Apostila_calculoIII_2014

5/25/2018 Apostila_calculoIII_2014

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CLCULO III

Prof. Luly Rodrigues

Prof. Edna Alves Oliveira

- 2013 -


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UNIVERSIDADE FUMEC FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA

Clculo III

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FFUUNNCCEESSDDEEVVRRIIAASSVVAARRIIVVEEIISSIINNDDEEPPEENNDDEENNTTEESS

1. DEFINIES:

Considere o exemplo: "uma caixa d'gua na forma retangular, com capacidade para

256 litros, sem tampa, deve ser construda com chapa de ferro galvanizado de

espessura desprezvel. Calcular as dimenses da caixa de maneira que seja mnima a

quantidade de chapa metlica necessria para constru-Ia".

Figura 3-Caixa d'gua retangular

A quantidade de chapa metlica necessria para construir a caixa d'gua ser

determinada pela rea total: Atotal = 2xz + xy + 2yz - a cada terno de valores

atribudos a x, y, e z (domnio) corresponde um valor da rea total (imagem). Dizemos

que a rea total (Atotal) uma funo com trs variveis independentes.

Mas, sabe-se que xyz = 256 litros (equao), ento, neste exemplo podemos diminuir

o nmero de variveis independentes para duas, pois, z = 256 / xy.

Portanto,

total

512 512A xy

y x= + + .

Peloexemplo, pode-se definir funoe equao:

Funo: " uma correspondncia que associa a cada elemento de seu domnio (D)

a exatamente um elemento do seu contradomnio (I)".

z

y

x


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Clculo III

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Equao algbrica: " uma igualdade com incgnitas - representadas por variveis

(x, y, z) que pertencem ao conjunto dos reais".

Uma funo f de duas variveis uma regra que associa, a cadapar ordenado

de nmeros reais (x, y)de um conjunto D, um nico valor realdenotado por f(x,y).

O conjunto D o domnio de f, e sua imagem, o conjunto de valores possveis de f, ou

seja, { }f x y x y D( , ) ( , ) .(STEWART, 2007)

Utilizando notaes, pode-se definir uma funo de vrias variveis da seguinte

forma:

D : Rn I : R

Portanto, uma funo de duas variveis reais:

D : R2 I : R

=D:(x,y) I:z f (x,y)

Representao grfica:


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Clculo III

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2. ESTUDO DO DOMINIO

Domnio de uma funo de duas variveis (f(x,y)): o mais amplo subconjunto

de R2 em cujos pontos a funo assume valores reais bem definidos.

Exemplos:

a) Considere a funo: ( )x y

f x,yx y

+=

. Este quociente s no definido

quando x - y = O, isto , quando y = x. O domnio , pois, o conjunto:

{ }2

D (x,y) R / y x= .

Geometricamente, D o conjunto dos pontos do plano xyque no pertencem

reta y = x.

b)Examinemos a funo: ( )2 2

x y 7f x,y1 x y

+ =

O numerador um polinmio do 10grau nas variveis x e y, e, como tal, definido

em R2.

Para que o denominador seja real e no nulo, deve-se ter:

1 -x2-y2> 0, ou x2+ y2< 1.

Segue-se que o domnio da funo f (x, y) Sabe-se da Geometria Analtica que D

{ 2 2 2D (x,y) / x y 1= +


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EXERCCIOS SOBRE DOMNIO DAS FUNES DE DUAS OU TRS VARIVEIS

1.Estude o domnio das funes (represente algbrica e geometricamente).

a) = =z f(x,y) xy

Resposta: representao algbrica ( ) }= 2D x,y R / x 0 e y 0 x 0 e y 0 ,

representao geomtrica do domnio: o primeiro e o terceiro quadrantes incluindo os eixos.

b) = = z f(x,y) ln(y 3x)

Resposta: ( ){ }= >2D x,y R / y 3x

c)z=y

yxyxf12

34),( 3 +++=

Resposta: ( )

= >

2 3D x,y R / x y 04


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d) = =+2 2y

z f(x,y)x y

Resposta: ( ) ( ) ( )0,0,/, 2 = yxRyxD

e)( )

= = 2 22xyz f(x,y)

ln 36 x 9y

Resposta: ( )

= +


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g) = =

uvz f(u,v)

u 2v

Resposta: todos os pontos do plano uv,exceto os pontos da reta u = 2v.

h)z=2 23

( , )9

x yf x y

x y

+=

Resposta: ( ){ }= 2 2 2D x,y R / x y 9


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Clculo III

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3. GRFICO DE FUNES DE DUAS VARIVEIS INDEPENDENTES (IMAGEM)

As propriedades da funo refletem-se no seu grfico, por isso, este um elemento de

valor no estudo da funo. Ao observar o grfico de uma funo, percebe-se

imediatamente vrias propriedades desta.

O grfico de uma funo de duas variveis trata-se de um subconjunto do espao

tridimensional R3. Esse grfico denomina-se superfcie representativa da funo. A

figura 4 ilustra o grfico de funes duas variveis. Cada ponto P = (x, y)do domnio

D da funo corresponde um nico valor realz, na forma de notao tem-se:z = F (x,

y).

Figura 4 Grfico de funes de duas variveis

Exemplos:

a)Represente graficamente = = z f (x,y) 6 2x 3y .

Soluo:esta funo pode ser escrita na forma + + =2x 3y z 6 o que corresponde

a equao de um plano. Sabe-se que, para representar geometricamente um

plano, so necessrios, no mnimo, trs pontos, por exemplo:

= = =

= = =

= = =

se x 0 e y 0 z 6

se x 0 e z 0 y 2

se y 0 e z 0 x 3

z

y

x


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b)Represente graficamente = =z f (x,y) 5 .

Soluo:a superfcie um plano paralelo ao plano cartesiano XY, que intercepta

o eixo Z em 5.

c) Represente graficamente = = 2 2z f (x,y) 100 x y e trace as curvas de nvel f(x,

y)=0, f(x, y)=51 e f(x, y) = 75 no domnio de f no plano.

Soluo: o domnio de f o plano xy, e a imagem de f o conjunto de nmeros

reais menores ou iguais a 100. O grfico o parabolide z = 100 x2 y2, uma

parte se encontra ilustrada na figura 5.

A curva de nvel f(x, y)= 0 o conjunto de pontos no plano xynos quais:

2 2 2 2f (x,y) 100 x y 0 ou x y 100= = + =

que representa uma circunferncia de raio 10 centrada na "origem. Similarmente as

curvas de nvel f(x,y) 51 e f(x,y) 75= = (figura 5) so as circunferncias:

2 2 2 2f (x,y) 100 x y 51 ou x y 49= = + =


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2 2 2 2f (x,y) 100 x y 75 ou x y 25= = + =

A curva de nvel f(x, y)= 100 consiste apenas a origem (ainda uma curva de

nvel).

Figura 5 - Grfico e curvas de nvel selecionadas da funo f (x,y) = 100 x2 y2

Observe que a projeo (ortogonal) da superfcie S sobre o plano xy

precisamente o domnio D da funo.

d) Represente graficamente = = 2 2z f (x,y) 1 x y .

Soluo:a superfcie gerada uma semi-esfera de centro na origem e raio 1.

e) Represente graficamente = = +2 2z f (x,y) x y .

Soluo:a superfcie gerada um parabolide de revoluo.

100

z

f(x,y)=75

1

1f x

A superfciez = (f, x) = 100 x2 y2 ogrfico de f

y

f(x,y) = 51(uma curva de nveltpica no domnio da funo)

x


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f) Represente graficamente = = z f (x,y) 6 2x 3y .

Soluo:esta funo pode ser escrita na forma + + =2x 3y z 6 o que corresponde

a equao de um plano. Sabe-se que, para representar geometricamente um

plano, so necessrios, no mnimo, trs pontos, por exemplo:

= = =

= = =

= = =

se x 0 e y 0 z 6

se x 0 e z 0 y 2

se y 0 e z 0 x 3

3.1 SUPERFCIES QUDRICAS

Vimos que, em duas dimenses, o grfico de qualquer equao do segundo graux e y,

+ + + + + =2 2Ax By Cx Dy Exy F 0


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Clculo III

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umaseo cnica(salvo em casos degenerados). Em trs dimenses, o grfico de

uma equao de segundo grau emx, y, z,

+ + + + + + + + + =2 2 2Ax By Cz Dxy Exz Fyz Gx Hy Iz J 0

uma superfcie qudrica (salvo em casos degenerados). Por simplicidade,limitaremos o estudo ao caso em que os coeficientes D, E, F, H, eI so todos zero. As

equaes mais gerais podem reduzir-se a este caso mediante translaes e rotaes

adequadas de eixos.

