ATPS – Cálculo II Regra da Cadeia Pontos de Máximos e Mínimos Teorema do Valor Médio Problemas de Otimização Professor: Anderson Benites

1) Determine a derivada das funções abaixo: a) b)

c) d)

e)

e)

f) g)

2) Seja f(x) =

, determine:

a) os pontos críticos; b) os intervalos onde f é crescente e decrescente; c) os valores máximos e mínimos de f.

3) A função custo mensal de fabricação de um produto é dada por C(x) =

e a função de demanda mensal (p),do mesmo produto, é dada por p(x) = . Qual o preço x que deve ser cobrado para maximizar o lucro? Dados: Lucro(L) = Receita(R) - Custo(C) 4) Uma empresa produz determinado produto, com um custo mensal dado pela função C(x) =

. Cada unidade deste produto é vendido por R$31,00. Determinar a

quantidade que deve ser produzida e vendida para dar o máximo lucro mensal. Dados: Lucro(L) = Receita(R) - Custo(C)

5) O custo de produção de x aparelhos de certa TV de LCD por dia é R$

e o

preço unitário que elas podem ser vendidas é R$

cada. Qual deve ser a produção

diária para que o lucro seja máximo? 6) Um empresário estima que quando x unidades de certo produto são vendidas, a receita bruta associada ao produto é dada por C = milhares de reais. Qual é a taxa de variação da receita quando 3 unidades estão sendo vendidas? Interprete o resultado obtido.

7) Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de água no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dada por V= . Determinar: a) A taxa de variação média do volume de água no reservatório durante as 10 primeiras horas de escoamento. b) A taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas de escoamento. c) A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas de escoamento. 8) Um quadrado de lado l está se expandindo segundo a equação l = 2 + t², onde a variável t representa o tempo. Determinar a taxa de variação da área desse quadrado quando t = 2. 9) Suponha um corpo em movimento retilíneo tenha função horária definida por S(t) = 12t – 2t² e no instante t = 0 ele inicia o movimento. Considere o espaço medido em metros e o tempo e segundos. Determine: a) A velocidade média do corpo no intervalo de tempo [1,3]; b) A velocidade do corpo no instante t = 1; c) A aceleração média do corpo no intervalo de tempo [1,3]; d) A aceleração do corpo no instante t = 1. 10) Uma partícula em movimento retilíneo tem a função horária definida por S(t) = 2t³ - 21t² + 60t + 3. Considere o espaço medido em metros e o tempo em segundos. Determine: a) O instante que a partícula para, isto é, tem velocidade nula; b) Determine a aceleração da partícula no instante t = 4,5s. 12) Numa granja experimental, constatou-se que uma ave em desenvolvimento pesa em gramas:

P(t)

onde t é medido em dias:

a) Qual a razão de aumento do peso da ave quando t = 50? b) Quanto a ave aumentará no 51ª dia? c) Qual a razão de aumento do peso quando t= 80? 13) Uma piscina está sendo drenada para limpeza. Se o seu volume de água inicial era de 90.000 litros e depois de um tempo de t horas este volume diminuiu 2500t² litros, determinar: a) Tempo necessário para o esvaziamento da piscina. b) Taxa média de escoamento no intervalo [2,5]; c) Taxa de escoamento depois de 2 horas do início do processo.

14) Um líquido goteja em um recipiente. Após t horas, há 5t – litros no recipiente. Qual a taxa de gotejamento de líquido no recipiente, em L/hora, quando t = 16 horas? 15) Uma lata cilíndrica sem tampa superior tem volume 5 cm3. Determine as dimensões da lata, de modo que a quantidade de material para sua fabricação seja mínima.

16) Uma torneira lança água em um tanque. O volume V (litros) de água no tanque, no instante t (minutos) é dado por V(t) = 3t³ + 2t . Qual é a taxa de variação do volume de água em função do tempo no instante t = 4min? 17) Um fabricante de caixas de papelão pretende fazer caixas sem tampas a partir de folhas quadradas de cartão com área igual a 576cm2, cortando quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados para cima. Determinar o lado do quadrado que deve ser cortado para se obter uma caixa com o maior volume possível. 18) Dividindo um arame de comprimento L em duas partes, faz-se com uma das partes uma circunferência e com a outra um quadrado. Determinar o ponto em que se deve cortar o arame para que a soma das áreas geradas pelo quadrado e circunferência seja mínima. 29) Durante várias semanas, o departamento de trânsito de uma certa cidade vem registrando a velocidade dos veículos que passam por um certo cruzamento. Os resultados mostram que entre 13 e 18 horas, a velocidade média neste cruzamento é dada aproximadamente por V(t) = t³ - 10,5t² + 30t + 20 km/h, onde t é o número de horas após o meio-dia. Qual o instante, entre 13 e 18 horas, em que o trânsito é mais rápido? E qual o instante em que ele é mais lento?