Apresentacao-CFD-Didatico-Joao.pdf

Escola PolitécnicaDepartamento de Engenharia Química

João Gabriel Moura CamposProf. A. C. NeivaProf. A. G. Antunha

CFD

São Paulo, Agosto 2013

Uma abordagem didáticaconceitos e ferramentas

Conteúdo

● Apresentação● Importância/Contexto● Abordagem Didática● Processo Computacional em Engenharia

– ModelagemEquacionamento (“Poderosa”); Termo + FT; Hipoteses;

– Métodos NuméricosDiscretização; Malha; Interatividade; Convergência;

– ImplementaçãoNíveis de Linguagem; Recursos de Softwares;

● Estudo de Caso: uso do EXCEL© em simulações de CFD– Condução de Calor em regime permanente e transiente

Apresentação

● O escoamento dos Fluidos é governado pelas leis de conservação de massa, momento e energia (Termo + FT)

● Leis Termodinâmicas e dos Fenômenos de Transporte: modelados a partir de equações diferenciais parciais

● Equacionamento solução analítica dispendiosa ou impossível→● CFD Soluções Numéricas a partir de recursos →

computacionais

● C.F.D. - Computational Fluid Dynamics

Fluido Dinâmica Computacional

Importância/Contexto

● Problemas em Engenharia:– Muitos problemas não possuem soluções analíticas – Em sistemas complexos solução analítica é dispendiosa

● Facilidade em simular casos complexos:– Solução Numérica– Melhor Visualização dos Resultados

● Integração entre as diversas aplicações computacionais (gráficos, tabelas, bancos de dados, modelos 3D CAD...)

tempo

Vórtice de Karman

Exemplo

Condução de calor em frenagem de discoExemplo

tempo

Simulação x Experimento


Simulação CFD Ensaio ExperimentalSolução para diferentes condições do

sistemaResultados para apenas uma condição

experimental

Solução para todos* instantes de tempo Resultados para uma quantidade limitada de observações no tempo

Simulação de problemas em escala real Ensaio em escala laboratorialCódigo facilmente alterado para cada

problema específicoMontagem física é dispendiosa e para uma quantidade limitada de condições

Rápida (depende de Hardware e Software)

Devagar (depende das condições físicas reais)

Menor Custo (uso de software livre) Maior CustoFontes de ERRO:

modelagem; discretização;iterações; implementação

Fontes de ERRO:erros sistemáticos de medida; tratamento de

dados; condições experimentais não controláveis

VALIDAÇÃO!Solução NuméricaEnsaio Experimental

Solução Analítica

O modelo calculado após a simulação segue o comportamento real? Explo.: Vórtice de Karman

Validação



● Uso de softwares no Contexto de Engenharia Química: – Phoenics©, ANSYS® Fluent©, OpenFOAM– Matlab©, Scilab– Aspen©, Dia– CAD (ANSYS® CFX©)– BFlow (Visual Basic, Excel©)

Phoenics© - CHAM®

Fluent© CFX© - ANSYS®

OpenFOAM

Matlab©

Scilab

BFlow

Biblioteca de funções em VisualBasic para implementação de CFD no Excel

Abordagem didática

● Qual o significado de uma “abordagem didática”?● Dilema - experiência dos cursos de graduação:

ensino da base conceitual x ensino ferramenta computacional

● Alunos e engenheiros profissionais utilizam frequentemente ferramentas computacionais, mesmo que de maneira trivial e não integrada.

exemplos.: Excel, Matlab, Calculadora Gráfica/Programável...● Uma melhor compreensão das diversas etapas envolvidas em

um processo de simulação computacional facilita a solução do problema e identificação de erros → Autonomia + Versatilidade

● Nenhum Software de CFD “chega à resposta sozinho” !

Processos Computacionais em Engenharia

● Divisão esquemática em fases/camadas do processo/programa:– Modelagem

(equacionamento)– Métodos Numéricos

(solução numérica das equações)– Implementação

(softwares usados para rodar o programa e visualizar as soluções)

Modelagem

● Escolha do enfoque de observação sobre o escoamento: EULERIANO x LAGRANGEANO

● Escolha das propriedades termodinâmicas que influenciam o fenômeno modelado

● Equacionamento das leis de conservação de massa, momento e energia BALANÇOS→

● Hipóteses e Simplificações

Enfoques Langrangeano e Euleriano

Modelagem

EulerianoLagrangeano

Macro

Integr alM

icroD

ifere ncial

MÓVEIS no espaço

V

dVFIXOS no espaço

V

dV

Equacionamento: BALANÇOS

● MACROSCÓPICO (Integral)

Modelagem

● MICROSCÓPICO (Diferencial)

A “Poderosa”

● Qual propriedade Termodinâmica /Φ φ será avaliada?

● Qual Fenômeno de Transporte será considerado?

Termo & F.T.

Modelagem

Colocar tabela com Φ/φ e a lei de difusão que rege!!

