ApostilaEconomiaDeEngenharia-2008

Data: ________/___________________/2008

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Economia de Engenharia

Notas de Aula

1 INTRODUO.

TT.405 - ECONOMIA DE ENGENHARIA Material Didtico - 2008

Prof. Lcia R. A. Montanhini

Data: ________/___________________/2008

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Notas de Aula

2 INTRODUO.

INDICE

1 INTRODUO. ......................................................................................................................................................................... 7

2 O CONCEITO E ORIGEM DA ENGENHARIA ECONMICA ................................................................................................... 8

3 MATEMTICA FINANCEIRA. .................................................................................................................................................. 9

3.1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS.................................................................................................................................... 9 3.1.1 VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO. ......................................................................................................................... 9 3.1.2 JUROS (J) ............................................................................................................................................................... 10

3.1.2.1 JUROS UNIDADE DE MEDIDA .................................................................................................................. 11 3.1.2.2 TAXA DE JUROS: COMPONENTES. .......................................................................................................... 12 3.1.2.3 CAPITALIZAO DE JUROS ....................................................................................................................... 13

3.1.3 FLUXO DE CAIXA. .................................................................................................................................................. 13 3.2 REGIMES DE CAPITALIZAO ................................................................................................................................. 15

3.2.1 JUROS SIMPLES.................................................................................................................................................... 15 3.2.2 JURO COMPOSTO................................................................................................................................................. 16 3.2.3 COMPARAO ENTRE CAPITALIZAO SIMPLES E COMPOSTA ................................................................... 17 3.2.4 JURO CONTNUO .................................................................................................................................................. 18 3.2.5 PRAZO DE APLICAO FRACIONRIO ............................................................................................................... 18 3.2.6 EXEMPLOS. ........................................................................................................................................................... 20

3.3 TIPOS DE TAXAS DE JUROS. .................................................................................................................................... 21 3.3.1 TAXAS PROPORCIONAIS ..................................................................................................................................... 21 3.3.2 TAXAS EQUIVALENTES ........................................................................................................................................ 21 3.3.3 TAXA EFETIVA ....................................................................................................................................................... 23 3.3.4 TAXA NOMINAL...................................................................................................................................................... 23 3.3.5 CONVERSO DE TAXAS DE JUROS .................................................................................................................... 23 3.3.6 TAXAS DE JUROS POSTECIPADA E ANTECIPADA ............................................................................................ 25 3.3.7 CONVERSO DE UMA TAXA ANTECIPADA EM UMA TAXA POSTECIPADA ..................................................... 26 3.3.8 TAXA DE INFLAO .............................................................................................................................................. 26

3.3.8.1 INDICADORES FINANCEIROS: ................................................................................................................... 27 3.3.9 TAXA GLOBAL E TAXA REAL DE JUROS ............................................................................................................. 27 3.3.10 TAXA DE MNIMA ATRATIVIDADE ........................................................................................................................ 28 3.3.11 EXEMPLOS ............................................................................................................................................................ 29

4 EQUIVALNCIA DE CAPITAIS ............................................................................................................................................. 31

4.1 CAPITAIS EQUIVALENTES ........................................................................................................................................ 31 4.2 ANUIDADES: CONCEITO E MODELOS GENRICOS ............................................................................................... 31

4.2.1 ANUIDADE ISOLADA ............................................................................................................................................. 31 4.2.1.1 VALOR PRESENTE OU VALOR ATUAL(P) .................................................................................................. 31 4.2.1.2 MONTANTE OU VALOR FUTURO (F): ......................................................................................................... 31

4.2.2 SRIE ..................................................................................................................................................................... 32 4.2.2.1 SRIE UNIFORME ........................................................................................................................................ 32 4.2.2.2 SRIE GRADIENTE ARITMTICA ............................................................................................................... 33

4.3 RELAES DE EQUIVALNCIA ................................................................................................................................ 35 4.3.1 SIMBOLOGIA.......................................................................................................................................................... 35

4.4 RELAES DE EQUIVALNCIA ENTRE ANUIDADES ISOLADAS ........................................................................... 35 4.4.1 RELAO ENTRE P E F:........................................................................................................................................ 36 4.4.2 EXEMPLOS: ........................................................................................................................................................... 37

4.5 RELAES DE EQUIVALNCIA ENTRE UMA ANUIDADE ISOLADA E UMA SRIE UNIFORME ........................... 38 4.5.1 RELAES ENTRE F E A..................................................................................................................................... 38 4.5.2 RELAES ENTRE P E A ...................................................................................................................................... 39

4.5.2.1 SRIE PERPTUA ....................................................................................................................................... 40

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Notas de Aula

3 INTRODUO.

4.5.3 EXEMPLOS: ........................................................................................................................................................... 40 4.6 RELAES DE EQUIVALNCIA ENTRE ANUIDADES ISOLADAS E SRIE GRADIENTE: .................................... 42

4.6.1 RELAES ENTRE P E G...................................................................................................................................... 42 4.6.2 RELAES ENTRE F E G ...................................................................................................................................... 43 4.6.3 EXEMPLOS. ........................................................................................................................................................... 44

4.7 RELAO DE EQUIVALNCIA ENTRE SRIE UNIFORME E SRIE GRADIENTE: ................................................ 45 4.7.1 RELAO ENTRE A E G ........................................................................................................................................ 45 4.7.2 EXEMPLOS. ........................................................................................................................................................... 46

4.8 TAXA DE JUROS ENTRE DOIS CONJUNTOS DE CAPITAIS EQUIVALENTES ........................................................ 48 4.8.1 MTODO ITERATIVO DE NEWTON-RAPHSON .................................................................................................. 48 4.8.2 EXEMPLOS: ........................................................................................................................................................... 50

4.9 EXERCCIOS PROPOSTOS: ...................................................................................................................................... 51

5 PROJETOS DE INVESTIMENTO ........................................................................................................................................... 54

5.1 INTER-RELACIONAMENTO ENTRE PROJETOS DE INVESTIMENTOS .................................................................. 54

6 ANLISE DE PROJETOS DE INVESTIMENTOS .................................................................................................................. 55

6.1 PRINCPIOS FUNDAMENTAIS NA ANLISE DE INVESTIMENTOS ......................................................................... 55 6.2 ELEMENTOS REQUERIDOS NA ANLISE DE INVESTIMENTOS ............................................................................ 56

6.2.1 HORIZONTE TEMPORAL ...................................................................................................................................... 56 6.2.2 FLUXO DE CAIXA ................................................................................................................................................... 57 6.2.3 DETERMINAO DOS CUSTOS TOTAIS ............................................................................................................. 57 6.2.4 DETERMINAO DAS RECEITAS GERADAS ...................................................................................................... 57 6.2.5 DETERMINAO DO VALOR RESIDUAL DO INVESTIMENTO ........................................................................... 57 6.2.6 TAXA DE JUROS DA ANLISE DE INVESTIMENTO ............................................................................................. 58

6.3 MTODOS DE AVALIAO DE INVESTIMENTOS: ................................................................................................... 59 6.3.1 MTODO DO VALOR PRESENTE ......................................................................................................................... 59

6.3.1.1 EXEMPLOS: .................................................................................................................................................. 60 6.3.2 MTODO DO VALOR FUTURO ............................................................................................................................. 61

6.3.2.1 EXEMPLOS: .................................................................................................................................................. 61 6.3.3 MTODO DO VALOR ANUAL ................................................................................................................................ 62

6.3.3.1 EXEMPLOS: .................................................................................................................................................. 62 6.3.4 MTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO ....................................................................................................... 63

6.3.4.1 EXEMPLOS: .................................................................................................................................................. 65 6.3.5 MTODO DO PRAZO DE RETORNO -"PAYBACK ............................................................................................... 66

6.3.5.1 EXEMPLOS: .................................................................................................................................................. 66 6.3.6 MTODO DA RELAO BENEFCIO-CUSTO ....................................................................................................... 67

6.3.6.1 EXEMPLOS: .................................................................................................................................................. 67 6.4 ANLISE DE INVESTIMENTOS SOB CONDIES ESPECFICAS. ......................................................................... 68

6.4.1 ANLISE DE ALTERNATIVAS COM PREDOMINNCIA DE CUSTOS: ................................................................ 68 6.4.1.1 MTODO DA TIR PARA PROJETO COM PREDOMINNCIA DE CUSTOS ................................................ 68

6.4.2 EXISTNCIA DE TAXAS MLTIPLAS .................................................................................................................... 69 6.4.2.1 ANLISE DE PROJETOS COM TAXAS MLTIPLAS ................................................................................... 70

