Apostila11 Yolanda
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E
O
O
B
P
Q
V
A
D
E
F
C
B
4/3
2/32/ 3
A
Explorando Geometria com
Origami
Eduardo Cavacami
Yolanda Kioko Saito Furuya
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Texto j revisado pela nova ortografia.
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Sumrio
Introduo 1
As construes e os Axiomas de Huzita-Hatori . . . . . . . . 2
1 Seces de Segmentos 9
1.1 Construo de
1
3 e
1
5 a partir do Quadrado . . . . . . 91.2 Construo de
1
na partir do Retngulo . . . . . . . . 13
2 Trisseco do ngulo 16
3 Quadrados e reas 20
3.1 Proporo1
2da rea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Proporo1
n
da rea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Quadratura do Retngulo 25
5 Duplicao do Cubo 29
i
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Estilo OBME
ii SUMRIO
6 Pentgono e Retngulo ureo 32
7 Poliedros de Plato de Faces Triangulares 41
7.1 Retngulos1
3e
23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.2 Construo das Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.2.1 Unidade A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.2.2 Unidade B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.3 Montagem dos Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.3.1 Tetraedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.3.2 Octaedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.3.3 Icosaedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.4 Esqueleto do Icosaedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8 Poliedro de Plato de Faces Quadradas 60
9 Poliedro de Plato de Faces Pentagonais 63
9.1 Do copo ao Pentgono Regular . . . . . . . . . . . . . 63
9.2 Dodecaedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.2.1 Construo do Retngulo para o Dodecaedro de
Aresta Dada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10 Construes que se Encaixam 75
Referncias Bibliogrficas 78
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Introduo
As primeiras aplicaes da Geometria de que se tem notcia apare-
ceram em problemas relacionados com diviso de suas terras e na As-
tronomia. Desde ento o uso da Geometria uma constante na vida
do homem e hoje o seu estudo inserido no ensino da Matemtica
desde os primeiros anos escolares. No entanto, notrio a dificuldade
no aprendizado e a falta de motivao no estudo da Geometria.
A aplicao de Origami no ensino da Geometria pode auxiliar no
desenvolvimento cognitivo, trazendo assim uma melhor aprendizagem
e compreenso da Matemtica atravs da manipulao de um simples
pedao de papel.
O Origami, de origem desconhecida, tem etmologia japonesa e
significa dobrar (ori) papel (kami). No Brasil, utiliza-se tambm a
palavra dobradura, mas o termo Origami mundialmente reconhecido
e utilizado.
Este trabalho trata do relacionamento entre a Geometria e o Ori-gami, atravs da implementao de dobraduras para apresentao de
resultados da Geometria e o uso da Geometria para justificar as cons-
trues. Com isto estamos lidando com mais uma metodologia de
1
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2 INTRODUO
ensino e estudo da Geometria Elementar, com o uso de uma tcnica
milenar, concreta e divertida, alm de acessvel a qualquer pessoa.
Inicialmente apresentamos alguns problemas clssicos da Geome-
tria Euclidiana, incluindo a resoluo com Origami de dois problemas
no solveis com rgua e compasso: a trisseco do ngulo e a dupli-
cao do cubo. Depois passamos aos poliedros de Plato, construdos
atravs de mdulos de Origami que se encaixam uns aos outros, for-
mando as faces.
Este texto foi baseado principalmente no trabalho de Hisashi Abe,
do seu livro Sugoiz1 Origami, de 2003 (em japons, [1]). Hisashi Abe,
da Universidade de Hokaido, o autor da construo da trisseco do
ngulo apresentada neste texto.
Para um melhor aproveitamento das informaes obtidas neste
trabalho, espera-se um conhecimento bsico em Geometria Elementar.
As construes e os Axiomas de Huzita-Hatori
Apesar de existirem tcnicas de origami dobrando linhas curvas2
alm das retas, este trabalho se restringir s dobras em linha reta.
Cada dobra efetuada gera uma linha reta e os pontos de um dos
semiplanos so refletidos no outro semiplano, ou seja, se r a linha
de dobra, e P um ponto da folha a ser dobrada, P levado no seu
simtrico P em relao a r. Ou seja, a linha de dobra r a mediatrizde cada par P, P, onde P o refletido de P (onde P levado).
1Sugoiz = Impressionante2Como, por exemplo, na construo da Rosa de Kawasaki.
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INTRODUO 3
Alm disso, a linha de dobra r tambm a bissetriz de cada ngulo
PV P formado por um raio V P com origem V em r e seu raio refletidoV P, onde o raio levado.
Com isso, v-se que mediatrizes e bissetrizes so construes ele-
mentares com Origami, assim como perpendiculares e paralelas.
Construes elementares no sero detalhadas todas as vezes que
forem utilizadas, para no desviar a ateno da construo central.
Todas as construes utilizadas no texto so consequncias dos
Axiomas da Geometria do Origami, conhecidos como os Axiomas de
Huzita (ou Huzita-Hatori, ou Huzita-Justin), que podem ser obti-
dos no seguinte endereo eletrnico, de Robert Lang: http://www.
langorigami.com/science, e dadas a seguir:
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4 INTRODUO
1. Dados dois pontos distintos P1e P2, existe apenas uma dobra
que passa por eles.
2. Dados dois pontos distintos P1e P2, existe apenas uma dobra
que coloca P1 sobre P2.
3. Dadas as retas r1 e r2, existe uma dobra que coloca r1 sobre r2.
Q
P
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INTRODUO 5
4. Dados um ponto P e uma reta r, existe uma dobra nica que
perpendicular a r e que passa por P.
5. Dados dois pontos P1 e P2 e uma reta r1, existe uma dobra que
coloca P1 sobre r1 e que passa por P2.
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6 INTRODUO
6. Dados dois pontos P1 e P2 e duas retas r1 e r2, existe uma dobra
que leva simultaneamente P1 sobre r1 e P2 sobre r2.
7. Dados um ponto P e duas retas r1 e r2, existe uma dobra que
coloca P1 sobre r1 e que perpendicular a r2.
Nesta axiomtica, o papel tem o tamanho suficientemente grande
para conter todas as construes necessrias (suponha-o ilimitado).
Alm disso, por existe uma dobra entende-se que se a soluo geo-
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INTRODUO 7
mtrica existir, ento pode ser realizada atravs de uma dobra.
Por exemplo, a quantidade de solues do Axioma 5 pode ser 0, 1
ou 2, dependendo da posio dos pontos e da reta, pois o problema
equivalente a encontrar a interseco da reta r1 com a circunferncia
de centro P2 passando por P1.
No h garantia de independncia entre os axiomas. Mas pode-se garantir que o sexto axioma (de Humiaki Huzita) no conse-
quncia dos cinco primeiros, pois os cinco primeiros geram somente
construes possveis com rgua e compasso e, com o sexto axioma,
podemos obter resultados no construtveis com rgua e compasso
como veremos adiante.
