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1) Introdução à Geometria Plana

Axioma

São verdades matemáticas aceitas sem a necessidade de demonstração.

Geometria Espacial

Aula 01 Introdução à Geometria Espacial

1.1) Axioma da Existência

Existem infinitos pontos em uma reta (e fora dela), bem como, existem

infinitos pontos em um plano (e fora dele).

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1.2) Axioma da Determinação

Dois pontos distintos determinam uma reta e três pontos não-colineares

determinam um plano.

Geometria Espacial


1.3) Axioma da Inclusão

Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, então a reta está contida

nesse plano.

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1.4) Posição Relativa Entre Duas Retas

Geometria Espacial


Concorrentes

São retas coplanares que se cruzam.

Paralelas

São retas coplanares que não se cruzam.

Coincidentes

São retas coplanares que possuem infinitos

pontos em comum.

r

s

Reversas

São retas NÃO coplanares

que não se cruzam.

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1.5) Posição Relativa Entre Reta e Plano

Geometria Espacial


1º A reta está contida no plano;

2º A reta e o plano são paralelos;

3º A reta e o plano são

concorrentes.

1.6) Posição Relativa Entre Planos

Planos Concorrentes

São planos que

se cruzam.

Paralelos

São planos que

não se cruzam.

Coincidentes

São planos que possuem

infinitos pontos em comum. μ = ß

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Q1) Observe os pontos de A a L nos vértices, arestas e faces do cubo abaixo.

Verifique se os pontos indicados em cada item são ou não colineares e

coplanares.

a) F e D

b) A, E e F

c) G, L e D

d) B, C e D

e) A, J e B

f) B, I, J e K

g) C, G, E e A

h) B, C, L e G

i) H, D, I e E

Geometria Espacial


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Q2) Considere que os pontos, as retas e os planos citados abaixo são

distintos e verifique se cada afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). Para

cada afirmação falsa, dê um contra exemplo que justifique.

a) Por 2 pontos passa uma única reta.

b) 3 pontos são sempre colineares.

c) 3 pontos NUNCA são colineares.

d) 3 pontos podem ser colineares.

e) Existem 5 pontos coplanares.

f) Existem 5 pontos NÃO coplanares.

g) Existem 3 pontos NÃO coplanares.

h) Pontos colineares são coplanares.

i) Pontos coplanares são colineares.

j) Pontos coplanares podem ser colineares.

Geometria Espacial


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1.7) Determinação de um Plano

Já sabemos que 3 pontos (não colineares) determinam um plano. Prove que

um plano também fica determinado com:

* Duas retas paraleleas; *Duas retas concorrentes; *Uma reta e um ponto.

Geometria Espacial


Q3) Observe o cubo abaixo e responda:

a) Dos planos determinados pelas faces,

quais são os pares de planos paralelos?

b) Cite 3 pares de planos secantes.

c) Os planos CDHG e GFEH são secantes?

Em caso afirmativo, qual é a reta interseção?

d) A reta FG é interseção entre quais planos?

e) Cite 5 retas paralelas ao plano ABCD.

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1.8) Perpendicularismo

Sabemos que duas retas distintas no espaço podem ser paralelas ou

concorrentes (perpendiculares ou oblíquas) ou ainda reversas (ortogonais ou

não ortogonais).

Geometria Espacial


Q4) Observe o cubo abaixo e responda:

a) Dizemos que AB é ortogonal a EH,

pois elas são reversas e suas

projeções são perpendiculares. Cite 3

retas ortogonais a AD.

b) Como podemos classificar as retas:

FG e CD?

BC e DG?

FE e CD?

DG e AH?

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1.9) Projeções Ortogonais (sombras)

A projeção de um ponto sobre um plano é outro ponto.

Geometria Espacial


A projeção de uma reta

sobre um plano nem sempre

é outra reta.

A projeção de um

triângulo sobre um

plano nem sempre é

outro triângulo.