H trs tipos de superfcies qudricas: elipsides, hiperbolides e parabolides. Os

nomes se devem ao fato de que os traos em planos paralelos aos planos coordenados

so em geral elipses, hiprboles e parbolas, respectivamente. A seguir, apresentam-

se algumas superfcies qudricas com os traos em cada plano cartesiano.


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ELIPSIDE

Trao Equao do

Trao

Descrio

do TraoEsboo do Trao

Trao-xy 2 22 2

x y1

a b+ =

Elipse

Trao-yz 2 22 2

y z1

b c+ =

Elipse

Trao-xz 2 22 2

x z1

a c+ =

Elipse

+ + =2 2 2

2 2 2

x y z1

a b c

x

y

(0, b, 0)

(a,

z

z

y(0, b,

x

(0, 0,

z

y(0, b,

x

(0, 0,

(a, 0,

z

y

(0, b, 0)

x

(0, 0, c)

(a, 0, 0)

trao-yz

trao-xytrao-xz


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HIPERBOLIDE DE UMA FOLHA

Trao Equao doTrao

Descrio

do TraoEsboo do Trao

Trao-xy 2 22 2

x y1

a b+ =

Elipse

Trao-yz =

2 2

2 2

y z1

b c

Hiprbole

Trao-xz =

2 2

2 2

x z1

a c

Hiprbole

+ =2 2 2

2 2 2

x y z1

a b c

z

y

(0, b, 0)

x

(a, 0, 0)

z

y

(0, b, 0)

x

z

y

x

(a, 0, 0)

z

yx

trao emz = -k

z = k


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HIPERBOLIDE DE DUAS FOLHAS

Trao Equao doTrao

Descrio

do Trao Esboo do Trao

Trao-xz 2 22 2

x y1

a b =

Hiprbole

Trao-xz =

2 2

2 2

x z1

a c

Hiprbole

+ =2 2 2

2 2 2

x y z1

a b c

trao emz = -k

Trao emZ=K

y

z

x

z

y(0, b,

x

z

y

x

(0, 0,


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- TABELA 1

OS SEIS TIPOS NO DEGENERADOS DAS SUPERFCIES QUDRICAS

SUPERFCIE EQUAES SUPERFCIE EQUAES

ELIPSIDES

2 2 2

2 2 2

x y z1

a b c+ + =

Os traos nos planoscoordenados soelipses, comotambm so elipsesos traos em planosparalelos aos planoscoordenados, queinterceptam a

superfcie em maisde um ponto.

CONE ELPTICO= +

2 22

2 2

x yz

a b

Os traos do planoxy um ponto (aorigem) e os traosem planos paralelosao planoxynoelipses. Os traos yze

xy so pares de retasque se interceptam na

origem. Os traos emplanos paralelos aestes so hiprboles.

HIPERBOLIDE DE

UMA FOLHA

2 2 2

2 2 2

x y z1

a b c+ =

O trao no planoxy uma elipse, comoso os traos nosplanos paralelos aoplano xy. Os traosnos planos yz exz

so hiprboles, bemcomo os traos nosplanos paralelos aeles que no passampelos interceptosxey. Nestesinterceptos, ostraos so pares deretas concorrentes.

PARABOLIDE ELPTICO 2 2

2 2

x yz

a b= +

O traos em planoxyum ponto (a origem) eos traos em planos

paralelos e acima delesaio elipses. Os traosnos planosxy exz,bem como em planosparalelos a eles soparbolas.

HIPERBOLIDE DEDUAS FOLHAS

2 2 2

2 2 2

z x y1

c a b =

No h trao noplanoxy. Em planosparalelos ao plano

xyque interceptama superfcie em maisdo que um ponto ostraos so elipses.Nos planos yz, xz enos planos paralelosa eles, os traos sohiprboles.

PARABOLIDEHIPERBLICO

2 2

2 2

y xz

b a=

O trao no planoxy um par de retas quecruzam na origem. Ostraos em planosparalelos ao planoxyso hiprboles. Ashiprboles acima doplanoxyabrem-se nadireo y e as abaixona direox. Ostraos nos planos yze

xz so parbolas,assim como os traosnos planos paralelos a

estes.

Y

X

z


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EXERCCIOS SOBRE IMAGEM DAS FUNES DE DUAS VARIVEIS

1.Represente a funo dada desenhando algumas curvas de nvel, no mesmo plano

coordenado, e tente visualizar a superfcie a partir do mapa de contorno resultante.

a) = = +2 2z f(x,y) x y : Resposta: curvas de nvel circunferncias concntricas

centradas na origem / superfcie parabolide circular

b) = = 2 2z f(x,y) y x Resposta: curvas de nvel hiprboles que interceptam os

eixos x (se K < 0) e o eixo y (se K > 0) e retas que passam pela origem (se K = 0) /

superfcie: parabolide hiperblico (sela)

2.Esboce a superfcie definida pelas funes ou equaes.

a) 2 2z f(x,y) 36 9x 4y= = e) 2 2z f(x,y) 9x 4y 36= = +

b) 2 2z f(x,y) 72 4x 9y= = + f) 2 2z f(x,y) 9x 4y 36= = + +

c) 2 2z f(x,y) 9 x y= = g) 2 2z f(x,y) 25 x y= =

d) = = z f(x,y) 4 4x 2y h) + + =2 2x 4y z 16

3.Ache a equao da curva ouda superfcie de nvel de fque contm o ponto P.

a) f(x,y) yarctg x;P(1;4)= : Resposta: y arctg x =

b)2 xy

f (x,y) (2x y ) e ; P(0; 2)= + Resposta: (2x + y2

) exy

= 4

c) = + 2 2 2f(x,y,z) x 4y z ; P(2; 1; 3) / FAA UM ESBOO DA SUPERFCIE DE NVEL

Resposta: 2 2 2x 4y z 1 + = / hiperbolide de duas folhas

d) 2 2f (x,y) 2x y ; P(0, 2)= + / FAA UM ESBOO DA CURVA DE NVEL QUE CONTM P

Resposta:2 2x y

12 4

+ = / elipse

e) 2 2f (x,y,z) x 4y z; P(2; 1; 12)= + / FAA UM ESBOO DA SUPERFCIE DE NVEL

Resposta: 2 2z x 4y 4= + / parabolide elptico


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4. Uma chapa plana de metal est situada em um plano xy, de modo que a

temperatura T(em C no ponto (x,y) inversamente proporcional distncia do

ponto at a origem.

a)Descreva as isotrmicas; Resposta: crculos com centro na origem

b)Se a temperatura no ponto P (4, 3) de 40C, ache a equao da isotrmica para

uma temperatura de 20C. Resposta: x2+ y2= 100

5.De acordo com a lei da gravitao universal de Newton, se uma partcula de massa

m0 est na origem de um sistema coordenado xyz, ento o mdulo F da fora

exercida sobre uma partcula de massa msituada no ponto (x, y, z) dada por:

02 2 2

Gm mF

x y z=

+ +

em que G a constante de gravitao universal.

a)Quantas variveis independentes esto presentes?

b) Se m0 e m so constantes, descreva as superfcies de nvel da funo x, y, z

resultante. Qual o significado fsico dessas superfcies de nvel.

Respostas:a) cinco

b) esferas com centro na origem.

6. Se o potencial eltrico no ponto P(x, y, z) dado por V = 6 / (x2+ y2+ 9z2)1/2,ache a equao da superfcie equipotencial (superfcie de nvel) quando V = 120

volts e faa um esboo desta superfcie.


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4. DERIVADAS PARCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM

Se z f (x,y),= ento a derivada parcial de fem relao x (tambm chamada

de derivada de z em relao x) a derivada em relao y da funo que

resulta quando y mantido fixo e x permitido variar. Essa derivada parcial

denotada por xf

f (x,y)x

=

e pode ser expressa como limite:

+ = =

x x 0

f f (x x,y) f (x,y)f (x,y) lim

x x

Analogamente, a derivada parcial de f em relao y (tambm chamada de

derivada parcial de z em relao y) a derivada em relao y da funo que

resulta quando x mantido fixo e y permitido variar. Esta derivada parcial

denotada por

+ = =

y y 0

f f (x,y y) f(x,y)f (x,y) lim

y y

Exemplos:

a)Determinar as derivadas parciais de primeira ordem da funo

( ) ( )= = + 3 2

z f (x,y) x y sen 2x :

Soluo

( ) ( ) ( )

= = + + 2 3 2

x

ff (x,y) 3x sen 2x 2 x y cos 2x y cons tante

x

( )

= = yf

f (x,y) 2y sen 2x x cons tantey

b) Exemplo de uma funo de trs variveis independentesSe os resistores eltricos R1, R2, R3ohms so conectados em paralelo para formar um

resistor de R ohms, o valor de Rpode ser encontrado a partir da equao:

1 2 3

1 1 1 1R R R R

= + +

(Figura 6). Encontre o valor2

RR

quando R1= 30, R2= 45 e R3= 90 ohms.