6.4.3 ALTERNATIVAS COM DIFERENTES HORIZONTES DE PLANEJAMENTO ........................................................ 71 6.4.3.1 HIPTESE DE REPETIO DOS PROJETOS DE INVESTIMENTO........................................................... 71 6.4.3.2 HIPTESE DE NO REPETIO DOS PROJETOS DE INVESTIMENTO .................................................. 72

6.4.4 EXISTNCIA DE RESTRIES FINANCEIRAS .................................................................................................... 73 6.5 ANLISE DE INVESTIMENTOS E A CORREO MONETRIA ................................................................................ 73 6.6 EXERCCIOS PROPOSTOS: ...................................................................................................................................... 74

7 FINANCIAMENTO DE PROJETOS DE INVESTIMENTO ...................................................................................................... 78

7.1 FONTES DE RECURSOS PARA FINANCIAMENTO DE PROJETOS ........................................................................ 78 7.2 PRINCIPAIS SISTEMAS DE AMORTIZAO DE DVIDAS ........................................................................................ 79

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Notas de Aula

4 INTRODUO.

7.2.1 TERMINOLOGIA USUAL E NOMENCLATURA ...................................................................................................... 79 7.2.1.1 PRINCIPAL (P): ............................................................................................................................................. 79 7.2.1.2 PRESTAO (AM ): ...................................................................................................................................... 79 7.2.1.3 AMORTIZAO (KM ): ................................................................................................................................... 79 7.2.1.4 JUROS (JM) ................................................................................................................................................... 79 7.2.1.5 SALDO DEVEDOR (SDM ) ............................................................................................................................. 80 7.2.1.6 PRAZO (N) .................................................................................................................................................... 80 7.2.1.7 CARNCIA .................................................................................................................................................... 80 7.2.1.8 PRAZO DE CARNCIA (N) .......................................................................................................................... 80 7.2.1.9 PRAZO DE AMORTIZAO (N) ................................................................................................................... 80

7.2.2 MODALIDADES DE CONTRATO ........................................................................................................................... 80 7.2.2.1 QUANTO AMORTIZAO DO CAPITAL: .................................................................................................. 80 7.2.2.2 QUANTO AO PAGAMENTO DO JURO: ....................................................................................................... 80

7.2.3 FUNDAMENTAO TERICA DA AMORTIZAO DE DVIDAS ......................................................................... 81 7.2.4 SISTEMA DE PRESTAO CONSTANTE (PRICE) .............................................................................................. 82

7.2.4.1 FLUXO DE CAIXA ......................................................................................................................................... 82 7.2.4.2 VALOR DAS PRESTAES. ........................................................................................................................ 82 7.2.4.3 SALDO DEVEDOR EM UM PERODO DE TEMPO QUALQUER (M) .......................................................... 83 7.2.4.4 JUROS DA M-SIMA PRESTAO (AM) ..................................................................................................... 83 7.2.4.5 AMORTIZAO DA M-SIMA PRESTAO (AM) ...................................................................................... 83 7.2.4.6 AMORTIZAO ACUMULADA NO PERODO DE 0 M ........................................................................... 83 7.2.4.7 JURO ACUMULADO NO PERODO DE 0 M ............................................................................................ 84 7.2.4.8 JUROS ACUMULADOS NUM PRAZO DE TEMPO QUALQUER (JM,M) ..................................................... 84 7.2.4.9 AMORTIZAES ACUMULADAS NUM PRAZO DE TEMPO QUALQUER (KM,M) .................................... 84 7.2.4.10 QUADRO DE FINANCIAMENTO .................................................................................................................. 85 7.2.4.11 EXEMPLOS: .................................................................................................................................................. 85

7.2.5 SISTEMA DE AMORTIZAES CONSTANTES (SAC) ......................................................................................... 86 7.2.5.1 FLUXO DE CAIXA ......................................................................................................................................... 86 7.2.5.2 PARCELA DE AMORTIZAO DAS PRESTAES A1 A AN....................................................................... 87 7.2.5.3 SALDO DEVEDOR NO PERODO M ......................................................................................................... 87 7.2.5.4 JUROS CONTIDOS NA M-SIMA PRESTAO ......................................................................................... 87 7.2.5.5 VALOR DA M-SIMA PRESTAO ............................................................................................................. 87 7.2.5.6 JURO ACUMULADO NO PERODO DE 0 M ............................................................................................ 87 7.2.5.7 AMORTIZAO ACUMULADA NO PERODO DE 0 M ........................................................................... 88 7.2.5.8 QUADRO DE FINANCIAMENTO .................................................................................................................. 88 7.2.5.9 EXEMPLOS: .................................................................................................................................................. 89

7.2.6 SISTEMA DE AMORTIZAO MISTA (SAM) ........................................................................................................ 89 7.2.6.1 EXEMPLO: .................................................................................................................................................... 90

7.2.7 SISTEMA AMERICANO .......................................................................................................................................... 90 7.2.7.1 EXEMPLO: .................................................................................................................................................... 91

7.2.8 SISTEMA DE AMORTIZAO CRESCENTE - SACRE ......................................................................................... 91 7.2.8.1 CLCULO DAS PRESTAES ANUAIS ...................................................................................................... 92 7.2.8.2 EXEMPLO: .................................................................................................................................................... 92

7.2.9 VANTAGENS E DESVANTAGENS ENTRE OS DIFERENTES SISTEMAS DE AMORTIZAO .......................... 94 7.2.10 PLANO DE REAJUSTE E COMPROMETIMENTO DE RENDA .............................................................................. 95

7.2.10.1 EXEMPLO: .................................................................................................................................................... 95 7.2.11 EXERCCIOS PROPOSTOS: ................................................................................................................................. 96

8 DEPRECIAO DE EQUIPAMENTOS .................................................................................................................................. 98

8.1 FORMAS DE DEPRECIAO ..................................................................................................................................... 98 8.2 VIDA TIL DE ATIVOS FIXOS..................................................................................................................................... 98 8.3 MTODOS DE DEPRECIAO .................................................................................................................................. 99

8.3.1 TERMINOLOGIA USUAL E NOMENCLATURA ...................................................................................................... 99

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Notas de Aula

5 INTRODUO.

8.3.2 MTODO LINEAR................................................................................................................................................. 100 8.3.2.1 DEPRECIAO ACUMULADA ................................................................................................................... 100 8.3.2.2 VALOR CONTBIL ..................................................................................................................................... 100 8.3.2.3 TAXA PERCENTUAL DE DEPRECIAO ................................................................................................. 100 8.3.2.4 DEPRECIAO CONTBIL ....................................................................................................................... 101 8.3.2.5 EXEMPLO: .................................................................................................................................................. 102

8.3.3 MTODO EXPONENCIAL .................................................................................................................................... 103 8.3.3.1 TAXA EXPONENCIAL DE DEPRECIAO: ............................................................................................... 103 8.3.3.2 EXEMPLO: .................................................................................................................................................. 104

8.3.4 MTODO DA SOMA DOS DGITOS ..................................................................................................................... 104 8.3.4.1 DEPRECIAO ACUMULADA: .................................................................................................................. 105 8.3.4.2 EXEMPLOS: ................................................................................................................................................ 105

8.3.5 MTODO DA SOMA INVERSA DOS DGITOS: ................................................................................................... 106 8.3.5.1 DEPRECIAO ACUMULADA ................................................................................................................... 106 8.3.5.2 EXEMPLO: .................................................................................................................................................. 106

8.3.6 MTODO DO FUNDO DE RESERVA ................................................................................................................... 107 8.3.6.1 EXEMPLO: .................................................................................................................................................. 107

8.3.7 MTODO DA DEPRECIAO POR PRODUO ............................................................................................... 108 8.3.7.1 EXEMPLO: .................................................................................................................................................. 108

9 A INFLUNCIA DO IMPOSTO DE RENDA NA ANLISE DE INVESTIMENTOS. .............................................................. 109

9.1 INFLUNCIA DO IR EM FINANCIAMENTOS DE PROJETOS .................................................................................. 110 9.1.1 FONTES DE RECURSOS PARA FINANCIAMENTO DE PROJETOS ................................................................. 110 9.1.2 INFLUNCIA DO IR PARA FINANCIAMENTO COM RECURSOS PRPRIOS: .................................................. 110 9.1.3 FINANCIAMENTO COM COMPOSIO MISTA DE RECURSOS ....................................................................... 110 9.1.4 FINANCIAMENTO COM RECURSOS DE TERCEIROS ...................................................................................... 110 9.1.5 EXEMPLOS: ......................................................................................................................................................... 110

10 SUBSTITUIO DE EQUIPAMENTOS ............................................................................................................................... 112

10.1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS ................................................................................................................................ 112 10.1.1 CUSTO ANUAL DE CAPITAL: .............................................................................................................................. 112 10.1.2 CUSTO ANUAL DE OPERAO E MANUTENO ............................................................................................ 113

