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APRENDIZAGEM DOS MODELOS DE GRAFOS, POR ALUNOS DE MACS DO 11 ANO, ATRAVS DA RESOLUO DE PROBLEMAS
Maria Irene Marques Gonalves Floriano Augusto Veiga Viseu
Escola Secundria Padre Benjamim Salgado Universidade do Minho
[email protected]@ie.uminho.pt
RESUMO. Uma das finalidades do ensino de matemtica desenvolver a capacidade do aluno de resolver problemas. Esta atividade, para alm de dotar de significado o que se aprende, prepara o aluno para fazer face a problemas do quotidiano. Os modelos de grafos,
situaes de sistemas de distribuio e explorar solues para problemas. Em detrimento de uma pedagogia expositiva, os conceitos e notaes de grafos foram introduzidos edesenvolvidos, numa turma do 11. ano, atravs da resoluo de problemas. Pretendemos assim averiguar como os alunos interpretam problemas, que estratgias estabelecem na sua resoluo e como formulam problemas. Nessa resoluo, qualquer processo era valorizado e no existiam indicaes para a utilizao de conhecimentos destes modelos. Adotando uma metodologia qualitativa e interpretativa, os dados foram recolhidos atravs da resoluo de trs problemas pelos alunos, de gravaes de aulas e de uma entrevista no final da experincia. As concluses do estudo evidenciam que os alunos apresentam dificuldades de interpretao e formulao de enunciados de problemas, utilizam diferentes estratgias na resoluo de problemas em grupo e aprenderam os conhecimentos dos modelos grafos, reconhecendo a sua utilidade na resoluo de problemas do quotidiano.
Introduo
A ltima reformulao dos programas de Matemtica do ensino secundrio
integrou os modelos de grafos no currculo do ensino secundrio com a criao da
disciplina de Matemtica Aplicada s Cincias Sociais (MACS), no Curso Cientfico-
Humanstico de Cincias Sociais e Humanas e no Curso Tecnolgico de Ordenamento
do Territrio e Ambiente. A pertinncia da aprendizagem de tais modelos relaciona-se
com a misso que a escola tem de preparar os seus alunos para a sociedade como
cidados, participativos e responsveis na tomada de decises. Como um dos objetivos
dos programas escolares do ensino secundrio preparar o aluno para o mundo do
trabalho, para o exerccio da cidadania crtica e para a prossecuo de estudos, escola
de hoje exige-se que no se limite a informar mas procure formar pessoas capazes de se
adaptarem a uma sociedade em constante mudana e cada vez mais exigente (Menezes,
1999). As orientaes metodolgicas da disciplina de MACS referem explicitamente
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o, 2001, p. 3), na modelao de situaes
reais, tem um papel preponderante na formao dos alunos que frequentam esta
disciplina. Na concretizao destas orientaes delineamos uma estratgia de ensino que
envolvesse os alunos na aprendizagem de tpicos de grafos atravs das atividades de
resoluo e de formulao de problemas de contexto real. Com base nestas atividades,
pretendemos averiguar como os alunos interpretam problemas, que estratgias
estabelecem na sua resoluo e como formulam problemas.
Resoluo de Problemas
Nas ltimas dcadas, a resoluo de problemas surge nas sucessivas
reformulaes dos programas dos diferentes anos escolares como uma atividade
, enquanto processo que fornece o
contexto em que os conceitos so apreendidos e so desenvolvidas capacidades como,
por exemplo, de raciocnio e de comunicao matemtica. A atividade de resoluo de
problemas torna-se primordial na aprendizagem de conceitos matemticos e permite,
segundo
a experimentar e a fazer matemtica no sentido prprio do termo, o que constitui um dos
objetivos -se de uma perspetiva de ver o ensino de
Matemtica que promove a construo do conhecimento matemtico em detrimento da
perspetiva que enfatiza processos de transmisso desse conhecimento do professor para
o aluno. As recomendaes atuais da educao matemtica apontam para um ensino que
valorize a Matemtica como uma forma de pensar que envolve a resoluo de
problemas, comunicao e compreenso de conceitos, em vez de limitar o aluno a ouvir,
ler e a repetir processos. A resoluo de problemas surge no currculo como uma
atividade transversal que desenvolve atitudes e capacidades que contribuem para a
fazer Matemtica e desenvolver a perseverana e o esprito investigativ
matematicamente -29).
