9aula AgosLo de 2008 CCNS1kUC DL GkIICCS II: Lsca|as Logar|tm|cas Objetivos: Linearizar funes usando escalas logartmicas e comprovar a lei de queda livre fazendo uso do papel log-log na construo de grficos. 9.1 Introduo Nos grficos cartesianos, a linha que une os diferentes pontos assinalados uma curva que pode, em alguns casos, ser representada por uma funo conhecida. Logicamente, o grfico mais fcil de ser traado e analisado (interpretado) uma reta, portanto, comum efetuar-se transformaes nas variveis, de modo a se obter uma reta. 9.1.1 Escalas Logartmicas Se o grfico dos valores tabelados em uma experincia for uma curva, a sua funo pode no ser de fcildeterminao.Algumasvezes,funesdestetipopodemserdeterminadaspelousoadequadodos papis logartmicos: papel mono-logartmico (mono-log) e o papel dilogartmico (log-log).O papel mono-log possui escala linear no eixo das abscissas e escala logartmica no eixo das ordenadas. J o papel log-log possuiescalalogartmicanosdoiseixos.Omelhorpapelaserutilizadodependerdosdadosobtidos experimentalmente. Numaescalalinear(papelmilimetrado),comojfoi visto,adistnciaentreostraosconsecutivos representasempreomesmointervalodagrandezaaserrepresentada.Numaescalalogartmica,istono acontece.Asdistnciasentreostraosnosolineares,ouseja,opassovarivel.Aescalalogartmica constituda de DCADAS. Uma dcada uma escala contida em um comprimento L, iniciando pelo nmero 10N eterminando no nmero 10N+1, sendo Numnmero inteiro negativo, nulo ou positivo, isto ,N Z . Entre estes nmeros so colocados os algarismos inteiros de 2 a 9, representando os mltiplos de 10N. Observaes: Nopapellogaritmo,ospontosestarorepresentandooslogaritmosdosnmeros,portanto,parase construirogrficobastamarcardiretamenteospontoscorrespondentesaosvaloresdexeynoseixos logartmicos. Ento, a funo do papel logaritmo poupar o trabalho de se extrair os logaritmos de todos os valores de x e y. As regras para construo de grficos em escala logartmica so as mesmas que foram colocadas em Construo de Grficos I, a menos no que diz respeito escala dos eixos. Caderno de LaboraLrlo de llslca33 9.1.2 Papel Log-log e Mono-log A Utilizao do Papel Log-Log Ao construir um grfico em um papel milimetrado, e a curva obtida for do tipo ky ax = , onde a e k so constantes a serem encontradas para que a funo y(x) seja determinada, caso fosse possvel construir um grficodeyemfunodexk,queseriaumaretapassandopelaorigem,aconstanteaseriadeterminada atravs do coeficiente angular desta reta. No entanto, isto no possvel, pois, no conhecendo o valor de k, no se pode obter os valores de xk. Para resolver esse problema, aplica-se o operador logaritmo em ambos os ladosdaexpresso ky ax = ,resultando( ) log( ) log( ) log y a k x = + .Aexpressoresultanteserumareta do tipoY A kX = + , sendo( ) Y log y = ,log( ) A a = elog( ) X x = . Note que A e k so, agora, facilmente obtidosfazendousodogrficodessareta:kainclinaodareta;A(econseqentementea)obtido fazendo X = 0, o que implica x = 1, por extrapolao da reta. O coeficiente angular da retaY A kX = + determinado por: 2 1 2 12 1 2 1log( ) log( )log( ) log( )Y Y y y YkX X X x x = = = Observao: - No papel log-log o coeficiente angular da reta pode ser encontrado diretamente do grfico, medindo y e x com uma rgua e dividindo y por x. Um exemplo da aplicao de papel log-log pode ser visto no exerccio 01. B Utilizao do Papel Mono-Log Aosedepararcomumgrficocujacurvaobtidafordotipo 0axy y e = ,pode-sefazeruma transformaoaplicandoooperadorlogaritmoemambososladosdaexpressoobtendo: 0( ) log( ) log( ) log y y a e x = + .Dessaforma,transforma-seumaexponencialdecrescenteemumaretado tipoY A Bx = + ,sendo( ) Y log y = , 0log( ) A y = elog( ) B a e = .Notequey0easo,agora,facilmente obtidos fazendo uso do grfico dessa reta, onde B a inclinao da reta, logo, log( )Bae=e y0 obtido por extrapolao da reta. O coeficiente angular da retaY A Bx = + determinado por: 2 1 2 12 1 2 1log( ) log( ) Y Y y y YBx x x x x = = = 36Caderno de LaboraLrlo de llslca Observao: -Agoranopodemosusaromesmoprocedimento,comonopapellog-log,dedeterminaro coeficienteangular daretadiretamentedogrfico,medindo y e xcom uma rguae dividindo y por x. Pois, no papel mono-log os eixos possuem escalas diferentes. Um exemplo da aplicao de papel mono-log pode ser visto no exerccio 02. 9.1.3 Exerccios 1)Para um corpo em queda livre, partindo do repouso,a distncia h em funo do tempo t para um dado referencial, onde00 h = , varia de acordo com a expresso: 212h gt = . a)Considerando 210 / g m s = e 25 h t = , complete a tabela 9.1. t(s)012345678910 h(m) Tabela 9.1 Distncia h x tempo de queda t. b)Construa o grfico h x t num papel milimetrado; c)Linearize a equao 25 h t = , procedendo como no item A; d)Construa o grfico h x t num papel log-log e determine o coeficiente angular desta reta. Verifique que o expoente da varivel t, neste caso, igual a 2. Dica:Escreva osnmerosem potncias de 100, 101, etc. para descobrir adcadacorrespondente no grfico; em seguida, marque no grfico a parte que multiplica a potncia correspondente. Observao: Caso o papel log-log tenha somente duas dcadas na vertical, despreze os dois primeiros pontos da tabela. 2)NumcircuitoRCsrie(ResistorCapacitor)avoltagemVc,emfunodotempot, paraum capacitor que esta descarregando dado por:0ctcV V e=onde 0a voltageminiciala constante de tempo capacitivacVR C

=

a)Considerando 010 47scV V e = =complete a tabela 9.2.t(s)020406080100120140160180200 Vc(V) Tabela 9.2 voltagem Vc x tempo t Caderno de LaboraLrlo de llslca37 b)Construa o grfico cV t num papel milimetrado; c)Linearize a equao 0ctcV V e= , procedendo como no item B. d)Construaogrfico cV t numpapelmono-log(Vcnaescalalogartmicaetnaescalalinear)e determineocoeficienteangulardestaretaparaobter c .Compareovalorde c obtidono grfico com o valor dado47cs =Nota: Releia a dica do exerccio 01. 8.2 Bibliografia Sugerida HELENE,O.ETal.Oqueumamedidafsica?RevistaBrasileiradeEnsinodeFsica,Riode Janeiro, v.13, n.12, 1991. LKHACHEV, V. P.; CRUZ, M.T.; J. Quantas medidas so necessrias para o conhecimento de uma grandeza fsica? Revista Brasileira de Ensino de Fsica, Rio de Janeiro, v.22, n. 4, 2000. PALLluA?, u, 8LSnlCk, 8, e WALkL8, !. looJomeotos Je llslco. 8lo de !anelro: L1C, 2003. v.2.