Aritmética dos Restos

Professor Alberto CunhaPROFMAT – UFPI

Seduc - Ce

Motivação O resto da divisão de 1212 por 5 é?

Qual o algarismo da unidade do número 799999?

Qual é o número que deixa restos 2, 3 e 2 quando dividido, respectivamente, por 3, 5 e 7?

Algoritmo da DivisãoDivisão Euclidiana: Sejam a e b dois números naturais com 0 < a < b. Existem dois únicos números naturais q e r tais que

b = a · q + r, com r < a.

O número b é chamado dividendo, o número a divisor, os números q e r são chamados, respectivamente, quociente e resto da divisão de b por a.

DivisibilidadeDados dois números naturais a e b com ,

diremos que a divide b, escrevendo a|b, quando existir c natural tal que b = a · c. Neste caso, diremos também que a é um divisor ou um fator de b ou, ainda, que b é um múltiplo de a.

Congruências Seja m um número natural diferente de zero.

Diremos que dois números naturais a e b são congruentes módulo m se os restos de sua divisão euclidiana por m são iguais. Quando os inteiros a e b são congruentes módulo m, escreve-se

CongruênciasRelação de equivalência.

Compatibilidade com a soma;

Compatibilidade com produto;

Potência;

Cancelamento com relação a adição;

Cancelamento com relação ao produto.

Pequeno Teorema de FermatDado um número primo p, tem – se que p divide o número , para todo

Pequeno Teorema de FermatCom a notação de congruências, o Pequeno Teorema de Fermat se enuncia como se segue:

Se p é número primo e , então

Além disso, se p não divide a, então

Aplicações(ENC 98) O resto da divisão de 1212 por 5 é:

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

(E) 4

AplicaçõesAche o resto da divisão 2100 por 11.

Ache o resto da divisão (116 + 1717 )21 por 8.

Aplicações

AplicaçõesAche o resto da divisão por 17 do número

S = 116 + 216 + 316 + ... + 8516.

AplicaçõesSabendo que 74 = 2401, ache os algarismos da dezena e da unidade do número 799999.

Teorema Chinês dos RestosNo primeiro século da nossa era, o matemático chinês Sun-Tsu propôs o seguinte problema:

Qual é o número que deixa restos 2, 3 e 2 quando dividido, respectivamente, por 3, 5 e 7?

Quando um macaco sobe uma escada de dois em dois degraus, sobra um degrau, quando sobe de três em três degraus, sobram dois degraus e quando sobe de cinco em cinco degraus, sobram três degraus. Quantos degraus possui a escada, sabendo que o número de degraus está entre 150 e 200 ?

Aplicações

Dispomos de uma quantia de x reais menor do que 3000. Se distribuirmos essa quantia entre 11 pessoas, sobra um real; se a distribuirmos entre 12 pessoas, sobram dois reais, e se a distribuirmos entre 13 pessoas, sobram 3 reais. De quantos reais dispomos?

Sugestão: Pode ser útil utilizar o seguinte fato: c é solução da congruência ay b mod m se, e somente se, c é solução da

congruência ry b mod m, onde r é o resto da divisão de a por m.

Aplicações

“Quando chegar ao seu limite integra para DEUS,

porque Dele tudo deriva.”

Obrigado pela atenção!