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Figura 6 Resistores em paralelo

Soluo: para encontrarmos2

R

R

tratamos R

1e R

3como constantes e derivamos

ambos os lados da equao em relao a R2.

++

=

32122 R

1

R

1

R

1

RR

1

R

0R

10

R

R

R

1

2222

+=

2

22

2

2

2 R

R

R

R

R

R

==

Quando R1=30, R2=45 e R3=90,

15

1

90

1

45

1

30

1

R

1=++= ,

assim R = 15 e

9

1

3

1

45

15

R

R 22

2

=

=

=

+ -

R1

R2

R3


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4.1 Interpretao geomtrica das derivadas parciais

A derivada parcial ( )0000 ,),( yxx

fyxfx

= a inclinao da tangente `a curva C1 [z =

f(x, y0)] no ponto P (x0, y0) - (tangente trigonomtrica do ngulo que a tangente curva C1em P forma com o eixo X) ver figura 7.

Figura 7 Interseo do plano y = y0com a superfciez = f(x, y)vista de um

ponto acima do primeiro quadrante do planoxy Fonte/ THOMAS, 2003.

A derivada parcialy

f)y,x(fy

= a inclinao da tangente `a curva C2[z = f(x0, y)] no

ponto P (tangente trigonomtrica do ngulo que a tangente curva C2em P forma

com o eixo Y) ver figura 8.


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Clculo III

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Figura 8 Interseo do plano x = x0com a superfciez = f(x, y)vista de um

ponto acima do primeiro quadrante do planoxy Fonte/ THOMAS, 2003.

As tangentes s duas curvas C1e C2em P so, em geral, duas retas concorrentes

em P (figura 9), as quais determinam um plano que se diz plano tangente

superfcie definida pela funoz = f(x, y).

Figura 9 As figuras 7 e 8 combinadas as retas tangentes no ponto P (x 0,y0)

determinam um plano tangente superfciez = f(x, y).


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EXERCCIOS SOBRE DERIVADAS PARCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM

1. Em cada caso achar as derivadas parciaisy

yxfex

yxf

),(),( das funes dadas:

a) f(x, y) = ( x + y ) ( x y ) d)f(x, y) = ln ( x + 3y )b)f(x, y) = sen ( x + y ) + cos ( x y ) e)

)y3x(

y)y,x(f

+=

c) f(x, y) = ( x + xy + y ) f) xye)ylnx()y,x(f = g)

2xye)y,x(f =

Respostas:

a) fx=4x + y - 3xy , fy= 3xy - x - 4y

b) fx = cos (x + y) sen (x y) , fy= cos ( x + y ) + sen ( x y )

c) fx=3( x + xy +y ) ( 2x + y ) , fy= 3( x + xy +y ) ( x + 2y )

d)232

2

yx

xxf

+= ,

232

6

yx

yyf

+=

e)2

3y)(x

yxf

+

= ,2

3y)(x

xyf

+

=

f) ylny)xy(1ex

f xy += ;

=

y

1xlnyxeyf

2xy

2. Calcular as derivadas parciais primeiras da funo f(x,y) = ln ( x tg (y) )no ponto

4;3:

P .

Respostas: 2)(31)( =

=

P

yfeP

xf

3. O volume de uma certa quantidade de gs determinada pela temperatura (T) epela presso (P) atravs da frmula 0,08

TV

P= . Calcule e interprete

V Ve

P T

quando P = 20 N/m e T = 300 K.

Respostas:

3 3

2(20;300) 0,06 (20;300) 0,04/

V m V meP N m T K

= =


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4. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem - )y;x(x

f

e )y;x(

y

f

- da funo

( ) 32

22 yx)y,x(f += e descreva em quais pontos as derivadas parciais de primeira

ordem deixam de existir (faa o grfico).

5. Imagine uma chapa metlica fina e retangular desigualmente aquecida sobre oplanoXY, com o canto inferior esquerdo na origemx e y, conforme Figura 1:

Figura 1 - Chapa metlica sobre o planoXY(X e Y so distncias em centmetros).

A temperatura (em graus Celsius) no ponto (x, y) 22

5),(

yx

xyxT

+= . No ponto P (3,

4), pede-se:

(a) a taxa de variao instantnea da temperatura em relao distncia

quando uma partcula, sobre a placa, move-se para a direita e paralelamente ao

eixoX,a partir do ponto P;

(b) a taxa de variao instantnea da temperatura em relao distncia

quando uma partcula, sobre a placa, move-se para cima e paralelamente ao

eixo Y, a partir do ponto P;

(c) interprete os resultados encontrados nas letras (a) e (b).

6. Calcular a inclinao da tangente curva segundo a qual o plano y = 1 corta oparabolide de revoluo z = x + y, no ponto P:( 2; 1; 5 ).


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Resposta:14tan

= .

7. Calcular a inclinao da tangente curva C1, que corresponde interseo dasuperfcie 2 3z f x y 4x y xy( , )= = com o plano y = 2, no ponto P (3, 2, 48).

Resposta: ( )1 40 88 57tan , = = .

5. DIFERENCIAL TOTAL

A diferencial de uma funo fem um ponto uma combinao linear das diferenciais

das projees x e y tendo como coeficientes as derivadas parciais da funo no dito

ponto.

Se f = f (x, y), tem-se:

f fdf dx df

x y

= +

Se f uma funo de n variveis, a diferencial dada pela expresso:

1 2 3 n1 2 3 n

f f f f df dx dx dx ... dx

x x x x

= + + +

Usando um somatrio, pode-se escrever, de modo mais condensado:

n

kk l k

fdf dx

x=

=


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Clculo III

26

EXERCCIOS SOBRE DIFERENCIAL TOTAL

1. Determinar a diferencial total da funo:

=

yz arc tg x

a)em um ponto genrico ( x, y ), x O; Resposta: ( )= ++2 21

dz ydx xdyx y

b)no ponto P:( 1,-2). Resposta: ( )= +1

dz 2dx dy5

2. Uma lata de metal fechada, na forma de um cilindro circular reto, deve possuiraltura interna igual a 6 cm, raio interno de 2 cm e espessura de 0,1 cm. Se o

custo do metal a ser usado de 10 centavos por cm3, encontre por diferenciao

o custo aproximado do metal a ser usado na fabricao da lata.

Resposta:custo por lata = R$ 1,00

3. Deseja-se dimensionar um vaso, na forma de um cilindro circular reto, de aoinoxidvel, cujas dimenses internas so: altura igual a 40 cm, dimetro de 20cm. Sabendo que a espessura da chapa de 1 mm, qual o volume do material

empregado? (USE O CONCEITO DE DIFERENCIAL TOTAL)

4. Determine a quantidade de estanho numa lata cilndrica fechada com 7,5 cm dedimetro e 15 cm de altura se a espessura da folha de estanho for de 0,03 cm.

(Utilize o conceito de diferencial total). Resposta: v 4 219, = cm3

5. Utilize o conceito de diferencial total para determinar o mximo erro no clculo darea da superfcie e no clculo de volume de uma caixa aberta retangular com

altura = 25 m, largura = 30 cm e comprimento = 70 cm , com erro mximo de

0,3 cm em cada dimenso. Respostas: v 1380 = cm3e A 120 = cm2


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Clculo III

27

6. A potncia consumida numa resistncia eltrica dada porR

VP

2

= watts.

Se V = 12 volts e R = 6 ohms, determine o valor da variao da potncia se V

aumentada de 0,015 volts e R aumentada de 0,002 ohms. Interprete o sinal do

resultado: a potncia reduzida ou aumentada? (Utilize o conceito de diferencial

total). Resposta: P 0 052, = watts

7. Seja um retngulo com lados 3=x cm e 4=y cm. Utilize o conceito de diferencialtotal para definir a variao aproximada da diagonal deste retngulo, sabendo que

o lado x foi aumentado 005,0 cm e o lado y diminudo 0,004 cm. Resposta:

0002,0=dD cm

8. A resistncia de um circuito eltrico dada por ERI

(= ohms). Sabendo que

E = 18 V (volts) e I = 6 A (ampres), porm, foi feita a leitura de E= 17,985 Ve

I = 6,125 A, determinar a variao da resistncia. (Utilize o conceito de diferencial

total). Resposta: R 0 063, = (ohms)


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Clculo III

28

EXERCCIOS SOBRE DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR

1. Calcular as derivadas parciais de segunda ordem das funes e verificar quexy yxf f=

a) xf (x, y) e sen(y) ln(xy)= +

b)2 2x y

f(x,y) ,x 0 e y 0y x

=

c)xy yf(x,y) e ln ,x 0 e y 0

x

= + > >

Respostas:

a) x x xxx yy xy yx21 1

f e seny , f e seny , f f e cos y2 y

= = = =

b) x x xxx yy xy yx21 1

f e seny , f e seny , f f e cos y2 y

= = = =

c)