O stimo axioma, acrescentado por Koshiro Hatori, em 2001, e
supostamente independente dos cinco primeiros, deixa uma dvida:
Observe na construo geomtrica do Axioma 7, que o ponto P
levado em P r1. Ora P P deve ser paralelo a r2 para que a dobraseja perpendicular a r2. Assim, efetuando os seguintes passos:
Dobre perpendicularmente a r2 por P obtendo como vinco areta s1 (Axioma 4).
Dobre perpendicularmente a s1 por P obtendo s2 (Axioma 4).Chame o ponto em r1 s2 de P.
Dobre levando o ponto P a P (Axioma 2), obtendo a reta .
Temos que a reta a mediatriz de P P e, portanto, perpendicular ar2 P P. Assim, a construo do Axioma 7 consequncia dos axio-mas 4 e 2. Ou seja, o Axioma 7 decorre dos cinco primeiros axiomas
de Huzita. Pergunta-se: existe algum furo nesta argumentao? O
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8 INTRODUO
fato que a dobra do Axioma 7 pode ser construda com um nico
movimento, o de deslizar um ponto Q de r2, mais distante que P de
r1, sobre r2 at que P encontre r1.
Um estudo mais avanado, de Robert J. Lang, sobre estes axio-
mas e construes geomtricas com Origami pode ser obtido gratuita-
mente em: http://www.langorigami.com/science/hha/origami_
constructions.pdf (em ingls). Nele demonstrado inclusive a com-
pletude do conjunto de axiomas, isto , que no h mais axiomas a se
acrescentar. E tal estudo feito com o envolvimento de outra grande
rea da Matemtica: a lgebra.
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Captulo 1
Seces de Segmentos
Como podemos facilmente determinar o ponto mdio de um seg-
mento atravs do Origami, podemos tambm dividir um segmento em
2n
partes, com n = 0, 1, 2, 3, . . . . Com rgua e compasso, os gregosdividiam segmentos em n partes. Veremos agora que com o Origami
tambm possvel essa seco.
A seco urea do segmento ser trabalhada em momento opor-
tuno, na construo de pentgonos.
1.1 Construo de
1
3 e
1
5 a partir do Quadrado
Para se obter uma trisseco de segmento a partir de um quadrado,
procedemos da seguinte maneira:
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10 CAP. 1: SECES DE SEGMENTOS
Seja dado um quadrado ABCD.
Suponha-o de lado igual a 1.
Encontre os pontos mdios E e F
dos lados AB e CD, respectiva-
mente.
E F
CB
A
Leve o vrtice D ao ponto E.
O novo segmento CD determina so-
bre o antigo BC um ponto I.
Temos que IC, depois de aberto,
equivale a1
3do lado do quadrado
ABCD.
A demonstrao segue por semelhana de tringulos:
Os ngulos AEG e BEI so complementares, pois GEI reto porser o refletido de GDC que reto.Os tringulos GAE e EBI soretngulos. Como AEG comple-mentar de BEI, ento AEG con-gruente B
IE. Como os tringu-
los so retngulos e possuem um dos
ngulos congruentes, eles so seme-
lhantes.
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SEC. 1.1: CONSTRUO DE1
3E
1
5A PARTIR DO QUADRADO 11
Denominaremos agora por x e y os segmentos AG e BI, respec-
tivamente. Como G um ponto entre A e D, GD = GE = 1 x.Temos tambm que AE = EB =
1
2.
Por Pitgoras, temos no tringulo GAE:
12
2+ x2 = (1 x)2 = 1
4+ x2 = 1 2x + x2 = x = 3
8.
Pela semelhana de tringulos,
temos:
1
2
3
8
=y1
2
= 38 y = 1
4= y = 2
3.
Logo,
IC = 1 y = 13
.
G
E
E
B I
x1x
1/2
1/2
y
A
No Origami tambm possvel dividir um segmento em cinco
partes. Vejamos:
Comece com um quadrado ABCD
de lado 1.
Encontre o ponto mdio E de AB.
Encontre, ento, o ponto mdio QentreA e E.
Temos que AQ =1
4, donde
4 AQ = 2 AE = 2 EB = AB.
E F
D
CB
Q
A
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12 CAP. 1: SECES DE SEGMENTOS
Leve o vrticeD ao pontoQ, deter-
minando J em BC.
Verifica-se, assim como no caso
da trisseco do segmento, dois
tringulos semelhantes, AGQ e
BQJ, pelos mesmos motivos do
outro caso.Temos que
1
5=
1
2 BJ .
G
De fato, nos tringulos semelhantes,
AG
BQ=
AQ
BJ=
GQ
DJ.
Sejam x = AQ e y = BJ. Q B
G
J
Q
x 1x
1/4 y
3/4
A
Temos por Pitgoras que:
1
4
2
+ x2 = (1 x)2 = 116
+ x2 = 1 2x + x2 = x = 1532
.
Por semelhana de tringulos temos:
15
32
1
4
=3
4
y 15
32y =
3
16 y = 2
5.
Obtido2
5do segmento, basta dividir por 2 para conseguir
1
5.
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SEC. 1.2: CONSTRUO DE1
NA PARTIR DO RETNGULO 13
1.2 Construo de1
n
a partir do Retngulo
Existe uma forma mais generalizada de se dividir por n partes,
no sendo necessrio o papel ser quadrado. Podemos comear com
qualquer papel retangular.
Vamos refazer a diviso do segmento no caso n = 3 e n = 5.
Seja dado um papel retangu-
lar qualquer ABCD. Dobre
uma das diagonais e depois ao
meio pelo lado maior, determi-
nando os pontos E e F, pon-
tos mdios dos respectivos seg-
mentos AB e DC. D
B
CF
A
No retngulo EBCF que re-
presenta a metade do retn-
guloABCD, dobre sua diago-
nal BF, encontrando o ponto
I, interseco da diagonal
maior com a menor.D
B
CF
I
A E
Os tringulos ABI e CF I so semelhantes, pois os ngulos dovrtice em comum so congruentes, opostos pelo vrtice e os outros
ngulos so alternos internos.
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14 CAP. 1: SECES DE SEGMENTOS
Temos ento queAB
F C=
2
1 AI
IC=
2
1e, portanto, a diagonal AC
est divida em trs partes iguais.
Dobre uma perpendicular a
AB, passando pelo ponto I eobtenha o ponto G AB.
GB =1
3AB
D
B
CF
I
H
A E G
A ltima afirmao segue do Teorema de Tales, j que IG e CB
so paralelos.
O mtodo anterior pode ser aplicado para se obter1
5do segmento.
Pegue um papel retangular
qualquer ABCD. Determine
E e F, pontos mdios de AB
e DC. Determine tambm G
e H, pontos mdios de EB e
F C.D
B
CF H
A E G
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SEC. 1.2: CONSTRUO DE1
NA PARTIR DO RETNGULO 15
Encontre BH, diagonal do
retngulo GBCH. Chame de
I a interseco de AC e BH.