Caso específico: condução de calor

Termo & F.T.

Modelagem

“→ Poderosa” generalizada

Propriedade: CALORPotencial: TEMPERATURA

Lei de DIFUSÃO: Fourier

Termo Transiente

Convecção Difusão Geração

● Facilitar a Solução Computacional● Utilizar Hipóteses

– Regime Transiente / Regime Permanente– Fluido Compressível / Incompressível

● Simplificar equações– Buscar Simetrias ou Escoamentos Predominantes– Ignorar termos com ordem de grandeza desprezível– Utilizar outras informações a priori (dados experimentais,

resultados de simulações anteriores...)

Hipóteses e SimplificaçõesModelagem

● Condução de calor: Reg. TRANSIENTEMeio Sólido - sem escoamento (v=0), e k CTE's; sem geração de calor; bidimensional;ρ

Hipóteses e SimplificaçõesModelagem

● Condução de calor: Reg. PERMANENTEMeio Sólido - sem escoamento (v=0), e k CTE's; sem geração de calor; bidimensional;ρ

Métodos Numéricos

● São os processos iterativos que permitem chegar a um solução numérica a partir do uso de conceitos do Cálculo e da Álgebra Linear

● A escolha de um método numérico depende de cada problema matemático específico. Exemplos:

● equações polinomiais (2o, 3o grau)método da dicotomia método de Newton...

● equações diferenciais (ordinárias, parciais, 1a ou 2a ordem...) método de Eüler, métodos Runge-Kutta...

● sistemas de equações linearesmétodo de Jacobi, método Gauss-Seidel

● Em CFD nos preocuparemos principalmente com métodos de solução para equações diferenciais

● Os polinômios de Taylor são extensivamente usados pela técnicas de análise numérica (derivação, integração, interpolação...)

Eq. diferenciais: Polinômio de Taylor

Métodos numéricos

TRUNCAMENTO a partir do 2o termoERRO de segunda ordem em torno de x

0

Aproximação para a primeira derivada

Eq. diferenciais: Polinômio de Taylor

Métodos numéricos

Aproximação em torno de x0 = 0

● Função a ser aproximada:

f(x) = cos (x)

● Aproximação de Taylor 1a ordem em torno de x

0 = 0

g(x) = 1 – 1/2 x²

Quanto menor a distância de x

0, melhor a aproximação

DISCRETIZAÇÃOtamanho de malha

h = (x - x0)

● Método de EulerUsamos o polinômio de Taylor de 1a ordem para aproximar o valor em torno de um ponto já conhecido

Eq. diferenciais ordinárias 1a ordem

Métodos numéricos

h

↓

↓

Expressão dada pela eq. diferencial

Aproximação de yi+1

● Formulas de diferença:


Métodos numéricos

FOWARD

adiantada

BACKWARD

atrasada

CENTRADA

↓

⊖

Explícita – solução matemática depende apenas

de valores conhecidos sequencial →

Dependência entre os elementos da malha

Métodos numéricos

Implícita – solução matemática depende de valores ainda não-calculados sistema de equações →

● Pseudo-Algoritmo: Problema de Valor Inicial

Método de Euler 1a ordem - PVI

Métodos numéricos

#(2) – SUBSTITUIR DIFERENÇAS FINITAS: derivada FOWARD

#(1) – GERAR MALHA: discretizar para o diferenciando

#(0) – PROBLEMA: equações diferenciais

@x @t

eq. diff. cond. inicial

Método de Euler 1a ordem - PVI

Métodos numéricos

#(3) – SISTEMA DE EQUAÇÕES: montar e resolver sist. eq. ALGÉBRICAS

Sistema de equações

ALGÉBRICAS

Sistema MATRICIAL de equações

Sistema DIAGONAL

Solução trivial(uma iteração)

↓

Valores sucessivamente conhecidos!!!

EXPLÍCITO !!!

→ MENORmalha/discretização


Métodos numéricos

→ 2 passos

→ 4 passos

→ 8 passos

h(2)

h(4)

h(8)

h(2)

h(4)

h(8)

f(x)

→ MAIOR precisão*

* requer mais recurso s com

put acionais

+ PRECISÃOrefinamento da malha

● Substituiremos as derivadas parciais por fórmulas de diferença centrada (obtidas a partir da expansão do polinômio de Taylor de 3a ordem)

Eq. diferenciais parciais 2a ordem

Métodos numéricos

FÓRMULA DAS DIFERENÇAS CENTRADAS

(Diferenças Finitas)

● As equações diferenciais parciais podem ser dividas em três tipos:

Eq. diferenciais parciais 2a ordem

Métodos numéricos

ELÍPITICAS

PARABOLICAS

HIPERBÓLICAS

● Pseudo-Algoritmo: Equação elíptica – 1 dimensão

Método das Diferenças Finitas 2a ordemEquação Elíptica – 1 dimensão

Métodos numéricos

#(1) – GERAR MALHA: discretizar para o diferenciando


@y @x

eq. diff.

cond. contorno


Métodos numéricos

#(2) – SUBSTITUIR DIFERENÇAS FINITAS: formulas de diferenças finitas

Eq. diferencial (problema)

Condições de Contornop/ i genérico

p/ i = 0

p/ i = n

Fórmula centrada *C.C. fictícia


Sistema de equações

ALGÉBRICAS


Métodos numéricos


Sistema TRIDIAGONALSolução não-trivial (várias iterações) IMPLÍCITO !!!