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A discusso sobre a resoluo de problemas faz emergir a distino entre esta
atividade e a noo de problema. Para Polya (1986) e Ponte (2005) um problema uma
tarefa com as seguintes caractersticas:
uma questo para a qual o aluno no dispe de um mtodo que permita a sua
resoluo imediata (Polya, 1986);
- uma tarefa de natureza fechada, que apresenta claramente o que dado e o que
pedido, e de grau de desafio elevado, por traduzir situaes no rotineiras s
quais o aluno no dispe de um processo imediato de resoluo e que pode ser
resolvido por vrios mtodos (Ponte, 2005).
Um problema surge assim como uma situao que se apresenta ao aluno com um
certo grau de complexidade, para a qual no possui resposta imediata ou no sabe
resolver com os conhecimentos que possui naquele momento e cuja resposta o obriga a
usar diferentes estratgias, mobilizando diferentes capacidades e procedimentos.
Quando os alunos enfrentam uma situao-problema da realidade, muitas vezes no a
conseguem resolver por considerarem que ela no em nada parecida com os
problemas que resolvem na sala de aula (Abrantes, 1992). Na vida real, muitas vezes os
problemas no apresentam uma formulao adequada e esta indefinio tende a gerar
dificuldades aos alunos. Uma forma de ultrapassar esta dificuldade na sala de aula passa
por envolver os alunos na formulao de problemas de contexto real, a partir de, por
exemplo, uma expresso ou de um grfico. Esta atividade entendida como uma
estratgia de aprofundamento de conceitos matemticos e de desenvolvimento da
compreenso dos procedimentos implicados na sua resoluo (Boavida et al., 2008).
Ponte et al. (1998) consideram que a formulao de problemas uma atividade que
proporciona um grande envolvimento dos alunos em termos de trabalho de grupo,
embora este envolvimento tenha de ser estimulado por no acontecer espontaneamente.
Uma interveno educativa adequada permite que, segundo estes autores, os alunos
distingam a formulao de um enunciado de um exerccio do de um problema.
A formulao de problemas na disciplina de Matemtica tem sido objeto de
alguns estudos. Por exemplo, Silver et al. (1996) efetuaram uma experincia com 53
professores do ensino secundrio e 28 futuros professores, na qual era dado aos
participantes um conjunto de dados e lhes era pedido que, com base neles, formulassem
um problema, o resolvessem e testassem a soluo encontrada. A resoluo desta tarefa
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poderia ser feita individualmente ou em pares. Foram analisadas 399 respostas, algumas
delas contendo esquemas e diagramas, juntamente com a fundamentao escrita. As
respostas apresentadas evidenciaram que os participantes foram capazes de criar e
responder de um modo diversificado, mostrando que tinham capacidade pessoal para
este tipo de tarefa. Os autores salientam que este tipo de tarefa proporcionou o
desenvolvimento do sentido crtico dos participantes, j que estimulou a sua
envolvncia, contrariando o simples aceitar de processos. Defendem ainda que a
realizao destas tarefas promove a discusso e a apresentao de diferentes processos
de resoluo, estimulando a criatividade. As atividades de formulao e resoluo de
problemas ganham relevncia pela aplicao da Matemtica a situaes do quotidiano
do aluno.
Grafos
Nas ltimas dcadas, os modelos de grafos assumiram um papel de relevo como
ferramenta matemtica em variadssimas reas do conhecimento (Cardoso, 2009). A
necessidade de aplicar conceitos matemticos a situaes do mundo real transporta-nos
para um dos tpicos da matemtica discreta: os modelos de grafos. O surgimento destes
modelos remonta ao sculo XVIII, associada s ideias de Euler para resolver o clssico
problema das pontes da cidade de Knigsberg. Inicialmente, tais modelos eram
considerados pouco significativos do ponto de vista matemtico, sendo basicamente
usados em passatempos. No final da dcada de oitenta, reconhece-se a importncia da
matemtica discreta na resoluo de situaes do dia-a-dia e a sua influncia no
desenvolvimento da tecnologia (Gouveia, 1999). As diretivas da educao matemtica
apontam desde ento a incluso de alguns tpicos da matemtica discreta nos programas
escolares, nomeadamente os modelos de grafos, que, na perspetiva do NCTM (1991),
O ensino dos modelos de grafos apoia-se basicamente na lec
eulerianos que envolvem as arestas de um grafo. Na resoluo deste tipo de problemas,
o programa oficial sugere, entre outras, que o professor trabalhe situaes relacionadas
com patrulhamento ou distribuio postal, sobre um mapa desde encontrar
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quaisquer caminhos possveis, passando por encontrar caminhos sem repetir arestas, at
(Ministrio da Educao, 2001, p. 19). No segundo tpico esto englobados os
hamiltonianos e que tm aplicao em situaes do quotidiano, como so exemplo as
situaes relacionadas com a Gesto e a Economia. So tambm recomendados o uso de
rvores e a procura de algoritmos que facilitem a determinao de solues.