10.1.2.1 CUSTOS DE MANUTENO ..................................................................................................................... 113 10.1.2.2 CUSTOS DE OPERAO .......................................................................................................................... 113

10.1.3 CUSTO ANUAL TOTAL ........................................................................................................................................ 113 10.1.4 VIDA ECONMICA ............................................................................................................................................... 113

10.1.4.1 EXEMPLO: .................................................................................................................................................. 114 10.2 BAIXA DE VECULOS E EQUIPAMENTOS ............................................................................................................... 114

10.2.1 BAIXA SEM REPOSIO ..................................................................................................................................... 114 10.2.1.1 EXEMPLO: .................................................................................................................................................. 114

10.2.2 BAIXA COM REPOSIO IDNTICA................................................................................................................... 115 10.2.2.1 EXEMPLO: .................................................................................................................................................. 115

10.2.3 BAIXA COM REPOSIO DIFERENTE ............................................................................................................... 115 10.2.3.1 EXEMPLO: .................................................................................................................................................. 116

10.3 SUBSTITUIO COMO ANLISE DE INVESTIMENTO ........................................................................................... 116 10.3.1 CASO 1: VIDA REMANESCENTE DO DEFENSOR IGUAL VIDA TIL DO DESAFIANTE. .............................. 116 10.3.2 CASO 2: VIDA REMANESCENTE DO DEFENSOR MENOR QUE A VIDA TIL DO DESAFIANTE .................... 117

10.3.2.1 EXEMPLO: .................................................................................................................................................. 117 10.3.3 EXERCCIOS PROPOSTOS: ............................................................................................................................... 118

11 ANLISE SOB CONDIO DE RISCO E INCERTEZA ....................................................................................................... 119

11.1 DEFINIES: ............................................................................................................................................................ 119 11.2 FATORES QUE LEVAM A INCERTEZA: ................................................................................................................... 119

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6 INTRODUO.

11.3 ANLISE SOB CONDIO DE INCERTEZA ............................................................................................................ 119 11.3.1 ANLISE DE SENSIBILIDADE ............................................................................................................................. 120

11.3.1.1 EXEMPLO: .................................................................................................................................................. 120 11.4 CRITRIOS DE DECISO......................................................................................................................................... 121

11.4.1 CRITRIO OTIMISTA: MAXIMAX (OU MINIMINI SE A MATRIZ FOR DE CUSTO) .............................................. 122 11.4.2 CRITRIO PESSIMISTA : MAXIMIN (OU MINIMAX SE A MATRIZ FOR DE CUSTOS) ....................................... 122 11.4.3 CRITRIO DE LAPLACE : MDIA ........................................................................................................................ 122 11.4.4 CRITRIO DE HURWICZ ..................................................................................................................................... 122 11.4.5 CRITRIO DE SAVAGE : ARREPENDIMENTO ................................................................................................... 123

11.5 CRITRIOS DE DECISO COM PROBABILIDADES ASSOCIADAS: ...................................................................... 123 11.5.1 CRITRIO DA ESPERANA MATEMTICA: MDIA .......................................................................................... 124 11.5.2 CRITRIO DO LIMITE MNIMO ............................................................................................................................ 124 11.5.3 ARVORE DA DECISO ........................................................................................................................................ 124

11.5.3.1 EXEMPLOS: ................................................................................................................................................ 125 11.5.4 VALOR DA INFORMAO ADICIONAL ............................................................................................................... 127

11.5.4.1 INFORMAO PERFEITA .......................................................................................................................... 127 11.5.4.2 INFORMAO IMPERFEITA ...................................................................................................................... 128

11.5.5 PROBABILIDADE DE VIABILIDADE DE UM EMPREENDIMENTO ..................................................................... 129 11.5.5.1 DETERMINAO DA PROBABILIDADE PARA DISTRIBUIO NORMAL ............................................... 129 11.5.5.2 FLUXO DE CAIXA DE VALORES ESPERADOS ........................................................................................ 130 11.5.5.3 PROBABILIDADE DE VIABILIDADE DE UM EMPREENDIMENTO ........................................................... 132

12 TABELA DE JUROS ............................................................................................................................................................ 134

13 TABELA DE PROBABILIDADES ........................................................................................................................................ 138

14 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS .................................................................................................................................... 140

15 PROGRAMAO DA DISCIPLINA TT.405 ANO LETIVO 2008 ....................................................................................... 141

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Notas de Aula

7 INTRODUO.

1 INTRODUO.

A disciplina Economia de Engenharia tem por diretriz consolidar as tcnicas da Matemtica Financeira e critrios da Engenharia Econmica que permitam elucidar os mecanismos para a apropriada alocao e otimizao de recursos aplicados em projetos de engenharia.

A avaliao de um projeto de Engenharia, de acordo com as contingncias ligadas aos investimentos, envolve desde critrios puramente monetrios (situao mais simples) at critrios de mensurao mais complexa, como vantagens tecnolgicas, administrativas estratgicas ou ambientais.

A avaliao tecnolgica trata principalmente dos processos tcnicos de implantao e operao do projeto, a avaliao administrativa prioriza os inmeros problemas de gerncia e de pessoal que surgem na implantao e na operao do projeto e enquanto que a avaliao ambiental enfoca os impactos que as aes para a implantao e a operao do projeto provocam ao meio ambiente.

A avaliao financeira consiste em determinar a probabilidade de o projeto vir a ser financeiramente vivel, ou seja, de satisfazer seus compromissos financeiros, produzir uma remunerao razovel do capital investido e, se for o caso, contribuir com suas receitas, para cobrir custos de investimentos futuros. A anlise financeira avalia os benefcios e custos de um projeto, reduzindo-os a uma medida comum; se os benefcios forem superiores aos custos, o projeto aceitvel, se no, deve ser rejeitado.

A avaliao econmica, por sua vez, tem como finalidade bsica medir custos e benefcios econmicos de um projeto para determinar se os benefcios lquidos dele resultante sero pelo menos iguais queles que poderiam ser obtidos de outras oportunidades marginais de investimento. Em sntese, pode-se considerar a avaliao econmica de projetos como o processo metodolgico que permite aferir benefcios e custos decorrentes e permite tomada de deciso e a escolha da alternativa de maior ganho lquido.

Sem se desconectar de fatores ambientais, tecnolgicos e administrativos e lanando mo de problemticas que, cotidianamente, se defrontam as empresas privadas, entidades governamentais e pessoas para alocar recursos intrinsecamente limitados (capital, trabalho, terra, tecnologia, recursos naturais, etc.); a disciplina de Economia de Engenharia, prioritariamente, procura capacitar os estudantes ao desenvolvimento de estudos para a avaliao econmica e financeira de projetos de engenharia, atravs da abordagem de ferramental e tcnicas da Engenharia Econmica que permitem escolher, entre as aplicaes concorrentes, a melhor alternativa.

Com o intuito de auxiliar no entendimento dos processos da Engenharia Econmica desenvolveu-se este material de apoio disciplina de Economia de Engenharia onde so fornecidos os conceitos bsicos da Matemtica Financeira, as metodologias de depreciao de equipamentos, de amortizao de dvidas, de avaliao de investimentos e culminando com a anlise de investimentos sob a tica de risco e incerteza. Os contedos tericos apresentados neste material didtico so complementados com exemplos prticos, que sero resolvidos em sala de aula, objetivando facilitar os entendimentos os conceitos mostrados.

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Notas de Aula

8 O conceito e origem da Engenharia Econmica

2 O CONCEITO E ORIGEM DA ENGENHARIA ECONMICA

A Engenharia Econmica representa o conjunto de conhecimentos necessrios para a escolha de alternativas de investimentos.

Para avaliar o desempenho de uma ampla classe de investimentos, que podem ser medidos em termos monetrios, utilizam-se tcnicas de Engenharia Econmica fundamentadas na cincia chamada Matemtica Financeira.

A Engenharia Econmica , portanto, uma ferramenta de deciso, fundamentada em conceitos e tcnicas da matemtica financeira, que permite a anlise, comparao e avaliao financeira de projetos, sistemas, produtos, recursos, investimentos ou equipamentos e que tem fundamental importncia para todos que precisam decidir sobre propostas tecnicamente corretas, e seus fundamentos podem ser utilizados tanto para empresas privadas, como estatais.

A Engenharia Econmica tambm permite a avaliao de problemas mais complexos, que envolvem situaes de risco ou incerteza. Nestes casos, a Engenharia Econmica associa a Matemtica Financeira a outras tcnicas para anlises de deciso, tais como probabilidade e simulao.

