CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

CENTRO EDUCACIONAL MARAPENDI – CEMP

GEOMETRIA – Prof. Clovis Reis

ARCOS E ÂNGULOS DE UMA CIRCUNFERÊNCIA

CIRCUNFERÊNCIA e CÍRCULO

ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA

TIPOS DE ARCOS

ÂNGULO CENTRAL

MEDIDA E COMPRIMENTO DE ARCO

MEDIDA DE UM ARCO – é a medida angular.

COMPRIMENTO DE UM ARCO – é a medida linear.

Exemplo: 60o

Exemplo: 20 cm

A medida de um arco é igual à medida do ângulo central.

UNIDADES DE MEDIDAS DE ARCOS E ÂNGULOS

GRAU – é definido dividindo-se uma circunferência em 360 partes iguais entre si.Cada uma dessas partes, equivalentes a 1/360 da circunferência, corresponde aum arco de um grau e é representada por 1o.

O grau é a unidade derivada de um dosmais antigos sistemas de unidades deque se tem registro – o sistema sexage-simal, criado pelos babilônicos em tornode 4000 a.C.

UNIDADES DE MEDIDAS DE ARCOS E ÂNGULOS

RADIANO – é a unidade de medida de ângulo que corresponde ao ângulo centralsubtendido por um arco de circunferência cujo comprimento seja igual ao raiodesta mesma circunferência.

Comprimento do arco (AB) = R

m(AB) = 1 radiano

= m(AB) = 1 rad

RELAÇÃO ENTRE GRAUS E RADIANOS

Como sabemos, o comprimento C de uma circunferência de raio de medida r é:

C = 2r

Isso significa que o raio “cabe” 2 vezes nesse comprimento.

Assim, um arco de comprimento igual a r (1r) mede 1 rad; um arco de comprimentoigual a 2r mede 2 rad, etc.; então um arco de comprimento igual a 2r (voltacompleta) mede 2 rad.

Conclui-se, então, que 2 rad e 360o são correspondentes.

TRANSFORMAÇÕES DE:

1º) GRAUS EM RADIANOS: utiliza-se uma regra de três simples e direta.

Exemplo

1) Um arco mede 30o. Qual é a medida desse arco em radianos?

Podemos estabelecer uma regra de três simples:

Então,

Resp.: O arco mede /6 rad.

2º) RADIANOS EM GRAUS: substitui-se o “” por “180o” e efetua-se as operaçõesque forem indicadas.

Exemplo2) Em uma circunferência, um ângulo central mede /4 radianos. Quanto medeesse ângulo em graus?

Podemos substituir o por 180o e efetuarmos:

Então, /4 rad = 180o/4 = 45o

Resp.: O arco mede 45o .

Exemplo

3) Quanto mede, em graus, um arco de 1 radiano?

Podemos estabelecer uma regra de três simples, lembrando que 3,14:

Então,

Resp.: O arco de 1 rad mede 57,3o ou 57o 18’.

OBSERVAÇÃO:

Quando a unidade de medida de um arco vier suprimida, ficaconvencionado que se trata do radiano. Assim, por exemplo,quando dizemos que um arco AB mede /4, estamos dizendoque o arco AB mede /4 radianos.

Quando medimos o comprimento de um arco, a unidade de medida é amesma do raio: metro, centímetro, milímetro, etc.

Sabendo que em uma volta completa a medida do arco é 2 radianos eo comprimento é 2r, portanto pode-se fazer a seguinte relação:

COMPRIMENTO DE UM ARCO

4) Quanto mede, em radianos, o arco AB, contido em uma circunferência de raio3 cm e cujo comprimento é 4,5 cm?

Exemplo

Dados: = ?r = 3 cmℓ = 4,5 cm

ℓ = . r

Resp.: O arco mede 1,5 rad.

5) Qual é o comprimento de um arco de 72o sobre uma circunferência de raio 8 cm?

Exemplo

Dados: = 72o

r = 8 cmℓ = ?

Resp.: O comprimento do arco é de 10,048 cm.

(i) Expressar 72o em radianos:

(ii) Calcular o comprimento do arco:

FIM