D
B
CF H
I
A E
Dobre JL, perpendicular a
AB, passando por I. Verifica-
se que JB 1
5de AB, pois
AB
HC
=AI
IC
=4
1
.D
B
CF
I
LH
A
JB igual a1
5de AB.
Com esse ltimo mtodo, podemos dividir qualquer segmento em
n partes, com n N, por induo: tendo o segmento JL da divisoem n 1 partes, dobrando a diagonal LB do retngulo JBCL, en-contrando o novo ponto I na interseco das diagonais, e dobrando
um novo segmento JL perpendicular a AB passando por I. Ento
JB =1
n
AB.
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Captulo 2
Trisseco do ngulo
Um dos famosos problemas da antiga Grcia era a trisseco de um
ngulo qualquer com rgua e compasso. Esse problema impossvel
com rgua e compasso, mas solvel com Origami. A construodada a seguir creditado a Hisashi Abe, conforme publicado em 1980
no Japo.
Seja um nguloEB C menor que
90o conforme figura.
Para casos de ngulos obtusos, basta
aplicar apenas no ngulo excedente
a 90o e som-lo trisseco do
restante.
D
CB
A
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Determine uma paralela F G a AD.
Se a construo seguinte no cou-
ber no papel, escolha outra paralela
mais convenientemente posicionada,
ou use papel maior (ainda com vr-
tice B na quina do papel).
D
CB
G
A
F
Determine uma paralela HI, onde
H e I so os respectivos pontos m-
dios de F B e GC.
Dobre de modo a levar o ponto F ao
segmento EB e o ponto B ao seg-
mento HI.
Esta ltima dobra dada pelo
Axioma 6 de Huzita.
D
CB
G
H I
A
F
Para uma melhor visualizao, mar-
que os pontos H, F e B (onde
foram H, F e B), sobre o papel, e
trace o segmento FB.
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18 CAP. 2: TRISSECO DO NGULO
Abra novamente e trace os seg-
mentos BB e HB. Trace por B
uma paralela a HB, com extremi-
dade N.
Temos que os tringulos BB N,BB H e BFH so congruen-tes, com os ngulos em B congruen-
tes.
D
C
G
B
B
A
F
H
H
N
F
De fato:
Os tringulos BB N e BB H so congruentes, pois possuema hipotenusa BB em comum e os catetos opostos aos ngulos no
vrtice B so congruentes, j que N B = BH = BH.
Os tringulos BB H e BFH so congruentes, pois possuemum cateto BH em comum e os catetos opostos aos ngulos no vrtice
B so congruentes, pois HB = HB = HF = HF.
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Com isso, o vrtice dos tringulos que esto em B tm os mesmos
ngulos, assim, EB C est divido em trs partes congruentes.
O passo que no pode ser realizado com rgua e compasso o
passo do Axioma 6 de Huzita.
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Captulo 3
Quadrados e reas
3.1 Proporo1
2da rea
Um problema que simplesmente podemos obter com rgua e com-
passo e de fcil aplicao em Origami, com ajuda de uma tesoura,
como obter um quadrado com a metade da rea de um quadrado
inicial.
Seja um quadrado ABCD. Junte os
vrticesA eC para obter o segmento
BD. Analogamente, obtenha o seg-mento AC.
fcil ver que os ngulos juntos ao
centro so retos.D
B
C
d
b
caO
A
20
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SEC. 3.1: PROPORO1
2DA REA 21
Recortando os tringulos obtidos e juntando-os dois a dois como
na figura abaixo, teremos dois quadrados, cada um com a metade da
rea do quadrado ABCD inicial.
cb
d
a
possvel obter esse mesmo resultado de outras formas.
Seja dado um quadrado ABCD.
Leve todos os vrtices ao centro do
quadrado, ou seja, no encontro das
duas diagonais.
O quadrado resultante tem a metade
da rea do quadrado original.D C
O
A
D C
O
A
BCD
A
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Estilo OBME
22 CAP. 3: QUADRADOS E REAS
3.2 Proporo1
n
da rea
Vimos no captulo anterior uma forma de se dividir um segmento
em n lados, obtendo assim, a proporo de1
n. Na primeira parte
deste captulo, vimos como obter um quadrado com a metade da rea
de um quadrado dado. Veremos agora como obter um quadrado derea
1
nda rea original.
Iniciando com um quadradoABCD,
dobre o lado na proporo1
nque de-
sejar. Marque os pontosE eF, con-
forme figura.
Fixando B, leve o vrtice A ao seg-
mento EF, rotacionando por um
eixo BG. CB 1/nF
1
1
A
FixeC e leveB sobreBG, obtendo
o eixo HC (HCBG).Repita o procedimento nos outros
vrtices.
Note que os eixos de rotao so or-
togonais, pois o vrtice levado ao
eixo que o contm. CB 1/nF
H
I
A
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Estilo OBME
SEC. 3.2: PROPORO1
NDA REA 23
Os eixos formaro um quadrado.
Esse quadrado ABCD est para
ABCD, assim como1
nest para
1. Em outras palavras, a rea de
ABCD dividido por n igual a reade ABCD.
C1/nFB
H
J
I
A
C
B
A
D
Para demonstrar a proporo entre as reas de ABCD e ABCD,
vamos analisar as relaes entre os segmentos construdos, nomeando
os elementos conforme a figura:
B
E
1/nF
C
A
B
D
I
O
G D
J
C
Ha
a
aa
b
d
c
d
b
c
c
dc
b
b
d
b
A
Supondo que ABCD tem lado 1 e que x = 1n , basta mostrar quea2 = x, onde a o lado do quadrado ABCD.
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24 CAP. 3: QUADRADOS E REAS
Temos que AB = BO = c por construo e que os tringulos
AAD e AEO so semelhantes, por serem retngulos e possuremo mesmo ngulo em A.Da semelhana,
1 x2c
=a + c
1,
donde a + c =1 x
2c.
Alm disso, no AAD, temos que(a + c)2 + c2 = 1.
Mas (a+c)2+c2 = a2+2ac+2c2 = a2+2c(a+c) = a2+2c1 x
2c=
a2 + 1 x.Logo a2 + 1 x = 1, donde a2 = x = 1
n.
Conclui-se ento que a rea do quadrado ABCD 1
nda rea
do quadrado ABCD.
Observao: n no precisa ser nmero inteiro.
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Captulo 4
Quadratura do Retngulo
Dado um retngulo ABCD, o problema consiste em transform-lo
num quadrado de mesma rea.
Construa o quadrado AFED
como na figura.
BF
E CD
A
Dobre o segmento HG, ondeH e G so os pontos mdios
de AB e DC.
B
E CD G
A
25
-
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26 CAP. 4: QUADRATURA DO RETNGULO
Com o ponto H fixo, leve
o vrtice B ao segmento EF,
encontrando o pontoO no seg-
mento EF, e K no segmento
BC.
