SOLSOLSOLSOLParte IIIParte IIIParte IIIParte III

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ASTRONOMIA DO SISTEMA SOLAR(AGA292)

ASTRONOMIA DO SISTEMA SOLAR(AGA292)

NOTAS DE AULA - NÃO HÁ PERMISSÃO DE USO PARCIAL OU TOTAL DESTE MATERIAL PARA OUTRAS FINALIDADES.NOTAS DE AULA - NÃO HÁ PERMISSÃO DE USO PARCIAL OU TOTAL DESTE MATERIAL PARA OUTRAS FINALIDADES.

Enos PicazzioIAGUSP

Interior SolarInterior SolarInterior Solar www.hao.ucar.edu

Copyright 1996, NCAR. Last revised July 12, 1996 - P. Charbonneau

~35 dias

~25,5 dias

zona

convectiva

decresce com

latitude

converge para

valor semelhante

às latitudes médias

constante, gira

aproximadamente

como corpo sólido

RotaçãoContornos de velocidade angular

(em nanoHertz, com espaçamento de 10 nHz)

A forma exata da rotação diferencial tem consequências importantes para a geração de campos magnéticos

pelo processo de dínamo.

zona

convectiva

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Composição química

Escala de cor representa o peso molecular médio (µ - uma medida da composição química e estado de

ionização) µ = 0,5 (gás de H puro, totalmente ionizado); µ = 0,75 (gás de He puro, totalmente

ionizado).

Antes de entrar na Sequência Principal o proto-Sol tinha estrutura totalmente convectiva, portanto com

composição química homogênea (exceto poucos núcleos de Deutério, Lítio-6 e -7, Berílio-9 e Bóro-

10). Na idade-zero, o Sol tinha 70% H, 28% He e 2% de elementos mais pesados; µ (*) = 0.605.

Mudanças posteriores na composição química (H→He, 12C → 13C) alterou µ = ~0.85 no centro.

região onde a composição química

permanece inalterada pela reação

nuclear durante a vida do Sol

Pode haver gradientes

muito pequenos na

composição química

devido à migração de

elementos mais pesados

para o centro (fenômeno

mais significativo para

estrelas mais massivas).

605,028,070,062

4

YX62

4(*) =

+×+=

++=µ X≡H, Y≡He

zona

convectiva

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Densidade

Cores representam densidade normalizada em relação ao centro, em escala logarítmica.

150 g/ cc

Fotosfera: 10-7 g/cc

(< 0,1% da densidade do ar ao nível do mar)

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Distribuição de temperatura

Escala logarítmica de cores representa a temperatura normalizada relativamente ao centro.

No interior a energia viaja muito vagarosamente, assim o gradiente de temperatura é muito pequeno. Nas

partes mais externas, a densidade diminui o suficiente para que a radiação possa escapar sem

dificuldades, por isso a temperatura cai com o raio.

1,5 × 107 K

5870 K

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difusão

radiativa

convecção

Conversão

termonuclear

H → He

1,5 × 107 K

São consumidos 609.000.000 ton. de H a cada segundo

Isto já vem ocorrendo há quase 5 bilhões de anos...

e deve continuar ainda por mais outro tanto!

Geração de energia e fluxo

Produção: 1 g (H) → 6,4 × 1018 ergs

Luminosidade solar: 3,9 × 1033 ergs/s

Escala de tempo Kelvin-Helmholtz*Determina o tempo em que:

• protoestrelas colapsam até atingirem a Sequência Principal;

• estrelas da Sequência Principal evoluem em gigantes .

A energia potencial gravitacional contida no Sol pode ser calculada por:

EG = GMS2/RS [MS , RS – respectivamente, massa e raio do Sol]

Se não estivesse em equilíbrio, o Sol entraria em colapso gravitacional. A contração

aquece o gás no interior e aumenta a pressão interna. Para que a contração persista, o gás

deve perder sua energia senão a pressão interna aumenta e passa a suportar o colapso. Se

a perda de energia ocorresse na taxa atual (luminosidade), o tempo necessário para

irradiar essa energia pode ser obtido dividindo-se a energia total pela luminosidade (LS),

ou seja:

tKH = EG/LS = GMS2/RSLS

Esta é a Escala de Tempo Kelvin-Helmholtz e representa o tempo necessário para uma

estrela irradiar sua energia térmica. Para a luminosidade solar atual tKH ~ 30 milhões de

anos. Se a fusão nuclear cessasse agora, o Sol continuaria a brilhar ainda por dezenas de

milhões de anos* Em homenagem ao irlandês Lord William Thomson, Barão Kelvin (1824-

1907), e ao alemão Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (1821-1894).

