1

Aula 9

TRIÂNGULO DE PASCAL

Objetivos Apresentar o Triângulo de Pascal e verificar algumas de suas propriedades. Aplicar as propriedades do Triângulo de Pascal em alguns problemas. Chamamos de Triângulo de Pascal a tabela abaixo em forma de triângulo. 1 1 1 1 2 1 ← linha 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 ........................................................... ↑ coluna

Essa tabela continua indefinidamente e cada elemento é da forma C(n, p), onde n é a linha e p a coluna, ambos começando por 0.

Podemos também escrever o Triângulo de Pascal da seguinte forma C(0, 0) C(1, 0) C(1, 1) C(2, 0) C(2, 1) C(2, 2) C(3, 0) C(3, 1) C(3, 2) C(3, 3) C(4, 0) C(4, 1) C(4, 2) C(4, 3) C(4, 4) ............................................................................

Cada elemento da tabela é chamado de número binomial ou coeficiente binomial. Analisemos, agora, as propriedades do Triângulo de Pascal. 1ª Propriedade O primeiro e o último elemento de qualquer linha é 1. Demonstração: Seja n uma linha qualquer. O primeiro elemento da linha é C(n, 0) e o último é C(n, n). Usando a fórmula do número de combinações simples segue que

2

C(n, 0) = )!0!.(0

!−nn = 1 e C(n, n) =

)!!.(!nnn

n−

= 1

2ª Propriedade A soma de dois coeficientes binomiais consecutivos de uma mesma linha é igual ao coeficiente situado imediatamente abaixo da última parcela. Esta propriedade é conhecida como relação de Stifel e pode ser escrita em termos de coeficientes binomiais como

C(n, p) + C(n, p + 1) = C(n + 1, p + 1) , se n ≥ 1 Antes de demonstrá-la, observemos essa propriedade no Triângulo de Pascal. 1 1 1 1 + 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 + 5 1 1 6 15 20 15 6 1 .................................................. Demonstração: Utilizando a fórmula do cálculo do número de combinações simples temos

C(n, p) + C(n, p + 1) = !.)!(

!ppn

n−

+ )!1(.)]!1([

!++− ppn

n

Calculando o m.m.c dos denominadores das frações e as substituindo por frações

equivalentes encontramos

C(n, p) + C(n, p + 1) = )!1(.)!(

!.)1(+−

+ppnnp +

)!1(.)!(!.)(+−

−ppnnpn =

)!1(.)!(!.!.!!.

+−−++

ppnnpnnnnp =

= )!1(.)!(

)!1(+−

+ppn

n = C(n + 1, p + 1), como queríamos demonstrar.

Exemplo 1 Oito alunos (Tânia, ...) fazem parte de um grêmio estudantil do colégio em que estudam. Uma comissão formada por 3 alunos vai representar o grêmio num desfile. O número de comissões possíveis é C(8, 3) = 56. Tânia pode ou não estar em cada uma das 56 comissões possíveis. O número de comissões em que Tânia sempre está presente é C(7, 2) = 21, pois só teremos que escolher 2 alunos dentre os 7 restantes.

3

O número de comissões em que Tânia nunca está presente é C(7, 3) = 35, pois teremos que escolher 3 alunos dentre os 7 restantes. Observe a interpretação combinatória da relação de Stifel e veja que

C(7, 2) + C(7, 3) = C(8, 3) 3ª Propriedade A partir de n = 1, em uma mesma linha do Triângulo de Pascal, os elementos eqüidistantes dos extremos são iguais; ou seja, C(n, p) = C(n, n – p). Demonstração:

C(n, n – p) = )!(.)]!([

!pnpnn

n−−−

= )!(.!