B
E CD
O
G
K
A
Os tringulos HKB e HKO so congruentes.
Prolongue BO at encontrar
DC no ponto I.
Recorte pelos segmentosOA e
BI.
B
E CD
O
K
G I
A
Nomeie as peas como a, b e
c, conforme a figura.c
b
a
-
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27
Reorganize as peas de
modo a obter um quadrado
de mesma rea do retngulo
ABCD.
a
b
c
Mas ser que realmente obteremos um quadrado perfeito?
Provavelmente, devido algumas imprecises nas dobras o resul-
tado pode ser duvidoso. Verificaremos ento, os segmentos e ngulos
obtidos:
Vimos que HOK= HBK, j que so refletidos em relao aHK.
Temos que BO perpendicular a HK pela construo. Se
P = BO HK, o ngulo HBP congruente ao ngulo ABO.Como H ponto mdio de AB e P ponto mdio de OB , temos
ento que o tringulo ABO semelhante ao tringulo HBP, narazo de
2
1.
-
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28 CAP. 4: QUADRATURA DO RETNGULO
Logo, podemos concluir que AO
perpendicular a OB. Provado
isto, podemos concluir que os ou-
tros ngulos que formaro os vr-
tices do quadrado sero comple-
mentares, assim, conclumos que
os ngulos satisfazem os ngulosde um quadrado (ou de um retn-
gulo).
BF
E CD
K
O
P
G
H
I
A
Resta provar se BI = AO = lado do quadrado. Vamos chamar de
j o lado menor e l o lado maior do retngulo. Por serem retngulos
e um ngulo em comum, os tringulos AOB , ICB e AF O sosemelhantes.
AF
AO
=AO
ABj
AO=
AO
l
AO =
j l I CFOOB
B
j j
l
A
A
Precisamos averiguar o valor de BI, outro lado do quadrado:
BI
AB=
BC
AO= BI
l=
jj l = BI =
j lj l = BI =
j l .
A rea do retngulo de lados j e l dado por j
l; a rea do
quadrado, de lado j l, tambm j l. Portanto, est satisfeita aquadratura do retngulo.
-
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Captulo 5
Duplicao do Cubo
Problema: Dado um cubo
de aresta a, obter a aresta bde um cubo com o dobro do vo-
lume.
Este mais um dos trs problemas clssicos de Euclides. Mais
uma vez, possvel com Origami e impossvel com rgua e compasso.
Primeiro, podemos obter o volume a3 do cubo de aresta a na
seguinte construo:
29
-
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30 CAP. 5: DUPLICAO DO CUBO
Considere OU = 1 e OA = a.
Usando a propriedade
temos que
OB = a2 e OC = a3.
Exerccio: construa a4.
a a2
a3
1
O
A
U
B
C
Tendo a3, vamos construir b = 3
2a3.
Para isso, tendo obtido u = 2a3 e considere um retngulo ABCD
suficientemente grande para a construo seguinte:
Em AB marqueE eF com
AE = 1 eAF = 2. MarqueEG e F H.
Em AD obtenhaI eA com
AI = u = IA.
Marque IJ e AB.
Seja O = IJ EG.(*) Dobre levando I sobre
r = F H e E sobre s =
AB, obtendo .
(**) determina em EG oponto P e OP = 3
u.
= 2a3
u
u
3
u
r
s
A1 1
B
D
C
E
F
G
H
I
A
O
P
I
E
B
JQ
-
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31
(*) Esta dobra do mesmo tipo utilizado na trisseco do ngulo,
dado pelo Axioma 6 de Hizuta.
(**) Como a mediatriz de II e passa por P de EG, temos a
mesma situao da figura anterior, onde os ngulos I
P Q e P
QE so
retos e, portanto, u = OE = OP3, donde segue o resultado.
-
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Captulo 6
Pentgono e Retngulo
ureo
Neste captulo ser feito uma das construes de um pentgono re-gular. Existem outras formas de se obt-lo, como veremos mais tarde.
A propriedade explorada nesta construo que o lado do pentgono
o segmento ureo da diagonal. Como subproduto, podemos construir
o retngulo ureo.
Lembramos que retngulo ureo de lados a e b segue a proporoa
b=
b aa
(a < b), donde a2 = b2 ab e, portanto, a = b
5 12
.
Para b = 2 e a =
5 1.
32
-
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33
Considere um quadrado ABCD de
lado 2.
Observao: Esta medida para
simplificar a demonstrao.
Junte os vrtices A com B e D com
C, obtendo assim um retngulo de
2 1 e o lado EF.
D
CB
A
F
No retngulo BEFD escolha uma
diagonal, digamos, BF.
Pelo Teorema de Pitgoras,
BF2
= 22 + 12 = BF =
5 .
Usando a diagonal como eixo de ro-
tao, dobre o vrtice C para fora.
Fixando F, leve o ponto C ao seg-
mento BF e marque o ponto C.
-
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34 CAP. 6: PENTGONO E RETNGULO UREO
Temos que CF igual a 1, pois assumimos que o lado do quadrado
2. Assim, BF CF igual a 5 1, ou seja, BC = 5 1.
Observe que BC o segmento ureo do lado (2).
Voltando para o quadrado inicial,
fixe B e leve o vrtice A at BF.
Subtraia BC = 5 1 do ladoAB = 2; o resto, ou seja, CA, di-
vida ao meio no ponto O.
Com a mesma distncia de AO, a
partir de B, marque O.
-
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35
Temos ento que o segmento OO
tem comprimento igual a BC =5 1, podendo ser um dos lados
do pentgono.
E
O
O
F
CB G
A
FixandoO, leve o pontoO atAD.
Marque como P o ponto onde O
toca AD.
O
D
F
O
C
PA
Analogamente, marque como Q o
ponto onde O encontra BC.
Dobre por OP e OQ.
E
O
O
D
F
C
B
Q
P
A
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Estilo OBME
36 CAP. 6: PENTGONO E RETNGULO UREO
FixandoP, leveO ao segmentoEF.
Note que a dobra faz-se em torno do
eixo dos pontos P e o ponto mdio
de OQ.
E
O
O
D
F
C
B
P
Q
A
Neste momento, vamos analisar alguns resultados.
Temos que os pontos O e Q so simtricos a O e P em relao
a EF, por construo. Alm disso, OO =
5 1 e AO = BO =35
2.
Por Pitgoras,
AO2
+ AP2
= OP2
,
donde35
2
2
+ AP2 =
5 12
e portanto, AP2 =55
2.
Temos ainda que AP
2
+ AO2
= OP
2
, lembrando que AO =AO + OO.