(EGSOL = 4 ×1048 ergs)

tKH = 4 ×1048 ergs / 4 ×1033 ergs s-1 = 30 Ma

Equações de estado

dr

dVdPdF dAdPdF AO −=⇒×=→

2OAr

)r(GMdV)r(dF gdmdF ρ=⇒×=→

•Equação de equilíbrio hidrostático

OAAO dFdF

:Como

→→ =

2r

)r(GM)r(

dr

dP ρ−=

Considere um elemento de volume

dV sob a ação das forças:

• dFA→→→→O: força atuando no topo do

volume dV (posição r+dr),

direcionada ao centro;

• dFO →→→→A: força atuando na base do

volume dV (posição r), direcionada

à superfície.

O volume dV entrará em equilíbrio

quando as duas forças se

compensarem.

•Equação da distribuição de massa

∫ ρπ=⇒ρπ=

r

0

22 )r(r4dr

)r(dM dr)r(r4)r(M

•Equação da conservação de energia

)r(dL)r(L)drr(L =−+

massa d.gerada/uni en.)r(

)r(dM)r()r(dL mas

=ε

ε=

)r()r(r4dr

)r(dL 2 ερπ=

• Gradiente de temperatura

(a) Transporte radiativo (difusão)

energia de fluxo f

luz da veloc.c Boltzmann;-Stefande.cte

; 3

c4 massa; deid.opacid./unde coef.

r4

)r(L

)r(T

)r(

dr

dT )r(f

)r(T

)r(

dr

dT2

radrad

=

==σ

σ=β=κ

πβ

κρ−=

⇒

β

κρ−=

(b) Transporte convectivo

“a transformação deve ser adiabática”

adiab.dr

dT

dr

dT :condição ⟩

∗

) específico(calor c

c

11

P

T

dr

dP

dr

dT

V

P

.ad

=γ

γ−=

)drr(T )r(T

:adiabática ação transformna

energia de p/ transf. condição

' +⟩

adiab.

*

adad

'

dr

dT

dr

dT Combinando

drdr

dT)r(TdT)r(T)drr(T

drdr

dT)r(TdT)r(T)r(T :Então

⟩⇒

−=−=+

−=−=

∗

∗

Condição oposta estabilidade

deduzida adiante

(2) T

P

k

m :perfeito Gás

(1) gdr

dP :cohidrostáti Eq.

Hµ=ρ

−=ρ(3)

T

P

k

mg

dr

dP Hµ=−

(4) dP

P

T

dT

k

mg

dr

dT Hµ=−

V

P/1

c

c e Pcte

:adiabática é ncia transferêa Se

=γ=ρ γ

T

P

k

m como Hµ

=ρ (5a)

m

TkcteP

H

/11

µ=γ−

derivando

(5c) m

dTkcte

P

dP)/11(

H/1 µ

=γ−γ

(5b) mP

Tkcte

P

1

H/1 µ

=γ

γ/1Pisolando

dP

dT×

Dedução do gradiente adiabático

1

cte P Hm P

k T

γ µ=

HdP dT g m P dT

dr dP k T dP

µ− × = ×

HdT g m(1 1/ ) (7) ;

dr k

µ− = − γ

γ−=

11

P

T

dr

dP

dr

dT

ad

(3) P

T

dr

dP

k

mg H −=µ

lembrando que:

(6) T)/11(

dT

P

dP

γ−=

(4) dP

P

T

dT

k

mg

dr

dT Hµ=−

(5b) mP

Tkcte

P

1

H/1 µ

=γ

(5c) m

dTkcte

P

dP)/11(

H/1 µ

=γ−γ

lembrando que:

continuando

Equilíbrio hidrostático: (8a)

