Área de uma Superfície de Revolução - UNEMAT – Campus...
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Área de uma Superfície de Revolução
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
3
1. Introdução
Uma superfície de revolução é formadaquando uma curva é girada ao redor de uma reta.Essa superfície é a fronteira lateral de um sólidode revolução.
Queremos definir a área da superfície derevolução de maneira que ela corresponda à nossaintuição. Se a área da superfície for A, podemospensar que para pintar a superfície serianecessário a mesma quantidade de tinta que parapintar uma região plana com área A.
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1. Introdução
Vamos começar com algumas superfíciessimples. A área da superfície lateral de um cilindrocircular com raio r e altura h é tomada comoA = 2πrh porque podemos nos imaginar cortando ocilindro e desenrolando-o para obter um retângulocom as dimensões 2πr e h, como na figura abaixo.
5
1. Introdução
Da mesma maneira, podemos tomar um conecircular com a base de raio r e a geratriz l, cortá-lo ao longo da linha pontilhada na figura a seguir eachatá-lo para formar o setor de um círculo comraio l e ângulo central θ = 2πr/l.
6
1. Introdução
Sabemos que, em geral, a área de um setorde um círculo com raio l e ângulo θ é
212
A l= θ
Assim, nesse caso a área é
2 21 1 22 2
rA l l rl
l = = =
πθ π
7
1. Introdução
Que tal superfícies de revolução maiscomplicadas? Se seguirmos a estratégia queusamos com o comprimento de arco, podemosaproximar a curva original por um polígono.
Quando esse polígono é girado ao redor deum eixo, ele cria uma superfície mais simples, cujaárea da superfície se aproxima da área dasuperfície real. Tomando o limite podemosdeterminar a área exata da superfície.
8
1. Introdução
A superfície aproximadora, então, consisteem faixas, cada qual formada pela rotação de umsegmento de reta ao redor de um eixo. Paradeterminar a área da superfície, cada uma dessasfaixas pode ser considerada como uma porção deum cone circular, como mostrado na figura aseguir.
9
1. Introdução
A área da faixa (outronco de um cone), comgeratriz l e raios superior einferior r1 e r2, respectiva-mente, é calculada pela sub-tração das áreas dos doiscones:
( )2 1 1 1A r l l r l= + −π π
( )2 1 1 2A r r l r l = − + π
10
1. Introdução
Pela similaridade de triângulos temos
1 1
1 2
l l lr r
+=
o que resulta em
( )2 1 1 1 1 2 1 1 1 ou r l r l r l r r l r l= + − =
11
1. Introdução
Como
resulta em
( )2 1 1 2A r r l r l = − + π
[ ]1 2 ou 2A r l r l A rl= + =π π
onde
( )1 2 é o raio médio da faixa1
2
r r r= +
12
1. Introdução
Agora aplicamos essa fórmula à nossaestratégia. Considere a superfície mostrada nafigura a seguir, obtida pela rotação da curvay = f(x), a ≤ x ≤ b, ao redor do eixo x, onde f épositiva e tem uma derivada contínua.
14
1. Introdução
Para definir sua área de superfície,dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos comos extremos x0, x1, …, xn e larguras iguais a ∆x,como fizemos para determinar o comprimento dearco.
Se yi = f(xi), então o ponto Pi (xi, yi) estásobre a curva. A parte da superfície entre xi-1 e xipode ser aproximada tomando-se o segmento dereta Pi-1Pi e girando-o ao redor do eixo x.
15
1. Introdução
O resultado é uma faixa (um tronco de cone)com geratriz
1i il P P−=
e raio médio
( )1 2
12
r r r= +
16
1. Introdução
Portanto, a área da superfície pode serreescrita como
112 2
2i i
i i
y yA rl P P−
−+= =π π
17
1. Introdução
Relembrando a aula anterior
( ) 2*
1 1i i iP P f x x− ′= + ∆
onde xi* é algum número em [xi-1, xi]. Quando ∆x é
pequeno, temos yi = f(xi) ≈ f(xi*) e também
yi-1 = f(xi-1) ≈ f(xi*), uma vez que f é contínua.