As orientaes metodolgicas do programa da disciplina de MACS (Ministrio da
Educao, 2001) sugerem que os alunos trabalhem situaes concretas nas comunidades
em que vivem, como forma de promover o desenvolvimento de competncias de
interveno cvica e de comunicao matemtica. Apesar de ser uma matria complexa,
o ensino dos grafos pode ser iniciado de uma forma intuitiva (Pires & Hravchenko,
2006). A naturalidade inerente aos modelos de grafos faz com que muitos autores
apresentem uma definio de grafo baseada em princpios intuitivos, onde existe um
conjunto de pontos do plano, chamados de vrtices, unidos por linhas, s quais se chama
de arestas (Malta, 2008). Existem porm outras definies de grafo que apresentam
maior rigor cientfico, como exemplo a definio apresentada por Furtado (1973):
Do ponto de vista geomtrico, um grafo pode ser descrito, em um espao euclidiano de n dimenses, como sendo um conjunto V de pontos e um conjunto A de curvas contnuas que no se intersectam, satisfazendo as seguintes condies: 1) Toda a curva fechada de A contm exatamente um ponto de V; 2) Toda a curva aberta de A contm exatamente dois pontos de V; 3) As curvas de A no tm pontos em comum, a no ser de V. (p. 1)
Trata-se de uma definio que veicula uma linguagem que culturalmente
entendida por quem possui formao matemtica. No mbito deste estudo e de acordo
com as orientaes metodolgicas do programa de MACS, a noo de grafo entendida
como um conjunto de pontos do plano, designados por vrtices, e por linhas incidentes
nesses pontos, chamadas de arestas, sem evidenciar aspetos no essenciais do conceito,
tais como a forma do grafo e as dimenses das arestas.
Os grafos promovem o conhecimento de algumas tcnicas matemticas que
assumem grande importncia na tomada de decises das empresas. Permite ainda o
desenvolvimento de ndices de concentrao na anlise das relaes entre os vrios
objetos e a criatividade (Furtado, 1973). A formalizao dos conceitos apreendidos
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intuitivamente faz com que, na perspetiva de Holliday (1991), os alunos percebam a
importncia do domnio das definies. A simplicidade com que se podem introduzir e
explorar os modelo aluno do ensino secundrio a oportunidade
Metodologia
Atendendo natureza do objetivo delineado, este estudo segue uma abordagem de
natureza qualitativa e interpretativa. A experincia realizou-se numa turma do 11. ano
de MACS com 20 alunos, de uma escola secundria do distrito de Braga. A turma foi
subdividida em cinco grupos de trabalho, cada um com quatro elementos. Das
atividades realizadas, debruamo-nos sobre o trabalho desenvolvido por trs deles:
Grupo de Brito (GB), Grupo de Sande S. Martinho (GS) e Grupo de Airo Santa Maria
(GA). A escolha destes grupos teve por base os seguintes critrios: (i) a rea de
residncia (procurou-se que os alunos fossem provenientes da mesma freguesia); (ii) o
valor da mdia obtida pelos alunos no final do 1. perodo; e (iii) a pertinncia da
informao recolhida em cada grupo.
A estratgia delineada no estudo de grafos integrou as seguintes fases: (1)
visualizao de vdeos, retirados da Internet, sobre a poluio e recolha de lixo, seguido
de um debate sobre formas de recolher e minimizar a proliferao do lixo; (2) formao
de grupos com alunos que residissem na mesma freguesia; (3) descrio de medidas
para uma boa gesto do lixo no papel das autoridades locais; (4) distribuio a cada
grupo de um mapa com as ruas onde era realizada a recolha de lixo nas suas freguesias
de residncia; (5) elaborao de um problema sobre formas de minimizar o percurso de
ressolha do lixo.