Do ponto de vista pessoal a engenharia econmica pode ser aplicada para qualquer aplicao monetria, neste caso, que possa conduzir obteno de uma quantidade, tambm monetria, maior no futuro. Do ponto de vista empresarial, a engenharia econmica tem sua aplicabilidade na avaliao de financiamentos, de novos investimentos, substituio de equipamentos, etc frente a variados cenrios conjunturais.

Os estudos sobre Engenharia Econmica tm suas origens nos Estados Unidos em 1887, quando Arthur Wellington publicou seu livro "The Economic Theory of Railway Location", texto que sintetizava anlise de viabilidade econmica para ferrovias. Wellington, que era engenheiro civil, ponderava que devia utilizar-se o mtodo de anlise de custo capitalizado para selecionar o traado e as curvaturas das vias frreas.

Na dcada de 20 J. C. L. Fish e 0. B. Coldman estabeleceram algumas metodologias de anlise de investimento em estruturas de engenharia sob a perspectiva da matemtica atuarial. Coldman, no livro titulado Financial Engineering (Engenharia Financeira) props um mtodo analtico baseado em juros compostos para determinar valores comparativos.

Os limites da clssica Engenharia Econmica foram traados em 1930 por Eugene L. Grant no livro Principles of Engineering Economy (Princpios de Engenharia Econmica) onde so estabelecidos os tradicionais critrios de comparao e de avaliao de investimentos.

Antes da segunda guerra mundial, os bancos e bolsas de valores dos pases eram as nicas instituies que utilizavam termos como juros, capitalizao, amortizao... A partir dos anos 50, com o rpido crescimento industrial, termos financeiros e bancrios passam a ser incorporados no mbito industrial e particularmente na rea produtiva das empresas. Os novos industriais se depararam com a necessidade da aplicao de tcnicas de anlise econmica em suas empresas, criando um ambiente de tomada de decises voltado escolha da melhor alternativa.

A medida que o processo industrial se tornava mais complexo, as tcnicas se adaptaram e se tornaram mais especificas, para tanto, a engenharia econmica ou a analise econmica na engenharia foi tambm se evoluindo. Pesquisas modernas, refletindo a preocupao mundial pela conservao dos recursos e da aplicao eficaz de dinheiro pblico, ampliaram as fronteiras da Engenharia Econmica incorporando aos mtodos de avaliao tradicionais novos critrios para a avaliao do risco, da sensibilidade, de fatores intangveis, etc.

Ao longo de 120 anos a Engenharia Econmica foi sendo aprimorada e aplicada em inmeras outras reas alm da engenharia, contudo, esta terminologia foi conservada pelo fato de que grande parte dos problemas de alocao de recursos depende de informaes tcnicas e em geral de decises que so tomadas por engenheiros ou por administradores que agem com base nas recomendaes dos engenheiros.

Data: ________/___________________/2008

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Notas de Aula

9 Matemtica Financeira.

3 MATEMTICA FINANCEIRA.

A Matemtica Financeira uma cincia exata que tem por objetivo fundamental fornecer o ferramental tcnico, utilizado em Engenharia Econmica, que descreve as relaes do binmio tempo e dinheiro.

A Matemtica Financeira d subsdio para o estudo das diversas formas de evoluo do valor do dinheiro no tempo, bem como as formas de anlise e comparao de alternativas para aplicao / obteno de recursos financeiros.

Os principais objetivos da matemtica financeira so:

a) Transformao e manuseio de fluxos de caixa, com a aplicao de taxas de juros de cada perodo, para levar em considerao o valor do dinheiro ao longo do tempo.

b) Obteno da taxa interna de juros que est implcita em um fluxo de caixa.

c) Anlise e a comparao de diversas alternativas de fluxos de caixa.

3.1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS.

A Matemtica Financeira est diretamente ligada ao valor do dinheiro no tempo, que, por sua vez, est interligado existncia de juros.

Observadas as peculiaridades e considerados parte os aspectos polticos e subjetivos, para que valores de uma avaliao de investimentos, que ocorrem em tempos diferentes, possam ser corretamente operados h necessidade de que sejam definidos ou conhecidos os fluxos de caixa onde so alocados os valores resultantes desses investimentos.

3.1.1 VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO.

Em estudos, seja para fins de avaliaes econmicas ou avaliaes financeiras de empreendimentos, seja para a anlise de resultados ou indicadores histricos de investimentos, comum se lidar com valores financeiros relacionados a pocas ou perodos diferentes.

A capacidade que o dinheiro tem de gerar rendimento com o transcurso do tempo faz com que um mesma cifra, em valor nominal, tenha diferentes valores em relao ao tempo a que se refere, o que realmente descreve o conceito do Valor do Dinheiro no Tempo.

O dinheiro, como qualquer outro bem, tem um valor intrnseco e seu valor sobre variao em funo da variao (maior/menor) da oportunidade (compra/rendimento) gerada em funo do tempo. Uma pessoa pode possuir uma casa ou trocar este bem por dinheiro ou possuir um veculo ou vend-lo para, em troca, receber o valor em dinheiro. Por outro lado se a pessoa no possui uma casa e necessita de uma obrigada a recorrer ao aluguel, pagando por este uso. Se no possui um automvel e necessita de um deve pagar por esta locao, no importando se por meia hora, como no caso de txi, ou por um dia ou um ms. Do mesmo modo, se algum no possui dinheiro e necessita dele, deve pagar certa quantidade para obt-lo. Em geral, todo bem com valor intrnseco exige um pagamento pelo seu uso. Por outro lado se bens com valor intrnseco no so utilizados nada se ganha com eles, seria o mesmo que ter um txi na garagem ou guardar dinheiro sob o colcho!

A capacidade de valorizao do dinheiro com o tempo s existe quando em plena atividade, o caso de uma operao de emprstimo: Quem recebe dinheiro de emprstimo paga ao final de um determinado prazo uma quantidade de dinheiro maior que o valor emprestado. O incremento que pago ao dono do dinheiro chamado de juros e traduz o conceito de Valor do Dinheiro no Tempo.

O conceito de Valor do Dinheiro no Tempo muitas vezes isoladamente exemplificado atravs do fenmeno inflacionrio, embora o que realmente ocorre nesta situao o fenmeno da iluso monetria, efeito tanto maior quanto maior o pas padece da inflao.

A inflao um fenmeno econmico que consiste na perda de poder aquisitivo do dinheiro com o passar do tempo em decorrncia da elevao do nvel geral de preo no mercado interno. Portanto, o dinheiro se desvaloriza com a inflao.

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Notas de Aula


Nenhum pas do mundo est imune ao fenmeno da inflao, diz-se que este valor baixo quando se encontra entre 2 a 5 % ao ano, como ocorre nos paises desenvolvidos e atualmente no Brasil, porm, chega a atingir patamares acima de 1000 % anuais, como vivenciados pelo Brasil na dcada de 90. A Tabela-1, apresentada a seguir mostra a variao inflacionria no Brasil desde 1980 at os dias atuais.

Tabela 1: Inflao anual no Brasil Variao do IGP-DI (ndice Geral de Preos - Disponibilidade Interna)

ANO INFLAO ANO INFLAO ANO INFLAO

1980 110,23 1990 1.476,71 2000 9,80

1981 95,20 1991 480,23 2001 10,40

1982 99,73 1992 1.157,84 2002 26,41

1983 211,02 1993 2.708,17 2003 7,66

1984 223,81 1994 1.093,85 2004 12,13

1985 235,13 1995 14,77 2005 1,23

1986 65,04 1996 9,33 2006 3,80

1987 415,95 1997 7,48

1988 1.037,53 1998 1,71

1989 1.782,85 1999 19,99

MDIA 427,65 % MDIA 697,01 % MDIA 10,20 %

fonte: FGV/Conj. Econmica

importante ressaltar que com ou sem inflao, o dinheiro se valoriza atravs do tempo. Caso a remunerao cobrada pelo uso do dinheiro for menor que a perda de seu valor aquisitivo em decorrncia da inflao significa que a perda total do investidor inclui a diferena entre a remunerao recebida e a desvalorizao do dinheiro mais a valorizao real pretendida na operao de emprstimo.

Com tcnicas analticas adequadas se pode comparar o poder aquisitivo do dinheiro em determinados instantes de tempo, esta a ajuda que a Engenharia Econmica fornece aos administradores de negcios.

3.1.2 JUROS (J)

Os juros so definidos como sendo a remunerao do capital, a qualquer ttulo. Assim, so vlidas as seguintes expresses como conceito de juros:

a) valor em dinheiro pago pelo uso de um emprstimo, ou, o valor em dinheiro recebido pelo valor emprestado.

b) remunerao do capital empregado em atividades produtivas;

c) custo do capital de terceiros;

d) remunerao paga pelas instituies financeiras sobre o capital nelas aplicado.