!pnp

n−

= C(n, p)

Esta propriedade indica que há simetria nas linhas do Triângulo de Pascal. Na aula 2, página 9, exemplo 14, temos uma interpretação combinatória de C(n, p) e C(n, n – p) e chamamos estas combinações de complementares. Vejamos, por exemplo, a seguinte linha do Triângulo de Pascal

6 = C(6, 1) = C(6, 5) e 15 = C(6, 2) = C(6, 4) Exemplo 2 Calcule x de modo que C(16, 5x ) = C(16, x + 4). A equação C(16, 5x) = C(16, x + 4) tem solução se 5x = x + 4 ou se C(16, 5x ) e C(16, x + 4) forem combinações complementares. Logo

5x = x + 4 ⇒ x = 1 ou

5x + x + 4 = 16 ⇒ x = 2

Portanto, x = 1 e x = 2 são soluções da equação dada. 4ª Propriedade A soma dos elementos da linha n é igual a 2n, isto é,

C(n,0) + C(n, 1) + C(n, 2) + ... + C(n,n) = 2n (1)

1 6 15 20 15 6 1

4

Demonstração: Na aula 1, no exemplo 7, já demonstramos que o número de subconjuntos de um conjunto A com n elementos é igual a 2n. Por definição, uma combinação simples é um subconjunto e que C(n, p) é o número de subconjuntos de A com p elementos. Portanto,

C(n,0) + C(n, 1) + C(n, 2) + ... + C(n,n) é também o número de subconjuntos de A; logo segue a igualdade (1). Exemplo 3

Calcule k, sabendo que 255),(1

=∑=

k

iikC .

Desenvolvendo o somatório encontramos

∑=

k

iikC

1

),( = C(k, 1) + C(k, 2) + C(k, 3) + ... + C(k, k) = 255 (2)

Pela 4ª propriedade temos que C(k, 0) + C(k, 1) + C(k, 2) + C(k, 3) + ... + C(k, k) = 2k (3)

Como C(k, 0) = 1, a igualdade (3) pode ser escrita como

C(k, 1) + C(k, 2) + C(k, 3) + ... + C(k, k) = 2k - 1 (4) Comparando (2) com (4), vem que

2k - 1 = 255 ⇒ 2k = 256 ⇒ 2k = 28 ⇒ k = 8 5ª Propriedade A soma dos primeiros elementos de uma coluna p é igual ao elemento da linha seguinte na (p+1)-ésima coluna. Esta propriedade é conhecida como teorema das colunas e pode ser escrita da seguinte forma

C(p, p) + C(p + 1, p) + C(p + 2, p) + ... + C(p + n, p) = C(p + n + 1, p + 1) (5)

Antes de demonstrarmos essa propriedade, vamos exemplificar para facilitar o seu

entendimento. Observe que o 1º elemento de uma coluna qualquer é da forma C(p, p).

Escolhamos p = 0. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ..................................................

C(0, 0) + C(1, 0) + C(2, 0) + C(3, 0) + C(4,0) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 = C(5, 1)

5

Se, escolhermos p = 2 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ..................................................

C(2, 2) + C(3, 2) + C(4, 2) + C(5, 2) = 1 + 3 + 6 + 10 = 20 = C(6, 3)

Demonstração: Vamos aplicar a 2ª propriedade (relação de Stifel) aos elementos da coluna p + 1. C(p+1, p+1) = C(p, p+1) + C(p, p)

C(p+2, p+1) = C(p+1, p+1) + C(p+1, p) . . . C(p+n, p+1) = C(p+n-1, p+1) +C(p+n-1, p) C(p+n+1,p+1) = C(p+n, p+1) + C(p+n, p) Somando membro a membro essas igualdades e simplificando as parcelas iguais

que aparecem nos membros opostos obtemos C(p+n+1, p+1) = C(p,p+1) + C(p, p) + C(p+1, p) + … +C(p+n-1, p) + C(p+n, p) (6) Como não existem subconjuntos com p+1 elementos de um conjunto com p elementos, C(p, p+1) = 0. Podemos também concluir que C(p, p+1) = 0 usando a primeira igualdade da demonstração e a 1ª propriedade, ou seja,

C(p+1, p+1) = C(p, p+1) + C(p, p) ⇒ 1 = C(p, p+1) + 1 ⇒ C(p, p + 1) = 0

Logo, (6) se reduz à igualdade desejada. Exemplo 4 Usar a 5ª propriedade para mostrar que

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n = 2

)1( +nn (7)

Sabemos que

1 + 2 + 3 + ... + n = C(1, 1) + C(2, 1) + C(3, 1) + ... + C(n, 1) Pela 5ª propriedade temos que

C(1, 1) + C(2, 1) + C(3, 1) + ... + C(n, 1) = C(n+1, 2) Calculemos C(n+1, 2).