Numa primeira fase, devido ausncia de conhecimentos sobre os modelos de
grafos, os alunos resolveram dois problemas, Problema1 e Problema2, com as
estratgias que achassem mais convenientes. Posteriormente, cada grupo apresentou
turma a resoluo efetuada, o que permitiu formalizar os primeiros conceitos de
modelos grafos. Aps a aquisio de alguns conceitos, cada grupo elaborou um
enunciado de um problema, designado por Problema3, com base no mapa que lhes foi
entregue e nas ideias debatidas na visualizao dos vdeos sobre o lixo, a poluio e a
. No final, cada grupo apresentou turma a resoluo do
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problema 3. Os dados sobre o trabalho realizado foram recolhidos atravs de gravaes
udio, que foram transcritas, e das produes efetuadas pelos alunos. Da anlise dos
dados relativos aos trs problemas, apresentamos a informao sob a designao de: (1)
Interpretao de problemas; (2) Estratgias de resoluo de problemas; e (3)
Formulao de problemas.
Anlise e apresentao dos resultados
O estudo de grafos desenvolveu-se com base na resoluo de trs problemas,
sendo um deles formulado pelos alunos, que apresentavam em comum a elaborao de
percursos.
Interpretao de problemas. Na resoluo do primeiro problema abordado nas
aulas sobre grafos, os alunos reagiram de diferentes formas provavelmente devido
ausncia de introduo de qualquer conceito sobre grafos. Alguns manifestaram
dependncia da ao da professora, como foi o caso dos alunos do GB, outros
procuraram identificar os elementos essenciais do problema, como evidenciam os
alunos do GS e do GA, e outros revelaram iniciativa de pr em prtica as ideias que
retiraram da interpretao do problema, como foi o caso dos alunos do GA: Na cidade de Knigsberg existem sete pontes que atravessavam o rio Pregel, como demonstrado na figura a seguir, que ligam duas pequenas ilhas entre si e a cada uma das margens. No sculo XVII as pessoas entretinham-se com um desafio ao qual ningum tinha ainda conseguido responder.1. Ser possvel que algum consiga passear pela cidade
passando por todas as pontes uma nica vez?2. Que percurso se poder fazer, se quisermos finalizar o percurso no local onde se iniciou?
Rosa: Vamos l ver o percurso. Carlos: Espero que a professora nos diga o que fazer. (GB)
Hlder: Ento podemos ir assim, assim. Paula: Duas pequenas ilhas, esta e qual? Sofia: esta. (GS)
Rui: Isto so as ilhas. Tatiana: Rui: Queremos passar pelas pontes, sem repetir. Ins: Vamos experimentar, comeamos aqui? (GA)
Na discusso deste problema introduziram-se as noes de grafo, vrtice e aresta.
Estas noes tornam-se explcitas na forma como alguns alunos interpretaram o
segundo problema, como exemplifica o discurso dos alunos do GS:
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Os alunos de uma escola esto a programar para o dia 21 de Maro de 2010 uma campanha de limpeza num parque natural, que consiste em apanhar o lixo das ruas assinaladas no mapa. 1. Admitindo que os alunos iniciam a limpeza no ponto A e que
finalizam tambm em A, ser possvel recolherem o lixo de todas as ruas sem as repetir?
2. Indica o melhor percurso para os alunos efetuarem a limpeza das ruas, admitindo que iniciam e finalizam em A.
3. Indica um percurso para os alunos realizarem, admitindo que iniciam em A e que terminam em F? E se finalizarem em D?
4. Ser possvel que os alunos iniciem o percurso de limpeza em qualquer cruzamento e finalizarem noutro qualquer cruzamento? Justifica a tua resposta.
5. Admite agora que foi aberta uma segunda rua a ligar diretamente os cruzamentos A e F. Ser possvel os alunos elaborarem um percurso de limpeza das ruas, sem repetir qualquer rua, iniciando e finalizando a limpeza em A?