Conservação da massa: (8b)

Equação de estado: (8c)

Qdo:

r = 0 P = Pc, T = Tc, ρ = ρc, M = 0

r = RO P = 0, M = MO;

Calculando a temperatura central aproximada do Sol

)r(r

)r(GM

dr

dP2

ρ−=

)r(r4dr

)r(dM 2ρπ=

ρµ

ℜ==

TnkTP

2 2 4

( ) ( ) ( ) ( )

4 4

dP GM r dM r GM r dM r

dr r r dr r drπ π= − = −

∫∫∫ π−=

π−=

r

4

r

4

r

)r(dM)r(GMr4

1

r4

)r(dM)r(GMdP

[ℜ é a cte universal dos gases (no. de Avogadro × cte de Boltzmann)

ℜ = 8,3144 joule/mol K]

4O

2O

cR4

GMP

π−=−(8d)

RO, MO = raio e massa do Sol

2

2

( )

( ) 4

dP r dM r

dr GM r r drπ− × =

Equilíbrio hidrostático: (8a)

Conservação da massa: (8b)

Equação de estado: (8c)

Qdo:

r = 0 P = Pc, T = Tc, ρ = ρc, M = 0

r = RO P = 0, M = MO;

Calculando a temperatura central aproximada do Sol

)r(r

)r(GM

dr

dP2

ρ−=

)r(r4dr

)r(dM 2ρπ=

ρµ

ℜ==

TnkTP

2 2 4

( ) ( ) ( ) ( )

4 4

dP GM r dM r GM r dM r

dr r r dr r drπ π= − = −

∫∫∫ π−=

π−=

r

4

r

4

r

)r(dM)r(GMr4

1

r4

)r(dM)r(GMdP

[ℜ é a cte universal dos gases (no. de Avogadro × cte de Boltzmann)

ℜ = 8,3144 joule/mol K]

4O

2O

cR4

GMP

π−=−(8d)

RO, MO = raio e massa do Sol

ℜ

Pc ~ 9,3 × 1013 Nm-2

Teórica:

Pc ~ 2,5 × 1017 Nm-2

integrando

P (

10

11

Nm

-2)

Fração de raio solar

2

2

( )

( ) 4

dP r dM r

dr GM r r drπ− × =

(8c)

(8d)

Admitamos que ρc ≈ <ρ> :

obs.: foi utilizado ,

com X e Y representando, respectivamente, as frações em massa de hidrogênio e hélio.

⇒π

=µ

ρℜ

4O

2Occ

R4

GMT

3

O

O

cR4

M3

π=>ρ<≅ρ

K108,3R3

GMT 6

O

Oc ×≈

ℜ

µ=

61,027,071,062

4

YX62

4=

+×+=

++=µ

Calculando a temperatura central do Sol

TP nkT ρ

µ

ℜ= =

4

O

2

Oc

R4

GMP

π−=−

c4O

2O

c

R4

GMT

ρℜπ

µ=

Teórica:

Tc ~ 1,6 × 107 K

nkµ

ρℜ =

http://www.columbia.edu/~ah297/un-esa/sun/sun-chapter1.html

Modelo padrão do interior solar:X = 0.708, Y = 0.272, Z = 0.0020, ρc = 158 gcm-3, Tc = 1.57 × 107K.

• Em meados de 1800, von Helmholtz e

Kelvin propuseram a conversão de energia

gravitacional (contração lenta) como a

origem da energia solar.

• Problema: esse mecanismo manteria a

potência luminosa solar por apenas algumas

centenas de milhões de anos.

Fonte de energia solar

• No início do séc. 20, geólogos concluíram

que a Terra tinha bilhões de anos, período

10 vezes maior que o previsto para o Sol se

este fosse abastecido de energia

gravitacional proveniente da contração.

• Einstein propôs em 1905 a conversão entre

massa e energia.

• Durante a década de 1930 físicos

trabalharam na teoria de reação nuclear.