Curiosidade:

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a) Se dois planos são paralelos, qualquer reta de um deles é paralela a

qualquer reta do outro.

b) Se dois planos são paralelos, qualquer reta que intersecta um deles

também intersecta o outro.

c) Dois planos paralelos a uma reta são paralelos entre si.

d) Se um plano intersecta dois planos, então as interseções são retas

paralelas.

e) Se dois planos são paralelos, toda reta paralela a um deles é paralela ao

outro.

f) Se uma reta é paralela a cada um de dois planos secantes, então essa reta

é paralela a reta interseção dos dois planos.

g) Duas retas perpendiculares a um mesmo plano são coplanares.

h) Duas retas perpendiculares a um mesmo plano são paralelas.

i) Por um ponto passa uma única reta perpendicular a uma reta dada.

Geometria Espacial


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a) Por um ponto passam infinitas retas. b) Por dois pontos distintos passa uma única reta. c) Três pontos distintos são sempre colineares. d) Por dois pontos distintos passa um único plano. e) Um plano contém infinitos pontos. f) Pelos quatro vértices de um retângulo passa um único plano. g) Uma reta intercepta inúmeros planos. h) Três pontos distintos e não-colineares determinam um plano. i) Por duas retas paralelas passa um único plano. j) Duas retas coplanares são concorrentes. k) Duas retas perpendiculares são concorrentes. l) Duas retas ortogonais determinam um único plano. m) Duas retas reversas podem ser paralelas a um mesmo plano.

Geometria Espacial


Q7) (UFPE) Sejam 1 e 2 planos que se interceptam em uma reta r e formam um

ângulo de 45º. Em 1, escolha pontos P1, P2, P3, P4 e P5, distando,

respectivamente, 3 cm, 7 cm, 8 cm, 15 cm e 21 cm de r. A reta perpendicular a 1,

passando por Pi, intercepta 2 em um ponto Qi. Qual o valor, em cm, de

P1Q1 + P2Q2 + P3Q3 + P4Q4 + P5Q5?

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2) Poliedros Convexos [e Côncavos (Não Convexos) ]

Um poliedro é convexo quando um segmento que liga dois de seus

pontos está sempre contido nele.

Geometria Espacial

Aula 03 Poliedros Convexos

OBSERVAÇÃO: Vamos estudar “somente” os poliedros convexos.

convexo convexo côncavo ou não convexo

2) Elementos de um Poliedro

Vértices: São os pontos “das quinas”.

Arestas: São os segmentos determinados por

dois vértices.

Faces: São os polígonos que formam o poliedro.

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Q8) Observe o poliedro e responda:

a) Qual é o número de faces, de arestas e de vértices?

b) Qual é a forma de cada face?

c) O vértice C é comum a quantas arestas?

d) O vértice A é comum a quantas arestas?

e) Qual é a posição relativa das arestas AE e BC?

Geometria Espacial

Aula 03 Poliedros Convexos

Q9) (FUVEST) Sejam ’ e ” um DIEDRO (dois planos secantes) em 45º e P um

ponto interior a esse diedro. Sejam P’ e P” as projeções ortogonais de P sobre

’ e ”, respectivamente. Então, a medida, em graus, do ângulo P’PP” é:

a) 30 b) 45 c) 60 d) 90 e) 135

A

B

C D

E

Q10) Qual é o número de faces, arestas e vértices de um:

a) paralelepípedo? d) octaedro?

b) tetraedro? e) dodecaedro?

c) cubo ? f) icósaedro?

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3) A Relação de Euler

“O número de Vértices somado ao número de

Faces é igual ao número de Arestas somado com 2.”

Geometria Espacial

Aula 04 A Relação de Euler

V + F = A + 2

V = 8

F = 6

A = 12

V = 4

F = 4

A = 6

V = 6

F = 5

A = 9

V = 6

F = 8

A = 12

V = 20

F = 12

A = 30

V = 12

F = 20

A = 30

Q11) Qual é o número de arestas de um poliedro que possui 6 faces

quadrangulares e 4 faces triangulares?

Q12) Qual é o número de vértices de um poliedro que possui

12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais? Você consegue

imaginar esse poliedro? Se “SIM”, com o que ele parece?

E ainda:

2A = n.F e 2A = m.V

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3.1) Os Poliedros de Platão

Em um poliedro regular todas as faces são polígonos regulares congruentes.

