Apostila Veiculos Completa UFSC

Uma Introdução à modelagem quase-estática de veículos automotores de

rodas

Publicação interna do GRANTE Departamento de Engenharia Mecânica

da UFSC

Autores: Longuinho da Costa Machado Leal – [email protected] Edison da Rosa – [email protected] Lauro Cesar Nicolazzi – [email protected]

Florianópolis, abril de 2008

Lauro Cesar Nicolazzi Engenharia Mecânica da UFSC Agosto de 2008

Sumário

1 Pneus 11.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Partes constituintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.1 Carcaça . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2 Banda de rodagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Resistência ao rolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Comentários iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2 Perdas no pneu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.3 Perdas no solo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.4 Perdas no contato pneu-solo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.5 Coeficiente de resistência ao rolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Aderência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5 Deriva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5.1 Coeficiente de atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5.2 Carga sobre a roda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5.3 Pressão do pneu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5.4 Relação altura/largura do pneu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5.5 Tipos de construção do pneu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5.6 Estado da banda de rodagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5.7 Influência do camber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.6 Capacidade de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.6.1 Capacidade de carga de pneus de automóveis e caminhões . . . . . . 29

1.6.2 Pneus de veículos fora de estrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6.3 Capacidade de carga de pneus agrícolas . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.7 Designação de pneus de automóveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.7.1 Tamanho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.7.2 Séries de pneus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.7.3 Capacidade de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.7.4 Velocidade limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1


1.7.5 Tipo de carcaça . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.8 Designação de outros pneus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.8.1 Pneus de camionetas, caminhões e ônibus . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.8.2 Tratores agrícolas e industriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.8.3 Pneus para veículos fora de estrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2 Forças e acelerações em um veículo em operação 432.1 Resistências ao movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 Resistência mecânica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3 Resistência ao aclive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.4 Resistência de inércia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4.1 Massas em translação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4.2 Massas em rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4.3 Superposição dos efeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.5 Resistência ao rolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.6 Forças aerodinâmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.6.1 Resistência aerodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.6.2 Desprendimento da camada limite e turbulência . . . . . . . . . . . . 56

2.6.3 Cálculo da resistência aerodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.6.4 Área da seção transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.6.5 Pressão dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.6.6 Coeficiente de resistência aerodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.6.7 Coeficientes de penetração aerodinâmica de alguns carros . . . . . . . 63

2.7 Forças de sustentação e centrípeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.7.1 Forças de sustentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.7.2 Força centrípeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3 Transmissão de força pneu pista: Modelo quase estático 673.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2 Posição do centro de gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3 Carga nos eixos de um veículo parado em aclive . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.4 Carga nos eixos com o veículo em movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.5 Força motriz máxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.5.1 Aclives máximos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.5.2 Acelerações máximas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.6 Escorregamento e tombamento em curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2


4 Mecânica da frenagem e freios 844.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.2 A importância dos freios para o setor automotivo . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.3 Sistema de freio: definições básicas e princípio de funcionamento . . . . . . . 86

4.4 Manutenção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.4.1 Manutenção corretiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.4.2 Manutenção preventiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.4.3 Manutenção preditiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.5 Carga nos eixos com o veículo em frenagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.5.1 Freios na dianteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.5.2 Freios na traseira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.5.3 Freios nas quatro rodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.6 Desaceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.6.1 Caso 1 - Freio na dianteira apenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.6.2 Caso 2 - Freio na traseira apenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.6.3 Caso 3 - Freio nas quatro rodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.6.4 Parâmetros de frenagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.7 Desempenho de frenagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.8 Balanço de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.8.1 Freiadas moderadas de longa duração . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.8.2 Freiada de emergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.9 Tipos de freios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.10 Problemas com freios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.10.1 Fading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.10.2 Aquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.10.3 Ruído . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.10.4 Ecologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5 Balanço de potências 1195.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.2 Potência gerada no motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.3 Velocidade do veículo em função da rotação do motor . . . . . . . . . . . . . 120

5.4 Potência consumida pelas resistências ao movimento . . . . . . . . . . . . . . 124

6 Diagramas de desempenho 1276.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.2 Diagrama de potência líquida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.3 Possibilidade de vencer aclives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3


6.4 Possibilidade de aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.5 Tempo para mudar a velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.6 Critérios para obtenção das relações de transmissão . . . . . . . . . . . . . . 133

7 Princípios de carrocerias aerodinâmicas 1417.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7.2 Formas de baixa resistência aerodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7.3 Princípio de Jaray (Forma J) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7.4 Pricípio de Kamm (Forma K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

7.5 Estudos de Lay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

7.6 Meios de diminuir a resistência do ar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

7.6.1 Sucção da camada limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

7.6.2 Palhetas direcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

7.6.3 Cantos auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

7.7 Distribuição de pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

7.8 Forças de sustentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

8 Estabilidade direcional 1588.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

8.2 Estabilidade em retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

8.2.1 Forças e momentos sobre o veículo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

8.2.2 Influência do comportamento do pneu na estabilidade . . . . . . . . . 162

8.3 Comportamento do veículo em reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8.3.1 Força perturbadora transitória agindo no CG . . . . . . . . . . . . . 165

8.4 Defições básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

8.5 Força lateral permanente agindo sobre o CG . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

8.6 Veículos sujeitos a ventos laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

8.6.1 Força do vento agindo no centro de gravidade . . . . . . . . . . . . . 170

8.6.2 Força do vento agindo na frente do centro de gravidade . . . . . . . . 170

8.6.3 Força do vento agindo atrás do centro de gravidade . . . . . . . . . . 171

8.7 Manutenção da direção primitiva através do volante . . . . . . . . . . . . . 173

8.8 Considerações adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8.9 Estabilidade em curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

8.9.1 Geometria da direção e centro da curva . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

8.9.2 Comportamento do veículo em curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

8.10 Influência da posição do eixo de tração na estabilidade direcional de um veículo180

8.11 Disposição dos elementos mecânicos no veículo . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

8.11.1 Concepção convencional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

4


8.11.2 Tração dianteira, motor longitudinal ou transversal . . . . . . . . . . 182

8.11.3 Motor traseiro longitudinal ou transversal . . . . . . . . . . . . . . . 183

8.12 Influência da disposição dos elementos mecânicos no comportamento do veículo184


8.12.2 Concepção com tração dianteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

8.12.3 Concepção com motor traseiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

8.12.4 Outras concepções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

8.13 Comportamento das concepções com carregamento total . . . . . . . . . . . 187


8.13.2 Concepção com tração dianteira. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

8.13.3 Concepção com motor traseiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

8.13.4 Concepção com motor central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

8.13.5 Concepção transaxle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

8.14 Comparação de diferentes concepções em testes de pista . . . . . . . . . . . . 189

8.14.1 Teste em pista circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

8.14.2 Sensibilidade a ventos laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

8.14.3 Verificação da dirigibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

8.14.4 Teste de ultrapassagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

8.14.5 Aquaplanagem em curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

8.14.6 Aquaplanagem em reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

8.14.7 Conclusões dos ensaios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

9 Sistema de direção 1959.1 Geometria da direção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

9.1.1 Esterçamento e raio de retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

9.2 Ângulos da direção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

9.3 Camber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

9.4 Inclinação do pino mestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

9.5 Convergência das rodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

9.5.1 Eixo não motriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

9.5.2 Eixo motriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

9.5.3 Raio de rolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

9.5.4 Correção do comportamento em curvas com a variação da convergência 208

9.6 Caster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

10 Suspensões planas 21110.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

10.2 Centro de gravidade das massas suspensas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

5


10.3 Centro e eixo de rolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

10.4 Comportamento do veículo em curva com molas lineares . . . . . . . . . . . 217

10.5 Transferência de carga das rodas internas para as externas . . . . . . . . . . 219

10.5.1 Ação do momento M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

10.5.2 Ação das parcelas da força centrífuga das massas suspensas . . . . . . 224

10.5.3 Ação do estabilizador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

10.5.4 Ação da força centrífuga das massas não suspensas . . . . . . . . . . 227

10.6 Carga dinâmica nas rodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

10.6.1 Superposição das parcelas de transferência de carga . . . . . . . . . . 228

10.6.2 Considerações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

10.7 Ângulo de rolamento da carroceria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

10.7.1 Momentos de rolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

10.7.2 Momentos de reação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

10.7.3 Ângulo de rolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

10.7.4 Possibilidades de melhorar o comportamento em curvas . . . . . . . 235

10.8 Exemplo de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

11 Modelos dinâmicos 24811.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

11.2 Definição de algumas variáveis básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

11.3 Deflexão dos pneus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

11.3.1 Deflexão dos pneus para eixos com suspensões independentes . . . . . 250

11.3.2 Deflexão nos pneus para suspensões de eixo rígido . . . . . . . . . . . 251

11.4 Deflexão das molas das suspensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

11.4.1 Deflexão das molas para suspensões independentes . . . . . . . . . . . 254

11.4.2 Deflexão das molas para suspensões de eixos rígidos . . . . . . . . . . 255

11.5 Modelos com dois graus de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

11.5.1 Modelo para bounce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

11.5.2 Determinação de alguns parâmetros da suspensão . . . . . . . . . . . 264

11.5.3 Massas não suspensas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

11.6 Modelos com sete graus de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

11.6.1 Veículos com dois eixos rígidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

11.6.2 Veículos com suspensão independente na dianteira e eixo rígido na

traseira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

11.6.3 Veículos com suspensão independente na dianteira e na traseira . . . 293

11.6.4 Modelo para arfagem e bounce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

11.7 Unificação dos modelos desenvolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

11.7.1 Modelo de excitação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

6


Capítulo 1

Pneus

1.1 Introdução

Nos primórdios da indústria automobilística, os pneus tinham seção quase circular, poiseram, praticamente, um tubo de borracha reforçada montada sobre a roda. Com o tempo, asexigências sobre os pneus aumentaram, devido às maiores potências e velocidades atingidaspelos veículos.Características como alta capacidade de carga, elevada estabilidade lateral quando sub-

metidos a forças transversais, máxima aderência em pisos secos e molhados, conforto e dura-bilidade são requisitos importantes para um bom desempenho dos pneus.Os fabricantes procuram soluções de compromisso onde essas características são com-

binadas de modo a satisfazer convenientemente as diferentes formas de utilização de seusprodutos, porém a custas da redução do desempenho do pneu para cada tipo de pista.Os pneus com perfis mais baixos, por exemplo, permitem obter melhor performance

em alta velocidade e maior capacidade de carga. Com flancos mais curtos, sua flexibilidadevertical e lateral fica reduzida impedindo que se deformem muito sob carga, o que é favorávelpara uma boa estabilidade direcional, principalmente em curvas feitas em alta velocidade.Essa menor flexibilidade, por outro lado, torna os pneus mais "duros", consequentementemenos confortáveis. Adicionalmente, como o pneu não se deforma tanto, a zona de contatofica mais curta, tornando mais crítico o desenho da banda de rodagem a fimde obter ranhurasque possam garantir, em situações de pista molhada, um escoamento adequado da águaevitando a aquaplanagem.Para se ter um entendimento de como um pneu funciona, e conseqüentemente quantificar

o seu desempenho, é necessário conhecer as suas características construtivas e os fenômenosassociados ao seu funcionamento.

1.2 Partes constituintes

Todos os pneus, que utilizam a pressão do ar armazenado no seu interior para suportarcarga, são de constituição bastante semelhante, apresentando como elementos principais acarcaça, que forma a estrututa suportante do pneu, e a banda de rodagem, que entra em

1


Capítulo 1 - Pneus 2

Figura 1.1: Disposição dos cordéis da lona de uma carcaça de pneu diagonal.

contato com o solo transmitindo esforços longitudinais de tração e frenagem e absorvendoesforços transversais ocasionados pela ação do vento ou por forças de inércia em curvas epistas inclinadas lateralmente.

1.2.1 Carcaça

A carcaça deve suportar, com pequenas deformações, a pressão do ar com que o pneu éinflado. Ela é formada por um conjunto de lonas impregnadas com borracha e vulcanizadasde forma a constituir uma única peça. As lonas são compostas por tecidos de cordéis defibras de materiais tais como: rayon, kevlar, nylon, polyester, fibra-de-vidro e aço. Nopassado foram usadas fibras naturais, como algodão e linho. Em cada lona, os fios sãoparalelos, havendo aproximadamente um fio por milímetro.Antes de serem cortadas no tamanho adequado para a montagem da carcaça, as lonas são

impregnadas com borracha, o que impede um contato direto entre elas quando da deformaçãodo pneu e elimina o atrito entre os fios.Na montagem da carcaça, as lonas são cortadas e seus extremos são enlaçados e enrolados

em torno de dois anéis de arame de aço, formando um cilindro, como mostrado na Figura 1.1.Montadas todas as lonas, os anéis são aproximados e ar sob pressão é injetado no cilindro,fazendo com que o conjunto de lonas adquira a forma toroidal, próxima a do pneu. Nestaetapa, é montada a banda de rodagem e o conjunto passa para a vulcanização.Dependendo do ângulo de inclinação dos cordéis das lonas, obtem-se pneus com car-

acterísticas bastante distintas, tanto em conforto como em desempenho sob carga, já queesse ângulo afeta a altura do pneu e, consequentemente, a sua rigidez radial. O ângulo doscordéis das lonas é medido a partir do plano médio do pneu e denotado pela letra grega ϕ,e é mostrado na Figura 1.1.Existem diversos tipos construtivos de pneus, dependendo de como é formada a carcaça.



Figura 1.2: Disposição dos cordéis das lonas em pneus radiais a, diagonais b e diagonaiscintados c.

Figura 1.3: - Seções transversais dos pneus diagonal a e radial b.

A divisão mais freqüente é a de pneus com estrutura radial, Figura 1.2 - a, e pneus comestrutura diagonal Figura 1.2 - b. Além destes dois tipos, existe o pneu diagonal cintado,que é mostrado na Figura 1.2-c, mas que está caindo em desuso.Na Figura 1.3 são mostradas as seções transversais dos pneus diagonal e radial.Nos pneus diagonais, a carcaça é formada por lonas cruzadas com igual ângulo, o qual

influi na sua capacidade de carga e no seu limite de velocidade; como valores comumenteencontrados tem-se:

ϕ = 35o − 38o - pneus normais;

ϕ = 30o − 34o - pneus para uso esportivo;

ϕ < 26o - pneus de corrida.

O valor do ângulo influi na forma da seção do pneu quando inflado, devido aos esforçosde tração que atuam sobre os cordéis. Na Figura 1.4 é mostrada a variação da altura dopneu, para uma mesma largura do aro e diversos ângulos da disposição dos cordéis das lonas



Figura 1.4: Altura do pneu em função do ângulo ϕ.

da carcaça. Verifica-se, ainda nessa figura, que a altura do pneu também varia de acordocom o ângulo de inclinação dos cordéis das lonas da carcaça.Nos pneus radiais, Figuras 1.2-a e 1.3-b, a carcaça é formada por umas poucas lonas com

ϕ variando entre 85o e 90o , ou seja, com os cordéis tendo uma orientação essencialmenteradial. Acima dessas lonas radiais, aparece a cinta do pneu, constituída por um conjunto delonas situadas exatamente sob a banda de rodagem, não se estendendo pelos flancos do pneu.A cinta funciona como um reforço para a banda de rodagem, tornando-a bem mais rígidatangencialmente mas com boa flexibilidade no sentido radial. Os cordéis da cinta formamum ângulo ϕ pequeno, em geral entre 0o e 30o .Esta maior rigidez lateral do pneu radial na zona de contato com o solo permite a absorção

de grandes esforços laterais com deformações menores do que os diagonais, o que é importantena estabilidade direcional do veículo. Para não perder esta vantagem, os pneus radiais sãoconstruídos com seção baixa.A tendência dos fabricantes de adotar perfis mais baixos para todos os tipos de carcaça

é justificada pelas seguintes vantagens:

• melhor transmissão de forças de tração;

• alta absorção de forças laterais;

• baixa resistência ao rolamento e

• maior capacidade de carga para igual volume de ar.

Existem diferentes possibilidades de construção da cinta, dependendo do fabricante edo uso do pneu. Na tabela 1.1, são mostradas diversas composições de lonas utilizadas naconstrução de pneus radiais.



Tabela 1.1: Tipos de carcaça para vários fabricantes de pneus.Fabricante e tipo Tamanho Lonas da Cinta Lonas da Carcaça

Continental TS 771 165 SR 13 2 de rayon e 2 de aço 2 de rayon

Dunlop SP Sport 165 HR-13 6 de rayon 2 de rayon

Goodyear G800 165 SR-13 6 de rayon 2 de rayon

Goodyear Polyester GT 6,60-15 2 de aço e 2 de polyester 2 de polyester

Michelin XAS 165 HR-13 2 de aço 2 de rayon 2 de rayon

Michelin XWX 215/70-VR-15 2 de de aço e 2 nylon 1 nylon

Pirelli CF 67 165-SR 13 7 de rayon 2 de rayon

Pirelli HS CN12 215/70-VR 15 2 de nylon e 5 de rayon 2 de rayon

Firestone Steel Belt 175R-13 1 de rayon e 2 de aço 1 lona rayon

Firestone Steel radial GR 70-15 2 de aço 2 de polyester 2 de polyester

Zona de escorregamento

Zona de contato

Figura 1.5: Efeito da contração do pneu na região de atrito.

Nos pneus, as lonas sofrem um leve deslocamento entre si durante o contato do pneu como solo. Isto é resultado das distensões e contrações locais que elas sofrem para acomodar asdistorções causadas pela mudança de forma do pneu ao entrar na zona de contato. Comoconseqüência, a área de contato fica sensivelmente comprimida no seu ponto médio, reduzindoa área livre das ranhuras da banda de rodagem, como se pode observar na Figura 1.5.Estas deformações da banda ocasionam um movimento relativo entre a borracha e o piso,provocando um aquecimento adicional do pneu pelo atrito e, também, seu desgaste. No ladodireito inferior desta mesma figura, pode-se observar uma região achurada conhecida comozona de escorregamento. Esta zona é a região do contato do pneu com o solo em que aborracha escorrega sobre o piso. O escorregamento da borracha desta zona causa o ruídocaracterístico de pneu cantando.Nos pneus com carcaça radial, este movimento é praticamente impossível, já que a cinta,

na zona de contato com o solo, não permite deformações transversais apreciáveis. A quaseausência deste movimento relativo nos pneus radiais se traduz em menor desgaste, quandocomparados com os diagonais.Quanto à transmissão de choques e vibrações do piso para o veículo, o pneu com carcaça



Figura 1.6: Comportamento da rigidez do pneu com a velocidade, para carcaças diagonal eradial.

radial é mais desconfortável do que o pneu diagonal, pela quase ausência do amortecimentointerno originado pelo movimento relativo das lonas. Isso é verdadeiro para velocidades atécerca de cem quilômetros horários. A partir dessa velocidade, a situação se altera e o pneuradial torna-se mais confortável do que aquele com construção diagonal. Essa diferença decomportamento está ligada ao efeito da força centrípeta sobre o pneu em altas velocidades.No pneu diagonal, a estrutura da carcaça permite que ocorra um aumento do diâmetro pelaação da força centrífuga que, em um determinado tipo de pneu, chega a ser da ordem dequatro por cento a cerca de cento quarenta e cinco quilômetros por hora para alguns tiposde pneus. Com o aumento do diâmetro, as lonas nos flancos do pneu assumem uma posiçãomais íngreme, reduzindo sua flexibilidade radial e ocasionando um rolamento mais duro e,portanto, menos confortável.Com os radiais têxteis ocorre, também, um aumento da rigidez com a velocidade, embora

bem menor do que o verificado nos diagonais.Os pneus radiais metálicos são quase insensíveis à velocidade. A presença da cinta

metálica impede, quase que totalmente, o aumento do diâmetro e a sua rigidez radial não ésignificativamente afetada pela velocidade.Na Figura 1.6 é apresentada uma comparação qualitativa da rigidez de pneus diagonais

e radiais em função da velocidade de deslocamento do veículo.A seguir, são apresentadas vantagens e desvantagens dos pneus radiais em relação aos

diagonais.

Vantagens:

1. Maior durabilidade;



2. Menor resistência ao rolamento;

3. Maior conforto em altas velocidades;

4. Melhor absorção de forças laterais;

5. Maior estabilidade direcional e

6. Menor sensibilidade à aquaplanagem.

Desvantagens:

1. Menos confortável em baixas velocidade e

2. Maior custo.

1.2.2 Banda de rodagem

Toda transmissão de forças do pneu para o solo, sejam longitudinais ou transversais, éfeita pelo atrito existente na zona de contato da banda de rodagem com o solo. Procura-seobter o máximo possível de aderência nas mais diversas condições de piso, seja ele de asfalto,concreto, pedra, terra, limpo ou contaminado, seco ou molhado. Essa aderência dependedo composto do pneu e do tipo de pista, sendo a influência destes elementos na aderênciadiscutidos a seguir.O comportamento da banda de rodagem depende do composto da borracha utilizada

e do desenho das ranhuras, já que ambos afetam a aderência no piso. Em pista seca, omáximo de aderência é obtido com um pneu totalmente liso, visto que este coloca em contatocom o solo o máximo possível de borracha. A menor presença de água, porém, torna essepneu extremamente perigoso, conforme pode ser visto na Figura 1.7. Nela é apresentado ocomportamento do coeficiente de atrito em função da velocidade de deslocamento e do estadoda pista, para um pneu liso, sem ranhuras, e outro com 100% das ranhuras intactas; umasituação intermediária é mostrada no caso 4, onde os sulcos da banda têm apenas quatromilímetros de profundidade..Com chuva e em piso liso, o desenho da banda de rodagem do pneu é vital, pois somente

através das suas ranhuras é possível escoar a água existente sobre o piso de forma a permitiro contato pneu/pista. Em piso rugoso, algum efeito de auto drenagem se verifica e a bandade rodagem não precisa ser tão eficiente no escoamento da água.De um modo geral, o desenho da banda de rodagem deve possibilitar duas funções: a

primeira é propiciar uma drenagem adequada e a segunda uma pega na superfície do piso,principalmente com pisos irregulares. Quanto à pega do pneu, a banda de rodagem devepossuir uma quantidade de arestas razoavelmente bem definidas de modo a se amoldar nasirregularidades do piso e prover um meio mecânico para transmissão de força, adicional-mente às forças de atrito. Estas bordas devem ser transversais para uma carga de tração efrenagem e longitudinais para curvas. Como muitas manobras são efetuadas tanto acelerandocomo freando em curvas, são adotadas ranhuras diagonais que melhor absorvem os esforçosresultantes.



Figura 1.7: Coeficiente de atrito em função da velocidade, para diferentes estados da pistae da banda de rodagem.

Quando a pista está molhada, é necessário drenar o filme de água existente entre aborracha e a pista, de forma que se consiga contato. A drenagem da água é feita tanto porranhuras longitudinais como transversais; na região mais central do contato, entretanto, aágua só pode ser eficientemente drenada por ranhuras longitudinais. As ranhuras devempermitir um fluxo de água o mais livre possível, pois o tempo disponível para evacuá-la émuito pequeno.Na Figura 1.17 é mostrada a influência da água no contato pneu/pista. Se o volume de

água a ser drenado for maior do que aquele que o pneu pode drenar, ocorre a aquaplanagem,que é o efeito de flutuação do pneu sobre o filme de água residual que as ranhuras nãoconseguem drenar. Sua ocorrência depende da velocidade de deslocamento do veículo, do tipode carcaça usado e do desenho da banda de rodagem. De forma geral, pode-se afirmar que,para o mesmo filme de água, os pneus com carcaça diagonal estão sujeitos a aquaplanagemem velocidades mais baixas do que os radiais, devido à contração da banda de rodagem nolocal de contato pista/pneu (ver Figura 1.5).Relativamente ao desenho da banda, há uma série de fatores conflitantes para se chegar

à melhor configuração, como ruído, absorção de cargas de frenagem e aceleração e boadrenagem da água. Hoje em dia, os fabricantes de pneus desenvolverammodelos matemáticoscom solução numérica, de forma que, com o auxílio de computadores, conseguem chegar aodesenho que melhor satisfaça estes quesitos conflitantes. O resultado desse trabalho podeser observado nos pneus disponíveis no mercado, com "biscoitos"assimétricos distribuídos deforma aparentemente aleatória.



Figura 1.8: Ensaio de compressão em um pneu.

1.3 Resistência ao rolamento

1.3.1 Comentários iniciais

Para manter um pneu girando sobre o solo, é necessário dispender uma certa quantidadede energia, consumida pelos diversos tipos de perdas que ocorrem. Estas perdas dão origemà resistência ao rolamento do pneu e são provenientes principalmente de duas fontes dissi-padoras. Uma é o próprio pneu e a outra é o solo onde o veículo trafega. Fica mais claroo estudo da resistência ao rolamento quando se considera separadamente as influências dopneu e do solo.

1.3.2 Perdas no pneu

Quando um pneu está rodando sobre um solo idealmente rígido, a totalidade das perdasocorrem no pneu. Para entender o porque destas perdas e como afetam a resistência aorolamento, faz-se um teste estático de compressão em um pneu, medindo-se a força aplicadae a deformação radial. Traçando-se as curvas de carga e descarga, tem-se algo parecido aoilustrado na Figura 1.8.Como o pneu não é perfeitamente elástico, apresenta um amortecimento interno e apenas

parte do trabalho é recuperado ao ser descarregado. O atrito interno é provocado peladeformação do pneu na zona de contato. Esta deformação faz com que as lonas da carcaçamovam-se entre si e este movimento, embora pequeno, solicita, por cisalhamento, a borrachaque separa as lonas consumindo energia. A banda de rodagem também é deformada e,ficando sujeita a solicitações mecânicas, contribui com uma parcela do consumo de energia.Assim, as curvas de carga e descarga formam um laço de histerese e a área contida nestelaço representa a energia consumida no ciclo e corresponde ao trabalho dissipado pelo atritointerno na forma de calor. A forma do laço de histerese, ou seja a área englobada pelo laço,depende do tipo de carcaça usada e do composto da borracha da banda.Como exemplo, em competições automobilísticas é comum o uso de pneus com banda

de rodagem de alta histerese. Este tipo de composto permite que o pneu tenha grandeaderência, porém, devido à grande geração de calor, o seu desgaste é elevadíssimo.



Figura 1.9: Modelo de interação pneu pista.

1.3.3 Perdas no solo

Considerando, agora, o pneu rígido e o solo deformável, todas as perdas que levam a umconsumo de energia ocorrem no solo. Em seu movimento o pneu deixa um sulco no terrenodeformável, conforme mostrado na Figura 1.9. Para manter esse movimento, é necessárioque atue na roda uma força de mesmo sentido e que compense a resistência ao avanço R queo solo impõe.Na mesma figura, observa-se que a carga Fr suportada pela roda fica equilibrada pela

reação do solo, mas essas forças não são colineares, ou seja, existe um momento resistenteFr. s que deve ser equilibrado para manutenção do movimento do pneu. O momentonecessário para esse equilíbrio deve ser aplicado no eixo da roda e tem como valor o produtoda resistência ao avanço R e o raio da roda ra.Do equilíbrio de momento em relação ao ponto C, tem-se:

Fr = Rras

(1.1)

e, como valor da resistência ao avanço, ou parcela da resistência ao rolamento devido àdeformação do solo:

R = Frs

ra(1.2)

Pela observação da equação acima, pode-se dizer que quanto maior for a profundidadedo sulco maior será o valor de ”s” e, conseqüentemente, maior a resistência ao rolamento doveículo oferecida pela deformação do solo.

1.3.4 Perdas no contato pneu-solo

Outra causa da resistência ao rolamento é o escorregamento que ocorre na superfície decontato do pneu com o solo. A Figura 1.10 ilustra a deformação na periferia do pneu aoentrar na zona de contato. O arco ”B” deve assumir um tamanho menor, o da corda ”C”,causando um escorregamento tangencial e originando forças de compressão nos dois bordosque limitam longitudinalmente a zona de contato. Pelo efeito do atrito entre a borracha dabanda de rodagem e o solo, este escorregamento consome energia.



Figura 1.10: Perdas por retificação do arco.

Na seção transversal, se a banda for curva como mostrado no corte da Figura 1.10,ocorre o mesmo efeito, com um escorregamento na direção transversal e compressão dasbordas laterais da banda de rodagem na zona de contato. Para uma banda de rodagemcilíndrica, o que implica numa região de contato com o solo aproximadamente retangular,o escorregamento transversal é quase nulo. Para pneus de construção radial, a presença dacinta estabiliza a banda de rodagem e reduz grande parte deste efeito de deformação dabanda, diminuindo o escorregamento e a perda de energia.

1.3.5 Coeficiente de resistência ao rolamento

A resistência ao rolamento quando se consideram todos os efeitos mencionados ante-riormente, ou seja, a força que deve ser fornecida para manter o movimento é proporcionalà carga normal que age sobre a roda. Esta proporcionalidade pode ser expressa de formaempírica como:

Qr = f G (1.3)

onde:Qr - resistência ao rolamento [N ]f - coeficiente de resistência ao rolamentoG - força normal da roda sobre o solo [N ]

Verifica-se experimentalmente que o coeficiente de resistência ao rolamento varia com avelocidade, pressão de enchimento, carga radial, tipo de pneu e de solo, temperatura e outrasvariáveis de menor importância. Sem considerar todos esses efeitos, na tabela 2.2, conformereferência [2], é dada uma orientação geral do coeficiente de resistência ao rolamento paravários tipos de terreno.Pode-se observar que os primeiros cinco tipos de solo são praticamente rígidos, enquanto

que os outros são deformáveis.



Tabela 1.2: Coeficientes de atrito de rolamento.Tipo de solo f

Asfalto liso 0, 010Asfalto rugoso 0, 011Cimento rugoso 0, 014Paralelepípedo 0, 020Pedras irregulares 0, 032Pedra britada compacta 0, 045Pedra britada solta 0, 080Terra batida 0, 060Areia solta 0, 100 ∼ 0, 300Grama 0.045 ∼ 0.100Barro 0, 100 ∼ 0, 400Neve profunda 0, 075 ∼ 0, 300

Figura 1.11: Comportamento de f em função da profundidade do sulco.

Na Figura 1.10 é mostrada a influência do solo, ou seja, da profundidade do sulco, novalor do coeficiente de resistência ao rolamento (os parâmetros são mostrados na Figura 1.9).Em ensaios, [2], verifica-se que a resistência ao rolamento do pneu cresce com a velocidade,como mostrado na Figura 2.10 para diferentes pressões de enchimento do pneu..Nesta figura se pode observar que, a partir de uma dada velocidade, as curvas se inclinam

acentuadamente, aumentando ”f”. Isto se deve à formação de ondas na banda de rodagemocasionadas pela ressonância. Nesta situação, ”f”, bem como o nível de vibração e ruído,crescem bruscamente. Se o efeito permanecer, o pneu fica em pouco tempo destruído. Omodo de deformação do pneu durante a ressonância está mostrado na Figura 2.11.Para pneus de série em condições normais de uso, uma orientação para o coeficiente de

resistência ao rolamento, considerando o efeito velocidade, é dada por:



Figura 1.12: Variação do coeficiente de atrito de rolamento com a pressão, para um pneudiagonal.

Figura 1.13: Ressonância do pneu devido ao rolamento em alta velocidade.



Tabela 1.3: Coeficientes a e b em função do tipo de pneu.a b

Pneus normais 0, 0150 0, 052Pneus de alta histerese 0, 0258 0, 052

f = a+ b(v

100)2 (1.4)

As constantes a e b são dadas na tabela 2.3, sendo v em [m/s].

Outra orientação para o coeficiente de resistência ao rolamento é fornecida em Reimpell[2]. Aqui é considerada a influência do tipo de pneu, da carga que age sobre ele, da pressãode enchimento e da velocidade do veículo. Wiegner, [2], propôs o que chamou de coeficientede resistência ao rolamento de referência ”fo”, válido para determinados valores, também dereferência, de carga normal e de pressão:

fo = ao + a1v + a2v2 (1.5)

onde:v = velocidade do veículo em m/s

ao , a1 e a2 são dados na tabela 1.4.Quando a carga radial que atua no pneu, ou sua pressão, for diferente do valor de refer-

ência apresentado na tabela 1.4, o coeficiente de resistência ao rolamento, para a condiçãoreal, deve ser corrigido pelas expressões:- Pneu Diagonal ou Radial Textil

f = fo(1, 5− 0, 5Fro

Fr) (1.6)

f = fo(1, 5− 0, 5p

po) (1.7)

- Pneu Radial Metálico

f = fo(1, 3− 0, 3Fro

Fr) (1.8)

f = fo(1, 3− 0, 3p

po) (1.9)

Exemplo: Qual o valor do coeficiente de resistência ao rolamento para um pneu 155 SR 15submetido a uma carga radial de 4 kN e com uma pressão de 2, 2 atm?



Tabela 1.4: Valores das constantes ao , a1 e a2.Pneu Tipo de pneu Carga Fro [kN] Pressão po [atm] ao 102 a1 105 a2 106

155-15 X Radial - Fios de aço 4,0 1,65 1,330 -10,32 2,337

155 - SR -15 Radial - Fios testeis 4,0 1,90 1,385 - 4,369 2,181

6.45/165-14 Diagonal super baixo 4,0 1,70 1,612 -3,533 3,009

6.00/15L Daigonal perfil baixo 3,9 1,70 1,611 -3,601 3,778

5.60/15 Diagonal super balão 3,7 1,70 1,837 -6,741 3,830

Fonte: Reimpell, pp. 194-196, ATZ 75, 1973, N - 11, pp . 407-409 ( W iegner-Peter).

Nessas condições, o coeficiente de resistência ao rolamento deve ser corrigido quanto àpressão, pois esta é diferente da pressão de referência. Na velocidade de 100 km/h, ou seja27, 77 m/s, o valor de fo será:

fo = 0, 0143

e o valor do coeficiente de resistência ao rolamento, para a pressão de operação de 2, 2 atm,é:

f = 0, 0143(0, 921) = 0, 0132

Se a carga radial é diferente da de referência, o valor de "f"deve ser novamente corrigidopela expressão 1.6.

1.4 Aderência

A possibilidade de transmissão de esforços entre o pneu e a pista, esforços esses queocorrem durante os processos de frenagem e aceleração ou quando da absorção de forçaslaterais, como a força centrípeta em curvas, depende do atrito disponível no contato, tambémchamado aderência entre pneu e pista.A aderência pode ser atribuída, principalmente, a duas diferentes formas de interação

entre a borracha e o piso: adesão molecular, que depende dos materiais em contato, edeformação da borracha em contato com as irregularidades do solo, que propicia uma in-terpenetração entre ambas, ou endentamento da borracha com o piso, e uma conseqüentetransmissão por forma.A resistência da borracha à ruptura, bem como a sua resistência à abrasão, são fatores

limitantes da aderência. O efeito limitante da aderência por estes dois últimos fatores, emdeterminadas situações, define a aderência do pneu, visto que a região da banda de rodagemque mantem contato com o solo pode ser arrancada quando solicitada.Para que um pneu possa transmitir uma força longitudinal através da superfície de con-

tato com a pista, como uma força de tração, é necessário que ocorra um certo movimentorelativo entre pneu e pista; a velocidade tangencial do pneu tracionante é maior que a ve-locidade do próprio veículo. É exatamente devido a esses movimentos relativos, bem comoa deformação da sua estrutura, que os pneus flexíveis conseguem transferir cargas muitomaiores ao solo que os pneus rígidos ou maciços.



Figura 1.14: Variação do coeficiente de atrito com o escorregamento.

Os pneus, devido a sua flexibilidade e ao mecanismo de aderência, escorregam em relaçãoao solo quando na transmissão de força para a pista. O escorregamento é definido comosegue:Na tração

e =vt − v

vt(1.10)

Na frenagem

e =v − vtv

(1.11)

onde:e - Escorregamento;v - Velocidade de translação do veículovt - Velocidade tangencial da roda.Em termos de espaço percorrido pela periferia do pneu st e pelo veículo sr, tem-se o

escorregamento na tração, em percentagem, dado por:

e =

µ1− sr

st

¶100(%)

onde:sr - Comprimento de arco do pneu;st - Distância percorrida pelo veículo.A regra geral é que quanto maior a força a ser transmitida, ou quanto mais irregular

ou molhada a pista, tanto maior o escorregamento. No desenvolvimento que segue, estesaspectos são tratados de maneira mais detalhada.Na Figura 1.14, [2], é ilustrado um comportamento característico do coeficiente de atrito

pneu/pista em função do escorregamento.



Figura 1.15: Coeficientes de aderência para pneus em alguns tipos de pista em variadascondições.

O máximo valor do coeficiente de atrito, em pista seca, ocorre para escorregamentovariando entre 11 e 20%, dependendo do tipo de pneu utilizado. Esse valor máximo é de-nominado coeficiente de aderência, e é denotado por μa . Dele decorre o máximo valor daforça de tração e de frenagem possível de transmitir nos eixos do veículo, dadas respectiva-mente por:

FmI = μa (RI −∆G) (1.12)

FmII = μa (RII +∆G) (1.13)

eFfI = μa (RI +∆G) (1.14)

FfII = μa (RII −∆G) (1.15)

onde ∆G representa a transferência de carga entre os eixos durante a aceleração ou a fre-nagem (conforme visto no curso Análise Dinâmica).Uma maior aceleração ou frenagem ocasiona um maior escorregamento, com diminuição

do coeficiente de atrito e da capacidade de transmissão de força. Com 100% de escorrega-mento, o que ocorre durante a frenagem com rodas bloqueadas ou aceleração com rodasdeslizando e veículo parado, o valor do coeficiente de atrito é denominado coeficiente deescorregamento e denotado por μe. De maneira geral, o valor de μe é 15 a 30% menor doque μa, dependendo das condições da pista.Vários fatores influem no valor do coeficiente de atrito entre pneu e pista. Dentre eles,

os principais são: estado da pista, tipo de pneu, velocidade do veículo e estado da banda derodagem.Na Figura 1.15 se mostra a variação do coeficiente de aderência em função do escorrega-

mento, para diferentes tipos de pista e considerando um determinado tipo de pneu.Nesta figura é apresentado o coeficiente de aderência μa em função do escorregamento

para diferentes tipos de pista e pneu com relaçãoH/B ≥ 0, 82, com 80 a 90% da profundidadedos sulcos e velocidade aproximada de 60 km/h.



Figura 1.16: Coeficiente de escorregamento para um pneu bloqueado em diversas condiçõesda pista.

O coeficiente de atrito pneu/pista é, também, dependente da velocidade do veículo. NaFigura 1.16 se mostra a variação do coeficiente de escorregamento com a velocidade, emdiferentes pistas. Segundo Reimpell, [2], os ensaios foram feitos com um pneu diagonal, comprofundidade dos sulcos entre 80 e 90%. A temperatura do gelo era, aproximadamente, 0.Na Figura 1.16, observa-se que, em pista seca e velocidades baixas, o coeficiente de

escorregamento μe, pode chegar a 1, 25. Esse valor pode ser explicado pela redução, nessasvelocidades, do raio do pneu, que passa do dinâmico para o estático, com uma conseqüentemaior superfície de contato e, portanto, uma maior área onde o endentamento comentadoanteriormente ocorre.O estado da banda de rodagem afeta significativamente o coeficiente de atrito pneu/pista.

Ainda na Figura 1.7, pode ser verificado que, em pista seca, um pneu liso apresenta ummaiorcoeficiente de escorregamento do que um pneu com sulcos profundos. Em pista molhada,entretanto, ocorre o contrário. Essa situação ocorre porque com pista seca e pneu liso, ou"careca", a área para transmissão por forma é maior, enquanto que, com pista molhada,facilmente ocorreria aquaplanagem, com perda de contato pneu/pista. Pneus com sulcos,neste caso, drenam a água permitindo que o contato seja mantido.Na Figura 1.17, divulgada pela Dunlop, é mostrado o surgimento da aquaplanagem em

um pneu sem perfil, bem como o comportamento da aderência com presença da água emfunção da velocidade. Nesta figura, o coeficiente de aderência para, aproximadamente,100km/h é de somente μa = 0, 1, o que praticamente impossibilita a transmissão de forçaentre pneu e pista. Se fosse necessário frear, o veículo continuaria se deslocando com avelocidade quase inalterada; forças laterais não seriam absorvidas pelos pneus e qualquertentativa de mudança de direção, através do volante, seria infrutífera. Vale salientar que,observando o comportamento do coeficiente de atrito, mesmo para pneus com sulcos, existeuma velocidade no qual ocorrerá a aquaplanagem, ou seja, o fenômeno da hidroplanagemsempre irá ocorrer, só depende da velocidade.



Figura 1.17: Comportamento de um pneu sem perfil, em diferentes velocidades, em umapista com uma lamina de água.

Tabela 1.5: Coeficientes de atrito para automóveis em vários tipos de pista.Tipo de pista μaAsfalto 0, 6 a 0, 95Pedra britada 0, 5 a 0, 65Terra seca 0, 5 a 0, 70Terra úmida 0, 5 a 0, 60Areia 0, 2 a 0, 3Neve 0, 30 a 0, 35

Na Figura 1.18, [2], é mostrado o comportamento do coeficiente de aderência imediata-mente após o início de uma chuva. A queda abrupta desse coeficiente se deve à misturada água com a poeira, ou outro contaminante qualquer existente sobre a pista, ocasionandouma ação lubrificante. Em seguida, a água da chuva lava essa mistura e o coeficiente deaderência volta a crescer.Finalmente, na tabela 1.5 estão indicados valores esperados para o coeficiente de aderência

para pisos distintos bem como para diferentes condições destes pisos.

Em um solo rígido, como concreto ou asfalto, todo o escorregamento é devido à defor-mação do pneu; em solos pouco rígidos, sua deformação é preponderante e a interpenetraçãoentre o pneu e a pista é decisiva para a tração. Quando da transmissão de força para o piso,a parte do solo situada dentro dos sulcos do pneu escorrega em relação ao restante do solo



Figura 1.18: Variação do coeficiente de aderência com o tempo durante uma chuva fraca.

Tabela 1.6: Coeficientes de atrito para pistas em diversos estados.Coeficientes de atrito μa para as condições

Tipo de piso Seca Molhada Contaminada CongeladaCimento 0, 85 0, 75 0, 50 0, 11Asfalto 0, 85 0, 60 0, 30 0, 10Paralelepípedos 0, 70 0, 65 0, 35 0, 08Calçamento de pedras irregulares 0, 80 0, 55 0, 30 0, 08



e a aderência fica limitada, praticamente, pela resistência ao cisalhamento do solo. Nestecaso, o pneu deve possuir uma banda de rodagem com desenhos de sulcos profundos parapoder utilizar a máxima capacidade de tração disponível.

1.5 Deriva

As forças laterais, bem como seus momentos, sejam elas devidas à ação do vento ou forçasde inércia que ocorrem em curvas ou inclinações da pista, não teriam influência alguma nomovimento de um veículo dotado de pneus lateralmente rígidos, desde que o valor destasforças não ultrapassasse o limite imposto pelo atrito, quando, então, haveria o escorrega-mento total na direção da resultante.Os pneus, porém, são corpos elásticos, que se deformam quando submetidos a forças

laterais, e seu comportamento sob a ação dessas forças não é o mesmo que o de corposrígidos nas mesmas condições de carregamento.Quando o veículo está parado, a região de contato do pneu com o solo é aproximadamente

retangular. Com a roda do veículo girando, uma dada superfície de referência marcada nopneu, com a forma da superfície de contato pneu/pista, sofre um deslocamento ao penetrar nazona de contato devido à deformação ocasionada pela força lateral ”S”, como está mostradona Figura 1.19. No contato, a superfície de referência fica deformada, mostrada em tomcinza na figura, e a roda se desloca com um ângulo α em relação à direção primitiva, comomostrado na figura. Ainda nesta mesma figura é mostrada a vista de topo de um pneudeformado pelo peso próprio com e sem a ação de uma carga transversal. O ângulo formadopelo plano médio do pneu e a direção de deslocamento do pneu seguida após a aplicação daforça ”S”, é denominado ângulo de deriva sendo, grafado pela letra grega α.Um pneu que rola sobre uma pista, portanto, somente pode suportar uma força lateral se

seu plano médio se deslocar com um determinado ângulo em relação à direção do movimento.Quanto maior o valor dessa força perturbadora, tanto maior o ângulo de deriva, ou seja, existeuma relação direta entre força e ângulo.A força externa é equilibrada por uma força de atrito S, igual e contrária, que surge

na superfície de contato pneu-pista. Como se mostra na Figura 1.20, a distribuição depressão normal à pista não é uniforme na zona de contato e, pela ação da força lateral,ocorrem escorregamentos nos pontos onde essa pressão é baixa. Nesta figura, a área dadistribuição de reações é subdividida nas Zonas I e II. Na Zona I o pneu tem aderênciaelevada com o solo e não escorrega significativamente, enquanto que a Zona II é a regiãoonde acontece o escorregamento. Como a distribuição das reações à força lateral é nãouniforme, o ponto de atuação da resultante dessas se situa atrás do centro de contato dopneu com a roda no solo, criando um momento que levará a roda a se alinhar com direçãoreal do deslocamento (trajetória final do deslocamento). Este momento é denominado detorque de auto alinhamento do pneu.Como pode ser observado na Figura 1.20, a distância t entre o ponto de aplicação da

resultante da distribuição de reação no solo, C, e o centro teórico do contato pneu solo, H, é obraço de alavanca do momento de auto alinhamentoMt. Esta distância está associada com a



Figura 1.19: Deriva de um pneu.

zona de escorregamento mostrada na Figura 1.5. Quanto maior esta zona de escorregamentomenor é a distância t e maior é o ângulo de deriva. Isto significa que a medida que seaproxima do limite de aderência do pneu o torque de auto alinhamento se reduz, podendoaté a mudar de sentido. A situação limite, onde o momento muda de sentido, é raramenteatingida pelos condutores normais de automóveis porém, em competições, é praticado demaneira bastante intensa, já que o ângulo de deriva pode atingindo valores bastante grandesexige uma forma de condução altamente especializada e arriscada.Na figura 1.21 é mostrado, para um tipo de pneu (Taborek [3]), o comportamento da

força de atrito em função do momento de auto alinhamento. É interessante observar que aforça de atrito aumenta continuamente até a de limite de aderência imposta pelo coeficientede atrito de escorregamento, enquanto que o momento de auto alinhamento aumenta até umvalor máximo e, em seguida, se reduz e atinge valores negativos perto do limite de aderênciado pneu. Isto se deve a alteração da distância t mostrada na Figura 1.20.A reação lateral do pneu depende de uma série de variáveis que devem ser analisadas

para prosseguir no estudo da deriva, como será feito nos itens que seguem.

1.5.1 Coeficiente de atrito

O estado da pista de rolamento influi no valor da força lateral que pode ser absorvidapelo pneu. Na Figura 1.22 se mostram as curvas do coeficiente de atrito lateral

³μs =

SQ

´em

função do ângulo de deriva, para um pneu diagonal com noventa por cento de profundidadedo perfil. Verifica-se que, com asfalto liso, dificilmente se consegue μs > 0, 8, mesmo comderiva elevada. Já com asfalto rugoso pode-se obter μs > 1 com maiores ângulos de deriva.



Figura 1.20: Distribuição de pressão na região de contato pneu/solo.

Figura 1.21: Comportamento da força de atrito em curva com o momento de auto ali-nhamento do pneu.



Figura 1.22: Variação do coeficiente de atrito com ângulo de deriva.

Figura 1.23: Variação do coeficiente de atrito, com o ângulo de deriva, para pista úmida.

No caso de pista molhada, o coeficiente de atrito depende da espessura do filme de água,conforme é mostrado na Figura 1.23; observa-se que o máximo valor de μs já é atingido comα ' 8.

1.5.2 Carga sobre a roda

No estudo dos pneus submetidos a forças laterais, são usados dois tipos de diagramas,como mostrado na Figura 1.24. O primeiro é a representação gráfica de S = f(Q), com oângulo de deriva como parâmetro, e o segundo a representação de S = f(α), com a carganormal como parâmetro. O primeiro é mais usado no estudo do comportamento dos pneus.Na figura S = f(α), observa-se que para pequenos valores de α a variação de ”S” é

praticamente linear. Nesta zona não ocorre, praticamente, escorregamento na superfície decontato. Com o aumento da força lateral, mantendo a mesma carga normal sobre o pneu,aumenta a zona de escorregamento resultando numa maior curvatura no gráfico, até que acurva passa a ser horizontal. A este valor máximo de ”S” corresponde o valor do coeficientede aderência lateral.Em um veículo se deslocando em linha reta e sob a ação de cargas transversais, o ângulo



Figura 1.24: Diagramas de comportamento dos pneus em termos de Q, S e α.

de deriva pode atingir valores de três graus, dificilmente ultrapassando cinco graus . Emcurvas feitas em alta velocidade, podem ocorrer ângulos de deriva da ordem de dez a quinzegraus, dependendo do tipo de piso e pneu.O gráfico S = f(Q) mostra que com o aumento de ”Q” aumenta também o valor de S,

mas não proporcionalmente. Esse comportamento pode ser melhor entendido com a análiseque segue.Sejam os pneus de um eixo submetidos a uma carga radial ”Q” e uma variação ∆Q de

carga radial em função da transferência de caraga das rodas do mesmo eixo. Desta forma acarga normal ao solo de um pneu é expressada, genericamente, por:

Q±∆Q (1.16)

Assim, para a roda externa à curva, a carga radial sobre o pneu e respectiva carga transversalsão:

Q+∆Q→ S +∆S1 (1.17)

e para o pneu interno à curva, tem-se:

Q−∆Q→ S −∆S2 (1.18)

Com o auxílio da Figura 1.25, observa-se que:

∆S1 < ∆S2 (1.19)

Esta não proporcionalidade de S com Q é de grande importância para o entendimentodo comportamento de um veículo sujeito à ação de forças perturbadoras laterais, conformeserá visto no capítulo referente a estabilidade direcional.Na Figura 1.26 se mostra que um pneu pouco carregado admite maiores velocidades

em curva que um pneu carregado até seu limite de capacidade de carga. Para melhorar ocomportamento em curvas, o uso de pneus com maior capacidade de carga, ou seja sobredimensionados, é recomendável. Porém, a adoção de pneus com maior capacidade de carga,pode causar as seguintes desvantagens:



Figura 1.25: Variação de S em função de Q para um mesmo ângulo de deriva.

Figura 1.26: Pneus com capacidades de carga diferentes, com mesma deriva.



Figura 1.27: Característica S = f(Q) com diferentes pressões do pneu e igual ângulo dederiva.

Tabela 1.7: Variação da rigidez do pneu com a pressão.Pressão Carga transversal [N ] por grau de deriva0, 8 P 2500, 9 P 2801, 0 P 3121, 1 P 3401, 2 P 365Obs.: P é a pressão recomendada para o pneu 6.60− 14

• - maior preço

• - perigo de contato com o paralama ou estrutura, quando girado pelo volante ou duranteo trabalho da suspensão.

1.5.3 Pressão do pneu

Com o aumento da pressão do pneu, aumenta a tensão nos fios das lonas, o que tornao pneu mais rígido lateralmente. Para uma mesma carga normal, um aumento na pressãoocasiona uma maior capacidade de absorção de força lateral, para um mesmo ângulo dederiva, como está representado na Figura 1.27. Ou, dito de outra forma, para uma mesmacarga normal e uma mesma força lateral, o aumento da pressão ocasiona um ângulo de derivamenor.Para ilustrar a influência da pressão de inflagem na capacidade dos pneus em absorver

cargas transversais, na Tabela 1.7 é apresentada a variação da rigidez com a pressão paraum dado tipo de pneu.

1.5.4 Relação altura/largura do pneu

Experiências realizadas com pneus de diferentes seções transversais mostram que aquelescuja relação altura/largura é menor são lateralmente mais rígidos, ou seja, deformam-se



Figura 1.28: Influência do tipo de construção do pneu na absorção de forças laterais.

menos quando submetidos a uma mesma força lateral.Aros mais largos propiciam, também, uma melhoria na absorção de forças laterais. Em

geral, a largura dos aros é de setenta a setenta e cinco por cento da largura do pneu, nãodevendo ultrapassar oitenta por cento, de maneira a evitar solicitações muito grandes nosflancos e ombros do pneu. O uso de um aro mais largo ocasiona um correspondente aumentoda largura efetiva do pneu, resultando em uma relação H/B mais favorável à absorção deforças laterais; mas isso implica, também, no aumento do volume interno da câmara de ar.De um modo aproximado, pode-se dizer que meia polegada de aumento na largura do arorequer um aumento de duas lbf/in2 na pressão do pneu para mantê-lo com a mesma rigidez.

1.5.5 Tipos de construção do pneu

A variável com maior influência na deriva é o ângulo que os fios das lonas formam com oplano médio do pneu. Quanto menor o ângulo dos fios, tanto maior a parcela da periferia dopneu que colabora na absorção da força lateral. No pneu radial, devido a presença da cinta,praticamente toda a periferia colabora nessa absorção. Na Figura 1.28 se tem a variação darelação S/Q em função de α, para diferentes tipos de construção de carcaça.Para igual relação S/Q, o ângulo de deriva no pneu radial é bem menor, evitando grandes

interferências no volante para corrigir a direção quando o veículo fica submetido à ação deforças laterais.

1.5.6 Estado da banda de rodagem

Do estado da banda de rodagem depende o valor da força lateral S, conforme mostramas pesquisas realizadas em tambores rotativos no Instituto para automóveis da Universidade



Figura 1.29: Comportamento de um pneu, sob ação de cargas transversais, para váriosestados da banda de rodagem.

de Stuttgart e sintetizadas na Figura 1.29, [2].As verificações foram feitas com pneus novos (perfil completo) e pneus gastos, bem como

com o tambor seco e molhado. Com tambor seco, a reação lateral do pneu sem perfil é,aproximadamente, 15% maior do que a do pneu novo, enquanto que, com tambor molhado,a curva do pneu liso fica 20 a 30% abaixo da do pneu novo.Aqui também é comprovada a importância de pneus perfilados em estrada molhada, pela

expulsão da água da superfície de contato. Em pisos secos, a menor flexibilidade dos sulcosmais rasos em pneus desgastados contribui para uma menor deformação e, portanto, ummenor ângulo de deriva para uma determinada força lateral.

1.5.7 Influência do camber

Devido ao camber, o peso do veículo deforma o pneu de forma assimétrica e a superfíciede contato pneu/pista fica submetida a uma força lateral S0. Com a aplicação de umaforça lateral externa, primeiramente ela deve vencer a deformação correspondente a S0 para,somente então, deformar o pneu no outro sentido. Com γ = 0, uma força S causa o ânguloα. Com γ < 0, deve-se ter S+S0 para o mesmo ângulo de deriva e, com γ > 0, S−S0, comopode ser visualizado na Figura 1.30.

1.6 Capacidade de carga

1.6.1 Capacidade de carga de pneus de automóveis e caminhões

A capacidade de carga define qual a força radial que pode atuar, com segurança, semque o pneu seja danificado. No caso de pneus de automóveis e caminhões, a capacidade de



Figura 1.30: Influência do camber na absorção de forças laterais.

Figura 1.31: Resistência da borracha em função da temperatura.

carga é limitada pela geração de calor no pneu. Isso porque o calor gerado com o movimentoaumenta a temperatura da borracha e, como a sua desvulcanização ocorre com temperaturasentre 120 e 150o C, o aquecimento do pneu é crítico para a sua durabilidade. Na Figura 1.31 émostrado o comportamento da tensão de resistência da borracha em função da temperatura.O calor gerado depende, dentre um número bastante grande de variáveis, da carga sobre

o pneu, de sua pressão e da velocidade do veículo. A carga e a pressão influem sobre a maiorou menor deformação que o pneu sofre; com maior carga, a pressão deve ser também maiorde modo a diminuir a deformação do pneu. A velocidade influi sobre a freqüência com queo pneu é solicitado, o que afeta a capacidade de dissipação do calor gerado internamente.A carga máxima que um dado pneu pode suportar está limitada pela pressão que ele

admite, sendo que esta pressão não deve ser excedida sob risco de colapso da sua carcaça.Para possibilitar uma maior pressão é necessário um pneu com maior número de lonas, de



Tabela 1.8: Capacidade de carga de pneus.PR 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24CC A B C D E F G H J L M N

Tabela 1.9: Capacidade de carga de pneus, segundo as recomendações da ABPA (AssociaçãoBrasileira de Pneus e Aros).

Índice Carga [kgf ]−[N ] Índice Carga [kgf ]−[N ]60 250− 2450 71 345− 338461 257− 2521 72 355− 348262 265− 2600 73 365− 358163 272− 2668 74 375− 367864 280− 2747 75 387− 379665 290− 2845 76 400− 392466 300− 2943 77 412− 404267 307− 3012 78 425− 416968 315− 3090 79 437− 428769 325− 3188 80 450− 441470 335− 3286 81 462− 4532

modo a dar maior resistência à carcaça.Uma carcaça com maior número de lonas não implica, necessariamente, numa maior

capacidade de carga, como é mostrado a seguir. Um pneu com 4 lonas e outro com 6 lonaspossuem a mesma capacidade de carga quando inflados na mesma pressão; o pneu com 6

lonas, entretanto, admite uma pressão superior e, ficando mais rígido pelo efeito da maiorpressão, se deforma menos, o que acarreta uma geração menor de calor. Pode-se dizer que acapacidade de carga fica indiretamente definida ou limitada pelo número de lonas.A tabela 1.8 fornece duas formas de representar a capacidade de carga de um pneu: em

termos do número de lonas, Ply Rating, ou, então, por um código de letras.

Onde:PR - Play Rating ou capacidade de carga em lonas.CC - Capacidade de carga.Deve ser salientado que este é um número nominal de lonas, não necessariamente o

número de lonas usado na construção da carcaça.Hoje, há a normalização da ANBT para especificação da capacidade de carga dos pneus

de camionetes e automóveis, a qual, para alguns pneus, está mostrada na Tabela 1.9.

1.6.2 Pneus de veículos fora de estrada

Para máquinas e equipamentos que trabalham fora de estrada, existe uma grande in-fluência da velocidade de deslocamento do veículo sobre a capacidade de carga dos pneus,



pois, devido ao tamanho do pneu, é necessária uma banda de rodagem com grande espes-sura o que ocasiona uma maior resistência à troca de calor e, conseqüentemente, um maioraquecimento. Além deste efeito, a velocidade em que a operação de carregamento é realizadaé também importante, pois uma velocidade de carregamento grande implica em um fatorde impacto elevado, o que pode causar uma uma carga dinâmica que supere a capacidadeestática do pneu e ocasionar a sua destruição.Para que estes efeitos possam ser considerados, é definida uma capacidade de carga

estática, Ce , importante nas operações de carga e descarga, e adotado um fator de correçãodevido à velocidade, Kv , para se chegar à capacidade de carga dinâmica, Cd.A capacidade de carga estática depende das dimensões do pneu bem como da pressão

com que ele é inflado. A máxima capacidade de carga fica limitada pela maior pressão queo pneu admite. Esta pressão máxima depende da resistência da carcaça, ou seja, do númerode lonas nominal. A capacidade de carga estática, para o veículo imóvel, pode ser estimadacom boa aproximação por:

Ce = KBD1,5 (1.20)

Onde:K = 165 kN para pressões até 4 atm,

ouK = 170 kN para pressões até 60 lbf/in2,

ondeCe - capacidade de carga estática;D - diâmetro externo do pneu;B - largura nominal do pneu.Para outras pressões, a capacidade de carga estática pode ser estimada multiplicando-se

a expressão anterior por R0,59p , em que Rp é a relação de pressões.É importante a determinação da capacidade de carga estática porque o carregamento

destes veículos sempre é realizado com procedimento dinâmico, o que causa uma sobrecargabastante elevada por um intervalo bastante pequeno.A capacidade de carga sofre uma redução acentuada quando o veículo está em movimento

devido ao aquecimento do pneu e aos impactos ocasionados pelas irregularidades do piso;assim, a determinação da capacidade de carga dinâmica é fundamental.Na Figura 1.32 é ilustrada a redução da capacidade de carga em função da velocidade,

segundo dados de vários fabricantes.A forma de calcular a capacidade de carga dinâmica é dada, de forma aproximada, pela

seguinte equação:

Cd = kvCe (1.21)

onde:kv - fator de carga dinâmica, obtido na Figura 1.32;Ce - capacidade de carga estática.



0 10 20 30 40 500.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1,0

k

v [km/h]

v

Figura 1.32: Redução da capacidade de carga em função da velocidade.

No caso de rodado dual, a capacidade de carga fica um pouco reduzida pela impossibili-dade de uma repartição perfeita de carga entre os pneus.Exemplo:O pneu 18.00 − 25 com 32 lonas admite até 5, 6 atm (80 lbf/in2 ); determinar a sua

capacidade de carga na velocidade de 50 km/h.

Dados:B = 18”

d = 25” (diametro do aro)

H/B = 0, 96

H = 17, 3”

D = 25” + 34, 6” = 59, 6” = 1513 mm

Para a pressão de 4 atm tem-se a capacidade de carga estática:

Ce = 140 kN

Utilizando-se 5, 6 atm de pressão:

Ce = 140 (5, 6

4)0,59 = 171 kN.

que é a capacidade de carga estática desse pneu na pressão de trabalho.Para 50 km/h, obtem-se da Figura 1.22 Kv = 0, 45, como valor médio, logo:

Cd = 77, 0 kN.

que é sua capacidade de carga dinâmica.Como se pode notar, a capacidade de carga dinâmica é bem menor do que a estática.



Tabela 1.10: Pressões de pneus para máuinas agrícolas.Tipo de uso PressãoPneus dianteiros 24− 52 lbf/in2Pneus traseiros 12− 28 lbf/in2, 0, 85− 2, 0 atmPneus para implementos 20− 52 lbf/in2, 1, 4− 3, 7 atm

1.6.3 Capacidade de carga de pneus agrícolas

Estes pneus são utilizados com pressões relativamente baixas, de modo a permitir umcontato suficientemente grande com o solo, geralmente macio. A faixa usual da pressão deinflagem está mostrada na tabela 1.10.