Fonte de energia solar

Núcleo do átomo de Hidrogênio (H): 1 próton

Núcleo do átomo de Hélio (He): 2 prótons + 2 nêutrons

Fusão: 4 núcleos de H são fundidos para formar um núcleo de He

4 H →→→→ He:

4 H: 4 ×××× 1,0080 uma = 4,0320 uma (unidade de massa atômica = 1,67××××10-27 kg)

1 He: = 4,0026 uma

diferença de massa: 0,0294 uma (0,7%; 0,0294 / 1,0080 = 0,007)

Energia liberada em cada reação:

E = m××××c2 = 0,0294 uma ×××× 1,67××××10-27 kg ×××× (3××××108 m/s)2 = 4××××10-12 joules/reação

Taxa de ocorrência de reações:

Taxa = Luminosidade solar (potência) / Energia de cada reação:

Luminosidade solar = 4 x 1026 watts (joules/segundo)

Taxa = (4××××1026 joules/segundo) / (4××××10-12 joules/reação) = 1××××1038 reações/segundo

Reações Nucleares no Sol

Massa solar: MS = 2××××1030 kg

Apenas 10% dela está sob elevada densidade e temperatura para provocar a fusão,

logo a massa disponível para fusão será:

MF = 0,1××××(2××××1030) kg = 2××××1029 kg

Desta massa disponível, apenas 0,007 será convertida em energia; portanto a

massa disponível para conversão em energia será:

MC = 0,007××××(2××××1029) kg = 1,4××××1027 kg

e a energia disponível para conversão será:

EC = MC ×××× c2 = 1,4××××1027 kg ×××× (3××××108 m/s)2 = 1,3××××1044 joules

Tempo de vida do Sol = Energia disponível para conversão / Potência de

energia do Sol (Luminosidade) :

TV = EC / LS = 1,3××××1044 joules / 4××××1026 joules/seg = 3,2××××1017 seg

TV ~ 10 bilhões de anos

O Sol tem cerca de 4,6 bilhões de anos. Está na metade de sua vida

Reações Nucleares no Sol

Geração de energia

1433

312

211

H2HeHeHe

HeHD Mev) (25

eDHH proton -proton

+→+

γ+→+

ν++→+ +

48

88417

81777

743

He2Be

eBeBe He2HLi

BHBeou LieBe

BeHeHe

:0.015%)(acontecer podendo

→

ν++→→+

γ+→+ν+→+

γ+→+

≈

+

−

412115

1515

15114

14113

1313

13112

HeCHN

eNO

OHN

NHC

eCN

NHC CNO

+→+

ν++→

γ+→+

γ+→+

ν++→

γ+→+

+

+

)nitrogênio (carbonode fração X

massa)(por hidrogêniode fração X

alidadeproporcion de ctes :onde

TX X)cno(

TX)pp( :Taxas

cno

0

162cno0cno

4220pp

+=

=

=ε

ρε=ρε

ρε=ρε

"convertidafossemassaatodase"

),HeH para (tempo anos 10T

erg104 L

g101,67 M

g102M :onde

L

MeV 6M

M

T

MeV 6geraproton 1 de conversão

11vida

33sol

24-H

33sol

sol

H

sol

vida

→≈

×=

×=

×=

×

=

Opacidade

(total) (b-f) (f-f) (e)

onde: (b-f) transição ligado-livre (a mais importante)

(f-f) transição livre-livre

(e) espalhamento Thomson (eletrons)

ν ν ν ν

ν

ν

ν

κ κ κ κ

κ

κ

κ

= + +

=

=

=

1/3 )t/g( :Solp/

massa)(por pesados elem. fração Z

10) a 1(~ corte defator t

1)( médioGaunt defator g

T)X1(Z

t

g4.10f)-b(

5.3

25

≈><

≡

≡

≈>≡<

ρ+

><≈κν

b = “bound” , f = “free”

Ionização

( )

Boltzmann de constante k

Planck de constante h

elétron do massa m

elétrons de numérica dens. N

ionização de potencial

oestatístic peso g

elétrons i"" com íons de numérica dens. N

eh

kTm2

g

g

N

2

Ni

N

:Saha de Equação

e

e

i

i

i

kT/

3

2/3e

i

1i

e

1-i i

=

=

=

=

=χ

=

=

π= χ−−

pesados elementosZ

HeY

HX

:onde

Z2

1Y

4

3X2 :médiomolecular peso

mZ

2

1Y

4

3X2N :numérica dens.

