Aula 07: Análise de sensibilidade (2) · / 12/ 29 Túlio Toffolo — Otimização Linear e Inteira...

BCC464/PCC174 — 2018/2Departamento de Computação — UFOP

Túlio A. M. Toffolohttp://www.toffolo.com.br

Otimização Linear e InteiraAula 07: Análise de sensibilidade (2)

/ 12/ 29 Túlio Toffolo — Otimização Linear e Inteira — Aula 07: Análise de sensibilidade (Parte 2)

Previously…

Aulas anteriores:

The football leagues grouping problem

Problem constraints:

Leagues must comprise between m� and m+ teams.At most 2 teams from the same club can be in a league.There is a limit on the level difference between teams inthe same league.There is a limit on the travel time/distance between teamsin the same league.

It’s a generalization of the clique partitioning problem withminimum clique size requirement.

7 / 25 Toffolo et al. – IP heuristics for nesting problems

Dualidade






Análise de Sensibilidade (ou Interpretação Econômica)






Revisão do Método de Duas Fases

Hoje:






Exercícios






Análise de sensibilidade






Exemplos

�2

Exercício (conferir resultados)


ExercícioExercício

Exercício1 Resolva o PL abaixo e seu dual utilizando o método

Simplex:

min. x1+ x2

s.a. 2x1+ 5x2 � 105x1+ 3x2 � 4x1, x2 � 0

21 / 34 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 03: Simplex e Modelagem

�4






Utilize o gurobi para conferir o tableau ótimo do Simplex

Revisão de Conceitos


Transformação Primal x Dual

MIN

Restrição≤ ≤

Variável

MAX

= qq.≥ ≥

Variável≤ ≥

Restriçãoqq. =≥ ≤

�6

/ 12/ 27 Túlio Toffolo — Otimização Linear e Inteira — Aula 09: Revisão

Formas canônica e padrão

!7

Ou ainda, considerando-se separadamente as forma padrão e canônica:

TABELA 4.2 FORMA PADRÃO E CANÔNICA

Primal Dual

Forma Canônica

Min z = cx

sujeito a:Ax ! bx ! 0

Max w = ub

sujeito a:uA " cu ! 0

Forma Padrão

Min z = cx

sujeito a:Ax = b

x ! 0

Max w = ub

sujeito a:uA " cu # R

4.2 – EXEMPLOS DE PARES PRIMAL X DUALExemplo 1: Determinar o dual do seguinte modelo de programação linear:

(P) Maximizar z = 6 x1 + 2 x2 + x3

sujeito a:

x1 – x2 + 7 x3 " 4

2 x1 + 3 x2 + x3 " 5

x1 ! 0 , x2 ! 0 , x3 ! 0

Aplicando as regras da dualidade temos que:

(D) Minimizar w = 4 u1 + 5 u2

sujeito a:

u1 + 2 u2 ! 6

– u1 + 3 u2 ! 2

7 u1 + u2 ! 1

u1 ! 0 , u2 ! 0

Exemplo 2: Determinar o dual do seguinte modelo de programação linear, representando graficamenteambos os modelos.

(P) Maximizar z = 3 x1 + 4 x2

sujeito a:

x1 – x2 " – 1

– x1 + x2 " 0

x1 ! 0 , x2 ! 0

D U A L I D A D E E S E N S I B I L I D A D E 1 3 1

Forma Canônica

Forma Padrão



Primal Dual

Forma Canônica

Min z = cx

sujeito a:Ax ! b

x ! 0

Max w = ub

sujeito a:uA " c

u ! 0

Forma Padrão

Min z = cx

sujeito a:Ax = b

x ! 0

Max w = ub

sujeito a:uA " c

u # R



sujeito a:

x1 – x2 + 7 x3 " 4

2 x1 + 3 x2 + x3 " 5

x1 ! 0 , x2 ! 0 , x3 ! 0



sujeito a:

u1 + 2 u2 ! 6

– u1 + 3 u2 ! 2

7 u1 + u2 ! 1

u1 ! 0 , u2 ! 0



sujeito a:

x1 – x2 " – 1

– x1 + x2 " 0

x1 ! 0 , x2 ! 0


/ 12/ 27 Túlio Toffolo — Otimização Linear e Inteira — Aula 09: Revisão

Formas canônica e padrão

!8



Primal Dual

Forma Canônica

Min z = cx

sujeito a:Ax ! bx ! 0

Max w = ub

sujeito a:uA " cu ! 0

Forma Padrão

Min z = cx

sujeito a:Ax = b

x ! 0

Max w = ub

sujeito a:uA " cu # R



sujeito a:

x1 – x2 + 7 x3 " 4

2 x1 + 3 x2 + x3 " 5

x1 ! 0 , x2 ! 0 , x3 ! 0



sujeito a:

u1 + 2 u2 ! 6

– u1 + 3 u2 ! 2

7 u1 + u2 ! 1

u1 ! 0 , u2 ! 0



sujeito a:

x1 – x2 " – 1

– x1 + x2 " 0

x1 ! 0 , x2 ! 0


Forma Canônica

Forma Padrão



Primal Dual

Forma Canônica

Min z = cx

sujeito a:Ax ! b

x ! 0

Max w = ub

sujeito a:uA " c

u ! 0

Forma Padrão

Min z = cx

sujeito a:Ax = b

x ! 0

Max w = ub

sujeito a:uA " c

u # R



sujeito a:

x1 – x2 + 7 x3 " 4

2 x1 + 3 x2 + x3 " 5

x1 ! 0 , x2 ! 0 , x3 ! 0



sujeito a:

u1 + 2 u2 ! 6

– u1 + 3 u2 ! 2

7 u1 + u2 ! 1

u1 ! 0 , u2 ! 0



sujeito a:

x1 – x2 " – 1

– x1 + x2 " 0

x1 ! 0 , x2 ! 0



DualidadeThe football leagues grouping problem





Relações entre o primal e o dual:

�9

Ótimo Ilimitado Inviável

Ótimo Possível Nunca Nunca

Ilimitado Nunca Nunca Possível

Inviável Nunca Possível Possível


Shadow PriceThe football leagues grouping problem





Também conhecido como custo dual






O shadow price de uma restrição é o valor que a variável dual referente à restrição assume.

Indica o ganho na função objetivo por unidade aumentada no RHS da restrição.O ganho é válido dentro dos limites estabelecidos pelo RHS da restrição.

�10


Custo Reduzido






O custo reduzido de uma variável é o custo (coeficiente) dela na linha da função objetivo no tableau do Simplex






�11

Após Pivoteamento: Nova SBF

0: 5x2 + 10x5 + 10x6 = 280 z = 280

1: � 2x2 + x4 + 2x5 � 8x6 = 24 x4 = 24

2: � 2x2 + x3 + 2x5 � 4x6 = 8 x3 = 8

3: x1 + 1, 25x2 + � 0, 5x5 + 1, 5x6 = 4 x1 = 4

4: x2 + x7 = 5 x7 = 5

Função objetivo: max z = �5x2 � 10x5 � 10x6

Não há mais variáveis atrativas

SOLUÇÃO ÓTIMA (x1, . . . , x3): (2 , 0 , 8)BASE ÓTIMA (x1, . . . , x7): (2 , 0 , 8 , 24 , 0 , 0 , 5)

41 / 48 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 02: Algoritmo Simplex






O custo reduzido é também o shadow price das restrições de não-negatividade


Variáveis de Folga






As variáveis de folga indicam restrições ativas e inativas

�12

Após Pivoteamento: Nova SBF

0: 5x2 + 10x5 + 10x6 = 280 z = 280

1: � 2x2 + x4 + 2x5 � 8x6 = 24 x4 = 24

2: � 2x2 + x3 + 2x5 � 4x6 = 8 x3 = 8

3: x1 + 1, 25x2 + � 0, 5x5 + 1, 5x6 = 4 x1 = 4

4: x2 + x7 = 5 x7 = 5

Função objetivo: max z = �5x2 � 10x5 � 10x6

Não há mais variáveis atrativas

SOLUÇÃO ÓTIMA (x1, . . . , x3): (2 , 0 , 8)BASE ÓTIMA (x1, . . . , x7): (2 , 0 , 8 , 24 , 0 , 0 , 5)

41 / 48 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 02: Algoritmo Simplex






As restrições ativas (com variáveis de folga iguais a zero) são as únicas limitando o lucro.


Allowable increase/decreaseThe football leagues grouping problem





Indica o aumento/redução permitidos em coeficientes da função objetivo ou no RHS de uma restrição sem que a base deixe de ser ótima!






O cálculo é feito tomando como base o custo reduzido (de variáveis primais e duais).

Regra geral:






Pequenas modificações nos dados geralmente não alteram o conjunto de variáveis básicas.

�13

Shadow price e limites


Exercício da aula passada:

max.

s.a.

Exemplo: O Problema da Dieta

Minimizar: 32u1+36u2 (6)

Sujeito a: 8u1+ 6u2 3 (7)4u1+ 6u2 2, 5 (8)u1 � 0 (9)

u2 � 0 (10)

22 / 31 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 01: Introdução


Minimizar: 3x1+2, 5x2 (1)

Sujeito a: 8x1+ 4x2 � 32 (2)6x1+ 6x2 � 36 (3)x1 � 0 (4)

x2 � 0 (5)


min.

s.a.

PL Primal PL Dual

�15


Shadow priceThe football leagues grouping problem





Suponha que a formulação está na forma padrão e que nós vamos alterar o RHS da primeira restrição:

�16

8x1 + 4x2 − x2 = 32

8x1 + 4x2 − x2 = 31The football leagues grouping problem





Resolver o problema todo de novo dá muito trabalho… Podemos calcular o impacto usando o shadow price


Shadow priceThe football leagues grouping problem





Reduzir o RHS em uma unidade equivale a permitir que a variável de folga assuma valor -1 no problema original…






O que ocorre com a função objetivo quando a variável de folga assume este valor?