5 52
+ (
5 + 1
2)2 = OP
2
-
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37
5
2
5
2+
5
4+
5
2+
1
4= OP
2
OP2
= 4 OP = 2
OP = P Q = 2 (lado do quadrado)
Com isso, temos que OP Q um tringulo issceles e por isso,se R o ponto mdio de OQ, ento P R OQ. A reflexo doquadriltero OPRO em torno do eixo P R, determina V, exatamente
sobre EF.
Continuando, leve os vrtices D e
C sobre o quadriltero OPRO.
D
F
C
O
P
R OQ
Volte apenas a dobra efetuada sobre
o eixo P R, obtendo assim um pen-
tgono regular.
E
O
O
B
P
Q
VA
-
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38 CAP. 6: PENTGONO E RETNGULO UREO
O pentgono mesmo regular?
Inicialmente supomos o lado do
quadrado igual a 2. Encontramos o
segmento
51 e o utilizamos comolado do pentgono. Vimos que o vr-
tice V foi obtido atravs da reflexo
do quadriltero OPRO.
E
D
F
C
P
QB
V
A
Vimos tambm, em passos da cons-
truo do pentgono, que os pontos
P e Q so os vrtices do pentgono,
e, pela construo,
OP = OP = OO =
5 1 e
P Q = OP = 2.
D
C
P
QB
O
O
MV
A
O tringulo P V Q issceles e con-gruente ao P OO, assim, traando
uma perpendicular a P Q e passando
por F, temos que M F, conforme
figura, bissetriz do P V Q = 2
e divide P Q ao meio.
Observao: V = F.
E
D
C
P
QB
FV
A
-
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Temos que P M = 1, P V =
5 1.Ento
sen =1
5 1 = 54o.
Logo, P F Q = 108o, que corresponde
ao ngulo interno de um pentgono.
P
VM
A demonstrao dos outros ngulos fica por conta do leitor.
Se quando obtivemos o segmento ureo BC do lado (2), trans-
ferssemos a medida a um dos lados do quadrado a partir de um dos
vrtices, teramos ento o retngulo ureo. Voltemos ento constru-
o:
Fixe B e leve o vrtice A at BF.
O ponto (chamemos de A) do lado BA
que levado em C tal que BA o
segmento ureo do lado.
E
D
F
B CG
H
C
A
A
Por A trace uma perpendicular ao
lado AB.
E F
B CG
H
A
D
D
C
A
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40 CAP. 6: PENTGONO E RETNGULO UREO
Est pronto o retngulo ureo ABC D.
B C
A D
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Captulo 7
Poliedros de Plato de Faces
Triangulares
Entre os cinco poliedros convexos regulares, conhecidos como Po-liedros de Plato, trs deles so constitudos de faces triangulares:
tetraedro, octaedro e icosaedro.
Neste captulo construmos as unidades bsicas (ou mdulos) que
se encaixam de formas distintas, formando os poliedros de faces trian-
gulares acima.
Para isso, vamos abordar algumas construes preliminares.
7.1 Retngulos1
3 e2
3A construo das unidades bsicas passa por preparao de retn-
gulos de propores especiais.
41
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Estilo OBME
42 CAP. 7: POLIEDROS DE PLATO DE FACES TRIANGULARES
Vamos trabalhar inicialmente com a relao1
3e
23
sobre os
lados do retngulo.
Essas medidas aparecem natural-mente no tringulo equiltero.
CB D
1
1/ 3
2/ 32/ 3
1/ 3
A
Seja um papel quadrado ABCD de
lado 1.
Encontre EF, onde E e F so pon-
tos mdios de AD eBC, respectiva-
mente.
Fixando B, leve C a EF.
D
CB F
A
Pelo ponto J obtido em EF, dobre
a perpendicularHI a EF.
Teremos, para o segmento HB que:
HB
2
+ (
1
2 )2
= 12
HB =
3
2 .
Teremos agora, dois casos.
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SEC. 7.1: RETNGULOS13
E23
43
O primeiro caso, a razo de1
3:
Corte por HI e EF.
Obteremos duas peas, cujas pro-
pores dos lados so de1
3em
cada pea.
BF
HB=
F C
IC=
13
.B F
G
C
IEH
No segundo caso a razo2
3:
Corte somente por HI.
Sem cortar por EF, teremos um
retngulo com a seguinte proporo:
BC
HB=
2
3.
B F
G
C
I
Lembramos que o papel A4 de lados a e b (a > b) tal quea
b=
b
a/2, ou seja, dobrando pelo lado maior, temos dois retngulos
com a mesma proporo do original. Logoa2
2= b2, donde a = b
2,
isto , o lado maior a diagonal do quadrado de aresta igual ao lado
menor. interessante, mas no a proporo que queremos para os
nossos mdulos.
Mas podemos obter do papel A4 doze unidades com a proporo13
, com uma perda muito pequena. Isto facilitar na construo dos
poliedros.
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44 CAP. 7: POLIEDROS DE PLATO DE FACES TRIANGULARES
Seja um papel A4 com os vr-
ticesABCD. Dobre pelo lado
maior ao meio e depois ao
meio novamente, obtendo as-
sim, trs vincos, dividindo o
papel em 4 partes iguais.B C
Fixando A, leve o vrtice B at o
segmento EF feito pelo vinco cen-
tral, rotacionando em torno do eixo
AG.
F
E
-
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SEC. 7.1: RETNGULOS13
E23
45
Pelo ponto obtido em EF marque o
segmento HI perpendicular a AD.
Pelo que vimos anteriormente, a al-
tura AH equivale a
3
2se conside-
rarmos AB = 1, isto ,
AHAB
= 32
.
Dividindo AH por 2 e AB por 4,
temosHA
2AB
4
=
3
1.
B
I
A
H
Para aproveitar o papel, dobre a pro-
poro obtida usando como eixoHI,
conseguindo mais quatro peas com
razo1
3.
B
H I
M N
J L
A
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46 CAP. 7: POLIEDROS DE PLATO DE FACES TRIANGULARES
O resultado a obteno de 12 peas
com a razo de1
3.
H
J L
B
I
NM
A
7.2 Construo das Unidades
Construiremos agora os mdulos, que chamaremos de unidades
A e B dos poliedros de faces triangulares. Para isto, ser necessrio a
utilizao de retngulos de proporo1
3
, como as 12 peas obtidas
do papel A4, visto anteriormente. Estas unidades formam tringulosequilteros, que ao se encaixarem, produziro os poliedros.
7.2.1 Unidade A
Com uma pea retangularABCD, respei-
tando as propores, leve o vrtice B ao
D.
D
B C
1
3
A
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SEC. 7.2: CONSTRUO DAS UNIDADES 47
Ao levar B a D, surge um eixo de rotao
EF.
EF a mediatriz de BD.
Os EF D e EF B so equilteros delado
23
.
Leve o vrtice B ao ponto F.
A nova dobra paralela a AD.
Leve o vrtice C sobre DF.
