Unoesc-Universidade do Oeste de Santa CatarinaCampus de São Miguel do Oeste

ACSA – Área das Ciências Sociais AplicadasCurso: Sistema de Informações Grade: 25Disciplina: Fundamentos da Matemática Código: Professor: Erno Pedro Schwerz – ernoschwerz@.gmail.comCarga Horária: 60 h/aula Período: 1º Semestre: 2007/1

CONSTRUÇÃO DE TABELAS-VERDADE

1. Tabela-verdade de uma Proposição Composta

Proposições CompostasDadas várias proposições simples p, q, r, ... podemos combiná-las usando os

conectivos lógicos: ~, ^, v, , e construir proposições compostas tais como:I) P (p, q) = ~p v (p q)II) Q (p, q) = (p ~q) ^ qIII) R (p, q, r) = (p ~ q v r) ^ ~ (q v ( p v r)

Número de linhas de uma tabela verdade

O número de linhas de uma tabela-verdadede uma proposição composta, depende do número de proposições simples que integram, sendo dado o seguinte teorema:Teorema: A tabela-verdade de uma proposição composta com n proposições simples componentes contém 2n linhas.

Exemplo: Uma proposição composta P (p1, p2, p3, p4, p5) terá 25 linhas: 32 linhas.

Neste caso, uma proposição composta com 5 proposições simples componentes, a tabela-verdade contém 25 = 32 linhas, e os grupos de valores V e F se alternam de 16 em 16 para a 1a proposição simples p1, de 8 em 8 para a 2a proposição simples p2, de 4 em 4 para a 3a proposição simples p3, de 2 em 2 para a 4a proposição simples p4, enfim de 1 em 1 para a 5a proposição simples p5.

Exemplo 01: Construir a tabela verdade da proposição:P (p, q) = ~ (p ^ ~ q) Logo: n = 2; 22 = 4 linhas.

1a Resoluçãop q ~q P ^ ~ q ~ (p ^ ~ q)V VV FF VF F

2a Resoluçãop q ~ (p ~ q)V VV FF VF F

4 1 3 2 1Os valores lógicos da proposição composta dada encontram-se na coluna

completada em último lugar. (coluna 4).Portanto, os valores lógicos das proposição composta dada correspondente a

todas as possíveis atribuições dos valores lógicos V e F às proposições simples componentes p e q ( VV, VF, FV, FF ) são V, F, V e V, isto é, simbolicamente:P(VV) = V; P(VF) = F; P(FV) = V ; P(FF) = V ou seja, abreviadamente:P (VV, VF, FV, FF ) = VFVV

Observa-se que a proposição P(p,q) associa a cada um dos elementos conjunto U = {VV, VF, FV, FF }, cuja representação gráfica por um diagrama sagital é a seguinte:

02) Construir a tabela-verdade da proposição:P(p,q) = ~ ( p q ) ~ ( q p )

1a Resoluçvop q p q (q p ) ~ (p q ) ~ (q p) ~ ( p q ) ~ ( q p )V VV FF VF F

2a Resoluçãop q ~ (p q) ~ (q p)V VV FF VF F

3 1 2 1 4 3 1 2 1Portanto simbolicamenteP ( VV, VF, FV, FF ) = FVVVRepresentação gráfica:

03 Construir a tabela verdade de proposição:

P (p, q, r) = p v ~ r q ^ ~ r; portanto n = 3; logo 23 = 8 linhas1a Resolução

p q r ~ r p v ~ r q ^ ~ r (p v ~ r) (q ^ ~ r)

2a Resoluçãop q r (p ~ r) (q ^ ~ r)

1 3 2 1 4 1 3 2 1Simbolicamente:P (VVV, VVF, VFV, VFF, FVV,FVF, FFV, FFF) = FVFFVVVFGraficamente:

4) Construir a tabela-verdade da proposição:P(p, q, r ) = ( p q ) ^ ( q r ) ( p r )

p q r (p q) ^ (q r) (p r)V V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1

5) Construir a tabela-verdade de proposição:

P( p, q, r ) = ( p ( ~ q r )) ^ ~ ( q ( p ~ r ))

OBS: Os parênteses serão usados segundo a seguinte ordem conectivos ~, , ^, ,

EX: A fórmula: p q ^ ~ r p , ~ q deve ser entendida como:((( p q ) ^ ( ~ r )) ( p ( ~ q )))

6) Construir a tabela verdade da proposição P (p, q) = ~ (p ^ q) v ~ (q p).p q p ^ q q p ~ (p ^ q) ~ (q p) ~ (p ^ q) v ~ (q p)

7)Seja uma proposição q qualquer, considerando que a proposição q é falsa. Os valores lógicos das proposições do quadro é:

Proposição q ~ q ~(~q) ~(~(~(~q)))Valor lógico V

8)Vejamos o valor lógico de proposição formadas com o emprego do conectivo e. para tanto, consideremos que x e z são verdadeiras e y é falsa.