= + =

x xy y

xx yy2 2 3 2

1 1 x x 1f e , f e 2

yy x y y

= =

xy

xy yx 21 xf f e 1

yy

2. Determine o conjunto domnioe calcule as derivadas parciais de 2aordemdecada uma das funes:

a)x

xyyyxf24

712),(2 ++= b) 325 158),( yxxyyxf ++=

c)y

yxyxf 1234),( 3 +++= d) 223),( xxt

ttxf ++=

e) 125),( 25 +++= srsrsrf f) yyxyxf 5)cos()sen(3),( 2 ++=

Respostas:

a) 23

127

=

xy

x

f 2

5

2

2

18)(

=

x

x

f xy

y

f724 +=

24

)( 2

2

=

y

f

722

=

=

xy

f

yx

f { }0/),( 2

)( >= xIRyxD

f


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Clculo III

29

b) 354

2)15(5

1xyx

x

f+=

35

9

2

2

2)15(25

4

)(yx

x

f+

=

2238 yx

y

f=

yxy

f 22

2

6)(

=

2

22

6xyxy

f

yx

f=

=

{ }2

)(),( IRyxD

f =

c) 21

)34(2

+=

x

x

f 2

3

2

2

)34(4)(

+=

x

x

f 23

2

123

1 =

yy

y

f 33

5

2

2

249

2

)(

+

=

yy

y

f

022

=

=

xy

f

yx

f

= 0,4

3/),( 2)( yxIRyxD f

d) xtxx

f22 +=

22)(

3

2

2

+=

tx

x

f 136 +=

xt

t

f 4

2

2

18)(

=

t

t

f

2

22

=

=

x

xt

f

tx

f { }2fD x t IR x 0 e t 0( ) ( , ) / =

e) 2425 srr

f+=

3

2

2

100)(

rr

f=

2

1

)12(2

++=

srs

s

f 2

3

2

2

)12(2)(

+=

sr

s

f

srs

f

sr

f2

22

=

=

=2

1/),( 2)( sIRsrD f

f) )cos(3 xx

f=

)sen(3

)( 2

2

xx

f=

5)sen(2 2 +=

yy

y

f

)sen(2)cos(4)(

222

2

2

yyyy

f=

0

22

=

=

xy

f

yx

f 2)( ),( IRyxD f =

3. Determine o domnio (algbrico e geomtrico) e a derivada parcial4

xzyx

ff

x y z x

=

da funo

( )

2f ( x, y,z ) 3xz

x y z 4= +

+ + , no ponto P (1, -1,

1).


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Clculo III

30

6. PLANO TANGENTE E RETA NORMAL

6.1 Plano tangente

Seja z =f (x, y) uma funo diferencivel no ponto P:(xo; yo). Quando passamos do ponto P

a um ponto prximo (x, y) o acrscimo z f = da funo (eq. [1]) :

f fz f (P) x (P) y

x y

= = +

[1]

ou

0 0 0f fz z (P)(x x ) (P)(y y )x y = +

[2]

A equao [2] representa um plano do espao, o qual passa pelo ponto P:(xo; Yo),

pertencente ao grfico da funoz = f(x, y). Trata-se do plano tangenteao grfico

de f no ponto P. Observando os resultados, conclumos que o valor f (x, y) da funo

em um ponto (x, y) prximo de (x0; y0) aproximadamente igual cotazdo plano

tangente ao grfico de f no ponto P:(x0; Y0; f(x0; y0)). Desse modo quando

escrevemos (eq.[3]):

x0

x0Z = f (x,

z0

0 0f

tg (x ,y )y

y

z

P: (x0, y0, z0)

xx

0 0

ftg (x y )

x

=


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Clculo III

31

0 0f f

f (x,y) (P)(x x ) (P)(y y )x y

+

[3]

estamos substituindo a superfcie de equaoz f(x, y), na vizinhana do ponto P:(x0,

y0, f(x0;y0)), pelo plano tangente neste ponto.

6.2 Reta normal

A normal superfcie no ponto P a reta que passa por P e perpendicular ao plano

tangente neste ponto.

Portanto, da equao [2] do plano tangente: 0 0f f(P)(x x ) (P)(y y ) (z c) 0

x y

+ =

deduzimos que a direo da normal dada pelo vetor

=

ur f fv (P); (P); 1

x y.

Portanto, podemos escrever a equao cartesiana da normal superfcie em P na

forma (eq. [4]):

0 0 0x x y y z zf f 1(P) (P)x y

= =

[4]


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Clculo III

32

EXERCCIOS SOBRE PLANO TANGENTE E RETA NORMAL

1. Achar a equao do plano tangente e a equao da normal ao parabolide elptico:= = +2 2z f (x, y) 2x 5y no ponto P:( -2; 1: 13 )

Resposta:plano tangente: 8x-10y+z+13=0 reta normal:2 1 13

8 10 1

x y z+ = =

.

2. Considere a superfcie definida pela funo z = f(x,y)= e3x sen(3y) e o ponto

P : 0,6

. Determine:

a)a inclinao do plano tangente em relao aos eixos cartesianos no ponto Pe a

equao cartesiana do plano;

b)a equao da reta normal superfcie em P.

Respostas:

a) Inclinao do plano = = = 1x yf (P) 3 tan 3 e f (P) 0 plano paralelo aoeixo Y / Equao do plano tangente: 3x z + 1 = 0;

b) retax 3t

normal: y6

z t 1

=

=

= +

Equao paramtrica da reta


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Clculo III

33

7. DERIVADA DIRECIONAL/ GRADIENTE

A derivada da funo f = f(x, y), no ponto P, na direo de um vetor Sur

dada pelo

produto escalar do gradiente ( )f(P)ur

e o vetor unitrio 0S ,ur

isto :

= =

ur

ur urur 0S

fD f(P) f(P) S

S

Sendo: 0S

SS

=

rr

r - vetor unitrio;

i j kx y z

= + +

rr r r- operador diferencial vetorial;

f f ff i j k

x y z

= + +

rr r r- gradiente de uma funo f = f(x, y, z).

EXERCCIOS SOBRE DERIVADA DIRECIONAL / GRADIENTE

1. Calcular a derivada da funo 4 2 2 3z x 3x y 2y 5xy 3x 5= + + + z, no pontoP:(-1,2), na direode cada um dos vetores dados a seguir:

a) = +v v v3 1u i j

2 2 Resposta: ( )

117 13 3

2 +

b) = v v vu 6i 3j Resposta:

9

5

c) AB, sendo A :(1; 3) e B:(3; 5) uv

Resposta: 2 2

d)w z(P)= uv uv

Resposta: 458

2. Dada a superfcie de nvel: e2z (sen x - cos y) = 1 e o ponto P:(0, , 0).Determine:

a)o gradiente da funo f (x,y, z) em P; Resposta: f (P) gradf (P) i 2K = = +

ur v uv

b)explique o significado geomtrico do resultado obtido na letra a.


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Clculo III

34

3. Determinar a equao do plano tangente esfera x2+ y2+ z2= 14, no P:(3, 1, -2).

Resposta: 3x + y - 2z - 14 = O .


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Clculo III

35

EXERCCIOS COMPLEMENTARES

1. Esboce o domnio de f. Use as linhas cheias para a parte que inclui a fronteira no

domnio e linhas tracejadas para as que noincluem.

a) xylny)f(x, = ;

b)3

1y)f(x,

2

22

+

+=

y

yx;

c) 222x-25z)y,f(x, zy = .

Respostas: a) primeiro e terceiro quadrante, exceto os pontos pertencentes aos

eixos cartesianos; b) os pontos pertencentes circunferncia centrada na origem

de raio 1 e os externos essa circunferncia; c) esfera centrada na origem de raio

5 e os pontos externos essa esfera.

2. Esboce a superfcie definida pela funo:.

a) 22x-1y)f(x, y= ;

b) 1y)f(x, 22 += yx ;

c) 3y-2x-6y)f(x,z == ;

d) 164x-yy)f(x, 22 =

Respostas:

a) b)


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Clculo III

36

c) d)

3. Esboce as curvas de nvel de fpara os valores dados de k.

a)22

yy)f(x, x= k = -4 , 0 , 9

b) yx = 2y)f(x, k = -2 , 0 , 3

c) ( ) ( )22 32-xy)f(x, ++= y k = 1 , 4 , 9

Respostas:

a) b) c)

4. Esboce a superfcie de nvel de f(x,y,z) = k.

a) 222 44xz)y,f(x, zy ++= , k = 16;

b) f(x,y,z) 4x 2y z= + , k = 1.

5. Determine o gradiente de fem Pe ento use o gradiente para calcular a derivadade fna direo do vetor u

r. Sendo:


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Clculo III

37

( ) kjiuPzyzyxrrrr

13

12

13

4

13

3;4,2,1;)32xln(),,(f 222 =++=

Respostas:741

314)(;

57

24

57

8

57

2)(fgrad =++= PfDkjiP ur

rrr

6. Determine a derivada direcional de ( )zx

yzyxf

+=,, em P(2, 1, -1)na direo de Pa

Q(-1, 2, 0).