A capacidade de carga dinâmica, Cd, para velocidades máximas de 32 km/h e pressãode 20 lbf/m2 , pode ser estimada pela expressão:

Cd = 29 B D1,3 (1.22)

Onde as dimensões da largura B e do diâmetro externo D são dadas em metros e Cd emkN . Para outras pressões, tem-se:

Rc = R0,59P (1.23)

Onde RP e Rc são relações de pressões e de capacidade de carga, respectivamente.

1.7 Designação de pneus de automóveis

A designação de um pneu informa sobre o seu tamanho, capacidade de carga, limitede velocidade e forma construtiva da sua carcaça. A seguir, será apresentada a forma deespecificação destas grandezas para pneus comerciais.

1.7.1 Tamanho

A designação deve ser tomada como definição das dimensões nominais, não como medidaexata do pneu. A designação de tamanho é composta de dois grupos de valores. O primeirogrupo corresponde à largura nominal do pneu ou à largura nominal complementada pelarazão percentual entre a altura da seção e a largura. O segundo grupo representa o tamanhodo diâmetro interno, ou o diâmetro do aro de montagem.A largura B e o diâmetro de montagem d são as dimensões principais para identificação

do pneu e normalmente estão colocados da seguinte forma

BB − dd (1.24)

Onde:



Figura 1.33: Dimensões características de um pneu.

BB - largura nominaldd - diâmetro interno nominalQuanto ao aro do pneu, recomenda-se que sua largura fique entre 70 e 75% da largura

nominal do pneu para que os flancos e ombros deste não trabalhem fora das especificaçõesde projeto.

1.7.2 Séries de pneus

No caso de pneus para automóveis tem-se várias séries, onde as dimensões da seçãosão proporcionais e a relação H/B é aproximadamente constante. Dentro de cada série, aseqüência de larguras nominais do pneu segue um padrão que permite identificar a que sériepertence o pneu, como por exemplo:

• Pneu super balão (1948)

H/B = 0, 95 → série 95Aros - 10; 12; 13; 14; 15 ...Largura - 4.80; 5.20; 5.60; 5.90; 6.40...Obs.: Dimensões em polegadas.

• - Pneu de perfil baixo (1959)

H/B = 0, 88 → série 88Aros - 12; 13; 14; 15 ...Largura - 5.00; 5.50; 6.00; 6.50...Obs.: Dimensões em polegadas.

• - Pneu de perfil super baixo (1964)



H/B = 0, 82 → Série 82Aros - 13; 14; 15Largura - 6.15/155; 6.45/165; 6.95/175...Obs.: Dimensões dos aros em polegadas e a das larguras polegadas/milímetros.

• - Pneus das séries 80/ 70/ 65/ 60/ 55/ 50...

Estes pneus começaram a ser introduzidos no mercado em 1967. O número da sérieindica a relação H/B em percentagem. Assim, um pneu da série 70 possui H/B = 0, 70,aproximadamente. O número indicativo da série a que o pneu pertence aparece logo após onúmero que especifica a largura, separado por uma barra.

Exemplos:

Caso 1 : Pneu 6.50− 13A partir dos números que especificam as dimensões dos pneus, tem-se:Largura nominal do pneu..................B = 6, 5”Diâmetro do aro................................ d = 13”Relação altura/largura do pneu.... H/B = 0, 88.

Com estes resultados pode-se calcular o diâmetro externo do pneu da maneira que segue:

D = 2( 0, 88)( 6, 5) + 13

D = 24, 44” = 620 mm.

Caso 2 : Pneu 215/70− 15A partir dos números tem-se que:Largura nominal do pneu........... B = 215 mm

Diâmetro do aro.......................... d = 15”Relação altura/largura............. H/B = 0, 70

Diâmetro externo........................ D = 682 mm.

1.7.3 Capacidade de carga

A especificação da capacidade de carga de pneus de automóveis é feita de acordo com aTabela 1.9.A definição da capacidade de carga do pneu, é localizada logo após o número de define o

diâmetro do aro do pneu. Um exemplo da definição da especificação da capacidade de cargaé mostrado no Caso 2, apresentado no final do item 1.7.5.



Tabela 1.11: Limites de velocidade [km/h], segundo a nomenclatura mais antiga para pneusmontados em aros com pelo menos 13 polegadas.

Pressão Marca Velocidades limites- 150

Diagonal S 180H 200S 180

S(M+S) 160S (M+S) ref 150

Radial H 210H (M+S) 200

V 210Z > 240

1.7.4 Velocidade limite

Todo pneu possui uma velocidade máxima a que pode resistir sem sofrer danos. A marcaque indica a velocidade limite situa-se entre os dois grupos de números de designação dotamanho.Os limites de velocidade são representados por um traço horizontal ou as letras S, H

ou V, como mostrado na Tabela 1.11, e determinam a velocidade máxima que pode serdesenvolvida pelo veículo sem causar dano aos pneus.

Os símbolos ”(M+S)” signicam lama e neve (mud and snow) e ”ref” reforçado.Atualmente, tanto no Brasil como na maioria dos países fabricantes de componentes

automotivos, a nomenclatura apresentada na Tabela 1.11 esta caindo em desuso. Em substi-tuição é adota a nomenclatura mostrada na Tabela 1.12, normalizada pela ABNT (Associ-ação Brasileira de Normas Técnicas http://www.abnt.org.br/), onde se tem a equivalênciaentre as marcas impressas nos flancos dos pneus e as correspondentes velocidades limites. Adefinição da velocidade na carcaça do pneu é localizada logo após o índice de especificaçãoda capacidade de carga do pneu.

Informações adicionais a respeito de normas, ensaios, eventos e especificações técnicaspodem ser encontradas junto Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e QualidadeIndustrial, INMETRO (http://www.inmetro.gov.br), uma autarquia Federal vinculada aoMinistério do Desenvolvimento, Indústria e Comércio Exterior bem como com a AssociaçãoLatinoamericana de Pneus e Aros, ALAPA (http://www.alapa.com.br).



Tabela 1.12: Equivalência entre a velocidade [km/h] e as marcas no pneu pela nomenclaturanormalizada pela ABNT.

Símbolo Velocidade limiteP 150Q 160R 170S 180T 190U 200H 210V 240W 270Y 300

1.7.5 Tipo de carcaça

Essa informação também está contida na designação dos pneus e está localizada entreos dois grupos de números que especificam o tamanho. As marcas que aparecem são asseguintes:- : Pneu diagonalR : Pneu radialB : Pneu diagonal cintado

Exemplos:Determinar as características gerais dos seguintes pneus:

Caso 1 : 215/65 V R 15Este pneu segue a nomenclatura antiga.Largura nominal .................- 215 mm

Diâmetro do aro .................- 15 polegadasRelação altura/largura ....... - 0, 65Diâmetro externo ................- 15(25, 4) + 2(0, 65)215 = 660, 5 mm

Tipo da carcaça ..................- RadialVelocidade limite ................- Marca V significa velocidade limite de 210 km/h.

Caso 2 : 175/70 R 13 82 QEsse pneu segue a nomenclatura moderna de especificação de pneus.Largura nominal ................- 175 mm

Diâmetro do aro ................- 13 polegadasRelação altura/largura....... - 0, 70Diâmetro externo ...............- 13(25, 4) + 2(0, 7)175 = 575, 2 mm

Tipo da carcaça .................- RadialCapacidade de carga .......- O número 82 significa uma carga nominal de 4660 N (Tabela

1.9)



Tabela 1.13: Classificação para rodas motrizes.Símbolo Rodas motrizesR1 AgriculturaR2 Culturas de cana e arrozR3 Uso industrial e areiaR4 Uso industrial

Velocidade limite ...............- A letra Q significa velocidade máxima de 160 km/h (Tabela1.12)

1.8 Designação de outros pneus

1.8.1 Pneus de camionetas, caminhões e ônibus

Os pneus para uso normal em ônibus, camionetas e caminhões, apresentam uma de-signação mais simples do que a de automóveis, pois as dimensões são sempre expressas empolegadas, apenas com indicação suplementar para o caso de pneus radiais.

Exemplos:Caso 1 : Pneu 6.50− 16Largura ....................- 6, 5 polegadasDiâmetro do aro......- 16 polegadasTipo da carcaça......- Diagonal

Caso 2 : Pneu 9.00 R 20Largura ....................- 9 polegadasDiâmetro do aro......- 20 polegadasTipo de carcaça......- Radial

1.8.2 Tratores agrícolas e industriais

Os pneus para estes equipamentos operam em condições bastante adversas de terreno.De modo a possibilitar uma rápida identificação do tipo de trabalho para o qual o pneu éadequado, eles são classificados de acordo com o código mostrado nas tabelas 1.13 e 1.14.

Nesses tipos de pneus, existe uma diferença quanto à forma de designar os tamanhospara os eixos dianteiro e traseiro:

• para o eixo dianteiro (somente direcional) as dimensões dos pneus são especificadaspor dois grupos de números, BB dd (largura do pneu e diâmetro do aro), seguidos docódigo de serviço a que se prestam.



Tabela 1.14: Classificação para rodas direcionais.Símbolo Rodas direcionaisF1 Ranhura únicaF2 Agricultura geralF3 Ranhuras múltiplasI1 Implementos agrícolas, ranhuradosI2 Implementos, tração moderadaI3 Implemento motrizI6 Implemento de banda lisa

• para o eixo traseiro as dimensões dos pneus também são especificadas por dois gruposde números, porém o primeiro grupo contém a especificação da largura do aro "a”além da largura nominal do pneu e do diâmetro do aro BB/a − dd (largura nominaldo pneu/ largura do aro e diâmetro do aro).

É importante salientar que estes pneus não são recomendados para serem usados comvelocidades superiores a 32km/h.

Exemplos:

Caso 1 : Pneu 7.50− 18(F2)Largura..................................- 7, 5 polegadasDiâmetro do aro...................- 18 polegadasCódigo de serviço................- F2 - Agricultura geralPosicionamento....................- Roda direcional.

Caso 2 : Pneu 16.9/14− 30(R1)Largura nominal do pneu.... - 16, 9 polegadasLargura do aro......................- 14 polegadasDiâmetro do aro...................- 30 polegadasCódigo de serviço................- R1- AgriculturaPosicionamento....................- Roda motriz.

1.8.3 Pneus para veículos fora de estrada

Assim como no caso de tratores agrícolas, os pneus para veículos fora de estrada sãoclassificados segundo o tipo de serviço recomendado. Devido à grande variedade de condiçõesde serviço, existem diversos desenhos de confecção da banda de rodagem, porém, para cadatipo de serviço, existe uma relativa padronização entre os vários fabricantes de pneus. Emfunção disto, eles são classificados de acordo com a tabela 1.15.

Cada tipo de serviço possui uma subdivisão que indica as características do piso a queo pneu é adequado, o que, por sua vez, implica na construção da banda de rodagem com



Tabela 1.15: Tipos de serviço para pneus fora de estrada.Tipos de Serviços (SAE J571) Função Característica

E (Earthmoves) Transporte de terra, areia e m inério . Resistência ao calor, a cortes, desgaste e ruptura p or impacto.

G (G rades) Moton iveladoras. Tração e d irig ib ilidade (v < 40km/h).

L (Loader) Carregadeiras Resistência ao desgaste e a cortes (v < 8km/h).

LS (Log - Skidder) Tratores floresta is Tração, flutuação e resistência a cortes.

C (Compactor) Compactação Resistente ao óleo, a cortes e ao desgaste (v < 8km/h).

Tabela 1.16: Subdivisão dos tipos de serviço de pneus fora de estrada.Subdivisão Aplicação

E1 DirecionaisE2 TraçãoE3 Para pedrasE4 Banda espessa, para pedrasE5 Resistente ao calorE6 Extra resistente ao calorE7 FlutuaçãoG1 DirecionaisG2 TraçãoG3 Para pedrasG4 Banda espessa, para pedrasL2 TraçãoL3 Para pedrasL4 Banda espessa, para pedrasL5 Banda extra espessa, para pedrasC1 Banda lisaC2 RanhuraLS2 Intermediário (uso geral)



desenhos, reforços e volume de borracha distintos de uma para outra classificação, comomostra a tabela 1.16.

Para esses tipos de pneus, tem-se três séries de largura:

Convencional - série 96- a caracterização desta série é feita através do número que es-pecifica a largura, sempre inteiro e expresso em polegadas.

Pneus Base Larga - série 83 - a caracterização desta série também é feita através donúmero que especifica a largura, que, neste caso, é sempre expresso em frações de polegadas.

Pneus de perfil baixo - série 65 - a caracterização desta série é feita pelo número 65, quesempre antecede a largura nominal do pneu.

Observação: quando os quatro tipos acima forem seguidos da letra S, a banda é lisa (ex.:L4S).Exemplos:Caso 1: Pneu 18.00− 25.Como a largura é expressa por um número inteiro, este pneu é da série 96 e possui as

seguintes características:Largura nominal.........................B = 18 polegadasSérie........................................H/B = 0, 96

Diâmetro do aro.........................d = 25 polegadasDiâmetro externo do pneu........D = 60 polegadas.

Caso 2: Pneu 33.25− 35Como a largura é expressa por um número fracionário, esse pneu é da série 83 e possui

as seguintes características:Largura nominal.........................B = 33, 25 polegadasSérie........................................H/B = 0, 83

Diâmetro do aro.........................d = 35 polegadasDiâmetro externo do pneu........D = 90 polegadas.

Caso 3: Pneu 65/35− 33Como a largura é antecedida pelo número 65, este pneu é da série 65 e possui as seguintes

características:Largura nominal.........................B = 35 polegadasSérie........................................H/B = 0, 65

Diâmetro do aro.........................d = 33 polegadasDiâmetro externo do pneu........D = 78, 5 polegadas.


Capítulo 2

Forças e acelerações em um veículoem operação

2.1 Resistências ao movimento

Nesta primeira parte do estudo das forças que agem sobre um veículo se deslocando,o interesse é naquelas que se opõem ao seu movimento e determinam o nível de potêncianecessário para manter esse movimento. A força resistente total deve ser equilibrada pelaforça transmitida por atrito ao solo, através das rodas motrizes, proveniente da potênciagerada pelo motor. Para que se tenha idéia de como o veículo se comportará nas diversassituações de uso, é necessário que se conheça o nível de potência que o motor possui, acada rotação, para várias posições do acelerador. Dispondo de curvas características domotor, como as mostradas na Figura 2.1, bem como da curva de consumo específico, épossível estimar, com boa precisão, o comportamento do veículo em termos de aceleraçõespossíveis, consumo, velocidade final, bem como o seu desempenho em ultrapassagens e emaclives para as mais diversas situações de carga e terreno. Para tanto, é de fundamentalimportância o levantamento da potência líquida do motor em testes de dinamômetro, bemcomo a determinação da potência gasta para manter a condição de deslocamento do veículo.

Figura 2.1: Curva de potência de um motor para diferentes níveis de carga.

43


Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação 44

Figura 2.2: Elementos da transmissão de potência do motor às rodas.

As resistências que se opõem do movimento, para todos tipos de veículos, são:

• - Resistência mecânica;

• - Resistência de aclive;

• - Resistência de inércia;

• - Resistência de rolamento;

• - Resistência aerodinâmica.

Cada parcela citada será apresentada detalhadamente nos itens que se seguirão.

2.2 Resistência mecânica

A potência gerada no motor deve ser levada às rodas motrizes para que o veículo possaefetivamente fazer uso dela. Neste percurso, mostrado na Figura 2.2, existem vários ele-mentos mecânicos sujeitos ao atrito que irão consumir parte dela. A resistência mecânica éconsiderada como toda e qualquer perda que ocorra entre o volante do motor e os mancaisdas rodas motrizes. Neste valor estão incluídas perdas na caixa de câmbio, no eixo cardam,no diferencial, nos mancais e em outros pontos.Uma maneira bastante simples de considerar as perdas é pelo uso do conceito do rendi-

mento da transmissão de força, desde o motor até o eixo das rodas, aplicando a seguinteequação empírica:

Pc = Pe ηm (2.1)

onde:Pc - Potência no cubo;Pe - Potência efetiva no motor;ηm - Rendimento mecânico da transmissão.Como a potência efetiva do motor é a soma das potências no cubo e a perdida na trans-

missão, pode-se escrever que:



Figura 2.3: Comportamento do rendimento da transmissâo com a carga.

Pm = (1− ηm)Pe (2.2)

onde:Pm - Potência consumida na transmissão (perda mecânica).Em geral, as perdas podem ser decompostas em uma parte que é, independentemente da

carga transmitida, proveniente em grande parte do movimento do óleo lubrificante e outradevido ao atrito propriamente dito que varia, aproximadamente, de uma forma linear coma carga. Em cargas leves há predominância das perdas do lubrificante, as quais diminuemcom o aumento da carga, como se mostra na Figura 2.3. Pela forma da curva de rendimentotorna-se flagrante que não é interessante que o sistema opere com carga inferior à carganominal, pois o rendimento sofre uma drástica redução.

O rendimento mecânico da transmissão de automóveis está, em geral, na faixa de 0, 84a 0, 93, variando conforme as soluções construtivas que foram adotadas e com a marcha queestá sendo utilizada. Para alguns tipos de câmbios, onde há uma marcha direta e não ocorretransmissão de força através das engrenagens da caixa de câmbio, tem-se, nesta marcha, omaior o rendimento da transmissão.A partir da curva de potência do motor, é possível obter-se a curva de potência do veículo

na roda, em função da velocidade, conhecendo-se as relações de transmissão e o raio da rodade tração. O resultado deste procedimento está representado na Figura 2.4.

2.3 Resistência ao aclive

Um veículo ao subir um aclive apenas parte do seu peso é absorvido pelo solo, na formade força normal, e o restante do peso fica agindo sobre o CG na forma de uma componente



Figura 2.4: Potência bruta disponível, no cubo da roda, em cada marcha.

Figura 2.5: Veículo percorrendo uma rampa.

paralela ao piso, tendendo a fazer o veículo descer o aclive, como mostrado na Figura 2.5.Esta componente do peso é a resistência de aclive, ou seja é a força que deve ser vencidapara que o equilíbrio estático seja mantido. Deste modo a resistência de aclive, Qs , é obtidapor:

Qs = Gsenα (2.3)

Na literatura especializada é usual referir-se a um aclive pela percentagem de quanto sesobe em relação à horizontal e não pelo ângulo de inclinação da pista. A seguir é mostradaa relação entre estas grandezas com um exemplo de aplicação.Na Figura 2.6 é mostrado um aclive de 40%, ou seja, de a = 0, 4. Pela análise da figura

tem-se que:

a = tg α (2.4)



Figura 2.6: Definição do aclive a = 0, 4 (40%).

Sendo a = 0, 40, pode-se calcular a partir desta última equação a inclinação do aclive emgraus.

α = 21, 8o

Para um aclive de 20% tem-se a = 0, 2 e logo α = 11, 31o . Um aclive de 100%corresponde a um ângulo de 45o.Se em lugar de aclive houver um declive então o ângulo que entra na equação (2.3) é

negativo e o seu resultado também será negativo, ou seja, haverá uma força que facilitará omovimento do veículo.

2.4 Resistência de inércia

Segundo Newton, um corpo para ter o seu estado de movimento (em repouso ou emmovimento retilíneo uniforme) alterado é necessário aplicar uma força. Para um automóvel,que é um conjunto de inércias em translação e rotação, no cálculo da força a ser aplicadapara variar a velocidade deve ser levado em conta, além das massas em translação, as in-ércias rotativas. Isto porque as inércias rotativas são submetidas a acelerações angularesproporcionais a linear e, em função das relações de transmissão da caixa e do diferencial,podem ser responsáveis por uma grande parcela de consumo de força (consequentementepotência) durante a aceleração de um automóvel . Assim a abordagem será subdividida emduas parcelas, uma devido as massas em translação e outra devida as massas em rotação. Nofinal, o efeito das duas parcelas será somado e corresponderá a resistência total de aceleração.

2.4.1 Massas em translação

Sabe-se da dinâmica que para acelerar umamassa "m" de uma quantidade "a" é necessárioaplicar uma força, mostrada na Figura 2.7, dada por:

F = ma (2.5)



Figura 2.7: Inércia de translação de um veículo.

Esta força, que deve ser colocada a disposição do veículo pelo motor, corresponde aresistência de inércia de translação dada por

Q0I = ma (2.6)

Esta força de inércia de translação corresponde a primeira parcela da resistência deinércia.

2.4.2 Massas em rotação

Para causar uma aceleração angular, α [rad/s2], em uma inércia rotacional, J [kg/m2],é necessário aplicar-se um momento dado por:

M = J α (2.7)

onde:α - é a aceleração angular.J - inércia de rotação, proporcional a massa e a geometria da peça girante.No caso de veículos que possuam caixas de redução de rotações, tem-se diferentes inércias

girando a velocidades diferentes e a equação acima não pode ser aplicada diretamente. Paracontornar este problema se divide as inércias rotativas nos três grupos, representadas naFigura 2.8, que seguem:

Jr - Inércias das rodas e agregados tais como: rodas dianteiras, traseiras, parte do dife-rencial do lado das rodas, dos discos e tambores de freio e dos cubos de roda.

Jt - Inércia da transmissão. Parte do diferencial do lado da caixa mais eixo cardam ejuntas, bem como a parte acionada da caixa.

Jm - Inércia do motor. Motor e acessórios, volante, embreagem e parte acionante dacaixa de marchas.Para obter a força de equivalente a de inércia no ponto de contato com o solo, é necessário

dividir o momento dado pela equação (2.7) pelo raio dinâmico do pneu como segue:

Q00I =

M

rd(2.8)

ou



Figura 2.8: Inércias rotativas de um veículo.

Q00I =

J α

rd(2.9)

A relação entre a aceleração angular e linear, de uma roda no ponto de contato com osolo é dada por:

a = α rd (2.10)

onde:a - aceleração linear;rd - raio dinâmico do pneu (ver página 124 deste texto);α - aceleração angular.Assim, pode-se escrever:

α =a

rd(2.11)

Substituindo-se esta aceleração na expressão do torque, consegue-se relacionar a resistên-cia de inércia rotativa com a aceleração linear como segue:

Q00I =

J a

r2d(2.12)

O problema, que surge, é devido ao fato de que as rodas não estão girando com a veloci-dade das inércias Jt e Jm, e uma soma direta destas grandezas não pode ser usada para ocálculo da inércia total J . Supondo-se uma inércia unida a um eixo que através de uma re-dução i transmite movimento para outro, Figura 2.9, pode-se achar uma inércia equivalenteneste último e resolver o problema acima descrito.



Figura 2.9: Transformação de inércia.

Para obter-se a inércia equivalente, J 0, no outro eixo, deve-se respeitar a lei da conservaçãode energia, ou seja, a energia cinética deve ser a mesma em um e no outro caso. Assim, tem-se:

1

2J ω21 =

1

2J 0ω22 (2.13)

onde:J - inércia real;ω1 - velocidade angular da inércia J ;J 0 - inércia equivalente;ω2 - velocidade angular da inércia equivalente.

Como:

ω1 = iω2 (2.14)

e assim:

J(iω2)2 = J 0ω22 (2.15)

com as devidas simplificações, tem-se:

J 0 = i2J (2.16)

onde i é a relação de transmissão.Deste modo se pode calcular uma inércia equivalente a do motor e da transmissão, nas

rodas, considerando a j esima relação de transmissão da caixa de câmbio (icj) e do diferencial(id), como segue:

J 0 = i2d(Jt + i2cjJm) (2.17)



A inércia rotativa total nas rodas, para um veículo como o mostrado na Figura 2.8, édada pela soma das parcelas do motor, da caixa e das rodas como segue

J = Jr + i2d(Jt + i2cjJm) (2.18)

Vals salientar que esta equação serve para análise de qualquer sistema que possua massasgirando com velocidades diferentes, tal como o mostrado na Figura 2.8.

2.4.3 Superposição dos efeitos

A resistência total da aceleração é então dada pela soma das inércias de translação e dade rotação, como segue

QI = Q0I +Q00

I (2.19)

ou

QI = ma(1 +J

mr2d). (2.20)

Para facilitar o manuseio desta expressão, escreve-se:

QI = ma(1 + δ) (2.21)

onde:

δ =J

mr2d(2.22)

é a inércia de translação equivalente a de rotação. Na Tabela 2.1 estão listados momentosde massa para alguns pneus de uso normal, porém, para maior precisão se recomenda adeterminação experimental destes valores.A inércia equivalente, δ, representa o acréscimo da massa do veículo devido a necessidade

de acelerar as inércias rotativas. Em primeira marcha pode chegar a 50%, da massa total doveículo, diminuindo para aproximadamente 5% nas marchas mais elevadas.Uma boa estimativa de δ, para o anteprojeto de um automóvel, é dada por:

δ = 0, 004 + 0, 05i2cj , (2.23)

e para o caso de tratores

δ = 0, 15 + 0, 001(icid)2. (2.24)



Tabela 2.1: Momentos de inércia de massa para alguns pneus.Pneu J [kgm2]

6.00− 12 1, 006.00S − 13 1, 336.40− 13 1, 64155SR− 13 1, 76165S − 13 1, 55165SR− 13 1, 337.00− 14 2, 23165S − 14 1, 52165SR− 14 1, 55175S − 14 2, 35175HR− 14 1, 97185H − 14 3, 12DR 70HR− 14 2, 305.60− 15 1, 636.00− 15L 1, 81185/70V R− 15 2, 03

2.5 Resistência ao rolamento

A resistência ao rolamento é devida as perdas no par paneu pista. A mesma pode sercalculada aproximadamente pela expressão empírica que segue

Qr = f G cosα, (2.25)

onde:f - coeficiente de atrito de rolamento;G - peso do veículo;α - é a inclinação da pista.Na Tabela 2.2 são dadas algumas orientações para os valores do coeficiente de rolamento,

onde os primeiros cinco tipos de piso são praticamente rígidos, enquanto que os outrosdeformáveis.

Verifica-se experimentalmente que o coeficiente de resistência de rolamento varia com avelocidade, pressão de inflagem, carga radial e tipo de pneu, além do tipo do piso, tempe-ratura e outras variáveis de menor importância. Vale salientar que os valores apresentados naTabela 2.2 são apenas uma orientação geral do coeficiente de resistência ao rolamento paravários tipos de terrenos e que, para desenvolvimentos mais precisos, é necessário levantarestes dados experimentalmente.Para mostrar que a resistência de rolamento é variável, na Figura 2.10 é mostrado

o comportamento do coeficiente de atrito de rolamento com a velocidade, para diferentespressões que o pneu está inflado.



Tabela 2.2: Coeficientes de atrito de rolamento.Tipo de piso Valor de ”f ”

Asfalto liso 0, 010Asfalto rugoso 0, 011Cimento rugoso 0, 014Paralelepípedo 0, 020Pedras irregulares 0, 032Pedra britada compacta 0, 045Pedra britada solta 0, 080Terra batida 0, 060Areia solta 0, 100 a 0, 300Grama 0.045 a 0.100Barro 0, 100 a 0, 400Neve profunda 0, 075 a 0, 300

Figura 2.10: Variação do coeficiente de atrito de rolamento com a pressão, para um pneudiagonal.



Figura 2.11: Ressonância do pneu devido ao rolamento sobre a pista.

Tabela 2.3: Coeficientes a e b em função do tipo de pneu.a b

Pneus normais 0, 0150 0, 052Pneus de alta histerese 0, 0258 0, 052

Pode-se observar que a partir de uma dada velocidade as curvas se inclinam acentuada-mente, aumentando o coeficiente de atrito de rolamento "f". Isto acontece pelo fato deformarem-se ondas na banda de rodagem, devido a ressonância. Nesta situação o coeficientede atrito de rolamento, "f", bem como o nível de vibrações e ruído crescem bruscamente.Se o efeito permanecer, o pneu fica em pouco tempo destruído.O modo de deformação do pneu durante a ressonância está mostrado na Figura 2.11.

Para pneus de série, em condições normais de uso, uma orientação para o coeficiente deresistência de rolamento, considerando o efeito velocidade, é dada por:

f = a+ b(v

100)2 (2.26)

As constantes a e b são dadas na Tabela 2.3, sendo v em [m/s].

2.6 Forças aerodinâmicas

Um corpo movendo-se no ar, devido a distribuição de pressão sobre a sua superfícielivre, fica submetido a uma força resultante. Esta força resultante pode ser decomposta nasseguintes componentes:

• Força na direção axial do corpo, conhecida como força de arraste ou resistência aerod-inâmica;



• Força na direção vertical, denominada de força de sustentação;

• Força transversal horizontal à direção do deslocamento do corpo, denominado de efeitode ventos laterais.

A primeira preocupação dos construtores foi justamente com o problema da resistênciaaerodinâmica, já que esta afeta sensivelmente a potência consumida pelo veículo. Emboraos primeiros estudos detalhados tenham sido iniciados em 1920, até o dia de hoje a maioriados carros possuem uma forma que leva a um desperdício de potência da ordem de 30%.Os efeitos das forças de sustentação influenciam a aderência de cada pneu e, portanto, o

comportamento direcional do veículo sob a ação de forcas laterais bem como a potência quepode ser transmitida pelas rodas e a capacidade de frenagem. Por isso a sua análise tambémé muito importante no projeto de veículos de grande desempenho.A última componente de força devido a aerodinâmica, em função do bom desempenho que

a maioria dos veículos comerciais hoje apresentam, é considerada em estudos de estabilidadedirecional. Esta componente de força não será considerada nos modelos aqui desenvolvidos.

2.6.1 Resistência aerodinâmica

Nos automóveis a resistência aerodinâmica provém de três fontes distintas, que são:

Resistência de forma - Ocorre devido a geometria da carroceria.Um corpo, ao se deslocar no ar, como mostrado na Figura 2.12, produz um turbilhonamentona sua parte posterior. Esse turbilhonamento depende especialmente da forma do corpo e étanto maior quanto maior a velocidade de deslocamento. Na Figura 2.12 estão representadosos fluxos em torno de uma placa plana e de um fuso, sendo que na primeira coluna o fluxo éde baixíssima velocidade e na segunda o fluxo é de grande velocidade. Apenas em baixíssimasvelocidades a turbulência não ocorre de forma tão significativa, como pode ser visualizado nafigura. Dependendo da forma do corpo é possível evitar o descolamento da camada limite, oque impede a formação de turbulência, até valores de velocidades bastante elevados. Porém,a partir de uma determinada velocidade que depende da pressão e temperatura do meio, aocorrência da turbulência é inevitável. Assim é correto afirmar-se que quanto maior a áreatransversal em que ocorre turbulência maior é a resistência aerodinâmica.Resistência de atrito - Ocorre devido a viscosidade existem perdas por atrito do ar

com a superfície externa do veículo.Em geral, a resistência de atrito do ar com a superfície do veículo, é relativamente pequena,para os carros atuais. Apenas em formas bastante aerodinâmicas é que o atrito do ar passaa ser sensível. Nesses casos, como em aviões ou veículos para recordes de velocidade, oacabamento superficial é de suma importância, exigindo-se assim uma superfície polida, poisa existência de rugosidades na superfície de atrito com o ar reduz a velocidade máxima doveículo.

Perdas por correntes de ar - Ocorre devido ao ar que penetra no veículo, para refri-geração do motor e ventilação.



Figura 2.12: Escoamento sobre uma placa plana.

O ar perde parte de sua velocidade ao entrar no veículo e, assim, ao sair deve ser acelerado,consumindo portanto potência do veículo. As perdas por efeito de circulação do ar dentrodo veículo, seja no motor ou no habitáculo, contribuem com 1 a 10% da resistência total,dependendo do veículo.

2.6.2 Desprendimento da camada limite e turbulência

Como foi descrito anteriormente o descolamento da camada limite está intimamenteligado com a geometria do corpo que atravessa um fluido. Para um melhor entendimento dofenômeno é necessária uma melhor descrição do mecanismo do desprendimento da camadalimite, como a que segue. No corpo ilustrado na Figura 2.13, o ar para passar de A para Badquire maior velocidade, pois diminui a seção de fluxo. Com o aumento da velocidade, apressão estática do ar diminui e assim, neste trecho, o ar flui sem qualquer problema, pois vaide uma zona de alta pressão para uma zona de baixa pressão. O problema agora é no trechoBD, no qual o fluído começa a deixar o veículo. Devido a aceleração sofrida no primeirotrecho, as moléculas da camada limite também ganham energia, devido à viscosidade dofluído. No entanto, na parte posterior do corpo há um aumento na seção de fluxo de ar e,assim, uma redução da velocidade. Esta redução de velocidade produz uma desaceleração dacamada limite, ou seja um aumento na pressão estática, e um gradiente de pressão adversaao movimento das partículas. Como as moléculas da camada limite são as que possuemmenor energia, elas sentem primeiro o efeito deste gradiente de pressão adversa e em umdado ponto do contorno do corpo, a pressão alcança um valor que força o fluxo a voltar emdireção a zona de baixa pressão. A quantidade de ar que retorna aumenta, até a separaçãoda camada limite e, na zona em que o fluxo é reverso, formam-se turbilhões que agitam todoescoamento. A zona de turbulência formada na parte traseira do corpo pelo deslocamentoda camada limite, é denominada de esteira.Quanto mais rapidamente reduzir-se a seção do corpo maior o gradiente de pressão ad-



Figura 2.13: Escoamento do ar em torno de um corpo.

Figura 2.14: Formação da esteira em um corpo com variação brusca de seção.

versa, o que facilita a separação da camada limite. Cantos vivos produzem uma variaçãobrusca de seção e, desta forma, originam sempre uma separação da camada limite, comforte turbulência na esteira. Por outro lado, o escoamento em torno de um corpo cuja seçãodiminui progressivamente tem um gradiente de pressões bastante suave, de modo que o fluxopermanece em contato com a superfície até quase o seu final. Devido ao pequeno gradientede pressões, a camada limite se descola quase que somente no final do corpo e a energia querecebe das camadas de ar mais externas, é suficiente para evitar grandes turbulências. Comisso, pode-se afirmar que a resistência do ar é pequena para formas com variação suave degeometria. Porém se a velocidade aumentar significativamente e a forma do corpo não sealterar também ocorrerá grande turbulência. Isso é devido ao fato que a forma aerodinâmicaótima de um corpo depende da sua velocidade no meio.

2.6.3 Cálculo da resistência aerodinâmica

A resistência aerodinâmica é dada, considerando os três efeitos conjuntamente, por:

Qa = q CxA (2.27)



onde:q - pressão dinâmica;Cx - coeficiente de resistência aerodinâmica (em geral determinado em testes commodelos em escalas reduzidas ou em tamanho natural);A - área projetada da seção transversal do veículo.Essa expressão é uma relação empírica bastante utilizada em mecânica dos fluidos, para

a determinação experimental do coeficiente de resistência de forma e de atrito de corpos dasmais variadas geometrias. A pressão dinâmica que é função da velocidade relativa entre oveículo e o ar, da temperatura e da pressão atmosférica, pode ser calculada por:

q =1

2ρ v2 (2.28)

onde:ρ = 1, 22557 [kg/m3] (massa específica do ar a 15o C e 760 mm Hg)v = velocidade relativa do vento [m/s]Para outras condições de temperatura e pressão a massa específica do ar pode ser obtida,

com boa precisão, através da expressão que segue:

ρ = 0, 4647p

T[kg/m3] (2.29)

sendo:p - a pressão atmosférica em mm de Hg

T - a temperatura absoluta K.A resistência aerodinâmica, conforme visto, depende da área da seção transversal, da

pressão dinâmica e do coeficiente de resistência. A seguir, cada uma destas variáveis seráanalisada de forma mais detalhada.

2.6.4 Área da seção transversal

No estudo da resistência aerodinâmica, tem-se interesse na maior área projetada daseção transversal do veículo na direção do movimento. Uma maneira de se obter esta áreaé a partir dos desenhos do projeto da carroceria do veículo, quando disponíveis. Outroé o método experimental que faz uso da projeção da área sobre uma parede vertical, ousobre uma película fotográfica, como é descrito a seguir. Também é possível a utilização demétodos de medição direta através máquinas de medição de coordenadas.Desses procedimentos o mais preciso é o de projetar a sombra do veículo sobre um

anteparo. Na Figura 2.15 está mostrado o caso em que um holofote de 150 W com 250

mm de diâmetro projeta um feixe de luz através de um diafragma com 40 mm de diâmetro,resultando em uma sombra bastante nítida sobre o anteparo. Assim, traçando-se o contorno,é possível determinar a área projetada da maior seção transversal do corpo. Para permitir umperfeito alinhamento, do automóvel, são colocadas duas varetas sobre o plano longitudinalde simetria, sendo que a superposição das sombras das varetas garante o alinhamento. Ofeixe de luz do holofote é colocado na altura do eixo das rodas. De modo a possibilitar umamedida com boa precisão da área projetada, a distância "d", entre o automóvel e o holofote,



Figura 2.15: Determinação da área da seção transversal por projeção da sombra do veículo.

deve ser de cinqüenta a oitenta metros. Apesar dessa distância ser grande há uma pequenaampliação da sombra projetada e a maneira de considerar este efeito é apresentada a seguir.A partir da Figura 2.15, a dimensão projetada a ’, em relação a dimensão real, é:

a0

c+ d=

a

d(2.30)

e assim:

a =a0d2

c+ d. (2.31)

Portanto

A =A1d

2

(c+ d)2(2.32)

onde:A - Área projetada do veículoA1 - Área da sombra no anteparoAtualmente o foco de luz do holofote é substituído por um feixe de raios laser, o que

aumenta bastante a precisão da medição da área, pois não há penumbra apreciável para estetipo de luz.O último método utilizado, cujo tratamento das distorções pela ampliação da imagem

é idêntico ao descrito anteriormente, é o do levantamento fotográfico do veículo. Como nocaso anterior deve haver uma distância mínima entre o veículo e a câmara, da ordem de 50a 80 m, para evitar distorções excessivas. É conveniente fazer a fotografia com uma câmaraequipada com teleobjetiva e ampliá-la posteriormente ou então fazer slides.



h

h

1

2

A

B

Tubo estático de Pitot

- mede a pressão dinâmica- mede a pressão estática

h1

h2Fluxo

Figura 2.16: Medição das pressões dinânica e estática.

2.6.5 Pressão dinâmica

A pressão dinâmica pode ser definida como a pressão que o ar exerce sobre uma superfíciedisposta transversalmente as linhas de fluxo (ver Figura 2.16). Quando a velocidade do fluxode ar cai a zero em um ponto, devido a um obstáculo, neste faz-se sentir a pressão dinâmica nasua plenitude. A pressão dinâmica é justamente a energia cinética contida em uma unidadede volume de ar em movimento totalmente transformada em energia potencial, ou seja empressão. A energia cinética de uma determinada quantidade de ar é dada por:

Ec =1

2mv2 (2.33)

ou

Ec = Ep =1

2ρV v2 (2.34)

onde:ρ - massa específica;v - velocidade do fluido;V - volume.A pressão dinâmica é obtida pela divisão da equação (2.34) pelo volume, ou seja:

q =1

2ρ v2 (2.35)

Em um automóvel, a pressão dinâmica produz-se em diversas zonas, como se mostra naFigura 2.18. A principal é na dianteira, 1, onde as linhas de fluxo se separam e a velocidadecai a zero. Outra ocorre no parabrisas, 2, mas não com pressão dinâmica total, já que osmesmos são inclinados em relação a vertical. Outras saliências, como espelho retrovisor, 3,calhas de água, maçanetas e etc, são áreas de represamento do ar que devem ser evitadas,ou pelo menos projetadas de maneira a reduzir os seus efeitos danosos para a aerodinâmica.



P

x

Pressão dinâmica Pressão estática

SoloFuso

Linhas de fluxo

+ -

+

Figura 2.17: Distribuição de pressão em um corpo.

Figura 2.18: Locais onde a pressão dinâmica é predominante.

Além da pressão dinâmica existe a pressão estática, da qual vale a pena relembrar adefinição. A pressão estática pode ser definida como a pressão em uma superfície paralela àlinha de fluxo, ou seja, é a pressão que o ar exerce pelo deslocamento sobre uma parede (verFigura 2.16).

2.6.6 Coeficiente de resistência aerodinâmica

O coeficiente de penetração aerodinâmica Cx , serve de medida para a aerodinâmica deum corpo e é determinado experimentalmente. Em seu valor estão considerados a influênciade forma, do acabamento superficial e do fluxo necessário para refrigeração do motor eventilação do interior do carro. Quanto menor o seu valor, tanto menor a resistência do ar.O valor do coeficiente aerodinâmico é independente da área da seção transversal do corpoque se desloca no fluído, no entanto, a área deve permanecer tão pequena quanto possível,já que o seu produto com o coeficiente de resistência aerodinâmica resulta no que poderiachamar-se de área efetiva quanto à resistência aerodinâmica do corpo.



A determinação de Cx pode ser feita através do estudo em túneis de vento, seja commodelo reduzido ou mesmo com automóveis em tamanho real. Outra possibilidade é umteste em pista com o veículo.Na confecção dos modelos em escala reduzida, para testes em túnel de vento, algumas

recomendações básicas devem ser seguidas:-Para medidas precisas é necessário considerar o ar de refrigeração e ventilação. Em

situações extremas de precisão, o ventilador do radiador pode ser acionado por um motorelétrico, já que a influência apesar de pequena varia de 3 a 10%.-As rodas do modelo, em geral, não giram. Os desvios, na medida, são pequenos no caso

das rodas serem protegidas por paralamas. Para carros de corrida as rodas, que ficam girandolivremente contra o fluxo de ar, ocasionam grande resistência quando comparadas com oaquelas que ficam protegidas por paralamas. No caso das rodas desprotegidas, é interessanteo acionamento destas através de motores elétricos, de modo a não distorcer os resultados.-É necessário usar o maior número possível de detalhes mecanicamente semelhantes ao

do carro real, como palhetas do limpador do parabrisas, maçanetas, calhas de chuva, etc. Aparte inferior do chassi também apresenta importância, pois o modelo com a parte de baixolisa, apresenta Cx inferior ao real. De modo que as medidas feitas em modelos possam sertransportadas para um caso real, é necessário haver similaridade mecânica entre os fluxosreal e do túnel de vento. Esta similaridade é garantida quando o número de Reynolds paraos dois fluxos for igual. Da mecânica dos fluidos, o número de Reynolds é dado por:

<e =vlμρ (2.36)

onde:v - velocidade do fluido;l - dimensão característica ;ρ - densidade do fluido;μ - viscosidade do fluído.Assim, para testes em que o fluido do túnel é o ar, a velocidade do fluxo deve crescer na

proporção em que o tamanho diminui. Um problema com escalas pequenas, da ordem de1 : 10, é que as velocidades exigidas para manter a similaridade mecânica, são muito altas,as vezes superiores a do som e, neste caso, os resultados são completamente errôneos, nãocorrespondendo ao caso real, pois o efeito de compressibilidade do ar passa a ser sensível oque não ocorre com o caso real.A semelhança no acabamento superficial é de suma importância. Como no veículo real

o acabamento superficial é bom (rugosidade da pintura), é bastante difícil ter-se um modeloem escala um acabamento semelhante e, assim, o coeficiente Cx será menor que o obtido nasmedidas feitas no modelo.Verificações realizadas com modelos de automóveis mostraram que o coeficiente de re-

sistência do ar Cx praticamente independe de <e (número de Reynolds), ao contrário dealguns sólidos, como a esfera, como pode ser observado na Figura 2.19.O número de Reynolds varia entre <e = 1, 5.10

6 ( na cidade onde as velocidades giram de20 a 40 km/h) e <e = 12.10

6 ( nas rodovias, onde as velocidades giram entre 80 e 120 km/h).



Figura 2.19: Variação do coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds.

Para modelos em escala 1 : 5 e velocidades do ar no túnel de vento entre 10 e 60 m/s, onúmero de Reynolds estará entre 0, 5.106 e 3.106, correspondendo a valores semelhantes docaso real, o que permite que se faça os ensaios com esta escala.

2.6.7 Coeficientes de penetração aerodinâmica de alguns carros

Segundo os fabricantes e revistas especializadas os coeficientes de penetração aerodinâmicade alguns carros nacionais são dados na Tabela 2.4.

Dessas fontes, por ensaios em túnel de vento, a resistência aerodinâmica é aproximada-mente distribuída como segue:

• Forma - 55%;

• Faróis, emblemas, frisos, antenas, guarnições, espelhos, calhas e outros

acabamentos - 29%;

• Parte inferior do chassi (sulcos, volumes e outras obstruções que causem

turbulência - 8%;

• Tomada de ar para o motor e habitáculo - 8%.



Tabela 2.4: Coeficientes de penetração aerodinâmica para alguns veículos nacionais:Carro Cx

FIAT 147 (todos) 0.50Uno 0.35Corcel II 0.44Del Rey 0.44Escort (até 91) 0.386Pampa 0.44Monza Hatch (90) 0.34Monza 3 volumes (90) 0.40Fusca 0.48Gol (até 90) 0.42Gol GT 0.41Voyage 0, 43Parati 0.41Passat 0.46Santana (até 90) 0.39Quantum (até 91) 0.38Kadett 0.32Kadett GS 0.30Audi A3 0.31Golf 0.31

2.7 Forças de sustentação e centrípeta

2.7.1 Forças de sustentação

Todo corpo imerso em um fluído sofre a ação deste. Esta ação é a força resultante dadistribuição de pressões que o fluído exerce sobre o corpo, a qual pode ser decomposta emtrês componentes, uma na direção axial do veículo, outra na direção transversal e outra navertical. A força resultante da distribuição de pressões devido ao fluxo do fluido em tornodo corpo age no centro de pressão, CP , mostrado na Figura 2.20.A componente vertical, é a que propicia a força de sustentação, como por exemplo a

necessária para um avião voar. Da mecânica dos fluidos, tem-se que a força de sustentaçãoé dada por:

Fz = Cz q A (2.37)

onde:Fz - força de sustentação vertical;A- área da plataforma de um aerofólio;Cz - coeficiente de sustentação aerodinâmica;q - pressão dinâmica.A determinação da força de sustentação, do seu ponto de aplicação, bem como a sua

distruibuição nos eixos é feita experimentalmente em túneis de vento com modelos em escala



u I u II

CPha CG

h

a II a I

eh

ev

FZ

Qa

Figura 2.20: Posição do centro de pressão.

u I u II

CPha

CG h

a II a I

eh

ev

FZ

Qa

FZ

Qa ML

Figura 2.21: Cargas aerodinâmicas equivalentes agindo no CG.

real. Outra maneira possível é através de simulação numérica.Para o desenvolvimento que segue, é conveniente trabalhar apenas com o centro de gravi-

dade do veículo. Para isso, as forças que estão atuando no centro de pressão, CP , devem sersubstituídas por forças equivalentes agindo no centro de gravidade. Para isso, transfere-sea força de sustentação e a resistência aerodinâmica para o centro de gravidade juntamentecom com um momento associado a estas duas forças. Na Figura 2.21 está esquematizadoeste procedimento.O momento assocido a forçade sustentação e a resistência de inércia, ML,é calculado da forma que segue:

ML = Fz eh +Qaev . (2.38)

O sentido positivo deste momento é no horário, como indicado na Figura 2.21.

2.7.2 Força centrípeta

Quando um veículo percorre uma trajetória curva, com raio "ρ", com uma certa velocidade"v", ocorre a aceleração centrípeta "ac". Esta aceleração centrípeta é dada, a partir da



velocidade tangencial do corpo se deslocando na trajetória curva, por:

ac =v2

ρ(2.39)

A força centrípeta associada é dada por

Fc = mac (2.40)

ou, substituindo a expressão 2.39 na equação 2.40, por

Fc = mv2

ρ, (2.41)

onde:ρ - raio da curva;m - massa do veículo;v - velocidade tangencial do veículo à curva.O efeito preciso da força centrípeta, na carga sobre as rodas de um veículo emmovimento,

só pode ser levada em conta com a modelagem da transferência de carga entre os eixos emfunção das suspensões usadas nos eixos dianteiro e traseiro do veículo. Sendo assim, aconsideração precisa deste efeito sobre as cargas normais às rodas serão tratadas em umcurso de suspensões a ser visto em outra ocasião.


Capítulo 3

Transmissão de força pneu pista:Modelo quase estático

3.1 Introdução

Nesse capítulo é desenvolvida uma formulação simples, que permite que seja avaliadaa carga média sobre as rodas de um veículo se deslocando no plano. Essa modelagemquase estática, dependendo do interesse, pode ser empregada como um modelo estrutural decarregamentos ou então como um modelo de desempenho. O modelo é completado com aanálise do escorregamento e tombamento do veículo em curvas, juntamente com a definiçãodo polígono de estabilidade.

3.2 Posição do centro de gravidade

Para a determinação das cargas sobre as rodas com o veículo em movimento, de maneiraa verificar qual a capacidade de transmissão de força entre o pneu e a pista, é de importânciafundamental a posição do centro de gravidade, pois é nele que agem as forças do peso e deinércia.A determinação da posição longitudinal do CG, mostrado na Figura 3.1, pode ser feita

simplesmente pesando os dois eixos do veículo. Supondo que sejam R0I e R0II as reaçõessobre o eixo dianteiro e sobre o eixo traseiro, respectivamente, e G o peso total do veículo,tem-se, do equilíbrio de forças na direção vertical, que:

G = R0I +R0II . (3.1)

Definindo

x = R0II/G (3.2)

pode-se expressar as reações normais dos pneus ao solo como

R0I = (1− x)G, (3.3)

R0II = xG. (3.4)

67


Capítulo 3 - Transmissão de força pneu e pista: Modelo quase estático 68

CG

a I

h

a II

G

R0I R0II

Figura 3.1: Posição longitudinal do CG.

Para se obter a posição do CG, toma-se o equilíbrio de momentos em relação ao eixodianteiro do veículo esquematizado na Figura 3.1, o que resulta

GaI = R0II l. (3.5)

Logo:

aI =R0IIG

l (3.6)

ou ainda:

aI = x l (3.7)

De forma semelhante, para o eixo traseiro:

GaII = R0I l (3.8)

ou ainda

aII = (1− x)l (3.9)

onde:l - distância entre os eixos dianteiro e traseiro;aI - distância do CG ao eixo dianteiro;aII - distância do CG ao eixo traseiro.Para se obter a altura do centro de gravidade em relação ao solo, ou seja a sua posição

vertical, é necessário fazer uma pesagem do veículo em um plano com uma inclinação α emrelação ao plano horizontal, como é mostrado na Figura 3.2.Do equilíbrio de momentos em torno do centro da roda traseira se tem:

R0I (c+ d)−Gc = 0. (3.10)



Figura 3.2: Posição vertical do CG.

Do triângulo ABS, mostrado na Figura 3.2, tem-se a seguinte relação:

c+ d = l cos α. (3.11)

Assim a equação de equilíbrio de momentos, pode ser rescrita como:

R0I l cos α−Gc = 0 (3.12)

ou ainda

R0I l = G [aII − (h− r0) tan α] (3.13)

a qual rearranjada resulta em:

(h− r0) tan α = l

∙aIIl− R0I

G

¸. (3.14)

Usando a definição de x, pode-se escrever que:

aIIl= (1− x) (3.15)

e ainda definindo que:

1− x0 =R0IG. (3.16)

Assim, a posição vertical do CG é dada por



Figura 3.3: Carga nos eixos, de um veículo colocado em uma rampa.

(h− r0) = l cotα [x0 − x] , (3.17)

que pode ser rescrita como

(h− r0) =l

Gcotα [R0I −R0I ] . (3.18)

onde:R0I - é a reação do eixo dianteiro medida com o carro na horizontal;R0I - é a reação vertical do eixo dianteiro medida com o carro na rampa.É interessante salientar que esta expressão é válida somente para veículos de pneus de

mesmo tamanho, porém, para veículos com rodas de tamanhos diferentes, o problema podeser contornado se o centro destas não forem usados como referência para traçar a reta AS.

3.3 Carga nos eixos de um veículo parado em aclive

Para o veículo estacionado em um aclive as reações normal dos pneus sobre o solo variam,pois a força normal ao solo é na realidade uma componente de peso do veículo. A partir doesquema representado na Figura 3.3 (nesta figura a linha paralela a base da folha é a da pistainclinada), onde está representado um veículo estacionado sobre uma rampa com inclinaçãoα, e das condições de equilíbrio, no plano, desenvolve-se o modelo matemático que permitea avaliação da variação da força normal ao solo, em função do aclive, como segue.Do equilíbrio de momentos em torno do eixo traseiro e dianteiro se tem, respectivamente:

RI = G

∙(1− x) cosα− h

lsenα

¸(3.19)

RII = G

∙x cosα+

h

lsenα

¸. (3.20)

Lembrando das equações 3.3 e 3.4, estas equações podem ser reescritas como :

RI = R0I cosα−Gh

lsenα (3.21)



RII = R0IIcosα+Gh

lsenα. (3.22)

ou ainda porRI = R0I cosα−∆G (3.23)

RII = R0II cosα+∆G. (3.24)

onde:∆G - é denominada de transferência de carga entre eixo dianteiro e traseiro;R0I - é a reação normal do eixo dianteiro para o veículo parado no plano,R0II - é a reação normal do eixo traseiro para o veículo no plano,l - é a distância entre eixosh - é a altura do centro de gravidade em relação a pista eα - é a inclinação da pista em relação ao horizonte.Em outras palavras, este modelo pode ser traduzido como a transferência de carga entre

os eixos dianteiro e traseiro devida a componente do peso de veículo no sentido contrário àdireção do seu deslocamento deslocamento. Esta força, que é a resistência de aclive e estámostrada na Figura 3.3, causa um momento em relação ao solo dado por

Ghsenα,

que deve ser equilibrado pelo binário causado pela força "∆G"que age nas rodas dos eixosdianteiro e traseiro distantes entre si de l.Esta análise preliminar é importante porque mostra claramente que uma força horizontal

agindo no CG do veículo afeta a reação normal das rodas ao solo.

3.4 Carga nos eixos com o veículo em movimento

Com o movimento do veículo surgem outras forças, além do peso, que agem no pontode contato pneu-pista, no centro de gravidade e no centro de pressão, ocasionando umaalteração sensível na componente de força normal do solo, como mostra-se a seguir.Do equilíbrio de forças na direção do movimento de um veículo, como o mostrado na

Figura 3.4, tem-se:

Fm = QS +Qr +QI +Qa (3.25)

onde:Fm = FmI + FmII - força motriz;Qa - resistência aerodinâmica;Qr = QrI +QrII - resistência de rolamento;QI - resistência de inércia;QS - resistência ao aclive;FmI , FmII - força motriz nos eixos dianteiro e traseiro;QrI , QrII - resistência ao rolamento dos eixos dianteiro e traseiro.



Figura 3.4: Modelo diagramático de um veículo em movimento.

No caso da resistência de inércia, apenas a de translação é importante, já que as massasrotativas não alteram nem a distribuição de carga entre os eixos nem a máxima força possívelde ser transmitida pelo atrito dos pneus com o solo.As resistências ao movimento modificam as cargas nos eixos de um veículo como aquele

representado na Figura 3.4. Assim, para quantificar a variação da carga normal ao solo, daaplicação das condições de equilíbrio no plano se tem:

RI l = aII (Gcosα− Fz)− (Qa +QI +QS) h−ML (3.26)

RII l = aI (Gcosα− Fz) + (Qa +QI +Qs) h+ML (3.27)

onde ML é o momento causado pelas forças de sustentação e resistência aerodinâmica, dadopela equação 2.38 desenvolvida no item 2.7.1 repetida a seguir:

ML = Fz eh +Qaev . (3.28)

Desenvolvendo um pouco mais as equações 3.26 e 3.27, tem-se:

RI = (1− x) (Gcosα− Fz)− (Qa +QI +QS)h

l− ML

l(3.29)

RII = x (Gcosα− Fz) + (Qa +QI +Qs)h

l+

ML

l(3.30)

onde:x - Parcela de carga sobre o eixo traseiro (adimensional);G - Peso do veículo;α - Ângulo da inclinação da pista;Fz - Força de sustentação;Qa +QI +QS - Resistências ao movimento;h - Altura do centro de gravidade;l - Distância entre eixos;ML - Momento devido as forças aerodinâmicas.Analizando as equações 3.26 e 3.27, percebe-se que a força de sustentação aliviam as

cargas dos eixos dianteiro e traseiro, proporcionalmente a x, enquanto que o momento ML,



caso as duas parcelas da equação 3.28 sejam positivas, descarrega o eixo dianteiro e carregao eixo traseiro. Esta última afirmação também vale para as resistências ao movimento queagem no centro de gravidade do veículo mostrado na Figura 3.4.Considerando que as forças de sustentação Fz e o momento resultante ML sejam de-

sprezáveis, as últimas duas expressões podem ser rescritas como

RI = (1− x)Gcosα− (Qa +QI +QS)h

l(3.31)

RII = xGcosα+ (Qa +QI +Qs)h

l(3.32)

as quais representam a carga atuante sobre as rodas de um veículo em movimento.Por outro lado, da expressão (4.1) rearranjada se tem:

Qs +Qa +QI = Fm −Qr (3.33)

Com isto, as equações (4.4) e (4.5) simplificam-se para:

RI = (1− x) Gcosα− (Fm −Qr)h

l(3.34)

RII = xGcosα+ (Fm −Qr)h

l(3.35)

É importante salientar mais uma vez que, nas equações 4.7 e 4.8, o efeito de forçasaerodinâmicas verticais e momentos devido a aerodinâmica não foram consideradas.

3.5 Força motriz máxima

De um modo geral, a força motriz que age sobre o veículo é a soma das forças motrizesdos dois eixos.

Fm = FmI + FmII (3.36)

Porém como existem vários layouts possíveis de transmissão de potência ao solo, é de seesperar que cada tipo tenha um rendimento inerente da sua conceituação, como se mostrano que segue.

Veículo com tração dianteira

Fazendo FmII = 0 e grafando com μ o coeficiente de atrito entre o pneu e a pista, amáxima força tangencial possível de transmitir pelas rodas dianteiras será:

FmaxmI = μRI (3.37)

ou

FmaxmI = μ

∙(1− x)Gcosα−

¡FmaxmI − f G cosα

¢ hl

¸(3.38)



com os devidos rearranjos, pode-se escrever que:

FmaxmI = μGcosα

"(1− x) + f

¡hl

¢1 + μ

¡hl

¢ #(3.39)

sendo que na equação 4.7, a resistência de rolamento foi tomada como sendo:

QR = f G cosα (3.40)

Veículo com tração traseira

Neste caso, usando a expressão para RII , obtém-se

FmaxmII = μRII (3.41)

ou

FmaxmII = μ

∙xGcosα+

¡FmaxmII − f G cosα

¢ hl

¸(3.42)

ou ainda

FmaxmII = μGcosα

"x− f

¡hl

¢1− μ

¡hl

¢# . (3.43)

Veículo com tração integral

Neste caso a força que os pneus exercem sobre o solo é a parcela do peso do veículonormal ao solo, sendo assim a força motriz dada por:

Fmaxm = μGcosα. (3.44)

3.5.1 Aclives máximos

Para determinar os valores máximos de aclives, considera-se que a velocidade do veículoseja constante e baixa, logo a força de inércia é nula e, por ser a velocidade baixa, a re-sistência aerodinâmica é muito pequena. A força motriz deve vencer apenas as resistênciasde rolamento e aclive. Assim

Fm = Qr +Qs (3.45)

ou

Fm = G(senα+ f cos α). (3.46)

Dependendo do tipo de tração iguala-se esta força com a força máxima disponível, Fmaxm .

Tem-se então:




tan α|max = μ

"(1− x) + f

¡hl

¢1 + μ

¡hl

¢ #− f (3.47)


tan α|max = μ

"x− f

¡hl

¢1− μ

¡hl

¢#− f (3.48)


tan α|max = μ− f. (3.49)

3.5.2 Acelerações máximas

A experiência mostra que as acelerações máximas ocorrem somente com velocidadesbaixas e isto implica que:

Qa = 0 (3.50)

logo

Fm = QI +Qr +Qs (3.51)

ou

Fm = ma (1 + δ) + f G cosα+Gsenα. (3.52)

Esta força deve ser igualada com a força motriz máxima disponível, de forma a se obtera aceleração máxima que o veículo pode ter. Dependendo do tipo de tração tem-se:


amax =g

(1 + δ)

"μ (1− x)− f¡1 + μ

¡hl

¢¢ cosα− senα

#. (3.53)


amax =g

(1 + δ)

"μx− f¡1− μ

¡hl

¢¢cosα− senα

#. (3.54)


amax =g

(1 + δ)[(μ− f) cosα− senα] . (3.55)



3.6 Escorregamento e tombamento em curva

Um ente importante na definição da capacidade de um automóvel ficar sobre as suasquatro rodas é o de polígono de estabilidade e sendo assim se define:Polígono de estabilidade é a maior figura gerada pelos pontos de contato de um corpo

com o solo. Para exemplificar, no caso de uma veículo de quatro rodas, com bitola igual doseixos dianteiro e traseiro, é um retângulo, no caso de um veículo de duas rodas é uma reta.Com este conceito introduzido pode-se determinar de uma maneira simplificada a veloci-

dade máxima de que um veículo pode fazer uma curva sem que o mesmo tombe ou derrape,como segue. Para isso seja uma curva de raio ρ percorrida com uma certa velocidade v causauma força centrípeta Fc no veículo, dada pela equação 2.41 e repetida a seguir

Fc = mv2

ρ, (3.56)

onde:ρ - raio da curva;m - massa do veículo;v - velocidade do veículo.A intensidade desta força, dependendo da situação, pode provocar a derrapagem ou

capotagem do veículo, como mostra-se a seguir.A força centrípeta é equilibrada pela força de atrito e quando Fc ≥ μG ocorrerá o es-

corregamento. Considerando m = G/g, ou seja as forças de sustentação não são apreciáveis,tem-se que velocidade máxima de curva, em quilometros por hora [km/h], é dada por

v ≥ 3, 6√μρ g, (3.57)

onde:μ - coeficiente de atrito do par pneu pista;ρ - raio da curva;g - aceleração da gravidade no local.Quando a força centrípeta for menor do que a de atrito, ou seja Fc ≤ μG, o veículo poderá

tombar. Para que isso aconteça a direção da resultante, R, das forças Fc e G, mostradana Figura 3.5, tem que interseptar o plano do solo em um ponto que não é contido pelopolígono de estabilidade, desde que não haja escorregamento antes. Com isto a velocidade,para ocorrer o tombamento, é dada por

v ≥ 11, 3r

ρ t

2h, (3.58)

onde:G = m g - Peso do veículo,m - Massa do veículo;g - Aceleração da gravidade, foi considerada igual a 9, 81 m/s2;t - Bitola do veículo;ρ - Raio da curva;



Figura 3.5: Força centrífuga e peso agindo no CG.