18
1. Introdução
Portanto
( ) ( ) 2* *1
12 2 12
i ii i i i
y yP P f x f x x−
−+ ′≈ + ∆ π π
e então uma aproximação para a área da superfíciecompleta de revolução é:
( ) ( ) 2* *
1
lim 2 1n
i ini
f x f x x→∞ =
′+ ∆ ∑ π
19
1. Introdução
Essa aproximação torna-se melhor quandon → ∞ e, reconhecendo a expressão anterior comouma soma de Riemann para a função
[ ]2( ) 2 ( ) 1 ( )g x f x f x′= +π
temos
( ) ( ) [ ]2 2* *
1
lim 2 1 2 ( ) 1 ( )bn
i ini a
f x f x x f x f x dx→∞ =
′ ′+ ∆ = + ∑ ∫π π
20
1. Introdução
Portanto, no caso onde f é positiva e temuma derivada contínua, definimos a área dasuperfície obtida pela rotação da curva y = f(x),a ≤ x ≤ b, ao redor do eixo x como
[ ]22 ( ) 1 ( )
b
a
S f x f x dx′= +∫ π
21
1. Introdução
Com a notação de Leibniz para as derivadas,essa fórmula torna-se
2
2 1b
a
dyS y dx
dx = +
∫ π
22
1. Introdução
Se a curva é descrita como x = g(y), c ≤ y ≤ d,então a fórmula para a área da superfície torna-se
2
2 1b
a
dxS y dy
dy = +
∫ π
23
1. Introdução
Ou, de forma alternativa, as fórmulasanteriores podem ser resumidas simbolicamenteusando-se a notação para o comprimento de arcodada na aula anterior.
2S y ds= ∫ π
Pela rotação ao redor do eixo y, a fórmulada área da superfície se torna
2S x ds= ∫ π
25
1. Introdução
Essas fórmulas podem ser lembradaspensando-se em 2πy ou 2πx como a circunferênciade um círculo traçada pelo ponto (x, y) na curva egirada ao redor do eixo x ou do eixo y,respectivamente.
(a) Rotação ao redor do eixo x (b) Rotação ao redor do eixo y
2S y ds= ∫ π 2S x ds= ∫ π
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2. Resolução de exemplos
Exemplo 1: A curva
24 1 1y x x= − − ≤ ≤
é um arco do círculo x2 + y2 = 4. Determine a áreada superfície obtida pela rotação desse arco aoredor do eixo x. (A superfície é uma porção de umaesfera de raio 2, conforme mostra a figura aseguir).
29
2. Resolução de exemplos
Portanto:
21
1
2 1dy
S y dxdx−
= +
∫ π
1 22
21
2 4 14
xS x dx
x−
= − +−∫π
1 2 22
21
42 4
4x x
S x dxx−
− += −−∫π
31
2. Resolução de exemplos
Exemplo 2: O arco da parábola y = x2 de (1, 1) para(2, 4) é girado ao redor do eixo y. Determine aárea da superfície resultante.
33
2. Resolução de exemplos
Portanto:
22
1
2 1dy
S x dxdx = +
∫ π
22
1
2 1 (2 )S x x dx= +∫π
22
1
2 1 4S x x dx= +∫π
34
2. Resolução de exemplos
Substituindo u = 1 + 4x2, temos du = 8x.
22
1
12 1 4 8
8S x xdx= ⋅ +∫π
1717 173 32 2
555
24 4 3 6
S u du u u = = = ∫
π π π
Quando x = 1, u = 5, e quando x = 2, u = 17.
( )17 17 5 56
S = −π
36
2. Resolução de exemplos
Portanto:
24
1
2 1dx
S x dydy = +
∫ π
24
1
12 1
2S y dy
y
= +
∫π
4
1
12 1
4S y dy
y= +∫π
37
2. Resolução de exemplos
4
1
4 12
4y
S y dyy+= ∫π
4
1
12 4 1
2S y y dy
y= ⋅ +∫π
4
1
4 1S y dy= +∫π
38
2. Resolução de exemplos
Substituindo u = 1 + 4y, temos du = 4dy.
Quando y = 1, u = 5, e quando y = 4, u = 17.
4
1
4 1 44
S y dy= + ⋅∫π
4
14S u du= ∫
π
( )17 17 5 56
S = −π
39
2. Resolução de exemplos
Para verificar nossa resposta no Exemplo 2,veja pela figura abaixo que a área da superfíciedeve ser próxima à área de um cilindro circularcom a mesma altura e raio na metade entre o raiosuperior e o inferior da superfície.
( )17 17 5 5 30,856
S = − ≈π
2 (1,5) (3) 28,27S = ⋅ ⋅ ≈π
40
2. Resolução de exemplos
Alternativamente, a área da superfície deveser ligeiramente maior que a área de um tronco deum cone com as mesmas bordas superior e inferior
( )17 17 5 5 30,856
S = − ≈π
2 2 (1,5) ( 10) 29,80S rl= = ⋅ ⋅ ≈π π
41
2. Resolução de exemplos
Exemplo 3: Determine a área da superfície geradapela rotação da curva y = ex, 0 ≤ x ≤ 1, ao redor doeixo x.
43
2. Resolução de exemplos
Portanto:
21
0
2 1dy
S y dxdx = +
∫ π
12
0
2 1 ( )x xS e e dx= +∫π
12
0
2 1 x xS e e dx= +∫π
44
2. Resolução de exemplos
Substituindo u = ex, temos du = ex dx.
2
1
2 1e
S u du= +∫π
Quando x = 0, u = 1, e quando x = 1, u = e.
Lembrando que:
( )22 2 2 2 2 2ln
2 2u a
a u du a u u a u C+ = + + + + +∫