Os juros, em unidade monetria, so calculados atravs da seguinte expresso:

Remunerao pelo Uso do Dinheiro

Perda poder aquisitivo (Inflao)

Valorizao do Dinheiro

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PFJ = (1)

onde,

J= Juros incorporados ou pagos em um perodo de tempo n

F = Valor recebido/pago ao final do perodo n

P = Valor aplicado/emprestado no incio do perodo n

3.1.2.1 JUROS UNIDADE DE MEDIDA

O juro medido por meio de taxa que se refere, sempre, a uma unidade qualquer de tempo (ano, semestre, ms, dia, etc), chamada de Taxa de Juros ou Taxa de Desconto, representada pela letra i.

A Taxa de Juros (i) um coeficiente que corresponde razo entre os juros pagos ou recebidos no fim de um determinado perodo de tempo e o capital inicialmente empatado. A taxa de juro a proporo existente entre o capital e a sua remunerao.

A taxa de juros obtida pela seguinte expresso:

PJ

PPFi ==

(2)

Onde,

P = o capital investido ou emprestado no principio do perodo.

F = o valor pago ao final do perodo.

J = F P = juros pagos ou incorporados no perodo.

i = taxa de juros por perodo

A taxa de juros pode ser apresentada na forma percentual ou unitria.

A Taxa de juros unitria representa a remunerao proporcionada, na unidade de tempo de referncia, para cada unidade de capital (R$ 1,00) enquanto a Taxa de juros percentual representa a remunerao proporcionada para cem unidades de capital (R$ 100,00) aplicadas, como mostra o quadro abaixo:

TAXA DE JUROS REPRESENTAO CAPITAL APLICADO (P) JUROS NO PERODO DE 1 ANO (J)

Percentual 10% a.a. 100 10

Unitria 0,10 a.a 1 0,10

A notao percentual a forma usualmente utilizada para a representao da taxa de juros no meio financeiro. Considerando que a forma unitria utilizada em todos os formulrios de Engenharia Econmica a sua converso da taxa percentual para esta forma de representao torna-se obrigatria.

100percentual

unitriai

i = (3)

EXEMPLO 1

TAXA DE JUROS REPRESENTAO

PERCENTUAL UNITRIA

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EXEMPLO 2 Calcular o valor dos juros ao final de um ms considerando que foi aplicado R$ 1.000,00 taxa de 8% a.m.

EXEMPLO 3 Considerando o resgate de R$ 150,00 decorrente da aplicao de R$ 100,oo calcular os juros incorporados e respectiva taxa no perodo.

3.1.2.2 TAXA DE JUROS: COMPONENTES.

Quando uma instituio financeira decide emprestar dinheiro, existe, obviamente, uma expectativa de retorno do capital emprestado acrescido de uma parcela de juro.

O custo de um emprstimo ser, portanto, obtido atravs de um somatrio da remunerao desejada e expectativas de custos, com se segue:

Taxa pura

Taxa de risco

Custo devido a impostos

Custo operacional devido a servios de intermediao

Correo monetria (relacionada com a inflao)

A componente principal de uma taxa de juros denominada de taxa de juros pura.

A Taxa de Juros pura a parcela destinada a compensar a perda de liquidez durante o perodo de emprstimo, excluindo de sua composio o fator de risco que normalmente est associado a uma operao financeira.

A taxa de juros pura, correspondente a efetiva remunerao do capital, fixada pelo mercado financeiro atravs das foras que regem a oferta e demanda de capital para financiamento de atividades produtivas.

A incerteza sobre o retorno do capital emprestado exige uma sobretaxa sobre a remunerao bsica do capital (taxa pura). A taxa de risco (ou spread) est relacionada com a capacidade de solvncia do captador, estratgia do investimento, volume de capital, etc...

Grau de Risco

%

Taxa Pura (risco = 0)

Taxa de Juro

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3.1.2.3 CAPITALIZAO DE JUROS

A palavra de capitalizao provm do termo Capital, tambm chamado de valor Principal (P) e que representa todo o conjunto de meios lquidos (moeda), cedidos durante um determinado perodo (n) e produzindo uma certa remunerao (J) para o seu proprietrio.

A Capitalizao o ato de incorporao dos juros ao capital inicial, ou seja, o incremento do valor do capital medida que o tempo decorre.

A capitalizao ou a incorporao dos juros ao capital aplicado ocorre em perodos constantes, chamado de Perodo de Capitalizao.

A cada capital (Principal) empregado durante um certo tempo (Perodo de Capitalizao), acrescido (Capitalizado) o valor correspondente aos Juros, formando o Montante (F = P+J).

O Desconto ou Atualizao o processo inverso da capitalizao, consiste numa reduo do valor do capital durante um determinado prazo.

3.1.3 FLUXO DE CAIXA.

O Fluxo de Caixa a representao grfica dos eventos financeiros (entradas e sadas) de um projeto de investimento lanadas nas respectivas datas de ocorrncia. possvel ter fluxos de caixa de empresas, projetos, operaes financeiras, de investimentos, etc.

A elaborao do fluxo de caixa indispensvel na anlise de rentabilidades e custos de operaes financeiras e no estudo de viabilidade econmica de projetos e investimentos.

O Fluxo de Caixa, ou cronograma financeiro do projeto, pode ser representado por tabelas, quadros ou esquematicamente por um diagrama apresentado.

a) Representao em tabela

t Rt Pt

0 R0 P0

1 - -

2 - P2

3 R3 -

4 R4 -

... - -

n-1 - Pn-1 n Rn -

onde,

Rt = recebimento na data t

Pt = pagamento na data t

0 1 2 3 4 5 .... . .. ...... n ( tempo )

Descapitalizao

Capitalizao

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EXEMPLO 4

Ano

Receitas Dispndios Fluxo

Resultante (US$)

Reduo custos (US$)

Investimentos (US$) Custos

Operacionais (US$)

Imposto de Renda (US$)

0 0,00 50.000,00 -50.000,00 1 24.000,00 50.000,00 16.000,00 700,00 -41.300,00 2 48.000,00 50.000,00 32.000,00 1.400,00 -32.600,00 3 72.000,00 48.000,00 2.100,00 26.100,00 4 72.000,00 48.000,00 2.100,00 26.100,00 5 72.000,00 48.000,00 2.100,00 26.100,00 6 72.000,00 48.000,00 -1.400,00 22.600,00 7 72.000,00 48.000,00 -4.900,00 19.100,00 8 72.000,00 48.000,00 -8.400,00 15.600,00 9 72.000,00 48.000,00 -8.400,00 15.600,00 10 72.000,00 48.000,00 -8.400,00 15.600,00

b) Representao Grfica

A representao grfica de um Fluxo de Caixa segue a seguinte conveno:

A escala horizontal representa o tempo, dividido em perodos descontnuos (dias, meses, anos, etc.).

Os intervalos de tempo de todos os perodos so iguais e so identificados numericamente de . 0 a n.

O ponto 0 indica a data inicial (hoje), o ponto 1 indica o final do primeiro perodo, etc.

O ponto nindica o final do horizonte de planejamento.

A escala vertical indica a magnitude do evento financeiro, sendo representado por setas para cima ou para baixo.

As sadas de caixa correspondem aos pagamentos, tm sinais negativos e so normalmente representadas por setas apontadas para baixo.

As entradas de caixa correspondem aos recebimentos, tm sinais positivos e so normalmente representadas por setas apontadas para cima.

EXEMPLO 5

48 48 48 48 48 48 16 32

5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4

1,4 4,9 8,4 8.4 8.4

24 48 72 72 72 72 72 72 72 72

50 50 50 50 48 48

0,7 1,4 2,1 2,1 2,1

R0 R3 R4 Recebimento (+) Rn

................................. P0 P2 Pagamento (-) Pn-1

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Fluxo resultante:

3.2 REGIMES DE CAPITALIZAO

Quando um capital emprestado ou investido a uma certa taxa por perodo ou diversos perodos de tempo, o juro a cada perodo de aplicao cobrado ou incorporado ao capital de acordo com 2 regimes bsicos de capitalizao de juros:

capitalizao a Juros Simples;

capitalizao a Juros Composta

3.2.1 JUROS SIMPLES.

Na capitalizao a Juros simples apenas o capital inicial (principal) rende juros.

Os juros de um perodo no se somam ao capital para o clculo de novos juros nos perodos seguintes.

Juros no so capitalizados e, conseqentemente, no rendem juros.

a) Principais caractersticas:

os juros a cada perodo de capitalizao ficam sem remunerao (ociosos) ao longo de todo o perodo de investimento.

o juro produzido em cada perodo constante.

no regime de juros simples, o dinheiro cresce em progresso aritmtica ao longo do tempo.

b) Clculo de Montante juros simples:

Representando por:

P = o principal,

n = o nmero de perodos de capitalizao,

i = a taxa de juros e

F = o montante ao final do perodo de capitalizao, tem-se:

O juro a cada perodo t calculado atravs da seguinte expresso:

iPJ tt .1=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

F3=F2=P022,6 19,1 15,6 15,6 15,6

32,6 41,3

50

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Como em Juro Simples no h incorporao de juros ao capital inicial:

n

n

FFFPPPPP

====

====

..