C(n+1, 2) = !2)!21(

)!1(−++

nn =

!2.)!1()!1(

−+

nn =

!2.)!1()!1(..)1(

−−+

nnnn =

2)1( +nn

Das igualdades acima, segue a relação (7).

6

6ª Propriedade A soma dos primeiros elementos de uma diagonal do Triângulo de Pascal é igual ao elemento que está imediatamente abaixo da última parcela, ou seja,

C(n, 0) + C(n+1, 1) + C(n+2, 2) + ... + C(n+p, p) = C(n+p+1, p)

Exemplificando para n = 3 e p = 3. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ..................................................

Esta propriedade é conhecida como teorema das diagonais.

Demonstração: Usando a 3ª propriedade (combinações complementares) podemos escrever C(n, 0) = C(n, n) C(n+1, 1) = C(n+1,n) C(n+2, 2) = C(n+2, n) e assim por diante até a linha n + p..

Logo, C(n, 0) + C(n+1, 1) + C(n+2,2) + C(n+3, 3) + ... + C(n+p, p) = = C(n, n) + C(n+1,n) + C(n+2, n) + C(n+3,n) + ... + C(n+p, n) (8) Utilizando a 5ª propriedade (teorema das colunas) no segundo membro da igualdade (8), obtemos C(n, 0) + C(n+1, 1) + C(n+2, 2) + C(n+3, 3) + ... + C(n+p, n) = C(n+ p + 1, n + 1) (9) E, aplicando, novamente, a 3ª propriedade no segundo membro da igualdade (9) obtemos o que queríamos, isto é,

C(n, 0) + C(n+1, 1) + C(n+2, 2) + C(n+3, 3) + ... + C(n+p, n) = C(n+p+1, p)

Exemplo 5 Usando as propriedades do Triângulo de Pascal mostre que

∑=

+n

kkk

1

)1(. = 3

)2)(1( ++ nnn

Desenvolvendo o somatório encontramos

∑=

+n

kkk

1

)1(. = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1) (10)

O artifício que vamos utilizar é dividir ambos os membros da igualdade (10) por 2!

!2

1 ∑=

+n

kkk

1

)1(. = !2

)1(...!24.3

!23.2

!22.1 +

++++nn (11)

7

Observando cada parcela do segundo membro da igualdade (11), vemos que se

trata de um número de combinações simples, tomadas 2 a 2, ou seja,

!2)1(...

!24.3

!23.2

!22.1 +

++++nn = C(2, 2) + C(3, 2) + C(4, 2) + ... + C(n+1, 2)

Pela 5ª propriedade (teorema das colunas), temos que C(2, 2) + C(3, 2) + C(4, 2) + ... + C(n+1, 2) = C(n+2, 3)

Mas C(n+2, 3) = !3.)!32(

)!2(−++

nn =

!3.)!1()!2(

−+

nn =

!3)1)(2( nnn ++ (12)

Observando a seqüência de igualdades acima vem

!21 ∑

=

+n

kkk

1

)1(. = !3

)1)(2( nnn ++ ⇒ ∑=

+n

kkk

1

)1(. = 2!. !3

)1)(2( nnn ++ ⇒

∑=

+n

kkk

1

)1(. = 3

)2)(1( ++ nnn

Exemplo 6

Obtenha, de forma simplificada, o valor da soma C(n,1) + 2C(n,2) + 3C(n,3) + ... + nC(n,n) , com n inteiro positivo.