Resposta:11

3

7. Determine um vetor unitrio na direo do qual fcresce mais rapidamente em Pe

determine a taxa de crescimento de fnaquela direo.

( )1,1,1;1),,(f 323 ++= Pzzyzxzyx Respostas: 23)(;

2

1

2

1== Pfgradjiu

rrr

8. A temperatura (em graus Celsius) em um ponto (x, y, z) de um slido de metal

( )22

1

,,

zx

xyzzyxT

++

=

(a)Determine a taxa de variao da temperatura em relao distncia em P(1,

1, 1)na direo da origem.

(b)Determine a direo na qual a temperatura eleva-se mais rapidamente a

partir do ponto P. (Expresse a sua resposta como um vetor unitrio).

(c)Determine a taxa na qual a temperatura eleva-se movendo de Pna direo

obtida na letra (b).

9. A temperatura (em graus Celsius) em uma regio no espao dada por:

T(x, y, z) = 2x2 xyz.

Uma partcula se move nesta regio e sua posio no instante t dada porx = 2t2,

y = 3t,z = -t2, onde o tempo medido em segundos e a distncia em metros.

(a)Qual a taxa de variao mxima da temperatura sentida pela partcula em

graus Celsius por metro quando a partcula est no ponto P:(8, 6, -4).


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Clculo III

38

(b)Qual a taxa de variao da sentida pela partcula em graus Celsius por

segundo em P?

Respostas: (a) 80,4 C/m ; (b) 352 C/s

EXERCCIOS DE APLICAO

10. Um prdio industrial de formato retangular com dimenses x, y, e z est

esquematizado na Fig.1 (a). Na Fig. 1 (b) fornecemos a quantidade de calor

perdida por dia atravs de cada uma das laterais do prdio, do teto, e do piso,medidas em unidade apropriada de calor, por metro quadrado. Seja f(x,y,z) a

perda de calor total em um dia.

Figura 1 Esquema do formato retangular de um prdio retangular e quantidade de calor

perdida por dia

(a) Encontre uma frmula para f(x,y,z).

(b) Encontre a perda total de calor diria tendo o prdio o comprimento de 100 m,

largura de 70 m e altura de 50 m.

(c) Calculex

f

,

y

f

e

z

f.

(d) Calcule )1,3,2(f

z

.

(e) Interprete o resultado obtido na letra (d)


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Clculo III

39

11. FUNO PRODUO

Os custos de um processo de manufatura podem em geral ser classificados em dois

tipos: custo de mo-de-obra e custo de capital. O significado do custo de mo-de-

obra evidente. Por custo de capital entendemos a soma de diversos custos, como

o de prdios, ferramentas, maquinrio e itens similares utilizados no processo de

produo. Usualmente um empresrio tem algum controle sobre parte dos custos

de mo-de-obra e capital utilizados em seu processo de produo. Ele pode

automatizar completamente a produo, de forma a reduzir a mo-de-obra para o

mnimo possvel, ou pode utilizar mo-de-obra ao mximo e reduzir os custos de

capital. Suponha que x unidade de mo-de-obra e y de capital sejam utilizadas.

Seja f(x,y) o nmero de unidades acabadas do produto manufaturado. Economistas

descobriram que f(x,y) freqentemente uma funo da forma:

Ay = 1AxCy)f(x, ,

em que A e C so constantes, 0 < A < 1. Um funo desse tipo chamada de

Funo Produo de Cobb-Douglas. (SCHNEIDER, David I.; LAY, David C.;

GOLDSTEIN, Larry J. Matemtica Aplicada Porto Alegre: Bookman, 2000).

(Produo em uma empresa)Suponha que durante um certo perodo de tempo o

nmero de unidades de bens produzidos, quando utilizando xunidade de mo-de-

obra e yunidades de capital, 4/13/4x60y)f(x, y= .

(a)Quantas unidades do bem sero produzidas, utilizando 81 unidades de mo-

de-obra e 16 unidades de capital?

(b)Mostre que a produo ser dobrada sempre que as quantidades de mo-de-

obra e capital forem dobradas. (Economistas dizem que a funo produo

tem retorno constante por escala).

(c)Determine a curva de nvel na qual 600 unidades so produzidas.


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Clculo III

40

Resposta:

Figura 2 Representao geomtrica da curva de nvel definida na letra (c).

(d)Encontrex

f

e

y

f

.

Observao: as quantidadesx

f

e

y

f

so comumente chamadas de

produtividade marginal de mo-de-obra e de produtividade marginal de

capital.

(e)Encontrex

f

e

y

f

, em x = 81 e y = 16.

(f)Interprete os valores obtidos na parte (e).

12. A produtividade de um pas dada por 3/12/3x300y)f(x, y= , em quex a unidade

de mo-de-obra e yunidades de capital.

(a)Calcule as produtividades marginais de mo-de-obra e capital quando x =

125 e y = 64.

(b)Seja h um nmero pequeno. Utilize o resultado do item (a) para determinar

o efeito aproximado na produo, provocado pela mudana na quantidade demo-de-obra de 125 para 125+h unidades, enquanto o capital permanece

fixo em 64 unidades.


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Clculo III

41

(c)Utilize o resultado da letra (b) para determinar o efeito aproximado de

decrescer a mo-de-obra de 125 para 124 unidades, enquanto o capital

permanece fixo em 64 unidades.

(d)Qual seria, aproximadamente, o efeito na produtividade provocado pelo

aumento de capital de 64 para 66 unidades, enquanto a mo-de-obra

permanece fixa em 125 unidades?

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

ANTON, Howard. Clculo um novo horizonte. Trad. Cyro de Carvalho Patarra. 6 ed.

Porto Alegre: Bookman, 2000. (Traduo de: Calculus). V.2.

VILA, Geraldo S. S. Clculo. Rio de Janeiro: Livros Tcnicos e Cientficos, 2v.

LElTHOLD, Luiz. Oclculo com geometria analtica. Trad. Cyro de Carvalho Patarra. 3ed. So Paulo: Harbra, 1984. 688 - 1178p. (Traduo de: The calculus with analytic

geometry). V.2.

SIMMONS, George F. Clculo com geometria analtica. Trad. Seiji Hariki. So Paulo:

McGraw-Hill, 1987. 807p. (Traduo de: The calculus with analytic geometry). V.2.

SWOKOWSKI, Earl. W. Clculo com geometria analtica. Trad. Alfredo Alves de Faria.

2 ed. So Paulo: Makron Books. (Traduo de: Calculus). Y.2.

Notas de aula do Prof. Edson Duro Judice Funes de Vrias Variveis.


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Clculo III

42

IINNTTEEGGRRAALLDDUUPPLLAA

1. DEFINIO E INTERPRETAO GEOMTRICA

Na tentativa de resolver o problema de determinar reas, chegamos definio deintegral definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de

um slido e, no processo, chegar definio de integral dupla.

Considere uma funo f de duas variveis definida em um retngulo fechado (FIG. 1)

R = [a,b] x [c,d] = {(x,y) IR2| a < x < b, c < y < d }.

Figura 1 Regio retangular R.

Vamos, inicialmente, supor f(x, y) > 0. O grfico de f a superfcie de equaoz =

f(x,y) conforme ilustra a figura 1.

Figura 2 Grfico de uma superfcie Sdefinida em um retngulo fechado R.

Seja S o slido que est contido na regio acima de R e abaixo do grfico de S, ou

seja,

y

ba x

d

c


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Clculo III

43

S = {(x,y,z) IR3| (x,y) R, 0 < z < f(x,y)}.

Nosso objetivo determinar o volume de S.

O primeiro passo consiste em dividir o retngulo R em sub-retngulos. Faremos isso

dividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos [xi-1 , xi], de mesmo comprimento

x = (b a) / m, e o intervalo [c,d] em n subintervalos [yj-1 , y j], de mesmo

comprimento y = (b a) / n. traando retas paralelas aos eixos coordenados

passando pelos extremos dos subintervalos, formamos os sub-retngulos.

Rij= [x i-1,x i] x [y j-1,y j ] = {(x,y) | x i-1< x < x i, y j-1< y < y j } cada um dos quais

com rea A = xy ver figura 3.

Figura 3 Diviso da regio retangular Rem sub retngulos.

Se escolhermos um ponto arbitrrio (xij, yij) em cada Rij, podemos aproximar a parte

de S que est acima de cada R ij por uma caixa retangular fina (ou um prisma) com

base Rije altura f(xij, y ij). O volume desta caixa dado pela sua altura vezes a rea

do retngulo da base (Figura 4):

Vij= f(xij, yij)A.