...

210

210

logo, i . P J .... J J J J J 0n4321t =======

O total de juros (Js), para o Regime de Capitalizao Simples, no perodo n igual a:

n . i P. J s =

e o montante, ao final do perodo n:

F = P + Js = P + P.i.n

ou, n.i) (1 P F += (4)

3.2.2 JURO COMPOSTO.

Na capitalizao a Juro Composto os juros capitalizados e passam tambm a render, ou seja, os juros de um perodo so incorporados ao capital para o clculo de novos juros nos perodos seguintes.

a) Principais caractersticas:

os juros vencidos so imediatamente incorporados ao capital no processo de capitalizao;

o capital (P) no incio de cada perodo vai aumentando pela adio dos juros vencidos no fim do perodo imediatamente anterior, dando origem a juros crescentes (existe a contagem de juros sobre juros).

no regime de juros compostos, o dinheiro cresce em progresso geomtrica ao longo do tempo

importante perceber que o dinheiro cresce mais rapidamente no regime de juros compostos do que no regime de juros simples, em razo da capitalizao dos juros.

J3

F3=F2=P0

0 1 2 3 4 n-1 n

J1 F1=P0

P0

J2

F2=F1=P0

J4

F4=F3=P0

Jn

F=Fn=Fn-1=P0

R$

R$R$ Ju

ros

Juro Composto

R$

Principal

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b) Clculo de Montante Juro Composto:

( )( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )

( )nn iPF

iPiiPiiPiPiFFJFF

iPiiPiiPiPiFFJFF

iPiPPJPF

+=

+=++=+++=+=+=

+=++=+++=+=+=

+=+=+=

1.

............

1.1.1..1.1..

1.1.1..1.1..

1..

0

30

20

20

2022323

20

10

10

1011212

1000101

ou,

ni) (1 P F += ......................................... (5)

onde:

F = montante Juro Composto

P = principal, capital aplicado

i = taxa unitria de juros referida a unidade de tempo de n

n = perodo de aplicao do capital P

3.2.3 COMPARAO ENTRE CAPITALIZAO SIMPLES E COMPOSTA

Graficamente:

Observaes:

a) As duas curvas (simples e composto) interceptam-se nos perodo 0 e 1

b) Entre 0 e 1 juros simples maior do que juros compostos.

c) Operaes comerciais (de curto prazo) so normalmente realizadas Juro Simples e as operaes financeiras (de mdio longo prazo) a Juros Compostos..

J1 F1=P0+J1

0 1 2 3 4 n-1 n

J2

F2=F1+J2

J3

F3=F2+J3

J4

F4=F3+J4

Jn

F=Fn=Fn-1+Jn

P0

0 1 2 3

Juro SimplesJuro Composto

0 1

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3.2.4 JURO CONTNUO

A capitalizao a Juro Contnuo um caso particular de Juro Composto onde a unidade de tempo de capitalizao infinitesimal e, portanto, a incorporao de juros se d a intervalos infinitesimais de tempo.

b) Clculo de Montante Juro Contnuo:

Considerando,

JUROS

tiPPPttn

Ptn

Pn

tttt

t

+=+=

=

=

+ ..

0

tem-se,

FePPPP

eniPP

niPPtiPP

tiPP

tPP

nin

nnin

nn n

t

t

t

ttt

====

= =

==

..

0 0

;.ln

.ln.ln...

ou,

niePF ..= (6)

3.2.5 PRAZO DE APLICAO FRACIONRIO

Quanto ocorre aplicao em perodo de tempo fracionrio, a contabilizao dos juros na capitalizao composta pode ser realizada de duas maneiras distintas:

Conveno exponencial

Conveno linear

a) Conveno Exponencial

A conveno exponencial considera os juros para a frao de tempo como capitalizao composta ou seja, o capital rende juros compostos durante todo o perodo de aplicao, ou seja, nos perodos inteiros e fracionrios. Na conveno exponencial, o perodo de aplicao (fracionrio) substitudo diretamente no formulrio desta modalidade de capitalizao no necessitando a mudana da taxa de juros para prazo de capitalizao compatvel com a frao de tempo.

R$R$ Juros

Juro Contnuo

R$

Principal

R$R$R$R$

R$R$R$

P=P0

Pt

P t+dt

P n

= F

J=Ptd t

t t+dt n0

Juro Contnuo

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EXEMPLO 6

Calcular o total de juros que deve ser cobrado sobre um emprstimo de R$ 10.000,00, a taxa de 6 % aa durante 5 anos e seis meses.

b) Conveno Linear

Considerando que a capitalizao simples mais vantajosa que a capitalizao composta para aplicao em prazo menor que o perodo de capitalizao, quando ocorre prazo de aplicao fracionrio a modalidade simples aplicada na frao de tempo e a capitalizao aplicada no prazo inteiro remanescente.

Ou seja, por esta conveno, calcula-se o montante a juros compostos do nmero de perodos inteiros. Ao montante obtido, adicionam-se os juros simples a ele correspondente no perodo fracionrio.

A aplicao se realiza da seguinte maneira:

1 passo: Aplicao de Juros compostos na parcela inteira do prazo ( In ):

( ) II

n

n iPF += 1.

2 passo: Em seguida, conclui-se a capitalizao aplicando ao montante obtido (at a parcela inteira tempo) a capitalizao simples para o prazo restante (a frao de tempo).

).1.( inFF FnnnN IFI +=+=

Resultando,

( ) ( )iniPF FnN I .1.1. ++= (7) onde,

FN = Montante (conveno linear)

P = capital aplicado

N = Prazo de aplicao = nI + nF

nI = parcela inteira do prazo N

nF = parcela fracionria do prazo N

Juro Composto Juro Composto

Juro Composto

P0

nF

0 1 2 n-2 n-1 n

Juros Simples

n+nF=N = Prazo de Aplicao

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3.2.6 EXEMPLOS.

EXEMPLO 7 Avaliar, para os regimes de capitalizao simples e composto, a evoluo mensal de uma dvida de R$100,00, durante trs meses, taxa de 5,00% a.m.:

MS JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS

JUROS MONTANTE JUROS MONTANTE

0

1

2

3

EXEMPLO 8 Um capital de R$ 50.000,00 aplicado a juro simples, taxa de 15% a.m., quanto perfaz ao fim de dois anos?

EXEMPLO 9 O valor de US$ 10.000,00 colocado em uma conta, no final de 2.006, a juros de 10% a.a., em quanto montar em fins de 2.015 (desconsiderando correo monetria e alteraes da moeda corrente.)

EXEMPLO 10) Calcular o montante devido pela utilizao de um capital de R$ 1.500,00 por 20 dias uma taxa de juros de 4%a.m. capitalizados continuamente?

EXEMPLO 11) Considerando Juro Composto, determine:

a. O capital que, sendo investido durante 4 meses taxa mensal de 12% d juro de R$20.000,00

b. O nmero de meses necessrios para que um capital de R$ 50.000,00 investido taxa semestral de 8%, d um juro igual a R$ 135.000,00

c. A taxa quadrimestral a que deve ser investido um capital de R$500.000,00 para que d, ao fim de 12 meses, um juro de R$ 50.000,00

EXEMPLO 12) Calcular o total de juros que deve ser cobrado sobre um emprstimo de R$ 10.000,00, a taxa de 6 % aa durante 5 anos e seis meses considerando a Conveno Linear de juros.

IMPORTANTE o prazo (n) e a taxa de juros (i) devem estar sempre expressas na mesma unidade de tempo.

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3.3 TIPOS DE TAXAS DE JUROS.

A existncia de distintos regimes de capitalizao permite a utilizao de artifcios que mascaram a rentabilidade real de um investimento de tal forma que os juros, conforme a convenincia, parecerem maiores ou menores.

Isto tambm ocorre quando existem obrigaes, taxas, impostos ou comisses que comprometem os rendimentos ou oneram os pagamentos de juros.

Critrios diferentes para o clculo de juros tambm fazem a taxa expressa na negociao diferir da taxa efetivamente realizada, como por exemplo, juros cobrados antecipadamente ou calculados sobre um total que na realidade pago em parcelas.

Como os formulrios utilizados em Engenharia Econmica so deduzidos a partir de taxas de juros, que refletem o rendimento efetivo, apresentamos na seqncia as diferentes formas de indicao de taxas de juros, assim como, a metodologia de converso compatvel com os formulrios de equivalncia de capitais.