Rosa: Tu queres passar nas ruas, no nos pontos. Adlia: No percebo. J viste quantas ruas tem? Rosa: AdmitiAdlia: Rosa, espera um bocadinho, deixa-me pensar. Indica o melhor
percurso. Ele tem de repetir pelo menos duas. Teresa: AF e FA so ruas diferentes. (GB)
Hlder: As ruas so as nossas linhas? Sofia: Sim, so as arestas. Paula: Ento, o nosso percurso pode ser 2, 7, 10. (GS)
Sara: E e F. Agora temos de pr estas linhas. Tatiana: Como? Ah, a professora disse que eram as pontes. Mas aqui como
que vamos pr? (GA)
Nem todos os alunos revelaram uma apropriao da terminologia dos grafos,
como revelam os alunos do GB e do GA. Os elementos do grupo GB manifestam ainda
alguma confuso de linguagem e tendncia para trabalharem individualmente, o que no
acontece com os alunos do grupo GS, que evidenciam hbitos de trabalharem
cooperativamente.
Na fase de interpretao destes dois problemas, a interao da professora com os
alunos incidiu na formalizao dos novos conceitos e na clarificao das dificuldades
que emergiram. Dessas dificuldades destacam-se, no primeiro problema, a compreenso
do enunciado e da figura (nos trs grupos), e no segundo problema, a compreenso do
sentido das arestas (GB) e do seu significado no contexto do problema (GS).
Estratgias de resoluo de problemas. As diferenas que os grupos revelaram na
interpretao dos dois problemas refletem-se nas estratgias que utilizaram na resoluo
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dos problemas. Relativamente ao Problema1, os alunos do grupo GS revelam
preferncia pelo trabalho individual:
Sofia: Passar por todas as pontes uma nica vez. Sofia: Falta-te uma. Eu j fiz e tambm j fiz o que agora ests a fazer e
continua a no dar. Paula: J fizeste? Eu ainda no consegui fazer e j ests a dizer que no
d!
J os alunos do grupo GB revelam hbitos de trabalho de grupo ao estabelecerem
o que cada um faz na resoluo do problema:
Rosa: Somos quatro, eu comeo na A. Adlia: Mas, na A podes comear por esta ou por esta ou por esta. Teresa: Rosa: No d! Vamos tentar outra vez, vamos comear em stios
diferentes. Eu comeo aqui. Adlia: E eu comeo aqui. (GB)
Aps algumas tentativas, alguns alunos comearam a relacionar a impossibilidade
de resoluo devido inexistncia de um nmero mpar de pontes, como exemplifica a
afirmao de Adlia:
GB). De seguida, os grupos apresentaram a sua
resoluo turma na forma de um esquema, como exemplifica o que foi realizado pelo
GB: Figura 1: Esquema que traduz a resoluo do Problema1 pelo grupo GB.
As noes de grafo, vrtice e aresta forneceram aos alunos do GB e do GS
elementos a considerar na resoluo do Problema2. Figura 2: Resoluo do Problema2 pelos grupos GB e GS.
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Estas resolues revelam que os alunos destes grupos adquiriram a noo de
grafo, vrtice e aresta. Porm, os alunos do grupo GA no adotaram esta estratgia
servindo-se da prpria figura: Figura 3: Resoluo do Problema2 pelo grupo GA.
A estratgia utilizada pelos alunos deste grupo indicia que no tiveram presente a
compreenso da noo de grafo, vrtice e aresta e que no perceberam a utilidade destas
noes na resoluo do problema.
Com a discusso sobre a resoluo do Problema2 foram introduzidos os restantes
conceitos de grafos: ordem e dimenso de um grafo, grau de um vrtice, vrtice isolado,
lacete, arestas paralelas, dgrafo, grafo conexo, grafo completo, grafo regular, grafo Kn,
subgrafo, caminho, circuito, caminho e circuito de Euler, condies do teorema de Euler
e o processo de eulerizao.
Formulao de Problemas. Com a aquisio das noes programticas de grafos,
os alunos foram desafiados a elaborar um problema sobre o percurso da recolha de lixo
na sua freguesia, tendo como referncia o mapa que lhes foi entregue. Numa primeira
fase, os alunos revelaram dificuldade em compreender que tipo de problema deveriam
elaborar, como evidenciado pelos alunos do grupo GS:
Paula: Mas que problema que vamos criar? Hlder: Sei l, nunca fiz isto, nunca criei problemas em Matemtica. Paula: No sei que problema que a professora quer. Sofia: Mas ser qualquer problema? Vamos chamar a professora.
professora, no estamos a perceber bem o que para fazer. para inventar um problema?