Figura 3.6: Veículo trafegando em pista inclinada lateralmente.



h - Altura do centro de gravidade em relação ao solo.Para uma pista inclinada, como mostrado na Figura 3.6, a velocidade de tombamento

pode ser calculada de forma semelhante, como faz-se a seguir.Ocorrerá escorregamento quando:

Fc cos β ≥ Gsenβ + μ (Gcos β + Fc sen β) . (3.59)

Desenvolvendo e considerando o valor de Fc dado na expressão (2.41), chega-se ao valorda velocidade em [km/h], para o escorregamento, como segue.

v > 3, 6

sgρ

(μ+ tanβ)

(1− μ tanβ)(3.60)

Ocorrerá o tombamento se a direção de Re passar fora do ponto de contato. Para Re

passando no limite direito do quadrilátero de estabilidade tem-se:

tan (β + γ) =2h

t(3.61)

ou

tan γ =G

Fc= tan

∙arc tan

µ2h

t

¶− β

¸. (3.62)

Desenvolvendo e utilizando a definição de Fc, obtém-se

v ≥ 11, 3√ρ cot γ] (3.63)

ou

v ≥ 3, 6

vuutρ

"¡t2

¢+ h tan β

h−¡t2

¢tan β

#(3.64)

para a velocidade [km/h] de tombamento em curva. Nesta equação tem-se que:t - Bitola do veículo;ρ - Raio da curva;β - Inclinação da pista;h - Altura do centro de gravidade em relação ao solo.

Exemplo Analisar a capacidade de transferir carga ao solo dos veículos com as caracterís-ticas apresentadas na Tabela 3.1.

Cálculo das reações estáticas no eixo dianteiro e traseiro, equações 3.3 e 3.4 :

R0I = (1− x)G,= (1− 0, 5) 16.503 = 8.251, 5 N

R0II = xG = 0, 5 16.503 = 8.251, 5 N.



Tabela 3.1: Características do veículo.Grandeza Dimensão Definido Veículo1 Veículo2 Veículo3Tração − Traseira Dianteira Integral

Distribuição de carga x − Eq. 3.2 0, 50 0, 50 0, 50Bitola dianteira tI m Fig. 3.5 1, 4 1, 4 1, 4Bitola Traseira tII m Fig. 3.3 1, 5 1, 5 1, 5

Distância entre eixos l m Fig. 3.3 2, 48 2, 48 2, 48Altura do CG h m Fig. 3.3 0, 66 0, 66 0, 66Peso do veículo G N - 16.503 16.503 16.503

Raio dinâmico do pneu rd m Eq. 3.5 0, 32 0, 32 0, 32Escorregamento e − Eq. 3.5 0, 02 0, 02 0, 02

Coef. atrito de rolamento f − Tab.2.2 0, 015 0, 015 0, 015Coef. de atrito μ − - 0, 85 0, 85 0, 85

Cálculo da posição longitudinal do centro de gravidade

aI = x l = 0, 5 2, 48 = 1, 24 m (3.65)

aII = (1− x)l = (1− 0, 5) 2, 48 = 1, 24 m (3.66)

Ângulo de aclive máximo para o veículo estacionado, considerando freio de esta-cionamento traseiro.

Caso 1: Veículo apontado para baixo da rampa Da equação 3.19 é possível es-crever que:

G sen α = μReixo sup erior = μG


lsenα

¸(3.67)

ou seja, considera-se que a componente do peso que empurra o carro rampa abaixo de sersuportada pelo eixo traseiro do veículo estacionado com a fente apontada para baixo da rampa.Isolando o α da expressão acima se tem:

α = arc tan

"μ (1− x)

1 + μ¡hl

¢# (3.68)

a qual, nada mais é do que uma simplificação da equação 4.21, na qual substituindo os valoresdas grandezas envolvidas se tem:

αmax = arc tan

⎡⎣ 0, 85 (1− 0, 5)1 + 0, 85

³0,662,48

´⎤⎦ = 19, 11o ou amax = 34, 6% (3.69)

Com o valor do aclive máximo para o veículo estacionado, pode-se calcular a reação noseixos dianteiro e traseiro, a partir das equações 3.19 e 3.20, como segue:

RII = Reixo sup erior = G


lsenα

¸= 6358, 5 N (3.70)



RI = Reixo inf erior = G

∙x cosα+

h

lsenα

¸= 9234, 7 N. (3.71)

Caso 2: Veículo apontado para cima da rampa Da equação 3.20 é possível escr-ever que:

G sen α = μRII = μG

∙x cosα+

h

lsenα

¸(3.72)

ou seja, considera-se que o veículo está com a frente apontada para o topo da rampa. Isolandoa desta equação se obtem:

αmax = arc tan

"μx

1− μ¡hl

¢# (3.73)

que é uma versão simplificada da equação 4.23. Assim:

αmax = arc tan

⎡⎣ 0, 85 0, 5

1− 0, 85³0,662,48

´⎤⎦ = 28, 8o ou amax = 55, 2% (3.74)

Com o valor do aclive máximo para o veículo estacionado, pode-se calcular a reação noseixos dianteiro e traseiro, a partir das equações 3.19 e 3.20, como segue:

RI = Reixo sup erior = G


lsenα

¸= 5118, 1 N (3.75)

RII = Reixo inf erior = G

∙x cosα+

h

lsenα

¸= 9346, 7 N. (3.76)

Cálculo da força motriz máxima e reações normais ao solo nos eixos dianteiroe traseiro de um veículo se deslocando no plano

Veículo com tração dianteira Da equação 4.13 se tem:

FmaxmI = 5765, 6 N

A resistência ao rolamento, dada por

QR = f G cosα = 0, 015 16.503 cos 0 = 247, 55 N (3.77)

Com estes resultados, as reações normais ao solo nos eixos dianteiro e traseiro calculadas apartir das equações 4.7 e 4.8, repetidas a seguir, valem

RI = (1− x) Gcosα−¡FmaxmI −Qr

¢ hl= 6783 N (3.78)

RII = xGcosα+¡FmaxmI −Qr

¢ hl= 9720 N (3.79)

sendo que a transferência de carga para este caso vale:

∆G =¡FmaxmI −Qr

¢ hl= 1468, 5 N (3.80)



Veículo com tração traseira Da equação 3.43 se tem:

FmaxmII = 8991, 8 N

A resistência ao rolamento, é a mesma do caso que o veículo tem tração dianteira.Com estes resultados, as reações normais ao solo nos eixos dianteiro e traseiro também

calculadas a partir das equações 4.7 e 4.8, valem

RI = (1− x) Gcosα−¡FmaxmII −Qr

¢ hl= 5924, 4 N (3.81)

RII = xGcosα+¡FmaxmII −Qr

¢ hl= 10578, 6 N (3.82)

sendo que a transferência de carga, para este caso, vale:

∆G =¡FmaxmII −Qr

¢ hl= 2327, 1 N. (3.83)

Veículo com tração integral Da equação 3.44 se tem:

FmaxmI = 14027, 6 N

Com este resultado e a resistência de rolamento calculada anteriormente, as reações normaisao solo nos eixos dianteiro e traseiro valem

RI = (1− x) Gcosα−¡Fmaxm −Qr

¢ hl= 4584, 2 N (3.84)

RII = xGcosα+¡Fmaxm −Qr

¢ hl= 11918, 8 N (3.85)

sendo que a transferência de carga para este caso vale:

∆G =¡Fmaxm −Qr

¢ hl= 3667, 3 N. (3.86)

Aclives e acelerações máximas Depois de determinadas as forças motrizes máximasde cada configuração dos veículos, o ângulo de aclive máximo, bem como a aceleração máximapodem ser facilmente calculadas a partir das equações 4.21, 4.23, 4.25, 3.53, 3.54 e 3.55.


amax = 3, 28 m/s2ou 0, 33 g

onde g é a aceleração da gravidade.

αmax = 18, 5o ou 33, 4%


amax = 5, 20 m/s2ou 0, 53 g

αmax = 27, 9o ou 53, 0%



Figura 3.7: Cargas sobre uma roda do veículo


amax = 8, 20 m/s2ou 0, 86 g

αmax = 39, 86o ou 83, 5%

Algumas observações

Verifica—se, na análise anteriormente desenvolvida, que o desempenho dos três layouts de tração

são bastante distintos entre si. A vantagem do veículo com tração integral em relação ao veículo

com tração dianteira é de cerca de 59% , enquanto que em relação ao de tração traseira é cerca de

36%, isso considerando a configuração apresentada na tabela 3.1.

Um veículo com tração dianteira para ter o mesmo desempenho do que o de tração traseira,

precisa ter a posição do centro de gravidade em x = 0, 22, o que implica que cerca de 78% do

peso do veículo estará sobre o eixo dianteiro. Para que ele tenha o mesmo desempenho que o de

tração integral a posição do centro de gravidade é x = − 0, 22, o que é impossível, pois o centrode gravidade precisaria estar na frente do eixo dianteiro.

Um veículo com tração traseira para ter o mesmo desempenho que um com tração integral deve

ter a posição do centro de gravidade em x = 0, 78. Isto significa dizer que cerca de 78% do peso

de veículo deveria estar sobre o eixo traseiro.

A distribuição de carga tão distinta nos dois eixos de um automóvel, como a sugerida nos dois

parágrafos anteriores, é factível somente em termos da distribuição de cargas, porém é inviável

em termos de estabilidade direcional, já que os veículos ficariam excessivamente subesterçantes ou

sobreesterçantes, no caso de tração dianteira e traseira, respectivamente.

Forças que atuam sobre as rodas do veículo O veículo analisado quando se deslo-cando no plano e em linha reta tem suas rodas submetidas a um conjunto de cargas que ésintetizado na Tabela 3.2. As cargas que cada roda estão submetidas estão esquematizadasna Figura 3.7.



Tabela 3.2: Síntese do desempenho do veículo.Condição de deslocamento Variável Unid. Tipo de tração

do veículo - - Diant. Tras. Integ.aI m 1, 24 1, 24 1, 24

Plano aII m 1, 24 1, 24 1, 24R0I N 8.251, 5 8.251, 5 8.251, 5R0II N 8.251, 5 8.251, 5 8.251, 5

Estacionado Rampa a % 54, 9 54, 9 54, 9acima RI N 5118, 1 5118, 1 5118, 1

RII N 9346, 7 9346, 7 9346, 7Rampa a % 34, 6 34, 6 34, 6abaixo RI N 9234, 7 9234, 7 9234, 7

RII N 6358, 5 6358, 5 6358, 5FmaxmI N 5765, 6 8991, 8 14027, 6QR N 247, 55 247, 55 247, 55∆G N 1468, 5 2327, 1 3667, 3

Em velocidade RI N 6783 5924, 4 4584, 2RII N 9720 10578, 6 11918, 8amax m/s2 3, 28 5, 20 8, 20a % 33, 4 53, 0 83, 5


Capítulo 4

Mecânica da frenagem e freios

4.1 Introdução

A roda foi e continua sendo uma das descobertas mais fantásticas da história da hu-manidade. Ela possibilita mover cargas muito maiores do que seria possível sem a suautilização, devido ao fato do coeficiente de atrito de rolamento ser menor do que o atrito deescorregamento. Por isso, tem-se conseguido deslocar cada vez mais cargas de forma maisrápida e com menor gasto de energia.O efeito das grandes velocidades e a grande capacidade de transportar cargas nos veículos

atuais, tem levado os projetistas a se preocuparem cada vez mais com os procedimentos deparada ou frenagem, tanto em relação ao projeto quanto em relação à manutenção. Oproblema não se resume a parar ou diminuir a intensidade do movimento, o que se desejae muitas vezes se necessita é fazer um dispositivo parar o veículo na hora e/ou num lugarespecífico. É nesse momento que os freios devem entrar em ação e a importância da suaeficiência evidenciada.O sistema de freios deve ser capaz de parar um veículo na menor distância possível sob

as mais diversas condições de uso, tais como: veículo carregado ou descarregado, piso seco,úmido ou contaminado, velocidade baixa ou alta, em aclive ou declive, pista reta ou sinuosaetc.Os freios e o sistema de freios devem ser completamente confiáveis e não serem afetados

pela temperatura, poeira etc. A sua performance não pode se deteriorar com o desgaste.Adicionalmente, o sistema de freios deve exigir o mínimo de manutenção e regulagens, vistoque a maioria dos motoristas não tem percepção da perda de rendimento, já que raramenteusam o freio em situações limites e, também, são descuidados com a manuteção.O sistema de freio não é utilizado só nos veículos automotivos. Eles estão presentes nos

veículos ferroviários, aeroviários, veículos não autopropelidos tais como bicicletas, carroças,carros de boi e em equipamentos industriais como prensas, guindastes, pontes rolantes,transportadores industriais, nos elevadores industriais ou residenciais.Para veículos automotivos, existem conjuntos de normas técnicas e legislações específicas

para o projeto do sistema de frenagem, ensaios, qualificação e regulamentação dos sistemasde freios, as quais têm particularidades específicas em função do país ou região econômica.A legislação define terminologia, descreve conceitos básicos e os requisitos mínimos que cada

84


Capítulo 4 - Mecânica da frenagem e freios 85

um dos itens que compõem os sistemas ou circuitos de freio devem satisfazer.Para compreender o princípio de funcionamento de um sistema de freios é preciso levar

em consideração o conceito de frenagem, que por sua vez está associado ao conceito deatrito, que é o fenômeno provocado pelas forças de adesão existentes entre duas superfíciesem contato, com movimentos relativos. Esses conceitos foram aplicados empiricamente nasprimeiras concepções de equipamentos que se movem e param. Porém, o controle da ação dafrenagem através da aplicação da força, do tamanho das áreas de contato, das característicasdos materiais atritantes, da quantidade de energia que deve ser dissipada e agressão aomeio ambiente, hoje são tratados com um ferramental científico adequado à importânciaque esses elementos têm na segurança. Devido a complexidade dos diferentes dispositivosque compõem um sistema de freios e as exigências legais impostas por nomalizações, muitoinvestimento em pesquisa e desenvolvimento ainda deve ser feito nessa área de conhecimento.Para iniciar a abordagem sobre freios, vale transcrever uma frase de Campbell [7] que

evidencia a importância do par pneu pista nas operações de frenagem: "Não importa a forçaaplicada nas sapatas dos freios, não interessa quanto se pode manter os tambores de freiofrios, a limitação final da taxa de desaceleração é a aderência dos pneus sobre a superfícieda pista".

4.2 A importância dos freios para o setor automotivo

Como está subentendido no item anterior, a utilização do freio é tão antiga quantoa da roda. Segundo Dias [6], o uso da roda para transporte de cargas pesadas data deaproximadamente 4.000 AC. Concomitantemente ao emprego da roda, era preciso buscardispositivos que controlassem o movimento das cargas sobre as rodas e as fizessem parar nahora e no local desejado. Apareceram, então, os primeiros freios.Os freios desenvolvidos para equipamentos do começo da era industrial possuíam cintas

flexíveis de aço envolvendo um tambor, também de aço. As cintas eram fixadas por pinosem suas extremidades e o acionamento das mesmas era feito por alavancas. O sistema eraineficiente e o desgaste das partes atritantes muito acentuado. Ao revestir a cinta de aço commadeira ou couro, o freio ganhou um pouco mais de eficiência. Posteriormente, as cintas,já na forma de sapatas, passaram ao interior do tambor ganhando as formas dos freios atambor atuais. A potência de frenagem possível de ser dissipada aumentou bastante comessa solução.Em aplicações automotivas, tanto o freio de tambor quanto o de cinta eram usados

em apenas duas rodas do carro, tendo em conta as limitações dos sistemas de acionamentopuramente mecânicos dos freios dos veículos daquela época. Somente em 1923, [6], a indústriaautomotiva passou a utilizar freios nas 4 rodas. Devido à dificuldade de equalizar a freadanas quatro rodas dos veículos dotados com freios de acionamento mecânico, desenvolveram-se os sistemas de acionamento hidráulicos e pneumáticos, até hoje utilizados nos veículoscomerciais. Os freios mecânicos ainda são utilizados em algumas máquinas agrícolas e namaioria dos freios de estacionamento de veículos leves.Normalmente não se tem a noção exata ou mesmo parcial do esforço necessário para



frear um veículo, principalmente, quando este se encontra em alta velocidade e carregado.A frenagem tem relação direta com o peso do veículo. Se o freio foi dimensionado para umveículo de uma tonelada, ele tem capacidade de dissipar, em condições normais, a energia defrenagem gerada para essa condição de carregamento. Por exemplo, caso o peso do veículoseja duplicado, em uma sobrecarga, a energia gerada na frenagem também o será. Nessasituação, o freio não consegue dissipar o calor gerado em uma operação de frenagem, tendoefeitos na desaceleração prevista e, por conseguinte, fará o veículo parar numa distância maiordo que a inicialmente estabelecida. Também produzirá super aquecimento nos elementosatritantes e elevada solicitação no sistema como um todo.Quanto a velocidade, o problema é ainda mais crítico. Os efeitos da energia cinética se

manifestam de forma quadrática na quantidade de calor gerada no instante da frenagem. Emtermos práticos, ao se duplicar a velocidade, deve-se quadruplicar a potência de frenagempara o freio operar nas mesmas condições de projeto. Por exemplo: a energia térmica geradadurante a frenagem de um veículo a 100 km/h é em torno de quatro vezes maior do que paraa velocidade de 50 km/h.Outra variável importante para os freios é a desaceleração. O nível de desaceleração

depende do nível de conforto requerido na frenagem, da segurança de frenagem e dos dispos-itivos que executam a frenagem. A Norma Brasileira recomenda uma desaceleração médiade 5, 8 m/s2. Segundo a referência [6], a desaceleração média para freios perfeitamenteregulados, pneus novos e calibrados, no plano, estrada asfaltada com rugosidade normal eseca, carga bem distribuída, é de 6 m/s2 para freio a tambor e 7 m/s2 para freio a disco.A desaceleração é um fator de projeto e deve estar apropriada para as características doveículo.A distância de frenagem ou distância de parada é o outro parâmetro fundamental para a

definição do desempenho de um freio automotivo. Ela depende da desaceleração e de todasas variáveis que estão relacionadas a esta. A inércia do sistema, a velocidade e os coeficientesde atrito envolvidos na ação de frenagem são as variáveis que mais influenciam a distânciade parada enquanto que a desaceleração e a distância de frenagem são as variáveis maisimportantes para caracterização da eficiência do freio. Os testes de avaliação dos sistemasde freio são normalizados, e os requisitos normativos baseiam-se nas duas ou em uma dessasúltimas grandezas.As normas que regulam os sistemas de freio para veículos rodoviários, fixam as condições

gerais para execução dos ensaios. Também impõem que o desempenho de um sistema defreio seja determinado em função da distância de parada em relação à velocidade inicial, ouainda, pelo tempo de reação do sistema e da desaceleração média, em operação normal.

4.3 Sistema de freio: definições básicas e princípio defuncionamento

O sistema de freio, ou simplesmente o freio, é um dispositivo utilizado para moderar oufazer cessar o movimento de mecanismos ou veículos. O freio, segundo o dicionário Aurélio,é também chamado de travão ou breque. A Norma Brasileira, define o sistema de freio como



a combinação de peças cuja função é reduzir progressivamente a velocidade de um veículoem movimento, ou fazê-lo parar, ou conservá-lo imóvel se já estiver parado.O sistema de freio constitui-se em uma das partes mais importantes e vitais da segurança

dos veículos automotores. Enquanto um veículo leva muitos segundos para atingir umavelocidade razoável, o sistema de freios tem que, em tempo e distância muito menores, reduziressa velocidade a zero, ou diminuí-la à velocidade desejada. Se os mecanismos encarregadosde tracionar o veículo não forem eficientes, as conseqüências estarão relacionadas com odesempenho do veículo. Já na frenagem, se isso ocorrer, na melhor das hipóteses haverá oaumento da distância de parada, ou falta de dirigibilidade do veículo, com conseqüênciasimprevisíveis.Na medida em que diferentes meios de transporte foram surgindo, o freio foi se diversifi-

cando, exigindo o constante aperfeiçoamento dos mecanismos de controle do movimento e daparada. Assim, passou-se a desenvolver freios específicos para serem aplicados a cada casoparticular. Nos veículos automotores, a frenagem é feita basicamente por dois princípios:

• Multiplicação mecânica, por isso denominado de freio mecânico;

• Multiplicação por pressão.

No primeiro princípio, o mecânico, onde alavancas são usadas como multiplicadores deforças, tem sua aplicação restrita ao freio de estacionamento, ou freio de mão, nos automóveise veículos médios. Para o freio de estacionamento de veículos maiores, essa multiplicação deforça se dá através de molas helicoidais montadas nos pistões pneumáticos de acionamentodas sapatas.O segundo princípio, usado em freios de serviço, é baseado narelaõa área/pressão. Quando

se utiliza líquido, este segundo princípio, é chamado de freio hidráulico, quando utiliza ar échamado de freio pneumático e quando os dois fluidos são usados combinados é chamado defreio hidropneumático. Para veículos menores, automóveis e caminhonetes, onde as pressõesde serviço são baixas, os freios são normalmente acionados hidraulicamente. Em veículosmédios também podem ser utilizados freios hidropneumáticos. Nos veículos de transportede carga e coletivos são montados freios pneumáticos.Os freios ainda são caracterizados segundo a sua função no veículo, sendo a nomenclatura

usual a que segue:

• Freio de serviço - Segundo a ABNT deve possibilitar a diminuição progressiva davelocidade do veículo e fazê-lo parar de forma segura, rápida e eficaz, qualquer que sejaa velocidade e carga, em pista ascendente ou descendente. Para frenagem, a normarecomenda que a distância de parada deve ser calculada levando em consideração umadesaceleração média de 5, 8 m/s2. Essa distância sofre pequenas variações em funçãodo tempo de reação do sistema.

• Freio de emergência - Deve possibilitar a parada do veículo em uma distância razoável,no caso de falha do freio de serviço. Dever ser possível graduar esta ação de frenagem.Segundo as normas ABNT, para o veículos que usam freio pneumático a desaceleraçãomédia recomendada é de 2, 2 m/s2.



• Freio retardador (retarder) - É um sistema cuja função é estabilizar a velocidade emdescidas longas sem utilizar os sistemas de freio de serviço, de emergência ou de esta-cionamento, nem o efeito frenante do motor. Poder ser um dissipador hidráulico ouelétrico, sendo a energia absorvida dissipada na forma de calor.

• Freio motor - O freio motor tem a mesma função de retardador. A forma de dissipaçãode energia também é por geração de calor.

• Freio de estacionamento - Deve manter o veículo parado em uma pista ascendenteou descendente. Segundo a ABNT, os elementos que mantêm essa ação de frenagemdevem ser puramente mecânicos.

4.4 Manutenção

Em primeiro lugar, é preciso frisar que as intervenções de manutenção nos sistemas dedevem ser feitas mediante garantia da qualidade das peças de reposição e por mão de obraqualificada, a fim de manter o sistema reparado tão bom quanto um novo ("good-as-new").Billinton [8] e Lewis [9] afirmam que, na manutenção, os fatores humanos desempenhampapel fundamental para garantir os níveis de confiabilidade dos produtos reparáveis. Épreciso em qualquer situação, principalmente com os freios que estão diretamente associa-dos com a segurança veicular, construir critérios que auxiliem na escolha de metodologiasde manutenção utilizando, preferencialmente, a confiabilidade como um eixo de referência.A associação do conceito de confiabilidade ao de manutenção requer a implementação deprocedimentos normalizados para a aquisição e registro de dados em arquivos que possamorientar a atividade de manutenção.Para falar sobre manutenção em freios hidráulicos e pneumáticos é preciso primeiramente

definir os conceitos básicos de manutenção. Sabe-se que manutenção é a combinação detodas as ações técnicas e administrativas, incluindo as de supervisão, destinadas a manterou recolocar um item num estado no qual possa desempenhar uma função requerida. Emtermos gerais tem-se três tipos de manutenção: corretiva, preventiva e preditiva.

4.4.1 Manutenção corretiva

Manutenção corretiva, como o nome indica, tem a função de corrigir os defeitos ou falhasque já ocorreram. É a ação de manutenção que se faz após a ocorrência da falha. Em sistemasde freio esse tipo de manutenção não é recomendável dado que a falha, normalmente, vaiaparecer no momento em que se precisa do freio. A possibilidade de acidentes, nesse condição,é grande.Tanto os freios hidráulicos como os pneumáticos são constituídos de muitas peças. Em-

bora a grande maioria delas falhem de forma paramétrica (acontecem com o tempo de uso),emmuito dos casos essa falha não é percebido pelo condutor do veículo. Assim a possibilidadeda falha se apresentar, depois de algum tempo, de forma catastrófica é possível.Além disso, as redundâncias que existem no sistema de freio, tanto hidráulico como

pneumático, são tão somente para não deixar o veículo totalmente sem freio. Ou seja, se



algum dos circuitos falham, os que permanecem em condições de operação não conseguemparar o veículo na distância de parada que ocorreria se todos estivessem funcionando. Assim,a probabilidade de ocorrer acidente também é grande.

4.4.2 Manutenção preventiva

A manutenção preventiva está associada a ação de manutenção antes da ocorrência dafalha. Em termos gerais, cada componente do sistema de freio, tem um determinado tempode vida, estabelecido pelo fabricante, e antes que esse tempo seja atingido se deve fazer asua substituição por um novo. Contudo, várias ações podem e devem ser feitas quando seopta por trabalhar com esse tipo de manutenção.Um programa para regulagens periódicas, limpeza e lubrificação dos freios deve ser esta-

belecido pelo operador (condutor do veículo) com base na experiência passada e severidadedo uso do veículo.Por exemplo, o cilindro mestre, tubo, mangueiras, cilindros de rodas e pinças de freio

constituem um sistema selado, nos quais normalmente não entram impurezas. No entanto,após um tempo prolongado de uso, partículas finíssimas, decorrentes do desgaste normal,se misturam ao fluído de freio e podem obstruir os furos de alimentação e de compensação,prejudicando o bom funcionamento do sistema.Com o tempo o fluido de freio absorve umidade do ar que, além de auxiliar na corrosão

interna da tubulação pode formar vapor, com o aumento da temperatura, ocasionando aperda de eficiência do freio. Portanto, por segurança, recomenda-se trocar o fluido de freiouma vez ao ano ou a cada 20.000 km, ou então fazer um programa de revisões periódicasO reservatório de fluido de freio, que se situa sobre o cilindro mestre, é sempre bem

visível, estando na posição mais alta e acessível no compartimento do motor. A verificaçãodo nível de fluido é também uma ação de prevenção. A necessidade de completar o nível doreservatório com fluido de freio, indica que existe algum vazamento, sugerindo portanto umarevisão geral no sistema.Quando para a ação de frenagem é requerido o acionamento do pedal de freio mais de

uma vez, há indicação de fuga de fluido, ou problemas com os retentores nos cilindros derodas ou no cilindro mestre. Em caso de existência de ar na canalização hidraúlica do freio,deve-se fazer uma sangria no sistema, ou seja, retirar do ar deste sistema. Esses testes devemser feitos com o carro parado e o motor ligado se possuir servo freio assistido com vácuo.Nos veículos com freio assistido a vácuo e o motor desligado, depois de acionado duas ou trêsvezes em sequência, o pedal fica mais duro, dado que a câmara de vácuo tem a sua depressãodiminuida em cada acionamento.Sobre as pastilhas, lonas, discos e tambores de freio, a manutenção preventiva se restringe

a acompanhar a vida desses componentes, efetuando o controle de desgaste, medindo aespessura dos mesmos. Esses componentes possuem recomendações bem precisas, quanto aespessura mínima de funcionamento, definidas pelo fabricante. O tempo de vida de cada umdesses elementos depende do uso do veículo.



4.4.3 Manutenção preditiva

A manutenção preditiva está associada a predição da falha. Assim sendo, ela exigedispositivos que monitorem o item, indicando por intermédio desse sensor a condição limitede vida. No sistema de freio hidráulico tem-se, por exemplo, o sensor de nível do fluido defreio. Quando o nível de fluido está abaixo do mínimo indicado pela condição de projeto,o sensor ascende a luz de freio, instalada no painel do veículo. Isso é uma indicação demanutenção preditiva, dado que no instante de sinalização do sensor, tem-se ainda fluidopara atuar sobre o freio e executar a parada do veículoA correção da falha é feita na medida que se recupere o nível do fluido. Evidentemente,

se isso ocorre, deve-se fazer uma verificação geral do circuito, pois algum dos problemasanteriormente apresentados, podem estar ocorrendo.Alguns carros vem dotados de pastilhas de freio, equipadas com sensor de espessura (ou

de desgaste), e indicam o momento da troca.Observa-se, contudo, que o sensor pode falhar. Então é importante manter uma progra-

mação de manutenções preventivas, para detectar eventuais problemas e assim se anteciparas falhas.

4.5 Carga nos eixos com o veículo em frenagem

Como visto no Curso de Análise Dinâmica, as resistências ao movimento alteram asreações dos pneus em relação ao solo quando o veículo se desloca. Como o veículo durante afrenagem está em movimento, esse efeito também se manifesta. A modelagem que é desen-volvida a seguir é bastante semelhante àquela desenvolvida no curso citado. As diferenças,estão por conta de se ter força de frenagem em vez de força motriz e do sentido da força deinércia mudar, em função da aceleração também ter mudado de sentido.Seja o veículo mostrado na Figura 4.1. Do equilíbrio de forças na direção do movimento

se tem:

Ff = FI − (QS +Qr +Qa) (4.1)

onde:Ff = FfI + FfII - força de frenagem;FfI , FfII - força de frenagem nos eixos dianteiro e traseiro;Qa - resistência aerodinâmica;Qr = QrI +QrII - resistência de rolamento;QrI , QrII - resistência ao rolamento dos eixos dianteiro e traseiro;FI - força de inércia;QS - resistência ao aclive.

As resistências ao movimento modificam as cargas nos eixos de um veículo como aquelerepresentado na Figura 4.1. Assim, para quantificar a variação da carga normal ao soloaplicam-se as outras duas equações adicionais de equilíbrio no plano, o que resulta em:



CG

RI RII

G cos α

Q aQs +FI

Ff I Ff IIQrIIQrI

h

a a II I

Figura 4.1: Modelo diagramático de um veículo em frenagem.

RI l = aII (Gcosα− Fz)− (Qa +QS − FI) h−ML (4.2)

RII l = aI (Gcosα− Fz) + (Qa +Qs − FI) h+ML (4.3)

onde:Fz - é a força de sustentação (age no centro de pressão);ML - é o momento devido a resistência aerodinâmica e a força de sustentação.

Admitindo que a força de sustentação bem como os momentos devido a resistência aero-dinâmica e a força de sustentação sejam desprezáveis, as últimas duas expressões podem serreescritas como:

RI l = aII Gcosα− (Qa +QS − FI) h, (4.4)

RII l = aI Gcosα+ (Qa +Qs − FI) h. (4.5)

Por outro lado, da expressão (4.1) rearranjada, tem-se:

Qs +Qa − FI = − (Ff +Qr) (4.6)

Com isto, as equações (4.4) e (4.5) se simplificam para:

RI = (1− x) Gcosα+ (Ff +Qr)h

l(4.7)

RII = xGcosα− (Ff +Qr)h

l(4.8)

É importante salientar mais uma vez que, nesta modelagem, o efeito da força de susten-tação, bem como o seu momento e o da resistência aerodinâmica não foram consideradas,porém estes efeitos podem ser facilmente adicionados nas duas expressões anteriores.Nas equações (4.7) e (4.8), o último termo do lado direito de ambas, é denominado de

transferência de carga entre os eixos dianteiro e traseiro. Assim a transferência de cargaentre eixos para um veículo em operação de frenagem é dada por:

∆G = (Ff +Qr)h

l. (4.9)



Numa análise preliminar considera-se três casos distintos, que são:

• freio na dianteira, apenas;

• freio na traseira, apenas;

• freio nas quatro rodas.

4.5.1 Freios na dianteira

Na situação em que os freios só atuam sobre as rodas do eixo dianteiro, a força defrenagem é o produto da força normal ao solo com o coeficiente de atrito entre pneu e pista,ou seja

FfI = μRI , (4.10)

ou

FfI = μ

∙(1− x) Gcosα+ (FfI +Qr)

h

l

¸. (4.11)

Lembrando que a resistência de rolamento é

Qr = f G cosα (4.12)

a força de frenagem para um veículo com freios somente no eixo dianteiro é dada por:

FfI = μG

"(1− x) + f

¡hl

¢1− μ

¡hl

¢ #cosα. (4.13)

4.5.2 Freios na traseira

Na situação em que os freios só atuam sobre as rodas do eixo traseiro, a força de frenagemé dada por

FfII = μRII , (4.14)

Assim, a equação (4.8) pode ser reescrita como:

FfII = μ

∙xGcosα− (FfII + f G cosα)

h

l

¸(4.15)

Isolando a força de frenagem FfII desta última equação, tem-se:

FfII = μG

"x− f

¡hl

¢1 + μ

¡hl

¢# cosα. (4.16)



4.5.3 Freios nas quatro rodas

No caso de freios nas quatro rodas a força de frenagem é:

Ff = μ (RI +RII) (4.17)

ouFf = μGcosα. (4.18)

Com o valor da força de frenagem determinado para cada um dos casos analisados, opasso seguinte é o cálculo das reações RI e RII . Para isto, basta substituir o valor da forçafrenagem determinados nas expressões (4.13), (4.16) e (4.18) nas equações (4.7) e (4.8).

4.6 Desaceleração

Tendo sido determinadas as forças de frenagem para os três casos de ação do freio, épossível determinar as desacelerações para cada um dos casos. Para iniciar a abordagem,parte-se da equação (4.6) reescrita como segue

Ff = FI −Qs −Qr −Qa. (4.19)

ou

Ff = G

µa

g(1 + δ)− sen α− fcosα

¶− CxA q (4.20)

onde:g - Aceleração da gravidade;G - Peso do veículo;δ - Inércia de translação equivalente à rotativa;G senα - Resistência de aclive;α - Ângulo do aclive;G f cosα - Resistência de rolamento;f - Coeficiente de atrito de rolamentoResistência de rolamento;Cx A q - Resistência aerodinâmicaCx - Coeficiente de resistência aerodinâmica;A - Área frontal projetada;q - pressão dinâmica.

4.6.1 Caso 1 - Freio na dianteira apenas

Neste caso considera-se que a força de frenagem das rodas dianteiras, dada pela equação(4.13), tem que ser igual a força de frenagem dada pela equação (4.20). Assim, com asdevidas manipulações, tem-se:

a =g

(1 + δ)

("μ(1− x) + f

¡hl

¢1− μ

¡hl

¢ cos α+ sen α+ fcosα

#+ Cxq

A

G

). (4.21)



ou

a =g

(1 + δ)

½l

µμ (1− x) + f

l − μh

¶cosα+ sen α + Cxq

A

G

¾. (4.22)

4.6.2 Caso 2 - Freio na traseira apenas

Neste caso considera-se que a força de frenagem das rodas traseiras, dada pela equação(4.16), tem que ser igual a força de frenagem dada pela equação (4.20). Assim:

a =g

(1 + δ)

("μx− f

¡hl

¢1 + μ

¡hl

¢ cosα+ sen α+ fcosα

#+ Cxq

A

G

). (4.23)

ou

a =g

(1 + δ)

½∙l

µμx+ f

l + μh

¶cosα+ sen α

¸+ Cxq

A

G

¾. (4.24)

4.6.3 Caso 3 - Freio nas quatro rodas

Neste caso considera-se que a força de frenagem das quatro rodas, dada pela equação(4.18), tem que ser igual a força de frenagem dada pela equação (4.20). Assim:

a =g

(1 + δ)

½[(μ+ f) cosα+ sen α] + Cxq

A

G

¾. (4.25)

Vale salientar que as duas primeiras equações, (4.21) e (4.23), são importantes para ocaso de análise de casos limites, onde pode ser analisado o desempenho dos freios no casoda falha do sistema em um dos eixos. Observa-se ainda que a massa do veículo só não afetaa aceleração de frenagem se a inércia de translação equivalente a rotativa δ for pequena eo veículo se deslocar em baixa velocidade (a resistência aerodinâmica é desprezável nestasituação). Em operações de frenagem é normal que o condutor acione a embreagem doveículo, o que reduz a inércia rotativa do veículo e aumentam a aceleração de frenagem,porém as rodas e parte do sistema de transmissão ainda são desacelerados conjuntamentecom a inércia de translação.

4.6.4 Parâmetros de frenagem

É de conhecimento geral que o layout que apresenta melhor desempenho é o de freio nasquatro rodas. Sendo assim, a modelagem que será desenvolvida a seguir é baseada nestetipo de layout. O ponto de partida para este equacionamento é força de frenagem, dada pelaequação 4.18 e repetida a seguir:

Ff = μGcosα. (4.26)

Com esta força de frenagem, as reações normais do eixo dianteiro e traseiro, equações 4.7e 4.8 respectivamente, podem ser reescritas como:

RI = (1− x) Gcosα+ (μGcosα+Qr)h

l(4.27)



RII = xGcosα− (μGcosα+Qr)h

l(4.28)

ou

RI = Gcosα

∙(1− x) + (μ + f )

h

l

¸(4.29)

RII = Gcosα

∙x − (μ + f )

h

l

¸(4.30)

É conveniente lembrar que estas equações valem para um veículo subindo uma rampa.As mesmas expressões são válidas para o caso de um declive, para o qual o ângulo α entracom o sinal negativo.A condição de máxima performace de frenagem ocorre quando a distribuição da força

de frenagem nos eixos for proporcional às reações dinâmicas RI e RII , dadas pelas equações4.29 e 4.30. Sendo assim, define-se o índice de frenagem (braking ratio), ξ, como segue:

ξ =FfI

FfII=

μRI

μRII=

RI

RII=

£(1− x) + (μ + f) h

l

¤£x − (μ + f) h

l

¤ (4.31)

Para o veículo se deslocando no plano, desconsiderando os efeitos da resistência aero-dinâmica e de resistência de inércia rotativa, a equação 4.25 pode ser reescrita como

a =g

(1 + δ)(μ+ f) g (μ+ f) . (4.32)

Com isto, a equação 4.31 pode ser reescrita como:

ξ ∼=£(1− x) g + ah

l

¤£x g − ah

l

¤ . (4.33)

As duas formas de escrever mostram a dependência do índice de frenagem, equações 4.31e 4.33, com a desaceleração ”a”, ou do coeficiente de atrito ”μ” do par pneu/pista. Duranteo acionamento dos freios essas duas grandezas variam e, consequentemente, o valor de ξ

também. O índice de frenagem define a força tangencial que deve ser aplicada pela sapataou pelas pastilhas sobre o tambor ou disco dos freios, nas rodas de cada um dos eixos doveículo. Isso implica que as razões entre a área do cilindro mestre e as áreas dos cilindrosde roda dos freios dianteiros e traseiros também está definida pelo índice de frenagem, oque impossibilita que a frenagem ótima seja atingida para quaisquer coeficientes de atrito oudesacelerações. Com o objetivo de alterar o índice de frenagem para quaisquer acelerações emaximizar o desempenho, o controle da pressão no sistema hidráulico através das válvulaslimitadoras de pressão é a solução mais eficiente. Essas válvulas limitadoras de pressão,que não têm qualquer correlação com os sistemas de freio anti-bloqueio (ABS), têm o seufuncionamento baseado em princípio hidraúlico, inercial ou eletrônico.Segundo Taborek, [3], desacelerações em torno de 0, 35g são desconfortáveis para os pas-

sageiros, enquanto que desacelerações maiores, tal como 0, 46g, ocorrem apenas em freiadasde emergência. Segundo Newcomb, [12], a recomendação para acelerações de frenagem supor-tadas com conforto para os ocupantes, gira em torno de 0, 2 g, enquanto que para frenagensde emergência, em torno de 0, 5 g. Essas diferenças indicam que a solução do problema



não está bem definida e que cada fabricante deve calibrar os freios de seus veículos para omáximo desempenho de frenagem possível, bem como máximo conforto e estabilidade.Conclusões importantes podem ser obtidas a partir da análise do índice de frenagem.

Supondo que a distribuição de força de frenagem tenha sido determinada para um coeficientede atrito, μo, as quatro rodas irão travar simultaneamente em uma frenagem de emergência.Caso o veículo com esta distribuição de carga de frenagem estiver freiando onde o coeficientede atrito é menor do que μo, a frenagem será deficiente, pois as rodas dianteiras irão travarantes das traseiras. Caso a pista tenha um coeficiente de atrito maior, as rodas traseirastravarão antes das dianteiras e a frenagem também será deficiente.Quanto ao travamento das rodas dos dois eixos ocorrerem em instantes diferentes, valem

alguns comentários adicionais. Quando o eixo dianteiro trava antes do traseiro, a frenagem éclassificada como estável, já que sendo a força de frenagem no eixo traseiro maior do que nodianteiro não há a tendência do centro de gravidade passar para a frente do eixo dianteiro.Caso haja primeiro o travamente do eixo traseiro, devido ao desequilíbrio das forças defrenagem que pode ocorrer entre as duas rodas dianteiras, há a geração de um momento emtorno do eixo vertical do veículo. Este momento faz com que o carro gire de tal forma queo centro de gravidade do veículo passe para a frente do eixo dianteiro, o que caracteriza umrodopio do veículo. Este tipo de frenagem é classificado como instável.Alguns fabricantes de veículos, segundo Newcomb, [12], adotam o comportamento ins-

tável de frenagem, na calibração dos freios de seus veículos, porque permite que o condutormantenha o controle do veículo nesta operação. A contrapartida desta filosofia é que ocondutor tem que ser bastante hábil, já que a aceleração angular vertical é bastante elevadae causa o rodopio do veículo em poucos décimos de segundo. Outros fabricantes preferem ocomportamento estável de frenagem, o que permite a condução do veículo por mãos não tãohábeis. A contrapartida desta escolha é que manobras de evasão não podem ser efetuadas,isso porque o travamento das rodas dianteiras impede que seja feita qualquer mudança nadireção da trajetória retilínea seguida pelo veículo.

4.7 Desempenho de frenagem

Analisando as equações (4.21), (4.23) e (4.25) se verifica que as mesmas são função dapressão dinâmica. A pressão dinâmica, função quadrática da velocidade, é dada por:

q =1

2ρv2 (4.34)

onde:ρ- é a densidade por ar;v- é a velocidade relativa entre ar e veículo.

Sendo assim, a desaceleração que o veículo experimenta em frenagens é função da veloci-dade. Em velocidades baixas, (menores do que 60 km/h), o efeito da resistência aerodinâmicapode ser negligenciado na capacidade de frenagem, porém a mesma simplificação não deveser feita em alta velocidade. Também não pode ser esquecido que as inércias rotativas,durante a frenagem, são desaceleradas a partir das forças de atrito do pneu com o solo



e, consequentemente, afetam a distância e o tempo necessário para variar a velocidade doveículo em uma frenagem. Sendo assim, no desenvolvimento que é feito a seguir, os efeitosda resistência aerodinâmica e das inércias rotativas serão levadas em conta na formulação.De maneira geral, as expressões (4.21), (4.23) e (4.25) podem ser escritas em termos da

velocidade como:a = Θ+ Ξv2 (4.35)

onde, para o caso de freio nas quatro rodas, v é a velocidade de translação do veículo, Θ eΞ são dados por:

Θ =g

(1 + δ)[(μ+ f) cosα+ sen α] ; (4.36)

Ξ =1

2m (1 + δ)CxAρ. (4.37)

Lembrando da definição de aceleração

a =dv

dt, (4.38)

e considerando que o coeficiente de penetração aerodinâmico, Cx, seja constante com avelocidade, pode-se calcular o tempo de frenagem a partir da seguinte equação

t =

v2Zv1

1

Θ+ Ξv2dv (4.39)

que integrada resulta em:

t =1√ΞΘ

"tan−1

Ãv1

rΞ

Θ

!− tan−1

Ãv2

rΞ

Θ

!#. (4.40)

Caso a freiada imobilize o veículo, a última expressão se reduz a:

t =1√ΞΘ

tan−1

Ãv1

rΞ

Θ

!(4.41)

A acelereração também pode ser expressa a partir da distância percorrida ”s” com oauxílio da seguinte relação

a =dv

ds

ds

dt=

dv

dsv (4.42)

pois

v =ds

dt. (4.43)

Assim a expressão dada pordv

dsv = Θ+ Ξv2 (4.44)

pode ser reescrita como

ds =vdv

Θ+ Ξv2(4.45)



a qual, após a integração, resulta em

s =1

2Ξln[

Θ+ Ξv21Θ+ Ξv22

] (4.46)

Caso o veículo esteja parado no final da freiada, a última expressão é reescrita como:

s =1

2Ξln[1 +

Ξ

Θv21] (4.47)

Nos equacionamentos acima desenvolvidos, não foram considerados os tempos necessáriospara o condutor perceber a situação de emergência bem como o seu tempo de reação. Ébastante razoável crer que o tempo gasto nestas duas etapas que precedem a frenagem sãofatores importantes, talvez os mais importantes, no tempo e na distância necessários para oveículo parar.

4.8 Balanço de energia

Nos desenvolvimentos feitos anteriormente, observa-se que a capacidade de frenagem temuma limitação básica que é o coeficiente de atrito do par pneu/pista. Com a consideraçãoque o coeficiente de atrito é adequado, a preocupação com a limitação da capacidade defrenagem se volta para a capacidade do sistema absorver ou dissipar o calor gerado numsistema de freios durante a desaceleração, fatores estes não considerados nos equacionamentosanteriores.O princípio de funcionamento de um freio consiste em transformar a energia cinética

em energia térmica ou calor num processo irreversível, na maioria absoluta dos veículosatuais. O desejável é que grande parte deste calor seja gerado no sistema de freio e não nocontato pneu-solo, o que caracterizaria escorregamento do pneu sobre o solo e uma reduçãoapreciável do coeficiente de atrito entre o pneu e a pista. No sistema de freios o calor égerado na interface de contato das guarnições com o tambor ou disco e dissipado para omeio ambiente através dos seguintes mecanismos de transferência de calor:

• Condução: se manifesta na dissipação do calor através das partes metálicas, na regiãode contato da guarnição para o restante do disco (ou tambor) e deste para o cubo esemi eixo;

• Convecção: se manifesta na transmissão de calor diretamente da superfície do discoou tambor (faces interna e externo no caso de um disco ventilado) para o ar ambiente.O mesmo efeito ocorre das superfícies do cubo e do semi eixo, pois esses elementos secomportam como superfícies estendidas do disco ou tambor;

• Radiação: se manifesta na transmissão de calor por radiação térmica das superfíciesaquecidas para a vizinhança, a qual inclui a pista de rodagem, o ar e demais partes doveículo.



O calor gerado no atrito, em função da eficiência dos mecanismos de dissipação de calorlistados, faz com que a temperatura do sistema atinja valores que afetam a eficiência dafrenagem.Caso a temperatura de operação seja baixa demais o freio opera frio e a eficiência não é

boa porque o coeficiente de atrito entre as partes atritantes ainda é baixo. Com o aumentoda temperatura o coeficiente de atrito entre estas partes aumenta e a eficiência do freiotambém. Caso a temperatura do sistema ultrapasse um valor limite, o coeficiente de atritobem como a resistência a abrasão da guarnição decrescem rapidamente ocasionando a perdade eficiência e redução da vida dos freios. Sendo assim, no projeto do sistema de freios deveser prevista a temperatura que o sistema deve operar para que a vida e a capacidade defrenagem fiquem em valores aceitáveis, mesmo para as mais severas condições de uso.A forma de armazenagem ou a dissipação do calor gerado é função de como os freios são

usados, como por exemplo, em longas descidas ou em situações de emergência. A modelagemde como o calor gerado é dissipado ou armazenado é feita através do um balanço de energiaapresentado a seguir.

4.8.1 Freiadas moderadas de longa duração

Este tipo de freiada é bastante comum de ocorrer para veículos descendo grandes ladeirascom velocidade constante. Nesta situação a temperatura de operação do sistema atinge umregime estacionário, ou seja deixa de variar com o tempo, quando todo o calor gerado étransmitido para o ambiente. Isso ocorre quando a diferença de temperatura entre o sistemade freios e o ambiente atinge um determinado patamar. Este patamar depende de diversosfatores, tais como:

• Massa dos freios;

• Temperatura do ambiente;

• Área de dissipação de calor;

• Tipo do freio (tambor, disco sólido ou disco ventilado);

• Material do disco ou tambor;

• Velocidade;

• Massa do veículo.

Os mecanismos de troca de calor que agem de forma significativa nesta troca de calor são acondução e a convecção. A influência do mecanismo de troca por radiação é desconsideradoneste modelo, pois consider-ase que as temperaturas de operação dos freios permaneçamabaixo de quinhentos graus centígrados.A condução de calor ocorre a partir da região de atrito pela guarnição e pelo disco ou

tambor para a suspensão e para a carroceria sendo que, a partir dai, o mesmo é finalmentedissipado para a atmosfera por convecção.



20 25 30 35 m/s

0,4

0,6

0,8

1,0

00,1

0,2

0

Ψ

T3

T2

T1

Figura 4.2: Comportamento da temperatura de um freio em função da velocidade do veículo.

A convecção, especialmente do disco/pinça ou tambor, é o mecanismo dominante naestabilização da temperatura do sistema de freios neste tipo de freiada. O calor trocado poreste mecanismo depende da área livre bem como da velocidade e turbulência do ar que passaem torno do sistema de freios. Como o fenômeno de troca de calor por convecção dependede um número muito grande de variáveis, especialmente da geometria do corpo aquecido,é bastante comum a análise do mecanismo de troca de calor experimentalmente, ajustandoos parâmetros que representem adequadamente este tipo de troca de calor. Neste ensaio ébastante comum o uso de túneis de vento para estabelecer um escoamento com velocidadee condições conhecidas e constantes. Na Figura 4.2 é mostrado o comportamento típico domecanismo de troca de calor para o freio de um veículo ensaido em túnel de vento. Valesalientar que, nesta figura Ψ é um valor adimensional dado por:

Ψ =Energia dissipada

Maxima energia dissipada no ensaio(4.48)

onde a energia é medida em joules (J = W s = N m). Nestes ensaios são obtidas famíliasde curvas, onde cada uma delas representra uma determinada temperatura de equilíbrio dosistema de freios em função da velocidade do veículo e da força de frenagem.Para o desenvolvimento do modelo matemático de geração de calor no sistema de freios de

um veículo em freiadas moderadas de grande duração, parte-se da equação 4.19, repetida aseguir, onde a força de inércia, FI , é nula, pois a velocidade do veículo na rampa é constante.

Ff = −Qs −Qr −Qa. (4.49)

Na maioria dos veículos é normal que haja uma ajuda do motor ou de algum outro sistemaexistente no veículo, que propicie uma força adicional de frenagem, batizada por Ff adicional.Esta força adicional de frenagem auxiliar é colocada no lado esquerdo da equação 4.49, que



resulta em:Ff + Ff adicional = −Qs −Qr −Qa. (4.50)

Vale salientar que a resistência de aclive, dada por

Qs = G sen α (4.51)

muda de sinal (o ângulo α é negativo) quando a rampa é de descida. Desta forma, pararepresentar um declive, define-se:

αd = −α

Multiplicando a equação 4.50 pela velocidade real de translação do veículo, se obtém umaequação de balanço de potências, como segue.

Pf + Pf adicional = −Ps − Pr − Pa. (4.52)

ou

Pf + Pf adicional =

∙G sen αd − f G cosα− 1

2CxAv

2

¸v (4.53)

onde Pf é a taxa de conversão de energia cinética em calor e Pf adicional é a potência defrenagem suprida por um sumidouro de energia adicional, tal como o motor ou um sistemaauxiliar qualquer, tal como o retarder usado em caminhões pesados ou um sistema regen-erador de energia de frenagem. É importante lembrar que esta equação é adequada para oveículo se deslocando em velocidade constante.Para facilitar a análise, a equação 4.53 pode ser reescrita como:

Pf + Pf adicional = G [ sen αd − f cosα] v − 12CxA ρ v3 (4.54)

Nesta equação o primeiro termo do lado direito representa a entrada de potência, enquantoque o segundo e o terceiro termos, representam a potência de frenagem dissipada pelospneus (resistência de rolamento) e a potência dissipada pela aerodinâmica. Esta equação,desconsiderando a ajuda da potência aerodinâmica, resulta em:

Pf + Pf adicional = G [ sen αd − f cosα] v (4.55)

Esta equação é bastante precisa em baixas velocidades (menores do que 60 km/h). Casoa frenagem ocorra em velocidades maiores do que 60 km/h, a omissão da ajuda da aero-dinâmica na frenagem pode ser considerada como um coeficiente de segurança.Sendo conhecida a potência dissipada, o próximo passo é a determinação das caracterís-

ticas dos freios que, como dito anteriormente, pode ser feita experimentalmente em túneisde vento, ou então a partir da simulação analítica ou numérica do problema do sistema físicoe, como foge ao escopo do texto, não será apresentada aqui..



4.8.2 Freiada de emergência

Este tipo de freiada é de curta duração e, sendo assim, a dissipação de calor por con-vecção ao ambiente é negligenciável. Desta forma todo o calor gerado, que é equivalentea variação energia cinética do veículo, deve ser armazenado na forma de energia térmicaatravés do aumento da temperatura do disco de freio, já que as guarnições são isolantestérmicos eficientes.A formulação para este tipo de frenagem é baseada na variação da energia cinética quando

o veículo é desacelerado, de uma velocidade vi para uma velocidade vf , pela ação do sistemade freios. Sendo assim, a variação da energia cinética para a operação de frenagem é dadapor

E =1

2m(1 + δ)(v2i − v2f) =

1

2

G

g(1 + δ)(v2i − v2f) (4.56)

onde:G, m - é o peso/massa do veículo;δ - é a inércia de translação equivalente a de rotação;g - aceleração da gravidade;vi - é a velocidade do veículo no início da frenagem;vf - é a velocidade final do veículo após a frenagem.

Caso a frenagem imobilize o veículo, a energia cinética pode ser reescrita como:

E =1

2

G

g(1 + δ) v2i (4.57)

Da termodinâmica clássica, o calor absorvido por um corpo sólido de massa m, quandosofre uam variação de temperatura, ∆T, é dado por:

Qfreio = c m ∆T (4.58)

onde:Qfreio - é a capacidade térmica do corpo;c - é o calor específico do material do corpo;m - é a massa do corpo;∆T - é o acréscimo de temperatura do corpo.

No caso do corpo que armazena a energia térmica ser o freio, a massa m é a do tamborou do disco, principalmente, a massa localizada na região que atrita com as garnições. Éinteressante frisar que o modelo acima pressupõe que o calor seja armazenado de maneiraque a temperatura seja uniforme no corpo. Isto, de fato, não acontece e a temperatura nãoé uniforme ao longo da espessura do disco ou parede do tambor, o que ocasiona gradientestérmicos severos nestes elementos e, concomitantemente, tensões térmicas elevadas.O modelo matemático para este tipo de utilização dos freios é obtido igualando a energia

cinética de frenagem à capacidade de armazenar energia térmica da massa do freio. Assim,igualando as equações 4.56 e 4.58 se obtém:

1

2

G

g(1 + δ)(v2i − v2f) = c m ∆T (4.59)



Para o caso do veículo ser imobilizado no final da frenagem, a equação anterior pode serreescrita como:

1

2

G

g(1 + δ) v2i = c m ∆T (4.60)

Neste modelo a resistência de rolamento e a resistência aerodinâmica são negligenciadas.O equacionamento acima permite duas análises:

• Determinação da massa do disco ou tambor para um aumento ∆T de temperatura;

• Determinação do aumento da temperatura do sistema de freios para uma determinadavariação da velocidade do veículo.

Assim, para a primeira análise, o peso de um dos freios do eixo dianteiro é dado por

GfI =ξ

(1 + ξ)

G

4 c ∆T(1 + δ)(v2i − v2f) (4.61)

e para o eixo traseiro por

GfII =1

(1 + ξ)

G

4 c ∆T(1 + δ)(v2i − v2f) (4.62)

onde ξ é o índice de frenagem, e

Gf I = mI g

Gf I = mII g

Para a segunda análise se escreve:

∆TI =ξG

2 (1 + ξ) Gf I c(1 + δ)(v2i − v2f) (4.63)

para o eixo dianteiro, e

∆TII =G

2 (1 + ξ) Gf II c(1 + δ)(v2i − v2f) (4.64)

para o eixo traseiro.Genericamente estas equações podem ser reescritas como:

∆Tj =1

2cjΩj(v

2i − v2f) (4.65)

para o caso do veículo parar ao final da frenagem, a última equação se reduz a:

∆Tj =1

2cjΩj v

2i (4.66)

onde:j = I ou II - eixo dianteiro ou taseiro, respectivamente;G - é o peso do veículo;



GfI , GfII - é o peso do freio dianteiro e traseiro, respectivamenteΩI =

ξ1+ξ

GGfI

- é a relação de peso para o eixo dianteiro;

ΩII =11+ξ

GGfII

- é a relação de peso para o eixo traseiro.

Na equação 4.59 a 4.66 considerou-se que todo o calor gerado na frenagem é absorvidoapenas pelo tambor ou disco dos freios. Esta hipótese é conservativa, já que as guarniçõestambém são capazes de absorver um pouco do calor gerado na frenagem. Segundo a referência[12], nos freios a tambor as guarnições são capazes de absorver cerca de 5% do calor totalgerado na frenagem, enquanto que os tambores absorvem os demais 95%. Nos freios a discocerca de 1% é absorvido pelas guarnições, enquanto que o disco absorve 99% do calor geradona frenagem. A proporção de calor armazenado no disco ou tambor, conforme a referência[12], é dada pela seguinte equação:

σ =A1(k1ρ1c1)

1/2

A1(k1ρ1c1)1/2 +A2(k2ρ2c2)

1/2

onde ki, ρi e ci são referentes a condutividade térmica, densidade e calor específico dosmateriais do tambor e da guarnição. O sub-índice i = 1, 2 se refere aos materiais dotambor/disco e da guarnição, respectivamente. As grandezas A1 e A2 se referem a área deatrito do disco/tambor e da guarnição.Sendo assim, as equações para determinação do peso e da temperatura dos freios, podem

ser reescritas como

Gf I = σξ G

4 (1 + ξ) c ∆T(1 + δ)(v2i − v2f) (4.67)

Gf II = σG

4 (1 + ξ) c ∆T(1 + δ)(v2i − v2f) (4.68)

∆TI = σξG

2 (1 + ξ) Gf I c(1 + δ)(v2i − v2f) (4.69)

∆TII = σG

2 (1 + ξ) Gf II c(1 + δ)(v2i − v2f) (4.70)

4.9 Tipos de freios

Nos primórdios da indústria automobilística, os freios eram a tambor e o acionamentomecânico. Com o desenvolvimento dos sitemas hidráulicos, a indústria automotiva passou aempregá-los para o acionamento dos freios dos veículos por ela produzidos.Ainda nos primórdios desta indústria, em 1902, o engenheiro F. Lanchester, segundo

Campbell [7], patenteou na Inglaterra o freio a disco. Este sistema, ainda acionado mecani-camente, foi utilizado pela primeira vez em 1906, em um automóvel construído por esteengenheiro.Durante a segunda guerra os freios a disco foram usados com muito sucesso na indústria

aeronáutica e, em 1949, o conhecimento desenvolvido para a aeronáutica foi aplicado naindústria automobilística. Em 1952 ele foi introduzido nas corridas de automóveis, sendo ofator responsável pelo sucesso da Jaguar em Le Mans em 1953, já que os pilotos da marcapodiam freiar quase 300 m depois de seus rivais no final da reta Mulsanne.



O sucesso do freio a disco se deve a sua pouca sensibilidade ao fading. Isso ocorre graçasa sua excelente refrigeração, já que a sua forma construtiva expõe diretamente a região deatrito guarnição/disco ou tambor com o ar. Devido à forma construtiva de um disco, épossível construí-los um pouco mais largos com canais internos radiais para ventilação. Estetipo de construção, denominada de disco ventilado, permite que o disco trabalhe como umventilador centrífugo, aumentando significativamente a eficiência da refrigeração. Nos discoso efeito das deformações térmicas, que também são causadoras de fading em freios a tambor,não tem influência na forma da área de contato pastilha/disco, já que o disco é plano.Os freios a disco não sofrem perda de eficiência pela deposição de poeira gerada pela

desgaste da própria guarnição na região de fricção da guarnição, como nos freios a tambor,por terem a área de contato exposta. Essa mesma característica construtiva impede, também,a perda de eficiência devido a presença de água. Nos discos a tambor a perda de eficiênciapelo efeito da água é fortemente sentida devido a formação de uma cunha hidrodinâmicaque impede o contato da guarnição tambor, como num mancal hidrodinâmico. Este efeitotambém ocorre nos freios a disco, porém de forma muito pouco sensível e de curta duração.Isso é devido às tensões de contato disco-pastilha serem bem maiores que nos de tambor pelofato da área de contato pastilha-disco ser muito menor do que lona-tambor, bem como pelaeficiência da força centrípeta em expulsar a água da região de contato disco/pastilha.

4.10 Problemas com freios

Dentre os vários problemas que ocorrem com os freios, pode-se citar:

• Fading;

• Aquecimento de mancais;

• Ruído;

• Ecologia.

Neste item vão ser abordados de maneira bastante superficial apenas alguns problemas,sendo que os demais, tais como desgaste, ressonâncias etc, bem como o detalhamento dosproblemas listados anteriormente, são tratados em textos exclusivamente voltados para freios,tais como [12], [13].

