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Arcos na Circunferência
1. (Uerj 2015) Um tubo cilíndrico cuja base tem centro F e raio r rola sem deslizar sobre um obstáculo com a forma de um prisma triangular regular. As vistas das bases do cilindro e do
prisma são mostradas em três etapas desse movimento, I,II e III, nas figuras a seguir.
Admita que:
- as medidas do diâmetro do círculo de centro F e da altura do triângulo ABC são
respectivamente iguais a 2 3 decímetros;
- durante todo o percurso, o círculo e o triângulo sempre se tangenciam.
Determine o comprimento total, em decímetros, do caminho descrito pelo centro F do círculo que representa a base do cilindro. 2. (Uea 2014) Caminhando 100 metros pelo contorno de uma praça circular, uma pessoa descreve um arco de 144°. Desse modo, é correto afirmar que a medida, em metros, do raio da circunferência da praça é a) 125π
b) 175
π
c) 125
π
d) 250
π
e) 250π
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3. (Fgv 2013) Na figura, AB e AE são tangentes à circunferência nos pontos B e E,
respectivamente, e ˆBAE 60 .
Se os arcos BPC, CQD e DRE têm medidas iguais, a medida do ângulo ˆBEC, indicada na
figura por ,α é igual a
a) 20° b) 40° c) 45° d) 60° e) 80° 4. (Uem 2013) Considere uma circunferência de centro O e raio 2 u.c. Sejam A, B, C, D e E
pontos sobre essa circunferência, nesta ordem, e tais que AD e BE sejam diâmetros. Assinale o que for correto. 01) Os triângulos ABD e ACD são triângulos retângulos. 02) O quadrilátero ABDE é um retângulo. 04) A área do triângulo ACD é maior do que 4 u.a.
08) A medida do ângulo ˆAEB é a metade da medida do ângulo ˆEOD.
16) A área do quadrilátero ABDE é maior do que 3
4 da área do círculo.
5. (G1 - cftmg 2013) Considere três circunferências de raio unitário e de centros A, B e C, conforme a figura.
Dessa forma, o perímetro da região sombreada, em unidades de comprimento, é
a) .3
π
b) .2
π
c) .π d) 2 .π
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6. (Insper 2013) Ao projetar um teatro, um arquiteto recebeu o seguinte pedido da equipe que
seria responsável pela filmagem dos eventos que lá aconteceriam: “É necessário que seja construído um trilho no teto ao qual acoplaremos uma câmera de controle remoto. Para que a câmera não precise ficar mudando a calibragem do foco a cada movimentação, o ângulo de abertura com que a câmera captura as imagens do palco deve ser sempre o mesmo, conforme ilustração abaixo. Por exemplo, dos pontos P1 e P2 a câmera deve ter o mesmo ângulo de abertura α para o
palco.”
Das propostas de trilho a seguir, aquela que atende a essa necessidade é
a) b)
c) d)
e)
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7. (G1 - cftmg 2013) Um hexágono regular de área 12 cm2 e de centro P foi pintado em duas
tonalidades, conforme a figura.
A área pintada na tonalidade mais clara, em cm
2, é
a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. 8. (Enem 2012) Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua localização geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de Posicionamento Global) com longitude de 124° 3’ 0” a leste do Meridiano de Greenwich. Dado: 1° equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”.
PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado) A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude da forma decimal é a) 124,02°. b) 124,05°. c) 124,20°. d) 124,30°. e) 124,50°. 9. (Enem PPL 2012) Durante seu treinamento, um atleta percorre metade de uma pista circular de raio R, conforme figura a seguir. A sua largada foi dada na posição representada pela letra L, a chegada está representada pela letra C e a letra A representa o atleta. O segmento LC é um diâmetro da circunferência e o centro da circunferência está representado pela letra F. Sabemos que, em qualquer posição que o atleta esteja na pista, os segmentos LA e AC são
perpendiculares. Seja θ o ângulo que o segmento AF faz com segmento FC.