1

H

→

→

→

++=µ

ρ

++=

−

ionizados ~ elementos k10T :solarinterior 7 →≈

Tempo de evolução até a Sequência Principal

1.000.000.000M50.2

100.000.000K80.5

30.000.000G21

8.000.000A42

1.000.000B84

300.000B310

30.000O630

Tempo p/ S.P. (anos)TipoMassa (sol)

trilhões0.1

9 bilhões1

1.6 bilhão1.5

350 milhões3

25 milhões10

5 milhões30

2 milhões60

Tempo de vida na S.P.Massa (sol)

Longevidade na Sequência Principal

T ≈≈≈≈ 1010 / M2 anos

frequênciasólido .ângtempoárea

energiaB

KematemperaturT

Boltzmann) de (cte K/J101.38k

luz) da (veloc. s/km103c

Planck) de (cte s.J1063.6h

frequência

1)kT/hexp(

1

c

h2)T(B

23-

5

34

2

3

×××≡

=

×=

×=

×=

=ν

−ν

ν=

ν

−

ν

Intensidade monocromática de um corpo negro

(fun(funçção de Planck):ão de Planck):

normal à superfície

ângulo sólido

área na superfície

área projetada

na direção θ

linha de visada

1)kT/hcexp(

1hc2)T(B

dBc

)c

(dBdBdB

:conserva se integradaenergiaae"c"Como

1)kT/hexp(

1

c

h2)T(B

5

2

2

2

3

−λλ=

λλ

=λ

=ν=λ

λ×ν=

−ν

ν=

λ

νννλ

ν

Intensidade monocromática de um corpo negro

××× frequênciasólido .ângtempoárea

energia

××× ondade.comprsólido .ângtempoárea

energia

(relação entre Bλ e Bν)

)T(BF :icomonocromát Fluxo νν π=

tempoárea

energiaFluxo

×≡

Lei de Wien: descreve o comprimento de

onda do máximo da curva de Planck. Para

λ em cm e T em K, ela é escrita como:

T

2898,0max =λ

σ= 5,67 ×10-8 W/m2K4 (cte de Stefan-Boltzmann)

∫∞

ν σ=νπ=

0

4Td)T(BF :obolométric Fluxo

Lei de Stefan-Boltzmann: a energia irradiada de um corpo negro, por unidade de área e de tempo, é proporcional à 4a. potência de T, ou seja: E = σT4

Luminosidade: (área) × (energia por unid. de área): L = 4πR2 × σT4

)T(BF :icomonocromát Fluxo νν π=

tempoárea

energiaFluxo

×≡

Lei de Wien: descreve o comprimento de

onda do máximo da curva de Planck. Para

λ em cm e T em K, ela é escrita como:

T

2898,0max =λ

σ= 5,67 ×10-8 W/m2K4 (cte de Stefan-Boltzmann)

∫∞

ν σ=νπ=

0

4Td)T(BF :obolométric Fluxo

Lei de Stefan-Boltzmann: a energia irradiada de um corpo negro, por unidade de área e de tempo, é proporcional à 4a. potência de T, ou seja: E = σT4

Luminosidade: (área) × (energia por unid. de área): L = 4πR2 × σT4

fluxo de corpo negro emergente:

θ=µ

π=µµυπ=

=µµµπ=µµµΩ=

υυ

−−

π

∫

∫∫∫

cos

)T(Bdd)T(B2

d)(I2d)(IdF

1

0

1

1

1

1

2

0

CN

fluxo total:

4

00

CN Td)T(Bd)(F σ=υπ=υυ ∫∫∞

υ

∞

Referências

• Zeilik, Astronomy: The Evolving Universe

• Astronomy magazine, August 1997

• http://sohowww.nascom.nasa.gov

• http://umbra.gsfc.nasa.gov/images/latest.html

• http://nssdc.gsfc.nasa.gov/photo_gallery/

photogallery-solar.html

• http://ie.lbl.gov/education/glossary/glossaryf.htm