D
E
F
C
B
4/3
2/32/ 3
A
Vire a pea, de modo que a parte de trs
fique para frente.E
F
2/3
2/ 3
2/ 3
1/ 3
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48 CAP. 7: POLIEDROS DE PLATO DE FACES TRIANGULARES
Leve o vrtice D ao ponto E. E
F
D
A
Mova o vrticeA dobrando segundo o eixo
do ponto E.E
F
D
2/3
2/3
2/ 3
A
Desfaa a dobra pelo eixo EF, de modo
que aparea um paralelogramo.F
2/3 2/3
Vire a pea, de modo que a parte oculta
volte-se para frente.E
Leve as duas extremidades cujos ngulos
so agudos sobre o lado oposto, fixando os
vrtices com ngulos obtusos.
F
E
2/3
4/3
2/3
1/3
4/3
1/ 3
Obtm-se um losango cujos lados e a dia-gonal menor medem
2
3.
F
E
-
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SEC. 7.2: CONSTRUO DAS UNIDADES 49
Nas figuras anteriores, temos que a base do paralelogramo 4
3, ou
seja, cabem duas vezes o lado2
3.
O segmento pertencente base do paralelogramo e que forma um
tringulo retngulo 1
3e a altura
3
3.
Esses valores satisfazem as medidas do tringulo equiltero citadono incio deste captulo.
Abra o losango para obter a unidade A,
que composta por quatro tringulos equi-
lteros de lado2
3.
7.2.2 Unidade B
A construo segue os mesmos procedimentos da unidade A, com
a diferena do lado pelo qual inicia-se a dobra.
Com uma pea retangular
ABCD, respeitando as pro-
pores, leve o vrtice C ao
A.
O eixo de rotao ser
chamado de EF.B C
A
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50 CAP. 7: POLIEDROS DE PLATO DE FACES TRIANGULARES
Leve o vrtice C ao ponto F. E
C
F
B
A
Leve o vrtice B sobre AF. E
D
F
A
Vire a pea, de modo que a parte de trs
fique para frente.
D
E
F
A
Leve o vrtice A ao ponto E.
D
E
F
A
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SEC. 7.2: CONSTRUO DAS UNIDADES 51
Pegue o vrtice D e dobre pelo eixo do
ponto E.E
F
D
Desfaa a dobra pelo eixo EF, de modo
que aparea um paralelogramo.F
E
Vire a pea, de modo que a parte oculta
volte-se para frente.
F
E
Leve as duas extremidades cujos ngulos
so agudos sobre o lado oposto, fixando osvrtices com ngulos obtusos.
F
E
Obtm-se um losango.
F
E
Abrindo, tem-se a unidade B.
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52 CAP. 7: POLIEDROS DE PLATO DE FACES TRIANGULARES
7.3 Montagem dos Poliedros
Foram produzidas, nas unidades A e B, faces na forma de trin-
gulos equilteros. Com os tringulos equilteros podemos construir
apenas trs poliedros regulares: o tetraedro, o octaedro e o icosaedro,
que so os Poliedros de Plato de faces triangulares.
7.3.1 Tetraedro
Para a construo do tetraedro so necessrios dois mdulos, uma
unidade A e uma unidade B.
Note que em cada unidade temos quatro tringulos equilteros e os
tringulos das pontas no possuem corte. Os cortes formam aberturaspara encaixar os tringulos das pontas e ficaro no lado externo do
poliedro.
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SEC. 7.3: MONTAGEM DOS POLIEDROS 53
Encaixe a unidade A em um dos
cortes da unidade B (ou B em A).
Dobre dando forma de um tetraedro
e encaixando todas as pontas.
Conclumos o tetraedro.
7.3.2 Octaedro
Para a construo do octaedro sero necessrios quatro mdulos,
AAAA ou BBBB ou AABB e, para que fique com faces bicolores, so
necessrias duas peas de cada cor.
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54 CAP. 7: POLIEDROS DE PLATO DE FACES TRIANGULARES
Tome duas unidades A (ou B), de
cores distintas.
Encaixe em uma pea A na outra
pea conforme a foto.
Repita com outras duas peas
restantes.
Forma-se ento, duas pirmides de
base quadrada com abas triangula-
res em lados opostos da base.
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SEC. 7.3: MONTAGEM DOS POLIEDROS 55
Encaixe as duas pirmides para fi-
nalizar o octaedro.
7.3.3 Icosaedro
Para a construo do nosso icosaedro bicolor so necessrios cinco
mdulos de cada tipo e cor, ou seja, cinco unidades A com cor 1 e
cinco unidades B com cor 2. Teremos uma faixa cilndrica com dez
faces bicolores e fechados com cinco faces de cor 1 de um lado e cincofaces de cor 2 do outro lado. No possvel obter todas as faces
bicolores.
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56 CAP. 7: POLIEDROS DE PLATO DE FACES TRIANGULARES
Inicia-se com duas unidades distin-
tas, A e B.
Encaixe a unidade B na unidade A.
Repita o procedimento anterior,
encaixando a pea A na B, depois a
B na A, sucessivamente.
Para facilitar a montagem,
recomenda-se que cole com al-
guma fita adesiva todos os encaixes
na parte interna.
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SEC. 7.3: MONTAGEM DOS POLIEDROS 57
Encaixadas todas as peas, encaixe
a ltima pea, no caso a pea B, na
primeira pea A, dando um formato
cilndrico.
Com a faixa cilndrica pronta,
concentre-se nas pontas triangulares
de um dos lados. Encaixe um trin-
gulo em outro adjacente sucessiva-
mente, at fechar o lado com as cincofaces.
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58 CAP. 7: POLIEDROS DE PLATO DE FACES TRIANGULARES
Repita o passo anterior no outro
lado do cilindro, finalizando o
icosaedro.
7.4 Esqueleto do Icosaedro
No podemos deixar de apresentar o esqueleto do icosaedro, cons-
titudo de trs retngulos ureos encaixantes. Isto porque no icosae-dro, cada cinco faces triangulares com um vrtice em comum deter-
mina um pentgono regular, cuja diagonal o lado maior do retngulo
ureo. O lado menor uma aresta do icosaedro (do conjunto de cinco
faces correspondente a outro vrtice).
J vimos, junto com a construo do primeiro pentgono, a cons-
truo do retngulo ureo de lado maior 2, que pode ser usada aqui.
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SEC. 7.4: ESQUELETO DO ICOSAEDRO 59
Recortados os retngulos com as devidas propores, passamos
para o seguinte:
Seja E = ponto mdio de AB.
Sejam EF e F G como na figura,
com EF = F G =AD
2Recorte por EF e F G.
A
B C
D
E
G
F
Encaixe duas peas.
Encaixe a terceira pea.
Est pronto o esqueleto
do icosaedro.
Vemos que ligando os
vrtices da estrutura
com segmentos obtemos
um icosaedro.
Se estiver familiarizado com coordenadas cartesianas {O,x,y ,z} noespao, encontre os vrtices de um icosaedro com centro na origem do
espao, como exerccio. Escolha a posio e o tamanho, de forma a
facilitar as contas.