Quantos graus mede o ângulo θ quando o segmento AC medir R durante a corrida? a) 15 graus b) 30 graus c) 60 graus d) 90 graus e) 120 graus
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10. (Mackenzie 2012) Na figura, se a circunferência tem centro O e BC = OA, então a razão
entre as medidas dos ângulos AÔD e CÔB é
a) 5
2
b) 3
2
c) 2
d) 4
3
e) 3 11. (G1 - ifsp 2011) Na figura, a reta t é tangente, no ponto P, ao círculo de centro O. A medida
do arco é 100º e a do arco é 194º. O valor de x, em graus, é
a) 53. b) 57. c) 61. d) 64. e) 66.
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12. (Fuvest 2009) Na figura, B, C e D são pontos distintos da circunferência de centro O, e o
ponto A é exterior a ela. Além disso,
(1) A, B, C, e A, O, D, são colineares;
(2) AB = OB;
(3) CÔD mede α radianos.
Nessas condições, a medida de AB̂ O, em radianos, é igual a:
a) π - (α/4) b) π - (α /2) c) π - (2α/3) d) π - (3α/4) e) π - (3α/2) 13. (Fgv 2008) Dado um pentágono regular ABCDE, constrói-se uma circunferência pelos
vértices B e E de tal forma que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência, em B e E,
respectivamente.
A medida do menor arco BE na circunferência construída é
a) 72°.
b) 108°.
c) 120°.
d) 135°.
e) 144°.
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14. (Ufrrj 2005) Um arquiteto vai construir um obelisco de base circular. Serão elevadas sobre
essa base duas hastes triangulares, conforme figura a seguir, onde o ponto O é o centro do
círculo de raio 2 m e os ângulos BOC e OBC são iguais.
O comprimento do segmento AB é
a) 2 m. b) 3 m.
c) 3 2 m.
d) 2 5 m.
e) 2 3 m.
15. (G1 - cftmg 2005) Na figura, os segmentos PB e PD são secantes à circunferência, as
cordas AD e BC são perpendiculares e AP = AD. A medida x do ângulo BPD é
a) 30
°
b) 40°
c) 50°
d) 60°
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16. (G1 - cftmg 2005) Na figura, os triângulos ABC e BCD estão inscritos na circunferência. A
soma das medidas m + n, em graus, é
a) 70 b) 90 c) 110 d) 130 17. (G1 - cftmg 2005) Na figura, o triângulo ABC está inscrito em uma circunferência de centro
O, cujo comprimento é 10 ð cm. Se o lado AB mede 6 cm, a medida do lado BC, em cm, é
a) 5 b) 6 c) 8 d) 9
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18. (Ufes 2004) Na figura, os segmentos de reta AP e DP são tangentes à circunferência, o
arco ABC mede 110 graus e o ângulo CAD mede 45 graus. A medida, em graus, do ângulo
APD é
a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35 19. (Uerj 2003) José deseja construir, com tijolos, um muro de jardim com a forma de uma
espiral de dois centros, como mostra a figura a seguir.
Para construir esta espiral, escolheu dois pontos que distam 1 metro um do outro. A espiral tem
4 meias-voltas e cada tijolo mede 30 cm de comprimento.
Considerando ð = 3, o número de tijolos necessários para fazer a espiral é:
a) 100 b) 110 c) 120 d) 130 20. (Enem 2002) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do equador
e em pontos diametralmente postos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a
6370km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800km/h,
descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente
a) 16 horas. b) 20 horas. c) 25 horas. d) 32 horas. e) 36 horas.
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Gabarito: Resposta da questão 1:
Na figura, temos:
3tg60 x 1
x
a 32 3 a 4
2
2 3 120 2 3y
360 3
π π
Portanto, a distância d percorrida pelo centro F é dada por:
2 3d a x a x y 6 dm
3
π
Resposta da questão 2:
[C] Admitindo R a medida do raio, temos:
4 100 125144 rad R .
5 R
π
π
Resposta da questão 3: [B]
Seja S um ponto do menor arco BE.
Como BPC CQD DRE 2 ,α segue-se que BSE 360 6 .α Portanto, como EAB é
excêntrico exterior, temos
BQE BSE 6 (360 6 )EAB 60
2 2
60 6 180
40 .
α α
α
α
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Resposta da questão 4:
01 + 02 + 08 = 11.