4.10.1 Fading

O problema de fading dos freios, fenômeno que será descrito posteriormente, e ocorreespecialmente naqueles do tipo tambor, é causado por dois efeitos: aquecimento exagerado daguarnição e redução do contato tambor-guarnição pelo aumento da temperatura do sistemade freio.O primeiro efeito está relacionado com o fato de que a partir da temperatura crítica, cerca

de quatrocentos graus centígrados para as guarnições de asbesto, há uma redução severa docoeficiente de atrito do par guarnição-tambor, o que implica na redução da força de atrito.



Na tentativa de aumentar a temperatura crítica da redução severa do coeficiente deatrito, as guarnições dos freios a tambor são fabricadas com compostos duros. Esta maiordureza da guarnição associada à variação do diâmetro do tambor de freio com o aumento datemperatura, reduz a área de contato da guarnição com o tambor, por ser menos deformável,e implica no segundo efeito causador do fading.O segundo efeito do fading, está associado a não uniformidade da frenagem em ocasiões

distintas de acionamento do freio. Durante freiadas longas há o aumento do diâmetro dotambor com da temperatura. Devido a este aumento do diâmetro do tambor, as lonas de freiose atritam na sua posição média, no sentido longitudinal. Como a temperatura é alta ocorreum desgaste acentuado desta região da guarnição, já que a resistência ao desgaste sofre umaredução severa com o aumento excessivo da temperatura. Em seguida, quando o freio nãoé utilizado, o sistema esfria e o diâmetro do tambor se reduz. Ao ser novamente acionado,os extremos das lonas entram em contato primeiro com o tambor. Como a área de contatoda lona/tambor se altera em relação à frenagem anterior, a frenagem muda de intensidade eo pedal de acionamento, se a regulagem da distância lona tambor for automática, tambémmuda de curso, de maneira inexperada ao condutor.

4.10.2 Aquecimento

Com o advento do freio a disco, devido à forma construtiva, há um maior aquecimentodos cubos de rodas do que o dos freios a tambor. Com o aquecimento dos cubos de roda,os rolamentos que nele estão alojados, também aquecem. Este aquecimento prejudica alubrificação, problema este normalmente contornado com o uso graxas com sabão de lítio, eafeta significativamente a vida dos mancais.Hoje em dia, com o emprego de pastilhas de metal sinterizado e consequente com alta

condutividade térmica (baixo isolamento térmico), ocorre o aquecimento do fluido de freio ea sua vaporização. A presença deste vapor no sistema de acionamento hidráulico que podecausar o travamento dos freios e a perda da ação, levou os fabricantes de fluidos de freio adesenvolver novos produtos com grande resistência a vaporização. Outro aspecto importantedeste aquecimento é que a temperatura também causa a deterioração dos selos de borrachados cilindros hidraúlicos das rodas, podendo levar ao travamento dos pistões dos cilindroshidraúlicos das pinças, pelo acúmulo de poeira e pó de pastilha .A única maneira de contornar definitivamente esses problemas é aumentar a eficiência da

refrigeração dos freios.

4.10.3 Ruído

Além do desempenho, o ruído gerado nos sistemas de freios de um automóvel, em merca-dos competitivos com consumidores exigentes (especialmente o brasileiro bastante exigentenesse quesito), pode ser um fator determinante na compra de um veículo.O componente mais importante na geração do ruído é a guarnição, especialmente as

pastilhas dos freios a disco. O problema do ruído ficou bastante agudo quando o principale mais eficiente componente das guarnições, no caso o asbesto, foi proibido de ser usado na



maioria dos países por ser um elemento altamente cancerígeno. Com isso, novos componentesdas guarnições começaram a ser empregados e os mais adequados, em termos de atrito edurabilidade, são exatamente aqueles que aumentam o ruído emitido pelos sistema de freios.Este problema foi e continua sendo motivo de estudos avançados, podendo citar os trabalhosde Gonçalves [10] e [11].

4.10.4 Ecologia

Em termos ecológicos, os componentes das guarnições são altamente prejudiciais à saúde.Merece atenção especial o asbesto, um dos melhores materiais empregados na confecção deguarnições, que foi banido por ser um produto cancerígeno.Os demais componentes das guarnições também são poluentes e contaminam facilmente

os recursos naturais, já que esses elementos ao atritarem com as partes girantes dos freios sãotransformados em poeira muito fina e lançadas na atmosfera. Em seguida, seja pela ação dachuva ou outro mecanismo qualquer, a poeira cai sobre o solo sendo carregada posteriormentepara os mananciais de água ou então para as plantações de produtos agrícolas destinados aoconsumo humano e animal.

Exemplo

Para veículos se deslocando no plano, com as características apresentadas na Tabela 4.1,determinar a distribuição de força de frenagem para um atrito de 0, 35 para o par pneu/pista.Também fazer a análise do comportamento de frenagem quando o coeficiente de atrito formaior e menor do que 0, 35. Neste texto será analisado apenas o Caso 1, sendo deixados acargo do leitor a análise dos outros casos propostos.

Solução do caso 1

Para iniciar a análise é necessário cálcular do índice de frenagem.

ξ =

£(1− x) + (μ + f) h

l

¤£x − (μ + f) h

l

¤ =

h(1− 0, 48) + (0, 35 + 0, 011) 0,66

2,4

ih0, 48− (0, 35 + 0, 011) 0,66

2,4

i =61, 93

38, 07= 1, 63

Neste caso, para o coeficiente de atrito de 0,35, a distribuição da carga de freiada é de61,93% no eixo dianteiro e 38,07% para o eixo traseiro. Consequentemente o calor geradono freio dianteiro será 62% maior que no traseiro.Cálculo da força de frenagemA força de frenagem para esse coeficiente de atrito é dada pela equação 4.18, repetida a

seguirFf = μG = 0, 35 16.503 = 5776, 05 N



Tabela 4.1: Características do veículo.Grandeza Dimensão Caso1 Caso 2 Caso 3

Distribuição de carga x − 0, 48 0, 50 0, 52Distância entre eixos l m 2, 40 2, 40 2, 40

Altura do CG veículo leve h m 0, 66 0, 66 0, 66Altura do CG veículo carregado h m 0, 68 0, 68 0, 68

Peso do veículo leve G N 16.503 16.503 16.503Peso do veículo carregado G N 18.500 18.500 18.500Raio dinâmico do pneu rd m 0, 32 0, 32 0, 32Braço sup. manga de eixo a m 0, 035 0, 035 0, 035Braço inf. manga de eixo b m 0, 03 0, 03 0, 03Off set da manga de eixo s m 0, 012 0, 012 0, 012Coef. atrito de rolamento f − 0, 011 0, 011 0, 011Velocidade máxima v m/s 50 50 50Área projetada A m2 2, 0 2, 0 2, 0

Densidade do ar ρ kg/m3 1, 22557 1, 22557 1, 22557Coeficiente de penetração Cx − 0, 33 0, 33 0, 33

Para essa força de frenagem as reações normais ao solo, equações 4.29 e 4.30, são:

RI = G

∙(1− x) + (μ + f )

h

l

¸=

16.503

∙(1− 0, 48) + (0, 35 + 0, 011 ) 0, 66

2, 4

¸= 10.219, 90 N

RII = G

∙x − (μ + f )

h

l

¸= 16.503

∙0, 48 − (0, 35 + 0, 011) 0, 66

2, 4

¸= 6.283, 10 N

e as forças de frenagem nos eixos dianteiro e traseiro são:

FfI = μRI = 0, 35 10.219, 90 = 3.576, 97 N

FfII = μRII = 0, 35 6.283, 10 = 2.199, 09 N

Considerando que os freios sejam a disco na dianteira e na traseira, os dois com diâmetrode 250 mm e posição radial do centro das pastilhas de 100 mm, tem-se que a força que deveser exercida pela pastilha sobre os discos dianteiros e traseiros são:

FdI =1

2FfI

rdrfI

=1

23.576, 97

0, 32

0, 1= 5.723, 15 N

FdII =1

2FfII

rdrfII

=1

22.199, 09

0, 32

0, 1= 3.518, 54 N

Considerando um valor típico para coeficiente de atrito entre as pastilhas de μPastilha = 0, 45,[10], e que a pressão de acionamento dos cilindros das pinças seja pHid = 2, 45 MPa (cercade 25 atm), a área dos cilindros das pinças dianteiras e traseiras são:



AI =FdI

pHid μPastilha=

5.723, 15

2, 45 0, 45= 5.191, 07 mm2

AII =FdII

pHid μPastilha=

3.518, 54

2, 45 0, 45= 3.191, 42 mm2

Como cada pinça possui pelo menos dois pistões ou é flutuante, as áreas calculadas cor-respondem a dois pistões de cerca de 41 e 32 mm de diâmetro para cada uma das pinçasdianteira e traseira, respectivamente. É interessante salientar que a razão entre área doscilindros das pinças dianteiras e traseiras é igual ao índice de frenagem, porém os diâmetrosnão são, já que os mesmos tem uma relação não linear com as áreas.

Influência do coeficiente de atrito Para ilustrar a diferença de frenagem que ocorrequando o coeficiente de atrito dos pneus com o solo é diferente de 0, 35, vai ser tomado umvalor igual a 0, 85.O índice de transferência de carga para esse caso vale

ξ =

h(1− 0, 48) + (0, 85 + 0, 011) 0,66

2,4

ih0, 48− (0, 85 + 0, 011) 0,66

2,4

i =75, 68

24, 32= 3, 11

Cálculo da força de frenagemA força de frenagem para esse coeficiente de atrito é dada pela equação 4.18, repetida a

seguirFf = μG = 0, 85 16.503 = 14.027, 55 N

Para essa força de frenagem as reações normais ao solo, equações 4.29 e 4.30, são dadaspor:

RI = G

∙(1− x) + (μ + f )

h

l

¸= 16.503 0, 7568 = 12.489, 06 N

RII = G

∙x − (μ + f )

h

l

¸= 16.503 0, 2432 = 4.013, 94 N


FfI = μRI = 0, 85 12.489, 06 = 10.615, 7 N

FfII = μRII = 0, 85 4.013, 94 = 3.411, 85 N

A força que é exercida pela pastilha de cada roda sobre cada um dos lados dos discosdianteiro e traseiro são:

FdI =1

2FfI

rdrfI

=1

210.615, 7

0, 32

0, 1= 16.985, 12 N

FdII =1

2FfII

rdrfII

=1

23.411, 85

0, 32

0, 1= 5.458, 96 N



Como o sistema de freios está projetado em função do coeficiente de atrito de 0, 35, énecessário determinar qual a pressão necessária para que a força de frenagem na pastilhado eixo dianteiro seja de 16.985, 12 N . Para isso se parte-se da seguinte expressão

pHid =FdI

AI μPastilha=

16.985, 12

5.191, 07 0, 45= 7, 27 MPa

Com esta pressão, a pastilha da roda traseira vai desenvolver uma força de frenagemiogual a:

FdII = pHidAII μPastilha = 7, 27 3.191, 42 0, 45 = 10440, 73 N

Comparando a força aplicada pela pastilha sobre o disco do freio traseiro com a pressãode 7, 30 MPa, concluí-se que a roda traseira irá travar prematuramente em relação à rodadianteira, já que a máxima força que esta pastilha pode exercer sobre o disco traseiro, semque ela trave, é de apenas 5.458, 96 N , o que implica em uma redução da capacidade defrenagem do veículo. Nesta situação o veículo se torna instável direcionalmente, já que omesmo tende a girar em torno do eixo dianteiro.A análise que será desenvolvida a seguir considera um coeficiente de atrito dos pneus com

o solo menor do que 0, 35, como por exemplo 0, 20.Para esta nova situação o índice de transferência de carga vale

ξ =

h(1− 0, 48) + (0, 20 + 0, 011) 0,66

2,4

ih0, 48− (0, 20 + 0, 011) 0,66

2,4

i =57, 80

42, 20= 1, 36

Cálculo da força de frenagemA força de frenagem no plano para esse coeficiente de atrito é dada pela equação 4.18,

repetida a seguirFf = μG = 0, 20 16.503 = 3.300, 6 N

Para essa força de frenagem as reações normais ao solo, equações 4.29 e 4.30, são dadaspor:

RI = G

∙(1− x) + (μ + f )

h

l

¸= 16.503 0, 5780 = 9.539, 15 N

RII = G

∙x − (μ + f )

h

l

¸= 16.503 0, 4220 = 6.963, 85 N


FfI = μRI = 0, 20 9.539, 15 = 1.907, 83 N

FfII = μRII = 0, 20 7.004, 70 = 1.392, 77 N

Neste caso, a força que deve ser exercida pela pastilha sobre os discos dianteiro e traseirode cada roda são:

FdI =1

2FfI

rdrfI

= 3.052, 52 N

FdII =1

2FfII

rdrfII

= 2.228, 43 N



Como o sistema de freios foi projetado em função do coeficiente de atrito de 0, 35, é necessáriodeterminar qual a pressão necessária para que a força de frenagem resultante em um discodo eixo traseiro seja de 2.228, 43 N . Para isso se parte-se da seguinte expressão

pHid =FdII

AII μPastilha=

2.228, 43

3.191, 42 0, 45= 1, 55 MPa

Com esta pressão, a pastilha da roda dianteira vai desenvolver uma força de frenagem nodisco deste eixo igual a:

FdI = pHidAI μPastilha = 1, 55 5.191, 07 0, 45 = 3.620, 77 N

Comparando a força aplicada pela pastilha sobre o disco do freio dianteiro com a pressãode 1, 55 MPa, observa—se que a roda dianteira irá travar prematuramente em relação à rodatraseira, já que a máxima força que esta pastilha pode exercer sobre o disco dianteiro sem queela trave é de apenas 3.052, 52 N . Esta situação, como era de se esperar, também implicaem uma redução da capacidade de frenagem do veículo.

Análise do veículo carregado Uma análise semelhante pode ser feita quando o veículoestá carregado. Nesta situação não ocorre somente o deslocamento longitudinal da posiçãodo centro de gravidade, mas também a sua altura varia em função da carga adicional, porémo efeito da mudança da posição longitudinal do centro de gravidade será analisada pelo leitornos Casos 2 e 3.A análise que será feita a seguir considera que o coeficiente de atrito é 0, 9. O objetivo

de considerar o coeficiente de atrito tão elevado é o de determinar os valores máximos deforça que os elementos estruturais estão submetidos. Essa análise é justificada pelo fato dacapacidade de desaceleração de um veículo em operações de frenagem ser bem maior do quea capacidade de aceleração propiciada pelo motor. Para ilustrar este aspecto, pode-se citaros veículos esportivos, onde a capacidade de frenagem é cerca de quatro vezes a potênciainstalada (motores com cerca de 300 kW ). Nos carros da Fórmula 1 esta razão é da ordemde um para um.Cálculo da força de frenagem

Ff = μG = 0, 9 18.500 = 16.650 N

As reações normais ao solo, equações 4.29 e 4.30, são

RI = G

∙(1− x) + (μ + f )

h

l

¸= 18.500

∙(1− 0, 48) + (0, 9 + 0, 011 ) 0, 68

2, 4

¸= 14.395, 16N

RII = G

∙x − (μ + f )

h

l

¸= 18.500

∙0, 48 − (0, 9 + 0, 011) 0, 68

2, 4

¸= 4.104, 84 N


FfI = μRI = 0, 9 14.395, 16 = 12.955, 64 N

FfII = μRII = 0, 9 4.104, 84 = 3.694, 36 N



Para esse caso o índice de frenagem vale

ξ =(1− 0, 48) + (0, 9 + 0, 011 ) 0,68

2,4

0, 48 − (0, 9 + 0, 011) 0,682,4

=77, 81

22, 19= 3, 51

A força que deve ser exercida pelas pastilhas sobre os discos dianteiro e traseiro de cadaroda são:

FdI =1

2FfI

rdrfI

=1

212.955, 64

0, 32

0, 1= 20.729, 02 N

FdII =1

2FfII

rdrfII

=1

23.694, 36

0, 32

0, 1= 5.910, 97 N

As forças FdI e FdII devem ser suportadas pelos braços da suspensão, desde que os freiossejam colocadas nas rodas. Quando os freios são "in board", os braços da suspensão nãoprecisam suportar os esforços de reação de frenagem. É importante observar que o esforçode reação dos freios é cerca de três (exatamente 3, 2) vezes maior do que as forças de frenagemem cada eixo do veículo deste exemplo.Considerando que o sistema de freios consiga controlar adequadamente a pressão de fre-

nagem nos cilindros de roda, sem que haja travamento prematuro das rodas de um dos eixos,a pressão necessária para a frenagem é a maior das duas pressões calculadas a seguir:

pHid =FdI

AI μPastilha=

20.729, 02

5.191, 07 0, 45= 8, 87 MPa

pHid =FdII

AII μPastilha=

5.910, 97

3.191, 42 0, 45= 4, 12 MPa

ou seja é 8, 87 Mpa. O dimensionamento do sistema de alavancas do pedal de freio, bemcomo o tamanho do servo freio e tubulação, devem ser dimensionados a partir desse valor,pois esta pressão vai ter que ser necessariamente desenvolvida em freiadas de emergência.O mecanismo de acionamento deve ser projetado em função de fatores ergonômicos do sexofeminino, já que nos dias de hoje as mulheres são grandes consumidoras de veículos auto-motores. Não se pode esquecer que, com o avanço da ciência, a idade média das populaçõesnas regiões mais desenvolvidas cresceu, o que implica que pessoas cada vez mais idosas sãoconsumidoras de automóveis.

Cálculo do peso dos discos de freio Coforme a Tabela 4.1, a velocidade máxima desteveículo é de 50 m/s ( 180 km/h). Considerando que as guarnições suportem uma tem-peratura máxima de 420 oC, onde a temperatura ambiente é de 20 oC o que implica que∆T = 400 oC, o peso dos discos de freio pode ser calculada com as equações 4.61 e 4.62,repetidas a seguir.

Gf I = σξ G

4 (1 + ξ) c ∆T(1 + δ)(v2i − v2f)

Gf II = σG

4 (1 + ξ) c ∆T(1 + δ)(v2i − v2f)



A temperatura de 420 oC é um valor crítico da guarnição. Esses valores críticos mudamde acordo com a composição da guarnição. Há uma tendência dessa temperatura crescer, jáque os fabricantes de guarnição tem a preocupação de reduzir o fenômeno do "fading".Considerando que o veículo fique imobilizado após a freiada e que a mesma ocorreu com

o pé na embreagem, o que permite estimar as inércias de translação equivalentes a rotativaδ ≈ 0, 05, que os discos sejam de ferro fundido com calor específico c = 544, 27 J

kg oC, índice

de frenagem ξ = 3, 51 e que o o calor absorvido pelo disco σ seja igual a 0, 99, conformeestudos desenvolvidos por Newcomb [12], o peso dos discos de freio dianteiros e traseiros são:

Gf I = 0, 993, 51 18.500

4 (1 + 3, 51) 544, 27 400(1 + 0, 05)(502) = 43, 0 N

Gf II = 0, 9918.500

4 (1 + 3, 51) 544, 27 400(1 + 0, 05)(502) = 12, 2 N

Vale observar que os pesos calculadas para os discos dianteiros e traseiros são referentes aregião de atrito disco/pastilha, portanto, faltando adicionar os pesos das flanges ou chapéus.Tarefas propostas.1- Qual será a temperatura dos freios, considerando uma freiada a partir da velocidade

máxima, porém com o veículo descarregado?2-Qual será a temperatura dos freios, considerando uma freiada da velocidade de 100km/h,

para o veículo descarregado?

Análise de uma freiada de longa duração Para essa análise se considera, inicial-mente, um declive de 5%, onde o veículo, com carga máxima, se desloca com velocidadeconstante de 60km/h ( 16, 67m/s). Para isso usa-se a equação

Pf + Pf adicional = G [ sen αd − f cosα] v

Desconsiderando a potência adicional de frenagem dada pelo freio motor a potência de fre-nagem é:

Pf = G [ sen αd − f cosα] v = 18.500 [ sen 2, 86− 0, 011 cos 2, 86] 16, 67 ≈ 12 kW

Caso o declive seja de 10% a potência de frenagem é

Pf = G [ sen αd − f cosα] v = 18.500 [ sen 5, 71− 0, 011 cos 5, 71] 16, 67 ≈ 27, 3 kW

Se o efeito da aerodinâmica for considerado, o equacionamento do problema é

Pf = G [ sen αd − f cosα] v − 12CxA ρ v3

Assim, para os dois casos acima avaliados, tem-se que as potências dissipadas nos freio são

Pf = 12.000−1

20, 33 2, 0 1, 22557 16, 773 = 10 kW

Pf = 27, 3−1

2CxAv

3 = 27.300− 120, 33 2, 0 1, 22557 16, 773 = 25, 4 kW

para os aclives de 5% e 10%, respectivamente. Observa-se que o efeito da aerodinâmicaauxilia na frenagem, o que significa dizer que o neglicenciamento do seu efeito nessa análiseé uma medida conservativa.



Cálculo de alguns outros parâmetros de frenagem Inicialmente vai ser calculado otempo necessário para o veículo leva para se imobilizar a partir da velocidade máxima e,em seguida, das velocidades de 28 m/s e 22, 2 m/s até a total imobilização. A condição delotação máxima também será usada para determinar a distância de frenagem máxima. Paraessa avaliação é usada a seguinte equação

t =1√ΞΘ

tan−1

Ãv1

rΞ

Θ

!já que o veículo se imobiliza com a frenagem.Nessa equação as constantes Ξ e Θ, são dadas por:

Θ =g

(1 + δ)[(μ+ f) cosα+ sen α] =

9, 81

(1 + 0, 05)(0, 9 + 0, 002) = 8, 43 m/s2

Ξ =1

2m (1 + δ)CxAρ. =

1

2 16.5039,81

(1 + 0, 05)0, 33 2, 0 1, 22557 = 0, 000229 m−1

Assim da velocidade máxima até a imobilização o veículo leva:

t =1√

8, 43 0, 000229tan−1

µ50

r0, 000229

8, 43

¶= 5, 8 s

Da velocidade de 28 m/s (100km/h) até a imobilização:

t =1√

8, 43 0, 000229tan−1

µ28

r0, 000229

8, 43

¶= 3, 3 s

Finalmente, de velocidade de 22,2 m/s (80km/h) até a imobilização:

t =1√

8, 43 0, 000229tan−1

µ22, 2

r0, 000229

8, 43

¶= 2, 62 s

As distâncias percorridas nas frenagens são dadas pela seguinte equação:

s =1

2Ξln[1 +

Ξ

Θv21]

Assim, das velocidades indicadas até a imobilização, o veículo percorre as seguintes distân-cias

s =1

2 0, 000229ln[1 +

0, 000229

8, 43502] = 143, 46 m

s =1

2 0, 000229ln[1 +

0, 000229

8, 43282] = 46, 01 m

s =1

2 0, 000229ln[1 +

0, 000229

8, 4322, 22] = 29, 03 m

Tendo sido levantados esses valores, a seguir é determinada a desaceleraão do veículo emfunção da velocidade. Para isso é usada a seguinte equação:

a =g

(1 + δ)

½[(μ+ f) cosα+ sen α] + Cxq

A

G

¾.



10 20 30 40 50

5

8,6

8,7

8,8

8,

8,6

8,7

8,8

8,

8

98,

v [m/s]

a [m/s ]2

Figura 4.3: Aceleração em função da velocidade.

Com o veículo se deslocando no plano e a pressão dinâmica dada por

q =1

2ρv2

a última equação pode ser reescrita como:

a =g

(1 + δ)

∙(μ+ f) +

1

2Cxρv

2A

G

¸assim:

a =9, 81

(1 + 0, 05)

∙(0, 9 + 0, 011) +

1

20, 33 1, 22557

2, 0

16.503v2¸

oua = 8, 5113 + 0, 000229 v2

Na Figura 4.3, é mostrado o gráfico da aceleração em termos da velocidade do veículo.

Modelo de cargas na suspensão Quando um veículo freia com o máximo desempenhopossível, as forças de atrito, bem como a parcela de transferência de carga são muito su-periores àquelas de tração possibilitadas pelo motor. Sendo assim, as cargas desenvolvidasdurante a frenagem definem alguns limites, talvez os maiores, da envoltória de carregamentosque um veículo pode estar submetido.Para uma roda dianteira, como a mostrada na Figura 4.4, em uma análise somente no

plano paralelo ao plano médio do pneu (supondo que o veículo tenha suspensão independentee que a mola da suspensão seja fixada na balança inferior), atuam no pivo superior as forçasF pi e F vi nas direções horizontal e vertical, respectivamente. Vale salientar que se a molaestiver ancorada na balança superior, a força F vi é nula na balança inferior. Na balançasuperior atua, nesta análise plana, apenas força horizontal F ps.As forças horizontais F pi e F ps são resultantes das forças de frenagem, da resistência ao

rolamento bem como da força de reação da pinça de freio, se esta estiver montada na roda.



Ff I

RI

QrI

22

2

Fps

Fpi

a

b

β

Fvi

Pivo superior

Pivo inferior

rd

s

Figura 4.4: Cargas de reação dos pivos da suspensão sobre a manga de eixo

Caso a pinça de freio esteja montada junto a caixa de transmissão, o momento reativo defrenagem não contribui com estas forças horizontais.Vale salientar que as forças que atuam nos pivos da suspensão ilustrada são horizontais.

Isto porque, implicitamente, está sendo considerada a hipótese que os braços da suspensãotenham apenas movimento vertical, ou seja, a suspensão é plana. Caso a suspensão sejaespacial, a força resultante que atua nos pivos das balanças é normal aos seus planos dedeslocamento. Do equiíbrio de forças na direção horizontal, do modelo diagramático mostradona Figura 4.4, pode-se escrever:

Fps − Fpi +RI

2= 0 (4.71)

Do equilíbrio de forças na direção vertical

Fvi =RI

2(4.72)

Do equilíbrio estático de momentos em relação ao eixo da roda, tem-se:

Fps a + Fpi b − Fvi s −(FfI +QrI)

2rd = 0 (4.73)

Resolvendo o sistema de equações, as forças que agem nos pivos superior e inferior são:

Fvi =RI

2(4.74)

Fps =1

2 (a+ b)[RI s+ (FfI +QrI) (rd − b)] (4.75)

Fpi =1

2 (a+ b)[RI s+ (FfI +QrI) (rd + a)] (4.76)

Para o caso de frenagem do veículo carregado, se tem:

Fvi =12.955, 64

2= 6478 N (4.77)



Fps =1

2 (35 + 30)[14.395, 16 12 + (12.955, 64 + 14.395, 16 0, 011) (320− 30)] = 30583 N

Fpi =1

2 (35 + 30)[14.395, 16 12 + (12.955, 64 + 14.395, 16 0, 011) (320 + 35)] = 37140 N

Algumas conclusões Com o desenvolvimento apresentado, tem-se uma importante per-gunta que deve ser respondida: qual destes índices de transferência de carga é a melhor opçãopara ser implementado em um automóvel?Para responder a esta questão é interessante fazer, calçadas em conhecimentos práticos,

as seguintes considerações.

• Quando no travamento das rodas traseiras, ocorre uma condição de instabilidade quecausa a perda completa do controle do veículo, já que o mesmo tende a girar em tornodo eixo dianteiro.

• Quando ocorre o travamento do rodado dianteiro, o veículo perde a capacidade demudar de trajetória, ou seja se desloca em uma trajetória reta estável (não tende agirar) com as rodas dianteiras travadas.

• Quando o rodado dianteiro e traseiro travam simultaneamente, ocorre uma condiçãoque é razoavelmente estável, e o veículo se desloca em uma trajetória reta. Porém, seo veículo está se deslocando em uma superfície em que as rodas de um dos lados estãosujeitas a um coeficiente de atrito mais elevado que no outro, o veículo fará uma curvapara o lado que apresentar maior atrito, o que o desequilibra durante a frenagem.

A conclusão que obtém a partir dessas considerações, se for preciso travar um par derodas, é que sejam as do eixo dianteiro. Isto porque é a situação em que uma trajetórialinear estável durante a frenagem fica garantida. Como solução de compromisso, é bastanteusada a distribuição de 60 % de carga para o eixo dianteiro e 40% para o eixo traseiro paraveículos de passeio. Para carros de corrida ou esportivos, a razão de 65/35 pode ser usada.Em situações especiais, onde a posição do centro de gravidade muda bastante, como aconteceem pick-ups e outros veículos de carga, outros coeficientes de transferência de carga, bastantedispares das listadas acima, são adotadas para o veículo descarregado, tais como 100/0.O ideal seria que a razão de transferência de carga fosse variável com a desaceleração do

veículo, assim garantindo o máximo desempenho do veículo para quaisquer situações de fre-nagem. Com o uso extensivo da eletrônica embarcada nos automóveis fabricados atualmente,o desempenho ótimo dos freios nas mais diversas situações de aceleração (ou coeficiente deatrito pneu-pista) pode ser alcançado.Outra conclusão importante que pode ser obtida dos exemplos apresentados, é que um

sistema de freios desenvolvido especialmente para um veículo que opere em terreno com baixocoeficiente de atrito, como por exemplo terra e gelo, terá desempenho sofrível em pista onde ocoeficiente de atrito for elevado, tal como pista asfaltada ou de concreto. Nestas pistas o freiotraseiro irá travar e a transferência de carga do eixo traseiro para o dianteiro não ocorrerá,aumentando significativamente a distância necessária para a imobilização do veículo, bem



como a frenagem será instável, pois o veículo tende a girar em torno do eixo dianteiro. Casoo veículo tenha o seu sistema de freios desenvolvidos para operar em pista de alto coeficientede atrito, tal como asfalto ou concreto, a frenagem em pista com baixo coeficiente de atritotambém será de baixo desempenho, porém será estável, pois o eixo traseiro não trava antesdo dianteiro. Todas essas considerações apresentadas são válidas desde que que válvulaslimitadoras de frenagem não sejam usadas.


Capítulo 5

Balanço de potências

5.1 Introdução

Nos capítulos precedentes estudaram-se as diversas resistências que se opõem ao movi-mento do veículo, as quais consomem potência para que o movimento se mantenha, bemcomo o desempenho do veículo em função da sua capacidade de transferir força para o solo,independentemente da potência instalada. No presente capítulo, é apresentada uma mo-delagem que permite que seja feita a análise do desempenho de um veículo em termos dadiferença entre a demanda e a disponibilidade da potência instalada. Este modelo, apesarde não considerar alguns efeitos tais como as forças de sustentação, é uma excelente ferra-menta quando o interesse é avaliar a capacidade de aceleração, de subida de aclives e nadeterminação de relações de transmissão da primeira e da última marcha .Na Figura 5.1, estão representadas as forças atuantes em um veículo, juntamente com

as resistências ao movimento, quando o mesmo se desloca. Em uma carroceria com boaaerodinâmica, é possível considerar a força de sustentação nula e não incluí-la nesta análise.Assim o peso, agindo no centro da gravidade, é equilibrado pelas reações dos eixos dianteiroe traseiro.Para o veículo se deslocando no plano, com velocidade constante, as forças resistentes

ao movimento se reduzem apenas à resistência aerodinâmica e a de rolamento. Estas forçasdevem ser equilibradas pela força motriz, proveniente da potência gerada pelo motor, deforma que o movimento se mantenha. Se o motor estiver com a admissão parcialmenteaberta, ou seja, gerando só uma parcela da potência do que pode fornecer, o veículo estaráse deslocando com velocidade constante. Se, no entanto, a admissão de ar for variada, a forçamotriz também terá variação e o equilíbrio estático será rompido. A parcela de variação daforça motriz vai acelerar o veículo e, ao considerar-se a resistência de inércia, tem-se oequilíbrio dinâmico estabelecido. O resultado dessa análise indica se o veículo irá variar develocidade para mais ou para menos, o que é muito importante na análise do desempenho dequalquer veículo em relação a sua potência instalada ou, se no caso de um anteprojeto, qualo possível desempenho do futuro veículo para uma dada escolha do gerador de potência.No caso do veículo ter que vencer um aclive, para que a velocidade se mantenha constante

é necessário aumentar a oferta de potência do motor através do aumento da abertura daborboleta do carburador. Este acréscimo de potência se for superior ao necessário para que

119


Capítulo 5 - Balanço de potências 120

Figura 5.1: Forças atuantes em um veículo.

a velocidade se mantenha constante, será gasta para acelerar o veículo.Para que se faça este tipo de análise é necessário conhecer como a potência e o torque do

motor se distribuem nas mais diversas situações de carga e admissão de ar e é o que se farános itens que seguem.

5.2 Potência gerada no motor

Conforme visto, a potência efetiva na saída do motor é a que interessa para o estudo dodesempenho do veículo, já que esta é a que vai ser transmitida às rodas motrizes. A principalinformação que interessa é a curva de potência ou a curva de torque do motor. A relaçãoentre estas grandezas é dada por:

P =Mt ω (5.1)

onde:P = potência [W ];ω = velocidade angular [rad/s];Mt = momento torçor [Nm].Porém, normalmente, a rotação é dada em rotações por minuto [rpm], sendo a relação

desta e a velocidade angular ω do motor dada por:

ω =π n

30(5.2)

A potência declarada do motor, dada pelo fabricante, seguem normas tais como a ABNT,a SAE, a DIN etc.

5.3 Velocidade do veículo em função da rotação do mo-tor

Os pneus, devido a sua flexibilidade e ao mecanismo de aderência, escorregam em relaçãoao solo quando na transmissão de força para a pista. Esse efeito é definido como segue:



• Na tração

e =vt − v

vt(5.3)

• Na frenagem

e =v − vtv

(5.4)

onde:e - Escorregamento;v - Velocidade de translação do veículo;vt - Velocidade tangencial da roda.Para que se possa chegar a uma relação entre a velocidade de translação do veículo e a

rotação do motor, considerando o escorregamento dos pneus, é desenvolvida a modelagemmostrada a seguir.A relação entre a velocidade angular e a tangencial de uma roda não motriz é dada por:

vt = rd ωr (5.5)

ondevt - Velocidade de tangencial do pneu [m/s];rd - Raio dinâmico do pneu [m];ωr - Velocidade angular da roda [rad/s].A relação entre a freqüência angular (em rotações por minuto nr [rpm]) e a velocidade

angular da roda é dada por:

ωr =π nr30

(5.6)

Lembrando que a rotação da roda, nr, é proporcional a do motor, nm, através de

nr =nmicj id

, (5.7)

pode-se escrever que a velocidade (m/s) teórica do veículo ou tangencial do pneu, em funçãoda rotação do motor, é dada por

vt = 0, 1047 rd nm/(icj id) (5.8)

onde:vt - Velocidade tangencial do pneu;rd - Raio dinâmico do pneu;0, 1047 = π/30 - Uma constante;nm - Rotações do motor em rpm;

icj - Relação de transmissão da caixa de marchas na j-ésima marcha;id - Relação de transmissão do diferencial.



0 4 8 12 16 200,0

0,1

0,2

0,3

0,4 Solo macio Solo rígido e [%]

F m [kN]

Figura 5.2: Variação do escorregamento, em função da forca motriz, para um pneu em doistipos diferentes de solo.

Esta expressão, para dar a resposta em quilômetros por hora, é reescrita como:

vt = 0, 377 rd nm/¡icj id

¢(5.9)

A partir da definição do escorregamento "e” na tração, que relaciona a velocidade realcom a velocidade teórica do veículo, pode-se determinar a velocidade real do veículo, emtermos da velocidade teórica, da forma que segue:

vt =v

(1− e)(5.10)

Onde, na tração, para os casos limites tem-se:v = vt - Não há escorregamento relativo;v = 0 - O veículo não avança, há escorregamento total da roda.Considerando o escorregamento da roda na tração, a velocidade real é dada por:

v = 0, 1047 (1− e) rdnmicj id

(5.11)

ou

v = 0, 377 (1− e) rdnmicj id

(5.12)

para a velocidades em [m/s] e em [km/h], respectivamente.O coeficiente de escorregamento "e"pode assumir valores em uma faixa bastante ampla,

como visto na Figura 5.2. No caso de solos rígidos (asfalto, concreto), com o veículo emmarcha normal, o escorregamento dificilmente ultrapassa 5%, sendo 2% um valor típico.Já no caso de solo macio, o escorregamento assume valores apreciáveis e depende, de umamaneira bastante sensível, da forca de tração.Devido ao efeito de escorregamento ocorre uma perda de potência no contato do pneu

com o solo, diminuindo, deste modo, a potência que o veículo efetivamente pode dispor e amaneira de calcular esta potência perdida será vista no que segue.



Fm

F m

vt

vt v

v

ω

ω

rd

-a- -b-

Figura 5.3: Balanço de potências na região de contato pneu/pista.

No par pneu/pista, mostrado na Figura 5.3, a transmissão de força se faz pelo atrito. Peloprincípio da ação e reação, a força que age no solo é igual a força que age no pneu, Figura 5.3-b-. Como as forças no pneu e no solo são iguais e a velocidade tangencial de um ponto daperiferia do pneu é diferente da velocidade de translação do veículo, as potências calculadasnos pontos do contato do pneu com o solo serão diferentes, por conta desta diferença develocidades.No cubo, a potência é calculada por:

Pc = vt Fm (5.13)

No solo, a potência é calculada por:

Psolo = v Fm (5.14)

que, lembrando da relação dada por 5.10, pode ser reescrita como:

Psolo = vt (1− e)Fm (5.15)

Nesta última equação, o efeito de escorregamento pode ser pensado como análogo ao de umrendimento na transmissão de força para o solo que vale (1− e).A perda de potência no contato pneu-pista é dada pela diferença entre a potência no

cubro e a no solo, como segue:

∆P = vt Fm − v Fm = (vt − v )Fm (5.16)

ou, multiplicando a equação 5.16 por vt/vt e lembrando da definição de escorregamento,equação 5.3, por:

∆P = ePc. (5.17)

Este equacionamento mostra a importância do controle de tração em veículos de alto de-sempenho, tratores e caminhões tratores, na economia de combustível já que a perda natransmissão de potência entre pneu e pista é diretamente proporcional ao escorregamento.



Influência da elasticidade no raio do pneu

É conveniente salientar que devido a elasticidade, do pneu, o diâmetro da roda varia emfunção da velocidade pelo efeito da forca centrífuga. Desta forma é conveniente definir raioestático e raio dinâmico dos pneus.

• Raio estático - re: é definido como a distância do centro da roda ao plano de contatodo pneu com a pista, para a condição de carga máxima admissível e veículo parado.

• Raio dinâmico - rd: é definido a partir da distância percorrida em um giro do pneu, nacondição de carga máxima admissível, com a velocidade padrão de 60 km/h.

Para uma primeira aproximação pode-se usar, para valores do raio estático e raio dinâmicode pneus de automóveis, as seguintes relações empíricas:

re = 0, 47D (5.18)

rd = 1, 02 re (5.19)

onde:rd− raio dinâmico;re− raio estático;D− diâmetro externo do pneu.

5.4 Potência consumida pelas resistências ao movimen-to

A potência do motor, disponível na embreagem, é utilizada para vencer as resistênciasao movimento. Estas resistências podem ser resumidas como

• Resistência Mecânica Qm = Pe (1− ηm)/vt;

• Resistência Aerodinâmica Qa = Cx q A;

• Resistência de Aclive QS = Gsenα;

• Resistência de Rolamento Qr = f G cos α;

• Resistência de Inércia QI = ma (1 + δ).

A resistência total ao avanço do veículo é definida como a soma de todas as resistênciasao movimento excluída a mecânica, ou seja,

Qt = Qa +QS +Qr +QI (5.20)

Como o veículo está se movendo a cada uma destas resistências vai corresponder umacerta potência. De maneira genérica isto pode ser dado por:



Pi = Qi v (5.21)

onde:Pi− potência da i-ésima resistência [W ]Qi− i-ésima resistência [N ]v− velocidade [m/s]Devido ao efeito do escorregamento, que dissipa potência, deve ser usado a velocidade

teórica e não a velocidade real do veículo no o cálculo da potência consumida, ou seja

Pi = Qi vt =Qi vr1− e

. (5.22)

É importante salientar que, para o cálculo da resistência aerodinâmica, a pressão dinâmicaé calculada usando a velocidade real do veículo.A potência entregue no cubo deve ser equilibrada pelas potências consumidas, ou seja:

Pc = Pr + PS + Pa + PI . (5.23)

De um modo geral estas potências são função da velocidade do veículo e, quando plotadasem função da velocidade de deslocamento, têm a forma 2 apresentada na Figura 5.4.A curva de potência máxima, no cubo, é obtida da curva de potência efetiva do motor,

usando o rendimento mecânico e as relações de transmissão da caixa e do diferencial. NaFigura 5.4 a curva 1 representa a curva de potência máxima do motor no cubo da roda,enquanto que as curvas 3 e 4 representam a potência do motor com 75 e 50% da borboletada injeção aberta. Para os diversos níveis de abertura borboleta do carburador têm-sevelocidades diferentes de equilíbrio, como por exemplo as interseções das curvas 1, 3 e 4com a curva 2. O ponto da interseção representa a condição de equilíbrio para velocidadeconstante.Para o veículo à velocidade constante, no plano, a potência gasta para o movimento ser

mantido é dada por:

Pc = Pr + Pa (5.24)

que na Figura 5.4, corresponde ao ponto de interseção da curva 1 ou das curvas 3 e 4 com acurva 2, pois o veículo não esta gastando potência (velocidade constante) para acelerar oupara vencer um aclive (se desloca no plano).A potência líquida é a potência de reserva que o veículo ainda dispõe, sendo função da

velocidade. Essa potência líquida pode ser empregada tanto para acelerar o veículo, comopara vencer um aclive. A mesma é calculada simplesmente subtraindo da potência máximado cubo a potência de rolamento e aerodinâmica, para uma dada velocidade, como segue

PL = Pc − (Pa + Pr). (5.25)



v [m/s]

p [kW]e

50%

75%

100%

Q + Qa r

Potência consumida

Potência líquida1

2

3 4

v máx

Figura 5.4: Potência consumida e potência disponível.

Como pode ser observado na Figura 5.4, a máxima velocidade do veículo é o ponto deintercessão das curvas de potência máxima disponível com a de consumo de potência, ou seja,quando a potência líquida é zero. Abaixo desta velocidade há uma reserva de potência, quepode ser utilizada para acelerações ou vencer aclives ao longo do percurso de deslocamentodo veículo.


Capítulo 6

Diagramas de desempenho

6.1 Introdução

A potência gerada pelo motor do veículo é absorvida, em cada instante, pelas diferentesfontes de consumo de potência. Com o veículo movendo-se com velocidade constante, noplano, apenas uma parcela da potência que o motor pode desenvolver é absorvida o qualopera sob carga parcial, desde que não trafegue com velocidade máxima. Assim, existeuma reserva de potência que pode ser aproveitada para vencer aclives, acelerar o veículo ourebocar uma carga.O diagrama de desempenho, a ser desenvolvido neste capítulo, permite uma visão das

possibilidades de uso da potência do motor, indicando a reserva de potência em termos davelocidade de deslocamento do veículo.Existem outros tipos de diagramas de desempenho, porém, neste texto, será desenvolvido

apenas o de potência líquida no plano. Os demais são semelhantes ao desenvolvido aqui e ouso é equivalente.

6.2 Diagrama de potência líquida

O gráfico de potência líquida representa a potência ainda disponível, descontadas aspotências resistentes que ocorrem com o veículo se deslocando no plano. A potência líquidaé obtida descontando da potência que chega ao cubo da roda as potências devido ao atritode rolamento e à resistência aerodinâmica, ou seja:

PL = Pc − (Pr + Pa) (6.1)

sendo que a potência no cubo já considera as perdas mecânicas. Sendo Pe a potência efetivana saída do motor, a potência no cubo da roda é:

Pc = Pe ηm (6.2)

As demais potências podem ser calculadas usando a velocidade teórica do veículo, comose mostrou no Capítulo 5, da maneira que segue:

127


Capítulo 6 - Diagramas de desempenho 128

v [m/s]vv

p [kW] P + P

P

c ra

L P L

P L

máx

1 a 2 a 3a 4 a 5 a

5 a

4a

Figura 6.1: Diagrama de potência no cubo.

Pi = Qi vt (6.3)

ou

Pi =Qi v

(1− e)(6.4)

Conhecidas as relações de transmissão de cada marcha da caixa de câmbio e do dife-rencial, pode-se traçar as curvas das potências no cubo da roda em função da velocidadede deslocamento do veículo. Incluindo as curvas de potências necessárias para vencer asresistências de rolamento, Pr , e do ar, Pa , o gráfico resultante está mostrado na Figura6.1. De um diagrama de potência líquida como mostrado na Figura 6.1, podem ser obtidasvárias informções, tais como:

• Número de marchas, no caso cinco;

• Velocidade máxima;

• Recobrimento das marchas;

• Aclives e acelerações para cada velocidade, etc

Descontando-se dos valores da potência no cubo os valores correspondentes as parcelas depotência necessária para vencer as resistências de rolamento e do ar, para cada velocidade,obtém-se o gráfico de potência líquida. Este gráfico está apresentado na Figura 6.2.Uma vez obtido o gráfico é possível avaliar o comportamento, do veículo, em termos

da sua capacidade de desempenho, pois a potência líquida pode ser usada justamente para



v [m/s]

p [kW]L

v máx

p L

p L

β

v r máx

máx

máx

β

1 a

2 a

3a

4 a

5 a

A B

Cp

L

p L

v B v C v A

Ponto de

B

A

Figura 6.2: Diagrama de potência líquída.

acelerar o veículo, fazer com que ele suba um aclive ou então tracionar uma carga adicionaltal como um trailer ou carreta. O fluxograma mostrado na Figura 6.3 ilustra o procedimentode obtenção do diagrama de potência de um veículo.A seguir é apresentado uma maneira de avaliar o desempenho do veículo, em função da

potência líquida, em acelerações e em aclives. Além disto será apresentada uma maneira deselecionar as relações de transmissão da primeira e da última marcha do câmbio.

6.3 Possibilidade de vencer aclives

Considerando que toda a potência líquida seja utilizada pelo veículo para vencer umaclive, é possível obter-se o valor máximo de aclive, que o veículo é capaz de subir, da formaque segue:

PS = PL (6.5)

e como a potência de aclive, dada genéricamente pela equação 5.21, vale

PS = QS vt (6.6)

a força para vencer um aclive que o motor coloca a disposição do veículo em cada marcha,é então

QS =PL

vt. (6.7)

Por outro lado a resistência de aclive, em função do ângulo da rampa a ser vencida, édada por:



n i i rc d o

i i c d v = n π r /( 30 )dt m

n

Pe

m

ηm

q = 1/2 ρ v

v = v ( 1 - e)t

P = P ηmc e

v

f

Q = q C A xa

a P = P - P - PL c

2 P = Q v ta a

Q = f G r P = Q v tr r

ρ

e

G

, ACx

r

m

Figura 6.3: Fluxograma de obtenção do diagrama de potência líquida.

QS = Gsenα. (6.8)

Igualando as equações 6.7 e 6.8, tem-se o aclive que o veículo pode vencer

senα =

µPL

vt

¶1

G. (6.9)

O aclive, em função da velocidade real, é obtido pela definição da velocidade teóricacomo:

vt =v

1− e(6.10)

a qual substituída na equação 6.9 resulta em:

sen a =

µPL

v

¶(1− e)

G. (6.11)

Observando o ponto A sobre a curva da segunda marcha mostrado na Figura 6.2, tem-seque a PL/vr nada mais é do que a tangente do ângulo β, ou seja:

tag β =PL

v(6.12)

Com isso definido, a equação 6.11 pode ser reescrita como:

sen a = tag β(1− e)

G.

A partir desta equação, considerando que não há variação do escorregamento e do peso,concluí-se que quanto maior o ângulo β maior o ângulo a. Sendo assim, aclive não ocorre noponto de máxima potência líquida, mas sim no ponto de máxima força líquida, pois o que



interessa é a força disponível para vencer a resistência ao aclive. Isso pode ser facilmentevisualizado na Figura 6.2, onde o ponto B é o de maior aclive possível e não o ponto C, parao veículo na segunda marcha. Se fosse usado PL máximo, ponto C, então a relação PL/vrseria menor que a anterior, ou seja, menor aclive, embora a velocidade vC com que este possaser vencido, seja superior a do aclive máximo vB. O ponto de aclive máximo ocorre para oponto de torque máximo do motor, como era de se esperar, somente para a primeira marcha.Para as demais marchas isso não ocorre.

6.4 Possibilidade de aceleração

Considerando que toda a potência líquida, PL , seja usada para acelerar a massa doveículo pode-se calcular a aceleração para cada velocidade que o veículo se desloca. Paraisso, considera-se que toda a potência líquida seja usada para acelerar o veículo, ou seja

PL = QI vt. (6.13)

Com isso, consegue-se desenvolver um equacionamento que permite relacionar a aceleraçãocom a potência colocada a disposição do veículo pelo seu motor.A resistência de inércia, vista no Capítulo 2, em função das características do veículo é

dada por:

QI = ma (1 + δ). (6.14)

Igualando as expressões 6.13 e 6.14, pode-se escrever que:

a =

µPL

v

¶(1− e)

m (1 + δ). (6.15)

que permite calcular a aceleração do veículo para qualquer velocidade. Para este caso, comono de aclive máximo, a máxima ocorre para a relação (PL/v) máxima e na marcha maiscurta.

6.5 Tempo para mudar a velocidade

Tendo sido determinada a curva de potência do motor, bem como a maneira de calcular aaceleração máxima para cada velocidade do veículo, é possivel fazer a determinação do tempogasto para variar a velocidade do veículo de vo para v1. Para isto parte-se da definição daaceleração

a =dv

dt(6.16)

Comparando as equações (6.15) e (6.16), pode-se escrever:

dv

dt=

µPL(v)

v

¶(1− e)

m (1 + δ)(6.17)



onde PL(vr) é uma função contínua de vr para cada marcha da caixa de transmissão. Valesalientar que δ, a inércia de translação equivalente a de rotação, também é função de cada re-lação de velocidades da transmissão. Essas grandezas podem ser estimadas, para automóveise caminhões, com a expressão (2.23), porém o ideal é conhecer as inércias de todas as massasgirantes que variam sua rotação com a variação da velocidade do veículo.Com as devidas manipulações, a solução da equação diferencial anterior é dada generi-

camente por:

t =m(1 + δ)

(1− e)

v1Zvo

v

PL(v)dv +

nXi=1

ti + to (6.18)

onde:vo - é a velocidade no tempo to;to - é o tempo associado à velocidade vo, normalmente tomado igual a zero;v1 - é a velocidade no tempo t;t - é o tempo que o veículo leva para alcançar a velocidade v1;ti - é o tempo gasto para cada troca de marchas;n - é o número de troca de marchas efetuadas entre as velocidades vo e v1.A integral acima pode ser substituída por uma integração aproximada, já que em de-

terminadas situações podem haver problemas com a integração exata da da equação (6.18).Sendo assim, pode-se escrever o que segue:

t =m(1 + δ)

(1− e)

MXj=1

vjPL(vj)

∆vj +nXi=1

ti (6.19)

onde:M - é o número de incrementos de velocidade no intervalo entre vo e v1 .Como a inércia de translação equivalente a de rotação, δ, é função da relação de transmis-

são, a integral acima deve ser quebrada em partes associadas aos intervalos de velocidadesdesenvolvidas em cada marcha, ou seja:

t =n+1Xk=1

m(1 + δk)

(1− ek)

SXi=1

viPLk(vi)

∆vi +nXi=1

ti (6.20)

onde:n - é o número de marchas existente entre as velocidades vo e v1;ek- é o escorregamento dos pneus que ocorre na k-ésima marcha da caixa;δk - é a inércia de translação equivalente a de rotação para a k-ésima marcha da caixa;PLk - é a curva de potência no cubo da roda para a k-ésima marcha;S - é o número de incrementos de velocidade para cada marcha do veículo.Na Figura 6.4 estão mostradas algumas das grandezas que aparecem na equação acima

discretizada.



v [m/s]

F [N]L

máxv1v o máxv máx

Δv

3a

4 a

5 a

1A

2 a

Δv

Figura 6.4: Elementos da discretização do cálculo do tempo de mudança de velocidade.

6.6 Critérios para obtenção das relações de transmis-são

As relações de transmissão de um veículo tem uma importância fundamental sobre odesempenho deste. Em automóveis a relação na marcha mais alta é, normalmente, escolhidafazendo com que o veículo venha a atingir a máxima rotação do motor apenas em estradascom declives da ordem de 5%. Isto evita que em estradas planas, onde a velocidade máximaé menor do que no caso de um declive, o motor fique operando no máximo de sua capacidadepor muito tempo. Deste modo é possível definir a relação de transmissão do diferencialassumindo que na marcha mais alta ocorra uma redução igual a 1 ou da ordem de 0, 9, sehouver subremultiplicação. O resultado dessa análise é o produto da relação da j-ésimarelação de transmissão da caixa de marchas icj (j = 01, 2, ..., N , onde N é o número demarchas a frente da caixa de marchas) pela relação de transmissão do diferencial id.Vale a pena salientar que a relação total da transmissão é o produto de todas as relações

de transmissão entre o motor e as rodas, contando as da caixa de marchas, do diferencial,das caixas de redução e dos redutores de roda (estas últimas duas reduções normalmentesó existem em veículos de grande capacidade de tração, tais como tratores, veículos forade estrada e cavalos trator). Na equação 6.21 é mostrado como se obtém a relação detransmissão total de um sistema composta de três redutores em série, no caso a caixa detransmissão, o diferencial e um redutor de roda, todos eles com mais de uma relação detransmissão possível.

iTotal = icj idkiri (6.21)

onde:iTotal -Relação de transmissão final;icj - Relação de transmissão da j-ésima marcha da caixa;



idk- Relação de transmissão do k-ésimo par de engrenagens do diferencial;iri- Relação de transmissão do i-ésimo par de engrenagens do redutor de roda.Para a redução da primeira marcha é importante a força máxima que se espera que o

veículo deva desenvolver. Isso pode ser feito especificando o aclive máximo que o veículodeve subir (entre 22 e 25%) ou a capacidade máxima de tração. Assim, é obtido o produtoic1a id e, como o id já deve ter sido escolhido em função da velocidade máxima, a relação detransmissão da primeira marcha, ic1a , é obtida. Como a velocidade é baixa nessa situação,é usual desprezar-se a resistência aerodinâmica já que a sua intensidade é muito pequenae, consequentemente, o torque máximo do motor e respectiva rotação serem usados comoreferência na determinação da relação de transmissão da primeira marcha.Para o escalonamento das marchas intermediárias existem vários critérios que podem ser

utilizados para a determinação das relações de transmissão, podendo ser citados:

• Máximo desempenho em aceleração;

• Menor consumo;

• Mínima emissão de poluentes;

• Escalonamento geométrico;

• Experiência; etc.

As duas últimas filosofias têm perdido espaço no projeto dos veículos atuais. As trêsprimeiras filosofias só podem ser alcançadas com o perfeito conhecimento das curvas carac-terísticas do motor, tais como:

• Superfície da distribuição da potência ou torque;

• Superfície da distribuição de consumo específico;

• Superfícies de distribuição de emissão de cada tipo de poluente gerado na combustão.

A partir destas superfícies são traçadas as estratégias para para maximisar ou minimizara grandeza desejada, tais como máxima aceleração ou mínimo consumo de combustível etc.Normalmente as estratégias traçadas para a determinação das relações de transmissão,

para otimizar uma determinada característica do desempenho do veículo, são conflitantes.Para os veículos com câmbios mecânicos, onde as relações de transmissão são fixas, é im-possível satisfazer mais do que uma das filosofias, em função da pouca flexibilidade que estesistema de propicia. Para exemplificar o esforço para compatibilizar estas filosofias confli-tantes nos carros, basta observar como é determinada a relação de transmissão da quintamarcha da grande maioria dos veículo produzidos no Brasil, onde as quatro primeiras mar-chas tem um escalonamento visando o desempenho e a quinta o ruído ou mínimo consumopara velocidades em torno de 110km/h o que gera um "buraco"muito grande no escalona-mento entre a quarta e quinta marchas.



Nos veículos com câmbios automáticos, é comum que se tenha mais do que uma filosofiade implementada, tal como: economia e desempenho. Porém, em função do escalonamentonão ser contínuo, estas duas filiosofias não podem ser exploradas na sua potencialidade total,já que não se consegue o ótimo para quaisquer velocidades do veículo.Com a disseminação da eletrônica embarcada na indústria automobilística, hoje em dia

já é possível que os de sistemas de controle de um automóvel, tais como acelerador, câm-bio, freios, etc., sejam feitos através de programas (softwares). Isso permite a influênciado operador no controle da máquina seja reduzida e, na maioria das vezes, corrigida. Essatecnologia somada com o advento dos câmbios com variação contínua de relação de trans-missão (tal como a tronco toroidal ou o CVT) tornou possível a implementação de todasas filosofias anteriormente listadas. Vale salientar que apenas uma das filosofias poderá serselecionada pelo operador em função das condições de uso do veículo naquele instante, jáque são conflitantes na sua maioria.

Exemplo Obter o diagrama PL × v para o veículo com as seguintes características detransmissão e motor:

Motor:180 cv DIN a 5800 rpm.

Câmbio:ic1a = 2, 909;

ic2a = 1, 9776;

ic3a = 1, 471;

ic4a = 1, 0.

Diferencialid = 3, 091.

Rendimento da transmissãoη = 0, 90.

Dados dos pneusrd = 0, 32m;

e = 0, 02;

f = 0, 015 (pneu radial têxtil).

Carroceria:A = 2, 0m;

Cx = 0, 42.

Peso do veículoG = 16.503N.

A curva de potência, do motor, é dada na Tabela 6.1.



Tabela 6.1: Potência versus rotação do motor.n [rpm] 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000Pe [cv] 7,56 45,0 78,2 106,7 130,5 149,7 164,2 174,0 179,2 179,6Pe [kW ] 5,56 33,1 57,5 78,5 96,0 110,1 120,8 128,0 131.8 132.1Pc [kW ] 5,0 29,8 51,8 70,7 86,4 99,1 108,7 115,2 118.6 118.9

Com estes dados podem ser calculadas as seguintes grandezas.Velocidade real

vr = 0, 01062nmicj

. (6.22)

Resistência aerodinâmica

Qa = 0, 51266 v2. (6.23)

A resistência de rolamento

Qr = 247 [N ] . (6.24)

Potência líquida é calculada por

PL = Pc − Pp (6.25)

onde Pp e Pc são as potências perdida e no cubo, respectivamente. A potência no cubo édada por:

Pc = Pe ηm (6.26)

A potência perdida que é dada por

Pp = (Qa +Qr) vt (6.27)

para esse problema, é:

Pp = (0, 51266 v2r + 247)

v

(1− e)(6.28)

ou

Pp = (0, 51266

µ0, 01062

nmicj

¶2+ 247)

³0, 01062nm

icj

´(1− e)

(6.29)

A seguir é feita uma análise do desempenho do veículo.Do diagrama de potência no cubo, mostrado na Figura 6.5, observa-se que a intersecção

entre a curva de potência no cubo e a gasta ocorre para uma velocidade de 58,14 m/s, que éa velocidade máxima do veículo. Chega-se a mesma conclusão observando a Figura 6.6, noponto onde a potência liquída na última marcha é zero.Na Figura 6.7 é mostrado o diagrama de força líquida no cubo, obtido a partir do diagrama

de potência líquida. Esta força pode ser usada pelo veículo para acelerar, vencer um aclive



v[m/s]

P[W]

Vmáx =58,14

Figura 6.5: Potência no cubo e potência consumida

P[W]

v[m/s]

Vmáx =58,14

Figura 6.6: Diagrama de potência líquida no cubo.



Figura 6.7: Diagrama de força líquida no cubo.

Tabela 6.2: Relações de rotações de torque máximo do motor e de força máxima na roda.Grandeza 1 a marcha 2 a marcha 3 a marcha 4 a marchaNTMM 3798 3798 3798 3798NFMRi

3735, 5 3613, 9 3409, 4 2954, 6Dif [%] 1, 65 4, 85 10, 23 22, 21

ou então rebocar uma carga. Neste diagrama, que mostra a força líquida em cada marcha,é importante observar que a força líquida máxima não ocorre no ponto de potência líquidamáxima, nem na velocidade de torque máximo do motor. Este aspecto foi frisado nos itens6.4 e 6.3 deste capítulo.Para quantificar a diferença da rotação de força máxima na roda em relação à de força

(torque) máxima do motor é mostrado na Tabela 6.2 a relação entre a rotação de torquemáximo do motor e a de força máxima na roda. Esta relação é calculada por:

Dif =

µNTMM −NFMRi

NTMM

¶100 (6.30)

onde:NTMM - Rotação de torque máxima do motor;NFMRi

- Rotação no motor de força máxima na roda para a i’ésima marcha.O aspecto interessante do mostrado na Tabela 6.2, é que a velocidade associada a rotação

de força máxima na roda é sempre menor do a associada a rotação de torque máximo domotor.

Segundo o equacionamento desenvolvido no item 6.5, equação 6.20, este veículo parapassar de 20 km/h até a sua velocidade máxima, cerca de 209 km/h, considerando que paracada passagem de marcha se levou 0 , 2 s, gasta cerca de 60 , 8 s. Para acelerar de 20 km/haté 100 km/h, a estimativa é de 12 , 5 s.As acelerações desenvolvidas pelo veículo, calculadas pela equação 6.20, são mostradas

na Figura 6.8. Na Figura 6.9, estão mostradas as acelerações máximas possíveis de serem



10 20 30 40 50 60

a [m/s ] 2

v [m/s]

Figura 6.8: Acelerações desenvolvidas para variar a velocidade de 5,6 m/s para 58,1 m/s.

10 20 30 40 50 60

a [m/s ] 2

v [m/s]

Figura 6.9: Diagrama de acelerações para todas as marchas.

desenvolvidas em cada velocidade de deslocamento do veículo. Como era de se esperar, aaceleração máxima do veículo ocorre na primeira marcha, enquanto que a aceleração é nulana última marcha exataente no ponto de velocidade máxima.Na Tabela 6.3 está sintetizado um conjunto de outros dados do desempenho do veículo.