Escrevendo em forma de somatório, usando a fórmula do número de combinações

simples e com algumas simplificações, obtemos

C(n, 1) + 2C(n,2) + 3C(n, 3) + ... + nC(n, n) = 1

( , )n

iiC n i

=∑ =

1

!.!.( )!

n

i

nii n i= −∑ =

= 1

!.( 1)!( )!

n

i

nii i n i= − −∑ =

1

!( 1)!.( )!

n

i

ni n i= − −∑ =

1

( 1)!.( 1)!.( )!

n

i

nni n i=

−− −∑ =

= 1

. ( 1, 1)n

in C n i

=

− −∑ = n1

1( 1, 1)

n

iC n i

−

=

− −∑ =

= n.[C(n-1, 0) + C(n-1, 1) + C(n-1, 2) + ... + C(n –1, n-1)

Usemos a 4ª propriedade para a linha (n – 1) na última expressão acima e

obteremos C(n,1) + 2C(n,2) + 3C(n,3) + ... + nC(n,n) = = n.[C(n-1, 0) + C(n-1, 1) + C(n-1, 2) + ... + C(n –1, n-1) = = n.2n-1

8

7ª Propriedade

Temos C(n, p) < C(n, p + 1) se p < 2

1−n e

C(n, p) > C(n, p + 1) se p > 2

1−n

Se n (n ≥ 2) é par, os valores de C(n, p), para p = 0, 1, ..., n vão crescendo e

atingem seu máximo para p = 2n e depois vão decrescendo. Se n é ímpar, os valores de

C(n, p), para p = 0, 1, 2, ..., n vão crescendo e atingirão valor máximo para dois valores

de p, p = 2

1−n e p = 2

1+n e, em seguida, vão decrescendo.

Veja, por exemplo, as seguintes linhas do Triângulo de Pascal

n = 6 1 6 15 20 15 6 1 ↑

valor máximo em p = 2n = 3

n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1 ↑ ↑

valor máximo em p = 2

1−n = 3 e p = 2

1+n = 4

Demonstração: Calculemos C(n, p+ 1) – C(n, p) e, a seguir, analisemos o sinal desta diferença.

C(n, p+ 1) – C(n, p) = !.)!(

!)!1(.)!1(

!ppn

nppn

n−

−+−−

= )!1()!.(

)1(!)(.!+−

+−−ppnpnpnn =

= )!(.)!1()21(.!pnppnn

−+−−

Os fatoriais n!, (p + 1)! e (n – p)! são números inteiros positivos e, portanto, o sinal da diferença C(n, p+ 1) – C(n, p) é o mesmo do número inteiro n – 1 – 2p.

Temos que

C(n, p + 1) – C(n, p) > 0 se n – 1 – 2p > 0, isto é, se p < 2

1−n e

C(n, p + 1) – C(n, p) < 0 se n – 1 – 2p < 0, isto é, se p > 2

1−n .

Exemplo 7 Calcule o valor máximo de C(18, p).

9

Como n = 18 é um número par, segue da 7ª propriedade que o valor máximo de

C(18, p) se dará quando p = 2

182=

n = 9.

Logo, o valor máximo de C(18, p) é C(18, 9) = 48620.

Exercícios propostos 1) Quantos subconjuntos não vazios possui um conjunto A com k elementos? R.: 2k- 1 2) Sabendo que C(n – 1, k – 1) = 18 e C(n, n-k) = 60, calcule C(n – 1, k). R.: 42 3) Mostre que para todo n∈ N* vale a relação

C(n, 0) – C(n, 1) + C(n, 2) – C(n,3) + C(n, 4) - ... + (-1)nC(n, n) = 0 4) Calcule C(10, 1) + C(10, 2) + ... + C(10, 9) , sem fazer os cálculos de cada parcela. R.: 1022 5) Mostre que

∑=

n

kk

1

2 = 12 + 22 + 32 + ...+ n2 = 6

)12)(1( ++ nnn

Sugestão: escreva k2 = k(k + 1) – k e use os exemplos (4) e (5).

6) Calcule ∑=

10

0),11(

kkC . R.: 2047

7) Calcule k nas equações a) C(30, k2) = C(30, 4k - 4) R.: 2 b) C(10, k+6) = C(10, k-6) R.: 5

8) Calcule a soma )2(.)1(.20

1++∑

=

iiii

R.: 53130

Sugestão: Analise o exemplo 5 e divida por 3! 9) Qual(is) o(s) maior(es) número(s) binomial(is) C(n. p) para a) n = 10? b) n = 11? R.: a) 252; b) 462