3.3.1 TAXAS PROPORCIONAIS

Duas taxas de juros (i e im) so ditas proporcionais quando referidas a tempos diferentes (t e tm), mantm entre si a mesma relao que seus perodos de referncia

tt

ii mm

= m

tm

t=

m

iim = (7)

T tm Equivalncia de perodo m

ano ms 1 ano=12 meses m=12 meses/ 1 ms = 12

ano da 1 ano = 360 dias m = 360 dias/ 1 dia = 360

ms semana 1 ms = 4 semanas m = 4 semanas / 1 semana = 4

EXEMPLO 13 Calcular a taxa de juros mensal proporcional a taxa de 12% ao ano:

3.3.2 TAXAS EQUIVALENTES

Duas taxas (i e im) so ditas equivalentes se produzirem a mesma quantidade de juros (ou igual montante), para o mesmo capital inicial empregado (P) e no mesmo perodo de tempo (n)

Condio de Equivalncia:

F1 = F2 = F

P

F2 = F

n =m perodos tmtm tm tm tm tm

im im im im im P

n = 1 perodo t

i

F1 = F

Data: ________/___________________/2008

Obs.: ____________________________________________________________


Notas de Aula


a) Juros Simples

Frmula do montante para juros simples: F = P. (1+n.i)

F1 = P.(1+1.i)

F2 = P. (1 + m . im)

Condio de equivalncia: F = F1 = F2

P.(1+1.i) = P. (1 + m . im)

m

iim =

donde se conclui:

JURO SIMPLES: TAXAS PROPORCIONAIS SO TAMBM EQUIVALENTES

b) Juros Compostos.

Frmula do montante para juro composto: F = P. (1+i)n

F1 = P.(1+i)1

F2 = P. (1 + im)m


P.(1+i) = P. (1 + im)m

obtendo-se a equao de equivalncia entre duas taxas, para Juros Compostos:

( ) ( )mmii +=+ 11 (8) donde se conclui:

JURO COMPOSTO: TAXAS PROPORCIONAIS NO SO EQUIVALENTES .

c) Juros Contnuos

Frmula do montante para juro contnuo : F = P. ei.n

F1 = P. eix1

F2 = P. eimxm


F1 = P. eix1 = P. eimxm

ou simplesmente,

i x 1 = eimxm

m

iim =

donde se conclui:

JURO CONTNUO: DUAS TAXAS PROPORCIONAIS SO TAMBM EQUIVALENTES.

Data: ________/___________________/2008

Obs.: ____________________________________________________________


Notas de Aula


EXEMPLO 14 Calcular a taxa de juros mensal proporcional a taxa de 12% ao ano para capitalizao simples, composta e contnua.

3.3.3 TAXA EFETIVA

Uma taxa de juros dita efetiva quando ao final do perodo por ela indicado (perodo de referncia da taxa de juros) o total de juros cobrado (ou incorporado ao principal) corresponde ao valor indicado pela taxa (valor da taxa).

juro simples: todas as taxas de juros so efetivas.

juro composto: taxa efetiva quando perodo de referncia da taxa de juros igual ao perodo de capitalizao.

juro contnuo: no existe taxa de juros efetiva, sempre o perodo de referncia da taxa de juros difere perodo de capitalizao (infinitesimal).

Perodo de capitalizao = perodo de tempo em que os juros so incorporados/cobrados.

taxa de 12% ao ano, com capitalizao anual.

3.3.4 TAXA NOMINAL

Quando uma taxa de juros declarada ou registrada nos contratos de uma operao de crdito ou de investimentos no corresponde ao seu custo efetivo (juro cobrado) dita nominal.

juro simples: no existe taxa nominal.

juro composto: taxa nominal quando perodo de referncia da taxa de juros difere do perodo de capitalizao.

Juro contnuo: todas as taxas de juros so nominais, sempre o perodo de referncia da taxa de juros difere perodo de capitalizao (infinitesimal).

taxa de 12% ao ano, com capitalizao mensal.

3.3.5 CONVERSO DE TAXAS DE JUROS

a) Juro Simples:

a.1) Taxa Nominal em Taxa Efetiva

No h de se falar em converso de Taxa nominal em taxa efetiva para capitalizao simples ou contnua pois nunca haver uma taxa nominal associada juro simples.

Perodo de capitalizao (ms)

Perodo de referncia da taxa de juros (ano)

Perodo de capitalizao (ano)

Perodo de referncia da taxa de juros (ano)

Data: ________/___________________/2008

Obs.: ____________________________________________________________


Notas de Aula


a.2) Taxas efetivas com diferentes perodos de capitalizao

a converso realizada mediante a aplicao da equao (7) de proporcionalidade entre duas taxas de juros:

m

iim =

b) Juro Composto:

b.1) Taxa nominal em Taxa efetiva

A taxa efetiva equivalente referida ao mesmo perodo da taxa nominal, difere da rentabilidade indicado na taxa nominal.

A converso de um taxa nominal em uma taxa efetiva realizad mediante os seguintes passos:

1 passo: A converso da taxa nominal para a taxa efetiva implcita feita no regime de juros simples atravs da determinao da taxa de juros proporcional referida ao perodo de capitalizao que corresponde a taxa efetiva de juros. Equao (7):

m

iim =

2 passo: Conhecida a taxa efetiva (taxa proporcional para perodo de capitalizao) determina-se a taxa de juros equivalente para o perodo desejado. Equao (8)

( ) ( )mmii +=+ 11 b.2) Taxas efetivas referente a diferentes perodos de tempo:

A converso realizada mediante a aplicao da equao (8) de equivalncia entre duas taxas de juros:

( ) ( )mmii +=+ 11 c) Juro Contnuo.

c.1) Taxa nominal (Juro Contnuo) em Taxa efetiva (Juro Composto)

Como nunca haver uma taxa efetiva associada juro contnuo para converter uma taxa de juro contnuo em efetiva devemos converter o regime de capitalizao de contnuo a composto.

A capitalizao contnua se caracteriza por ocorrer a perodos de tempo infinitesimais ( t ). Considerando que a capitalizao contnua um caso particular de capitalizao composta podemos utilizar a equao (8) que representa a relao de equivalncia entre duas taxas de juros compostos.

( )m

m

ri

+=+ 11 onde zero

m

r e m

11lim11

+=

+=

r

r

m

m

m

m

r

m

ri

Data: ________/___________________/2008

Obs.: ____________________________________________________________


Notas de Aula


Por definio em

r

r

r

m

m=

+

1lim

resultando,

1= rei (9)

onde:

i = taxa de juros efetiva (juro composto) r = taxa instantnea ou taxa contnua (juro contnuo)

obs. As taxas i e r definidas na equao (9) devem estar relacionadas ao mesmo perodo de tempo;

3.3.6 TAXAS DE JUROS POSTECIPADA E ANTECIPADA

Tanto os juros simples como os compostos, podem ser capitalizados de forma antecipada ou:postecipada.

a) Taxa de Juros Postecipada:

Uma taxa de juros dita postecipada quando os juros so cobrados/incorporados ao capital aplicado aps decorrido o perodo de tempo especificado na taxa de juros.

Os formulrios de equivalncia entre capitais utilizados na Engenharia Econmica consideraram a cobrana de juros postecipada.

b) Taxa de Juros Antecipada.

Uma taxa de juros dita Antecipada quando o juro cobrado no incio do perodo de tempo indicado na taxa. Neste caso, sempre que inicia um novo perodo de tempo o juro pago (recebido) ou incorporado ao capital.

No caso, por exemplo, dos penhores da Caixa Econmica os juros cobrados so antecipados, ou seja, os juros so pagos na hora da operao de penhora

Considerando o mesmo valor da taxa de juros o juro antecipado sempre maior que o postecipado.

J3

0 1 2 3 4 n-1 n

J1

P

J2

J4 Jn

T A

J3

J1

J2

J4

0 1 2 3 4 n-1 n

PTAXA POSTECIPADA

Jn

Data: ________/___________________/2008

Obs.: ____________________________________________________________


Notas de Aula


3.3.7 CONVERSO DE UMA TAXA ANTECIPADA EM UMA TAXA POSTECIPADA

Considerando uma operao de emprstimo (P), de prazo n, a ser paga com juros antecipados, onde: F = valor da divida a ser paga no perodo n = P

Tendo que o prazo n igual ao perodo de cobrana do juro, o valor recebido (P) no ato da operao de emprstimo (deduo do juro antecipadamente) corresponde a:

Os Juros antecipados correspondem :

aasantecipadoiFiPJ .. ==

.

Ainda,

( )aa iFiFFPJFP

==

=

1..

