Multi

Árvores EquilibradasÁrvores Equilibradas

SumárioSplay

B-tree

Vermelho-Preto

AA e BB

Multidimensionais

quaternárias

k-d

Pesquisa Lexicográfica

tries multivia

tries binárias

PATRICIA

Multi

Árvores QuaternáriasÁrvores Quaternárias Problema: conjuntos de pontos bidimensionais

pesquisa binária está na origem da árvore de pesquisa binária

pesquisa quaternária

conjunto de pontos vistos como pontos de um plano ponto de divisão é escolhido e divide o plano em 4 quadrantes

a

c

b

hf

e

d

q

g

Multi

Pesquisa quaternáriaPesquisa quaternária Ordenação dos pontos

na pesquisa binária, garante divisão a meio do número de pontos em cada passo

na pesquisa quaternária, não há ordenação que garanta a divisão por quatro

conjunto de pontos vistos como pontos de um plano ponto de divisão é escolhido e divide o plano em 4 quadrantes

Conjunto desfavorável

qualquer divisão resulta em 2 quadrantes vazios

melhor que se pode garantir é a divisão a meio do número de pontos em cada passo

Minimax na escolha do ponto de divisão

minimizar, para todas as divisões possíveis, o número máximo de pontos em qualquer dos 4 quadrantes

ordenar pontos por x e por y e escolher o ponto na mediana

Multi

Pesquisa quaternáriaPesquisa quaternária Algoritmo de minimax

linear: em cada passo examina todos os pontos para excluir os que não são do quadrante

para melhorar pesquisa: construir árvore multivia

4 filhos em cada nó, 1 por quadrante nó interno tem 1 ponto

a

f h e b

g c d

Multi

Construção de Árvores QuaternáriasConstrução de Árvores Quaternárias Pode garantir-se árvore com altura logarítmica no número de pontos

ordenar pontos: por coordenada x, dentro desta por coordenada y

divisão do conjunto de pontos a meio pela mediana, e de novo a meio em cada metade

partição seguinte é em cada um dos subconjuntosaltura logarítmica resulta da redução dos pontos pelo menos a metade em cada partição

Eficiência em árvores quaternárias

Construção: O(N log N)

Pesquisa de gama de valores: O(M + N) com árvore de altura logarítmica

Multi

Árvores k-dÁrvores k-d Árvore 2-d - melhor divisão em 4 dos conjuntos de pontos que a quaternária

decisão na árvore tomada alternadamente usando a coordenada x e a coordenada y

casos desfavoráveis não são os mesmos da árvore quaternária

a

c

b

hf

e

d

q

g

2

2

3

3

3

3

4

1

Multi

Árvore 2-dÁrvore 2-d Construção

determinar mediana em x e partir conjunto de pontos

continuar sobre cada subconjunto independentemente

comparações em x usam pares de coordenadas, em y os pares inversos

a

f

b

c

e d hg

x

y

x

y

Multi

Árvore 2-dÁrvore 2-d Caso desfavorável na árvore quaternária

árvore 2-d equilibrada

e

c

a

g

b f hd

ab

cd

e

f

g

h

Multi

Árvores k-dÁrvores k-d Generalização para elementos k-dimensionais

ordenação usa 1 atributo de cada vez

Equilíbrio - difícil de garantir

Generalização para elementos k-dimensionais

ordenação usa 1 atributo de cada vez

Equilíbrio - difícil de garantir, solução é reorganização periódica

Pesquisas típicas: sobre gamas de valores em cada dimensão

Eficiência da árvore 2-d

inserção ou pesquisa exacta: O(logN) em média (profundidade logarítmica), O(N) no pior caso

pesquisa de gamas de valores: dependem do tamanho do resultado

pesquisa de gama em árvore equlibrada: O(M + N) no pior caso

M tamanho da resposta pior caso é percorrer árvore com metade da altura

Eficiência da árvore k-d

em árvore equilibrada, pesquisa de gama é no pior caso O(M + k N1 -1/k)