Existem SOMENTE cinco poliedros regulares:

Geometria Espacial


Tetraedro FOGO

Hexaedro TERRA

Octaedro AR

Dodecaedro UNIVERSO

Icosaedro ÁGUA

Q13) Em um poliedro convexo de 20 arestas, o número de faces é igual

ao número de vértices. Quantas faces tem esse poliedro?

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Geometria Espacial


Q14) Qual o número de faces de um poliedro de 20 vértices tal que em

cada vértice concorrem 5 arestas?

Q15) Em um poliedro o número de vértices corresponde a 2/3 do

número de arestas e o número de faces é 3 unidades a menos do que

o número de vértices. Quantas são as faces, as arestas e os vértices?

Q16) Um poliedro convexo tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular,

1 face pentagonal e 2 faces hexagonais. Obtenha o número total de faces,

vértices e arestas do poliedro.

Q17) Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem

três faces triangulares, duas face quadrangulares, uma face pentagonal e

duas faces hexagonais.

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4) Definição de Prisma

Considere dois polígonos congruentes situados em

planos paralelos, então a reunião de todos os

segmentos congruentes que unem os dois polígonos

determinam o prisma.

Geometria Espacial

Aula 05 Prismas

4.1) Elementos do Prisma

O prisma possui:

Duas bases congruentes (cada uma com “n” lados);

“n + 2” faces, sendo “n” faces laterais e

mais 2 faces referente as bases;

“3n” arestas, sendo “n” arestas laterais,

mais “n” arestas de uma base e mais “n”

arestas da outra base;

“2n” vértices;

A reta geratriz do prisma é qualquer reta

paralela a uma das arestas laterais;

A altura “h” do prisma é a distância entre os

dois planos paralelos.

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Q19) Diagonal e Área do Cubo

Dado um cubo de aresta “a”, calcule a diagonal e a área do cubo.

Geometria Espacial

Aula 05 Prismas

Q18) Mostre que em qualquer prisma é válida a relação de Euler, V + F = A + 2.

Q20) Diagonal e Área do Paralelepípedo

Dado um paralelepípedo de arestas “a”, “b” e “c”, calcule a diagonal e a área

do paralelepípedo.

Solução: d = a√3 e A = 6a2

Solução: d = a2 + b2 + c2

e A = 2(ab + ac + bc)

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Q21) Calcule a medida da diagonal e a área dos paralelepípedos coma as

dimensões dadas abaixo:

a) a = b = c = 2,5 b) a = b = 2 e c = 3 c) a = 3, b = 2 e c = 5

Geometria Espacial

Aula 05 Prismas

Q22) Calcule a medida da diagonal de um cubo, sabendo que a sua área total

mede 37,5 cm2.

Q23) Calcule a medida da 3ª dimensão de um paralelepípedo, sabendo que

duas delas medem 4 e 7 cm e que a diagonal do paralelepípedo mede 3√10 cm.

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4.2) AXIOMA (Princípio de Cavallieri)

Considere dois sólidos e um plano. Se todo plano paralelo ao plano dado

secciona os dois sólidos segundo figuras de mesma área, então esses

sólidos tem mesmo volume.

Geometria Espacial

Aula 06 Volume do Prisma

4.3) Volume do Prisma

O volume de um prisma é dado pelo produto da área da base pela

medida da altura.

Vprisma = Abase . altura

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Q24) Calcule o volume dos prismas cujas medidas estão indicadas abaixo:

a) Prisma triangular reto b) Prisma regular hexagonal

Base: a = 3, b = 4 e c = 5 Aresta da base: a = 2

Altura: h = 6 Altura: h = 3

c) Prisma oblíquo de base quadrada d) Prisma reto de base quadrangular

Aresta da base: a = 3 Base: a = 3 e b = 4

Aresta lateral: b = 8 Altura: h = 5

Inclinação: Â = 30º

Geometria Espacial

Aula 06 Volume do Prisma

Q25) A base de um prisma de 10 cm de altura é um triângulo retângulo

isósceles de 6 cm de hipotenusa. Calcule a área e o volume deste sólido.