Para a capitalizao composta a ser realizada postecipadamente e no mesmo prazo unitrio (n=1), da cobrana antecipada temos:

)1.( eiPF +=

Substituindo ( )aiPF

=

1 , teremos,

( ) ( )

( )( )

( )aa

ae

ea

ii

ii

iPi

PF

=

=

+=

=

111

11

1

1.1

a

ae i

ii

=

1 (10)

Obs. O Perodo de referncia da taxas ei e ai so iguais.

3.3.8 TAXA DE INFLAO

A inflao a perda do poder aquisitivo da moeda em determinado perodo de tempo e a correo monetria o reajuste peridico de certos preos na economia pelo valor da inflao passada, com o objetivo de compensar a perda do poder aquisitivo da moeda. A taxa de inflao , portanto, a taxa de juros que permite a correo monetria de um determinado capital que sofreu efeito inflacionrio.

O .................................................. ...n =1

eiO ..... ........ ........................................n =1

ai

Data: ________/___________________/2008

Obs.: ____________________________________________________________


Notas de Aula


A taxa de inflao normalmente obtida atravs da variao de ndices financeiros como mostra a seguinte equao:

100

0,0 =

=

II

III nn

n (11)

n,0 = taxa de inflao/correo monetria para o perodo n0

0I = valor do ndice no perodo inicial (zero)

nI = valor do ndice no perodo final (n)

Caso se conhea as inflaes de sub-perodos (0, 1, 2, ... , n) possvel a obteno do perodo total (0 a n) atravs da equao abaixo:

( ) ( )( )( ) ( )nn ++++=+ 1.....1.1.11 321,0 (12)

3.3.8.1 INDICADORES FINANCEIROS:

A correo monetria um mecanismo criado e institucionalizado no Brasil em 1964, para reajustar os ativos financeiros no sentido de compensar os efeitos contundentes da desvalorizao da moeda ou preservar o poder aquisitivo das unidades monetrias. Desde a implantao do Plano Real, em 1994, a correo monetria est oficialmente extinta no pas. A lei permite que apenas uns poucos tipos de contrato, todos com durao superior a um ano, possam sofrer correo monetria.

IPC, IGPM, IPCA, IGP, ICV, entre outras, so algumas das siglas que em comum tm o objetivo de demonstrar a trajetria dos preos de produtos e/ou servios no Brasil e, consequentemente, medir a inflao. Porm, cada um destes ndices calculado por um rgo ou instituio distinto, possui uma composio prpria e analisa um perodo caracterstico de tempo (ms, bimestre, semestre etc.). Por isso, surgem divergncias entre os ndices, que acabam deixando a populao em dvida sobre qual a inflao real do pas.

O IGP, calculado pela FGV, a medida sntese da inflao nacional e que registra o ritmo evolutivo de preos. Sua composio feita pela mdia ponderada de trs indicadores: ndice de Preos por Atacado (IPA) (60%), ndice de Preos ao Consumidor (IPC) (30%) e ndice Nacional de Preos da Construo Civil (INCC) (10%).

Apesar de ter periodicidade mensal, esse ndice apresenta trs verses diferentes. O IGP-DI (disponibilidade interna) compreende o perodo entre o primeiro e o ltimo dia do ms pesquisado; o IGP-M (do mercado) calcula o espao entre o dia 21 do ms anterior e o dia 20 do ms de referncia. J o IGP-10 compreende o perodo entre o dia 11 do ms anterior e o dia 10 do ms de referncia. Na tabela abaixo so apresentados valores/variao de vrios ndices de correo, nos anos de 1997, 2002, 2006 e 2007:

US $ (dez)

IGP-M (% a.a)

Selic (% a.a)

IGP-DI (% a.a)

INPC (% a.a)

1997 1,116 7,36 24,88 7,48 4,34

2002 3,545 11,87 19,26 26,41 14,74

2006 2,138 1,90 15,08 3,79 2,81

2007 1,7713 7,75 11,880 7,89 5,16

Os ttulos negociados pelo Tesouro normalmente utilizam dois indexadores: a taxa de inflao (medida pelo ndice IGP-M) ou a taxa bsica de juros da economia (a taxa Selic).

A taxa SELIC a taxa que reflete o custo do dinheiro para emprstimos bancrios, com base na remunerao dos ttulos pblicos. Tambm conhecida como taxa mdia do over que regula diariamente as operaes interbancrias.

3.3.9 TAXA GLOBAL E TAXA REAL DE JUROS

Data: ________/___________________/2008

Obs.: ____________________________________________________________


Notas de Aula


A taxa real de juros corresponde a rentabilidade efetiva de um investimento financeiro (que no incorpora os efeitos da inflao no perodo).

A taxa global a taxa de juros que incorpora, alm da taxa real, os efeitos da inflao (correo monetria).

A equao abaixo relaciona a taxa global, a taxa de inflao e a taxa real de juros referenciadas a um perodo de tempo t:

( ) ( )( )++=+ 1.11 ig (13) Onde, g = taxa global

i = rentabilidade real (taxa de juros deflacionada)

= taxa de inflao

Deve-se observar que a taxa global no igual soma aritmtica da taxa real e a taxa de inflao.

A taxa global tambm pode ser chamada de taxa pr-fixada, ou seja uma taxa que normalmente inclui a taxa de inflao.

Nos investimentos com taxa ps-fixada, revelada a taxa real no momento da aplicao e a taxa global paga no final s obtida aps ser dada a taxa de inflao do perodo considerado.

3.3.10 TAXA DE MNIMA ATRATIVIDADE

Taxa de Mnima Atratividade (TMA) a taxa de juros que identifica a atratividade mnima aceitvel para a execuo de um projeto de investimento, representando o mnimo que um investidor se prope a ganhar quando faz um investimento, ou o mximo que um tomador de dinheiro se prope a pagar quando faz um financiamento.

Esta taxa formada a partir de 3 componentes bsicas:

Custo de Oportunidade: remunerao obtida em outras alternativas que no as analisadas. Exemplo: caderneta de poupana, fundo de investimento, etc.

Risco do Negcio: o ganho tem que remunerar o risco inerente de uma nova ao. Quanto maior o risco, maior a remunerao esperada.

Liquidez: capacidade ou velocidade em que se pode sair de uma posio no mercado para assumir outra.

A taxa de atratividade tambm pode ser chamada de: custo de oportunidade, custo de capital, taxa de corte (hurdle rate), taxa de desconto.

A TMA considerada pessoal e intransfervel, pois a propenso ao risco varia de pessoa para pessoa, ou ainda a TMA pode variar durante o tempo. Assim, no existe algoritmo ou frmula matemtica para calcular a TMA.

A TMA pode ser expressa na forma global, isto , conter a inflao ocorrida/prevista para o perodo do investimento.

PROJETO 1

TMA

PROJETO 2

Data: ________/___________________/2008

Obs.: ____________________________________________________________


Notas de Aula


3.3.11 EXEMPLOS

EXEMPLO 15 Determinar a taxa efetiva correspondente taxa de 12% a.a. para aos perodos de capitalizao abaixo relacionado e para capitalizao anual: ano comercial = 360 dias.

PERODO DE CAPITALIZAO

m TAXA EFETIVA TAXA EFETIVA ANUAL

Anual

Semestral

Bianual

Quadrimestral

Trimestral

Mensal

Diria

Contnua

Formulrio m

tm

t=

m

ii m = 1=rei ( ) ( )mmii +=+ 11

EXEMPLO 16 Determinar:

a) a taxa instantnea equivalente a taxa efetiva de 12% a.a. b) a taxa efetiva mensal e anual correspondentes taxa de 24% a.a. com capitalizao semestral. c) a taxa efetiva anual correspondente a 30% a.a. com capitalizao trimestral d) a taxa instantnea mensal correspondente a taxa de 15 % a.a. com capitalizao trimestral.

EXEMPLO 17 Qual a taxa de juros postecipada equivalente taxa de 10% ao ms, capitalizada mensalmente e cobrada de forma antecipada?

EXEMPLO 18 Qual a taxa efetivamente cobrada em um emprstimo de R$ 10.000,00, durante 5 meses, sabendo-se que cobrado antecipadamente 30% de juros?

Data: ________/___________________/2008

Obs.: ____________________________________________________________


Notas de Aula


EXEMPLO 19 Qual a inflao mensal ocorrida entre set/93 (URV = CR$98,51) e maro/94 (URV=CR$647,50)?

EXEMPLO 20 Um dado investimento pr-fixado, paga 20% ao ano de taxa global, enquanto outro ps-fixado pagar 10% ao ano de taxa real mais a ocorrida inflao do perodo. Sabendo-se que a capitalizao anual para as duas oportunidades pede-se, escolher qual o melhor investimento em funo da taxa de inflao:

EXEMPLO 21 Qual a taxa real de juros obt

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