Se seguirmos com esse procedimento para todos os retngulos e somarmos os

volumes das caixas correspondentes, obteremos uma aproximao do volume total de


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Clculo III

44

S:

V ==

m

1j

ijij

n

1i

A)y,x(f

Essa dupla soma significa que, para cada sub-retngulo, calculamos o valor de f no

ponto amostra escolhido, multiplicamos esse valor pela rea do sub-retngulo e,

ento, adicionamos os resultados.

Figura 4 Volume de um prisma (Vij) interno ao slido limitado inferiormente pela regio Re

superiormente pela superfcie S.

A aproximao V ==

m

1j

ijij

n

1i

A)y,x(f melhora quando aumentamos os valores de m e

de n e, portanto, devemos esperar que:

V = ==

m

1j

ijij

n

1in,m

A)y,x(flim .

Usamos essa expresso para definir o volume do slido S que corresponde regio

que est acima do retngulo Re abaixo do grfico de f.

Mesmo fno sendo uma funo positiva, podemos dar a seguinte definio:


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Clculo III

45

A integral duplade f sobre o retngulo R

=R dA)y,x(f == m

1jijij

n

1in,m A)y,x(flim

se esse limite existir.

Pode-se provar que o limite existe sempre que ffor uma funo contnua. Alm disso,

se f(x,y) > 0, ento o volume do slido que est acima do retngulo R e abaixo da

superfcie z = f(x.y) :

=R

dA)y,x(fV .

A soma ==

m

1j

ijij

n

1i

A)y,x(f chamada soma dupla de Riemann e usada como

aproximao do valor da integral dupla.

2. PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DUPLAS:

1) +=+DDD

dA)y,x(gdA)y,x(fdA)]y,x(g)y,x(f[

2) =DD

dA)y,x(fcdA)y,x(cf , onde c uma constante

3) +=21 DDD

dA)y,x(fdA)y,x(fdA)y,x(f , se D = D1D2, onde D1e D2no sesobrepem exceto, possivelmente,nas fronteiras.


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Clculo III

46

3. EXEMPLO

O volume do slido que est acima do quadrado R = [0,2] x [0,2] e abaixo do

parabolide elptico z = 16 x2 2y2pode ser aproximado pela subdiviso de R em

quatro quadrados iguais e a escolha do ponto amostra como o canto superior de cada

quadrado Rij.

Soluo:Os quadrados esto ilustrados na figura acima e a rea de cada um vale

1. O parabolide o grfico de f(x,y) = 16 x2 2y2. Aproximando o volume pela

soma de Riemann com m = n = 2, temos:

==

2

1j

ijij

2

1i

A)y,x(fV = f(1,1)A + f(1,2) A + f(2,1) A + f(2,2) A

= 13(1) + 7(1) + 10(1) + 4(1) = 34

Esse um volume aproximado das caixas, como mostra a figura 5:


47/73


Clculo III

47

Figura 5 Slido limitado superiormente pelo parabolide elptico e inferiormente pelo

retngulo R.

Obtemos melhor aproximao do volume quando aumentamos o nmero de

quadrados. A figura 6 mostra como as figuras comeam a parecer mais com o slido

verdadeiro e as aproximaes correspondentes vo se tornando mais precisas quando

usamos 16, 64 e 256 quadrados.

Figura 6 Melhor preciso matemtica: maiores subdivises retangulares.


48/73


Clculo III

48

INTEGRAIS ITERADAS

Se f for contnua no retngulo R = { (x,y) | a < x < b, c < y < d }, ento

calculamos a integral dupla de f em R atravs de integrais iteradas, como mostrado

abaixo:

=

=

d

c

b

a

b

a

d

cR

dydx)y,x(fdxdy)y,x(fdA)y,x(f

Este resultado, conhecido como Teorema de Fubini, vale sempre que f for

limitada em R, podendo ser descontnua em um nmero finito de pontos de R.

Exemplo 2: Calcule o valor da integral R

2 ydAx , onde R = [0,3] x [1,2]

Soluo: R2

ydAx =

3

0

2

1

2

dxydyx =

3

0

2

1

22

dx2

y

x =

3

0

22

dx2

1x2

4x =

y

3

2

x

1

0

R


49/73


Clculo III

49

3

0

2 dxx2

3=

3

0

3

3

x

2

3

= 5,13

2

27

2

x3

0

3

==

ou

R

2 ydAx =

2

1

3

0

2 dyydxx =

2

1

3

0

3

dyy3

x=

2

1

dy0y3

27=

( )=2

1

dyy9 =

2

1

2

2

y9

=

5,132

27

2

9

2

36===

O valor obtido o volume do slido

acima de R e abaixo do grfico da

funo f(x,y) = x2y (Veja figura ao

lado)

Exemplo 3: Calcule R

dA)xysen(y , onde R = [1,2] x [0,].

Soluo:

[ ]

00sen0sen2

1sensen

2

1

yseny2sen2

1dy)ycosy2cos(

dyxycosdydx)xysen(ydA)xysen(y

00

0

2

1

0

2

1R

=++

=

+=+

===

Obs.:1) Se mudarmos a ordem de integrao, invertendo as integrais iteradas, a

resoluo das mesmas ir requerer a aplicao de tcnicas de integrao, tornando


50/73


Clculo III

50

o trabalho mais demorado. Portanto, importante observar o tipo de funo que

iremos integrar e fazer uma boa escolha da ordem de integrao.

2) O valor obtido nesta integral representa a diferena do volume da parte do

slido que est acima do retngulo R e do volume da parte do slido que est

abaixo de R. Como o resultado foi zero, estes volumes so iguais.

Exemplo 4: Determine o volume do slido S que delimitado pelo parabolide

elptico x2+ 2y2+ z = 16, os planos x = 2 e y = 2 e os trs planos coordenados.

Soluo: Observemos, primeiro, que

S o slido que est abaixo da superfcie

z = 16 x2 2y2e acima do retngulo R =

[0,2] x [0,2], como mostra a figura.

Vamos calcular o volume deste slido

usando integral dupla:


51/73


Clculo III

51

( )

( )

48

3

8.42.88

3

y4y

3

88

dyy43

88

dyy43

832

dyxy23

xx16

dydxy2x16

dAy2x16V

2

0

3

2

0

2

2

0

2

2

0

2

0

23

2

0

2

0

22

R

22

=

=

=

=

=

=

=

=

INTEGRAIS DUPLAS EM REGIES NO RETANGULARES (IRREGULARES)

Para integrais simples, a regio sobre a qual integramos sempre um

intervalo. Mas, para integrais duplas, queremos ser capazes de integrar a funo f,

no somente sobre retngulos, mas tambm sobre um regio D de forma mais geral,

como mostra a figura abaixo. Vamos supor que D seja uma regio limitada, o que

significa que D pode ser cercada por uma regio retangular R. Definimos, ento, uma

nova funo F com domnio R por

( )f ( x, y ), se x, y estem DF( x,y )

0, se( x, y )estem Dmas noestem R

=

D

RRR RRR

x x

yy

0 0


52/73


Clculo III

52

Se a integral dupla de F sobre D existe, ento definimos a integral dupla de f

sobre Rpor

R D

f ( x, y )dA F( x, y )dA=

Clculo da integral dupla em regies planas no retangulares (irregulares)

1)Regies planas inscritas em faixas verticais:

Consideremos uma regio D inscrita na faixa vertical a < x < b e entre ogrfico de duas funes contnuas de x, ou seja:

D = { (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x) }

onde g1e g2so contnuas em [a,b]. Por exemplo, as regies D representadas abaixo:

A integral dupla de fem D calculada pelas seguintes integrais iteradas:

=b

a

)x(g

)x(gD

dxdy)y,x(fdA)y,x(f2

1

sempre que ffor contnua em D.2)Regies planas inscritas em faixas horizontais:

DDD

x

y

0

DDD

x

y

0

DDD

x

y

0

bbb aa

a y = g1(x)y = g1(x) y = g1(x)

y = g2(x)y = g2(x)y = g2(x)


53/73


Clculo III

53

Consideremos uma regio D inscrita na faixa horizontal c < y < d e entre o

grfico de duas funes contnuas de y, ou seja:

D = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) }

onde h1e h2so contnuas em [c,d]. Por exemplo, as regies D representadas abaixo:

A integral dupla de f em D calculada pelas seguintes integrais iteradas:

=d

c

)x(h

)x(hD

dydx)y,x(fdA)y,x(f2

1

sempre que f for contnua em D.

Exemplo 5: Calcule +D

dA)y2x( onde D a regio limitada pelas parbolas

y = 2x2 e y = 1 + x2.