Tabela 6.3: Resumo dos resultados.Grandeza 1a marcha 2a marcha 3a marcha 4a marcha

Força máx. - N 6308, 5 4061, 6 2749, 7 1366, 1Vel. de força máx. - m/s 13, 9 19, 8 25, 1 32, 0Aclive máx. - % (graus) 40, 4 (22, 0o) 21, 1 (11, 9o) 16, 6 (9, 4o) 8, 1 (4, 7o)Acel. máx. - m/s2 (g) 2, 58 (0, 26) 1, 97 (0, 20) 1, 44 (0, 15) 0, 76 (0, 08)Vel. mín. - m/s (km/h) 5, 6 (20, 1) 8, 2 (29, 6) 11, 1 (39, 8) 16, 6 (58, 5)Vel. máx. - m/s (km/h) 22, 4 (80, 5) 32, 9 (118, 4) 44, 2 (159, 2) 58, 1 (209, 3)


Capítulo 7

Princípios de carroceriasaerodinâmicas

7.1 Introdução

O efeito do ar se movimentando em torno de um veículo afeta de três modos distintos oseu comportamento. Estes três modos são:- Resistência ao movimento- Efeitos de sustentação ou contra pressão- Efeito de ventos lateraisA primeira preocupação dos construtores foi justamente com o problema da resistência

aerodinâmica, já que esta afeta sensivelmente a potência consumida pelo veículo. Emboraos primeiros estudos detalhados tenham sido iniciados em 1920, até o dia de hoje a maioriados carros possuem uma forma que leva a um desperdício de potência da ordem de 30 a40%. Quanto aos ventos laterais, o projeto das carrocerias dos modelos em produção quaseos desconsidera completamente. Estes fatos se devem principalmente as seguintes causas:- Quase todo estudo aerodinâmico deve ser experimental ou numérico, com grande dis-

pêndio de tempo e dinheiro;- As melhores soluções em termos de aerodinâmica se adaptam mal a um projeto de

automóvel, em termos de leiaute e disponibilidade do espaço interno;- Do desenho seguir uma evolução mais comercial do que técnica, com carroceria de

formas esteticamente boas mas de baixo rendimento aerodinâmico.Os efeitos de forças verticais, sobre o veículo, influenciam a aderência de cada pneu e,

portanto, o comportamento direcional do veículo sob a ação de forcas laterais bem como apotência que pode ser transmitida pelas rodas e a capacidade de frenagem. Por isto a suaanálise também é muito importante no projeto de veículos de grande desempenho.Sendo assim, se o projetista tiver acesso a informações a respeito das formas mais ade-

quadas para o desempenho aerodinâmico de um veículo, recursos e tempo podem ser econ-omizados na otimização aerodinâmica. Assim, o que segue é bastante adequado para estesobjetivos.

141


Capítulo 7 - Princípios de carrocerias aerodinâmicas. 142

Figura 7.1: Fuso aerodinâmico.

Figura 7.2: Efeito do solo no escoamento do ar sobre um fuso.

7.2 Formas de baixa resistência aerodinâmica

De um modo geral a forma mais aerodinâmica é a de um fuso simétrico, Figura 6.01,apresentando um valor de Cx da ordem de 0, 05. As primeiras experiências com carroceriasaerodinâmicas foram, portanto, inspiradas nestas formas.

Figura 6.02 - Efeito do solo no escoamento do ar sobre um fuso.Os resultados, no entanto, não foram animadores, pois a presença do solo perturba as

linhas de fluxo aumentando a resistência para valores de cerca de 0, 20. A redução daeficiência, da forma, deve-se a proximidade do solo pois o mesmo torna o fluxo assimétrico,como se mostra na Figura 6.02.Os fusos apresentam bons resultados quando afastados do solo, com Cx crescendo quando

aproxima-se do solo, como pode-se verificar nos resultados experimentais expressados naFigura 6.03.Foi tentando manter a simetria imaginária do fluxo que o fuso foi cortado no meio por

um plano pois o que ocorre em um lado do fuso não influi no fluxo outro lado. Deste modo,é possível usar um meio fuso, junto ao solo, com resultado igual ao de um fuso isolado. Essatentativa está representada na Figura 6.04. Esta forma é eficiente, apenas, quando o veículofica bem próximo ao solo. Isto habitualmente não ocorre pois existe um vão entre o fundo eo solo, da ordem de 200 a 250 mm, em todos os veículos de passeio. De modo a possibilitareste espaço a forma indicada é a intermediária entre o fuso e o semi-fuso, ou seja um fusoassimétrico, o que permite que linhas do fluxo sigam melhor a forma da sua linha média.



Figura 7.3: Efeito da proximidade do solo no Cx de um fuso.

Figura 7.4: Semi fuso, com fluxo simétrico imaginário.



Figura 7.5: Fuso assimétrico.

Figura 7.6: Formas de Jaray e maneira de obte-las.

A forma de fuso assimétrico apresenta um Cx, da ordem de 0, 13, não tão bom quanto odo fuso simétrico, porém satisfatório. Essa forma no entanto, apresenta três inconvenientesgraves:- No assoalho, devido a forma do fuso, há dificuldades de: colocação das rodas, acesso à

cabina e visibilidade para traz.- O veículo é muito comprido, dificultando o tráfego.- A forma cria uma forte força de sustentação em altas velocidades, que reduz a carga

sobre as rodas tornando o veículo perigoso sob a ação de forças laterais.

7.3 Princípio de Jaray (Forma J)

De modo a contornar alguns destes problemas, Jaray propôs uma forma de carroceriaderivada do fuso assimétrico. Esta forma é constituída de um perfil de asa, como corpoinferior da carroceria, com um semi-fuso sobreposto de modo a formar a cabine, Figura6.06-a. Esse esquema obteve sucesso, por ser prático e permitir redução da resistênciaaerodinâmica a menos da metade, nos carros existentes na época. Os modelos que seguiramesta receita foram o Citroen DS e o Porsche 911. A forma de Jaray, também denominadade forma J, pode ser derivada a partir do fuso assimétrico, modificando a parte dianteira demodo a melhorar a visibilidade como mostra-se na Figura 6.06-b.



Figura 7.7: Forma de Jaray modificada.

Carrocerias com este formato apresentam a vantagem de que a camada limite conserva-se ligada até o final, o que implica em turbulência e Cx baixos. No entanto, para que istoocorra, o comprimento do carro deve ser grande, o que é uma desvantagem. Procurou-secontornar este problema, inerente da forma de Jaray, encurtando a parte traseira do veículo,como mostra-se na Figura 6.07.Porém, como era de se esperar a camada limite não se mantém colada até o final do

veículo, sofrendo separação bem antes do final, o que causa um aumento significativo daturbulência na traseira, com isto, aumentando a resistência do ar. Porém, mesmo assim,alguns veículos usaram esta conceituação na década de 30, como por exemplo o VW Sedan,obtendo sucesso apreciável.

7.4 Pricípio de Kamm (Forma K)

Por volta de 1940 o professor Kamm apresentou sua concepção, Figura 6.08-a, quecaracteriza-se por:- A traseira do veículo cortada, apresentando uma superfície e não uma ponta ou aresta.- A diminuição de seção para a traseira é lenta, seguindo a lei de formação de um fuso,

de forma a não causar deslocamento da camada limite até o ponto do corte.A idéia surge do fato de que pela perda de energia das partículas de ar da camada

limite ocorre a sua separação, em um determinado ponto da carroceria, criando turbulênciaa partir dai. Após este ponto a forma do corpo não cumpre mais a missão de dirigir o fluxode ar e de diminuir a resistência aerodinâmica total. Assim deixa de ter utilidade podendosimplesmente ser cortada fora.A solução apresenta uma resistência superior à forma J original, mas com comprimento

do carro bem menor. Para as duas formas com mesmo comprimento, Figura 6.09, a formade Kamm possui menor coeficiente de resistência, pois a área de turbulência é sensivelmentemenor. Com esta solução consegue-se valores de Cx bastante favoráveis, comprimentos ra-zoáveis e, ainda, um melhor espaço interno do veículo. Por estas razões, a forma K é referidacomo sendo um ovo de Colombo.



Figura 7.8: Área de turbulência para as formas de Kamm e Jaray encurtada.

Figura 7.9: Comparação do Cx entre as formas J e K, para diferentes comprimentos.



Figura 7.10: Modelo usado por Lay em seus estudos.

Tabela 7.1: Estudo de Lay.Traseira

W X Y ZF 0, 35 0, 35 0, 32 0, 24

Frente do E 0, 32 0, 26 0, 25 0, 17modelo D 0, 30 0, 23 0, 21 0, 12

C 0, 30 0, 24 0, 20 0, 12

7.5 Estudos de Lay

O professor W. E. Lay, da Universidade de Michigan, realizou uma série de estudos afim de verificar a influência da parte traseira do veículo, bem como da parte dianteira, naresistência aerodinâmica. Os resultados estão resumidos no quadro 6.01. A pesquisa sedesenvolveu, em 1933, usando um modelo desmontável onde podia-se variar e combinar,a vontade, a forma da frente e traseira do veículo. Na Figura 6.10 está representado umesquema da maquete utilizada nos ensaios.

Analisando a tabela observa-se que a dianteira do tipo C não ajuda em nada a reduçãoda resistência aerodinâmica comparada com a D (ângulo do parabrisa de 45o), o que é ótimo,já que a C prejudica bastante a visibilidade.Quanto à traseira a redução de Cx é sensível apenas para formas adequadas do parabrisa

como pode-se ver, comparando o Cx , para as combinações F - Z e C - X da Tabela 7.1.Através desta análise verificou a importância de combinar tanto a traseira como a di-

anteira, não bastando somente uma delas ter forma favorável, para que se tenha uma formacom bom rendimento aerodinâmico.



a)

c)

b)

PONTO DE INÍCIO DEDESLOCAMENTO

PONTO DE INÍCIO DEDESLOCAMENTO

Figura 7.11: Meios de reduzir a resistência do ar.

7.6 Meios de diminuir a resistência do ar

7.6.1 Sucção da camada limite

Em carros com motor traseiro, onde o ar de refrigeração do motor é fornecido peloventilador, é interessante captar o ar em zonas de alta pressão dinâmica, ou seja sugá-lona zona onde a camada limite tende a separar-se. Consegue-se, com isto, a diminuição daresistência do ar, devido a não existência de zonas de alta pressão dinâmica. Este artifício éusado no Porsche 911 - fabricado na Alemanha, conforme mostra-se na Figura 6.11b.

7.6.2 Palhetas direcionais

O uso de palhetas direcionais Figura 6.11c, em locais de variação brusca da seção transver-sal da carroceria, garantem um maior contato da camada limite com a superfície do veículo.As palhetas direcionais, colocadas em locais onde a camada limite começa a descolar-se,impedem a propagação deste descolamento para a frente do veículo, garantindo assim umamenor área de turbulência na sua traseira, o que reduz a força de arraste.Em carrocerias com Cx baixo o emprego de palhetas direcionais para redução do Cx

é duvidoso, já que a própria palheta possui uma resistência aerodinâmica. O efeito global,neste caso, é melhor analisado a partir de testes em túneis de vento, ou por análise numérica.

7.6.3 Cantos auxiliares

Conforme visto anteriormente, a separação da camada limite se dá devido a um gradienteadverso de pressão que vai freiando o ar. Uma vez formada turbulência, esta age como umacunha podendo prolongar a zona de separação.A utilização de cantos auxiliares, Figura 6.12, nas zonas críticas na forma de um pro-

longamento da parede externa sobre a superfície posterior impede, em parte, o fluxo contrárioformador da cunha. O seu emprego pode causar uma diminuição apreciável da resistênciado ar.



Figura 7.12: Emprego de cantos auxiliares em locais de deslocamento da camada limite.

1.00.80.60.40.2

0-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

Figura 7.13: Distribuição de pressão resultantes em um veículo de concepção antiga.

7.7 Distribuição de pressão

O estudo de como se distribui a pressão, sobre e sob a carroceria do veículo, permite umaprevisão do seu comportamento. O estudo desta distribuição é importante tanto em proble-mas de resistência ao avanço, como em problemas de estabilidade do veículo. A observaçãodas curvas de distribuição de pressões permite ao construtor de ter idéias de como melhoraro desempenho do seu veículo.O veículo pouco aerodinâmico, apresenta distribuição de pressão bastante irregular, com

picos acentuados. Essas irregularidades correspondem a flutuações bastante bruscas na ve-locidade do fluído e, conseqüente, formação de turbulência. Esse efeito, da variação dageometria da carroceria sobre a distribuição de pressões, pode ser visualizado na Figura6.13.Para um veículo com características mais aerodinâmicas a distribuição é mais suave,



Figura 7.14: Distribuição de pressão nas formas de Jaray e de Kamm.

Figura 7.15: Comparação da distribuição de pressão em dois tipos de frente.

conforme pode-se visualizar na Figura 6.14.Neste último tipo de carroceria tem-se três zonas de pressão positiva, uma na frente do

carro, outra no parabrisa e outra no fim da carroceria. Nas duas primeiras zonas a pressãopositiva é causada pela pressão dinâmica do ar e a na última pela desaceleração da massade ar. As duas zonas de depressão, uma sobre o capo e outra no teto após o parabrisa,ocorrem devido a aceleração da massa de ar pela variação da seção da carroceria. Entreestes pontos característicos a curva da distribuição de pressões varia de forma relativamentesuave. Quanto à forma da parte dianteira, um maior afilamento desta é conveniente poisreduz o gradiente de pressão e a depressão sobre o capo. A redução desta depressão diminuitanto a resistência ao avanço como a força de sustentação que age na frente.A variação da pressão de forma menos acentuada é conveniente, pois impede a formação

de turbulência na parte anterior do veículo, reduzindo a resistência ao avanço. No caso deuma carroceria pouco aerodinâmica, como a da Figura 6.15a, o grande aumento da velocidadena parte anterior do capo dianteiro origina uma depressão muito grande e, próximo aoparabrisa, passa a positiva com condições propícias para formação de turbulência. Umaredução deste gradiente de pressão, com a utilização de uma forma mais adequada da frente



Figura 7.16: Características básicas de um aerofólio.

como por exemplo a da Figura 6.15b, reduziria formação da turbulência e consequentementemelhoraria a penetração aerodinâmica do veículo

7.8 Forças de sustentação

Todo corpo imerso em um fluído sofre a ação deste. Esta ação é a força resultante dadistribuição de pressões que o fluído exerce sobre o corpo, a qual pode ser decomposta emtrês componentes, uma na direção axial do veículo, outra na direção transversal e outrana vertical. A componente vertical, é a que propicia a força de sustentação, como porexemplo a necessária para um avião voar. O estudo de aerofólios aeronáuticos propiciará umentendimento mais adequado do fenômeno, e a utilização dos conceitos básicos envolvidospoderão ser estendidos para carrocerias de automóveis.Um aerofólio fica definido basicamente por quatro fatores, dois da plataforma e dois da

seção transversal, como mostra-se na Figura 6.16.Uma teoria aproximada para avaliar a intensidade da força de sustentação pode ser

desenvolvida, usando a linha média como característica do aerofólio. Para o caso da linhamédia ser um arco de círculo, como mostra-se na Figura 6.17, tem-se que o coeficiente desustentação é dado por:

Cz = 2π sen(α+ β) sec β (7.1)

Esta equação é uma boa aproximação para pequenos ângulos de ataque, (o ângulo deataque deve ser pequeno para não haver descolamento da camada limite). Assim, a força desustentação, na direção vertical, é dada por:

Fz = Cz q A (7.2)

onde:Fz - força de sustentação vertical;



Figura 7.17: Geometria de um aerofólio de arco circular.

A = bc - área da plataforma;a - ângulo de ataque;b - metade do ângulo de compreendido entre a corda e a tangente à raiz do aerofólio;Cz - coeficiente de sustentação aerodinâmica;q - pressão dinâmica.O coeficiente da resistência do ar pode ser decomposto em duas parcelas, uma natural e

outra induzida pelo efeito de sustentação, como a seguinte relação indica.

Cx = Cxo + Cxi (7.3)

onde:Cxo - coeficiente de resistência natural, que depende apenas do perfil.Cxi - coeficiente de resistência induzida.Existe uma relação entre o coeficiente de resistência induzido e coeficiente de sustentação,

como a que segue:

Cxi =C2z

π R(7.4)

onde R é a relação de aspecto, (R = b/c para uma plataforma retangular).A equação 6.01, para o coeficiente de sustentação Cz , pode ser reescrita como:

Cz = C sen(αe) (7.5)

onde:αe = (α+ β) - é o ângulo de ataque efetivo;C = 2π sec β - é uma constante.Com estes conhecimentos, da teoria de sustentação de aerofólios, é possível chegar-se a

algumas conclusões interessantes para o caso de carrocerias, como segue.A carroceria pode ser considerada como sendo um aerofólio, com relação de aspecto

inferior à unidade porque a largura é menor do que o comprimento do veículo. Assim, a



Figura 7.18: Variação do Cx com o Cz .

carroceria possui coeficiente de resistência aerodinâmica mínimo, equação 6.03, quando asustentação for zero, ou seja, Cz = 0. Com Cz diferente de zero, seja positivo ou negativo,surge mais a parcela da resistência induzida que, pelo pequeno valor da relação de aspecto,pode assumir uma porcentagem considerável, como mostra-se na equação 6.04 e Figura 6.18,do valor total do Cx.Para obter-se uma estimativa do coeficiente de sustentação Cz é necessário determinar o

ângulo de ataque efetivo, o qual é formado pela linha de velocidade do vento e a linha doperfil em que ocorre sustentação nula.Este ângulo é dado, aproximadamente, pela secante à linha média da carroceria na tra-

seira do veículo. A secante é definida pela união do último ponto da linha média com oponto localizado, sobre a linha média, a uma distância de cerca de 20 a 30% do compri-mento da carroceria, medida a partir da traseira do carro, como experimentalmente podeser comprovado.Uma melhor estimativa do ângulo de sustentação nula pode ser obtida pela expressão:

αee =X

a(u+ l) (7.6)

onde:u = a∗

L100 - ordenada superior da carroceria, a partir da corda, dada em % desta;

l = a∗∗

L100 - idem, apenas que com referência à ordenada inferior da carroceria, a partir

da corda;αe - ângulo de sustentação, em radianos;a - constante.O valor de ”a” é obtido da Tabela 7.2.



Figura 7.19: Linha média de um veículo convencional.

Pelos valores de ”a” observa-se que a geometria dos últimos 20% da carroceria é queinfluem de forma sensível o valor de αe.Uma variação no ângulo de ataque pode ocorrer na aceleração ou na frenagem, assim

como num carregamento excessivo do porta-malas, o que causa um aumento no arrasteaerodinâmico.O efeito da resistência induzida ajuda a explicar, também, porque a forma K de carroceria

possui menor Cx em comparação com a forma J. Na forma K o ângulo de ataque é pequeno,dando assim um baixo valor de Cz e uma resistência induzida pequena. Já na forma J oângulo de ataque é grande, com uma sustentação forte, causando uma resistência induzidabem maior. Nesta última forma de carroceria o ângulo de ataque é da ordem de 15o a 20o e,nestas condições, a resistência induzida pode contribuir em mais de 30% para a resistênciaaerodinâmica total do veículo.

De forma a evitar forças de sustentação a parte final da carroceria, ao menos, deve teruma inclinação para cima, de modo que o ângulo de ataque efetivo fique próximo de zeroou então seja negativo, como está representado na Figura 6.21. Esta forma de carroceriaapresenta uma força de compressão na parte traseira e uma certa força de sustentação nadianteira. Deste modo o efeito conjunto é de um momento que alivia perigosamente as rodasdianteiras, principalmente a altas velocidades. Uma maneira de corrigir um pouco este efeitoé, sem alterar a forma da carroceria, introduzir spoilers na dianteira do veículo compensandoa força de sustentação, como se mostra na Figura 6.22.O spoiler dianteiro, devido as suas características, produz uma força vertical orientada

para baixo que devolve a aderência às rodas dianteiras. Este artifício é bastante usado emveículos de competição que empregam aerofólios na traseira. Outra possibilidade é alterar aforma da carroceria, na frente, para que produza também uma contra pressão, Figura 6.23.Assim o conjunto torna-se mais eficiente já que a forma mais afilada na dianteira é, também,



Figura 7.20: Ângulo de ataque efetivo para as formas de Jaray (J) e a de Kamm (K).

Tabela 7.2: Valores de ”a”, para o cálculo do ângulo de ataque.Abcissa Constante ”a”0 1.450.025 2.110.05 1.560.1 2.410.2 2.940.3 2.880.4 3.130.5 3.670.6 4.690.7 6.720.8 11.750.9 21.720.95 99.851.0 −164.90



Figura 7.21: Uso de traseira alta para redução da força de sustentação.

Figura 7.22: Uso de spoiler na dianteira do veículo para redução de força de sustentação.



Figura 7.23: Alteração da carroceria de forma a reduzir a força de sustentação na dianteirado veículo.

Figura 7.24: Forma provável da carroceria de um carro do futuro.

conveniente do ponto de vista da distribuição da pressão estática. A tendência atual é o usodesta forma afilada e rebaixada para a dianteira do veículo, conjuntamente com traseiraselevadas e truncadas.Levando-se em conta o que foi explanado pode-se arriscar uma estimativa da geometria

de carrocerias, de veículos que serão desenvolvidos em futuro próximo, como sendo aquelemostrado na Figura 6.24.Convém salientar que o ângulo de ataque efetivo existente desta forma irá produzir uma

resistência induzida apreciável, porém aumentará a capacidade do veículo em fazer cur-vas e absorver outras cargas transversais melhorando, sensivelmente, a manobrabilidade doveículo em altas velocidades. Também podem ser usadas carrocerias inteligentes, que mu-dam de forma de acordo com a velocidade de deslocamento do veículo, comandadas porcomputador. Pode-se, nestes casos, chegar ao extremo de que o veículo mude a sua geome-tria completamente, para satisfazer exigências de fluxo mais adequado para cada velocidade.


Capítulo 8

Estabilidade direcional

8.1 Introdução

A estabilidade é caracterizada como a propriedade de um corpo de, retirado de umaposição de equilíbrio ou movimento contínuo, produzir forças e momentos que o façam re-tornar à posição primitiva.Um exemplo simples que permite visualizar o conceito de estabilidade é o de uma esfera

sobre uma superfície, quando retirada da sua posição de equilíbrio, como mostra a Figura8.1.A estabilidade de um veículo é entendida como sendo a propriedade de retornar ao estado

primitivo de marcha após cessada uma perturbação transitória, como, por exemplo, umarajada de vento. Isto não significa voltar à trajetória primitiva de deslocamento, mas sim àcondição estável de marcha. Na Figura 8.2, são mostradas trajetórias distintas seguidas pordois veículos com concepções diferentes e submetidos a uma mesma ação de vento lateral.Em geral, a direção seguida pelo veículo após cessar a perturbação é diferente da primitiva

e somente em casos especiais as direções coincidem. Através de medidas construtivas, pode-se conseguir estabilidade de marcha e manter desvios de curso, devidos à perturbações, emvalores reduzidos, sendo o retorno à direção primitiva obtido através de pequenas correçõesno volante.

Com o avanço da tecnologia, os automóveis ficaram cada vez mais velozes e o estudoda estabilidade direcional, que considera o efeito de forças transversais de pequena ou longa

Figura 8.1: Condições possíveis de equilíbrio.

158


Capítulo 8 - Estabilidade direcional. 159

Figura 8.2: Comportamento de dois veículos com concepções diferentes após a atuação deuma perturbação lateral.

duração, é fundamental. Essas forças podem ser conseqüência de ventos, inclinações lateraisda pista ou, então, por acelerações laterais causadas por mudanças de direção necessáriaspara percorrer uma curva.Considera-se, no estudo subseqüente, duas condições distintas quanto à estabilidade do

veículo:

• estabilidade em retas e

• estabilidade em curvas.

Pretende-se, com ele, fornecer ao projetista condições de melhor avaliar o comportamentodo veículo em desenvolvimento e de como atuar para, se necessário, atenuar ou acentuaralgumas características relativas a sua estabilidade direcional.

8.2 Estabilidade em retas

8.2.1 Forças e momentos sobre o veículo

A estabilidade de um veículo depende das forças e momentos que nele atuam nas difer-entes condições de marcha; essas forças, por outro lado, dependerão das dimensões e formado veículo, logo sofrem influência do projetista.Quando o veículo se desloca em linha reta numa pista plana, existe equilíbrio entre as

resistências ao movimento e a força de aderência dos pneus com o solo, quer seja na traçãoou na frenagem.



Figura 8.3: Força lateral perturbadora devida à inclinação da pista.

A resistência ao rolamento e as forças de tração ou frenagem atuam nos pneus. Asforças de inércia atuam no centro de gravidade. Quanto à força do ar, o seu ponto deatuação depende não só da forma aerodinâmica da carroceria como, também, do ângulo deincidência do vento sobre o veículo.As forças laterais que irão influenciar a estabilidade direcional do veículo podem ser

originadas de várias maneiras:

• Inclinação da pista.

Uma parcela do peso do veículo, devido à inclinação lateral da pista, irá atuar na direçãotransversal deste, como mostra a Figura 8.3. O valor desta parcela é dado por

S = G. senα (8.1)

• Força centrífuga.

Quando o veículo estiver fazendo uma curva, a força centrífuga que estará atuando édada por

S = m.ω2 .ρ = mv2tρ

(8.2)

onde:m - massa do veículo;ω - velocidade angular;vt - velocidade tangencial;ρ - raio da curva.



Figura 8.4: Força lateral perturbadora devida ao vento.

• Vento incidindo na lateral do veículo.

Quando a direção do vento, na Figura 8.4 representada pelo ângulo β, for oblíqua àdireção de movimento do veículo, a força resultante R, orientada nessa figura pelo ânguloτ , pode ser decomposta na resistência aerodinâmica, Qa, e na força N , normal à direção domovimento.O ponto de aplicação de R, para as formas habituais de carroceria, situa-se entre o eixo

dianteiro e o centro de gravidade do veículo. Em túneis de vento, com modelos em escalareduzida ou com veículos reais, fazendo o vento incidir em diferentes ângulos de inclinaçãosobre a carroceria, é possível obter o valor da força transversal e o seu ponto de aplicação.Como este ponto dificilmente coincide com o CG, tem-se, geralmente, um momento agindosobre o centro de gravidade do veículo, dado por

Mz = N e, (8.3)

onde e é a distância do CG ao ponto de aplicação de N . O momento é considerado positivoquando tende a fazer o veículo girar no sentido anti-horário.Para facilitar as análises do comportamento do veículo em diferentes situações, será ado-

tada a modelagem mostrada na Figura 8.5; nela, considera-se o veículo dotado de pneusiguais, com a mesma pressão, e, ainda, tanto as rodas dianteiras como as traseiras repre-sentadas por uma só, localizada no centro de cada eixo. A força lateral S atuante no CGe originada por qualquer das causas citadas anteriormente, ou por uma superposição delas,pode ser substituída por suas componentes atuando nos eixos dianteiro e traseiro (se essaforça lateral for causada por ventos, o valor dessas componentes será afetado pelo momentoda componente lateral do vento em relação ao CG). Esse modelo elimina o efeito das sus-pensões e do sistema de direção, salientando somente a distribuição de forças nos eixos e osângulos de deriva delas decorrentes.



Figura 8.5: Modelo simplificado de um automóvel.

Figura 8.6: Modelo simplificado de um veículo com a força lateral perturbadora aplicada noseu centro de gravidade.

8.2.2 Influência do comportamento do pneu na estabilidade

Veículo com CG na metade da distância entre eixos

Supondo que o veículo tenha o seu centro de gravidade na metade da distância entre eixose esteja submetido a uma força lateral S, agindo nesse centro, as componentes transversaisnos eixos são dadas por:

SI =S

2(8.4)

SII =S

2(8.5)

Como QI = QII = Q/2 e SI = SII = S/2, os pneus se deformarão, sob a ação destasforças laterais, com iguais ângulos de deriva, como mostra a figura 8.6 a).Como αI = αII , o veículo se deslocará lateralmente e, após cessada a perturbação,

assumirá uma trajetória paralela à primitiva.



Veículo com CG na dianteira

Este caso será mais facilmente entendido considerando um veículo hipotético com pneus cujocomportamento está representado na figura 8.6 b). Admita-se que a distribuição de pesoseja de 60% na dianteira e 40% na traseira e que a força lateral que atua no CG se distribua,nos eixos, segundo estas porcentagens. Supondo, por exemplo, que o veículo pese 12000N eque esteja submetido a ação de uma força lateral de 6000N , tem-se para o eixo dianteiro:

QI = 12000 (0, 6) = 7200N (8.6)

SI = 6000 (0, 6) = 3600N (8.7)

e para o eixo traseiro:

QII = 12000 (0, 4) = 4800N (8.8)

SII = 6000 (0, 4) = 2400N (8.9)

o que corresponde às cargas radiais e transversais de 3600N e 1800N para um pneu do eixodianteiro e de 2400N e 1200N para um pneu do eixo traseiro, considerando, simplificada-mente, que a força lateral não ocasiona inclinação da carroceria, o que aumentaria a carga nopneu externo de um eixo e diminuiria no interno. Nessas condições simplificadas, as derivasdos dois pneus de um mesmo eixo seriam iguais e, portanto, iguais à deriva do eixo.Da figura 8.7, as derivas do eixo dianteiro e traseiro correspondem, respectivamente, a

αI = 6, 2o e αII = 5

o e o veículo, sob a ação de S, percorrerá uma trajetória curva, com o eixodianteiro afastando-se da trajetória primitiva no mesmo sentido de S. Cessada a perturbação,seguirá uma direção inclinada em relação à direção primitiva, figura 8.6 b), e não paralelacomo no primeiro caso analisado.

Veículo com CG na traseira

Ocorre um comportamento semelhante com o CG situado mais perto do eixo traseiro, porémcom αI < αII . Neste caso, sob a ação de S, a trajetória também será curva mas com o eixodianteiro afastando-se da trajetória primitiva no sentido contrário ao de S; cessando essaforça, a direção seguida pelo veículo também será inclinada em relação à primitiva, figura8.6 c).Na tabela 8.1, são apresentadas as três situações de distribuição de carga analisadas

anteriormente.

É importante salientar que os valores reais de αI e αII não são exatamente os mostradosna tabela, já que S, devido à característica do pneu, não se distribui entre os eixos na mesmaproporção da variação de Q. Esse comportamento foi destacado no capítulo 1. No capítulo10, será apresentado um exemplo numérico de cálculo dos ângulos de deriva nos eixos de umveículo percorrendo um curva.



0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 Q[kN]0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

S[kN]

α = 20

α = 40

α = 6 0

α = 80

α = 100

Figura 8.7: Reação lateral do pneu em função da carga normal com o ângulo de deriva comoparâmetro.

Tabela 8.1: Deriva nos eixos de um veículo com distintas distribuições de cargas.Carga Distribuição % de carganos nos eixos dianteiro e traseiropneus 50− 50 60− 40 40− 60Qp [N ] 3000 3600 2400Qp [N ] 3000 2400 3600Sp [N ] 1500 1800 1200Sp [N ] 1500 1200 1800αI [

o] 5, 4 6, 2 5, 0αII [

o] 5, 4 5, 0 6, 2



8.3 Comportamento do veículo em reta

Na análise preliminar anterior, foi considerado o veículo no instante em que inicia a atu-ação da força lateral perturbadora e ele começa a modificar seu comportamento; entretanto,persistindo essa força, aparecerão outros efeitos - como o da trajetória curvilínea que porven-tura ele percorra, com o surgimento de força centrífuga agindo no seu centro de gravidade,e do momento das reações laterais dos pneus, em relação a esse mesmo centro, - que irãoinfluenciar no seu comportamento.Para a análise a seguir, considera-se que o veículo não sofrerá correção de direção pela

ação do condutor.

8.3.1 Força perturbadora transitória agindo no CG

Essa força ocorre, por exemplo, devido a uma inclinação lateral da pista e a sua ação, naestabilidade direcional, depende da distribuição de carga nos eixos.

Veículo com carga igualmente distribuída nos eixos

Como QI = QII , pela ação da força perturbadora o veículo sofre um deslocamento lateraldevido à elasticidade do pneu, permanecendo, entretanto, com seu eixo longitudinal paraleloà direção primitiva. O ângulo de deriva aumenta até que as reações laterais nos pneusequilibrem essa força. Neste caso, conforme foi visto, SI = SII , αI = αII , e não ocorrerágiro do veículo em torno do seu eixo vertical, figura 8.8 a).

Veículo com carga maior na dianteira

Neste caso, tem-se que QI > QII e a distância do CG ao eixo traseiro é maior do queao eixo dianteiro, aII > aI , de modo que QI/QII = aII/aI . Pela ação da força transversal,surgem as reações laterais dos pneus, com SI > SII , e os ângulos de deriva nos eixos,αI > αII ; o veículo tende a se desviar da direção primitiva percorrendo uma trajetóriacurvilínea.Dois efeitos se superpõem, então, ao ocasionado pela força transitória.O primeiro se deve a não proporcionalidade da reação lateral do pneu com a carga normal

nele atuante - ver ítem 1.5.2. Devido a essa característica, no eixo mais carregado, a reaçãolateral cresce relativamente menos que o crescimento da carga normal, enquanto que, noeixo menos carregado, essa proporcionalidade é maior. Desse modo, surgirá, em relação aocentro de gravidade, um momento das reações laterais, chamado momento de reação do soloou, mais simplificadamente, momento do solo. Sua expressão, neste caso, é

Mr = SII aII − SI aI

e o seu sentido é anti horário, ou seja, ele tende a aumentar o giro do veículo ocasionadopela força transitória.O segundo é ocasionado pelo surgimento de uma força centrífuga quando o veículo per-

corre a trajetória curvilínea e que é de sentido oposto ao da força transitória S. Com o



Figura 8.8: Força lateral transitória agindo no CG.



desaparecimento de S, permanece a força centrífuga que age como uma força perturbadoraem sentido contrário, funcionando como força restauradora. Logo, as reações laterais dospneus mudam também de sentido tendendo a trazer o veículo para a direção primitiva; omovimento passa a ser semelhante a uma senóide amortecida, como mostra a figura 8.8 b).Analisando o comportamento mostrado nesta figura, pode-se afirmar que, um veículo

com maior carga na dianteira é estável em relação a forças laterais transitórias atuantes noseu CG, pois, logo após a perturbação, surgem forças e momentos que tendem a restaurarsua trajetória original. Este caso corresponde à primeira situação mostrada na figura 8.2.

Veículo com carga maior na traseira

Aqui QI < QII , aI > aII , SII > SI e αII > αI ; deste modo, o veículo irá percorrer umatrajetória curvilínea no sentido contrário ao da força perturbadora, tendendo à direção destaúltima. Este comportamento é mostrado na figura 8.8 c).A força centrífuga que surge na trajetória curvilínea tem o mesmo sentido de S ; assim,

mesmo que cesse a perturbação transitória, o veículo continuará se afastando da trajetóriaprimitiva. O momento do solo, que neste caso vale

Mr = SI aI − SII aII

contribui para esse afastamento e, a menos que se atue sobre o volante, o veículo se afastarásempre mais da trajetória original.Deste modo, um veículo com CG deslocado para trás não é estável em relação a forças

laterais transitórias agindo no CG, porque, mesmo com o seu desaparecimento, surgem forçase momentos que continuam a desviá-lo de sua trajetória. Este caso corresponde à segundasituação da figura 8.2.

8.4 Defições básicas

Um veículo é considerado estável em relação ao solo se, ao atuar uma força perturbadoraexterna no seu CG, os pneus deformam-se de maneira que:

αI ≥ αII . (8.10)

No caso da igualdade, a força centrífuga inexiste e, no outro, se opõe à força perturbadora,tendendo a levar o veículo de volta à direção primitiva.Um veículo é considerado instável em relação ao solo se:

αI < αII . (8.11)

Neste caso, a força centrífuga colabora na retirada do veículo de sua direção primitiva,sendo necessárias correções bruscas no volante para manter a trajetória escolhida.Em um veículo com pneus iguais e instável em relação ao solo, caso a diferença de

deriva do eixo traseiro e dianteiro não seja demasiada, pode-se diminuir esta instabilidade,



ou mesmo eliminá-la, aumentando a pressão dos pneus traseiros, ou seja, tornando-os maisrígidos lateralmente.O mesmo efeito é obtido pela utilização de pneus com diferentes tipos de construção e

tamanho na frente e atrás do veículo. Esta técnica é bastante utilizada em carros de corrida,pois a necessidade de transmitir grande potência para o solo exige uma distribuição de cargacom parcela bem maior no eixo traseiro, que é o eixo motriz, a fim de se obter elevada forçade atrito. No entanto, a maior carga na traseira aumenta a instabilidade e, para compensá-la, utilizam-se, nas rodas motoras, pneus de maiores dimensões do que os usados nas rodasdianteiras, já que pneus maiores apresentam maior rigidez lateral que os menores.Outras maneiras de alterar o comportamento do veículo, através dos mecanismos de

direção e de suspensão, serão vistos nos capítulos 9 e 10.

8.5 Força lateral permanente agindo sobre o CG

Pode-se considerar, este caso, como uma extrapolação do caso anterior.

CG no centro do veículo

Pela ação de S , surgem as reações SI e SII . Os ângulos de deriva crescem até que aforça lateral e suas reações nos pneus se equilibrem. Como, neste caso, SI = SII , ter-se-áαI = αII . O veículo percorrerá, então, uma trajetória inclinada em relação à primitiva, mascom seu eixo longitudinal paralelo à posição anteriormente ocupada, como mostra a figura8.9 a).

CG deslocado para a frente

Com S, tem-se SI > SII e αI > αII , e o veículo percorre uma trajetória curva. Aforça centrífuga se opõe à ação de S e, embora o veículo se afaste cada vez mais da direçãoprimitiva, o faz de forma suave, figura 8.9 b). O momento do solo colabora com o giro.

CG deslocado para a traseira

Sob a ação de S, SII > SI e αII > αI . O veículo tende a se afastar mais rapidamenteda direção primitiva, já que a força centrífuga se soma à força perturbadora e colabora nodesvio.O momento do solo, aqui também, contribui para aumentar o desvio. Este caso está

representado na figura 8.9 c).

8.6 Veículos sujeitos a ventos laterais

Conforme visto anteriormente, a força lateral N , resultante da ação do vento, age sobreum ponto, chamado centro de pressão, que não coincide com o centro de gravidade, comomostra a figura 8.4. Esta excentricidade provoca um momento em relação a este centro,dado por:



Figura 8.9: Força lateral perturbadora permanente agindo no CG.



Mz = N e.

A esse momento poderá se somar, ou se opor, o momento do solo visto nos ítens anteriores.Suas ações conjuntas afetarão o comportamento de veículos submetidos a ventos laterais.

8.6.1 Força do vento agindo no centro de gravidade

Esta situação é semelhante à de uma força permanente agindo no CG apresentada noítem 8.5, pois Mz = 0 e N = S.

Centro de gravidade no centro da distância entre eixos do veículo

O veículo se desloca obliquamente à direção original, mas com o eixo longitudinal paraleloa sua posição primitiva; situação semelhante à representada pela figura 8.9 a).Este caso é possível somente provendo o veículo com asas traseiras verticais - ou estabi-

lizadores - de grande dimensões.

Centro de gravidade na dianteira do veículo

A força do vento ocasiona as reações dos pneus SI > SII e, consequentemente, αI > αII .O veículo gira afastando-se da direção do vento, figura 8.10 a), fazendo com que S cresça.O momento do solo colabora com esse giro. Com a trajetória curvilínea, surge uma forçacentrífuga que se opõe à ação do vento.Esta situação é possível na prática, sendo que o giro pode ser corrigido com relativa

facilidade através do volante, já que os momentos são pequenos.

Centro de gravidade na traseira do veículo

A força do vento origina SII > SI e αII > αI e faz com que o veículo percorra umatrajetória curva para a direção em que o vento atua. O momento de reação dos pneus,ou momento do solo, colabora nesse giro. A força do vento diminui, tendendo a anular-se.A força centrífuga, entretanto, continua atuando no mesmo sentido da força do vento e oveículo continua o giro, como mostra a figura 8.10 b).Esta situação é difícil de ocorrer pois exigiria a utilização de asas traseiras verticais de

grandes dimensões.

8.6.2 Força do vento agindo na frente do centro de gravidade

Centro de gravidade no centro do veículo

Aqui Mr = 0 e Mz = N e 6= 0; o veículo, sob a ação deste momento, gira, afastando-seda direção do vento, o que ocasiona o aumento da força transversal S ≡ N com o giro. Aforça centrífuga se opõe à força lateral perturbadora, figura 8.11 a).Este é um caso comum; somente com pequenos momentos devido ao vento será fácil

corrigir a trajetória através de atuação no volante.



Figura 8.10: Força lateral perturbadora devido ao vento agindo no CG


Aqui, Mr 6= 0 e Mz 6= 0, agindo no mesmo sentido, figura 8.11 b).O veículo percorre uma trajetória curvilínea, afastando-se da direção do vento e fazendo

com que a força perturbadora aumente. A força centrífuga se opõe a sua ação.Este caso é praticamente possível de ocorrer e o giro pode ser facilmente corrigido por

atuação no volante; o momento devido ao vento é pequeno por ser pequena a distância docentro de pressão ao centro de gravidade.


Nesta situação, Mr 6= 0 e Mz 6= 0, mas agem em sentido contrário. Como Mz > Mr,por ser grande a distância entre o centro de pressão e o CG, o momento resultante sobre oveículo é Mz −Mr, figura 8.11 c).Pela ação desse momento, o veículo gira afastando-se da direção do vento, o que faz com

que a força perturbadora aumente. A força centrífuga age no sentido de reduzir essa força.Esta situação é fácil de ocorrer e, pelo elevado valor do momento causado pelo vento, a

correção através do volante da direção é difícil de ser feita.

8.6.3 Força do vento agindo atrás do centro de gravidade

Centro de gravidade no centro do veículo

Para esta situação, Mr = 0 e Mz 6= 0, figura 8.12 a).



Figura 8.11: Força lateral perturbadora devida ao vento agindo na frente do CG.



O veículo gira para a direção do vento, o que causa a diminuição da sua força. A forçacentrífuga age no sentido de aumentar a força perturbadora.Este é um caso difícil de ocorrer na prática, sendo possível somente com o uso de grandes

asas traseiras verticais.


Nestas condições, Mr 6= 0 e Mz 6= 0, tendo o mesmo sentido, figura 8.12 d).Pela ação conjunta desses momentos, o veículo gira para a direção do vento, causando

uma redução do seu efeito. A força centrífuga aumenta a força perturbadora.Este caso não ocorre praticamente.


Dependendo da distância do centro de pressão ao centro de gravidade do veículo, podemocorrer diferentes situações:a) centro de pressão pouco atrás do CG e de modo que Mz e Mr equilibrem-se, figura

8.12 b).Com a igualdade desses momentos e sua ação em sentido contrário, o momento resultante

será nulo, ou seja, o veículo não girará em torno de seu eixo vertical. Pela atuação da forçado vento, entretanto, haverá um deslocamento lateral do veículo paralelamente à direçãoprimitiva.Caso praticamente possível e ambicionado.b) centro de pressão atrás do CG, de modo que Mz seja levemente superior a Mr, figura

8.12 c).Nessas condições, o veículo, em um primeiro instante, gira na direção do vento, reduzindo

sua ação até que haja igualdade entre os momentos; como eles agem em sentidos opostos, seequilibrarão. O veículo, então, se manterá na trajetória primitiva, com seu eixo longitudinaladotando uma posição um pouco inclinada em relação à posição anterior à perturbação.Este é o caso ambicionado de estabilidade total, não havendo necessidade de correção

através do volante.Esta condição é possível de ser conseguida com a utilização de pequenas asas verticais,

precisamente dimensionadas, na traseira do veículo.O resumo das situações em que o veículo está submetido a ventos laterais está mostrado

na tabela 8.2.

8.7 Manutenção da direção primitiva através do volan-te

A direção primitiva pode ser mantida, em qualquer dos casos anteriores, através de açãosobre o volante da direção, de maneira a criar um momento sobre o veículo para corrigir sua



Figura 8.12: Força lateral perturbadora devida ao vento agindo atrás do CG.



Tabela 8.2: Resumo do comportamento de veículos submetidos a ventos laterais.Atuação da for- Posição do CGça do vento No centro Na traseira Na frente

Só ocorre com o uso Caso difícil de ocorrer Possível de ocorrer; fácilNo CG de grandes asas tra- pois exige grandes correção com o volante

seiras. asas traseiras verticais pois os momentos sãopequenos.

Ocorrência comum; Fácil de ocorrer, po- Fácil de ocorrer; aNa frente do CG fácil de corrigir com rém difícil de corrigir correção com o volante é

o volante somente com o volante por simples pois Mz é peque-com Mz pequeno. Mz ser grande. no.Caso difícil de ocor- Praticamente impossí- Ideal e possível de ocor-rer; possível apenas vel para a concepção rer (Mz>Mr). Estabilidade

Atrás do CG com o uso de gran- dos veículos atuais. total. Não é necessáriades asas traseiras correção com o volante,verticais. porém exige asas traseiras

verticais.

trajetória.Como se conclui da análise das diferentes situações anteriores, a ação sobre o volante

depende da distribuição de carga sobre os eixos e a ação necessária para corrigir a trajetóriade um veículo com carga igualmente distribuida sobre seus eixos ou com maior carga no eixodianteiro é diferente e menos crítica do que a necessária para corrigir um veículo com maiorcarga na traseira.

8.8 Considerações adicionais

Com velocidade inferiores a oitenta quilômetros horários, não há necessidade de preocu-pação com problemas de estabilidade. Para velocidades maiores, entretanto, é importanteque o projetista do veículo observe características construtivas que tornem o veículo mais es-tável direcionalmente, ou seja, que diminuam o desvio de curso quando forças perturbadorasocorrem. Com essas medidas, o trabalho do motorista para manter o veículo na trajetóriadesejada será facilitado.

• O centro de gravidade do veículo deve ficar no centro da distância entre eixos, oudeslocado para a frente. Essas distribuições do peso tornam o veículo estável emrelação ao solo.

• As rodas traseiras devem possuir pneus mais rígidos lateralmente, quaisquer que sejamsuas cargas, de forma a garantir que

αI > αII . (8.12)



Figura 8.13: Geometria ideal da direção.

• O ponto de atuação da força do vento deve estar tão próximo quanto possível do CG(menor Mz ). Neste particular, as carrocerias baseadas na forma de Kamm trouxeramuma melhoria quando comparadas com carrocerias cuja popa vai decrescendo gradati-vamente. Com aquela forma, o centro de pressão desloca-se para trás, aproximando-sedo CG.

É interessante salientar que para veículos esportivos esses conceitos também valem, em-bora nem sempre sejam seguidos por seus projetistas.

8.9 Estabilidade em curvas

8.9.1 Geometria da direção e centro da curva

Para realizar uma curva sem que haja escorregamento das rodas, a geometria da direçãodeve ser executada de maneira que, para qualquer giro da direção, os prolongamentos doseixos das rodas diretoras cortem-se no prolongamento do eixo das rodas traseiras, comomostra a figura 8.13.As relações obtidas pela inspeção dessa figura permitem determinar o raio geométrico da

curva:

ρg =l

β. (8.13)

Ao percorrer a curva com velocidade, surgem, devido à força centrífuga, ângulos de derivanos pneus dianteiros e traseiros. Essa deriva ocasiona uma mudança do centro da curva



Figura 8.14: Geometria da direção, considerando a deriva de cada roda.

de M para Mi. Esse novo centro é chamado de centro instantâneo do movimento e estárepresentado na figura 8.14; para encontrá-lo, traçam-se retas perpendiculares às direçõesdadas pelos ângulos de deriva. O ponto de cruzamento destas retas é o centro instantâneoda curva Mi.O raio real da curva é calculado, com algumas simplificações e para pequenos ângulos de

deriva, caso comum em rodovias, a partir da análise da figura 8.14.O ângulo de esterçamento médio e os ângulos médios de deriva dos eixos dianteiro e

traseiro são:

β =β1 + β22

(8.14)

αI =αI1 + αI2

2(8.15)

αII =αII1 + αII2

2(8.16)

A distância entre eixos, considerando os ângulos médios, é dada por

R+ S = ρr. αII + ρr(β − αI) = l (8.17)

e o raio real da curva dado por

ρr =l

β − (αI − αII). (8.18)



Os índices 1 e 2 se referem às rodas externa e interna, respectivamente, enquanto osíndices I e II aos eixos dianteiro e traseiro.A posição do centro real da curva difere do seu centro geométrico tanto mais quanto

maior a diferença entre os ângulos de deriva dos eixos dianteiro e traseiro, como se podeconcluir da equação 8.18.

8.9.2 Comportamento do veículo em curvas

O comportamento de um veículo em curvas depende, essencialmente, da distribuição da cargaem seus eixos. De acordo com esse comportamento, os veículos em curva são classificadoscomo:

• neutros

• subesterçantes ou subdirecionais

• sobresterçantes ou sobredirecionais.

Centro de gravidade situado no centro

Neste caso, pela ação da força centrífuga, os ângulos de deriva nos dois eixos serão iguais,ou seja , αI − αII = 0 na equação 8.18. Esta situação está representada na figura 8.15 a).Como as reações dos pneus são iguais, o momento do solo será nulo, ou seja, Mr = 0.Consequentemente, o raio real da curva é igual ao raio teórico ou geométrico. O ângulo

de giro do volante da direção β, necessário para executar uma curva em baixa velocidade,é, aproximadamente, igual ao necessário para realizar a mesma curva com velocidade médiaou alta.Na figura 8.16, a curva desejada é a de número 1 e será percorrida por este veículo.O veículo possuidor destas características é classificado como neutro ou estável em curvas.

Centro de gravidade na frente

Conforme foi visto, este tipo de veículo, quando submetido a uma força lateral, sofre de-formações nos pneus de modo que a deriva no eixo dianteiro é maior que a deriva no eixotraseiro, ou seja, αI − αII > 0 na equação 8.18. A figura 8.15 b) ilustra este caso.Desse modo, a curva que o veículo realmente percorre tem um raio maior do que a curva

real, o que significa que ele "sairá de dianteira"nesta curva.O momento do solo, devido às reações laterais dos pneus, aumenta essa tendência.Na figura 8.16, a curva realmente percorrida será a 3; para mantê-lo na trajetória desejada

1, será necessário um giro adicional ∆β no volante, no mesmo sentido de β.Um veículo com este comportamento é classificado como subesterçante ou subdirecional ;

ele é, também, considerado estável em curvas porque, por tender a abrir na curva, necessitaráde um aumento no giro das rodas, pela atuação no volante, no mesmo sentido dado pararealizá-la. Isso poderá ser feito tranquilamente, sem sobressaltos.



Figura 8.15: Comportamento de veículos em curva, com características de neuto,subesterçante e sobresterçante.



Figura 8.16: Trajetórias reais de curva de um veículo neutro "1", subesterçante "3"e so-bresterçante "2".

Centro de gravidade atrás

Nestas condições, pela ação da força lateral perturbadora, o ângulo de deriva no eixodianteiro é menor do que no traseiro, ou eja, αI −αII < 0 na equação 8.18. A figura 8.15 c)representa este caso.Como consequência, haverá uma redução do raio da curva que o veículo realmente irá

percorrer, ou seja, ele tenderá a "sair de traseira"na curva real.O momento do solo, também aqui, aumenta essa tendência.Na figura 8.16, o veículo tenderá a percorrer a curva real 2; para mantê-lo em 1, será

necessário um giro ∆β, no sentido contrário ao de β.Com esse comportamento, um veículo é classificado como sobresterçante ou sobredire-

cional e é considerado instável em curvas. Isto porque, em velocidades médias ou altas, oveículo tende a fechar a curva e o ângulo de giro do volante da direção, para vencê-la, deveser menor do aquele necessário para executar a mesma curva em baixa velocidade. Dessemodo, será necessário girar o volante no sentido contrário ao inicialmente dado para mantero veículo na curva; isto pode surpreender motoristas menos experimentados.Em veículos esportivos, o comportamento sobredirecional pode ser considerado interes-

sante por tornar o veículo mais "dócil"em curvas, enquanto que o subdirecional, por ofereceruma certa "resistência"para realizá-la, já que exige um aumento no giro do volante, seriaconsiderado "indócil".Como, entretanto, para a maioria dos motoristas, que não pode ser caracterizada como

esportiva, um comportamento sobredirecional é mais difícil de controlar, parece mais sensatoclassificar como dócil aquele veículo que, ao percorrer uma curva com velocidade crescente,exige uma atuação no volante sempre no mesmo sentido.

8.10 Influência da posição do eixo de tração na esta-bilidade direcional de um veículo

Em um veículo com tração dianteira, ocorre equilíbrio estável entre as forças de tração ea força de inércia, enquanto que nos veículos com tração traseira esta situação favorávelnão ocorre, como mostra a figura 8.17. Este fato justifica a tendência, cada vez maior, de



Figura 8.17: Influência da tração na estabilidade direcional de um veículo.

utilização de tração dianteira nos veículos modernos de passeio, apesar de sua desvantagem,em relação à tração traseira, quanto à capacidade de transferência da força de tração ao solo.

8.11 Disposição dos elementos mecânicos no veículo

Os elementos mecânicos de um veículo podem ser dispostos de várias maneiras, dando origema diferentes concepções construtivas que influem significativamente na sua estabilidade dire-cional.

8.11.1 Concepção convencional

A concepção convencional pode ser definida como aquela em que a disposição do motoré dianteira e a tração é traseira , como está ilustrado na f igura 8.18.As vantagens desta concepção são:- distribuição razoável de peso;- eixo dianteiro de construção mais simples;- boa carga nas rodas diretoras;- possibilidade de usar um motor de grande comprimento;- manutenção simples devido à posição do motor;- desgaste mais uniforme dos pneus: maior frenagem na dianteira, tração na traseira;- alavanca de câmbio simples;- porta malas grande;- boa refrigeração, já que tem radiador dianteiro - o ventilador pode ser comutável;



Figura 8.18: Disposição de elementos mecânicos na concepção convencional.

- rendimento bom na marcha direta, já que não há interferência de engrenagens natransmissão de força;- silencioso simples, com comprimento longo;- boa estabilidade em retas (estável em relação ao solo);- baixa sensibilidade a ventos laterais (menor braço de ação da força do vento em relação

ao CG);- boa solução para deslocamento do motor acima de dois litros.Suas desvantagens são:- túnel no piso para eixo cardam e caixa;- necessidade de eixo cardam, em geral longo e com mancais intermediários;- direção pesada, com exigência de maior relação de transmissão, ou de ser assistida, já

que o motor está sobre as rodas dianteiras;- eixo traseiro pouco carregado - arranque dificultado em pista molhada e rodas traseiras

com possibilidade de patinar em curvas fechadas;- eixo traseiro mais caro - suporta o diferencial;- devido à transferência de carga, perigo de bloqueio das rodas traseiras na frenagem -

recomendável uso de sistema antibloqueio (ABS);- tendência fortemente subesterçante - pode ser diminuída com estabilizadores;- com efeito da tração em curvas, pode alterar o comportamento, passando a ser so-

bresterçante;- dificuldade de aumentar a distancia entre eixos, pois as rodas motrizes ficariam pouco

carregadas.

8.11.2 Tração dianteira, motor longitudinal ou transversal

Esta concepção é caracterizada por ter o motor colocado à frente do eixo dianteiro e atração também ser dianteira, como mostra a figura 8.19. É a concepção mais utilizada nomomento.As vantagens dela são:- maior estabilidade direcional, pois o veículo é puxado;- baixa sensibilidade a ventos laterais (pequena distância do centro de pressão ao CG);- distribuição razoável de peso;- fluxo curto das forças de tração;



Figura 8.19: Veículo com tração dianteira convencional.

- maior carga sobre as rodas diretoras e motoras - boa capacidade de tração, que, entre-tanto, diminui nas arrancadas pela transferência de carga para o eixo traseiro;- acesso fácil ao motor.- possibilidade de maior distância entre eixos, logo, maior conforto;- eixo traseiro simples (pode ser rígido);- porta malas grande;- piso plano;- boa refrigeração - o radiador fica perto do motor;- alavanca de câmbio simples;- silencioso simples, com comprimento longo;- boa estabilidade em retas e curvas;- possibilidade de colocar os discos de freio dianteiros junto ao diferencial e, com isso,

diminuir as massas não suspensas (ver suspensões), além de poder usá-los com maioresdimensões;- solução conveniente para cilindrada até dois litros.Suas desvantagens são:- arranque dificultado em pista molhada e em aclives;- eixos dianteiros caros, necessitando de juntas homocinéticas;- direção pesada devido à maior carga no eixo dianteiro;- raio mínimo de curva dificilmente inferior a cinco metros;- a suspensão do motor deve absorver todo o torque de arranque;- comprimento do motor limitado;- distribuição desfavorável das forças de frenagem - capacidade de frenagem bem maior

do eixo dianteiro e risco de bloqueio das rodas traseiras (recomendável uso de sistema ABS);- desgaste menos uniforme dos pneus - sensivelmente maior nos pneus do eixo dianteiro;- possibilidade da tração influenciar na direção;- desbalanceamento das rodas dianteiras mais sensível.

8.11.3 Motor traseiro longitudinal ou transversal

Essa classificação é para aqueles veículos onde a tração é traseira e o motor está colocadoatrás do eixo traseiro, como mostra a figura 8.20. Poucos veículos, e na maioria esportivos,ainda usam esta concepção.Suas vantagens são:



Figura 8.20: Veículo com motor traseiro.

- fluxo das forças de tração curto;- direção leve;- eixo dianteiro de construção simples;- distribuição mais conveniente das forças de frenagem - devido à maior carga no eixo

traseiro e à transferência de carga para o eixo dianteiro em uma freada, a capacidade defrenagem dos dois eixos é semelhante e pode ser melhor aproveitada;- boa capacidade de tração pela concentração de massa sobre o eixo motor - melhorada

em arrancadas e aclives pela transferência de carga;- inexistência de túneis no piso do veículo;- solução economicamente conveniente para veículos até 1, 2 litros de deslocamento, ex-

ceção feita para veículos esportivos;As desvantagens desta concepção são:- sensibilidade maior a ventos laterais - grande distância do centro de pressão ao CG;- rodas dianteiras pouco carregadas;- tanque de gasolina difícil de dispor;- porta malas limitado;- sistema de acionamento do câmbio complicado;- desgaste não uniforme dos pneus;- a suspensão do motor suporta todo o torque de arranque;- difícil amortecimento de ruídos;- maior consumo de potência na refrigeração do motor;- o motor pode se deslocar para a frente em caso de batidas;- silencioso difícil de projetar, pois o percurso dos gases é muito curto.

8.12 Influência da disposição dos elementos mecânicosno comportamento do veículo

A disposição dos elementos mecânicos no veículo afeta não apenas a distribuição de pesosnos eixos dianteiro e traseiro e, em conseqüência, a sua estabilidade, como visto nos ítensanteriores, mas também a sua dirigibilidade oumaneabilidade. Este efeito se deve a ummaiorou menor momento de inércia polar do veículo, ou seja, uma maior ou menor resistência parasofrer acelerações angulares em torno do eixo vertical que passa pelo centro de gravidade e,consequentemente, para mudar a sua trajetória de deslocamento.



Quanto mais distanciadas desse eixo vertical estão massas como a do motor, maior ainércia ao giro. Por outro lado, um veículo com esse tipo de massa concentrada próximo a esseeixo, ou seja, com baixo momento de inércia, caso sofra um momento de rotação perturbadorcomo, por exemplo, o ocasionado por forças desbalanceadas durante uma frenagem brusca,pode rodopiar com mais facilidade - ver testes de pista a seguir.


A posição do centro de gravidade é favorável em relação à estabilidade direcional. Umveículo com essa concepção apresenta boa estabilidade em retas, sendo considerado estávelem relação ao solo. Com o CG deslocado para frente, diminui o braço de ação da força dovento, baixando sua sensibilidade a ventos laterais.Em curvas, apresenta tendência subesterçante, ou seja, estável; se essa tendência for

exagerada, pode ser diminuida com estabilizadores - ver suspensões. Como a tração é traseira,pode influenciar na estabilidade em curvas, com o veículo passando o sobresterçante, ou seja,instável. Isto ocorre porque um pneu já submetido a uma força longitudinal, seja de traçãoou de frenagem, apresenta um maior ângulo de deriva, sob ação de uma força lateral, do quequando a força longitudinal inexistir.Além disso, com o motor na frente e o eixo traseiro com diferencial, o momento de

inércia polar é alto. Isso faz com que o veículo não apresente grande sensibilidade a forçasperturbadoras que causem um giro em relação ao seu eixo vertical. Diminui, por outro lado,sua maneabilidade, pois reage mais lentamente à atuação no volante pelo condutor.

8.12.2 Concepção com tração dianteira

Esta concepção apresenta centro de gravidade deslocado para frente. É estável em retas etem pequena sensibilidade a ventos laterais, já que a distância do centro de pressão ao CGé diminuída.Em curvas, sua tendência é subesterçante, ou seja, estável. Com tração, essa tendên-

cia aumenta. Cuidados no projeto da suspensão - ver capítulo 10 - podem diminuí-la, seexagerada.A utilização de motor/caixa/diferencial na frente faz com que o momento de inércia

em relação ao eixo vertical do veículo também seja elevado. Com isso, sua sensibilidade amomentos perturbadores é pequena, mas sua maneabilidade fica diminuida.O emprego de motores transversais, além de baratear o sistema de transmissão de forças,

pois elimina o par de engrenagens cônicas do diferencial (essa distribuição permite obter aredução final com engrenagens cilíndricas), permite melhorar sua maneabilidade por reduziro momento polar de inércia.

8.12.3 Concepção com motor traseiro

Com a posição do centro de gravidade deslocado para trás, essa concepção tem o eixo di-anteiro pouco e o traseiro muito carregado, apresentando comportamento instável em retas.Devido ao grande braço de ação da força do vento, é muito sensível a ventos laterais.



Em curvas, apresenta tendência fortemente sobresterçante, ou seja, instável. Um projetoadequado da suspensão (ver capítulo 10) e a utilização de pressão maior nos pneus traseirospodem reduzir essa tendência.O momento de inércia polar pode ser considerado alto; entretanto, como o CG está

deslocado para trás, a distância entre ele e o centro de pressão é grande e o veículo fica maissensível a forças perturbadoras laterais, como rajadas de vento. Sua maneabilidade é baixa.Também neste caso, o uso de motores traseiros transversais pode trazer vantagens econômi-

cas e de comportamento.