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5) Definição de Pirâmide

Considere um polígono em um plano e um ponto

“V” fora deste. Dizemos que uma pirâmide é o

sólido formado pela reunião de todos os

segmentos que unem o ponto “V” ao polígono.

Geometria Espacial

Aula 07 Pirâmide

5.1) Elementos da Pirâmide

Uma pirâmide possui:

Uma base (com “n” lados);

“n + 1” faces, sendo “n” faces laterais

triangulares mais a face da base;

“2n” arestas, sendo “n” arestas da base e

“n” arestas laterais;

“n + 1” vértices;

A altura “h” da pirâmide é a distância entre

o ponto “V” e o plano da base.

h

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Q26) Mostre que em qualquer pirâmide é válida a relação de Euler, V + F = A + 2.

Geometria Espacial

Aula 07 Pirâmide

Q27) Uma pirâmide regular hexagonal tem 10 cm de altura e a aresta da base

mede 4 cm. Calcule:

a) O apótema da base;

b) O apótema da pirâmide*; *É a altura do triângulo isósceles

determinado por uma das faces laterais.

a) A aresta lateral;

b) A aresta da base;

c) A área lateral;

d) A área total.

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5.2) Volume da Pirâmide

Observe o prisma ao lado:

Vamos decompô-lo em 3 partes.

Geometria Espacial

Aula 08 Volume da Pirâmide

OBSERVE QUE:

V(DEF)A = V(ACB)D pois tem bases congruentes e mesma altura.

V(AEF)D = V(AEC)D pois tem bases congruentes (AEF e EAC) e mesma altura

(distância de D ao plano ACEF).

Logo, Vprisma = 3.Vpirâmide Vpirâmide = Vprisma

3

Vpirâmide = Abase .altura

3

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Q28) Qual o volume de um tetraedro regular de aresta “a”?

Geometria Espacial


Q29) Calcule a área e o volume das pirâmides regulares, cujas medidas estão

indicadas abaixo:

a) Base quadrada: a = 6 e Apótema da pirâmide: c = 5

b) Base quadrada: a = 6 e Aresta lateral: b = 5

c) Base hexagonal: a = 4 e Aresta lateral: b = 10

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Q30) A aresta da base de um pirâmide de base quadrada mede 6 cm. Uma

secção transversal feita a uma distância de 3 cm da base determina uma área

de 9 cm2. Calcule o volume dessa pirâmide.

Geometria Espacial


Q31) Calcule o volume de um octaedro regular cuja aresta mede 5 cm.

Q32) Calcule o volume de uma pirâmide quadrada cuja aresta mede 15 cm e a

altura me 9 cm.

Q33) Demonstra-se que o volume do

“tronco de uma pirâmide” é dado por:

Entretanto, na maioria das vezes é mais prático fazer a “diferença” entre as duas pirâmides semelhantes.

)..(.3

1bbBBHV

Determine o volume de um tronco de pirâmide com bases quadradas

medindo 5 e 12 cm sabendo que a altura do tronco é de 8 cm.

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6) Definição de Cilindro

Considere dois círculos situados em planos

paralelos, então a reunião de todos os segmentos

congruentes que unem os dois círculos

determinam o cilindro.

Geometria Espacial

Aula 09 Corpos Redondos _ Cilindro

6.1) Elementos do Cilindro

O cilindro possui:

Duas bases circulares congruentes;

Infinitas geratrizes*.

Geratrizes: São os segmentos que unem

(menor distância) uma BASE à outra.

A altura “h” do cilindro é a distância entre

os dois planos paralelos.

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6.2) Volume de Cilindro

Pelo Princípio de Cavallieri, o volume

de um cilindro é igual ao volume de

um prisma com mesma área da base e

mesma altura.

