MCOG

Eletromagnetismo

Prof. Marcelo Campos de Oliveira Gonçalves

marcelo.campos@uninove.br

1

MCOG

Bibliografia Básica

• HAYT JR, H. M.; BUCK, J. A. Eletromagnetismo. Rio de Janeiro: 7ª Ed. McGraw Hill, 2008.

• MARIANO, W. C. Eletromagnetismo: Fundamentos e Aplicações. São Paulo: Érica, 2003.

• NUSSENZVEIG, H. MOISES. Curso de Física. Eletromagnetismo. V. 3. Edgard Blücher, 1997.

2

MCOG

Bibliografia Complementar

• FALCONE, A. G. Eletromecânica. V. 1. Edgard Blücher, 1979.

• FALCONE, A. G. Eletromecânica. V. 2. Edgard Blücher, 1979.

• KRANE, KENNETH S.; RESNICK, ROBERT; HALLIDAY, DAVID. Física. V. 4. Rio de Janeiro: LTC, 2004.

• SIMONE, G. A. Máquinas de Indução Trifásicas: Teoria e Exercícios. São Paulo: Érica, 2000.

3

MCOG

Aula 01

Análise Vetorial

4

MCOG

Escalares e Vetores

• O termo escalar refere-se a uma grandeza cujo valor pode ser representado por um único número.

• Exemplos: distância, tempo, temperatura, massa, densidade, volume, resistividade, pressão.

5

MCOG

Escalares e Vetores

• Uma grandeza vetorial tem um módulo (intensidade), uma direção e um sentido no espaço. Os espaços mais discutidos serão os bi e tridimensionais, porém um vetor pode ser definido em espaços n-dimensionais.

• Exemplos: força, velocidade e aceleração.

6

MCOG

Escalares e Vetores

• O módulo, a direção e o sentido de um vetor são apresentados abaixo:

7

x

y

P(7,4)

Componente de P no eixo x: Px

Componente de P no eixo y: Py

O sentido do vetor P é indicado pela seta, e vai do ponto (0,0) ao ponto (7,4). O módulo deste vetor é dado por

1,8

1649

22

P

P

yxP

MCOG

Campo Vetorial e Escalar

• Se a cada ponto K de uma região for associado um vetor que tem ponto inicial, então a coleção destes vetores constitui um campo vetorial.

8

A cada ponto da roda corresponde um vetor velocidade. Um campo vetorial deste tipo é um campo de velocidade.

MCOG

Campo Vetorial e Escalar

• Se a cada ponto K de uma região for atribuída uma quantidade escalar, então a coleção destes pontos constitui um campo escalar.

9

Temperatura  é um exemplo de um campo escalar. Em cada ponto (x, y, z) do espaço está associado um número.

MCOG

Álgebra Vetorial

• A adição vetorial segue a regra do paralelogramo:

10

Adição

A

B

A + B

Esta análise pode ser facilmente estendida a três ou mais vetores.

• É possível verificar que A + B = B + A, ou seja, a adição vetorial obedece à lei comutativa.

• A adição vetorial também obedece à lei associativa:

A + (B + C) = (A + B) + C

MCOG

Álgebra Vetorial

• Dados os vetores A = 3ax + 5ay + 2az e B = ax + 2ay + 2az, encontre o vetor resultante de A + B.

11

Adição

A + B = (3 + 1)ax + (5 + 2)ay + (2 + 2)az

A + B = 4ax + 7ay + 4az

Resposta:

MCOG

Álgebra Vetorial

• Segue facilmente a regra da adição, pois podemos expressar A – B como A + (-B): o sinal e o sentido do vetor B são invertidos, sendo este valor então adicionado ao primeiro pela regra da adição vetorial.

12

Subtração

Exercício: Dados os vetores A = 3ax + 5ay + 2az e B = ax + 2ay + 2az, encontre o vetor resultante de A - B.

MCOG

Álgebra Vetorial

• Neste tipo de multiplicação, o módulo do vetor varia, embora o sentido varie apenas se o escalar for negativo.

• A multiplicação d um vetor por um escalar também obedece às leis associativa e distributiva:

13

Multiplicação por escalar

(r + s)(A + B) = r(A + B) + s(A + B) = rA + rB + sA + sB

MCOG

Álgebra Vetorial

• A divisão de um vetor por um escalar é simplesmente feita a partir da multiplicação pelo inverso do escalar:

14

Divisão por escalar

Acc

A

1

MCOG

Álgebra Vetorial

• A definição do produto escalar, que é expresso por A • B é:

15

Produto Escalar

A • B = AxBx + AyBy + AzBz

• O produto escalar também é definido como o produto do módulo de A pelo módulo de B e pelo co-seno do menor ângulo entre os dois.

A • B = 0

A • B = |A||B| cosθAB

• Se A e B forem perpendiculares um ao outro, então:

MCOG

Álgebra Vetorial

• Dados dois vetores A e B, definiremos o produto vetorial de A por B, como A X B e lido “A vetorial B”.

• O resultado do produto vetorial é um vetor. • O módulo de A X B é igual ao produto dos módulos de A e B e o seno do menor ângulo entre A e B.

• A direção de A X B é perpendicular ao plano que contém A e B.