Proposição x y z ~y ~z x ^ z x ^ ~ z ~ z ^ ~ y ~ y ^ xValor lógico

9)Analise os valores lógicos considerando q é verdadeiro e p e r são falsa.Proposição p q r ~ p ~ q ~ r ~ q r ~ p ~ q P ~ r ~ (q ~ p)Valor lógico

10)Analise as proposiçõesProposições p q r ~ p ~ q ~ r r p q p ~ p ~ q ~ (q r)Valor lógico11) Construir as tabelas-verdades das seguintes proposições:

a) ( p ~ q ) q pb) ( p ~ q ) ~ p ^ qc) (~ ( p ^ q ) v ( q ^ r ) ( p ^ r )d) ( ~ ( p q ) ( p ^ ~ q )) (( ~ p v q ) ( p q ))e) (p ^ q r ) v ( ~ p q v ~ r )12) Sabendo que os valores lógicos p e q são respectivamente F e V, determinar o valor lógico (V ou F) da proposição:a) (p ^ ( ~ q p )) ^ ~ (( p ~ q ) q v ~ p )

2. Tautologias, Contradições e Contingências2.1 TAUTOLOGIA

Definição: chama-se tautologia toda a proposição composta cuja última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V (verdade).

As tautologias são também denominadas proposições tautológicas ou proposições logicamente verdadeiras.

É imediato que as proposições p p e p p são tautológicas ( Princípio de identidade para as proposições).Exemplo:1. A proposição “~(p ^ ~ p)” (Princípio da não contradição) é tautológica, conforme se vê pela sua tabela-verdade:

P ~ p p ^ ~ p ~ (p ^ ~ p)V F F VF V F V

Portanto, dizer que uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa é sempre verdadeiro.1. A proposição “ p v ~ p” ( Princípio do terceiro excluído) é tautológica, como

imediatamente se vê pela sua tabela-verdade:P ~ p p v ~ p V F VF V V

Portanto, dizer que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa é sempre verdadeiro.

2. A proposição “p v ~ ( p ^ q)” é tautológica, conforme se vê pela sua tabela-verdade:

P q p ^ q ~ (p ^ q) p v ~ ( p ^ q)V VV FF VF F

4) A proposição “ p ^ q ( p q )” é tautológica, conforme mostra a sua tabela-verdade.

P q p ^ q p q p ^ q ( q)V VV FF VF F

5. A proposição “p v (q ^ ~ q) p” é tautológica, conforme mostra a sua tabela-verdade:

P q ~ q q ^ ~ q p v ( q ^ ~ q) p v (q ^ ~ q) pV VV FF VF F

6) A proposição “ p ^ r ~ q v r” é tautológica, conforme se vê sua tabela verdade:P q r ~ q p ^ r ~ q v r p ^ r ~ q v rV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

7. A proposição “ ((p q) r) ( p (q r))” é tautológica, conforme mostra a sua tabela-verdade.

((p q) r) (p (q r))

2.2 CONTRADIÇÃODefinição: chama-se contradição toda a proposição composta cuja última coluna

da sua tabela-verdade encerra somente a letra F (falsidade). As contradições são também denominadas proposições contraválidas ou

proposições logicamente falsas.Exemplos:

1. A proposição “ p ^ ~ p” é uma contradição.p ~ p p ^ ~ pV F FF V F

Portanto, dizer que uma proposição pode ser simultaneamente verdadeira e falsa é sempre falso.2. A proposição “p ~ p” é uma proposição contradição.

p ~ p p ~ pV F FF V F

3. A proposição “(p ^ q) ^ ~ (p v q )” é uma contradição.p q p ^ q p v q ~ (p v q) (p ^ q) ^ ~ (p v q)

V VV FF VF F

4. A proposição “~ p ^ (p ^ ~ q)” é uma contradição .p q ~ p ~ q p ^ ~ q ~ p ^ (p ^ ~ q)V VV FF VF F

2.3. CONTINGÊNCIADefinição: chama-se contingência toda a proposição composta em cuja última coluna da sua tabela-verdade figuram as letras V e F cada uma pelo menos uma vez.

Em outros termos, contingência é toda proposição composta que não é tautologia nem contradição.

As contingências são também denominadas proposições contingentes ou proposições indeterminadas.Exemplos:1. A proposição “p ~ p”

p ~ p p ~ pV F FV V V

2. A proposição “ p v q → p” é uma contingência, conforme mostra a sua tabela-verdade.

P q p v q p v q p

3. A proposição “ x = 3 ( x ≠ y x ≠3)” é uma contingência, conforme mostra a sua tabela-verdade.

x = 3 x = y x ≠ 3 x ≠ y x ≠ y x ≠ 3 x = 3 ( x ≠ y x ≠ 3)V VV FF VF F

Exercícios:1) Mostrar que as seguintes proposições são tautológicas:

a) (p q ) p qb) ( p q ) ( p r q ) c) p ( p q ) p 2) Mostrar que as seguintes proposições são contingentes:a) p v q p qb) ( q p ) ( p q )

3) Determinar quais das proposições são tautológicas, contraválidas ou contingentes:a) p ( ~ p q)b) ~ p v q (p q)c) p ( p v q ) v rd) p q ( p q v r )