● Pseudo-Algoritmo: Equação elíptica – 2 dimensões

Método das Diferenças Finitas 2a ordemCondução de Calor Reg. Permanente: equação Elíptica – 2 dimensões

Métodos numéricos

#(1) – GERAR MALHA: discretizar para os diferenciandos


eq. diff. cond. contorno →Valores de T conhecidos

nas fronteiras

Métodos numéricos


Método das Diferenças Finitas 2a ordemCondução de Calor Reg. Permanente: equação Elíptica – 2 dimensões

⊕

Métodos numéricosMétodo das Diferenças Finitas 2a ordem

Condução de Calor Reg. Permanente: equação Elíptica – 2 dimensões


● A temperatura de um ponto é a média da temperatura nos pontos vizinhos

Solução do tipo “STENCIL”→

● Para facilitar a visualização do sistema obtido vamos adotar uma outra notação:



CONDIÇÕES DE CONTORNOValores conhecidos!!!

Sistema de equações ALGÉBRICAS





Sistema HEPTADIAGONALresolver iterativamente!

IMPLÍCITO !!!

● Pseudo-Algoritmo: Equação Parabólica – 2 dimensões

Método das Diferenças Finitas 2a ordemCondução de Calor Reg. Transiente: equação Parabólica – 2 dimensões

Métodos numéricos

#(1) – GERAR MALHA: discretizar para os diferenciandos


eq. diff.cond. iniciais →

Valores de T conhecidos no início p/ todo x e y

Métodos numéricos


Método das Diferenças Finitas 2a ordemCondução de Calor Reg. Transiente: equação Parabólica – 2 dimensões


Condução de Calor Reg. Transiente: equação Parabólica – 2 dimensões


● T(x,y) de um ponto em ti depende de T(x,y) do próprio ponto é da sua vizinhança, no instante de tempo anterior ti-1 → Solução do tipo “STENCIL 3D”

● Para facilitar a visualização do sistema obtido vamos adotar uma outra notação:


Condução de Calor Reg. Transiente: equação Parabólica – 2 dimensões

CONDIÇÕES DE CONTORNOValores conhecidos!!!




Sistema MATRICIAL de equaçõesSistema de equações

ALGÉBRICAS

Sistema DIAGONALsolução com uma iteração

por passo de tempo

EXPLÍCITO !!!

VALORES CONHECIDOS!Temperaturas no instante anterior

Implementação

● Fase final do problema em CFD● Escolha do software que irá simular o modelo● Opções variadas

– Aplicação CFD (Phoenix, OpenFOAM)– Pacote matemático multitarefa (Matlab, Scilab)– Programa de planilha de dados (Excel, LibreOffice)

Implementação● Qual software escolher pensando do ponto de vista didático?

PhoenicsOpenFOAM

MatlabScilab

ExcelVBA

possui elevada curva de aprendizagem

apredizado relativamente simples

totalmente intuitivo

boas interfaces visuais (pós-processamento embutido ou independente)

a visualização dos dados depende de ferramentas externas ou extensões de programa

boa noção visual da iteratividade dos processos

resolve problemas de alta especificidade e complexidade

resolve problemas de alta generalidade e complexidade intermediária

resolve problemas simples

baixo tempo computacional (algorítimos otimizados)

baixo tempo computacional (algorítimos otimizados)

alto tempo computacional

Nível de Abstração

Facilidade de Aprendizado

Estudo de Caso

● Por que o Excel?– Facilidade de uso (curva de aprendizado)– Disposição visual da solução

● Possibilidade de usar Macros (citar BDFlow)● Perfeito para o uso didático (mecanismos de

recompensa no aprendizado → Curva de aprendizado de uma linguagem)

Simulação de CFD no EXCEL

Referências Bibliográficas

● Burden, R. and Faires, D., “Numerical Analysis”, 9th Edition, Brooks/Cole Cengage Learning, 2011;

● Wesseling, P., Principles of Computational Fluid Dynamics. Springer, 2001.

● Kuzmin, D., “A Guide to Numerical Methods for Transport Equations”, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg, 2010. http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~kuzmin/Transport.pdf

● Material do curso “Introduction to Computational Fluid Dynamics”. Prof.: Dmitri Kuzmin University of Dortmund

● Billo, E. J., “Excel for Scientists and Engineers: Numerical Methods”, Wiley, 2007.

● Portal/wiki CFD Online - http://www.cfd-online.com/

http://www.cfd-online.com/

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