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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – ESTATÍSTICA PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS
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IV - MEDIDAS DE DISPERSÃO (VARIABILIDADE)
Muitas vezes o cálculo da média para um conjunto de valores não é suficiente para caracterizar
uma distribuição ou conjunto de valores.
Ex.: Uma empresa opera em três turnos e no final de cada semana, a produção apresentada foi a
seguinte:
Dias
Turnos
Segunda Terça Quarta Quinta Sexta
I 150 150 150 150 150
II 70 130 150 180 220
III 15 67 117 251 300
Ex.: Suponha que se deseja comparar a performance de dois empregados com base na produção
diária de uma peça:
A = 70, 71, 69, 70, 70
B = 60, 80, 70, 62, 83
As medidas de dispersão proporcionam um conhecimento mais completo do fenômeno a ser ana-
lisado, permitindo estabelecer comparações entre fenômenos de mesma natureza e mostrando
até que ponto os valores se distribuem acima ou abaixo da tendência central.
1 - Variância
É a média dos quadrados dos desvios.
Dados não tabulados:
nXX i
2
2 )( para dados populacionais
1)(
22
n
XXS i
para dados amostrais
Dados tabulados:
nfiXX i
2
2 )( para dados populacionais
1)(
22
n
fiXXS i
para dados amostrais
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1.1 - Propriedades da Variância
1ª - Somando ou subtraindo, um valor constante e arbitrário, a cada elemento de um conjunto de
números, a variância não se altera.
2ª - Multiplicando ou dividindo, por um valor constante e arbitrário, cada elemento de um conjun-
to de números, a variância fica multiplicada ou dividida pelo quadrado da constante.
2 - Desvio Padrão
É a raiz quadrada da variância.
2 para dados populacionais
2SS para dados amostrais
2.1 - Propriedades do Desvio Padrão
1ª - Somando ou subtraindo, um valor constante e arbitrário, a cada elemento de um conjunto de
números, o desvio padrão não se altera.
2ª - Multiplicando ou dividindo, por um valor constante e arbitrário, cada elemento de um conjun-
to de números, o desvio padrão fica multiplicada ou dividida pela constante.
3 - Coeficiente de Variação
É a comparação, em percentual, entre o desvio padrão e a média.
100.X
CV para dados populacionais
100.XSCV para dados amostrais
EXERCÍCIOS
1) Dois estudantes obtiveram os seguintes resultados em 5 provas, realizadas ao longo do ano letivo: A = 40 - 50 - 60 -70 - 80 B = 20 - 40 - 60 - 80 - 100 Analisar a performance dos 2 alunos.
2) Um teste foi aplicado a dois grupos de 50 alunos e apresentou os seguintes resultados:
Grupo Média das Notas Desvio Padrão das Notas A 6 2 B 6,2 1,5
Baseado no coeficiente de variação analise os resultados.
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3) Uma empresa fabricante de pneumáticos desenvolveu um novo produto com um cordel que proporciona maior resistência às flexões repetidas e maior resistência à tração do que o ori-ginal. Tendo submetido esse componente à prova, chegou-se à conclusão de que a resis-tência às flexões repetidas, testada em um aparelho de dobrar cordéis, foi em média de 139 minutos com desvio padrão de 15 minutos contra a média de 88 minutos e desvio pa-drão de 14 minutos do cordel comum. Analise esses resultados.
4) Considere a amostra de valores abaixo e calcule a variância e o desvio padrão.
a) 10, 20, 12, 17, 16 b) 27, 25, 20, 15, 30, 34, 28, 25
5) Realizou-se uma prova para duas turmas, cujos resultados foram os seguintes:
Turma A: AX = 5 e SA = 2,5
Turma B: BX = 4 e SB = 2 Esses resultados permitem afirmar que: a) a turma B apresenta maior dispersão absoluta; b) a dispersão absoluta é igual para ambas as turmas; c) a dispersão relativa é igual à dispersão absoluta; d) a dispersão relativa e a absoluta para a turma B são iguais; e) a dispersão relativa da turma A é igual à turma B.