Soluo:

A regio D est inscrita na faixa vertical

1 < x < 1, pois essas so as abscissas dos pontos

de interseco das duas parbolas e podemos

escrever:

D = { (x,y) | 1 < x < 1, 2x2< y < 1 + x2 }

DDD

x

y

0

DDD

x

y

0

DDD

x

y

0

dd

d

ccc

x = h1(y)

x = h1(y)

x = h1(y)

x = h2(y)

x = h2(y)x = h2(y)

x

y

1 1

y = 2x2

y = 1 + x2


54/73


Clculo III

54

Assim, calculamos a integral dupla atravs das seguintes integrais iteradas:

[ ]

[ ] [ ]

( )

( )

15

32

x2

x

3

x

24

x

5

x

3

dx1xx2xx3

dxx4x2xx21xx

dxx4x2)x1()x1(x

dxyxydxdy)y2x(dA)y2x(

1

1

2345

1

1

234

1

1

43423

1

1

43222

1

1

x1

x22

1

1

x1

x2D

2

2

2

=

+++=

+++=

++++=

++++=

+=

+=+

+

+

Exemplo 6: Determine o volume do slido que est abaixo do parabolide z = x2+ y2

e acima da regio do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parbola y

= x2.

Soluo: D uma regio inscrita na faixa vertical 0 < x < 2, portanto:

D = { (x,y) | 0 < x < 2, x2< y < 2x }

Assim, o volume :

( ) ( )

35

216

21

128

5

32

12

16.14

21

x

5

x

12

x14dx

3

xx

3

x14

dx3

xx

3

x8x2dx

3

yyx

dxdyyxdAyxV

2

0

7542

0

64

3

2

0

64

33

2

0

x2

x

32

2

0

x2

x

22

D

22

2

2

==

=

=

+=

+=

+=+=

y = 2x

y = x2


55/73


Clculo III

55

Mas tambm podemos inscrever a regio D na faixa horizontal 0 < y < 4, com:

D = { (x,y) | 0 < y < 4, yx2

y }

Portanto, o volume pode ser calculado como:

( ) ( )

35

216256.

96

13128.

7

232.

5

2y

96

13y

7

2y

15

2dyy

24

13yy

3

1

dy2

y

24

yy

3

yxy

3

xdydxyxdAyx(V

4

0

427

25

4

0

325

23

4

0

33

252

34

0

y

2y

234

0

y

2y

22

D

22

=+=

+=

+=

+=

+=

+=+=

Exemplo 7: Calcule D

xydA , onde D a regio limitada pela reta y = x 1 e pela

parbola y2= 2x + 6.

Soluo:

A interseco das duas curvas calculada da seguinte maneira:

[y2= 2x + 6] [y = x 1] 2

6yx

2 = e x = y + 1 1y

2

6y2+=

y2 2y 8 =

0

y = 2 ( x = 1 ) ou y = 4 (x = 5 )

y2= 2x + 6

y = x 1


56/73


Clculo III

56

Portanto os pontos de interseco das curvas so (-1,-2) e (5,4).

Novamente, a regio D pode ser considerada inscrita tanto em uma faixa

vertical como em uma faixa horizontal. Mas a descrio de D considerada inscrita na

faixa vertical -3 < x < 5 mais complicada, pois sua fronteira inferior constituda

por mais de uma curva.

Assim, preferimos expressar D como:

D = { (x,y) | -2 < y < 4,2

6y 2 < x < y + 1 }

Logo:

36643

6464

3

32256

3

5121024

3

2048

8

1

y163

y8y4

6

y

8

1

dy4

y32y8y16y

2

1

dy)8

y36y12y

2

yy2y(

dyy2

xdyxydxxydA

4

2

23

46

4

2

235

4

2

3523

4

2

1y

2

6y

24

2

1y

26yD

22

=

+++++=

++=

++=

+

++=

=

=

+

+

Exemplo 8: Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x

= 2y, x = 0 e z = 0.

Soluo: Em uma questo como esta, prudente desenhar dois diagramas: um do

slido tridimensional e outro da regio plana D sobre a qual o slido est.Igualando as equaes dos planos, duas a duas, obtemos as retas que

contm as arestas do tetraedro:

(0, 1, 0)

(0, 0, 2)

x + 2y + z =

x = 2y

y

zy

1

x + 2y = 2

D

T


57/73


Clculo III

57

A figura acima, esquerda, mostra o tetraedro T limitado pelos planoscoordenados x = 0, z = 0, o plano vertical x = 2y e o plano x + 2y + z = 2.

Como x + 2y + z = 2 intercepta o plano xy (de equao z = 0) na reta x + 2y

= 2, vemos que T est sobre a regio triangular D, do plano xy, limitada pelas retas x

= 2y, x + 2y = 2 e x = 0.

O plano x + 2y + z = 2 pode ser escrito como z = 2 x 2y e a regio D

como:

D = { (x,y) | 0 < x < 1, x/2 < y < 1 x/2 }.

Portanto o volume de T :

( ) ( ) [ ]

( )3

1

3

xxxdxxx21

dx4

x

2

xx

4

xx1

2

xxx2

dx4

x

2

xx

2

x1

2

x1x

2

x12

dxyxyy2dxdyy2x2dAy2x2V

1

0

32

1

0

2

1

0

2222

1

0

222

1

0

2x1

2x

21

0

2x1

2/xD

=

+=+=

++++=

++

=

===

x1

x = 2y


58/73


Clculo III

58

EXERCCIOS SOBRE INTEGRAL DUPLA EM COORDENADA CARTESIANA E

POLAR

1. Faa um esboo da regio R (regio de integrao) e calcule as integrais:

a) 2

1

2

0

32 dxdyyx

b) 1

0 22

y

ydydxyx

c) 4

0

2

3

0

2

16

x

dxdyx

d) ( ) +

+2

1

2

221

y

ydydxx

2. Calcule a integral dupla R

dAxy2 (considerando dA = dx dy e dA = dy dx),

sendo R a regio entre a parbola 2yx= e a reta xy= ,

3. Calcule a integral dupla ( )

+

R

dAx21 (considerando dA = dx dy e dA = dy dx). R

a regio limitada entre a parbola 2yx= e a reta 2=yx ,

4. Calcule a integralR

I x dS= , sendo R a regio, pertencente ao plano XY (no 1

quadrante), limitada pelas equaes 2y x= , y x= e 2 2 4x y+ = .

5. Utilize integral dupla para calcular o volume do tetraedro limitado pelos planos

2 4x y z+ + = , x = 0, y = 0 e z = 0.


59/73


Clculo III

59

6. Calcule a integralR

I y dS= , sendo R a regio, pertencente ao plano XY (no 1

quadrante), limitada pelas equaes 2y x= , y x= e 2 2 16x y+ = .

7. Utilize integral dupla para calcular o volume do tetraedro limitado pelos planos

2 2x y z+ + = , x = 0, y = 2x e z = 0.

8. Use a integral dupla para calcular as reas das regies limitadas pelas curvas:

a) 2yx= e 2=xy

b) 2xxy = e 0=+xy

c) 2=xy e 2=xy

d) 2yx= e xy=

e) xy= e 23 xxy =

EXERCCIOS SOBRE COORDENADA POLAR E INTEGRAL DUPLA EM

COORDENADA POLAR

1.Determine as equaes polares para as curvas dadas em equaes cartesianas:

(a)xy = 3 Resposta: r2sen 2= 6

(b)(x2+ y2)2= x2 y2 Resposta: r2= cos 2

(c)x3= y2(2a x) Resposta: r = 2a sentg

2.Esboce o grfico das seguintes equaes polares:

(a)r = a

(b)=6

3. Converta a funo em coordenadas polares r = 2a sen para coordenadas

cartesianas e faa um esboo da curva definida pela funo.


60/73


Clculo III

60

4.Ache a rea da menor das regies delimitadas pelo eixo polar, pelos grficos de r=1

e r=2 e pela parte da espiral r=1 de =2

1a =1. Resposta: 1

5. Utilize coordenadas polares para calcular ( ) +R

dSyx 23

22 onde R a

circunferncia x2+ y2= 4.

Resposta:5

64

6.Ache a rea da regio R exterior ao crculo r = a e interior ao crculo r = 2a sen.

Resposta: 1,9a2(u.a)

7.Ache o volume da regio que fica no exterior do cilindro x2+ y2= 9 e no interior da

esfera x2+ y2+ z2= 25. Resposta:3

256

8.Calcule +

R

yx dxyde22

, usando coordenadas polares, onde R a regio semicircular

limitada pelo eixo x e pela curva 2x1y = . Resposta:2

(e-1).

9. Calcular a integral convertendo para coordenadas polares

+1

0

x1

0

222

dxyd)yx( .

x

r = 2r = 1

r= 1

= 6

5

r = 2a sen

r = a

= 6


61/73


Clculo III

61

Resposta:8


62/73


Clculo III

62

QUESTES DE PROVA DOS SEMESTRES ANTERIORES

1. Considere a integral

1 6 3

0 3 ( , )

x

xI f x y dydx

= , pede-se:(a)faa um esboo regio Rde integrao;

(b)considere a regio definida na letra (a) e, inverta a ordem de integrao, isto

, defina os limites das integrais considerando ( , )R

I f x y dxdy= .