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Captulo 8
Poliedro de Plato de Faces
Quadradas
Certamente o nico poliedro de face quadrada o cubo, ou hexae-dro regular.
Existem diversas formas de se montar um cubo com Origami. Esta
foi uma forma utilizada para visualizar bem o seu esqueleto, numa
montagem de poliedros encaixantes.
Comece com um papel quadrado
ABCD.
Leve B e C aos vrtices A e D res-
pectivamente.
D
CB
A
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61
Obtm-se o segmento EF.
B DC
FE
A
Dobre de modo que leve B a E e CaF, mantendoA eD no lugar. Gire
180.D
EBCF
A
Vire o papel de modo que a parte
opaca fique na frente.
Dobre AD sobre EF, obtendo o
vinco GH e volte.
BE FC
DA
Leve todos os vrtices sobre GH,
mantendo G e H fixos, obtendo os
segmentos IL em EF, IL em BC
e JK em AD. A pea resultante
forma um feixe de trs trapzios em
GH.
BE FC
D
H
A
G
II L L
J K
O trapzio ILHG est atrs do
trapzio ILHG e o quadriltero
IJKL um quadrado.Dobre as diagonais e os lados IJ e
KL do quadrado IJKL. K
LI
J
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62 CAP. 8: POLIEDRO DE PLATO DE FACES QUADRADAS
Leve JK sobre IL e . . .
KJ
. . . e obtenha o trapzio triplo.
Abra pelo centro da base maior,
como na dobradura de um barco.
Abra adequadamente, e faa outra
pea igual. Juntando, forme o cubo.
Duas peas so suficientes se o cubo estiver com um esqueleto,
que pode ser um octaedro estrelado. Neste caso, deve-se tomar o
cuidado de verificar antes qual deve ser a medida da aresta do cubo
para envolver o esqueleto. E observe que na construo acima, se u
a aresta do papel quadrado, o cubo tem aresta igual diagonal doquadrado de aresta
u
4.
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Captulo 9
Poliedro de Plato de Faces
Pentagonais
Veremos agora, a construo de um poliedro regular cujas faces sopentgonos. Como o ngulo interno do pentgono de 108 em cada
vrtice, no existe a possibilidade de unio de mais de trs pentgonos,
restando assim o dodecaedro como nica soluo.
9.1 Do copo ao Pentgono Regular
Para a construo do dodecaedro temos que comear com um
papel de um tamanho especial, mas antes faremos uma anlise em
outra construo, a de um copo.
63
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64 CAP. 9: POLIEDRO DE PLATO DE FACES PENTAGONAIS
Comeando com um retngulo
ABCD, dobre a diagonalBC.
Encontrando o ponto E,
interseco de AD com BC,
dobre por EB e ED , de
modo que no prenda a parte
oposta.
Observe que o tringulo
BE D issceles.
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
B
DA E
Dobre agora a bissetriz de B.B
D
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SEC. 9.1: DO COPO AO PENTGONO REGULAR 65
Encontrado o ponto F, inter-
seco da bissetriz de B comED , dobre a mediatriz de BF,
donde surge o segmentoGH, com
G EB e H BD.B
D
G
H
Como GH mediatriz de BF,
dobre levando B a F.
DE
G
H
F
B
Seguindo os mesmos procedimen-
tos do vrtice B, dobre D sobre
G.
Um pentgono possivelmente ir-
regular, mas simtrico, est
pronto.
D
E
G
H
FB
I
Para terminar o copo, dobre o
vrtice E pelo eixo de rotao
GF.
Note que existem duas folhas,
sendo uma dobrada para frente eoutra para trs.
DG
H
FB
IE
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66 CAP. 9: POLIEDRO DE PLATO DE FACES PENTAGONAIS
E est pronto o copo.
Faremos agora uma anlise sobre a construo do copo, para de-duzirmos o que necessrio para obtermos um pentgono regular.
Ao desdobrarmos a constru-
o do copo teremos as linhas
de dobras.
Pela construo, sabemos que
GH mediatriz de BF e este
por sua vez bissetriz de EBD. B
DA
C
E F
G
H
Sabemos que para que o pentgono seja regular, cada ngulo in-
terno deve medir 108o. Como o tringulo HBG issceles, temosque o EGH tambm mede 108o.
Seja E BD obtido ondeE levado na dobra por BF.
Por construo temos que
EG = HE.Como BF bissetriz de EBEe E e E so equidistantes de
B, tem-se que F equidistante
de E e E.B
DA
C
108
72
1818
M
G
H
E
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SEC. 9.1: DO COPO AO PENTGONO REGULAR 67
Por Tales, temos que pro-
longando BE, o B ED cor-respondente ao EBC, medindo72o. Pelo tringulo EBF,temos que EF B = 54o, assim
como BF E. E finalmente o
F EB = 108, por ser ngulointerno do pentgono. B
DA
C
108
M
108
108
B
72
72
72
108
54
54
E F
G
H
E
Temos ento um pentgono com todos os ngulos de 108o. Resta
provar que os lados so congruentes. Por construo, E e H sendo
os refletidos de E e G pela bissetriz BF de EBD, os segmentos GEe HE so congruentes, assim como EF e F E. Na construo, GD
tambm bissetriz de ADB e os segmentos EF e HE, assim comoEG e GH so congruentes.
Ou seja, para obtermos um pentgono regular devemos encontrarum ngulo exato. E esse ngulo exato deve ser o ngulo entre a base
(o lado maior) e sua diagonal, devendo ter exatamente 36o, isto ,
se o lado maior for equivalente a 1, o lado menor dever ser igual a
tan36 = 0, 726.... Ou ento, se o lado menor for equivalente a 1, o
lado maior dever ser igual a tan54 = 1, 376....
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68 CAP. 9: POLIEDRO DE PLATO DE FACES PENTAGONAIS
tg 54 = 1,376...
1
1
tg
36=0,7
26...
Vimos, na primeira construo pentgono regular, que iniciamos
com um quadrado de suposto lado 2. Verificamos tambm que a dia-
gonal desse pentgono mantinha a mesma medida do lado do quadrado
inicial e o lado do pentgono media
5 1. Observe que aplicandoessas medidas na construo do copo, adotando j os devidos ngulos,
temos:
GF tem, por construo,
mesma medida de BG. Como
BG diagonal do pentgono,
vamos supor que mede 2. As-
sim, o lado do pentgono mede5 1 e tambm pela constru-
o, ED = 2 = F D. B
DA
C
M
2
2
2
5 1
5 1
5 1
5 1 2
2E F
G
E
H
Sabemos portanto a medida do ngulo CBD, quanto deve medira diagonal. Precisamos saber agora, quanto mede um dos lados do
retngulo. Para isso, basta saber quanto mede AE.