Apesar dessa dificuldade, alguns alunos dividiram tarefas e deram ateno s
ideias dos colegas do grupo, como foi o caso do grupo GB:
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Rosa: Vamos criar um problema. Qual que o nosso problema? Olha, pomos este, para gastar o menos tempo possvel ser rentvel passar pela mesma rua duas vezes?
Carlos: Eu acho que isso vai se um trabalho, vai ser muito complicado. Teresa: O qu? Rosa: Por exemplo, ele vai aqui e quer voltar para aqui, ser que ele pode
vir assim ou melhor assim? Teresa: Pode ser, ou ento temos uma ideia nova, criamos o nosso
Adlia: No, eu acho que devemos seguir.
Os alunos deste grupo reagem s dificuldades e trocam ideias no sentido de as
ultrapassar entre si. Porm, outros alunos continuam a revelar dificuldades no trabalho
em grupo, limitando-se a esperar pelo apoio da professora, como foi o caso do grupo
GA:
Tatiana: Mas que problema que havemos de criar? Rui: No tenho a mnima ideia. Vamos dizer que o nosso problema
criar um problema. Ins: Sabemos l que problema que devemos inventar com o mapa?Tatiana: Ainda estamos a comear e j est complicado! Rui: E eu que pensava que isto ia ser simples, acho que antes quero
teste! Esperamos que a professora passe por aqui para nos ajudar. Ins: Vamos mas cham-la.
Os alunos deste grupo mostram pouca autonomia de trabalho em grupo e pouco
esprito de persistncia perante as dificuldades sentidas. Ao terem que apresentar a sua
atividade turma elaboraram como problema um conjunto de questes relacionadas
com os debates realizados em sala de aula, bem distintos do que realizaram, por
exemplo, os alunos do grupo GB, que apresentaram mais questes e mais elaboradas: Figura 4: Primeira formulao do problema pelos alunos do GA e do GB.
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As questes formuladas pelos grupos apresentam-se muito gerais e focam aspetos
passveis de no poderem ser respondidos por falta de informao, como por exemplo a
relao distncia tempo, a complementaridade entre as diferentes freguesias, a forma
como efetuada a recolha do lixo e os custos despendidos. A maioria das questes
formuladas de resposta curta. Perante a discusso no grupo turma sobre as questes
formuladas, os grupos GB e GS consciencializaram-se da importncia da tarefa e
reagiram com sentido de responsabilidade, como se pode constatar a seguir:
Rosa: No se esqueam que ns vamos criar um problema, que vamos trabalh-lo at ao fim, portanto temos de pensar bem no problema que vamos pr. (GB)
Sofia: Olhem, vamos ao livro ver se diz alguma coisa que nos ajude. Paula: Vamos ver. Tem aqui algumas coisas que podemos usar. Vamos
adaptar. Sofia: Pomos assim, os escuteiros de Sande S. Martinho pretendem
averiguar se o percurso que o camio do lixo faz na recolha de lixo o melhor entre as vrias freguesias. Como podero eles responder a esta questo? (GS)
J os alunos do grupo GA acomodam-se perante as dificuldades, continuando a
revelar pouca responsabilidade e autonomia, ao recorrerem novamente ajuda da
professora:
Tatiana: Ainda estamos a comear e j est complicado!Rui: E eu que pensava que isto ia ser simples. Esperamos que a
professora passe por aqui para nos ajudar. Ins: Vamos mas cham-la. (GA)
A partir da anlise do que os grupos formularam, foram elaborados os enunciados
do problema de cada grupo, como ilustra o que foi formulado pelo grupo GB:
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Os valores das distncias entre as localidades foram obtidos atravs do Google
Maps. Na resoluo do problema, os alunos elaboraram um grafo e procederam sua
eulerizao, como se observa na resoluo de uma das questes pelo grupo GB: Figura 5: Grafo eulerizado pelo grupo GB.
Para alm do grafo, os alunos do grupo GA recorreram rvore geradora mnima
para poderem dizer qual a canalizao de gua potvel de menor custo numa zona da
sua freguesia: Figura 6: rvore mnima elaborada pelo grupo GA.
