PR IME 1 - CURSO pHProfessor Matheus SeccoASSUNTO 2: DESIGUALDADES1) INTRODUO:Neste tpico, estudaremos as relaes de ordem entre os nmeros reais e veremos desigualdades importantes, como a desigualdade entre as mdias aritmtica e geomtrica.2) RELAO DE ORDEM:Podemos dividir o conjunto dos nmeros reais em trs partes: os nmeros positivos, o zero e os nmeros negativos. Temos os seguintes axiomas:i) A soma de dois nmeros positivos positiva.ii) O produto de dois nmeros positivos positivo.iii) Um nmero negativo se seu oposto positivo.A partir disso, podemos concluir que o produto de dois negativos positivo e tambm que o produto de um positivo por um negativo um negativo.Agora, podemos introduzir a relao de ordem nos nmeros reais: diremos que a > b se a diferena a b positiva. Com isso, temos as seguintes propriedades:P1) Transitividade: se a > b e b > c, ento a > cP2) Se a > b, ento a + c > b + cP3) Se a > b e c > d, ento a + c > b + d (Cuidado! No podemos subtrair inequaes!)P4) Se a > b e c > 0, ento ac > bc. Por outro lado, se c < 0, ento ac < bc.

P5) Se a > 0, ento

P6) Se a e b tm mesmo sinal e , ento

P7) Se a > b e a e b so positivos, ento (NO PODEMOS ELEVAR AO QUADRADO QUANDO NO SOUBERMOS SE OS NMEROS SO POSITIVOS!)3) A DESIGUALDADE FUNDAMENTAL:A desigualdade que veremos a seguir bastante simples; entretanto, podemos fazer aplicaes delas extremamente teis.

TEOREMA: Se x real, ento .

COROLRIO: Se so reais tais que , ento .EXERCCIOS BLOCO 1:1) Prove as propriedades P1, P2, P3, P4, P5, P6 e P7.

2) Compare os nmeros e .3) So dados 10 nmeros reais tais que a soma de quaisquer 4 deles positiva. Mostre que a soma dos 10 nmeros positiva.

4) (IME 09) Sejam nmeros inteiros positivos tais que . Considere as seguintes afirmaes:

I.

II.

III.

IV. O nmero total de afirmaes que esto corretas :a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4

5) Compare os nmeros e

6) Sejam os lados de um tringulo retngulo, sendo a hipotenusa. Compare os nmeros e .

7) Sejam reais positivos. Prove que, dentre as desigualdades , ao menos uma falsa.

8) Compare os nmeros e .

9) Sejam a < b < c < d nmeros reais tais que . Quem maior: ad ou bc?

10) Prove que se , ento x = y = z = w.

11) Prove que se x real positivo, ento .

12) Prove que se x e y so nmeros reais, ento .13) (OBM 14) Assinale a alternativa que apresenta o maior dos cinco nmeros:

a)

b)

c)

d)

e)

14) (OBM 11) Sendo a e b reais pertencentes ao intervalo [0,1], o maior valor que pode assumir a) 0b) 1/4c) 1/3d) 1/2e) 1

15) Determine a soma de todos os nmeros reais x e y tais que .

16) Se a, b e c so reais, prove que .

17) Se so reais positivos, prove que .

18) Se so reais, prove que .

19) Se so reais tais que , prove que .

20) Sejam reais tais que e . O valor de :a) 14b) 21c) 28d) 35e) 493) DESIGUALDADES ELEMENTARES:

Para nmeros reais , definimos:

Temos ento o seguinte teorema, conhecido como desigualdade entre as mdias:

(TEOREMA) Se so reais positivos, ento:

A igualdade entre qualquer uma destas desigualdades ocorre se, e somente se, .Alm da desigualdade entre as mdias, outra desigualdade bastante importante a desigualdade de Cauchy-Schwarz.

(CAUCHY-SCHWARZ) Sejam e nmeros reais. Ento verdade que , com igualdade se, e somente se, .Por ltimo, uma forma bastante til de se escrever a desigualdade de Cauchy :

(LEMA DE TITU) Se so nmeros reais e so nmeros reais positivos, ento

,

com igualdade se, e somente se, .EXERCCIOS BLOCO 2:

1) Sendo x, y, z e w reais positivos, determine o valor mnimo da expresso .

2) Para , determine o valor mnimo de .

3) Sejam reais positivos tais que . Prove que .

4) Prove que para a real.

5) Sejam e reais positivos tais que . Prove que .

6) Sejam reais positivos. Mostre que .

7) Sejam reais positivos. Mostre que .

8) (Nesbitt) Sejam reais positivos. Mostre que .

9) Sejam reais positivos. Mostre que .

10) (Leningrado) Sejam reais positivos. Mostre que .

11) Sejam reais tais que

Determine o valor mnimo de e.

12) (OBM 01) Sejam reais positivos. Mostre que

13) Sejam a, b, c, d reais positivos. Mostre que

14) (OBM 07) No tringulo ABC, AD a altura relativa ao lado BC. Se AB = DC = 1, determine a rea mxima do tringulo ABC.

15) (EFOMM 10) Sejam reais positivos tais que . Determine o valor mnimo da expresso .16) Qual o nmero positivo cujo quadrado excede seu cubo da maior quantidade possvel?17) Sejam x, y, z reais positivos. Mostre que

18) (IME 01) Considere um paraleleppedo de lados a, b e c e rea total . Determine o volume mximo deste paraleleppedo em funo de .

19) Seja n um inteiro positivo maior do que 1. Prove .

20) Sejam a e b reais positivos. Prove que

21) (IMO 95) Sejam reais positivos tais que . Mostre que