6) A tabela abaixo representa a vida útil de postes telefônicos de madeira: ANOS No. DE POSTES SUBSTITUÍDOS
0,5 |— 2,5 11 2,5 |— 4,5 47 4,5 |— 6,5 87 6,5 |— 8,5 134 8,5 |— 10,5 200 10,5 |— 12,5 198 12,5 |— 14,5 164 14,5 |— 16,5 102 16,5 |— 18,5 48 18,5 |— 20,5 6 20,5 |— 22,5 3
Calcular: a) O desvio padrão. b) O coeficiente de variação.
7) O Los Angeles Times regularmente publica o índice da qualidade do ar para várias áreas da Califórnia do Sul. Uma amostra de valores do índice da qualidade do ar para Pomona forne-ceu os seguintes dados: 28, 42, 58, 48, 45, 55, 60, 49 e 50. a) Calcule a variância e o desvio padrão; b) Uma amostra de leituras do índice da qualidade do ar para Anaheim forneceu uma média de amostra de 48,5 , uma variância de 136 e um desvio padrão de 11,66. Que compara-ções você pode fazer entre a qualidade do ar em Pomona e em Anaheim com base nessas estatísticas?
8) Dada a distribuição de salários, determinar: a) A variância; b) O desvio padrão; c) O coeficiente de variação.
SALÁRIOS fi 20 |— 25 10 25 |— 30 15 30 |— 35 20 35 |— 40 18 40 |— 45 5
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9) A Davis Manufacturing Company acabou de completar cinco semanas de trabalho usando um novo processo que se supõe aumenta a produtividade. O número de peças produzidas em cada semana foram 410, 420, 390, 400 e 380. Calcule a variância e o desvio padrão da amostra.
10) A tabela abaixo representa a porcentagem de bactérias encontradas por cm em 100 amos-
tras de determinado produto. Calcular: a) A variância; b) O desvio padrão; c) O coeficiente de variação.
% fi 0 |— 0,1 2 0,1 |— 0,2 5 0,2 |— 0,3 10 0,3 |— 0,4 15 0,4 |— 0,5 18 0,5 |— 0,6 18 0,6 |— 0,7 15 0,7 |— 0,8 10 0,8 |— 0,9 5 0,9 |— 1,0 2
11) As contagens de ponto de um jogador de boliche em seis jogos foram 182, 168, 184, 190,
170 e 174. Usando esses dados como uma amostra, calcule as seguintes estatísticas: a) Variância; b) Desvio padrão; c) Coeficiente de variação.
12) Determinar o coeficiente de variação dos dados da tabela seguinte:
Xi fi
2 |— 4 2 4 |— 6 8 6 |— 8 10 8 |— 10 8 10 |— 12 2
13) A distribuição de freqüências seguinte representa o número de peças defeituosas produzidas
por uma máquina em 31 dias de observação. Calcular o desvio padrão do número de peças defeituosas.
No. de Peças Defeituosas 0 1 2 3 4 No. de Dias 3 5 15 5 3
14) A distribuição de freqüências dos pesos de cem operários de uma fábrica é a seguinte:
Pesos No. de Operários
50 |— 58 10 58 |— 66 15 66 |— 74 25 74 |— 82 24 82 |— 90 16 90 |— 98 10
Calcular o desvio padrão dos pesos dos cem operários.
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15) A distribuição da renda semanal proveniente do aluguel de duzentas casas pertencentes a uma empresa imobiliária encontra-se na tabela abaixo:
Renda Mensal No. de Casas
75 |— 125 12 125 |— 175 26 175 |— 225 45 225 |— 275 60 275 |— 325 37 325 |— 375 13 375 |— 425 7
Calcular o desvio padrão da renda mensal. 16) Seja a seguinte tabela de freqüências:
Xi Fi 100 |— 200 2 200 |— 300 22 300 |— 400 52 400 |— 500 22 500 |— 600 2
Calcular o coeficiente de variação da distribuição.
17) Uma empresa tem duas filiais praticamente idênticas quanto às suas características funcio-
nais. Um levantamento sobre os salários dos empregados dessas filiais resultou nos seguin-
tes valores:
Filial A: AX = 400 e SA = 20
Filial B: BX = 500 e SB = 25
Podemos afirmar, com base nesses resultados, que:
a) em termos relativos, os salários das duas filiais não diferem quanto ao grau de dispersão;
b) as dispersões dos salários, tanto a absoluta como a relativa, são iguais;
c) a dispersão absoluta é igual à dispersão relativa em ambos os casos;
d) a filial A apresentou menor dispersão relativa e absoluta;
18) Os preços para a população dos 15 modelos básicos de máquinas de café são apresentados
a seguir (Consumer Report 1995 Buying Guide).