8.12.4 Outras concepções

Além da análise anterior, do comportamento das três concepções mais comuns em carrosde passeio, serão feitas, a seguir, algumas considerações sobre concepções encontradas emveículos esportivos.

Concepção com motor central - tração traseira

Essa concepção está representada na figura 8.21 a).A posição central do centro de gravidade garante uma estabilidade direcional em retas.

A sensibilidade a ventos laterais é maior do que as com CG na frente e menor do que aquelascom esse centro deslocado para atrás.Em curvas, poderá apresentar um comportamento neutro, que tenderá a sobresterçante

com a tração, o que é apreciado em um veículo esportivo.Como o momento de inércia em relação ao eixo vertical é pequeno, devido à concentração

de massas no centro do carro, sua capacidade de absorção de momentos perturbadores, semque ocorram giros da carrroceria, é pequena.Sua maneabilidade, por outro lado, é muito boa, reagindo prontamente à ações no volante.Nela, além disso, a capacidade de tração, devido à alta carga no eixo traseiro, é, também,

muito boa.A posição central do CG, garantindo bom carregamento do eixo traseiro, e a transferência

de carga para o eixo dianteiro durante a frenagem, fazem com que a distribuiçlão das forçasde frenagem seja boa.Essas características justificam o uso bastante comum dessa concepção em carros es-

portivos.

Concepção transaxle

A concepção transaxle é mostrada na figura 8.21 b). É usada em alguns carros esportivos.A distribuição das massas, com motor dianteiro entre eixos e caixa e diferencial traseiros,

fazem com que o centro de gravidade fique mais centralizado.Apresenta, assim, estabilidade em relação ao solo, com sensibilidade média a ventos

laterais.Em curvas, tenderá a um comportamento neutro, passando a sobresterçante com a tração.



Figura 8.21: Disposição de elementos mecânicos em carros esportivos.

A distribuição das massas e sua posição em relação ao eixo vertical, fazem com que omomento polar de inércia seja médio. Sua sensibilidade a momentos perturbadores situa-seentre as apresentadas por carros de passeio e a concepçãp com motor central, vista no ítemanterior. Sua maneabilidade é boa.Com o deslocamento da caixa de câmbio e diferencial para o eixo traseiro, tem-se uma

carga média sobre ele, que melhora com a aceleração pela transferência de carga, resultandoem uma boa capacidade de tração.A distribuição de pesos permite utilizar melhor o eixo traseiro na frenagem, principal-

mente se for previsto um sistema antibloqueio das rodas.

8.13 Comportamento das concepções com carregamentototal

Neste ítem, é feita uma análise das concepções apresentadas anteriormente considerandoo veículo com carga máxima e lotação total. Nessas condições, podem ocorrer mudançasimportantes nos seus comportamentos porque a variação do carregamento modifica a posiçãodo centro de gravidade, bem como a inércia rotacional, o que poderá implicar em alteração daestabilidade direcional do veículo, tanto em retas como em curvas, e da sua maneabilidade.


Nesta nova situação, tem-se uma alteração bastante sensível da posição do centro degravidade, que será deslocado para trás, e o veículo poderá mudar o seu comportamentoestável em retas e em curvas. Em curvas, poderá passar de subesterçante para sobresterçante



e, consequentemente, mais difícil de ser conduzido. Geralmente, alteram-se as pressões dospneus, principalmente elevando a dos traseiros, a fim de manter o comportamento originaldo veículo.Como o momento polar continua elevado, a sensibilidade a perturbações externas, que

tendam a girar o veículo em relação a seu eixo vertical, continua baixa. A maneabilidadefica reduzida.Aumenta sua capacidade de tração, pois, devido à nova posição do centro de gravidade,

tem-se um acréscimo da carga normal sobre o eixo traseiro.A capacidade de frenagem pode ser melhorada pela redistribuição de carga, porém, para

que essa potencialidade seja utilizada, é necessário nova regulagem nos freios, ou, o que émais prático, usar sistema antibloqueio das rodas.

8.13.2 Concepção com tração dianteira.

Aqui também, devido à posição traseira do porta malas, o comportamento fica bastantemodificado, pois o centro de gravidade é deslocado para trás, afetando sua estabilidadedirecional.O aumento da pressão dos pneus, com um valor mais elevado para os do eixo traseiro,

pode manter as condições favoráveis existentes antes do aumento de carga.O momento polar continua elevado e a sensibilidade a perturbações externas se mantém

pequena. A maneabilidade fica menor.A capacidade de tração não melhora; embora o veículo fique mais pesado, não há modi-

ficação sensível na carga do eixo motriz.A capacidade de frenagem com a nova posição do centro de gravidade poderá aumentar,

pois haverá um acréscimo de carga sobre o eixo traseiro. Porém, este aumento da potencial-idade de frenagem só será aproveitado com a utilização de freios com controle de bloqueio.

8.13.3 Concepção com motor traseiro

Como o porta malas, nesta concepção, é dianteiro, haverá um deslocamento do CG parafrente. A capacidade dele, entretanto, é limitada pelo espaço necessário para as rodas dire-toras, sistema de direção e suspensão. Com isso, a estabilidade direcional desta concepção,tanto em retas como em curvas, tenderá a melhorar um pouco, embora continue instável,principalmente em curvas; este comportamento poderá se agravar com a tração.O momento polar aumentará e a sensibilidade a perturbações externas continuará baixa.

A maneabilidade, que era baixa, ficará mais reduzida.Como uma parcela do novo carregamento se apoiará no eixo traseiro, sua capacidade de

tração aumentará.A capacidade de frenagem praticamente não é alterada; haverá um maior aumento de

carga no eixo dianteiro, já dimensionado para exercer uma maior força de frenagem, e asituação do eixo traseiro não se modificará significativamente.



8.13.4 Concepção com motor central

Como, nesta concepção, usam-se porta malas dianteiro e traseiro, quase não haverá mu-dança da posição do centro de gravidade, porém ocorrerá uma sensível mudança no momentode inércia, com diminuição de sua maneabilidade; o veículo fica menos dócil.A estabilidade direcional fica pouco afetada.A capacidade de tração melhorará, com o aumento da carga sobre o eixo traseiro.A capacidade de frenagem continua boa, pois ocorrem apenas pequenas variações na

distribuição das forças de frenagem.

8.13.5 Concepção transaxle

O carregamento do veículo fará com que seu centro de gravidade se desloque para trás,podendo ocasionar uma leve alteração no seu comportamento.Em retas, provavelmente continuará estável; em curvas poderá passar de subesterçante

para levemente sobresterçante, o que não preocupa em veículos esportivos.O momento polar aumentará um pouco, tornando o veículo menos sensível a perturbações

mas, por outro lado, um pouco menos dócil.A capacidade de tração melhorará com o aumento de carga no eixo traseiro, que é o

motriz.A capacidade de frenagem modifica pouco, continuando a ser boa.

8.14 Comparação de diferentes concepções em testesde pista

A revista Auto Motor und Sport de junho de 1972, apresenta os resultados de uma sériede testes realizados com quatro veículos de diferentes concepções. O objetivo desses testesera verificar seu comportamento em várias situações que podem ocorrer nas pistas. Emboraos veículos representativos de cada uma das concepções analisadas possam, até mesmo, nãomais existir ou ser fabricados, a validade dos resultados persiste, já que novos modelos sãoprojetados dentro dessas mesmas concepções.Na ocasião, os quatro veículos comerciais utilizados nos testes foram:

• Representando a concepção convencional

Veículo: BMW 1802Distribuição de peso: 54, 5% - 45, 5%Potência: 90 cv (DIN)Peso: 1030 kgf (DIN)Pneus 165 SR 13

• Representando a concepção com tração dianteira



Tabela 8.3: Resultados dos ensaios de veículos de várias concepções em pista.Pistas Tipo de teste Objetivos e Veículos analisados

resultados V1 V2 V3 V4P1 T1 1 52, 1 51, 0 50, 0 51, 3P1 T2 2 2, 85 2, 94 4, 02 2, 90P1 T3 3: distância 1 55, 1 54, 0 53, 1 56, 2

distância 2 105, 4 107, 5 101, 4 108, 0P2 T4 4 96, 1 94, 5 93, 0 98, 0P3 T5 5: velocidade 1 8, 25 9, 5 8, 7 10, 6

velocidade 2 5, 0 3, 0 6, 0 6, 6P4 T6 6 30 90 550 900

Veículo: Audi 100Distribuição de peso: 60% - 40%Potência: 85 cv (DIN)Peso: 1050 kgf(DIN)Pneus 165 SR 14

• Representando a concepção com motor traseiro

Veículo: VW 411 EDistribuição de peso: 42, 5% - 57, 5%Potência: 80 cv (DIN)Peso: 1080 kgf (DIN)Pneus 155 SR 15

• Representando a concepção com motor central

Veículo: VW Porsche 914Distribuição de peso: 47, 5% - 52, 5%Potência: 80 cv (DIN)Peso: 900 kgf (DIN)Pneus 155 SR 15Todos os veículos estavam equipados com pneus Michelin ZX.Procurou-se, com os testes, verificar se o comportamento dos veículos seria o esperado e

até que ponto as medidas construtivas utilizadas por seus projetistas permitiram compensaras desvantagens inerentes a cada concepção.Os resultados dos ensaios em pista estão mostrados na tabela 8.3.

A convenção nela usada foi a seguinte.Para as pistas:P1 - pista da Daimler Benz;



P2 - pista de Hokenheim;P3 - pista da Porsche;P4 - pista da Pirelli.Para os tipos de teste:T1 - ensaio em pista circular (Φ = 65 m) molhada;T2 - veículo submetido a vento lateral;T3 - teste de slalon;T4 - teste de ultrapassagem;T5 - aquaplanagem em curva;T6 - aquaplanagem em reta.Para os objetivos e resultados:1- teste em pista circular para verificar a tendência dos veículos e, também, qual a

velocidade máxima, em quilômetros horários, de realização do teste em cada caso;2 - Teste de sensibilidade a ventos laterais, sendo o resultado o desvio lateral dado em

metros;3 - Teste para verificação da maneabilidade, sendo a distância entre os obstáculos, 1 e

2, dezoito e trinta e seis metros, respectivamente (o resultado é apresentado em quilômetrospor hora);4 - Teste para verificar o comportamento com o giro brusco da direção, sendo o resultado

dado em quilômetros por hora;5 - Teste para verificar o desvio em curva molhada, para as velocidades, 1 e 2, de oitenta

e noventa quilômetros horários, respectivamente (o resultado apresentado é o desvio emmetros);6 - Teste para verificar o efeito da aquaplanagem durante freadas, sendo o resultado

apresentado em graus.Para os veículos:V1 - Audi 100;V2 - BMW 1802;V3 - VW 411 E;V4 - VW Porsche 914.

8.14.1 Teste em pista circular

O piso era composto de dois trechos, um com cobertura asfáltica e o outro com pedras.O comportamento dos veículos, nestas condições de pista, foi:Audi - nenhum problema ocorreu; a correção na direção consistiu apenas em um giro, no

volante, um pouco maior do que o necessário, devido à tendência subesterçante inerente aesta concepção.BMW- inicialmente neutro, após e próximo à velocidade crítica passa a ser sobresterçante.VW 411 e Porsche 914 - no início subesterçantes, após a velocidade crítica, fortemente

sobresterçantes, exigindo giro do volante em sentido contrário ao da curva.



Figura 8.22: Pista para teste de ultrapassagem.

8.14.2 Sensibilidade a ventos laterais

O teste foi feito medindo-se o desvio dos veículos quando submetidos a um vento lateralinclinado, resultante da composição da velocidade de deslocamento do veículo, de 100 km/h,

e da velocidade de um vento normal à sua trajetória, de 90 km/h, originado por ventiladorescolocados na lateral da pista.Com uma menor distância do centro de pressão ao centro de gravidade, tanto o Audi

quanto o BMW sofreram deslocamentos laterais menores. O maior braço de alavanca daforça do vento justifica a maior sensibilidade do VW 411. O pequeno desvio do Porsche sedeve a sua pequena área lateral.

8.14.3 Verificação da dirigibilidade

O melhor desempenho foi do Porsche 914, por ser bastante dócil. O Audi teve umdesempenho bastante bom, apesar da tendência subdirecional exigir um giro do volante umpouco maior. O VW 411 e o BMW, devido à variação de tendência, obrigavam mudançasno sentido de giro da direção, diminuindo a velocidade alcançada.

8.14.4 Teste de ultrapassagem

O objetivo deste teste foi o de verificar o efeito das características inerentes a cadaconcepção nas ultrapassagens. A manobra deveria ser realizada em um trecho demarcado depista, conforme o esquema da figura 8.22, com a maior velocidade possível, sem que houvessequalquer choque com os marcos de sinalização do percurso.Neste ensaio, o Porsche foi o que obteve melhor desempenho. Seu pequeno momento de

inércia, em torno de seu eixo vertical, permitiu grandes acelerações angulares, facilitandomuito a realização da manobra - mostrou-se mais dócil em rápidas mudanças da trajetória.Também com bom desempenho, apresentou-se o Audi, por ser estável. Com o BMW e como VW 411, as saídas de traseira foram difíceis de ser evitadas, impedindo atingir velocidadesmaiores.

8.14.5 Aquaplanagem em curvas

Este ensaio foi realizado em uma pista curva molhada de vinte metros de comprimentoe cinco metros de largura. A pista estava parcialmente coberta com um filme de água, comespessura de vinte milímetros na sua borda interna e tendendo a zero na linha média.



O veículo deveria percorrê-la pela borda interna, com um giro fixo do volante da direção euma posição também fixa do pedal do acelerador. Era marcada a distância em metros que oautomóvel percorria até atingir a linha média da curva, que servia como linha de referência.No teste com velocidade de oitenta quilômetros horários, o Audi atingiu a linha de refer-

ência mais rapidamente, enquanto que, para o teste realizado com a velocidade de noventaquilômetros horários, o BMW atingiu mais rapidamente a referência. Ambos tem centro degravidade na dianteira.O VW 411 e o VW Porsche 914 apresentaram um comportamento bom nas duas veloci-

dades; os dois apresentam o centro de gravidade deslocado para trás.

8.14.6 Aquaplanagem em reta

A pista continha um filme de água de quatro milímetros de espessura e trezentos metros decomprimento. O veículo, a uma velocidade de cento e trinta quilômetros por hora e apóspenetrar vinte metros no trecho molhado, tinha o freio aplicado com força total e o volanteimobilizado até sua parada total. A freada ocasionou, em todos os casos, um impulso degiro, observando-se os seguintes comportamentos:Audi - permaneceu na direção, parando após cento e oitenta metros do ponto de aplicação

do freio e sofrendo pequena inclinação em relação a sua trajetória - 30.BMW - girou aproximadamente 90 e, após, pelo efeito de martelo (CG situado na frente),

voltou à direção primitiva.VW 411 - devido à posição traseira do centro de gravidade, sofreu um giro de uma volta

e meia em relação ao seu eixo vertical.Porsche - devido à posição central do centro de gravidade e, consequentemente, do seu

pequeno momento de inércia em relação ao eixo vertical, o veículo girou duas voltas e meia.Pode-se concluir , pela observação dos testes, que os veículos com centro de gravidade

deslocado para frente tem um bom comportamento para freadas de emergência em pistasretas molhadas.

8.14.7 Conclusões dos ensaios

Como era de esperar, as desvantagens de cada concepção podem ser diminuídas pormedidas construtivas, mas as características típicas de cada uma delas se mantêm.Considerando os resultados da totalidade dos testes, pode-se afirmar que a melhor con-

cepção para consumidores normais é aquela com motor e tração dianteiros, seguida da con-vencional. Para eles, as concepções com motor traseiro ou central não são recomendadas;podem, entretanto, ser aproveitadas em veículos esportivos ou de competição, pois espera-seque este público seja iniciado em pilotagem de automóveis, enfrentando melhor situaçõesdifíceis.A forte tendência, dos grandes fabricantes mundiais de veículos de passeio, em adotar a

concepção com motor e tração dianteiros corrobora estas conclusões.No mercado de carros esportivos, sobretudo naqueles de altíssimo desempenho, há a

tendência de utilização da tração integral e diferenciais com escorregamento controlado por



microprocessador. Esta tecnologia é adequada para veículos de uso esportivo, ou para aquelesque serão utilizados em situações onde as pistas têm baixa aderência (como, por exemplo,no gelo ou em pistas sem pavimentação rígida), porque a força motriz é controladamentedividida entre suas rodas, permitindo um aumento da capacidade de absoção de forçaslaterais e, consequentemente, a realização de curvas com velocidades maiores.


Capítulo 9

Sistema de direção

9.1 Geometria da direção

Na geometria de um sistema de direção ideal, os eixos das rodas diretoras se encontram noprolongamento do eixo das rodas traseiras, para qualquer curva a ser realizada, como foi vistono capítulo 8, figura 8.13. Neste capítulo, serão desenvolvidas algumas equações adicionais,com o objetivo de definir os requisitos cinemáticos que o mecanismo de esterçamento dasrodas direcionais deve satisfazer. Considerando a geometria ideal mostrada na figura 9.1,o raio geométrico ρg da curva, em função do giro β1 e β2 das rodas externa e interna,respectivamente, será dado por:

ρg =l

tag β1− tI2

(9.1)

ρg =l

tag β2+

tI2

(9.2)

onde:ρg - raio geométrico da curva;l - distância entre eixos;tI - bitola do eixo dianteiro;βi - giro da roda dianteira externa e interna (i = 1, 2 respectivamente).Igualando-se as duas expressões acima, tem-se

tIl=

1

tag β1− 1

tag β2. (9.3)

Esta equação é a lei cinemática que governa o mecanismo de esterçamento das rodasdirecionais de um veículo. Ela é fortemente não linear e indica que o mecanismo de esterça-mento das rodas também deve ter um comportamento não linear. Para pequenos ângulos,com as devidas linearizações, tem-se:

tIl=1

β1− 1

β2(9.4)

Esta expressão é bastante precisa quando o veículo executa curvas com raios grandes,como é o caso em rodovias. Isso é muito favorável porque, nessa situação, as velocidades

195


Capítulo 9 - Sistema de direção 196

Figura 9.1: Geometria ideal da direção.

de deslocamento do veículo são grandes, a estabilidade direcional é importante e não seráinfluenciada por erro de esterçamento. Em curvas com pequenos raios, como ocorre porexemplo em cidades, um mecanismo construído segundo a equação linearizada 9.4 irá causargrandes erros de posicionamento das rodas; felizmente, porém, a estabilidade direcional serámenos afetada, pois as velocidades são baixas.Mesmo a equação linearizada que governa o esterçamento é difícil de ser satisfeita com os

mecanismos de quatro barras, pois ela é fortemente não linear para giros médios e grandesdas rodas. A recomendação básica para o projeto do mecanismo de esterçamento é que ainterseção dos prolongamentos dos eixos de todas as rodas do veículo aconteça sempre emum ponto comum. A figura 9.2 mostra a geometria ideal para alguns sistemas possíveis dedireção.Do capítulo 1, onde o comportamento dos pneus sob a ação de forças transversais ao seu

plano médio foi descrito, sabe-se que um veículo se deslocando em uma curva, devido à açãoda força centrífuga, sofre deriva nas rodas dianteiras e traseiras. Os ângulos de deriva dasrodas traseiras e dianteiras afetam a posição do centro da curva como está representado nafigura 9.3. Desse modo, mesmo que se adote a solução correta para a execução da curva, nãose terá certeza de que o comportamento do veículo será o ideal, já que, como foi mostradono capítulo 8, a deriva dos eixos afeta sensivelmente o raio da curva.

9.1.1 Esterçamento e raio de retorno

Conforme salientado no ítem anterior, com velocidade baixa, a curva percorrida por umveículo somente será exata se as perpendiculares às quatro rodas se cortarem no centro da



Figura 9.2: Geometria ideal para vários sistemas de direção.



Figura 9.3: Variação da posição do centro da curva para um veículo com deriva.

curva M . Com rodas traseiras não direcionais, portanto, as perpendiculares às duas rodasdianteiras devem cortar o prolongamento da linha média do eixo traseiro em M ; com isso,as rodas dianteiras externa e interna deverão apresentar diferentes ângulos de esterçamentoβ1i e β2.Considerando as expressões vistas no ítem anterior e partindo do ângulo maior β2, pode

ser calculado o ângulo ideal β1i da roda externa pela expressão

cot β1i = cotβ2 +j

l(9.5)

onde j é a distância, medida no solo, entre os prolongamentos dos pinos mestres, ou seja,

j = tI − 2b (9.6)

e b o raio de rolamento, figura 9.4.A diferença entre β2 e β1i deve ser sempre positiva

∆βi = β2 − β1i > 0 . (9.7)

Com o ângulo β1i, pode-se calcular o raio teórico de giro ρI , ou seja, o raio do círculoque a roda externa percorre em um plano para o máximo giro da direção. Esse raio, em umveículo, deve ser o menor possível para facilitar retornos e estacionamentos. A expressão,obtida com auxílio da fig. 8.4,

ρI =l

senβ1i+ b (9.8)



Figura 9.4: Ângulos de esterçamento de um sistema de direção e grandezas característicasdo eixo dianteiro.



mostra que essa exigência é alcançada com pequenas distâncias entre eixos e grandes ângulosde exterçamento da roda externa. Um grande valor de β1i subentende um grande valor deβ2 que, entretanto, é limitado pelos espaços disponíveis - as rodas, quando completamenteesterçadas e com o seu deslocamento máximo no molejamento, não podem tocar nos ele-mentos construtivos do eixo dianteiro nem no paralama; com tração dianteira, além disso,deve-se observar o máximo ângulo admitido pelas juntas do eixo de tração.Enquanto o ângulo interno β2 é limitado, o externo não necessita sê-lo, podendo, inclusive,

ter o mesmo valor (β1 = β2). A desvantagem seria um maior desgaste dos pneus na curva,mas com a vantagem de obter um menor raio de giro. Este é o motivo da maioria dosautomóveis apresentar um ângulo externo real β1r diferente do valor ideal β1i obtido nocálculo.O erro desejado é dado por

βe = β1r − β1i. (9.9)

Para determinar o raio de giro ρI em uma direção com erro desejado, é necessário calcularβe e β1imax, ou seja, o ângulo ideal externo dado pela primeira equação apresentada nesteítem.Medidas feitas mostram que o raio de giro diminui cerca de 0,05 m para cada 1o de erro

desejado, de modo que seu valor pode ser calculado por

ρI =l

senβ1i+ b− 0, 05βe [m]. (9.10)

Exemplo: Calcular o raio de giro para um veículo com os seguintes dados: l = 2, 527 m;b = 0, 015 m; tI = 1, 321 m; β2 = 38

o; β1 = 36200.

j = 1, 321− 2(0, 015) = 1, 291 m

cotβ1i = cot 38 +

1, 291

2, 527= 1, 7849

β1i = 29100

βe = 36200 − 29100 = 7100 = 7, 17

ρI =2, 527

sen29100+ 0, 015− (0, 05)7, 17 = 4, 836 m

e o diâmetro de giro

DI = 2.ρI = (2)4, 836 = 9, 67 m.

Para o motorista, mais importante que o raio de giro é o círculo que ele pode fazer entreduas guias da calçada, ou seja,



Figura 9.5: Camber positivo.

DB = 2ρI +B [m] (9.11)

com B sendo a largura do pneu.Mais importante, ainda, é o círculo de retorno DR que, segundo a DIN 70020, é definido

como o círculo percorrido pelo canto mais externo do veículo durante o máximo ângulo degiro. Ele é medido em testes.

9.2 Ângulos da direção

Visando menores forças de acionamento das rodas direcionais bem como estabilidade dadireção, há necessidade de adoção de uma geometria um pouco complexa que compreende osdenominados ângulos da direção: camber, inclinação do pino mestre, convergência e caster.Algumas destas grandezas podem ser alteradas com o curso da suspensão. Estas alter-

ações são causadas pela forma com que os braços da suspensão são fixados na carroceria e dasua disposição espacial, bem como, pela fixação do braço da direção na roda. Sabendo disso,pode-se, ao projetar uma suspensão, atenuar ou acentuar algumas características referentesà estabilidade direcional de um veículo em curva sem que haja necessidade de mudar a suadistribuição de massas.

9.3 Camber

Camber é a inclinação do plano da roda em relação a uma vertical que passa pelo centroda superfície de contato pneu/pista, figura 9.5.



Figura 9.6: Camber de uma suspensão.Vista de frente

Quando a parte superior da roda é deslocada para fora, como mostra essa figura, o camberé considerado positivo. Para dentro é negativo.Uma cambagem positiva das rodas dianteiras é favorável devido à leve convexidade das

pistas; com essa cambagem os pneus rodammais perpendicularmente à pista, diminuindo seudesgaste, figura 9.6. Por outro lado, para que não haja redução da capacidade de absorçãode forças laterais em curvas, o camber deve ter o menor valor possível.Em condição normal de utilização do veículo, ou seja, carregado com duas pessoas, um

valor comum para o camber é

γ = +300.

Analisando os valores usados para o camber nas três concepções mais comuns - standart(motor dianteiro, tração traseira), motor e tração traseiros e motor e tração dianteiros -observam-se valores variando entre 0o e 2o. A maior freqüência em todos os casos, entretanto,é de valores entre 0o e 1o. Em veículos esportivos, é possível encontrar camber negativo nasrodas dianteiras para melhorar o comportamento em curvas; é possível absorver esforçoslaterais maiores e, consequentemente, fazer curvas com maior velocidade.Normalmente, são admitidas tolerâncias em relação ao valor absoluto do camber, ou seja,

tanto variação em relação ao valor escolhido quanto à diferença entre os valores das rodasesquerda e direita. Como variação do valor do camber, é comum ±300, a fim de tornar aconstrução do eixo dianteiro mais econômica. Para evitar que o veículo puxe para um ladoquando em linha reta, a diferença entre os valores do camber das duas rodas não deve sersuperior a 200.Em resumo, as tolerâncias do camber no eixo dianteiro são:

Valor do camber: +300 ± 300Máxima diferença entre esquerda e direita: 200.

A cambagem no eixo traseiro é função do seu tipo. Nos eixos rígidos é comum o uso de0o com tolerância de ±150, a fim de que o desgaste dos pneus seja uniforme. Com suspensão



Figura 9.7: Variação do camber em curvas.

Figura 9.8: Variação da cambagem da roda, função do curso da suspensão.

independente, é usual a cambagem negativa para melhorar a absorção de forças laterais. Ovalor do camber, com o veículo carregado com duas pessoas, não deve ser superior a −1o,com as mesmas tolerâncias vistas para o eixo dianteiro.Uma desvantagem da suspensão independente é que, em curvas, as rodas inclinam jun-

tamente com a carroceria, ou seja, a roda externa tende a ficar com um camber positivoacentuado, figura 9.8. Como essa roda é a mais carregada, uma diminuição de sua capaci-dade de absorção de forças laterais não é favorável.Esse problema pode ser minimizado no projeto da suspensão, de tal forma que quando

a roda suba em relação à carroceria a cambagem vá se tornando negativa progressivamente.Este comportamento do camber em relação ao curso da roda está mostrado na figura 9.8,para um determinado tipo de suspensão.A modificação do camber devida ao giro da carroceria e ao deslocamento da suspensão é

dada por:

γT = Ψ+ γi (9.12)



Figura 9.9: Posição do pino mestre em veículos antigos.

onde:γT - variação total da cambagem;Ψ - giro da carroceria;γi - cambagem induzida pelo deslocamento da suspensão.Exemplo: Um veículo tem a suspensão, de um de seus eixos, com o comportamento

representado na figura 9.8. Para um ângulo de 5o de giro da carroceria do veículo, calcular acambagem das rodas externa e interna; no giro, as rodas da suspensão deslocam-se 50 mm.A variação total do camber na roda externa será:

γT = 5o − 2o = 3o

e na roda interna,

γT = −5o + 1, 5o = −3, 5o

Nota-se, com estes resultados, que a tendência das rodas externa e interna de adquiriremcambagens positiva e negativa excessivas é reduzida de forma sensível com este tipo de sus-pensão, o que garante maior capacidade de absorção de cargas laterais deste eixo.

9.4 Inclinação do pino mestre

Nos primórdios da indústria automobilística as rodas diretrizes eram normais ao solo egiravam em torno de um eixo vertical, chamado pino mestre, como mostrado na figura 9.9.Com isto o braço de alavanca b, denominado raio de rolamento, existente entre o contato

do pneu com o solo e a direção do pino era bastante grande, o que acarretava momentos



Figura 9.10: a) Cambagem de uma roda de forma a reduzir o momento em torno do pinomestre. b) Inclinação do pino mestre com o mesmo objetivo.

também grandes para manter a roda em uma mesma posição. Isto tornava bastante de-sagradável a operação de dirigir um veículo com as rodas sofrendo impactos. Para contornaro problema, deu-se à roda um câmber positivo γ, visando diminuir o braço de alavanca, comomostra a figura 9.10 a). A diminuição desse braço, obtida desta maneira, implicava em umcâmber positivo excessivo. Uma solução complementar foi inclinar o pino mestre no planovertical que contém o eixo das rodas; este ângulo δ, chamado de inclinação do pino mestre,está mostrado na figura 9.10 b). A inclinação do pino mestre, além de tornar o braço dealavanca menor, diminuindo o esforço sobre o volante, induz um efeito colateral, talvez maisimportante, que é o retorno da direção.Sendo o eixo de rotação inclinado em relação ao plano médio da roda, pode-se imaginar

que a trajetória deste plano se faz sobre um cone, conforme está mostrado na figura 9.11.Assim, o ponto de apoio da roda com o solo descreve uma circunferência em torno do pinomestre e o plano em que esta circunferência é descrita é secante ao solo. Quando a rodatem a sua posição alterada, o ponto de contato com o solo deveria penetrar no solo, comoisto não acontece, o veículo sobe. Deste modo, a condição de mínima energia potencial doveículo ocorre com a direção alinhada. Assim, a inclinação do pino mestre funciona de modoa restituir a direção, alinhando as rodas em relação ao eixo médio do veículo.Valores usuais de inclinação do pino mestre variam entre 4o e 9o, sendo mais comum algo

em torno de 5o.

9.5 Convergência das rodas

Convergência, segundo a DIN 70020, é a diferença, em mm, C = B−A, figura 9.12, medidaentre os aros, na altura dos centros das rodas quando em posição de linha reta.O menor desgaste dos pneus ocorre quando a roda se desloca perfeitamente em linha reta.

No rolamento, entretanto, surge uma força longitudinal na superfície de contato pneu/pistaque, com o raio de rolamento, origina um momento que será absorvido pelos braços da



Figura 9.11: Inclinação do pino mestre e trajetórias de pontos da roda.

Figura 9.12: Convergência das rodas.



Figura 9.13: Roda direcional não motriz.

direção. A elasticidade dos elementos da direção, principalmente dos seus apoios, permiteque esse momento modifique a posição das rodas, fazendo com que se desloquem inclinadasem relação à direção do movimento. Para que permaneçam em linha reta, é necessário que,quando paradas, apresentem uma posição inclinada em sentido contrário.

9.5.1 Eixo não motriz

Quando um veículo se desloca em marcha normal, a única força que atua neste eixo é aresistência ao rolamento, como mostra a figura 9.13.Com o raio de rolamento positivo, ver ítem 9.4, o momento atuante causará uma di-

vergência das rodas com o veículo em marcha. Para compensar estas deformações e permitirque o veículo se desloque com as rodas paralelas à direção do movimento, é necessário umaconvergência das rodas quando o veículo está parado. Os valores da convergência ficam emtorno de 2 a 3 mm.A convergência pode ser ajustada pela alteração dos comprimentos das barras de direção,

nos eixos direcionais. Nos eixos não direcionais, ela pode ser alterada pela variação docomprimento dos tensores que garantem a posição da roda.Costuma-se admitir uma tolerância de ±1 mm no valor adotado para a convergência.Com o raio de rolamento negativo, o momento resultante atua em sentido oposto ao

comentado anteriormente e as rodas deste eixo deverão ser divergentes com o veículo paradopara, quando em movimento, ficarem paralelas à direção de deslocamento.

9.5.2 Eixo motriz

Nos eixos de tração, além da resistência de rolamento atua a força motriz, que é pre-dominante. Nesse caso, ainda considerando o raio de rolamento positivo, as rodas com oveículo parado devem ser divergentes, para que, em movimento, fiquem paralelas à direçãode deslocamento. Com o raio de rolamento negativo, as rodas devem ser convergentes.

9.5.3 Raio de rolamento

O raio de rolamento é definido como a distância entre o plano médio do pneu e o pinomestre. Esta distância é muito importante na determinação dos esforços que ocorrem nos



Figura 9.14: Raio de rolamento.

braços da suspensão e da direção. O raio de rolamento pode ser positivo ou negativo,conforme mostra a figura 9.14.

9.5.4 Correção do comportamento em curvas com a variação daconvergência

A variação da convergência com o curso vertical da roda é de suma importância quandoo veículo faz curvas. Para ilustrar, considere-se a curva de variação da convergência, emfunção do curso da roda, mostrada na figura 9.15.O comportamento subesterçante de um veículo pode ser minimizado, ou mesmo elimi-

nado, ao adotar-se uma suspensão no eixo dianteiro com o tipo de comportamento indicadonessa figura.Da mesma forma, um veículo com comportamento sobresterçante pode ter esta car-

acterística minimizada, ou mesmo eliminada, ao adotar-se uma suspensão traseira com ocomportamento indicado na figura 9.16.Quando o eixo é rígido, devido à ligação direta de ambas as rodas, não é possível obter

esses efeitos com o molejamento da suspensão.Um efeito adicional da convergência é a eliminação da tendência a oscilar das rodas

dianteiras. Essa tendência é motivada pelas folgas existentes no sistema de direção. Como,com a convergência, os elementos que compõem esse sistema são mantidos tensionados, asfolgas desaparecem e a oscilação também.

9.6 Caster

O caster é, segundo a DIN70020, a distância "n"entre o ponto de contato pneu/pista e oponto em que o prolongamento do pino mestre encontra o solo, medida na projeção em umplano médio vertical do veículo.



Figura 9.15: Correção do comportamento subesterçante em curvas com a variação da con-vergência

Figura 9.16: Correção do comportamento sobresterçante com o uso de suspensões adequadas.



Figura 9.17: Obtenção do caster em veículos com tração traseira, casos 1 e 2, e com traçãodianteira, casos 3 e 4.

O caster pode ser obtido, em veículos com tração traseira, através da inclinação do pinomestre de um ângulo ε (caso 1) ou através do deslocamento desse pino para a frente do eixo(caso 2), figura 9.17.Em veículos com tração dianteira, devido ao sentido da força de tração, é possível usar

um valor negativo para o caster (-n), obtido através de uma inclinação contrária à do caso1 para o pino mestre (caso 3) ou através de um deslocamento desse pino para trás do eixo(caso 4), figura 9.17.Com tração traseira, o caster, obtido como mostra a figura 9.17, faz com que o ponto de

rotação da roda fique na frente do centro de contato pneu/pista; a resistência ao rolamento,então, tende a alinhar a roda na direção do deslocamento do veículo.Com tração dianteira e caster como mostra a figura 9.17, a força de tração tenderá a

garantir esse alinhamento.Uma análise da frequência de utilização do ângulo caster para as três concepções de

veículo - standart (motor dianteiro com tração traseira), motor e tração traseiros e motor etração dianteiros, mostra valores variando nas seguintes faixas:

- Concepção standart: ε = 0oa 4o;

- Motor e tração traseiros: ε = 8oa 12o;

- Motor e tração dianteiros: ε = −1oa +3o;

- Tolerância: ±300.


Capítulo 10

Suspensões planas

10.1 Introdução

Para estudo do comportamento de um veículo em curvas, é de importância o ângulo derolamento da carroceria, que está sobre molas, e as correspondentes modificações da cargae da posição das rodas, já que a carga e o camber influem nas reações laterais dos pneus,reações essas que mantêm o veículo na pista.Pela ação da força centrífuga, atua sobre um veículo um momento que tende a incliná-lo

lateralmente e que dependerá da altura do centro de gravidade.Se as rodas estiverem fixadas rigidamente na carroceria, esse momento será por elas

absorvido em função, simplesmente, da bitola e da distribuição de carga nos eixos; ocorreum aumento de carga nas rodas externas e uma diminuição nas internas.A importância da suspensão e do molejamento reside em que a parcela do momento

absorvida em cada eixo, ou seja, a diferença de carga nas rodas de um mesmo eixo, pode sermodificada independentemente da distribuição de carga propiciada pela posição do centro degravidade. Utilizam-se, para isso, eixos dianteiro e traseiro com diferentes tipos de suspensãoe rigidez de molas; essa rigidez pode ser modificada pela escolha das molas propriamenteditas e pelo uso de estabilizadores.A parcela do momento absorvida por um eixo causará uma diferença na carga normal

de suas rodas e, consequentemente, uma variação do valor de seu ângulo de deriva, o queinfluirá na estabilidade do veículo (ver Capítulo 8).Como mostra a figura 10.1, uma maior transferência de carga entre as rodas externa

e interna diminui a capacidade de absorção de forças laterais, ou seja, para uma mesmaforça lateral perturbadora o eixo com maior transferência de carga apresentará um ângulode deriva maior. Esta afirmação é melhor entendida através do seguinte exemplo.Exemplo: Considere-se um dos eixos de um veículo dotado de pneus 5, 60/15, com aros

4J × 15 e pressão de 1, 4 kgf/cm2 (aproximadamente 20 lb/in2). Considere-se, ainda, quea carga em ambas as rodas seja de 3000 N e que a força centrífuga, cause diferença de carganas rodas externa e interna de 1000 N (caso 1) e 2000 N (caso 2). Para a análise considerea curva S = f(Q) para o pneu, com um ângulo de deriva de 8o, dada na figura 10.1.Os resultados dessas duas análises estão apresentados na tabela 10.1.

211


Capítulo 10 - Suspensões planas 212

Figura 10.1: Carga lateral absorvida, em função da carga normal sobre a roda, para umângulo de deriva de 8o.

Tabela 10.1: Solução do exemplo.

Caso 1 Caso 2(∆G = 1000 N) (∆G = 2000 N)

Carga radial Roda externa Qe 4000 N 5000 NRoda interna Qi 2000 N 1000 N

Total Qe +Qi 6000 N 6000 NCarga lateral Roda externa Se 2440 N 2500 N

Roda interna Si 1590 N 850 NReação total Se + Si 4030 N 3350 N

Pelos valores das forças laterais totais possíveis de absorver em cada caso, conclui-se quequando o eixo sofre uma maior variação da carga normal em suas rodas pode absorver umamenor força lateral para uma mesma deformação (deriva), ou, em outras palavras, para umamesma força lateral, o eixo submetido a uma maior variação de carga nas rodas sofrerá ummaior ângulo de deriva (maior deformação).A transferência de carga nas rodas de um eixo depende dos seguintes fatores:

1. da rigidez das molas do eixo,

2. do tipo de suspensão utilizado,

3. do uso ou não do estabilizador, bem como do tipo,

4. das massas não suspensas.

O método que será apresentado, para cálculo da transferência de carga e do ângulo derolamento, é válido para os sistemas conhecidos de molas e suspensões e possibilita a com-paração entre diferentes construções bem como a avaliação do comportamento de um novoveículo em curvas. Considera, de maneira a simplificar a análise, molas com características



Figura 10.2: Posição do centro de gravidade das massas suspensas.

lineares. Em um veículo com molas com essa característica, o ângulo de rolamento Ψ é rel-ativamente fácil de determinar em função do coeficiente de aderência lateral μs. Mais difícilé calculá-lo quando as molas de um ou dos dois eixos são progressivas.As molas flexíveis hoje usadas exigem batentes de borracha, na compressão e na tração,

como limitadores de curso; esses batentes ocasionam um aumento da rigidez da mola no finaldo seu curso de compressão ou de distenção. A característica de mola de um conjunto molamais batente deixa de ser linear, passando a ser progressiva. Um procedimento de cálculocom o uso desses conjuntos exigiria dispor das características de mola correspondentes; nãose dispondo dessas curvas, deve-se considerar características lineares para as molas e usar,nos cálculos, o método mais simples apresentado a seguir.

10.2 Centro de gravidade das massas suspensas

A determinação da posição do centro de gravidade das massas suspensas pelas molas,onde atua a força W , figura 10.2, é importante para verificação da inclinação lateral doveículo, pois são essas massas que causam o momento que tende a girá-lo em relação ao seueixo longitudinal.Chamando:G - peso total do veículo;W - peso das massas suspensas;WI - parcela do peso das massas suspensas sobre o eixo dianteiro;WII - parcela do peso das massas suspensas sobre o eixo traseiro;WnI - peso das massas não suspensas do eixo dianteiro;WnII - peso das massas não suspensas do eixo traseiro;aI ; aII - distância do CG do veículo aos eixos;bI ; bII - distância do CG das massas suspensas aos eixos;h - altura do CG do veículo;hm - altura do CG das massas suspensas;l - distância entre eixos;rd - raio dinâmico do pneu;



RoI ; RoII - reação das rodas sobre o solo, com o veículo parado,

tem-se, a partir do equilíbrio de forças na direção vertical:

W =WI +WII , (10.1)

G =W +WnI +WnII . (10.2)

O peso dos eixos, ou massas não suspensas WnI e WnII , deve ser obtido por pesagem oupor avaliação; então,

W = G−WnI −WnII . (10.3)

Do equilíbrio de momentos, na figura 10.2, obtem-se:

bI =[RoII −WnII ]

Wl (10.4)

bII =[RoI −WnI ]

Wl. (10.5)

Considerando, por facilidade, que os centros de gravidade das massas não suspensas WnI

e WnII estejam localizados aproximadamente no centro das rodas, ou seja, na distância doraio dinâmico dos pneus ao solo, tem-se, pela figura 10.3,

hm =[G h− (WnI +WnII) rd]

W. (10.6)

Em geral h < hm, ou seja, o CG das massas suspensas fica situado acima do CG doveículo de vinte a quarenta milímetros.

10.3 Centro e eixo de rolamento

Para o estudo da transferência de carga em um eixo, é necessário o conhecimento do com-portamento geométrico da suspensão. O ponto de partida para este estudo é a determinaçãodo centro instantâneo de rolamento da suspensão; ele é o único ponto de um plano verticalque passa pelo centro do eixo que, num determinado momento, permanece sem movimento.É, portanto, o ponto situado no meio do carro (visto de frente) e no meio do eixo (visto delado) em torno do qual a carroceria começa a girar quando submetida a uma força lateral.Nele atua a parcela correspondente dessa força.Para determinar o centro de rolamento, em uma suspensão do tipo independente (para

outros tipos de suspensões reporte-se à figura 10.5) e plana, deve-se inicialmente obter ocentro instantâneo do movimento de uma roda, denominado de pólo, em relação à carroceria.Na suspensão ilustrada na figura 10.4, do tipo braços transversais, as rótulas junto à rodamovem-se perpendicularmente aos braços e, assim, o pólo P , para este tipo de suspensão,encontra-se na interseção do prolongamento dos braços AB e CD.



Figura 10.3: Posicionamento do veículo para a determinação da posição do centro de gravi-dade das massas suspensas.

Figura 10.4: Pólo e centro de rolamento de uma suspensão independente.



Figura 10.5: Características geométricas de vários tipos de suspensões.

O ponto de contato do plano médio da roda com o solo, N , move-se perpendicularmenteà linha PN , sobre a qual deverá situar-se, também, o centro de rolamento M da carroceriaquando, ao contrário, a roda permanece na pista e a carroceria gira. O mesmo vale para aoutra roda do eixo; desse modo, e por simetria, M deve situar-se no plano médio do veículo.O centro de rolamento é um ponto inerente ao tipo de suspensão. Em geral, as suspensões

dos veículos são diferentes na dianteira e na traseira, com centros de rolamento em diferentesalturas.A reta que passa por esses centros, mostrado na figura 10.6, é definida como eixo de

rolamento em torno do qual girará a carroceria.Um dado importante para análise do comportamento do veículo sob a ação de cargas

laterais é a distância do eixo de rolamento ao centro de gravidade das massas suspensas.Essa grandeza, mostrada no modelo da figura 10.6, é dada por:



Figura 10.6: Distância do centro de gravidade das massas suspensas ao eixo de rolamento.

ho = hm − hr (10.7)

ou

ho = hm −(n bI +m bII)

l. (10.8)

O eixo de rolamento deve ser aproximadamente paralelo ao solo para que, em uma curva,não haja grande diferença na transferência de carga entre os eixos dianteiro e traseiro; comisso,o comportamento do veículo será mais neutro.Uma posição alta do eixo de rolamento implica em um pequeno ângulo de giro da car-

roceria, com conseqüente aumento do conforto; no entanto, em suspensões independentes,a posição do centro de rolamento não deve ser alta, para evitar grandes variações de bitoladurante o molejamento, o que poderia afetar a dirigibilidade do veículo (para um curso demola de 80 mm, ou seja, ± 40 mm a partir do ponto neutro, a variação de bitola no eixodianteiro não deve ser superior a 25 mm (12, 5 mm por roda); no eixo traseiro a variação debitola pode chegar a 35 mm).Desse modo, no projeto de uma suspensão, o primeiro passo é determinar a altura do

centro de rolamento da suspensão dianteira (que, pelas limitações de variação de bitola,dificilmente poderá ser superior a 150 mm) e, então, escolher uma suspensão traseira cujaposição do centro de rolamento permita evitar um grande valor de ho.

10.4 Comportamento do veículo em curva com molaslineares

Em uma curva, a ação da força centrífuga das massas suspensas em relação ao eixo derolamento ocasiona um momento que irá provocar inclinação lateral da carroceria, fazendo-agirar de um ângulo denominado ângulo de rolamento. Esse momento, dado por

M = Fc[hm − hr] = Fc ho (10.9)

irá contribuir, também, para a transferência de carga das rodas internas para as externas.



Figura 10.7: Ação da força centrífuga das massas suspensas em relação ao eixo de rolamentoe sua tranferência para os eixos dianteiro e traseiro.

Ele será absorvido pelas suspensões dianteira e traseira, com as parcelas correspondentesvariando em função da rigidez das molas utilizadas em cada uma, mas satisfazendo, sempre,a seguinte relação:

M =MI +MII . (10.10)

Os momentos MI e MII irão produzir a primeira das quatro parcelas da transferênciatotal de carga entre a roda interna e a externa de um mesmo eixo.Além disso, a força centrífuga aplicada, agora, no eixo de rolamento, pode ser decomposta

parte para o eixo dianteiro parte para o traseiro, figura 10.7, agindo nos centros de rolamento.

Fc = FcI + FcII . (10.11)

O produto de cada componente pela respectiva altura do centro de rolamento ao solo forneceum momento que, embora não cause inclinação da carroceria, colabora na transferência decarga entre as rodas do eixo, originando a segunda parcela dessa transferência.A terceira parcela é causada pelo estabilizador instalado no eixo, não representado na

figura 10.7. Dependendo do tipo empregado, ele aumentará a transferência de carga entreas rodas de uma suspensão e reduzirá a inclinação da carroceria (tipo U) ou aumentará ainclinação da carroceria e reduzirá a transferência de carga entre as rodas do eixo (tipo Z).Sua utilização tem importância muito grande no comportamento em curvas e é uma solução



muito empregada pelos fabricantes de automóveis para atenuar tendências indesejáveis dosveículos em curvas.A quarta e última parcela da transferência de carga é devida à ação da força centrífuga

sobre as massas não suspensas dos eixos, também não representadas na figura. Essa força esua reação na pista originam um binário que ocasiona diferença de carga nas rodas do eixo. Aintenção de reduzir esta quarta parcela tem acelerado o uso de novos materiais na construçãodos elementos que compõem as massas não suspensas, como ligas de alumínio, ligas detitânio e compostos laminados. Com a redução das massas desses elementos, além disso, sãoreduzidas suas inércias, aumentando a capacidade das rodas de seguirem as irregularidadesdo terreno sem perda de contato com a pista, o que aumenta a estabilidade do veículo.

10.5 Transferência de carga das rodas internas para asexternas

Conforme destacado anteriormente, a transferência de carga da roda interna para a rodaexterna de um eixo é proveniente de quatro influências distintas, que serão analisadas sepa-radamente:

1. momento no eixo considerado, MI ou MII , devido à força centrífuga das massas sus-pensas;

2. momento devido à parcela dessa força centrífuga agindo no centro de rolamento doeixo, McI ou McII ;

3. momento devido ao estabilizador existente no eixo, MEI ou MEII ;

4. momento devido à força centrífuga das massas não suspensas desse eixo, MnI ouMnII .

10.5.1 Ação do momento M

Em uma curva, a força centrífuga das massas suspensas

Fc =W v2

g ρo(10.12)

será absorvida pelas rodas e, portanto, será igual à força de atrito μs W ; seu máximo valordependerá das condições da interface pneu/pista.A distância dessa força centrífuga ao eixo de rolamento faz com que atue sobre o veículo

um momento que tende a incliná-lo lateralmente. Esse momento será mais ou menos ab-sorvido pelo eixo dianteiro, ou traseiro, em função da rigidez das molas de cada eixo.A figura 10.8 representa um esquema mais completo do veículo.Se as rodas fossem fixadas rigidamente à carroceria, ou seja, sem a existência de molas,

a transferência de carga seria função, simplesmente, da distribuição da carga sobre os eixose das bitolas, ou seja,



Figura 10.8: Modelo do sistema de forças que atua em um veículo.

∆GI =MI

tI= FI

h

tI= μs GI

h

tI(10.13)

∆GII =MII

tII= FII

h

tII= μs GII

h

tII(10.14)

onde:∆Gi - variação de carga nas rodas do eixo considerado, i = I, II;Mi - parcela do momento da força centrífuga F = μs G absorvida pelo eixo;Fi - parcela da força centrífuga atuante no eixo;ti - bitola do eixo;μs - coeficiente de aderência lateral pneu/pista;h - altura do centro de gravidade do veículo;Gi - parcela do peso do veículo sobre o eixo,ρo - raio da curva percorrida pelo veículo (m);v - velocidade do veículo (m/s);

g - aceleração da gravidade (m/s2).

Com a utilização de molas, o momento que é absorvido em cada um dos eixos é trans-mitido para as rodas através da deflexão dessas molas.

Eixo rígido

Para uma suspensão do tipo eixo rígido, figura 10.9, o momento da força centrífuga dasmassas suspensas ocasionará um giro da carroceria em torno do centro de rolamento M . As



Figura 10.9: Suspensão com eixo rígido.

Figura 10.10: Relação entre o giro da carroceria e a deflexão das molas.

molas opõem-se à ação desse momento e suas reações apoiam-se sobre o eixo, ocasionandodiferença de carga nas rodas.Sendo k2 a constante da mola, a variação da força em cada mola, devido ao giro da

carroceria, é dada por:

∆F = k2 f (10.15)

A relação entre o ângulo de giro da carroceria e a deflexão da mola, figura 10.10, é dadaatravés da seguinte expressão:

tgΨ = 2f

d(10.16)

Para pequenos ângulos, pode-se considerar

f = Ψd

2, (10.17)



logo

∆F = k2 Ψd

2. (10.18)

Como

MII = ∆F d (10.19)

tira-se

MII = k2 Ψd2

2. (10.20)

Pela análise desta equação, conclui-se que, para um mesmo momento da força centrífuga,quanto maior a distância entre as molas da suspensão, tanto menor o de giro da corroceria.Por outro lado, vale, também,

MII = ∆GII(1) tII (10.21)

e assim:

∆GII(1) =MII

tII(10.22)

∆GII(1) = Ψ k2d2

2 tII(10.23)

ou

∆GII(1) = Ψ KIItII2

(10.24)

com

KII = k2(d

tII)2. (10.25)

Suspensão independente

A determinação da primeira parcela de transferência de carga para uma suspensão in-dependente, dianteira ou traseira, em função do momento da força centrífuga das massassuspensas, é realizada a partir da análise da suspensão mostrada na figura 10.11.Para uma mola com rigidez k posicionada em u, a constante de mola na rótula do braço

transversal é:

K = k(u

v)2. (10.26)

O deslocamento da suspensão no plano médio do pneu é dado por:

w =t

2tagΨ (10.27)

que, para pequenos ângulos, pode ser aproximado por:



Figura 10.11: Suspensão independente e seu ângulo de giro.

w ∼= t

2Ψ. (10.28)

A variação de carga na roda é dada a partir da equação 10.15, fazendo f = w e∆F = ∆G,

ou seja:

∆G(1) = Ψ Kt

2. (10.29)

Portanto, se a suspensão independente for dianteira, a transferência de carga da rodainterna para a externa será

∆GI(1) = Ψ KItI2. (10.30)

De modo semelhante, se a suspensão independente for traseira, será

∆GII(1) = Ψ KIItII2. (10.31)

Os momentos absorvidos pelos eixos seriam, respectivamente,

MI = ∆GI(1)tI = Ψ KIt2I2

(10.32)

e

MII = ∆GII(1)tII = Ψ KIIt2II2. (10.33)

A transferência de carga devido ao momento da força centrífuga das massas suspensasem relação ao eixo de rolamento é, como se vê, um problema hiperestático, pois a parcelaabsorvida em cada eixo depende do ângulo de giro da carroceria que, por sua vez, dependerádo valor desse momento.



Figura 10.12: Transferência de carga nas rodas de um eixo pela ação da força centrífuga dasmassas suspensas agindo no centro de rolamento.

10.5.2 Ação das parcelas da força centrífuga das massas suspensas

A componente da força centrífuga das massas suspensas absorvida por um eixo age nocentro de rolamento da suspensão, conforme é mostrado na figura 10.12. Esta força provocauma transferência de carga adicional entre as rodas interna e externa.O valor dessa parcela é obtido através do equilíbrio de momentos; para uma suspensão

dianteira,

FcI m = ∆GI(2)tI (10.34)

ou

∆GI(2) = FcIm

tI= μs WI

m

tI= μs W

bIIl

m

tI. (10.35)

De forma semelhante, para uma suspensão traseira,

FcII n = ∆GII(2)tII (10.36)

ou

∆GII(2) = FcIIn

tII= μs WII

n

tII= μs W

bIl

n

tII. (10.37)

Observa-se que quanto mais alto o centro momentâneo de rotação de uma suspensão ouquanto menor a bitola do eixo, tanto maior será a diferença de carga entre as sua rodas.

10.5.3 Ação do estabilizador

O tipo de estabilizador mais difundido é o de barra de torção, mostrado na figura 10.13.Unindo os braços transversais da suspensão, aumenta a constante de mola do eixo e reduz



Figura 10.13: Estabilizadores tipo barra de torção.

Figura 10.14: Ação do estbilizador em forma de U em uma curva.

o ângulo de rolamento da carroceria. São encontrados nas formas U, figura 10.13 a), e Z,figura 10.13 b).Os estabilizadores em U ocasionam um aumento da transferência de carga entre as rodas

do eixo, quando em curva, já que sua ação consiste em comprimir a roda externa e levantara interna, conforme mostrado na figura 10.14.

Os estabilizadores em Z, ao contrário, ocasionam uma diminuição da transferência decarga entre as rodas de um mesmo eixo.A constante de mola de um estabilizador é calculada como de uma barra de torção, sendo

o comprimento efetivo a metade do comprimento da barra, já que, em relação à roda, a seçãocentral da barra funciona como se estivesse engastada, pois não gira. Chamando de ke essaconstante de mola, o valor efetivo da constante de mola do estabilizador, considerada noextremo do braço transversal (figura 10.11) vale :

KE = ke(u

v)2. (10.38)



Entre o momento estabilizanteME e o ângulo de rolamento da carroceria existe a relação

ME =t2

2KE Ψ. (10.39)

Desse modo, a terceira parcela da transferência de carga, devida ao uso do estabilizadorno eixo dianteiro, é dada por

∆GI(3) =tI2KEI Ψ (10.40)

e, para o eixo traseiro, seu valor é

∆GII(3) =tII2KEII Ψ. (10.41)

Os momentos absorvidos pelos estabilizadores das suspensões do eixo dianteiro e traseiro,desenvolvidos a partir da equação 10.39, são:

MEI =t2I2KEI Ψ (10.42)

MEII =t2II2KEII Ψ. (10.43)

respectivamente.É interessante frisar que essas equações são válidas para qualquer tipo de suspensão.Com o uso de uma barra equilibradora (estabilizador tipo Z), ocorre a diminuição da

transferência de carga entre as rodas do mesmo eixo e o sinal de ∆G(3) deve ser trocado.Do exposto, se conclui que o uso de um estabilizador em U faz com que o eixo onde

foi instalado absorva uma maior parcela do momento devido à força centrífuga das massassuspensas e ocasione uma maior transferência de carga em suas rodas, com conseqüenteaumento do seu ângulo de deriva. No outro eixo, sem estabilizador ou com estabilizador emZ, ocorre o contrário. Desse modo, o uso de estabilizadores pode alterar convenientementeo comportamento de um veículo em curvas.Como o aumento do braço e, figura 10.13 a), diminui a constante de mola do estabi-

lizador, um veículo com estabilizadores em U, tanto no eixo dianteiro quanto no traseiro, econsiderado neutro, poderia ter esse comportamento alterado somente pela variação de e, daseguinte forma:

• Estabilizador no eixo dianteiro

- aumentando e, tende a sobresterçante (αII > αI);

- diminuindo e, tende a subesterçante (αI > αII).

• Estabilizador no eixo traseiro

- aumentando e, tende a subesterçante;

- diminuindo e, tende a sobresterçante.



Figura 10.15: Massas não suspensas de um eixo rígido.

10.5.4 Ação da força centrífuga das massas não suspensas

Como quarta parcela da diferença de carga entre as rodas externa e interna de um eixo,tem-se a ocasionada pela força centrífuga agindo nas massas não suspensas.

Eixo rígido

Em um eixo rígido, conforme mostrado na figura 10.15, a força centrífuga das massasnão suspensas age no centro de gravidade do eixo (na altura do centro das rodas) e ocasionaa variação adicional de carga nas rodas

∆GII(4) = FcnrdtII= μs WnII

rdtII

(10.44)

onde:Wn - peso das massas não suspensas;Fcn - força centrífuga correspondente;μs - coeficiente de aderência lateral pneu/pista;rd - raio dinâmico do pneu;tII - bitola.

Suspensão independente

Para suspensões independentes, dianteiras ou traseiras, a diferença de carga devida àação da força centrífuga das massas não suspensas depende não só das alturas m ou n doscentros momentâneos de rolamento como, também, da altura do pólo p.No caso do eixo dianteiro mostrado na figura 10.16, tem-se o equilíbrio de momentos

FcnI rd = μsWnI

2rd = Py q (10.45)

Considerando quePy = ∆GI(4) (10.46)

e



Figura 10.16: Alturas do pólo e do centro de rolamento de uma suspensão independente.

q =pIm

tI2

(10.47)

obtém-se

∆GI(4) = μs WnIrdtI

m

pI. (10.48)

O valor dessa expressão é positivo para a roda externa e negativo para a interna quando,como é o caso mais freqüente, o pólo e o centro momentâneo ficam acima do solo ou ambosabaixo dele. Uma exceção é mostrada na figura 10.5 g), para a suspensão com braço e molatransversais, onde m é negativo e os sinais da expressão anterior são trocados para as rodasexterna e interna. Com o pólo no infinito, como o caso mostrado na figura 10.5 h), quecorresponde ao centro momentâneo sobre o solo, ∆GI(4) = 0.Para o eixo traseiro com suspensão independente, a equação correspondente será

∆GII(4) = μs WnIIrdtII

n

pII. (10.49)

10.6 Carga dinâmica nas rodas

10.6.1 Superposição das parcelas de transferência de carga

Para estabelecer o comportamento do veículo em curvas (neutro, sobresterçante ousubesterçante), é importante a diferença entre os ângulos de deriva dos eixos dianteiro etraseiro. No valor desses ângulos, influi a transferência de carga nas rodas desses eixos emuma curva, conforme visto. O cálculo da transferência de carga deve ser feita em cada eixoseparadamente.No eixo dianteiro, as forças que os pneus exercem sobre o solo são dadas por:roda externa



GIe =GI

2+

4Xj=1

∆GIj (10.50)

roda interna

GIi =GI

2−

4Xj=1

∆GIj (10.51)

com

4Xj=1

∆GIj = ∆GI(1) +∆GI(2)±∆GI(3) +∆GI(4). (10.52)

No eixo traseiro tem-se:roda externa

GIIe =GII

2+

4Xj=1

∆GIIj (10.53)

roda interna

GIIi =GII

2−

4Xj=1

∆GIIj (10.54)

com

4Xj=1

∆GIIj = ∆GII(1) +∆GII(2)±∆GII(3) +∆GII(4). (10.55)

O sinal negativo em ∆GII(3) vale para um estabilizador em Z, enquanto que o positivodeve ser considerado quando um estabilizador em U for usado.

Exemplo Para uma melhor visualização da formulação, considere-se um automóvelcujas suspensões apresentam as seguintes características:

1 - eixo dianteiro - suspensão independente constituída por trapézio transversal e estabi-lizador do tipo U,

2 - eixo traseiro - eixo rígido, sem barra estabilizadora.

No eixo dianteiro, o equilíbrio de momentos é dado pela expressão:

MI +McI +MEI +MnI = ∆GI tI (10.56)

e a transferência de carga por:

∆GI =tI2(KI +KE1)Ψ+ μs W

bIIl

m

tI+ μs WnI

m

pI

rdtI. (10.57)



Para o eixo traseiro, o equilíbrio de momentos resulta na expressão dada por:

MII +McII +MnII = ∆GII tII (10.58)

com a correspondente transferência de carga:

∆GII =1

tII

µd2 k2

Ψ

2+ μs W

dbIl+ μs WnII rd

¶. (10.59)

Se fosse utilizada suspensão independente na traseira, a primeira parcela deveria sersubstituida por:

Ψ KIItII2. (10.60)

Empregando estabilizador em Z, para diminuir a tranferência de carga no eixo traseiro,seria necessário diminuir de ∆GII a parcela

∆GII(3) =tII2KE2 Ψ. (10.61)

Com o uso de um estabilizador em U, entretanto, a variação de carga aumentaria e essaparcela deveria ser somada a ∆GII.