[01] Correto. Como ABD e ACD estão inscritos no semicírculo de diâmetro AD, com AD
sendo lado comum de ABD e ACD, segue-se que ABD e ACD são triângulos
retângulos.
[02] Correto. Sendo ABD,BDE,DEA e EAD ângulos inscritos que determinam arcos de 180 ,
temos ABD BDE DEA EAD 90 . Portanto, ABDE é um retângulo.
[04] Incorreto. Seja H o pé da perpendicular baixada de C sobre AD. Como
AD 2 2 4 u.c., segue-se que a área do triângulo ACD é
1(ACD) AD CH 2 CH.
2
Por outro lado, como C está entre B e D, temos CH 2 u.c. e, portanto, (ACD) 4 u.a.
[08] Correto. Como AEB é ângulo inscrito e determina o arco AB, tem-se AB
AEB .2
Por
outro lado, EOD e AOB são opostos pelo vértice, o que implica em EOD AOB. Logo,
como AOB é ângulo central, vem EOD AOB AB e, portanto, EOD
AEB .2
[16] Incorreto. A área do quadrilátero ABDE é dada por
1(ABDE) AD BE senAOB
2
14 4 senAOB
2
8 senAOB.
Logo, (ABDE) é máxima quando senAOB 1, ou seja, quando AOB 90 .
Por outro lado, a área do círculo é igual a 22 4 u.a. Logo, 3
8 4 8 3 04
e,
portanto, qualquer que seja ABDE, sua área é menor do que 3
4 da área do círculo.
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Resposta da questão 5:
[C]
Comprimento do arco cuja medida é x:
2 1x .
6 3
π π
Portanto, o perímetro da figura será:
33
ππ
Resposta da questão 6:
[E]
Para qualquer ponto P, o ângulo ˆAPB situado na semicircunferência (mostrada na figura) será reto.
ˆAPB =180
902
Logo, o trilho deverá ser o representado na figura da alternativa [E].
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Resposta da questão 7:
[C]
Dividindo o hexágono em 12 triângulos de mesma área (ver figura), cada área terá 21cm .
Portanto, a área destacada terá 2 25 1cm 5 cm .
Resposta da questão 8: [B] 3’= (3/60)° = 0,05° 124° 3’ 0” = 124,05° Resposta da questão 9: [C]
Se AC = R, temos o triângulo AFC equilátero. Logo, 60 .θ Resposta da questão 10:
[E] Considere a figura.
Sejam AOD e COB .
Sabendo que BC OA OC, vem OBC . Daí, como AD e CE , encontramos
AD CEOBC
2 2
3.
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Resposta da questão 11:
[D] Como x é excêntrico exterior, segue que:
BCP APx .
2
Mas
AP 360 (AB BCP).
Portanto,
194 360 100 194 128x 64 .
2 2
Resposta da questão 12: [C]
ˆABD x
ˆˆCOB é isósceles de base BC, logo OBC=OCB = - x
- xˆˆABO é isósceles de base AO, logo OAB=BOA = 2
No triângulo AOB:
- x - x + (ângulo externo)
2
2 = 2 2x x
3x 3 2
3 2x
3
2x
3
Δ π
πΔ
πα π
α π π
π α
π α
απ
Portanto, ˆABO 2 /3π α
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Resposta da questão 13:
[E] Resposta da questão 14:
[E] Resposta da questão 15:
[A]
Sabendo que AP AD, tem-se ADP BPD. Além disso, os ângulos inscritos ABC e ADC
subentendem o mesmo arco, bem como os ângulos BAD e BCD. Logo, ABC ADC e
BAD BCD. Por outro lado, BAD é ângulo externo do triângulo ADP e, portanto,
BAD 2 ADP. Desse modo, como AD BC e sendo Q o ponto de interseção das cordas AD
e BC, vem, do triângulo QCD,
ADC BCD 90 ADP BAD 90
ADP 2 ADP 90
ADP 30 .
Resposta da questão 16: [A] Resposta da questão 17: [C] Resposta da questão 18: [B] Resposta da questão 19: [A] Resposta da questão 20: [C]
.R 3,14.6.37025
800 800
π horas.