Para descobrir olhamos para a base ótima!(ou alternativamente, para o valor dual)

�17


Resolvendo o PL PrimalThe football leagues grouping problem





Tableau ótimo do problema primal:






Note que as variáveis de folga são não básicas:






Mas se fizermos então o valor da função objetivo diminui em 1 / 3

�18

Base X1 X2 X3 X4

Z 0 0 1 / 8 1 / 3 -16

X1 1 0 -1 / 4 1 / 6 2

X2 0 1 1 / 4 -1 / 3 4

x4 = − 1x3 = x4 = 0


Resolvendo o PL PrimalThe football leagues grouping problem





Logo, onde encontrar o shadow price?






No tableau ótimo do problema (para uma solução básica):

�19

Base X1 X2 X3 X4

Z 0 0 1 / 8 1 / 3 -16

X1 1 0 -1 / 4 1 / 6 2

X2 0 1 1 / 4 -1 / 3 4


Relação entre shadow price, custo reduzido e o problemaThe football leagues grouping problem





Lembrem que a cada iteração do simplex nós transformamos o tableau por meio de operações de soma/subtração de múltiplos das outras linhas…






Logo, a forma final da função objetivo pode ser obtida subtraindo múltiplos das restrições originais do problema!






Como as variáveis de folga aparecem só uma vez (e com coeficiente 1) em uma restrição… Podemos dizer que:

portanto:

�20

c̄n +i = 0 − πic̄n +i = − πi = − yi

Os custo reduzidos sãoIguais aos multiplicadores!!!


Relação entre shadow price, custo reduzido e o problemaThe football leagues grouping problem





Os multiplicadores podem ser utilizados para obtermos os coeficientes do tableau ótimo rapidamente…

�21

The multiples can be used to obtain every objective coefficient in the final form.


Variações nos coeficientes da função objetivo






Quanto podemos mudar os coeficientes da função objetivo sem modificar os valores das variáveis de uma solução ótima?






Podemos fazer a mudança uma de cada vez…The football leagues grouping problem





Mas… até quanto podemos mudar?

�22


Variações nos coeficientes da função objetivoThe football leagues grouping problem





Quanto podemos mudar os coeficientes da função objetivo sem modificar os valores das variáveis de uma solução ótima?






Faremos a mudança uma de cada vez, mantendo os coeficientes do RHS como constantes… Até quando podemos variar?

�23

Base X1 X2 X3 X4

Z 0 0 1 / 8 - Δ 1 / 3 -16

X1 1 0 -1 / 4 1 / 6 2

X2 0 1 1 / 4 -1 / 3 4


Variações no RHS das restriçõesThe football leagues grouping problem





Até quanto podemos variar o RHS e o shadow price continua válido???






Simples: enquanto a solução básica for viável ;)É simples porque não alteramos os custos reduzidos

�24

Base X1 X2 X3 X4

Z 0 0 1 / 8 1 / 3 -16

X1 1 0 -1 / 4 1 / 6 2

X2 0 1 1 / 4 -1 / 3 4


Exemplo:The football leagues grouping problem





Exemplo: ganha-se 4 unidades por aumento na segunda restrição do problema abaixo, já que no seu dual






Até que valor de RHS este shadow price permanece válido?

�25

x2 = 4


Minimizar: 32u1+36u2 (6)

Sujeito a: 8u1+ 6u2 3 (7)4u1+ 6u2 2, 5 (8)u1 � 0 (9)

u2 � 0 (10)








Sabemos que a função objetivo melhora 4 unidades por unidade aumentada (valor de delta) na restrição

Na forma padrão:






Isto equivale a reduzir o valor da variável , isto é, fazer:






Temos, portanto, que fazer estas substituições no tableau da solução ótima… Isto é:

�26

4u 1 + 6u 2 ≤ 2,5 + Δb24u 1 + 6u 2 + u 4 = 2,5 + Δb2

u 4u 4 = u 4 − Δb2







Tableau ótimo do problema:

�27

u 1 + 14 Δb2 = 1

8

Base U1 U2 U3 U4

Z 0 0 2 4 -16

U1 1 0 1 / 4 -1 / 4 1 / 8

U2 0 1 -1 / 6 1 / 3 1 / 3

u 2 − 13 Δb2 = 1

3

logo, Δb2 ≤ 12

Exercício


Observando o modelo e o tableau ótimo, responda:






Qual o ganho de se reduzir em uma unidade o RHS da restrição 1? E da restrição 2?






Até qual limite podemos flexibilizar estas restrições mantendo o shadow price válido?

�29

Base X1 X2 X3 X4

Z 0 0 1 / 8 1 / 3 -16

X1 1 0 -1 / 4 1 / 6 2

X2 0 1 1 / 4 -1 / 3 4


Minimizar: 3x1+2, 5x2 (1)

Sujeito a: 8x1+ 4x2 � 32 (2)6x1+ 6x2 � 36 (3)x1 � 0 (4)

x2 � 0 (5)


min.

s.a.

/ 12

Perguntas?

Aula 07: Análise de sensibilidade (2) · / 12/ 29 Túlio Toffolo — Otimização Linear e Inteira...

Documents

Transcript of Aula 07: Análise de sensibilidade (2) · / 12/ 29 Túlio Toffolo — Otimização Linear e Inteira...