10.6.2 Considerações

Da formulação anterior, pode-se concluir que o eixo que sofre a maior variação de cargaé aquele em que:

a) a maior parcela do peso do veículo se apoia (verificado pelos valores de bI e bII em∆G(2));

b) o centro de rolamento apresenta maior altura em relação ao solo (m ou n em ∆G(2));

c) as molas apresentam maior rigidez, seja da suspensão, em ∆G(1), ou do estabilizador,em ∆G(3);

d) as massas não suspensas são maiores, em ∆G(4);

e) é equipado com pneus de maior raio dinâmico.

Quanto maior a variação de carga em um eixo, tanto maior será o ângulo de deriva nesseeixo, como ilustrado no exemplo resolvido no item 10.1.

10.7 Ângulo de rolamento da carroceria

A fim de determinar o ângulo de rolamento da carroceria pela ação da força centrífuga,considera-se a condição de equilíbrio entre os momentos dessa força agindo sobre as massassuspensas e não suspensas e os momentos de reação das molas e estabilizadores usados nassuspensões:



Figura 10.17: Influência da posição do pólo P na inclinação da carroceria.

Σ momentos de rolamento = Σ momentos de reação. (10.62)

10.7.1 Momentos de rolamento

Com um eixo rígido, o momento da força centrífuga das massas não suspensas μs WnII rdnão influi na inclinação da carroceria, mas sim na carga dinâmica das rodas.Para determinação dos momentos de rolamento com suspensão independente, considere-

se a figura 10.17 representativa desse tipo de suspensão, que poderia estar tanto na dianteiraquanto na traseira do veículo.Em suspensões independentes, as parcelas da força centrífuga das massas suspensas FcI

e FcII não atuam, realmente, nos centros momentâneos de rolamento, mas sim nos pólos P.Pela ação da força centrífuga das massas suspensas e não suspensas, surgirá nesse pólo umaforça Py dirigida para baixo. Sua reação +Py ocasiona o momento de rolamento, dado por

MR = Py

µq − tI

2

¶, (10.63)

que, cuja ação, implica no aumento da inclinação da carroceria.Considerando o eixo dianteiro, a dedução desse momento deve ser feita nas condições

limites de uma curva, ou seja, quando a roda interna começa a levantar e o peso total noeixo dianteiro, dado por

GI =WI +WnI (10.64)

deve ser suportado pela roda externa. Nesse caso, as forças mostradas na figura 10.17, sãodadas por:



Se = μs GI ;

FcI = μs WI ; (10.65)

FcnI = μs WnI .

Pela condição de equilíbrio de momentos na direção axial do veículo, tem-se:

Py =FcnI rd + FcI pI

q=

μs WnI rd + μs WI pIq

. (10.66)

Observando a figura 10.17, por semelhança de triângulos, verifica-se que

q

tI/2=

pIm

(10.67)

eq =

tI2

pIm

(10.68)

logo

Py = μs WnI rd2

tI

m

pI+ μs WI

2m

tI. (10.69)

Ao substituir Py na equação 10.63 do momento de rolamento MR, se tem:

MR =

µμs WnI rd

q+

μs WI pIq

¶µq − tI

2

¶, (10.70)

o qual, pode ser separado em duas parcelas, a originada pela suspensão

MR1 = μs WnI rd2

tI

m

pI

µq − tI

2

¶(10.71)

e a originada pela carroceria

MR3 = μs WI2m

tI

µq − tI

2

¶. (10.72)

Substituindo o valor de q, dado pela equação 10.68, tem-se que o momento somentedevido as massas não suspensas do eixo dianteiro é dado por:

MR1 = μs WnI rd

µ1− m

pI

¶. (10.73)

A equação correspondente para uma suspensão independente na traseira é dada por:

MR2 = μs WnII rd

µ1− n

pI

¶. (10.74)

Com esse desenvolvimento, antes de ir adiante e um para um melhor da modelagemmatemática, uma análise das possíveis combinações das posições do centro de rolamento edo pólo é importante de ser feita.



Figura 10.18: Binário ±FcI atuando na distância (hm − pI).

1- com pI < m (pêndulo encurtado e braços inclinados (45o)), MR1,2 serão negativos e omomento de inclinação total será menor;

2- com pI = m (pêndulo), MR = 0;

3- com pI > m (tipos restantes de suspensão independente) MR1,2 serão positivos; istotambém ocorre com o centro momentâneo de rolamento abaixo do solo, ou seja, m epI negativos; com pólo acima do solo e centro momentâneo abaixo, a fração m/pI , oun/pII , será negativa e o sinal torna-se positivo;

4- com pólo no infinito (braços paralelos) m/pI , ou n/pII , tende a zero; também ocorrecom centro momentâneo sobre o solo (braços longitudinais).

Feita essa análise volta-se ao desenvolvimento do modelo matemático.Substituindo o valor de q, equação 10.68, em MR3, equação 10.72, obtém-se:

MR3 = μs WI(pI −m). (10.75)

A essa parcela, portanto, é necessário somar o momento, obtido a partir da inspeção dafigura 10.18,

MR4 = FcI(hm − pI) = μs WI(hm − pI) (10.76)

a fim de obter o momento de inclinação devido à força centrífuga agindo sobre as massassuspensas do eixo dianteiro, ou seja,

MRI =MR3 +MR4 = μs WI(hm −m). (10.77)

Com WI =W (bII/l) tem-se

MRI = μs WbIIl(hm −m). (10.78)

O momento de inclinação devido à força centrífuga agindo nas massas suspensas do eixotraseiro será:



MRII = μs WbIl(hm − n) (10.79)

e o momento total devido às massas suspensas será dado pela expressão:

MRo =MRI +MRII = μs W ho (10.80)

com

ho = hm −bI n+ bII m

l(10.81)

válida tanto para suspensões independentes quanto para eixo rígido.

10.7.2 Momentos de reação

Os momentos de reação são os momentos originados pelas diferentes molas e estabi-lizadores instalados nos eixos dianteiro e traseiro, são dados pela soma das equações 10.32,10.33, 10.42 e 10.43.

10.7.3 Ângulo de rolamento

Com o equacionamento desenvolvido nos itens anteriores, o ângulo de rolamento dacarroceria para um veículo com molas lineares é obtido a partir da aplicação da equação10.62, a qual com as devidas simplificações resulta em:

Ψ =MRo +MR1 +MR2

(t2I/2)KI + (t2II/2)KII + (t2I/2)KEI + (t2II/2)KEII(10.82)

com

MRo = μs W ho; (10.83)

MR1 = μs WnI rd(1−m

pI); (10.84)

MR2 = μs WnII rd(1−n

pII); (10.85)

(t2I/2)KI para suspensão dianteira independente;(t2II/2)KII para suspensão traseira independente; com eixo rígido substituir por (d2/2)k;(t2I/2)KEI para estabilizador em U na dianteira;+(t2II/2)KEII para estabilizador em U na traseira;−(t2II/2)KEII para estabilizador em Z na traseira.



10.7.4 Possibilidades de melhorar o comportamento em curvas

As tendências subesterçante e sobresterçante podem ser diminuidas através de medidasconstrutivas e, em determinadas velocidades de execução da curva, inclusive completamenteeliminadas; isso pode ser feito através de combinações de tipos de suspensões, escolha ad-equada das molas e uso ou não de barras estabilizadoras, sem necessidade de alterar adistribuição de peso do veículo.

Veículo subesterçante

Em um veículo com tendência subesterçante, comum em casos de tração dianteira, cer-tas modificações, economicamente viáveis, podem ser feitas com o objetivo de diminuir adiferença de carga na dianteira e/ou aumentar a diferença na traseira, de modo a tornar seucomportamento mais neutro.

1. Deslocar o centro de gravidade do veículo para trás (maior ∆GII(2) e menor ∆GI(2)).Em veículos com tração dianteira, essa medida prejudica o arranque em aclives e emterrenos com pouca aderência.

2. Retirar o estabilizador dianteiro (∆GI(3) = 0). Isto implica em uma maior inclinaçãoda carroceria, com possibilidade da roda traseira interna perder contato com o solo;reduz o preço da suspensão.

3. Reforçar o estabilizador traseiro (aumento de ∆GII(3)). Tem a vantagem adicional dediminuir a inclinação da carroceria.

4. Usar molas traseiras mais rígidas (maior ∆GII(1)). Tem como desvantagem a reduçãodo conforto.

5. Usar molas dianteiras mais flexíveis (menor ∆GI(1)). Acarreta maior inclinação dacarroceria, porém, aumenta o conforto.

6. Baixar o centro de rolamento na frente e levantar atrás (∆GI(2) diminui e ∆GII(2)

aumenta). No eixo dianteiro, ocorrerá menor variação da bitola, o que é conveniente.No eixo traseiro, se usada uma barra Panhard, sua elevação implicará na elevação docentro de rolamento sem que surjam maiores desvantagens.

Outra possibilidade, já comentada anteriormente, seria diminuir a pressão dos pneustraseiros. Entretanto, com o aumento da carga do veículo, essa pressão deveria ser aumentadapara, com diminuição da carga, ser novamente reduzida, o que é incômodo para o motorista.

Veículo sobresterçante

Nos veículos sobresterçantes, como costuma acontecer com tração traseira, principal-mente com motor traseiro, a maneira mais simples de tornar seu comportamento mais neutroem curvas é aumentando a pressão dos pneus traseiros (o que pressupõe uma adaptação dos



amortecedores); uma vantagem adicional da elevação dessa pressão é a independência doestado de carregamento, já que os pneus traseiros teriam sempre uma pressão adequada.Entretanto, também construtivamente se pode conseguir um aumento de αI e uma

diminuição (mesmo com a tração) de αII , através do aumento da diferença de carga nadianteira e diminuição na traseira.

1. Deslocar o centro de gravidade do veículo para frente (aumenta ∆GI(2) e diminui∆GII(2)). Essa medida tem como desvantagem diminuir a capacidade de tração como veículo pouco carregado.

2. Retirar o estabilizador traseiro e reforçar o dianteiro (∆GII(3) = 0 e aumento de∆GI(3)). Como vantagem adicional, tem-se redução de custo.

3. Usar barra estabilizadora tipo Z no eixo traseiro (∆GII(3) < 0). Aumenta a inclinaçãoda carroceria.

4. Usar molas traseiras menos rígidas (∆GII(1) menor). Como desvantagem, permiteuma maior inclinação da carroceria e, como vantagem, um maior conforto.

5. Usar molas dianteiras mais rígidas (∆GI(1) maior). Menor conforto mas menor incli-nação da carroceria.

6. Elevar o centro de rolamento dianteiro (∆GI(2) aumenta). A desvantagem é aumentara variação da bitola dianteira.

7. Baixar o centro de rolamento traseiro (∆GII(2) diminui). Uma barra Panhard colocadamais baixo diminui o espaço livre sob o eixo; uma suspensão independente, entretanto,permite conseguir qualquer altura do centro de rolamento, o que justifica a tendência deutilizar, mesmo em carros com tração traseira, esse tipo de suspensão. Uma suspensãoindependente no eixo traseiro teria a vantagem adicional de ser mais leve do que umeixo rígido.

Uma possibilidade adicional seria utilizar no eixo traseiro um sistema de suspensão dasrodas que ocasione, quando do giro da carroceria, uma convergência da roda externa e umadivergência da interna, de modo a reduzir a "saida" desse eixo nas curvas.

10.8 Exemplo de cálculo

Para exemplificar as relações vistas, será calculado o comportamento em curva de umveículo com tração dianteira, com molas lineares e carregado com 2 e 5 pessoas.Para o carregamento com duas pessoas, os cálculos devem ser feitos com os seguintes

dados; valores que servem somente para esse carregamento receberam o índice 1:Peso sobre o eixo dianteiro - GI1 = 695 kgf ;

Peso do eixo dianteiro - WnI = 50 kgf ;

Bitola dianteira - tI = 134 cm;



Peso sobre o eixo traseiro - GII1 = 420 kgf ;Peso do eixo traseiro - WnII = 60 kgf ;

Bitola traseira - tII = 132 cm;Altura do centro de gravidade do veículo - h1 = 58 cm;Distância entre eixos - l = 249 cm;Suspensão dianteira com braços transversais duplo:

altura do centro de rolamento - m1 = 7 cm;

altura do pólo - pI = 35 cm;Suspensão traseira com eixo rígido, braços longitudinais e barra Panhard:

altura do centro de rolamento - n1 = 28, 7 cm;Distância entre os braços longitudinais que suportam as molas - v = 106 cm;Constante de mola na dianteira (barra de torção longitudinal) - kI = 11, 5 kgf/cm;Constante de mola na traseira (barra de torção transversal) - kII = 14, 0 kgf/cm;Constante de mola escolhida para o estabilizador dianteiro - kEI = 5, 5 kgf/cm;Constante de mola escolhida para o estabilizador traseiro - kEII = 1, 5 kgf/cm;Raio dinâmico (para pneus 6,00 - 13/4 PR) - rd = 28, 8 cm;Pressão considerada nos pneus (dianteiros e traseiros) - p1 = 1, 7 kgf/cm2;

Coeficiente de aderência lateral - μs = 0, 5.Observação: a altura do centro de rolamento na traseira foi tomada com a carroceria

paralela ao solo, ou seja, quando a força transversal começa a atuar. Com o uso de barraPanhard, as inclinações da carroceria, para a esquerda ou direita, modificam essa altura, jáque a extremidade da barra presa na carroceria se desloca ora para cima ora para baixo;a extremidade presa no eixo não muda sua altura. Em um cálculo preciso, essa influênciadeveria ser considerada; no exemplo, será desprezada.



Ângulo de rolamento da carroceria

W1 = GI1 +GII1 − (WnI +WnII) = 1115− 110 = 1005 kgf ;

hm1 =G.h1 − (WnI +WnII)rd

W1=1115.58− 110.28, 8

1005= 61 cm;

bI1 =

µGII1 −WnII

W1

¶l =

µ360

1005

¶249 = 89, 5 cm;

bII1 = l − bI = 249− 89, 5 = 159, 5 cm;

ho1 = hm1 −bI1.n1 + bII1.m1

l= 61− 89, 5.28, 7 + 159, 5.7

249= 47, 7 cm;

M1 = μs.W1.ho1 = 0, 5.1005.47, 7 = 24000 kgfcm;

MnI = μs.WnI .rd

µ1− m

p

¶= 0, 5.50.28, 8

µ1− 7

35

¶= 576 kgfcm;

MnII = 0 (eixo rıgido);

ΣM = M1 +MnI +MnII = 24000 + 576 + 0 = 24576 kgf cm;

Ψ1 =ΣM

(t2I/2) kI + (v2/2) kII + (t2I/2) kEI + (t

2II/2) kEII

=

=24576

(1342/2) 11, 5 + (1062/2) 14 + (1342/2) 5, 5 + (1322/2) 1, 5=

=24576

244200= 0, 1006,

em graus,Ψ01 = 0, 1006.57, 3 = 5, 8

o.

Variação de carga no eixo dianteiro

∆GI1(1) = Ψ (tI/2) kI = 0, 1006.67.11, 5 = 77, 5 kgf

∆GI1(2) =μs.W.bII .m

l.tI=0, 5.1005.159, 5.7

249.134= 16, 8 kgf

∆GI1(3) = Ψ (tI/2) kEI = 0, 1006.67.5, 5 = 37, 1 kgf

∆GI1(4) =μs.WnI .m.rd

tI .p=0, 5.50.7.28, 8

134.35= 1, 1 kgf

Σ∆GI1 = 132, 5 kgf

Carga na roda dianteira externa

GIe1 =GI1

2+ Σ∆GI1 = 347, 5 + 132, 5 = 480 kgf

Carga na roda dianteira interna

GIi1 =GI1

2− Σ∆GI1 = 347, 5− 132, 5 = 215 kgf



Variação de carga no eixo traseiro

∆GII1(1) = Ψ

µv2

2tII

¶kII = 0, 1006

1062

2(132)14 = 60, 0 kgf

∆GII1(2) =μs.W1.bI1.n1

l.tII=0, 5.1005.89, 5.28, 7

249.132= 39, 2 kgf

∆GII1(3) = Ψ (tII/2) kEII = 0, 1006.66.1, 5 = 10, 0 kgf

∆GII1(4) =μs.WnII .rd

tII=0, 5.60.28, 8

132= 6, 5 kgf

Σ∆GII1 = 115, 7 kgf

Carga na roda traseira externa

GIIe1 =GII1

2+ Σ∆GII1 = 210 + 115, 7 ' 326 kgf

Carga na roda traseira interna

GIIi1 =GII1

2− Σ∆GII1 = 210− 115, 7 ' 94 kgf

Devido à maior carga no eixo dianteiro e ao estabilizador mais rígido, a diferença decarga nas rodas dianteiras é maior do que nas traseiras. Atrás, o centro de rolamento é bemmais alto, entretanto, devido à pequena distância entre as molas "v", a carroceria se apoiamenos no eixo traseiro.Para mostrar a influência do carregamento, será verificado o comportamento em curva

quando o veículo estiver carregado com cinco pessoas; os valores correspondentes a essecarregamento terão o índice 2:

GI2 = 730 kgf ;

GII2 = 580 kgf ;

n2 = 25, 8 cm

Em um eixo rígido com barra Panhard, o centro momentâneo de giro se desloca parabaixo com o carregamento; pode-se considerar que, com esse tipo de construção, o valordesse deslocamento seja igual à metade do curso da mola. Com duas pessoas n1 = 28, 7 cm.Com 3 novas pessoas no banco traseiro, a carga sobre o eixo traseiro aumenta 160 kgf. Comoa constante de mola desse eixo é 28 kgf/cm, o deslocamento adicional das molas é de 5,7 cme a nova posição do centro de rolamento resulta em

n2 = n1 −f

2= 28, 7− 2, 85 ' 25, 8 cm.



O eixo dianteiro fica sobrecarregado com somente 35 kgf, de modo que uma correção dem não é necessária; igualmente, a altura do centro de gravidade muda muito pouco.Tem-se, então,

W2 = 1200 kgf ;

bI2 = 108 cm;

bII2 = 141 cm;

hm2 = 60, 6 cm;

ho2 = 45, 4 cm;

ΣM = 27816 kgf cm;

Ψ2 = 0, 1139;

Ψ02 = 6, 50.

Com isso, as flechas nas molas dianteiras serão

fIe + fIi = Ψ2.tI = 0, 1139.134 = 15, 2 cm;

fIe = fIi = 76 mm;

e nas molas traseiras

fIIe + fIIi = Ψ2.tII = 0, 1139.132 = 15, 0 cm;

fIIe = fIIi = 75 mm.

Variação de carga no eixo dianteiro

∆GI2(1) = 87, 80 kgf ;

∆GI2(2) = 17, 70 kgf ;

∆GI2(3) = 42, 0 kgf ;

∆GI2(4) = 1, 1 kgf ;

Σ∆GI2 = 148, 60 kgf.

Carga nas rodas dianteiras externa e interna

GIe2 ' 514 kgf ;

GIi2 ' 216 kgf.



Variação de carga no eixo traseiro

∆GII2(1) = 68, 0 kgf ;

∆GII2(2) = 51, 0 kgf ;

∆GII2(3) = 11, 3 kgf ;

∆GII2(4) = 6, 5 kgf ;

Σ∆GII2 = 136, 80 kgf.

Carga nas rodas traseiras externa e interna

GIIe2 ' 427 kgf ; GIIi2 ' 153 kgf.

Com molas lineares, o ângulo de giro da carroceria de 6, 5 exige um espaço para com-pressão e distenção das molas do eixo dianteiro de

fIe + fIi = 152 mm.

Se esse espaço não for disponível, os batentes de borracha irão atuar, modificando aconstante de mola, que se tornará progressiva. Um cálculo mais preciso deveria, então, con-siderar as molas como progressivas, devendo-se, para tanto, dispor das curvas característicascorrespondentes; não se dispondo dessas curvas, deve-se considerar uma característica linearpara as molas e usar o método apresentado, mais simples, nos cálculos do comportamentodo veículo em curvas.

Determinação dos ângulos de deriva dos pneus

Para determinação dos ângulos de deriva que ocorrem nos eixos dianteiro e traseiro emuma curva, αI e αII , é necessário conhecer o diagrama S = f(Q), veja Capítulo 1, com α

como parâmetro, dos pneus utilizados inflados com a pressão a ser empregada no veículo emquestão.A figura 10.19 mostra esse diagrama para os pneus usados no exemplo,ou seja, 6.00-13/4

PR, com pressão de 1,7 kgf/cm2 (pneus Dunlop). Os valores de αI e αII são obtidos atravésde interpolação.Para determinar αI e αII , é necessário, primeiramente, calcular as forças laterais que

ambos os eixos absorvem, SI e SII , em função das cargas nesses eixos GI,II e do coeficientede aderência adotado no cálculo. No exemplo, para o carregamento com 2 pessoas, tem-sena dianteira e traseira, respectivamente,

SI1 = μs.GI1 = 0, 5.695 = 347, 5 kgf

SII1 = μs.GII1 = 0, 5.420 = 210 kgf.

Essas forças absorvidas pelos eixos, devem ser distribuidas nas parcelas a serem absorvi-das pelas rodas externas e internas; para isso, são necessárias as cargas nessas rodas. Commolas lineares e carregamento com 2 pessoas, tinha-se



Figura 10.19: Carga transversal absorvida por um pneu em função da carga radial e doângulo de deriva.

GIe1 = 480 kgf ; GIi1 = 215 kgf

GIIe1 = 326 kgf ; GIIi1 = 94 kgf.

Procuram-se, no diagrama S = f(Q), as forças laterais absorvidas pelos dois pneus deum eixo e os correspondentes ângulos de deriva, de modo que

SIe1 + SIi1 = SI1 = μs.GI1 = 0, 5.695 = 347, 5 kgf

SIIe1 + SIIi1 = SII1 = μs.GII1 = 0, 5.420 = 210 kgf.

Na figura 10.19, traçam-se verticais pelas cargas nas rodas dianteiras GIe eGIi e verificam-se as forças laterais correspondentes aos ângulos α = 6, 8o e 10o. A tabela seguinte mostraos valores encontrados e fornece os correspondentes coeficientes de aderência

μs =SIe1 + SIi1

GI1

para comparação com o valor utilizado no cálculo, ou seja, μs = 0, 5.

αI 10o 8o 6o

GIe1 480 SIe1 240 210 171GIi1 215 SIi1 176 161 138GI1 695 SI1 416 371 309

μs 0, 604 0, 530 0, 445



Com αI = 6o, o valor de μs é menor do que o considerado no cálculo; com αI = 8

o, maior.Isso significa que αI fica entre esses dois valores e deve ser encontrado por interpolação.Verifica-se, primeiramente, a diferença entre os dois coeficientes de aderência

∆μs1 = μs8 − μs6 = 0, 53− 0, 445 = 0, 085

que corresponderá a uma diferença de ângulo de deriva de

∆α1 = 8o − 6o = 2o

ou seja, para uma variação de 2o no ângulo de deriva, corresponde uma variação de 0,085 nocoeficiente de aderência.A seguir, verifica-se a diferença entre os coeficientes de aderência utilizado no cálculo e o

menor valor encontrado

∆μa2 = μs − μs6 = 0, 5− 0, 445 = 0, 055.

Como

∆μs2∆α2

=∆μs1∆α1

encontra-se

∆α2 =

µ0, 055

0, 085

¶2o = 1, 3o

valor esse que, somado ao menor ângulo considerado, fornece o ângulo de deriva real paraμs = 0, 5:

αI1 = 6o + 1, 3o = 7, 3o.

Para o eixo traseiro, um procedimento semelhante fornece, para pressão igual à do eixodianteiro, ou seja, pII = pI = 1, 7 kgf/cm

2, os valores apresentados na tabela seguinte

α 6o 4o

GIIe1 326 SIIe1 166 116GIIi1 94 SIIi1 75 52GII1 420 SII1 241 168

μs 0, 5738 0, 400

Neste caso,

∆μs1 = μs6 − μs4 = 0, 1738

∆μs2 = 0, 5− 0, 4 = 0, 1

∆αII2 =

µ0, 1

0, 1738

¶2o = 1, 15o



e o ângulo de deriva real no eixo traseiro, para μs = 0, 5,

αII1 = 4o + 1, 15o = 5, 15o

menor do que a deriva no eixo dianteiro, ou seja,

αI > αII

e o veículo apresentaria comportamento subesterçante em curvas. Para diminuir essa tendên-cia, a medida mais simples seria aumentar a pressão no eixo dianteiro ou diminuir no traseiro,com a desvantagem apresentada no ítem anterior.Para o veículo carregado com 5 pessoas, a situação é mostrada nas tabelas que seguem:- ângulo de deriva do eixo dianteiro

α 10o 8o

GIe2 514 SIe2 225 195GIi2 216 SIi2 178 165GI2 730 SI2 403 360

μs 0, 5521 0, 4932

∆μs1 = μs10 − μs8 = 0, 0589

∆μs2 = 0, 5− 0, 4932 = 0, 0068

∆αI2 =

µ0, 0068

0, 0589

¶2o = 0, 23o

αI2 = 8o + 0, 23o = 8, 23o

- ângulo de deriva do eixo traseiro

α 8o 6o


μs 0, 5862 0, 4914

∆μs1 = μs8 − μs6 = 0, 0948

∆μs2 = 0, 5− 0, 4914 = 0, 0086

∆αII2 =

µ0, 0086

0, 0948

¶2o = 0, 18

αII2 = 6o + 0, 18o = 6, 18o



Nesse veículo, mesmo carregado, a tendência subesterçante persiste. Para torná-lo maisneutro em curvas, uma, ou mais, das medidas salientadas no ítem anterior devem ser ado-tadas.Na determinação dos ângulos de deriva feita anteriormente, foram consideradas somente

cargas normais e laterais, ou seja, desconsiderou-se a tração. Entretanto, para que a veloci-dade na curva seja mantida e, com isso, se mantenha um constante coeficiente de aderência, énecessária a aplicação de uma força longitudinal A no ponto de contato das rodas de tração.O valor de A depende das condições da pista e do raio da curva ρo e deve ser determinadoatravés de medições; os diagramas de desempenho (veja capítulo 6) fornecem as forças detração disponíveis em cada marcha.Para continuar com o exemplo, será considerada uma força de tração no eixo dianteiro

do veículo em estudo, carregado com 2 pessoas, de A = 220 kgf; corresponde a uma curvaexecutada em segunda marcha.Como visto no capítulo 1, a força de tração A no ponto de contato do pneu com a

pista é perpendicular à força lateral S e, para determinar o ângulo de deriva no eixo detração, quando essas duas forças atuam simultaneamente, é necessário calcular o coeficientede aderência resultante

μR =pμ2s + μ2a.

Para μs, deve-se considerar o valor adotado (aqui 0, 5) e, para μa, a relação entre a forçade tração, diminuida da resistência ao rolamento WRI (em curvas sensivelmente maior), e acarga no eixo de tração. No exemplo, para WRI = 60 kgf , tem-se

μa =A−WRI

GI1=220− 60695

= 0, 23

e

μR =p0, 52 + 0, 232 = 0, 55.

Com esse valor maior do coeficiente de aderência, deve-se determinar o ângulo de derivaαR das rodas dianteiras, sob a condição que

SIe + SIi = μR.G = 0, 55.695 = 382 kgf .

Os valores já lidos das forças laterais para essas condições de carregamento continuamválidos, pois dependem do pneu, enquanto os valores adotados para μs e μR dependem dascaracterísticas do veículo e condições da pista. Então, o ângulo de deriva para o eixo dianteiroserá:

α 10o 8o

GIe1 480 SIe1 240 210GIi1 215 SIi1 176 161GI1 695 SI1 416 371

μs 0, 604 0, 530



∆μs1 = μs10 − μs8 = 0, 604− 0, 530 = 0, 074

∆μs2 = μR − μs8 = 0, 55− 0, 53 = 0, 02

∆α1 = 10o − 8o = 2o

∆α2 =

µ0, 02

0, 074

¶2o = 0, 54o

αRI = 8o + 0, 54o = 8, 54o.

O ângulo de deriva para o eixo traseiro, não tracionante, será o calculado anteriormente,ou seja,

αII1 = 5, 15o.

Como se pode constatar, o ângulo de deriva no eixo dianteiro passou de αI1 = 7, 3o para

αR = 8, 54o, ou seja, com a tração a tendência subesterçante tornou-se ainda maior.

Se a tração fosse no eixo traseiro, os ângulos de deriva correspondentes seriam:- eixo dianteiro, não tracionante,

αI1 = 7, 3o

-eixo traseiro

μa =A−WRII

GII1=220− 60420

= 0, 38

μR =p0, 52 + 0, 382 = 0, 62

α 8o 6o


μs 0, 6929 0, 5738

∆μs1 = μs8 − μs6 = 0, 6929− 0, 5738 = 0, 1191

∆μs2 = μR − μs6 = 0, 62− 0, 5738 = 0, 0462

∆α1 = 8o − 6o = 2o

∆α2 =

µ0, 0462

0, 1191

¶2o ' 0, 78o



αRII = 6o + 0, 78o ' 6, 8o.

Nessas condições, a deriva no eixo traseiro ficaria mais próxima da verificada no eixodianteiro, mas se manteria menor. A tendência subesterçante, embora permanecendo, ficariaabrandada. Com o carregamento de 5 pessoas e tração traseira, o veículo, provavelmente,tenderia a um comportamento neutro em curvas.


Capítulo 11

Modelos dinâmicos

11.1 Introdução

Os veículos dotados de rodas são sistemas mecânicos que operam sobre superfícies ru-gosas, no caso a superfície das estradas, sendo estas a principal fonte indutora de vibrações eruídos da estrutura quando no deslocamento. Além da pista existem outras fontes de geraçãode vibrações e ruídos em automóveis, pode-se citar: os pneus, sistema de transmissão, motore aerodinâmica.Para reduzir o efeito das acelerações induzidas pela pista sobre a estrutura bem como

aumentar o conforto dos ocupantes, os veículo são dotados de suspensões com molas. Apesardas estruturas serem flexíveis, a maior parcela do molejamento de um automóvel é devidoa deflexão dos elementos elásticos das suspensões e dos pneus. Sendo assim, a seguir, éapresentado o procedimento de obtenção das deflexões destes elementos para os tipos maiscomuns de eixos usados nos automóveis.Neste capítulo é desenvolvida uma formulação dinâmica usando a técnica das múlti-

plas massas ou Multibody Model para veículos de quatro rodas e dois eixos, [1] [5]. Ascaracterísticas dos modelos a serem desenvolvidos usando esta técnica, dependem dos tiposde suspensões usadas nos eixos dianteiro e traseiro. Dentro deste contexto serão feitas asseguintes abordagens:

• Modelo com dois graus de liberdade;

• Modelo com sete graus de liberdade considerando eixo rígido na dianteira e traseira;

• Modelo com sete graus de liberdade considerando suspensão dianteira independe e eixotraseiro rígido;

• Modelo com sete graus de liberdade considerando suspensões independentes na di-anteira e na traseira.

Para o desenvolvimento da formulação, parte-se da definição dos graus de liberdade dosistema, e, a partir destes, são deduzidas as equações diferenciais do movimento de cada umdos casos acima listados.

248


Capítulo 11 - Modelos dinâmicos 249

Figura 11.1: Sistema de coordenadas e principais graus de liberdade da carroceria de umautomóvel.

Vale salientar que o modelo a ser denvolvido irá negligenciar as acelerações lineares nas di-reções axial e transversal bem como os deslocamentos serão considerados pequenos. O efeitodestas acelerações é considerado no modelo quase estático, onde as mesmas são consideradascomo um carregamento de corpo com intensidade constante.Esse tipo de análise é fundamental porque permite determinar os deslocamentos, aceler-

ações e velocidades que os ocupantes dos veículos estarão sujeitos quando em movimento. Osseres vivos, bem como algumas cargas transportadas, são bastante sensíveis a esses parâmet-ros. Para seres humanos, há uma variedade bastante grande de ensaios para determinar umamedida da tolerância a esses parâmetros, como descrito na Ride and Vibration Data ManualJ6a da SAE, ou na ISO 2631, enquanto que para cargas sensíveis, tais como compressoresde refrigeradores, orgãos humanos, pescados, aves, suinos, computadores, etc, há muito a serdesenvolvido e pesquisado para determinar quais as condições mais adequadas do rodar doveículo para garantir a integridade dessas cargas durante o seu transporte.

11.2 Definição de algumas variáveis básicas

Na abordagem do comportamento dinâmico de um automóvel, a definição dos graus deliberdade do sistema dinâmico será de acordo com a SAE. Para isso, na Figura 11.1, sãomostrados os graus de liberdade da carroceria de um veículo sobre rodas.Nesta figura, a direção de deslocamento do veículo é no sentido positivo do eixo x enquanto

que os pontos 1, 2, 3 e 4 definem a posição das rodas do veículo. Vale salientar que a rigidezdas molas neste modelo é equivalente a rigidez real das molas, porque não é possível colocarfisicamente as molas nestes locais, por problemas construtivos. Convenciona-se, a partir deagora, que:

z− deslocamento vertical da carroceria (bounce);φ− giro da carroceria em torno do eixo axial, denominado de ângulo de rolamento (roll);θ− giro da carroceria em torno do eixo y, denominado de ângulo de arfagem (pitch);



Figura 11.2: Sistema de coordenadas e deslocamento de uma roda.

Ψ−giro da carroceria em torno do eixo z, denominado de ângulo de guinada (yaw).

O sentido positivo dos ângulos segue a regra da mão direita. O deslocamento vertical doveículo (bounce), é positivo no mesmo sentido do eixo z.

11.3 Deflexão dos pneus

11.3.1 Deflexão dos pneus para eixos com suspensões indepen-dentes

Considerando que o deslocamento vertical do centro de massa das rodas, zpi (t), é maiordo que os deslocamentos causados pela rugosidade do piso, definida por uma função zsi (t)

conhecida. Para estas grandezas, que estão mostradas na Figura 11.2, tem-se que a deflexãoque o pneu está submetido é dada por:

δpi (t) = zi(t)− zsi (t) (11.1)

onde:i - posição do pneu, conforme Figura 11.1;t - é a variável tempoδpi (t) - deflexão do i-ésimo pneu;zi(t) - deslocamento vertical da roda;zsi (t) - rugosidade do solo.

Vale salientar que, nessa análise, a velocidade vertical do centro de massa do conjuntopneu roda e acessórios será considerado igual ao do centro geométrico da roda.



Figura 11.3: Sistema de coordenadas e principais graus de liberdade de eixos rígidos.

11.3.2 Deflexão nos pneus para suspensões de eixo rígido

Para o caso de suspensões de eixo rígido, mostrada na Figura 11.3, a deflexão nos pneusque equipam este tipo eixo é causada pela combinação do deslocamento vertical centro demassa do eixo bem como da rotação deste em relação ao eixo axial do veículo.Considerando pequenos ângulos, a deflexão do i-ésimo pneu do veículo é dada por

δpi (t) = δbi(t) + δφi (t) + δsi (t) (11.2)

onde:i - posição do pneu, conforme Figura 11.1;δbi(t) - deslocamento vertical (bounce) da i-ésima roda;δφi (t) - deslocamento vertical da i-ésima roda devido giro axial do eixo;δsi (t) - rugosidade do solo.

Com estas relações definidas, parte-se para a ánalise de cada parcela que contribui nadeflexão das molas do eixo rígido.

Parcela δbi(t)

Esta parcela é o deslocamento vertical do centro de massa do eixo rígido, ou seja

δbi(t) = zk(t) (11.3)



onde:k = I ou II é o indice que indica eixo dianteiro ou traseiro, respectivamente;zk(t) é o deslocamento vertical do centro de massa do k-ésimo eixo rígido.

Parcela δφi (t)

Esta parcela é associada ao giro φk do eixo rígido em relação ao eixo axial do veículo.Neste caso particular é necessário o desenvolvimento das parcelas de cada roda, como segue.Roda dianteira esquerda

δφ1(t) = −φI(t)tI2. (11.4)

Roda dianteira direitaδφ2(t) = φI(t)

tI2. (11.5)

Roda traseira direitaδφ3(t) = φII(t)

tII2. (11.6)

Roda traseira esquerda

δφ4(t) = −φII(t)tII2. (11.7)

Onde:φI(t), φII(t) são o giro do eixo dianteiro e traseiro na direção axial do veículo;tI , tII são a bitola média do eixo dianteiro e traseiro, respectivamente.

Vale salientar que o sinal negativo da primeira e da última expressão do conjunto acima,significa que a mola é tracionada.

Parcela δsi (t)

Esta última é associada à rugosidade do solo, sendo genericamente dada por:

δsi (t) = −zsi (t) (11.8)

onde o sinal negativo significa que a mola, no caso o pneu, é tracionada.Após este desenvolvimento pode-se escrever que:

δp1(t) = zI(t)− φI(t)tI2− zs1(t); (11.9)

δp2(t) = zI(t) + φI(t)tI2− zs2(t); (11.10)

δp3(t) = zII(t) + φII(t)tII2− zs3(t); (11.11)

δp4(t) = zII(t)− φII(t)tII2− zs4(t). (11.12)



Figura 11.4: Rolagem, φ, da carroceria sobre suspensões independente e de eixo rígido.

Figura 11.5: Modelo de carroceria e respectivos eixos para consideração do bounce e daarfagem.

11.4 Deflexão das molas das suspensões

As carrocerias dos automóveis são fixadas aos eixos através de molas. Sendo assim há odeslocamento relativo destes elementos, o que ocasiona as deflexão das molas e dos amorte-cedores. A deflexão das molas e dos amortecedores são devidas aos seguintes deslocamentos:

• deslocamento vertical (bounce) do centro de massa da carroceria;

• ângulo de rolagem da carroceria (roll);

• ângulo de arfagem da carroceria (pitch);

• deslocamentos do centro de massa das rodas ou eixo.

A seguir será determinada a contribuição de cada uma das parcelas acima listadas nadeflexão das molas da suspensão.A análise destas componentes será feita de acordo com os modelos representados nas

Figuras 11.4 e 11.5 que seguem:



11.4.1 Deflexão das molas para suspensões independentes

As molas de um eixo com suspensão independente, são submetidas as deflexões causadaspelo deslocamento vertical da roda, bem como pelo deslocamento vertical, arfagem e rola-mento da carroceria. Para este desenvolvimento, como nos demais, considera-se também queos deslocamentos verticais da carroceria são maiores do que o das rodas. Genericamente adeflexão das molas de um veículo é dada por

δi(t) = δbi(t) + δφi (t) + δθi (t) + δri (t) (11.13)

onde:δbi(t) - devido ao deslocamento vertical (bounce) do centro de massa da carroceria;δφi (t) - devido ao ângulo de rolagem da carroceria (roll);δθi (t) - devido ao ângulo de arfagem da carroceria (pitch);δri (t) - devido deslocamento do centro de massa das rodas ou eixo.

Cálculo da parcela δbi(t)

Esta parcela, referente ao deslocamento vertical do centro de gravidade da carroceria emostrado na Figura 11.5, é dada por:

δbi(t) = z(t) (11.14)

Cálculo da parcela δφi (t)

Esta parcela é causada pelo ângulo de rolamento da carroceria. Sendo tI e tII as bitolasdos eixos dianteiro e traseiro, respectivamente, e com a consideração que o ângulo de giroda carroceria é pequeno, a deflexão das molas das posições 1 a 4 é:

Roda dianteira esquerda

δφ1(t) = −φ(t)tI2; (11.15)

Roda dianteira direitaδφ2(t) = φ(t)

tI2; (11.16)

Roda traseira direitaδφ3(t) = φ(t)

tII2; (11.17)

Rara a roda traseira esquerda

δφ4(t) = −φ(t)tII2, (11.18)

onde o sinal negativo indica que a mola foi tracionada.




Esta parcela, devido ao ângulo de arfagem da carroceria, é igual para as rodas de ummesmo eixo. Assim a parcela da deflexão das molas devido a este movimento da carroce-ria (considerando pequenos ângulos de giro da carroceria e que as distâncias do centro degravidade às rodas dianteiras e traseiras são aI e aII), são:

roda dianteira esquerda e direita

δφ1(t) = δφ2(t) = −θ(t)aI , (11.19)

roda traseira direita e esquerda

δφ3(t) = δφ4(t) = θ(t)aII . (11.20)

O sinal negativo nas duas primeiras equações indica que a mola é tracionada.

Cálculo da parcela δri (t)

Esta parcela da deflexão das molas depende do eixo ser eixo rígido ou suspensão inde-pendente. Neste caso, como a suspensão é independente, a deflexão das molas devido aodeslocamento do centro de gravidade das rodas é dada por

δri (t) = −zi(t) (11.21)

onde o sinal negativo indica que a mola é distendida.

Deflexão total das molas δi(t)

Com estas parcelas definidas em função dos deslocamentos dos elementos constituintesdo veículo, bem como da posição do centro de gravidade destes, pode-se escrever que:

δ1(t) = z(t)− φ(t)tI2− θ(t)aI − z1(t), (11.22)

δ2(t) = z(t) + φ(t)tI2− θ(t)aI − z2(t), (11.23)

δ3(t) = z(t) + φ(t)tII2+ θ(t)aII − z3(t), (11.24)

δ4(t) = z(t)− φ(t)tII2+ θ(t)aII − z4(t). (11.25)

11.4.2 Deflexão das molas para suspensões de eixos rígidos

As molas de um eixo rígido, tal como no item 11.4.1, são submetidas as deflexões causadaspelo seu próprio deslocamento vertical e rotação em torno do eixo axial, bem como pelodeslocamento vertical, arfagem e rolamento da carroceria. Com as mesmas consideraçõesfeitas no item anterior, genericamente as deflexões das molas de um veículo dotado com estetipo de suspensão podem ser escritas como:



δi(t) = δbki (t) + δφki (t) + δbi(t) + δφi (t) + δθi (t), (11.26)

onde:i = 1, 2, 3, ou 4 ek = I ou II, dependendo da i’-ésima posição da roda.

Vale a pena frisar que os dois primeiros termos das equações acima, são relativos aodeslocamento e giro do eixo, enquanto que os três últimos são relativos aos deslocamentoslinear e angulares da carroceria. A seguir são desenvolvidos os procedimentos de cálculo decada uma das parcelas das equações acima apresentadas.

Cálculo da parcela δbIi (t)

Para o caso de eixo rígido, a deflexão das rodas devido ao deslocamento vertical é omesmo para ambas e igual ao do centro de massa do eixo. Assim para o eixo dianteiro etraseiro, tem-se, respectivamente

δbI1 (t) = δbI2 (t) = −zI(t), (11.27)

δbII3 (t) = δbII4 (t) = −zII(t), (11.28)

onde o sinal negativo indica que a mola é tracionada.

Cálculo da parcela δφki (t)

Considerando que o giro do eixo dianteiro e do traseiro sejam φI(t) e φII(t) e as bitolasassociadas a estes dois eixos tI e tII , respectivamente, as deflexões das molas para pequenosgiros do eixo são dadas por:

δφI1 (t) = φI(t)

tI2, (11.29)

δφI2 (t) = −φI(t)

tI2, (11.30)

δφII3 (t) = −φII(t)

tII2, (11.31)

δφII4 (t) = φII(t)

tII2. (11.32)

Cálculo da parcela δbi(t)

O deslocamento vertical da carroceria induz deflexões iguais para todas as molas doveículo e assim:

δb1(t) = δb2(t) = δb3(t) = δb4(t) = z (11.33)




O ângulo de rolamento da carroceria induz deflexões nas molas da suspensão propor-cionalmente à bitola do eixo. Sendo assim, considerando que o giro da carroceria é pequeno,pode-se escrever a deflexão das molas do eixo dianteiro e traseiro como segue

δφ1(t) = −φ(t)tI2,

δφ2(t) = φ(t)tI2,

δφ3(t) = φ(t)tII2,

δφ4(t) = −φ(t)tII2.

Cálculo da parcela δθi (t)

O ângulo de arfagem da carroceria, causa deflexões idênticas nas molas das suspensões deum mesmo eixo. Considerando pequenos ângulos, as deflexões das molas do eixo dianteiro etraseira são dadas por:

δθ1(t) = δθ2(t) = −θ(t)aI , (11.34)

δθ3(t) = δθ4(t) = θ(t)aII . (11.35)

Deflexão total das molas δi(t)

A seguir é aprensentada a superposição das componentes da deflexão das molas.

δ1(t) = z(t)− φ(t)tI2− θ(t)aI − zI(t) + φI(t)

tI2, (11.36)

δ2(t) = z(t) + φ(t)tI2− θ(t)aI − zI(t)− φI(t)

tI2, (11.37)

δ3(t) = z(t) + φ(t)tII2+ θ(t)aII − zII(t)− φII(t)

tII2, (11.38)

δ4(t) = z(t)− φ(t)tII2+ θ(t)aII − zII(t) + φII(t)

tII2. (11.39)

Tendo sido determinadas as deflexões das molas e pneus em função dos deslocamentos edo tipo de suspensão que podem equipar um veículo, as equações diferenciais do movimentopodem ser obtidas para veículos das mais variadas combinações de concepções de suspensões,como citadas no item 11.1.



Figura 11.6: Modelo de dois graus de liberdade de 1/4 do veículo.

11.5 Modelos com dois graus de liberdade

11.5.1 Modelo para bounce

Segundo a referência [1], uma análise dinâmica preliminar de um veículo pode ser feitacom um modelo da quarta parte do conjunto. Neste modelo o veículo é separado em quatropartes, sendo cada parte associada a uma roda do veículo. Com estas considerações otratamento dinâmico é feito como sendo um sistema de massas e molas com dois graus deliberdade, sendo que, neste caso, uma das molas é a da suspensão e a outra o pneu. Asmassas associadas a este modelo são a metade da massa não suspensa do eixo e a outraa metade da massa suspensa sobre o eixo. Vale salientar que a massa associada ao eixo éfunção da posição do centro de gravidade das massas suspensas.Com isto definido, o modelo matemático será desenvolvido a partir do modelo dia-

gramático mostrado na Figura 11.6.De acordo com o que foi desenvolvido nos itens anteriores, a deflexão das mola e do

amortecedor deste modelo, em função do deslocamento do centro de massa do eixo e dodeslocamento vertical da carroceria, é:

δi(t) = z(t)− zi(t) (11.40)

onde o índice i indica a posição da roda, conforme a Figura 11.1.A velocidade associada a esta deflexão é dada por:

δi(t) = z(t)− zi(t) (11.41)

onde o ponto indica derivada em relação ao tempo, ou seja

δi(t) =∂δi(t)

∂t.



Figura 11.7: Diagramas de corpo livre para o modelo com dois graus de liberdade.

A deflexão dos pneus, em termos do deslocamento do centro de massa do eixo e darugosidade do solo, é dada por:

δpi (t) = zi(t)− zsi (t) (11.42)

onde, novamente, o índice i indica a posição da roda.A partir desta equação, a velocidade é dada por:

δp

i (t) = zi(t)− zsi (t). (11.43)

Com isto definido, parte-se para a determinação das equações do movimento para esteproblema. Para isto se constrói os diagramas de corpo livre mostrados na Figura 11.7.Do equilíbrio de forças dos diagramas de corpo livre mostrados na Figura 11.7 a - e b -,

tem-se as seguintes equações.−F km

i − F ci = m2 z(t) (11.44)

F kmi + F c

i − F kpi = m1 zi(t) (11.45)

onde os índices sobre-escritos das forças tem a seguinte interpretação:km - representa força devido a deflexão da mola da suspensão;c - representa força devido a ação do amortecedor;kp - representa força devido a deflexão do pneu.

Lembrando que as forças de mola e de amortecimento são dadas por

F kmi = kiδi(t) = ki [z(t)− zi(t)] , (11.46)

F ci = Ciδi(t) = Ci [z(t)− zi(t)] , (11.47)

F kpi = kpi δi(t) = kpi [zi(t)− zsi (t)] , (11.48)

as equações do movimento podem ser reescritas como:

m2 z(t) + Ci [z(t)− zi(t)] + ki [z(t)− zi(t)] = 0 (11.49)

m1 zi(t)− Ci [z(t)− zi(t)]− kiz(t) + [ki + ki] zpi (t) = kpi z

si (t) (11.50)



ou matricialmente por∙m2 00 m1

¸½z(t)zi(t)

¾+

∙Ci −Ci

−Ci Ci

¸½z(t)zi(t)

¾

+

∙ki −ki−ki kpi + ki

¸½z(t)zi(t)

¾=

½0

kpi zsi (t)

¾. (11.51)

e, compactamente por:[M x(t) +C x(t) +K x(t)] = f(t) (11.52)

onde:

M =

∙m2 00 m1

¸(11.53)

é a matriz de inércia;

C =

∙Ci −Ci

−Ci Ci

¸(11.54)

é a matriz de anortecimento;

K =


¸(11.55)

é a matriz de rigidez;

x(t) =

½z(t)zi(t)

¾(11.56)

é o vetor de deslocamentos e

f(t) =

½0

kpi zsi (t)

¾(11.57)

é o vetor força ou excitação.Com as equações do movimento desenvolvidas, parte-se para a determinação das pro-

priedades características deste sistema dinâmico. Para isso, considera-se que a excitaçãoseja harmônica, porém, podem ser usadas outras metodologias para a determinação dascaracterísticas do sistema.Para este desenvolvimento, adota-se a hipótese que o sistema dinâmico se comporte

linearmente.A representação da excitação harmônica será feita na forma complexa, visto que a mesma

representa todas as grandezas possíveis de uma excitação, tais como freqüência e ângulo defase, de maneira bastante compacta. Sendo assim, a excitação, a resposta bem como as suasderivadas em relação ao tempo são dadas por:

zsi (t) = Zsi (Ω)e

iΩt, (11.58)

zi(t) = Zi(Ω)eiΩt,

zi(t) = iΩZi(Ω)eiΩt = V p

i (Ω)eiΩt, (11.59)

zi(t) = −Ω2Zi(Ω)eiΩt = Gp

i (Ω)eiΩt,



z(t) = Z(Ω)eiΩt,

z(t) = iΩZ(Ω)eiΩt = V (Ω)eiΩt, (11.60)

z(t) = −Ω2Z(Ω)eiΩt = G(Ω)eiΩt

onde:i - é a entidade matemática imaginária;Ω - é a freqüência;t - é a variável tempo;Zsi (Ω), Zi(Ω), Z(Ω), V (Ω), Vi(Ω), G(Ω), Gi(Ω) - são as amplitudes dos deslocamentos,

das velocidades e das acelerações, em freqüência.

Com isso e as devidas simplificações, as equações do movimento são reescritas como:£−m2 Ω

2 Z(Ω) + iΩCi [Z(Ω)− Zi(Ω)] + ki [Z(Ω)− Zi(Ω)]¤eiΩt = 0 (11.61)

[−m1 Zi(Ω)− Ci [Z(Ω)− Zi(Ω)]− ki [Z(Ω)− Zi(Ω)] + kpiZi(Ω)] eiΩt = kpiZ

si (Ω)e

iΩt

(11.62)ou

−m2 Ω2 Z(Ω) + iΩCi [Z(Ω)− Zi(Ω)] + ki [Z(Ω)− Zi(Ω)] = 0. (11.63)

−m1 Ω2 Zi(Ω)− iΩCi [Z(Ω)− Zi(Ω)]− kiZ(Ω) + [k

pi + ki]Zi(Ω) = kpiZ

si (Ω) (11.64)

Definindos = iΩ

e lembramdo ques2 = (iΩ)2 = −Ω2,

pode-se escrever que:

m2 s2 Z(Ω) + sCi [Z(Ω)− Zi(Ω)] + ki [Z(Ω)− Zi(Ω)] = 0. (11.65)

m1 s2 Zi(Ω)− sCi [Z(Ω)− Zi(Ω)]− kiZ(Ω) + [k

pi + ki]Zi(Ω) = kpiZ

si (Ω). (11.66)

a qual pode ser expressada de forma matricial como segue∙∙m2 00 m1

¸s2 +

∙Ci −Ci

−Ci Ci

¸s+


¸¸½Z(Ω)Zi(Ω)

¾=

½0

kpiZsi (Ω)

¾(11.67)

e mais sinteticamente por: £M s2 +C s+K

¤Z(Ω) = F(Ω) (11.68)

onde:M, C e K são as matrizes definidas nas equações (11.53), (11.54) e (11.55);



Z(Ω) =

½Z(Ω)Zi(Ω)

¾e

F(Ω) =

½0

kpiZsi (Ω)

¾.

Com estas definições a equação (11.68) pode ser reescrita como

Ð(s)Z(Ω) = F(Ω),

as quais são as equações de equilíbrio escritas compactamente em termos da freqüência.Verifica-se que estas equações são algébricas, sendo as suas soluções facilmente obtidas,como é mostradoa aseguir.Definindo a matriz receptância como

Λ(s) = Ð(s)−1 =£M s2 +C s+K

¤−1(11.69)

tem-se que a resposta, Z(Ω), do sistema é calculada por:

Z(Ω) = Λ(s)F(Ω). (11.70)

A matriz receptância, em termos das propriedades do sistema, é dada por:

Λ(s) =1

detÐ(s)

∙ki + kpi + s(ci +m1s) ki + cis

ki + cis ki + s(ci +m2s)

¸(11.71)

onde:

detÐ(s) = ki(kpi + (m1 +m2)s

2) + s(m2s(kpi +m1s

2) + ci(kpi + (m1 +m2)s

2)) (11.72)

é o determinante da matriz Ð(Ω).Teoricamente, na ressonância, a resposta do sistema, equação (11.70), tende ao infinito

e para que isto aconteça é necessário que a inversa tenda a infinito, o que ocorre nos pólosda razão 1/detÐ(s) da equação (11.71). A determinação destes pólos, que correspondemas freqüências de naturais do sistema, são obtidos a partir da solução da seguinte equaçãoalgébrica:

detÐ(s) = 0. (11.73)

As raízes desta equação, ou os pólos, normalmente são complexas conjugadas aos pares,sendo assim, na análise de estabilidade desse sistema, a condição de sistema estável somentee satisfeita se a parte real das raízes da equação (11.73) forem negativas. Para o desenvolvi-mento que segue as raízes da equação podem ser escritas genericamente por:

sj = δj ± i νj (11.74)

onde j = 2, 4, · · · , 2n, e n é a dimensão da matriz Ð(s). No caso particular do sistema comdois graus de liberdade n = 2, o que implica em quatro raízes.Para um sistema com n graus de liberade pode-se escrever que:

|δj| = ξjΩj (11.75)



νj = Ωj

q1− ξ2j (11.76)

as quais invertidas resultam em:

ξj =1r

1 +³νjδj

´2 (11.77)

Ωj =|δj|ξj

(11.78)

onde:νj é a j’-ésima freqüência natural amortecida;Ωj é denominada de j’-ésima freqüência natural não amortecida.

A razão de amortecimento, grafada com a letra ξj, é dada por

ξj =c

ccj(11.79)

sendo que ccj é o amortecimento crítico calculado por

ccj = 2mΩj. (11.80)

Vale salientar que:

fj =Ωj

2π[Hz] . (11.81)

Lembrando da forma que o deslocamento, a velocidade e a aceleração das diversas partesdo modelo, equações (11.59) e (11.60), foram definidas, pode-se escrever a amplitude com-plexa da velocidade e da aceleração, em termos da amplitude complexa do deslocamento,como

V(Ω) =

½Z(Ω)V pi (Ω)

¾= iΩ

½Z(Ω)Zi(Ω)

¾, (11.82)

G(Ω) =

½G(Ω)Gi(Ω)

¾= −Ω2

½Z(Ω)Zi(Ω)

¾(11.83)

ou de maneira compacta porV(Ω) = iΩZ(Ω), (11.84)

G(Ω) = −Ω2Z(Ω). (11.85)

Introduzindo a equação (11.70) nestas duas últimas equações, pode-se escrever:

V(Ω) = iΩΛ(s)F(Ω) = Υ(Ω)F(Ω), (11.86)

G(Ω) = −Ω2Λ(s)F(Ω) = Ξ(Ω)F(Ω) (11.87)

onde:Υ(Ω) = iΩΛ(s) (11.88)

é a mobilidade eΞ(Ω) = −Ω2Λ(s) (11.89)



é a acelerância, ambas obtidas a partir da matriz de receptância Λ(s).O módulo da receptância, Λ(s), da mobilidade, Υ(Ω), ou da acelerância, Ξ(Ω), são

denominados de ganho. Em função das grandes amplitudes na região de ressonância oganho pode ser expressado em decibéis, dB. Para isso toma-se o logarítmo decimal do ganhomultiplicado por vinte, como segue:

20 log10 |Λ(s)|

para a receptância;20 log10 |Υ(Ω)|

para a mobilidade e20 log10 |Ξ(Ω)|

para a acelerância. Essas funções de resposta em freqüência, variáveis da freqüência deexcitação, são plotadas normalmente em escala di-log.

11.5.2 Determinação de alguns parâmetros da suspensão

A determinação aproximada da rigidez das molas e da constante de amortecimento dassuspensões de um automóvel, é feita a partir da simplificação do modelo de dois graus deliberdade desenvolvido anteriormente. Essa simplificação consiste em desprezar o grau deliberdade associado a massa não suspensa do eixo e que a rigidez da mola é equivalente acombinação em série da rididez do pneu e da mola da suspensão. Adicionalmente, a essemodelo, é necessário lançar mão da experiência para que a rigidez da mola da suspensão e aconstante de amortecimento sejam determinadas de maneira a tornar a marcha (em inglêsride) do automóvel adequada ao uso.Para ummodelo com um grau de liberdade apenas e negligenciando a excitação, a equação

de equilíbrio pode ser desenvolvida a partir da Figura 11.7 - b, onde a rigidez da mola éequivalente a do pneu e da suspensão, ou seja:

keq =kik

pi

ki + kpi(11.90)

−F kmi − F c

i = m2 z(t) (11.91)

Considerando comportamento harmônico, a resposta em freqüência desse sistema é:£m2 s

2 + sCi + keq¤Z(Ω) = 0. (11.92)

Descartando a solução trivial, a solução desse problema é obtida a partir da seguinte equaçãoalgébrica:

m2 s2 + sCi + keq = 0. (11.93)

As raízes desse sistema algébrico são:

s1,2 = −Ci

2m2±

sµCi

2m2

¶2− keq

m2(11.94)



ou

s1,2 = −Ci

2m2±r

keqm2

⎡⎢⎣vuuut⎛⎝ Ci

2m2

qkeqm2

⎞⎠2

− 1

⎤⎥⎦ (11.95)

Antes de continuar o desenvolvimento para o sistema amortecido, é importante umaanálise intermediária. Essa análise intermediária é a do sistema não amortecido, ou seja£

m2 s2 + keq

¤Z(Ω) = 0. (11.96)

As raízes da equação algébrica associada a esta última equação são:

s1,2 = ±ir

keqm2

(11.97)

o que implica em

Ω2 =

rkeqm2

(11.98)

ou

f2 =1

2π

rkeqm2

(11.99)

que são a frequência fundamental ou natural não amortecida de um sistema com um graude liberdade, em rad/s ou em Hz, respectivamente.Com as definições estabelecidas para o sistema de um grau de liberdade não amortecido,

pode-se retornar ao problema de autovalor para o problema amortecido e reescrever a equação11.95 para o caso de amortortecimento subcrítco, ξ < 1, como segue:

s = −ξΩ2 ± i Ω2

q1− ξ2 (11.100)

ous = δ ± i ν (11.101)

onde:ξ = Ci

2m2Ω2= c

cc2- é a razão de amortecimento;

ν = Ω2p1− ξ2 - é a freqüência natural amortecida;

δ = −ξ Ω2 é a parte real do autovalor.i - é entidade imaginária.Segundo a referência [1], para uma marcha suave do veículo, a razão de amortecimento, ξ,

dos carros de passeio se situa na faixa de 0, 2 a 0, 4. Vale salientar que nessa faixa da razão deamortecimento, ξ, a freqüência natural não amortecida é levemente diferente da amortecidae por isso a frequência natural não amortecida é utilizada para caracterizar o comportamentodinâmico do veículo no ante-projeto. Porém, quando a razão de amortecimento é maior doque 1, por exemplo 2, a suspensão torna-se tão rígida que o veículo balança somente sobreos pneus e a freqüência natural amortecida cresce para valores na faixa de 3 a 4 Hz.A modelagem apresentada acima, não consegue captar o efeito do amortecedor na capaci-

dade de aderência do veículo, tanto em curvas ou em acelerações, que é uma característica



essencial na manobrabilidade (handling) e segurança do veículo. Isso implica que a deter-minação da constante de amortecimento mais adequada para o veículo, considerando essemodelo de análise, deve ser experimental. Outro fato, que é uma simplificação no mod-elo desenvolvido, é a hipótese das propriedades do amortecedor serem iguais na distençãoe na compressão, o que não corresponde ao caso real, onde, na maioria das aplicações, osamortecedores são de simples efeito ou de duplo efeito.Para reduzir a força transmitida durante a subida da roda pelo efeito de uma irregulari-

dade na pista, os amortecedores de simples efeito apresentam a constante de amortecimentobastante baixo na compressão e um valor bastante grande na descida da roda ou extensãodo amortecedor. Nos amortecedores de duplo efeito existe um amortecimento significativona compressão, porém não tão grande quanto aquele existente na sua extensão.Outro detalhe importante, relacionado com o amortecimento diferente nos dois sentidos

de delocamento do amortecedor, é o seu comportamento não linear (bi-linear), implica em umcomportamento não linear da equação do movimento desenvolvida. Dessa maneira, em umaanálise mais elaborada da resposta do equacionamento desenvolvido, é necessário considerara não linearidade desse elemento nas equações do movimento.Finalmente, o efeito das buchas elásticas usadas nos pontos de fixação dos amortecedores

nos eixos e na carroceria, devem ser considerado na análise dos deslocamentos de pequenaamplitude e de alta frequência que os eixos do veículo estão submetidos.Quanto a rigidez das molas da suspensão, que está em série com a dos pneus (a rigidez das

molas da suspensão é cerca de 10% da rigidez do pneu), há a sua predominância na rigidezequivalente, equação (11.90), e no valor da freqüência de ressonância. Como a amplitudede aceleração cresce com a freqüência o melhor isolamento do veículo das irregularidades dapista, é conseguido mantendo o valor da frequência fundamental o mais baixo possível. Aescolha natural para a freqüência fundamental de balanço (bounce) de um veículo é na faixade até 1, 0 Hz. Porém, a adoção de valores menores do que a unidade tem um limite que é oespaço necessário para o curso da suspensão. Sendo assim, o a faixa de frequência recomen-dada para a seleção da rigidez das molas da suspensão de veículos de passeio fica na faixa de0, 9 a 1, 5 Hz, quando se deseja um veículo que tenha marcha suave de deslocamento. Carrosde alto desempenho, que sacrificam o conforto no rodar em troca de melhores característicasde manobrabilidade, têm a rigidez das molas de suas suspensões selecionadas para a faixade freqüência natural de 2 a 2, 5 Hz , conforme a referência [1].Quanto a relação da freqüência natural com o curso da suspensão, com uma análise

bastante simples, consegue-se mostrar que para uma frequência natural de cerca de 1, 0Hz, é necessária uma deflexão estática de cerca de 240 mm da mola (pré-carga). Para asuspensão que usa a mola com essa característica, é necessário um curso de cerca de 120mm para absorver uma carga associada a uma aceleração vertical de 0, 5 g. Isso implica que,para acelerações relativamente modestas impostas pelo solo, o curso da suspensão precisa serrelativamente grande para valores de freqüências de 1, 0 Hz. Quando o veículo é grande e oespaço disponível da suspensão também, o uso de frequências naturais baixas para a seleçãoda rigidez de mola é possível. Quando o veículo é pequeno e o espaço disponível para o cursoda suspensão é pequeno, usa-se frequências mais altas para a determinação da rigidez da



mola. Essa última opção, para a determinação da rigidez da mola, implica numa redução doconforto do veículo, já que há um endurecimento da suspensão.