MODELO PREÇO ($) MODELO PREÇO ($) MODELO PREÇO
Mr. Coffe PR12A 27 Mr. Coffe PR16 25 Braun B 60
Krups 50 Mr. Coffe BL110 22 Proctor 42401 35
Proctor 42301 20 Braun 35 Krups B 40
B&D 901 22 Bunn 40 Melitta 30
B&D 900 20 West Bend 35 Betty Crocker 19
Calcule a variância e o desvio padrão para essa população.
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19) Um estudo sobre o número de horas extras (incluindo noites e finais de semana) no último
ano, em uma grande empresa, forneceu as medidas dadas na tabela. Discuta esses valores.
IDADE
SEXO < 30 anos 30 a 45 anos ≥ 45 anos
Homem: Média 400 350 280
Mediana 350 275 300
Desvio padrão 80 100 140
Mulher: Média 180 200 150
Mediana 200 220 140
Desvio padrão 80 90 70
GABARITO
1) XA = 60 ² A = 200 A = 14,14 XB = 60 ² B = 800 B = 28,28 Como as médias dos dois estudantes são iguais, a avaliação será feita pelo desvio padrão, pois as medidas são de mesmas características. A < B , logo, podemos considerar que a performance do estudante A foi mais homogênea, ou seja, mais regular que o estudante B.
2) CVA = 33% CVB = 24% As notas do Grupo B são mais homogêneas que de A. Individualmente, a média de A é representativa dos resultados do teste e a de B não.
3) Cordel Média Desvio Padrão
Novo 139 15 Original 88 14
CVnovo = 11% CVoriginal = 16%
Como as médias são muito distantes, usaremos o coeficiente de variação para a comparação. O cordel novo é mais regular que o original. 4) a) S² = 16 S = 4,00 b) S² = 34,57 S = 5,88
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5) Turma Média das Notas Desvio Padrão das Notas
A 5 2,5
B 4 2
CVA = 50% CVB = 50%
Resposta: e) a dispersão relativa da turma A é igual à turma B.
6) a) S = 3,76 b) CV = 35% 7) a) S² = 92,75 e S = 9,63 b) Como as médias dos dois índices são próximas (média de Pomona 48,33 e média de Anaheim 48,5), a avaliação será feita pelo desvio padrão, pois as medidas são de mesmas características. S Pomona < S Anaheim , logo, podemos considerar que a qualidade do ar em Pomona é mais homogênea, ou seja, mais regular que em Anaheim . 8) a) ² = 34 b) = 5,82 c) CV = 18% A média é uma boa medida de representação da distribuição. 9) S² = 250 S = 15,81
10) a) S² = 0,04 b) S = 0,20 c) CV = 40% A média não é uma boa medida de representação da distribuição. 11) a) S² = 75,2 b) S = 8,67 c) CV = 5% A média é uma boa medida de representação da distribuição. 12) CV = 30% A média é uma boa medida de representação da distribuição. 13) S = 1,06 14) = 11,51 15) S = 70,44 16) CV = 22% 17) Turma Média Desvio Padrão
A 400 20
B 500 25
CVA = 5% CVB = 5% (a) Em termos relativos, os salários das duas filiais não diferem quanto ao grau de dispersão.
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18) ² A = 0,3 A = 0,55 ² B = 2,5 B = 1,58 19) CVHomens = 20% 29% 50% CVMulheres = 44% 45% 47% O número de horas extras entre as mulheres é mais disperso que o dos homens. Tanto homens com mulheres na faixa etária abaixo de 30 anos são mais homogêneos em relação às horas ex-tras. Para os homens, a média é uma boa medida de representação nas faixas abaixo de 30 anos e entre 30 a 45 anos. Na faixa acima de 45 anos a melhor representação é a mediana. Para as mulheres, para todas as faixas de idade, a melhor medida é representada pela mediana.