equilíbrio estático
0kucvma
0kuucum Equação diferencial ordinária de 2ª ordem homogénea
2 2 0t
n
cu e
m
Equação característica
ma
e estF k u u
posição intermédia
entre uest e umax , ,u v a
2 2
2 2
1,2 i2 2 2 2
n n
c c c c
m m m m
2 0n
cu u u
m vu avu
dF cv
mg
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2
2 02
n
c
m
Caso mais comum: amortecimento sub-crítico
Outras designações
2cr nc mCoeficiente de amortecimento crítico
crc
cFactor de amortecimento Damping ratio, muitas vezes em %
2
2 2 21 02
n n
c
m
2
1,2 i 1 in n a
Outras formas da equação de movimento
2 0crn
cu u u
m 22 0n nu u u
Raízes da equação característica conjugado
do número complexo
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21a n Frequência natural (circular) amortecida
0a
Solução
1 2 1 2sin cosn a n a ni t i t t
a au t D e D e e C t C t
Parte periódica (harmónica)
Diminuição de amplitude, envelopes
C1 e C2 das condições iniciais
200 Cuu0tu
0v0tv
1 2 1 2cos sin sin cosn nt t
a a a n a av e C t C t e C t C t
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0 0 1 2 1 00 a n a nv t v v C C C u
0 sint
u au A e t
2
20 0 00
0 0
tan &a nu
n a
u v uA u
v u
0 01
n
a
v uC
0 0 00sin cos
t na a
a
v uu e t u t
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t
u0eA
t
u0eA
Amortecimento crítico Amortecimento sub-crítico
1c
c
cr
0a
t
210etCCtu
Raiz dupla
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Amortecimento super-crítico
Raízes reais,
distintas, ambas negativas
não há vibração, porque
não há parte harmónica
12
02,1
t1
2
t1
1
20
20
eCeCtu
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Construção da equação de movimento
► Não há método alternativo para determinação da frequência natural,
como nas vibrações livres não-amortecidas, onde foi possível usar o
princípio da conservação de energia. Agora, com o amortecimento há
sempre uma perda de energia que varia em cada ciclo, e assim é
necessário construir a equação do movimento. Também não há relação
entre amplitudes de deslocamento, velocidade e aceleração tão directa
como no caso não-amortecido.
► Tal como nas vibrações não-amortecidas é valido:
Como a equação de movimento de uma vibração é de facto a equação de
equilíbrio na direcção do movimento, ou seja não se escrevem as 3
equações como no caso geral, é possível fazer uma simplificação
seguinte:
No caso da vibração angular do conjunto de corpos com
único movimento é possível usar o momento de inércia em
relação ao centro de rotação. Ou seja não é necessário
relacionar as forças e os momentos de inércia aos centros
de massa de corpos elementares, mas é possível usar único
momento de inércia relacionado ao centro de rotação.
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Vibrações forçadas
Recorda-se a equação do movimento de vibração livre amortecida
Considera-se somente uma excitação harmónica (existem outras), que forma o
lado direito da equação. Assim a equação do movimento corresponde a uma
equação diferencial ordinária de 2ª ordem não-homogénea
Equação diferencial ordinária de 2ª ordem homogénea
0eq eq eqm u c u k u
Excitação pode ter duas formas:
força externa harmónica ou movimento de base harmónico
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Vibrações forçadas não-amortecidas
sineq eq f fm u k u F t
ma
kuFe
tF
Excitação pela força externa harmónica
PH uuu Solução da equação não-homogénea
tem duas partes: homogénea e particular
frequentemente 0 sinf fF t
tsinFukum feqeq
tF
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tcosCtsinCu 0201H Usando a solução da equação característica
1 2sin cosP f f f fu D t D t consoante a forma do lado
direito da equação do
movimento
21 D,DCálculo das constantes
2
1 2
1 2
sin cos
sin cos sin
f f f f f
f f f f f f
m D t D t
k D t D t F t
2 1 2 2 2 20,
1F
f n f
F F FD D A
k m m k
Solução homogénea chama-se também vibração natural
Solução particular chama-se também vibração forçada
sinP F f fu A t 0
f
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Condições iniciais homogéneas
1 2sin cos sinn n F f fu C t C t A t
0 20 sinF fu C A
0 1 10 cos 0 cosn f F f F fv C A C A
1 2cos sin cosn n n n f F f fv C t C t A t
sin sinF f nu A t t H FA A
2 2
F H F HA +A +2A A cos - tf nenvelopes
21 C,C das condições iniciais Cálculo das constantes
0f
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Forçada
Natural
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Condições iniciais não-homogéneas
tsinAtcosCtsinCu fF0201
tcosAtsinCtcosCv fFf020010
020 uCu0tu
0
Ff010Ff100
AvCvACv0tv
sin sin sinu n F f nu A t A t t
0 0
0
arctanu
v
2
0
02
0u
vuA
Como anteriormente Au e Φ
Mantêm-se também
a análise quando v0=0
sin sin sinu n F f nu A t A t t ou
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0kuum t
bt uuu bumkuum
2
fmUF tsinmUumtsinUu f
2
fbfb
Excitação pelo movimento de base harmónico
Movimento total
ffb tsinUtu
bu t
tma
t bk u u
tu
bu
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sin sin sin
sin sin sin
t b u n U n U f
u n U n Ut f
u u u A t A t A U t
A t A t A t
2Ut1
UA
Assim nas equações anteriores basta substituir 2
fmUF
Quando se pretende resolver a componente relativa u
2
2
U1
UA
tsintsinAtsinAvsignu 0fU0u0
No entanto quando é preciso resolver o deslocamento total
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Ressonância
21
EF
uA
2
21U
UA
2
1
1
Amplitude da solução particular tende para infinito quando a frequência da
excitação coincide com a frequência natural
21Ut
UA
2
21
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O amortecimento elimina apenas a parte da vibração natural
(regime transiente quando as duas partes actuam, ou seja
quando ainda a vibração natural não é desprezável)
A parte forçada fica (regime estacionário)
Vibrações forçadas amortecidas
Neste caso o interesse está no regime estacionário, e muitas vezes
examina-se apenas a solução particular em vez de solução completa
Excitação pela força externa harmónica
sin fF t F t sinP F f Pu A t
Ângulo de fase da excitação não é importante, bastava alterar tempo inicial
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Excitação pelo movimento de base harmónico
2
2 221 2U
UA
sinP U f Pu A t Parte relativa
sinPt Ut f Ptu A t Parte total
2
2 22
1 2
1 2UtA U
2 221 2
F E d
FA u R
k
2
2arctan
1P
Deslocamento estático que causava a amplitude da força de excitação
no regime estático Eu
dR Coeficiente de amplificação dinâmica