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SEC. 9.2: DODECAEDRO 69
Sabemos que ABE = 18
e que BG = 2 e GE =
5 1.Ento:
AE
BE= sen18
AE5 + 1
= 0, 309...
AE = 1B
DA
C
5 1
218
1 5 1 2
2
5 1
2
F
E
H
G
E
Como construir um retngulo com essas propores, fixando o
tamanho da diagonal 2 do pentgono? Este um outro problema,
que vamos apresentar depois da montagem do dodecaedro.
9.2 Dodecaedro
Podemos finalmente montar o dodecaedro. Atravs da dobradura
do copo, iniciado com papel com as medidas especiais, na qual obtm-
se os pentgonos regulares, tome a seguinte pea:
Como o dodecaedro composto de 12 pentgonos, precisaremos
de 12 peas para a construo.
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70 CAP. 9: POLIEDRO DE PLATO DE FACES PENTAGONAIS
Os tringulos das peas se encaixam em um dos lados do pen-
tgono central da outra pea. preciso encaixar em uma certa se-
quncia para que fiquem firmes, sem necessidade de utilizao de cola
ou qualquer outro material adesivo. Na figura abaixo, a linha com a
seta indica por onde a ponta da pea deve entrar e at onde ela deve
chegar.
Notem que a ponta da pea, que composta pelos lados con-
gruentes de um tringulo issceles fazem o papel de duas diagonais
do pentgono. E finalmente...
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SEC. 9.2: DODECAEDRO 71
9.2.1 Construo do Retngulo para o Dodecaedro de
Aresta Dada
Na construo de poliedros encaixantes aparece o problema de
construir os poliedros com medidas predeterminadas. O dodecaedro
pode ser construdo envolvendo um esqueleto do tipo icosaedro es-
trelado (icosaedro mais tetraedros em cada face) e isto determina as
dimenses do dodecaedro.
Vimos na construo do dodecaedro que so necessrios retngulos
especiais, cuja diagonal divida o ngulo reto em ngulos de 54o e36o. Veremos que esses retngulos so construtveis sem ajuda de um
transferidor, e com a medida desejada na diagonal do pentgono, que
continuar sendo chamada de 2.
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72 CAP. 9: POLIEDRO DE PLATO DE FACES PENTAGONAIS
Nosso objetivo ser
encontrar um retngulo
com lado igual a
5 + 2
e diagonal
5 + 3.
5 1 12
2
5 1
2
Comece com um
retngulo com as
medidas 6 4.
Dobre um quadrado de 2 2.
Depois dobre um retngulo2 1 e a sua dia-gonal.
Essa diagonal corresponde a
5.
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SEC. 9.2: DODECAEDRO 73
Abra o papel.
Podemos verificar que
cada segmento na hori-
zontal equivale a 2, na
vertical 1 e na diagonal
5.
Dobre o segmento
5
sobre o lado e anote,
conforme a figura.
Dobre o segmento 1 so-
bre o lado que esta-
mos construindo um dos
lados do retngulo e
transfira-o somando a
2 + 5.
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74 CAP. 9: POLIEDRO DE PLATO DE FACES PENTAGONAIS
Encontramos os segmentos 2 +
5 e 3 +
5, ou seja, o lado e a
diagonal do retngulo, dados suficientes para a construo o retn-
gulo.
Dobre agora uma perpen-dicular ao lado2 +
5. En-
contre o ponto que dista
3+
5 do vrtice e pertence
perpendicular.
Temos assim um retngulo
cujo lado mede 2 + 5 ea diagonal 3 +
5. Basta
agora, seguirmos a constru-
o do copo e obtermos as
faces do dodecaedro.
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Captulo 10
Construes que se
EncaixamNa foto ao lado so apresentadas, de
baixo para cima:
o esqueleto do icosaedro;
o icosaedro;
o icosaedro estrelado (icosaedrocom uma pirmide em cada face,
que pode ser construda peas
especiais de Origami, mas no o
faremos aqui), que o esqueleto
do dodecaedro; o dodecaedro.
Estas peas se encaixam perfeitamente, na ordem acima.
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76 CAP. 10: CONSTRUES QUE SE ENCAIXAM
Pode-se construir tambm com Origami outro conjunto de peas
encaixantes: esqueleto do octaedro, octaedro, octaedro estrelado e
envolvendo todos eles, o cubo.
Observe que esses encaixes so possveis devido dualidade entre
dodecaedro e icosaedro, e entre cubo e octaedro. A cada face do
dodecaedro corresponde um vrtice do icosaedro e vice-versa. A cada
face do cubo corresponde um vrtice do octaedro e vice-versa.
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Palavras Finais
Este trabalho foi baseado em um trabalho de concluso de curso
de Eduardo Cavacami no Curso de Licenciatura em Matemtica da
Universidade Federal de So Carlos e depois apresentado como Oficina
na IV Bienal da SBM, em 2008.
No decorrer do desenvolvimento do trabalho foi observado que
muitas pessoas associam Origami com dobraduras de animais, florese outras formas, mas nunca Geometria. Talvez este seja um dos
motivos do pouco uso no ensino. Mas o fato deste tipo de atividade
atrair a ateno tanto de crianas quanto de jovens e adultos, faz
pensar no mtodo como uma importante opo para o ensino.
Outra contribuio dessa metodologia pode ser na educao de
pessoas com problemas de viso, pois com a manipulao envolvida no
Origami, os elementos geomtricos podem ser melhor compreendidos.
Este trabalho uma pequena parte de um universo que h para
ser estudado. Mas o intuito deste trabalho foi mostrar a Matemticaescondida em uma simples dobra, mostrando assim, mais um material
para o escasso campo do ensino da Matemtica.
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Referncias Bibliogrficas
[1] ABE, Hisashi. Sugoiz Origami. Tkio: Nippon Hyoronsha Co.
Ltd., 2003.
[2] CAVACAMI, Eduardo. Aplicaes do Origami com recortes
como formas de ensino. Trabalho de Graduao, UFSCar, 2007.
[3] CAVACAMI, Eduardo; FURUYA, Yolanda K. S. Explorando
Geometria com Origami. Oficina apresentada na IV Bienal da
SBM, em Maring, 2008. Disponvel em http:
//www.dm.ufscar.br/~yolanda/origami/origami2008.pdf
[4] HULL, Thomas. Origami Mathematics.
http://mars.wnec.edu/~th297133/origamimath.html
[5] KNOTT, Ron. Some Solid (Three-dimensional) GeometricalFactos about the Golden Section. Publicado 1996 e atualizado em
2007. http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/
Fibonacci/phi3DGeom.html.
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REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS 79
[6] LANG, Robert J. Origami and Geometric Constructions.
http://www.langorigami.com/science/hha/origami_
constructions.pdf.
[7] PEDONE, Nelma M.D. Poliedros de Plato. Revista do
Professor de Matemtica, Rio Grande, n. 15. (CD-Rom com 60
edies da Revista do Professor de Matemtica.)