Geometria Espacial

Aula 09 Corpos Redondos _ Cilindro

Vcilindro = Abase . altura Q34) Calcule a área e o volume

dos cilindro cujas medidas são dadas abaixo:

a) Cilindro reto Raio da base: r = 6 e Altura: h = 5

b) Cilindro reto Diâmetro da base: d = 1 e Altura: h = 0,5

c) Cilindro oblíquo Raio da base: r = 5 , Geratriz: g = 10 e Ângulo de inclinação: α = 30º

d) Cilindro oblíquo Raio da base: r = g/2 , Geratriz: g

e Ângulo de inclinação: α = 30º

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7) Definição de Cone Considere um círculo em um plano e

um ponto “V” fora deste. Dizemos que um cone é o sólido

formado pela reunião de todos os segmentos que unem o

ponto “V” ao círculo.

Geometria Espacial

Aula 10 Corpos Redondos _ Cone

7.1) Elementos do Cone

O cone possui: *Uma base circular; **Infinitas geratrizes; ***Um vértice;

A altura “h” do cone é a distância entre o vértice e o plano da base.

7.2) Área do cone

“Imagine” que com uma tesoura fizéssemos

um corte seguindo uma geratriz.

Para calcular a área do setor, fazemos:

Área Arco

Círculo π.g2 2π.g

Setor Alateral 2π.r Portanto,

Alateral = π.r.g

e

ATotal = π.r.(g + r)

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7.3) Volume do Cone

Mais uma vez, pelo Princípio de Cavallieri,

podemos concluir que o volume de um

cone é igual ao volume de uma pirâmide

com mesma área da base e mesma altura.

Geometria Espacial

Aula 10 Corpos Redondos _ Cone

Vcone = Abase .altura

3 Q35) Calcule a área e o volume

dos cones cujas medidas são dadas abaixo:

a) Cone equilátero Raio da base: r = 11 e Geratriz: g = 22 = 2r

b) Cone reto Diâmetro da base: d = 20 e Altura: h = 35

Q36) Qual é a capacidade de uma casquinha de sorvete de forma

cônica, cujo diâmetro mede 6 cm e cuja altura mede 10 cm?

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8) Definição de Esfera Considere um ponto O e

um segmento de medida R. Denominamos por esfera

a reunião de todos os pontos P do espaço, tais que a

distância de O até P seja menor do que R.

Geometria Espacial

Aula 11 Corpos Redondos _ Esfera

Q37) (LEMA) De um cilindro equilátero (H = 2R) foram retirados dos cones

isósceles congruentes. Calcule o volume do sólido X remanescente.

H = 2R

8.1) Volume da Esfera O plano B está seccionando a esfera e o sólido X.

Observe que A área da secção AMARELA é a mesma [ π .( R2 – h2) ] na

esfera e no sólido X.

33 Aula 11 Corpos Redondos _ Esfera

H = 2R

Vesfera = 4.π .R3

3

Geometria Espacial

Pelo princípio de Cavalieri,

VX = Vesfera

LEMA

34

Q38) Calcule a área e o volume das esferas cujas medidas são dadas abaixo:

a) Raio: r = 10

b) Diâmetro: d = 10

Geometria Espacial

Aula 11 Corpos Redondos _ Esfera

Q39) Qual o volume de uma bola de basquete

cujo diâmetro mede 30 cm?

Q40) (FUVEST) Uma esfera de raio 13 cm é cortada por um plano situado a

uma distancia de 12 cm do centro, determinando uma circunferência. O raio

dessa circunferência em cm é de:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

35

Q41) (IFPR) O número de vértices de um poliedro convexo de 10 faces

quadrangulares é:

a) 32 b) 12 c) 20 d) 15 e) 18

Geometria Espacial

Aula 12 Exercícios

Q42) (UFSC) Num paralelepípedo reto, as arestas da base medem 8 dm e 6

dm e a altura mede 4 dm. Calcule a área da figura determinada pela diagonal

do paralelepípedo, com a diagonal da base e a aresta lateral :

a) 20 dm2 b) 24dm2 c) 32 dm2 d) 40 dm2 e) 48 dm2

Q43) (UFCE) O perímetro da base de uma pirâmide hexagonal regular é 6 cm

e sua altura, 8 cm. O volume dessa pirâmide, em cm3, é:

a) 4√3 b) 5√3 c) 6√3 d) 7√3 e) 8√3

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