• Em forma de equação, podemos escrever:

16

Produto Vetorial

ABN senBAaBA ||||

MCOG

Álgebra Vetorial

• O produto vetorial não é comutativo, pois

17

Produto Vetorial

B X A = - (A X B)

MCOG

Álgebra Vetorial

• O cálculo do produto vetorial por meio de sua definição exige mais trabalho que o cálculo do produto escalar, pois precisamos não somente encontrar o ângulo entre os vetores, mas também encontrar a expressão para o vetor unitário aN.

• Este trabalho pode ser evitado se A X B for escrito em forma de determinante:

18

Produto Vetorial

zyx

zyx

BBB

AAA

kji

BA

MCOG

Álgebra Vetorial

• Assim, se A = 2ax -3ay +az e B = -4ax -2ay +5az, temos

19

Produto Vetorial

kji

kji

BA

161413

524

132

ExercícioSe F = -45i + 70j + 25k e G = 4i – 3j + 2k, determine:a)F X G.b)O vetor unitário na direção de F X G.

MCOG

Exercícios1. Os vetores que vão desde a origem até os pontos A, B, C e D, são:

20

A = i + j + kB = 2i + 3jC = 3i + 5j – 2kD = k - j

Demonstre que as linhas AB e CD são paralelas.

2. Demonstre que os vetoresA = 2i – j + kB = i – 3j – 5kC = 3i – 4j – 4k

formam os lados de um triângulo reto.

3. Sendo A = -2i + 3j + 5k, B = i + 3j – 4k e C = 4i -2j + 2k, determine:

a. O módulo de A + 3B.

b. O vetor unitário na direção de B – C.

c. A componente de C na direção do vetor B.

d. O ângulo entre A e C.

MCOG

Exercícios4. Dados os vetores A = -6i + 2j – 4k e B = 4i + 3j – 2k, encontre:

a. Um vetor unitário na direção de A + 2B.

b. O módulo de A + 2B.

c. Um vetor C tal que A + B + C = 0.

21

5. Os três vértices de um triângulo estão localizados nos pontos A(-1, 2, 5), B(-4, -2, 3) e C(1, 3, -2). Determine:

a. O perímetro do triângulo.

b. O vetor unitário na direção do segmento que une os pontos médios dos lados AB e BC, com o sentido do ponto médio de AB para o ponto médio de BC.

6. Os vetores A = 4i + 5j – 2k e B = 2i + 8j + 3k possuem origens coincidentes com a do sistemas de coordenadas cartesianas. Determine:

a. A distância entre suas extremidades.

b. Um vetor unitário na direção de A.

c. Um vetor C que seja paralelo ao vetor A e que possua módulo igual ao do vetor B.

MCOG

Exercícios7. Determine as componentes de um vetor B tal que |B| = 2 e aB = 0,5i – 0,4j

+ nk, sendo n um escalar positivo.

22

8. O campo de velocidades em um gás é dado por V = 5(xi + yj + zk)/(x2 + y2 + z2 + 2). Para o ponto P(-2, 3, 1), determine:

a. O módulo da velocidade.

b. Um vetor unitário especificando a sua direção.

c. Determine a equação do lugar geométrico dos pontos do espaço para os quais a velocidade tem módulo unitário.

9. Dados os campos vetoriais F = 2x2i – 4yz2j + 3(x + y – z)k e G = (yi + zj + xk)/(x2 + y2 + z2), determinar:

a. |F (2, -1, 3)|.

b. O vetor unitário no ponto (-1, 2, -2).

c. F • G no ponto (2, -2, 4).

d. O ângulo entre F e G no ponto (2, -2, 4).

MCOG

Exercícios10. Determine o ângulo entre Axax – 7ay + 4az e 5ax + 4ay – 3az sendo Ax = 10. Qual deve ser o valor de Ax de tal

modo que o ângulo seja: b) 90º; c) 62,1º?

11. Dados A = 3ax – 4ay + 5az e B = -ax + 2ay – 3az, determine:a. A x B.

b. A • (A x B).

c. O ângulo entre A e B.

23

MCOG

Exercícios

• Mais exercícios podem ser encontrados no livro de Eletromagnetismo de William H. Hayt Jr.

• A maioria das respostas dos exercícios anteriores também estão nesse livro.

24

MCOG

Gradiente

• O gradiente de uma função é um vetor que dá como resultado a máxima variação da função e a direção em que esta máxima variação ocorre.

25

MCOG

Gradiente

• O gradiente da função f, grad f, é o vetor definido por:

26

af

ra

f

rar

ff

az

faf

af

f

az

fay

fax

ff

r

z

zyx

sin

11 Esféricas

1 sCilíndrica

sCartesiana

MCOG

Gradiente

• Exemplo:– Seja f(x,y) = x2 – 4xy.

• Encontre o gradiente de f no ponto P(1,2).

27

Pela definição

yx xaayxyxf 4)42(),(

Em P(1,2)

yxyxP aaaaff 464)82()2,1(]

MCOG

Exercícios

1. Seja f(x,y) = 2 + x2 + (1/4)y2, encontre a direção segundo a qual f(x,y) cresce mais rapidamente no ponto P(1,2), e determine a taxa máxima de crescimento de f em P.

2. Ache o gradiente de f e P.a. f(x, y) = (x2 + y2)1/2;P(-4, 3)b. f(x, y) = 7y – 5x; P(2, 6)c. f(x, y) = e3x + tg(y);P(0, π/4)d. f(x, y) = x ln(x – y); P(5, 4)e. f(x, y, z) = yz3 – 2x2; P(2, -3, 1)f. f(x, y, z) = xy2ez; P(2, -1, 0)

28