O presidente da junta de freguesia de Brito pretende reunir-se com o presidente da cmara de Guimares para lhe apresentar uma proposta de recolha de lixo na sua freguesia. a) Admitindo que a recolha de lixo feita por um nico camio, que percurso poder o presidente de junta apresentar, de forma a repetir o menor nmero de ruas possvel e considerando que, a recolha inicia-se e finaliza a recolha no mesmo local, inicia e finaliza noutro local?b) Vai realizar-se uma reunio entre o presidente da cmara de Guimares e os presidentes das juntas de freguesia de Brito, Ronfe, Sande S. Martinho, Vermil e Santa Maria de Airo. Sabendo que o presidente pretende gastar um nico dia para reunir com os vrios presidentes de junta de freguesia, que percurso poder ele fazer para efetuar o menor nmero de km possvel?c) O presidente de junta pretende renovar a rede de esgotos numa certa zona de Brito. Para isso ir pedir apoio ao presidente de Cmara de Guimares. Como poder ser feita essa rede de modo a que seja necessrio gastar a menor quantidade de tubos possvel?
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A formulao do problema pelos grupos, para alm de estimular a pesquisa e a
comunicao escrita, permitiu que os alunos tomassem conscincia de alguns cuidados a
ter na elaborao de problemas. A sua resoluo possibilitou que os restantes contedos
programticos de grafos fossem estudados numa situao problemtica de contexto real,
prxima dos alunos.
Concluses
A resoluo de problemas propostos consistiu numa atividade que, como referem
Polya (1986) e Ponte (2005), os alunos no apresentaram de imediato uma estratgia de
resoluo. A ausncia de noes de grafos ajuda a explicar a complexidade dos
problemas para os alunos. Essa complexidade fez com que, na interpretao desses
problemas, alguns alunos revelassem dependncia da ajuda da professora. Outros alunos
procuraram compreender os elementos essenciais do enunciado dos problemas que os
ajudassem na sua resoluo. A diferena de atitude manifestada pelos alunos na
interpretao de problemas indicia dever-se a hbitos enraizados no desenvolvimento
das atividades na aula de matemtica. Como referem Stein e Smith (1998), muitas das
vezes os alunos pressionam o professor para reduzir a complexidade da tarefa e o
professor acaba por lhes dizer o que devem fazer. As dificuldades verificadas
relacionam-se com a interpretao do enunciado da figura do primeiro problema e no
segundo problema com a interpretao do sentido das arestas e do significado destas no
contexto do problema.
No que concerne s estratgias utilizadas, intuitivamente os alunos procuraram
resolver os problemas por tentativa e erro, o que no lhes permitiu faz-lo com sucesso
devido ausncia de conceitos sobre grafos. A discusso das resolues serviu de
pretexto para a introduo desses conceitos, que, como defende Holliday (1991),
possibilitou que os alunos participassem no processo matemtico. A maior parte dos
alunos revelou preferncia pelo trabalho individual, o que pode dever-se forma como
costumam trabalhar nas diferentes disciplinas, em geral, e na aula de matemtica, em
particular. A importncia que o trabalho cooperativo tem nas aprendizagens dos alunos
valoriza a articulao entre as estratgias delineadas pelos professores da mesma turma.
Essa articulao pode ser potenciada atravs do contributo de cada disciplina na
realizao de trabalhos de projeto.
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Relativamente formulao de problemas, verificou-se que todos os alunos
sentiram dificuldade, o que indicia dever-se falta de hbito desta atividade. Algumas
das questes por eles formuladas no podiam ser respondidas somente com base nos
conhecimentos de grafos, o que indicia que nas suas atividades de estudo de contedos
matemticos no costumam formular problemas relativos a um dado contexto. A
formulao de problemas exige do aluno mais capacidade para dar sentido ao que
aprende do que a resoluo de problemas cujos enunciados so fornecidos pelo
professor ou pelo manual escolar.
Na resoluo dos dois primeiros problemas os alunos evidenciaram alguns
constrangimentos por no possurem conhecimentos de grafos. Como sugesto para um
futuro trabalho, importa averiguar as atitudes dos alunos na resoluo de problemas de
contexto real depois de possurem esses conhecimentos: Que constrangimentos
evidenciam? Que capacidades revelam na formulao de problemas?
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