2. Resolva a integral ( )G

I x y dV= + , sendo G o slido, no 2 octante, que fica no

interior do parabolide 2 236z x y= e interno ao cilindro de equao

2 216x y+ = - obs.: regio limitada por circunferncia. (Determine todos os pontos

de interseo do slido com os eixos cartesianos e as equaes das curvas no plano

xy).

3. Utilize uma integral dupla para calcular o volume do slido limitado pelos planos

2 2x y z+ + = ,1

2x y= , 0y= , 0z= . (Faa um esboo do slido)

4. Considere a integral1

1 24

0 2( , )

x

xI f x y dydx

= , pede-se:

(a)faa um esboo regio Rde integrao;


, defina os limites das integrais considerando ( , )

R

I f x y dxdy= .

5. Resolva a integral ( )G

I x y dV= + , sendo G o slido, no 1 octante, que fica no


63/73


Clculo III

63

interior do parabolide 2 216z x y= e interno ao cilindro de equao 2 2 4x y+ = -

obs.: regio limitada por circunferncia. (Determine todos os pontos de interseo do

slido com os eixos cartesianos e as equaes das curvas no plano xy).

6. Utilize uma integral dupla para calcular o volume do slido limitado pelos planos

2 2x y z+ + = , 2x y= , 0x= , 0z= . (Faa um esboo do slido)

7. Considere a integral1 1

2

02

( , )x

xI f x y dydx

= , pede-se:




I f x y dxdy= .

8. Dada a integral2

1 2

0( , )

y

yI f x y dxdy

= , pede-se:


(b)considere a regio definida na letra (a) e inverta a ordem de integrao, isto


I f x y dydx=

.

9. Dada a integral2

1 2

0( , )

x

xI f x y dy dx

+

= , pede-se:


(b)considere a regio definida na letra (a) e inverta a ordem de integrao, isto


I f x y dxdy= .


64/73


Clculo III

64




VILA, Geraldo S. S. Clculo. Rio de Janeiro: Livros Tcnicos e Cientficos, 2v.

LElTHOLD, Luiz. Oclculo com geometria analtica. Trad. Cyro de Carvalho Patarra. 3

ed. So Paulo: Harbra, 1984. 688 - 1178p. (Traduo de: The calculus with analytic

geometry). V.2.

Notas de aula do Prof. Edson Duro Judice Funes de Vrias Variveis, 1975.




2 ed. So Paulo: Makron Books. (Traduo de: Calculus). Y.2.

www.pucrs.br/famat/beatriz/calculoII/INTEGRAL_DUPLA.doc

INTEGRAL TRIPLA

1. INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS CARTESIANAS (RETANGULARES)Sejaf(x, y, z)uma funo de trs variveis independentes definida em uma regio fechada e limitada

(slido G) do espao XYZ.

Se subdividir G em pequenas sub-regies traando planos paralelos aos planos cartesianos e

considerar um ponto arbitrrio P (xk, yk, zk) para cada paraleleppedo no interior de G, conforme

ilustra a figura 1 (FIG. 1), tem-se:

( )=

n

k

kkkk Vzyxf

1

,,


65/73


Clculo III

65

Onde kV o volume do paraleleppedo no interior do slido G.

Figura 1 Slido G (regio fechada e limitada do espao XYZ).

Para considerar os nparaleleppedos (cujo volume kV ), todos os pontos internos ao slido G e

que as arestas dos paraleleppedos tendem a zero quando n, deve-se fazer:

( )=

n

k

kkkkn Vzyxf

1

,,lim .

Este limite (se existir) definido como integral tripla de f (x, y ,z) em relao ao slido G e

representa-se da seguinte forma:

( ) dVzyxfVzyxfG

n

k

kkkkn ==

),,(,,lim

1

Cujas propriedades, de forma anloga integral dupla, so:

a. ;,),,(),,( RcdVzyxfcdVzyxfc

GG

=

b. ( ) dVgdVfdVgf

GGG

= , sendo quefe gso funes de (x, y, z);

c. dVfdVfdVf

GGG

=21

, 21 GGG =

COMO CALCULAR UMA INTEGRAL TRIPLA

A integral tripla pode ser calculada atravs de integraes sucessivas, reduzindo-a inicialmente a

uma integral dupla. Neste caso, podem-se ter diversas situaes, conforme ilustram as figuras FIG.

2, FIG. 3 e FIG. 4, designadas como Regio tipo I, tipo II e tipo III, respectivamente.


66/73


Clculo III

66

REGIO TIPO I

Figura 2 O slido G limitado inferiormente pela funo h1(x, y)e superiormente pelo grfico de h2(x, y), onde h1e h2

so funes contnuas sobre a regio R pertencente ao plano XY.

REGIO TIPO II

Figura 3 O slido G limitado esquerda pelo grfico p1(x, z)e direita pelo grfico de p2(x, z), ondep1ep2 so

funes contnuas sobre a regio R do plano XZ.

REGIO TIPO III


67/73


Clculo III

67

Figura 4 O slido G limitado na parte de trs pelo grfico q1(y, z)e na frente pelo grfico de q2(y, z), ondep1ep2 so

funes contnuas sobre a regio R do plano YZ.

EXEMPLO: EXERCCIO RESOLVIDO

1. Determine os limites de integrao para calcular a integral tripla de uma funoF(x, y, z)sobre o tetraedro, no primeiro octante, limitado pelos planosz = 0, y = x

+ z e y = 1.

SOLUO:

REGIO TIPO I


68/73


Clculo III

68

1

0 0 0( , , ) ( , , )

y y x

G

F x y z dV F x y z dz dx dy

=

ou

1 1

0 0

( , , ) ( , , )y x

xG

F x y z dV F x y z dzdydx

=

Por exemplo, se F(x, y, z) = 1, encontrar-se-ia o volume do tetraedro:

1 1

0 0

1 1

0

11

2

0

12

0

1

2 3

0

( )

1

2

1 1

2 2

1 1 1

2 2 6

1

( . )6

y x

x

x

y

y x

V dzdydx

V y x dydx

V y xy dx

V x x dx

V x x x

V u v

=

=

=

=

=

= +

= +

=


69/73


Clculo III

69

REGIO TIPO II

1 1 1

0 0( , , ) ( , , )

x

x zG

F x y z dV F x y z dy dz dx

+=

ou

1 1 1

0 0( , , ) ( , , )

z

x zG

F x y z dV F x y z dy dxdz

+=

Se considerar F(x, y, z) = 1, o resultado ser o mesmo obtido na regio anterior:

( )1

.6

V u v= . Tente e verifique!!!

REGIO TIPO III


70/73


Clculo III

70

1

0 0 0( , , ) ( , , )

y y z

G

F x y z dV F x y z dxdz dy

=

ou

1 1

0 0( , , ) ( , , )

y z

zG

F x y z dV F x y z dxdy dz

=


71/73


Clculo III

71

EXERCCIOS

1. Utilize uma integral tripla em coordenadas cartesianas para calcular o volume do

slido G limitado pelos planos y = 0, z = 0, y + z = 4 e pelo cilindro parablico

24 xz = . (FAA UM ESBOO DO SLIDO)

Resposta:

50

3V= (u. v).

2. Esboar a regio de integrao e calcular as integrais:

a)1 1 1

0 0 0

y x ydzdxdy

b) 21 2

0 0

x x y

xxdzdxdy

Respostas:

a) b)


72/73


Clculo III

72

3. Resolva a integral triplaG

I dV= , onde G o slido, no 1 octante, delimitado

pelo cilindro parablico 24x y= , pelos planos 5y z+ = ,1

3y x= e x = 0. Em

seguida, defina o significado do resultado encontrado. (FAA UM ESBOO DO

SLIDO)

Resposta:

24V= (u. v).

4. Calcule a integralG

I dV= , onde G o slido, no 1 octante, delimitado pelo

cilindro 2 2 4 0x y y+ = , pelo plano 10x y z+ + = e pelo plano z = 2. Em seguida,

defina o significado do resultado encontrado.

Resposta:


73/73


Clculo III

73

( )127 1

. .8 12

V u v

=

5. Resolva a integral ( )2 2G

I x y dV= + onde G o cilindro2 2 1x y+ e 0 4z .

Resposta: ( )2 2 2G

x y dV + = .

Bom estudo!

Edna.




LElTHOLD, Luiz. Oclculo com geometria analtica. Trad. Cyro de Carvalho Patarra. 3

ed. So Paulo: Harbra, 1984. 688 - 1178p. (Traduo de: The calculus with analytic

geometry). V.2.




2 ed. So Paulo: Makron Books. (Traduo de: Calculus). V.2.

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