11.5.3 Massas não suspensas

A massa dos eixos, que inclui a massa da roda, pneu cubo, ponta de eixo, freios, juntase parte da massa dos semi eixos, balanças, amortecedores e molas, constitui o que se chamade massa não suspensa. Essas massas, denotadas pela letra m1 no modelo com dois graus deliberdade e mostrado na Figura 11.7 - a, tem o graus de liberdade, zi(t), associado. Como essamassa é bastante menor que a massa suspensa (segundo a referência [1] cerca de 10% da massasuspensa para os eixos não motrizes e cerca de 15% para os eixos motrizes), a sua freqüênciade ressonância é bem maior do que a freqüência de ressonância das massas suspensas. Sendoassim, para uma análise preliminar, pode-se supor que a massa não suspensa é um sistemade um grau de liberdade suportado pela molas em paralelo pneu e da suspensão, já que osdeslocamentos da carroceria serão muito menores do que os das massas não suspensas naressonância destas últimas. Com essa hipótese, a freqüência natural da suspensão pode serestimada pela seguinte equação:

Ω1 =

ski + kpim1

(11.102)

onde os termos que compõem essa equação têm o significado definido anteriormente nesteitem.Segundo a referência [1], como a rigidez das molas da supensão giram em torno de 10%

da rigidez dos pneus e o valor das massas não suspensas em torno de 50 kg, os valorestípicos para a freqüência natural das massas não suspensas é em torno de 10 Hz. Esse valorda freqüência é afetado pela rigidez torcional e amortecimento histerético das buchas dasuspensão, cujos efeitos se traduzem no deslocamento da freqüência de ressonância para afaixa de 12 a 15 Hz. Com uma análise simples de sensibilidade da freqüência natural emrelação a massa não suspensa, concluí-se que os eixos mais leves são os mais indicados parauma marcha de deslocamento suave do veículo em relação aos eixos mais pesados, porémproblemas, facilmente contornáveis, surgem em altas freqüências de excitação.

Exemplo Determinar a rigidez de mola e a constante de amortecimento para o veículocom as características apresentadas na Tabela 11.1

Solução: Para o desenvolvimento do problema é necessário calcular a rigidez das molasda suspensão. Dessa forma é necessário determinar o valor da massa suspensa sobre cadaroda. Sendo assim,

m2I =m(1− x)

2=1.476(1− 0, 45)

2= 405, 9 kg

m2II =m x

2=1.476 0, 45

2= 332, 1 kg



Tabela 11.1: Características do veículo.Grandeza Dimensão Dados

Tração − TraseiraDistribuição de carga x − 0, 45Razão de amortecimento ξ − 0, 3Suspensão dianteira McPherson − −Suspensão traseira Semi trailing - -Peso do veículo G N 16.503Massa do veículo mtotal kg 1.682, 26Massa suspensa m kg 1.476

Massa não suspensa eixo dianteiro mI kg 92, 26Massa não suspensa eixo traseiro mII kg 114

Rigidez do pneu kpi N/m 210.000

Lembrando que a freqüência natural deve girar em torno de 1,0 a 1,5 Hz, a rigidez das molasda suspensão é determinada a partir da combinação das seguintes equações

f2 =1

2π

rkeqm2

keq =kik

pi

ki + kpi

ki =kpi³

kpim2(2πf2)

2 − 1´

Considerando que a suspensão traseira tem que ser um pouco mais rígida que a dianteira,em função da estabilidade direcional, considera-se que as frequências naturais são 1, 0 hz e1, 2 Hz para os eixos dianteiro e traseira, respectivamente. Sendo assim, tem-se:

kiI =kpi³

kpim2I(2πf2)

2 − 1´ = 210.000³

210.000405,9(2π1,0)2

− 1´ = 17.348, 05 N/m

kiII =kpi³

kpim2II(2πf2)

2 − 1´ = 210.000³

210.000332,1(2π1,2)2

− 1´ = 20.744, 51 N/m

Determinada a rigidez das molas do eixo dianteiro e traseiro, o próximo passo é a de-terminação das constantes de amortecimento para os dois eixos. Para isso, como o veículoé de passeio, considera-se como uma primeira aproximação que a razão de amortecimentoé de 0,3, ou seja ξ = 0, 3. Assim, para continuar o desenvolvimento é necessário calcular oamortecimento crítico das suspensões dianteira e traseira. Isso é feito a partir da seguinteequação:

ccj = 2mΩj. (11.103)



Cálculo da freqüência natural em rad/s

Ω2 I = 2πf2 I = 2π1, 0 = 6, 283 rad/s

Ω2 II = 2πf2 II = 2π1, 2 = 7, 540 rad/s

Cálculo do amortecimento crítico para o eixo dianteiro:

ccI = 2m2 I Ω2 I = 2 405, 9 6, 283 = 5.100, 54 Ns/m (11.104)

Cálculo do amortecimento crítico para o eixo traseiro:

ccII = 2m2 II Ω2 II = 2 332, 1 7, 540 = 5.007, 95 Ns/m (11.105)

Com isso definido e com ξ = 0, 3, tem-se que a constante de amortecimento para os eixosdianteiro e traseiro são calculadas a partir da seguinte equação:

c = ccj ξ (11.106)

cI = ccI ξ = 5.100, 54 0, 3 = 1530, 16 Ns/m (11.107)

cII = ccII ξ = 5.007, 95 0, 3 = 1502, 39 Ns/m (11.108)

O cálculo das freqüências naturais dos eixos é feito com a equação simplificada 11.102,reescrita a seguir:

Ω1 =

ski + kpim1

. (11.109)

Assim o período fundamental para o eixo dianteiro e traseiro é dado por:

Ω1 I =

ski I + kpim1 I

=

s17.348, 05 + 210.000

92, 26/2= 70, 20 rad/s = 11, 73 Hz (11.110)

Ω1 II =

skiII + kpim1 II

=

s20.744, 51 + 210.000

114/2= 63, 63 rad/s = 10, 13 Hz (11.111)

respectivamente.A determinação das freqüências naturais amortecidas é feita a partir da seguinte equação

ν = Ωj

q1− ξ2.

Assim, a freqüência natural amortecida para a massa sobre o eixo dianteiro vale

ν2 I = Ω2 I

q1− ξ2 = 6, 283

p1− 0, 32 = 5, 99 rad/s = 0, 953 Hz (11.112)

e para a massa sobre o eixo traseiro vale

ν2 II = Ω2 II

q1− ξ2 = 7, 540

p1− 0, 32 = 7, 193 rad/s = 1, 144 Hz. (11.113)



Para o eixo dianteiro, a freqüência natural amortecida vale

ν1I = Ω1I

q1− ξ2 = 70, 20

p1− 0, 32 = 66, 97 rad/s = 10, 65 Hz (11.114)

e para o eixo traseiro vale

ν1II = Ω1II

q1− ξ2 = 63, 63

p1− 0, 32 = 60, 70 rad/s = 9, 66 Hz.

Nas equações apresentadas acima, observa-se que as freqüências naturais amortecidasdiferem muito pouco das amortecidas, por isso que a freqüência natural não amortecida ébastante usada para definir as propriedades de um veículo na etapa de ante-projeto.É importante observar também que a rigidez das molas bem como a constante de amortec-

imento calculadas acima, não são os valores reais da rigidez das molas e da constante deamortecimento. Isto se deve ao fato que no modelo matemático as molas e os amortecedoresestão colocados no plano médio das rodas. Nos veículos reais isso não ocorre, pois bastalembrar que as molas e amortecedores estão fixos nas balanças ou nos braços das suspensõesdos automóveis, exceto no caso de algumas suspensões McPherson. Sendo assim é necessáriocalcular a rigidez de mola e a constante de amortecimento considerando os braços de alavancaproporcionados pelas balanças das suspensões. Para esse caso, como a suspensão dianteira éa Mc Pherson e que a mola e amortecedor estão na torre da suspensão, a constante de molae de amortecimento não se alteram, pois o deslocamento e a velocidade que a mola sofre éaproximadamente (a diferença se deve à leve inclinação do eixo da mola e do amortecedor davertical) a do plano médio do pneu. Para a suspensão traseira, onde o tipo é semi trailing,considera-se as seguinte grandezas: u = 0, 2 m e v = 0, 3 m medidas em relação ao ponto depivotamento da balança a mola e a roda, respectivamente. Sendo assim:

kreal = kiII³vu

´2= 20.744, 51

µ0, 3

0, 2

¶2= 46.675, 15 N/m

Com o valor estabelecido para as molas das suspensões dianteira e traseira, pode-se calculara deflexão estática da mola para suportar o peso próprio do veículo, como segue:

δestI =m2I(1− x)g

kiI

³uv

´2=405, 9(1− 0, 45)9, 81

17.348, 05(1, 0)2 = 0, 126 m = 126 mm

δestII =m2II x g

kiII

³uv

´2=332, 1 0, 45 9, 81

20.744, 51

µ0, 2

0, 3

¶2= 0, 031 m = 31 mm

Supondo que durante o deslocamento o veículo fique submetido a uma carga proporcional a0, 5 g de aceleração vertical, a deflexão do centro da roda é calculado como segue:

δroda I =m2I(1− x)avert

kiI=405, 9(1− 0, 45)0, 5 9, 81

17.348, 05= 0, 063 m = 63 mm

δroda II =m2II x avert

kiII=332, 1 0, 45 0, 5 9, 81

20.744, 51= 0, 035 m = 35 mm

Esses valores significam que, para suportar uma aceleração vertical de cerca de 0, 5 g, assuspensões devem permitir um curso livre da roda de pelo menos 63 mm e 35 mm nos eixosdianteiro e traseiro respectivamente.



11.6 Modelos com sete graus de liberdade

A abordagem apresentada a seguir vale para todas as combinações possíveis de suspensõespara automóveis. A formulação é desenvolvida em termos energéticos, visto que se procurauma ferramenta mais flexível para permitir que se agrege, oprtunamente, alguns outrosefeitos no modelo, tais como efeitos giroscópicos, massas descentradas, ou então graus deliberdade associados aos subsistemas que compõem um automóvel (por exemplo direção etransmissão). O objetivo desses modelos é o da melhor representação do comportamentode um veículo transitando em linha reta, porém modelos com número maior de graus deliberdade, de tal forma a simular dirigibilidade e frenagem como feito por Sayers e Hanna referência [?], podem ser construídos. Como o objetivo primeiro deste trabalho é o delevantar cargas durante o deslocamento em linha reta do veículo, os modelos com sete grausde liberdade são adequado para uma primeira abordagem.Para o desenvolvimento que será feito neste capítuloa influência do campo gravitacional

não será considerada, já que os carregamentos médios impostos pelo peso e as resistênciasao movimento do veículo foram determinados em capítulo anterior,

11.6.1 Veículos com dois eixos rígidos

O modelo com sete graus de liberdade para o caso em que os eixos traseiro e dianteirosão rígidos, mostrado na Figura 11.8, é desenvolvido neste item.Vale a pena salientar que as coordenadas generalizadas, para o modelo do veículo dis-

cretizado com sete graus de liberdade, podem ser escritas na forma de um vetor, comnosegue:

x(t) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

q1(t)q2(t)q3(t)q4(t)q5(t)q6(t)q7(t)

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

z(t)φ(t)θ(t)zI(t)φI(t)zII(t)φII(t)

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭(11.115)

e as velocidades associadas a esses graus de liberdade por

x(t) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩


⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

z(t)

φ(t)

θ(t)zI(t)

φI(t)zII(t)

φII(t)

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭. (11.116)

Os graus de liberdade associados ao vetor x(t), são mostrados na Figura 11.8.Com estas grandezas definidas, as deflexões das molas, dadas pelas equações (11.36) a

(11.39) e repetidas a seguir, são


tI2, (11.117)



Figura 11.8: Modelo de sete graus de liberdade para um veículo com dois eixos rígidos.




tI2, (11.118)


tII2, (11.119)


tII2, (11.120)

e as velocidades dadas por


tI2, (11.121)


tI2, (11.122)


tII2, (11.123)


tII2. (11.124)

As deflexões dos pneus para um eixo rígido, dadas pelas equações (11.9) a (11.12), sãorepetidas a seguir

δp1(t) = zI(t)− φI(t)tI2− zs1(t), (11.125)

δp2(t) = zI(t) + φI(t)tI2− zs2(t), (11.126)

δp3(t) = zII(t) + φII(t)tII2− zs3(t), (11.127)

δp4(t) = zII(t)− φII(t)tII2− zs4(t) (11.128)

e as velocidades associadas por:

δp

1(t) = zI(t)− φI(t)tI2− zs1(t), (11.129)

δp

2(t) = zI(t) + φI(t)tI2− zs2(t), (11.130)

δp

3(t) = zII(t) + φII(t)tII2− zs3(t), (11.131)

δp

4(t) = zII(t)− φII(t)tII2− zs4(t). (11.132)

Tendo sido estabelecidos as deflexões e as velocidades de deflexão das molas, a seguir sedetermina a energia potencial, a energia cinética e a função dissipação de Rayleigh para cadaum dos subsistemas, sendo a superposição dos efeitos feita posteriormente.



Cálculo da energia associada a carroceria

Energia cinética O objetivo de calcular a energia cinética do sistema é o de determinara matriz de inércia do conjunto, a partir de conceitos de mecânica Lagrangeana. Assim aenergia cinética do subsistema carroceria é dada por:

Tc =1

2

hm z2(t) + Ixφ

2(t) + Iyθ

2(t)i

(11.133)

onde:m - massa da carroceria;Ix - momento de massa da carroceria em torno do eixo, x, axial ao carro;Iy- momento de massa da carroceria em torno do eixo, y, transversal ao carro.

Energia potencial O objetivo da determinação da energia potencial é o de determinara matriz de rigidez do sistema. Assim a energia potencial da carroceria devido a deflexãodas molas das suspensões é dada por:

Vc =1

2

£k1δ

21(t) + k2δ

22(t) + k3δ

23(t) + k4δ

24(t)¤

(11.134)

a qual, inseridas as equações (11.117) a (11.120), é reescrita como

Vc =1

2

∙k1(z(t)− φ(t)

tI2− θ(t)aI − zI(t) + φI(t)

tI2)2

+k2(z(t) + φ(t)tI2− θ(t)aI − zI(t)− φI(t)

tI2)2

+k3(z(t) + φ(t)tII2+ θ(t)aII − zII(t)− φII(t)

tII2)2

+ k4(z(t)− φ(t)tII2+ θ(t)aII − zII(t) + φII(t)

tII2)2¸. (11.135)

Função dissipativa de Rayleigh As forças dissipativas ou não conservativas podemser oriundas de mecanismos de amortecimento viscoso bem como de forças circulatórias, asquais são incluídas nos sistemas de equações de movimento a partir da função dissipadoradefinida por:

= =nXi=1

nXi=1

µ1

2cij qiqj + dij qiqj

¶(11.136)

onde:cij - é o coeficiente de amortecimento viscoso;dij - é o coeficiente do amortecimento das forças circulatórias;qi - é a velocidade da i’ésima coordenada generalizada;qj - é a j’ésima coordenada generalizada;n - é o número de graus de liberdade do sistema.

Na equação (11.136) o primeiro termo do lado direito é associado com as forças deamortecimento viscoso enquanto que o último é associado ao amortecimento das forças circu-latórias. Como neste modelo a aerodinâmica não será considerada como um fator importante



no amortecimento do veículo, o último termo da equação (11.116) é negligenciado. Com estahipótese simplificativa adotada, a potência dissipada pelos amortecedores do veículo é dadapor:

=c =1

2

hc1δ

2

1(t) + c2δ2

2(t) + c3δ2

3(t) + c4δ2

4(t)i

(11.137)

ou, em termos dos graus de liberdade da carroceria e das suspensões, por:

=c =1

2

∙c1(z(t)− φ(t)


tI2)2

+c2(z(t) + φ(t)tI2− θ(t)aI − zI(t)− φI(t)

tI2)2

+c3(z(t) + φ(t)tII2+ θ(t)aII − zII(t)− φII(t)

tII2)2

+ c4(z(t)− φ(t)tII2+ θ(t)aII − zII(t) + φII(t)

tII2)2¸. (11.138)

Cálculo da energia associada ao eixo dianteiro

Neste item são calculadas apenas a energia cinética e a energia potencial do eixo, já queo efeito das forças dissipativas dos pneus é desprezada nessa primeira aproximação.Vale salientar que o modelo mais adequado para a consideração do efeito dissipativo dos

pneus não é o de amortecimento viscoso, mas sim o de amortecemento histerético, tendoem vista o comportamento dos pneus sob a ação de cargas radiais nas operações de carga edescarga. Detalhes deste comportamento dos pneus estão descritos na referência [?] e na [4].

Energia cinética Como neste modelo não há interesse na análise do comportamentotorcional do eixo, a energia cinética do conjunto eixo dianteiro é dada por:

TerI =1

2[mI (zI(t))

2 + IxI (φI(t))2] (11.139)

ondemI - é a massa do eixo dianteiro;zI(t) - é a velocidade vertical do centro de gravidade do eixo rígido;IxI - é o momento de massa do eixo dianteiro em relação ao eixo axial do veículo;φI(t) - é a velocidade de giro do eixo dianteiro em relação ao eixo axial.

Energia potencial A energia potencial do eixo dianteiro devido as deflexões dos pneusé dada por:

VerI =1

2

£kp1(δ

p1(t))

2 + kp2(δp2(t))

2¤

(11.140)

Substituindo na equação acima as deflexões do pneu em termos dos deslocamentos do eixobem como em função da rugosidade do solo, equações (11.125) a (11.126), a mesma pode serreescrita como:

VerI =1

2

(kp1

∙zI(t)− φI(t)

tI2− zs1(t)

¸2+ kp2

∙zI(t) + φI(t)

tI2− zs2(t)

¸2)(11.141)



Cálculo da energia associada ao eixo traseiro

Desprezando a energia dissipada pelo amortecimento interno dos pneus, neste item secalcula, também, apenas a energia cinética e a potencial.

Energia cinética Considerando apenas os deslocamentos vertical e de giro do eixo emrelação a direção axial do veículo, a energia cinética é dada por

TerII =1

2[mII (zII(t))

2 + IxII (φII(t))2]. (11.142)

ondemII - é a massa do conjunto eixo traseiro;zII(t) - é a velocidade vertical do centro de gravidade do eixo rígido;IxII - é o momento de massa do eixo traseiro em relação ao eixo axial do veículo;φII(t) - é a velocidade de giro do eixo traseiro em relação ao eixo axial.

Energia potencial A energia potencial para o eixo traseiro rígida é dada por

VerII =1

2

£kp3(δ

p3(t))

2 + kp4(δp4(t))

2¤. (11.143)

Com a substituição das equações (11.127) a (11.128), a equação 11.143 é reescrita como:

VerII =1

2

∙kp3(zII(t) + φII(t)

tII2− zs3(t))

2 + kp4(zII(t)− φII(t)tII2− zs4(t))

2

¸. (11.144)

Superposição dos efeitos

A seguir é feita a superposição das energias calculadas para que se possa aplicar o princí-pio de Lagrange e gerar o sistema de equações diferenciais para o modelo de sete graus deliberdade de um veículo com dois eixos rígidos.

Energia cinética total para um veículo com eixos rígidos na frente e traseiraCom as considerações feitas anteriormente a energia cinética de um veículo dotado de doiseixos rígidos é dada por

TTotal = Tc + TerI + TerII . (11.145)

OndeTc - energia cinética da carroceria;TerI - energia cinética do eixo dianteiro;TerII - energia cinética do eixo traseiro.

Em termos dos graus de liberdade do sistema, a energia cinética de todo o sistema é dadapor

TTotal =1

2

hm z2(t) + Ixφ

2(t) + Iyθ

2(t) +mI (zI(t))

2 + IxI (φI(t))2]

+mII (zII(t))2 + IxII (φII(t))

2i. (11.146)



Energia potencial total para um veículo com eixos rígidos na frente e traseiraA energia potencial de todo o conjunto é dada pela soma direta de todas as parcelas desen-volvidas anteriormente, como segue.

VTotal = Vc + VerI + VerII (11.147)

ou, em termos dos graus de liberdade do sistema, por

VTotal =1

2

(k1

µz(t)− φ(t)


tI2

¶2+k2

µz(t) + φ(t)

tI2− θ(t)aI − zI(t)− φI(t)

tI2

¶2+k3

µz(t) + φ(t)

tII2+ θ(t)aII − zII(t)− φII(t)

tII2

¶2+k4

µz(t)− φ(t)

tII2+ θ(t)aII − zII(t) + φII(t)

tII2

¶2+kp1

µzI(t)− φI(t)

tI2− zs1(t)

¶2+ kp2

µzI(t) + φI(t)

tI2− zs2(t)

¶2+ kp3

µzII(t) + φII(t)

tII2− zs3(t)

¶2+ kp4

µzII(t)− φII(t)

tII2− zs4(t)

¶2)(11.148)

Potência dissipada pelos amortecedores de um veículo com eixos rígidos na frentee na traseira Para veículo, no qual a influência do amortecimento dos pneus é de-sprezável, a função dissipação de Rayleigh é dada por

=c =1

2

∙c1(z(t)− φ(t)


tI2)2

+c2(z(t) + φ(t)tI2− θ(t)aI − zI(t)− φI(t)

tI2)2

+c3(z(t) + φ(t)tII2+ θ(t)aII − zII(t)− φII(t)

tII2)2

+ c4(z(t)− φ(t)tII2+ θ(t)aII − zII(t) + φII(t)

tII2)2¸. (11.149)

Equações de Lagrange.

As equações de Lagrange, referência [?], para sistemas dinâmicos são dadas por:

d

dt

µ∂L

∂qi

¶− ∂L

∂qi+

µ∂=∂qi

¶= fi, i = 1, ..., n (11.150)

onde:L - é denominado de Lagrangiano e dado por L = TTotal − VTotal;

qi, qi - é o deslocamento e a velocidade da i’-iésima coordenada generalizada do sistemae



n - é o número de graus de liberdade do sistema.

As matrizes de inércia, amortecimento e de rigidez deste sistema, desenvolvidas a partirda aplicação da equação (11.150), tem os seus elementos dados por

mij =∂2T2∂qi∂qj

; (11.151)

cij =∂2=∂qi∂qj

; (11.152)

kij =∂2V

∂qi∂qj; (11.153)

onde, para este problema específico, tem-se que a energia cinética T2 é dada por

T2 = TTotal (11.154)

já que se não se considera os efeitos giroscópicos nem o enrigecimento da estrutura devido acampos longitudinais de força.A energia potencial V do sistema em questão é dada por:

V = VTotal (11.155)

Matriz massa A seguir são determinados os elementos da matriz massa com o auxílioda equação (11.151).

m11 =∂2TTotal∂z2

= m

m22 =∂2TTotal

∂φ2 = Ix

m33 =∂2TTotal

∂θ2 = Iy

m44 =∂2TTotal∂z2I

= mI (11.156)

m55 =∂2TTotal

∂φ2

I

= IxI

m66 =∂2TTotal∂z2II

= mII

m77 =∂2TTotal

∂φ2

II

= IxII

ou, na forma matricial, como segue



M =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

m 0 0 0 0 0 00 Ix 0 0 0 0 00 0 Iy 0 0 0 00 0 0 mI 0 0 00 0 0 0 IxI 0 00 0 0 0 0 mII 00 0 0 0 0 0 IxII

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦. (11.157)

Matriz amortecimento Os elementos da matriz amortecimento, obtidos a partir dafunção dissipação de Rayleigh com o auxílio da equação (11.152), são:

c11 =∂2=∂ z2

= c1 + c2 + c3 + c4 (11.158)

c12 = c21 =∂2=∂z∂φ

= − (c1 − c2)tI2+ (c3 − c4)

tII2

(11.159)

c13 = c31 =∂2=∂z∂θ

= − (c1 + c2) aI + (c3 + c4) aII (11.160)

c14 = c41 =∂2=∂z∂zI

= − (c1 + c2) (11.161)

c15 = c51 =∂2=∂z∂φI

= (c1 − c2)tI2

(11.162)

c16 = c61 =∂2=

∂z∂zII= − (c3 + c4) (11.163)

c17 = c71 =∂2=

∂z∂φII= − (c3 − c4)

tII2

(11.164)

c22 =∂2=∂φ

2 = (c1 + c2)

µtI2

¶2+ (c3 + c4)

µtII2

¶2(11.165)

c23 = c32 =∂2=∂φ∂θ

= (c1 − c2)

µaI tI2

¶+ (c3 − c4)

µaII tII2

¶(11.166)

c24 = c42 =∂2=∂φ∂zI

= (c1 − c2)tI2

(11.167)

c25 = c52 =∂2=∂φ∂φI

= − (c1 + c2)

µtI2

¶2(11.168)

c26 = c62 =∂2=

∂φ∂zII= − (c3 − c4)

tII2

(11.169)

c27 = c72 =∂2=

∂φ∂φII= − (c3 + c4)

µtII2

¶2(11.170)

c33 =∂2=∂θ

2 = (c1 + c2) a2I + (c3 + c4) a

2II (11.171)



c34 = c43 =∂2=∂θ∂zI

= (c1 + c2) aI (11.172)

c35 = c53 =∂2=∂θ∂φI

= − (c1 − c2)aItI2

(11.173)

c36 = c63 =∂2=

∂θ∂zII= − (c3 + c4) aII (11.174)

c37 = c73 =∂2=

∂θ∂φII= − (c3 − c4)

aII tII2

(11.175)

c44 =∂2=∂z2I

= c1 + c2 (11.176)

c45 = c54 =∂2=

∂zI∂φI= − (c1 − c2)

tI2

(11.177)

c46 = c64 =∂2=

∂zI∂zII= 0 (11.178)

c47 = c74 =∂2=

∂zI∂φII= 0 (11.179)

c55 =∂2=∂φ

2

I

= (c1 + c2)

µtI2

¶2(11.180)

c56 = c65 =∂2=

∂φI∂zII= 0 (11.181)

c57 = c75 =∂2=

∂φI∂φII= 0 (11.182)

c66 =∂2=∂z2II

= c3 + c4 (11.183)

c67 = c76 =∂2=

∂zII∂φII= (c3 − c4)

tII2

(11.184)

c77 =∂2=∂φ

2

II

= (c3 + c4)

µtII2

¶2(11.185)

Os termos apresentados acima tem sua disposição na matriz de amortecimento, C,mostrada na expressão que segue.

C =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

c11 c12 c13 c14 c15 c16 c17c21 c22 c23 c24 c25 c26 c27c31 c32 c33 c34 c37 c36 c37c41 c42 c43 c44 c45 c46 c47c51 c52 c53 c54 c55 c56 c57c61 c62 c63 c64 c65 c66 c67c71 c72 c73 c74 c75 c76 c77

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦. (11.186)

É conveniente salientar que a matriz acima é simétrica, já que não são considerados efeitosgiroscópicos.



Matriz de rigidez Os elementos da matriz rigidez, obtidos a partir da energia poten-cial com o auxílio da equação (11.153), são:

k11 =∂2VTotal∂z2

= k1 + k2 + k3 + k4 (11.187)

k12 = k21 =∂2VTotal∂z∂φ

= − (k1 − k2)tI2+ (k3 − k4)

tII2

(11.188)

k13 = k31 =∂2VTotal∂z∂θ

= − (k1 + k2) aI + (k3 + k4) aII (11.189)

k14 = k41 =∂2VTotal∂z∂zI

= − (k1 + k2) (11.190)

k15 = k51 =∂2VTotal∂z∂φI

= (k1 − k2)tI2

(11.191)

k16 = k61 =∂2VTotal∂z∂zII

= − (k3 + k4) (11.192)

k17 = k71 =∂2VTotal∂z∂φII

= − (k3 − k4)tII2

(11.193)

k22 =∂2VTotal

∂φ2= (k1 + k2)

µtI2

¶2+ (k3 + k4)

µtII2

¶2(11.194)

k23 = k32 =∂2VTotal∂φ∂θ

= (k1 − k2)

µaI tI2

¶+ (k3 − k4)

µaII tII2

¶(11.195)

k24 = k42 =∂2VTotal∂φ∂zI

= (k1 − k2)tI2

(11.196)

k25 = k52 =∂2VTotal∂φ∂φI

= − (k1 + k2)

µtI2

¶2(11.197)

k26 = k62 =∂2VTotal∂φ∂zII

= − (k3 − k4)tII2

(11.198)

k27 = k72 =∂2VTotal∂φ∂φII

= − (k3 + k4)

µtII2

¶2(11.199)

k33 =∂2VTotal

∂θ2= (k1 + k2) a

2I + (k3 + k4) a

2II (11.200)

k34 = k43 =∂2VTotal∂θ∂zI

= (k1 + k2) aI (11.201)

k35 = k53 =∂2VTotal∂θ∂φI

= − (k1 − k2)aItI2

(11.202)

k36 = k63 =∂2VTotal∂θ∂zII

= − (k3 + k4) aII (11.203)

k37 = k73 =∂2VTotal∂θ∂φII

= − (k3 − k4)aII tII2

(11.204)



k44 =∂2VTotal∂z2I

= k1 + k2 + kp1 + kp2 (11.205)

k45 = k54 =∂2VTotal∂zI∂φI

= (−k1 + k2 − kp1 + kp2)tI2

(11.206)

k46 = k64 =∂2VTotal∂zI∂zII

= 0 (11.207)

k47 = k74 =∂2VTotal∂zI∂φII

= 0 (11.208)

k55 =∂2VTotal

∂φ2I= (k1 + k2)

µtI2

¶2+ (kp1 + kp2)

µtI2

¶2(11.209)

k56 = k65 =∂2VTotal∂φI∂zII

= 0 (11.210)

k57 = k75 =∂2VTotal∂φI∂φII

= 0 (11.211)

k66 =∂2VTotal∂z2II

= k3 + k4 + kp3 + kp4 (11.212)

k67 = k76 =∂2VTotal∂zII∂φII

= (k3 − k4)tII2+ (kp3 − kp4)

tII2

(11.213)

k77 =∂2VTotal

∂φ2II= (k3 + k4)

µtII2

¶2+ (kp3 + kp4)

tII2

(11.214)

Os termos desnvolvidos acima, tem sua disposição na matriz de rigidez, K , mostrada naexpressão que segue.

K =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

k11 k12 k13 k14 k15 k16 k17k21 k22 k23 k24 k25 k26 k27k31 k32 k33 k34 k37 k36 k37k41 k42 k43 k44 k45 k46 k47k51 k52 k53 k54 k55 k56 k57k61 k62 k63 k64 k65 k66 k67k71 k72 k73 k74 k75 k76 k77

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦. (11.215)

Vetor excitação Neste caso, onde a excitação é pela base, tem-se que o vetor decarregamentos é dado por:

f(t) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

f1(t)f2(t)f3(t)f4(t)f5(t)f6(t)f7(t)

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

000

kp1 zs1(t) + kp2 z

s2(t)

− (kp1 zs1(t)− kp2 zs2(t))

tI2

kp3 zs3(t) + kp4 z

s4(t)

(kp3 zs3(t)− kp4 z

s4(t))

tII2

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭(11.216)

onde:kpi - é a rigidez do i’-ésimo pneu;zsi (t) - é a rugosidade do solo sob o i’-ésimo pneu.



11.6.2 Veículos com suspensão independente na dianteira e eixorígido na traseira

No modelo com sete graus de liberdade, para o caso em que o eixo dianteiro é inde-pendente e o traseiro rígido, tem-se que os deslocamentos e as velocidades generalizadassão

x(t) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩


⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

z(t)φ(t)θ(t)z1(t)z2(t)zII(t)φII(t)

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭(11.217)

e

x(t) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩


⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

z(t)

φ(t)

θ(t)z1(t)z2(t)zII(t)

φII(t)

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭. (11.218)

Estas grandezas estão sintetizadas na Figura 11.9.Para este caso as deflexões das molas são dadas pelas equações (11.22), (11.23), (11.38),

(11.39), repetidas a seguir

δ1(t) = z(t)− φ(t)tI2− θ(t)aI − z1(t), (11.219)

δ2(t) = z(t) + φ(t)tI2− θ(t)aI − z2(t), (11.220)


tII2, (11.221)


tII2, (11.222)

e as velocidades por

δ1(t) = z(t)− φ(t)tI2− θ(t)aI − z1(t), (11.223)

δ2(t) = z(t) + φ(t)tI2− θ(t)aI − z2(t), (11.224)


tII2, (11.225)


tII2. (11.226)



Figura 11.9: Modelo de sete graus de liberdade para um veículo com suspensão dianteiraindependente e eixo traseiro rígido.



As deflexões dos pneus para um eixo rígido, dadas pelas equações (11.1), (11.11) e (11.12),são repetidas a seguir

δp1(t) = z1(t)− zs1(t); (11.227)

δp2(t) = z2(t)− zs2(t); (11.228)

δp3(t) = zII(t) + φII(t)tII2− zs3(t); (11.229)

δp4(t) = zII(t)− φII(t)tII2− zs4(t), (11.230)

e as velocidades dadas por:δp

1(t) = z1(t)− zs1(t); (11.231)

δp

2(t) = z2(t)− zs2(t); (11.232)

δp

3(t) = zII(t) + φII(t)tII2− zs3(t); (11.233)

δp

4(t) = zII(t)− φII(t)tII2− zs4(t). (11.234)

A seguir se determina a energia potencial, a energia cinética e a função dissipação deRayleigh para cada um dos subsistemas, bem como é feita a superposição dos efeitos.

Cálculo da energia associada à carroceria

Energia cinética A energia cinética do subsistema carroceria para um veículo comsuspensão dianteira independente e traseira rígida é exatamente igual ao do caso anterior,equação (11.133), que é repetida a seguir

Tc =1

2

hm z2(t) + Ixφ

2(t) + Iyθ

2(t)i

(11.235)


Energia potencial A energia potencial da carroceria do veículo com a configuraçãosuspensão independente na dianteira e eixo rígido na traseira é levemente diferente do casoanterior, visto que as deflexões associadas ao eixo são função do tipo de suspensão. Assimpode-se escrever:

Vc =1

2

£k1δ

21(t) + k2δ

22(t) + k3δ

23(t) + k4δ

24(t)¤

(11.236)



ou em termos dos deslocamentos generalizados por:

Vc =1

2

"k1

µz(t)− φ(t)

tI2− θ(t)aI − z1(t)

¶2+k2

µz(t) + φ(t)


¶2+k3

µz(t) + φ(t)


tII2

¶2+ k4

µz(t)− φ(t)


tII2

¶2#. (11.237)

Função dissipativa de Rayleigh Apotência dissipada pelos amortecedores do veículo,com suspensão independente na dianteira e eixo rígido na traseira, é dada por:

=c =1

2

hc1δ

2

1(t) + c2δ2

2(t) + c3δ2

3(t) + c4δ2

4(t)i

(11.238)

ou, em termos dos graus de liberdade da carroceria e das suspensões, por:

=c =1

2

"c1

µz(t)− φ(t)


¶2+c2

µz(t) + φ(t)


¶2+c3

µz(t) + φ(t)


tII2

¶2+ c4

µz(t)− φ(t)


tII2

¶2#. (11.239)


Neste item são calculadas apenas a energia cinética e a energia potencial do eixo dianteiro.As expressões gerais do cálculo das energias é igual ao feito anteriormente para eixos rígidos,sendo a diferença restrita os graus de liberdade do eixo de suspensão independente em relaçãoao rígido

Energia cinética Como neste modelo também não há interesse na análise do compor-tamento torcional do eixo, a energia cinética do conjunto eixo dianteiro é dada por:

TeI =1

2[m1 (z1(t))

2 +m2 (z2(t))2] (11.240)

ondem1 - é a massa do conjunto roda dianteira esquerda do veículo;m2 - é a massa do conjunto roda dianteira direita do veículo;z1(t) z2(t) - é a velocidade vertical das rodas dianteiras.



Energia potencial A energia potencial do eixo dianteiro devido a deflexão dos pneusé dada por:

VeI =1

2

£kp1(δ

p1(t))

2 + kp2(δp2(t))

2¤

(11.241)

Substituindo na equação acima as deflexões do pneu em termos dos deslocamentos do eixoe da rugosidade do solo, equações (11.125) a (11.126), a mesma é reescrita como:

VerI =1

2

©kp1 [z1(t)− zs1(t)]

2 + kp2 [z2(t)− zs2(t)]2ª (11.242)


Neste caso a energia cinética e potencial do eixo traseiro são exatamente iguais ao do casoanterior, onde os eixos são rígidos na dianteira e traseira. Sendo assim, aquelas equações sãorepetidas a seguir.

Energia cinética

TerII =1

2[mII (zII(t))

2 + IxII (φII(t))2]. (11.243)

Energia potencial

VerII =1

2

∙kp3(zII(t) + φII(t)

tII2− zs3(t))

2 + kp4(zII(t)− φII(t)tII2− zs4(t))

2

¸. (11.244)


A seguir é feita a superposição das energias calculadas para que se possa aplicar o princí-pio de Lagrange.

Energia cinética A energia cinética de um veículo dotado de suspensão independentena frente e eixo rígido na traseira é:

TTotal = Tc + TeI + TerII (11.245)

Em termos dos graus de liberdade do sistema, a energia cinética de todo o sistema é dadapor

TTotal =1

2

hm z2(t) + Ixφ

2(t) + Iyθ

2(t) +m1 (z

p1(t))

2 +m2 (zp2(t))

2]

+mII (zII(t))2 + IxII (φII(t))

2i. (11.246)

Energia potencial A energia potencial de todo o conjunto é dada pela soma diretade todas as parcelas desenvolvidas anteriormente, como segue.

VTotal = Vc + VeI + VerII (11.247)



ou

VTotal =1

2

"k1

µz(t)− φ(t)


¶2+k2

µz(t) + φ(t)


¶2+k3

µz(t) + φ(t)


tII2

¶2+k4

µz(t)− φ(t)


tII2

¶2+kp1 (z1(t)− zs1(t))

2 + kp2 (z2(t)− zs2(t))2

+ kp3

µzII(t) + φII(t)

tII2− zs3(t)

¶2+ kp4

µzII(t)− φII(t)

tII2− zs4(t)

¶2#(11.248)

Potência dissipada pelos amortecedores A dissipação da potência neste caso tam-bém é feita apenas pelos amortecedores das suspensões dianteira e traseira. Sendo assim, adissipação total da potência é dada pela equação (11.239), repetida a seguir.

=c =1

2

"c1

µz(t)− φ(t)


¶2+c2

µz(t) + φ(t)


¶2+c3

µz(t) + φ(t)


tII2

¶2+c4

µz(t)− φ(t)


tII2

¶2#. (11.249)

Determinação das matrizes de inércia, amortecimento e rigidez

As matrizes de inércia, amortecimento e de rigidez deste sistema, também têm os seuselementos dados pelas equações (11.151), (11.152) e (11.153). Assim, parte-se para a deter-minação destas matrizes.



= m

m22 =∂2TTotal

∂φ2 = Ix

m33 =∂2TTotal

∂θ2 = Iy




= m1 (11.250)


= m2


= mII

m77 =∂2TTotal

∂φ2

II

= IxII


M =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

m 0 0 0 0 0 00 Ix 0 0 0 0 00 0 Iy 0 0 0 00 0 0 m1 0 0 00 0 0 0 m2 0 00 0 0 0 0 mII 00 0 0 0 0 0 IxII

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦. (11.251)


c11 =∂2=∂z2

= c1 + c2 + c3 + c4 (11.252)

c12 = c21 =∂2=∂z∂φ

= − (c1 − c2)tI2+ (c3 − c4)

tII2

(11.253)

c13 = c31 =∂2=∂z∂θ

= − (c1 + c2) aI + (c3 + c4) aII (11.254)

c14 = c41 =∂2=∂z∂z1

= −c1 (11.255)

c15 = c51 =∂2=∂z∂z2

= −c2 (11.256)

c16 = c61 =∂2=

∂z∂zII= − (c3 + c4) (11.257)

c17 = c71 =∂2=

∂z∂φII= − (c3 − c4)

tII2

(11.258)

c22 =∂2=∂φ

2 = (c1 + c2)

µtI2

¶2+ (c3 + c4)

µtII2

¶2(11.259)

c23 = c32 =∂2=∂φ∂θ

= (c1 − c2)

µaI tI2

¶+ (c3 − c4)

µaII tII2

¶(11.260)

c24 = c42 =∂2=∂φ∂z1

= c1tI2

(11.261)



c25 = c52 =∂2=∂φ∂z2

= −c2tI2

(11.262)

c26 = c62 =∂2=

∂φ∂zII= − (c3 − c4)

tII2

(11.263)

c27 = c72 =∂2=

∂φ∂φII= − (c3 + c4)

µtII2

¶2(11.264)

c33 =∂2=∂θ

2 = (c1 + c2) a2I + (c3 + c4) a

2II (11.265)

c34 = c43 =∂2=∂θ∂z1

= c1aI (11.266)

c35 = c53 =∂2=∂θ∂z2

= c2aI (11.267)

c36 = c63 =∂2=

∂θ∂zII= − (c3 + c4) aII (11.268)

c37 = c73 =∂2=

∂θ∂φII= − (c3 − c4)

aII tII2

(11.269)

c44 =∂2=∂z21

= c1 (11.270)

c45 = c54 =∂2=

∂z1∂z2= 0 (11.271)

c46 = c64 =∂2=

∂z1∂zII= 0 (11.272)

c47 = c74 =∂2=

∂z1∂φII= 0 (11.273)

c55 =∂2=∂z22

= c2 (11.274)

c56 = c65 =∂2=

∂z2∂zII= 0 (11.275)

c57 = c75 =∂2=

∂z2∂φII= 0 (11.276)

c66 =∂2=∂z2II

= (c3 + c4) (11.277)

c67 = c76 =∂2=

∂zII∂φII= (c3 − c4)

tII2

(11.278)

c77 =∂2=∂φ

2

II

= (c3 + c4)

µtII2

¶2(11.279)

A disposição dos termos, acima desenvolvidos, na matriz de amortecimento, é a mesma quea apresentada na equação (11.186)



Matriz de rigidez Os elementos da matriz rigidez, obtidos a partir da energia poten-cial com o auxílio da equação 11.152, são:


= k1 + k2 + k3 + k4 (11.280)


= − (k1 − k2)tI2+ (k3 − k4)

tII2

(11.281)


= − (k1 + k2) aI + (k3 + k4) aII (11.282)

k14 = k41 =∂2VTotal∂z∂z1

= −k1 (11.283)


= −k2 (11.284)

k16 = k61 =∂2VTotal∂z∂zII

= − (k3 + k4) (11.285)

k17 = k71 =∂2VTotal∂z∂φII

= − (k3 − k4)tII2

(11.286)

k22 =∂2VTotal

∂φ2= (k1 + k2)

µtI2

¶2+ (k3 + k4)

µtII2

¶2(11.287)


= (k1 − k2)

µaI tI2

¶+ (k3 − k4)

µaII tII2

¶(11.288)

k24 = k42 =∂2VTotal∂φ∂z1

= k1tI2

(11.289)

k25 = k52 =∂2VTotal∂φ∂φI

= −k2tI2

(11.290)

k26 = k62 =∂2VTotal∂φ∂zII

= − (k3 − k4)tII2

(11.291)

k27 = k72 =∂2VTotal∂φ∂φII

= − (k3 + k4)

µtII2

¶2(11.292)

k33 =∂2VTotal

∂θ2= (k1 + k2) a

2I + (k3 + k4) a

2II (11.293)

k34 = kc43 =∂2VTotal∂θ∂zI

= k1aI (11.294)

k35 = kc53 =∂2VTotal∂θ∂φI

= k2aI (11.295)

k36 = k63 =∂2VTotal∂θ∂zII

= − (k3 + k4) aII (11.296)

k37 = k73 =∂2VTotal∂θ∂φII

= − (k3 + k4)aII tII2

(11.297)



k44 =∂2VTotal∂z2I

= k1 + kp1 (11.298)

k45 = k54 =∂2VTotal∂zI∂φI

= 0 (11.299)

k46 = k64 =∂2VTotal∂zI∂zII

= 0 (11.300)

k47 = k74 =∂2VTotal∂zI∂φII

= 0 (11.301)

k55 =∂2VTotal

∂φ2I= k2 + kp2 (11.302)

k56 = k65 =∂2VTotal∂φI∂zII

= 0 (11.303)

k57 = k75 =∂2VTotal∂φI∂φII

= 0 (11.304)

k66 =∂2VTotal∂z2II

= k3 + k4 + kp3 + kp4 (11.305)

k67 = k76 =∂2VTotal∂zII∂φII

= (k3 − k4)tII2+ (kp3 − kp4)

tII2

(11.306)

k77 =∂2VTotal

∂φ2II= (k3 + k4)

µtII2

¶2+ (kp3 + kp4)

tII2

(11.307)

A disposição dos termos, acima desenvolvidos, é a mesma que a apresentada na equação(11.215)


f(t) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩


⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

000

kp1 zs1(t)

kp2 zs2(t)

kp3 zs3(t) + kp4 z

s4(t)

(kp3 zs3(t)− kp4 z

s4(t))

tII2

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭(11.308)

onde:kpi - é a rigidez do i ’ésimo pneu;zsi (t) - é a rugosidade do solo sob o i ’ésimo pneu.



11.6.3 Veículos com suspensão independente na dianteira e na tra-seira

O modelo com sete graus de liberdade, para o caso em que as suspensões dianteira etraseira são independentes, tem os deslocamentos e as velocidades generalizadas dados por

x(t) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩


⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

z(t)φ(t)θ(t)z1(t)z2(t)z3(t)z4(t)

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭(11.309)

e

x(t) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩


⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

z(t)

φ(t)

θ(t)z1(t)z2(t)z3(t)z4(t)

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭. (11.310)

Um diagrama do modelo está mostrado na Figura 11.10.Para este caso as deflexões das molas são dadas pelas equações (11.22) a (11.25) e repeti-

das a seguir

δ1(t) = z(t)− φ(t)tI2− θ(t)aI − z1(t), (11.311)

δ2(t) = z(t) + φ(t)tI2− θ(t)aI − z2(t), (11.312)


δ4(t) = z(t)− φ(t)tII2+ θ(t)aII − z4(t), (11.314)

e, a partir destas, as velocidades por

δ1(t) = z(t)− φ(t)tI2− θ(t)aI − z1(t), (11.315)

δ2(t) = z(t) + φ(t)tI2− θ(t)aI − z2(t), (11.316)


δ4(t) = z(t)− φ(t)tII2+ θ(t)aII − z4(t). (11.318)



Figura 11.10: Modelo de sete graus de liberdade para um veículo com suspensões indepen-dentes.



As deflexões dos pneus para um eixo rígido, generalizada pela equação (11.1), são

δp1(t) = z1(t)− zs1(t); (11.319)

δp2(t) = z2(t)− zs2(t); (11.320)

δp3(t) = z3(t)− zs3(t); (11.321)

δp4(t) = z4(t)− zs4(t). (11.322)

As velocidades são dadas por:

δp

1(t) = z1(t)− zs1(t); (11.323)

δp

2(t) = z2(t)− zs2(t); (11.324)

δp

3(t) = z3(t)− zs3(t); (11.325)

δp

4(t) = z4(t)− zs4(t). (11.326)

A seguir se determina a energia potencial, a energia cinética e a função dissipação deRayleigh para cada um dos subsistemas.

Cálculo da energia associada à carroceria

Energia cinética A energia cinética do subsistema carroceria para o veículo é dadapor

Tc =1

2

hm z2(t) + Ixφ

2(t) + Iyθ

2(t)i

(11.327)


Energia potencial A energia potencial da carroceria do veículo com suspensões inde-pendentes é:

Vc =1

2

£k1δ

21(t) + k2δ

22(t) + k3δ

23(t) + k4δ

24(t)¤

(11.328)



que em termos dos deslocamentos é reescrita como:

Vc =1

2

"k1

µz(t)− φ(t)


¶2+k2

µz(t) + φ(t)


¶2+k3

µz(t) + φ(t)

tII2+ θ(t)aII − z3(t)

¶2+ k4

µz(t)− φ(t)


¶2#. (11.329)

Função dissipativa de Rayleigh Apotência dissipada pelos amortecedores do veículo,dada por:

=c =1

2

hc1δ

2

1(t) + c2δ2

2(t) + c3δ2

3(t) + c4δ2

4(t)i

(11.330)

é reescrita, em termos dos graus de liberdade da carroceria e das suspensões, como

=c =1

2

"c1

µz(t)− φ(t)


¶2+c2

µz(t) + φ(t)


¶2+c3

µz(t) + φ(t)


¶2+ c4

µz(t)− φ(t)

tII2+ θ(t)aII − z4(t).

¶2#. (11.331)


Energia cinética

TeI =1

2[m1 (z1(t))

2 +m2 (z2(t))2]. (11.332)

Energia potencial

VeI =1

2

£kp1(δ

p1(t))

2 + kp2(δp2(t))

2¤, (11.333)

que em termos dos deslocamentos é reescrita como:

VeI =1

2

©kp1 [z1(t)− zs1(t)]

2 + kp2 [z2(t)− zs2(t)]2ª . (11.334)


Energia cinética

TeII =1

2[m3 (z3(t))

2 +m4(z4(t))2]. (11.335)



Energia potencial

VeII =1

2

£kp3(z3(t)− zs3(t))

2 + kp4(z4(t)− zs4(t))2¤. (11.336)


A seguir é feita a superposição das diversas parcelas de energia para que se possa aplicaro princípio de Lagrange.

Energia cinética total para um veículo com suspensão independente na dianteirae eixo rígido na traseira A energia cinética de um veículo dotado de suspensõesindependentes é:

TTotal = Tc + TeI + TeII (11.337)

que, em termos dos graus de liberdade do sistema, é reescrita como

TTotal =1

2

hm z2(t) + Ixφ

2(t) + Iyθ

2(t) +m1 (z1(t))

2 +m2 (z2(t))2]

+m3 (z3(t))2 +m4(z3(t))

2¤. (11.338)

Energia potencial total para um veículo com eixos rígidos na frente e traseiraA energia potencial de todo o conjunto é dada pela soma direta de todas as parcelas desen-volvidas anteriormente, como segue.

VTotal = Vc + VerI + VerII (11.339)

ou

VTotal =1

2

"k1

µz(t)− φ(t)


¶2+k2

µz(t) + φ(t)


¶2+k3

µz(t) + φ(t)


¶2+k4

µz(t)− φ(t)


¶2+kp1 (z1(t)− zs1(t))

2 + kp2 (z2(t)− zs2(t))2

+ kp3 (z3(t)− zs3(t))2 + kp4 (z4(t)− zs4(t))

2¤ (11.340)

Potência dissipada pelos amortecedores de um veículo com eixos rígidos nafrente e na traseira A dissipação da potência, neste caso, é dada pela equação 11.331,repetida a seguir.



=c =1

2

"c1

µz(t)− φ(t)


¶2+c2

µz(t) + φ(t)


¶2+c3

µz(t) + φ(t)


¶2+c4

µz(t)− φ(t)


¶2#. (11.341)

Determinação das matrizes de inércia, amortecimento e rigidez

As matrizes de inércia, amortecimento e de rigides deste sistema, também são calculadasa partir das equações (11.151), (11.153) e (11.152).



= m

m22 =∂2TTotal

∂φ2 = Ix

m33 =∂2TTotal

∂θ2 = Iy


= m1 (11.342)


= m2


= m3

m77 =∂2TTotal

∂φ2

II

= m4


M =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

m 0 0 0 0 0 00 Ix 0 0 0 0 00 0 Iy 0 0 0 00 0 0 m1 0 0 00 0 0 0 m2 0 00 0 0 0 0 m3 00 0 0 0 0 0 m4

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦. (11.343)




c11 =∂2=∂z2

= c1 + c2 + c3 + c4 (11.344)

c12 = c21 =∂2=∂z∂φ

= − (c1 − c2)tI2+ (c3 − c4)

tII2

(11.345)

c13 = c31 =∂2=∂z∂θ

= − (c1 + c2) aI + (c3 + c4) aII (11.346)

c14 = c41 =∂2=∂z∂z1

= −c1 (11.347)

c15 = c51 =∂2=∂z∂z2

= −c2 (11.348)

c16 = c61 =∂2=∂z∂z3

= −c3 (11.349)

c17 = c71 =∂2=∂z∂z4

= −c4 (11.350)

c22 =∂2=∂φ

2 = (c1 + c2)

µtI2

¶2+ (c3 + c4)

µtII2

¶2(11.351)

c23 = c32 =∂2=∂φ∂θ

= (c1 − c2)

µaI tI2

¶+ (c3 + c4)

µaII tII2

¶(11.352)

c24 = c42 =∂2=∂φ∂z1

= c1tI2

(11.353)

c25 = c52 =∂2=∂φ∂z2

= −c2tI2

(11.354)

c26 = c62 =∂2=∂φ∂z3

= −c3tII2

(11.355)

c27 = c72 =∂2=∂φ∂z4

= c4tII2

(11.356)

c33 =∂2=∂θ

2 = (c1 + c2) a2I + (c3 + c4) a

2II (11.357)

c34 = c43 =∂2=∂θ∂z1

= c1aI (11.358)

c35 = c53 =∂2=∂θ∂z2

= c2aI (11.359)

c36 = c63 =∂2=∂θ∂z3

= −c3aII (11.360)

c37 = c73 =∂2=∂θ∂z4

= −c4aII (11.361)



c44 =∂2=∂z21

= c1 (11.362)

c45 = c54 =∂2=

∂z1∂z2= 0 (11.363)

c46 = c64 =∂2=

∂z1∂z3= 0 (11.364)

c47 = c74 =∂2=

∂z1∂z4= 0 (11.365)

c55 =∂2=∂z22

= c2 (11.366)

c56 = c65 =∂2=

∂z2∂z3= 0 (11.367)

c57 = c75 =∂2=

∂z2∂z4= 0 (11.368)

c66 =∂2=∂z23

= c3 (11.369)

c67 = c76 =∂2=

∂z3∂z4= 0 (11.370)

c77 =∂2=∂z24

= c4 (11.371)

A disposição dos termos, acima desenvolvidos, na matriz de amortecimento é a mesma quea apresentada na equação (11.186)

Matriz de rigidez Os elementos da matriz rigidez, obtidos a partir da energia poten-cial com o auxílio da equação (11.152), são:


= k1 + k2 + k3 + k4 (11.372)


= − (k1 − k2)tI2+ (k3 − k4)

tII2

(11.373)


= − (k1 + k2) aI + (k3 + k4) aII (11.374)


= −k1 (11.375)


= −k2 (11.376)


= −k3 (11.377)


= −k4 (11.378)



k22 =∂2VTotal

∂φ2= (k1 + k2)

µtI2

¶2+ (k3 + k4)

µtII2

¶2(11.379)


= (k1 − k2)

µaI tI2

¶+ (k3 − k4)

µaII tII2

¶(11.380)


= k1tI2

(11.381)


= −k2tI2

(11.382)


= −k3tII2

(11.383)


= k4tII2

(11.384)

k33 =∂2VTotal

∂θ2= (k1 + k2) a

2I + (k3 + k4) a

2II (11.385)

k34 = kc43 =∂2VTotal∂θ∂z1

= k1aI (11.386)

k35 = kc53 =∂2VTotal∂θ∂z2

= k2aI (11.387)

k36 = k63 =∂2VTotal∂θ∂z3

= −k3aII (11.388)

k37 = k73 =∂2VTotal∂θ∂z4

= −k4aII (11.389)


= k1 + kp1 (11.390)

k45 = k54 =∂2VTotal∂z1∂z2

= 0 (11.391)


= 0 (11.392)


= 0 (11.393)


= k2 + kp2 (11.394)


= 0 (11.395)


= 0 (11.396)


= k3 + kp3 (11.397)




= 0 (11.398)


= k4 + kp4 (11.399)

A disposição dos termos acima desenvolvidos, é a mesma que a apresentada na equação(11.215)


f(t) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩


⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

000

kp1 zs1(t)

kp2 zs2(t)

kp3 zs3(t)

kp4 zs4(t)

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭(11.400)

onde:kpi - é a rigidez do i’-ésimo pneu;zsi (t) - é a rugosidade do solo sob o i’-ésimo pneu.

11.6.4 Modelo para arfagem e bounce

Os modelos de sete graus de liberdade desenvolvidos, podem ser simplificados para umcaso particular, onde apenas os efeitos de arfagem (pitch) resultantes do giro do carro emtorno do eixo y, mostrado na Figura 11.1, e o de bounce são considerados. A excitaçãodesses graus de liberdade é ocasionada pelo deslocamento vertical das rodas dianteiras etraseiras do veículo ao trilharem as mesmas irregularidades da pista em instantes distintos.A excitação desses graus de liberdade afeta de maneira sensível o bom rodar do automóvele, consequentemente, o conforto de seus ocupantes.Uma modelagem simples desse comportamento do veículo pode ser obtido considerando

considerando apenas os seguintes graus de liberdade.

x(t) =

½q1(t)q2(t)

¾=

½z(t)θ(t)

¾(11.401)

Sendo assim, a análise modal a ser feita nesse caso é identica àquela do item 11.5.1, ondedevem ser tomados cuidados especiais na análise do deslocamento angular.

11.7 Unificação dos modelos desenvolvidos

As equações do movimento para os modelos apresentados anteriormente, genericamentepodem ser escritas da mesma forma que a apresentada no item 11.5 para dois graus deliberdade. Assim, a equação (11.52) é repetida a seguir.

[M x(t) +C x(t) +K x(t)] = f(t) (11.402)



onde:M é a matriz massa do sistema, equações (11.53), (11.157), (11.251) ou (11.343);C é a matriz de amortecimento do sistema, equações (11.54) ou (11.186);K é a matriz de rigidez do sistema, equações (11.55) ou (11.215);x(t) é o vetor de deslocamentos equações (11.56), (11.115), (11.217) ou (11.309);f(t) é o vetor excitação, equações (11.57), (11.216), (11.308) ou (11.400);A análise das características do sistema pode ser feita da mesma maneira que a apresen-

tada para dois graus de liberdade, item 11.5. Para isto, a excitação bem como a resposta doproblema são dadas pelas equações (11.58), (11.59) e (11.60), repetidas a seguir

zsi (t) = Zsi (Ω)e

iΩt

zsi (t) = iΩZsi (Ω)e

iΩt (11.403)

zsi (t) = −Ω2Zsi (Ω)e

iΩt

zi(t) = Zi(Ω)eiΩt,

zi(t) = iΩZi(Ω)eiΩt = V p

i (Ω)eiΩt, (11.404)

zi(t) = −Ω2Zi(Ω)eiΩt = Gp

i (Ω)eiΩt,

z(t) = Z(Ω)eiΩt,

z(t) = iΩZ(Ω)eiΩt = V (Ω)eiΩt, (11.405)

z(t) = −Ω2Z(Ω)eiΩt = G(Ω)eiΩt

onde:i - é a entidade matemática imaginária;Ω - é a freqüência;t - é a variável tempo;Zsi (Ω), Zi(Ω), Z(Ω), V (Ω), Vi(Ω), G(Ω), Gi(Ω) - são as amplitudes dos deslocamentos,

das velocidades e das acelerações em freqüência.

Sendo assim, o equacionamentono domínio da freqüência é dado genericamente por:£M s2 +C s+K

¤Z(Ω) = F(Ω) (11.406)

onde:M, C e K são as matrizes definidas nas equações (11.53), (11.54) e (11.55);Z(Ω) é a resposta em freqüência eF(Ω) é a excitação no domínio da freqüência.

Com estas definições a equação (11.406) pode ser reescrita como

Ð(s)Z(Ω) = F(Ω), (11.407)



onde:Ð(s) = [M s2 +C s+K ].Definindo a matriz receptância como

Λ(s) = Ð(s)−1 =£M s2 +C s+K

¤−1(11.408)

tem-se que a resposta, Z(Ω), do sistema é calculada por:

Z(Ω) = Λ(s)F(Ω). (11.409)

Genericamente esta análise modal é idêntica a aquela desenvolvida no item 11.5 e, assim,a análise das freqüências naturais para um sistema com n graus de liberdade, bem como aobtenção das velocidades e das acelerações do sistema, são feitos da mesma maneira que aapresentada naquele item.

11.7.1 Modelo de excitação

Como foi mostrado anteriormente, a resposta Z(Ω) de um sistema no domínio da fre-quência é dada pela equação (11.409) onde a matriz de receptância Λ(s) é uma característicado sistema físico analisado e F(Ω) é a excitação.A excitação, F(Ω), depende do tipo de piso que o veículo trafega. Se a função que define

a rugosidade do solo é integrável, não importando que seja periódica ou não, um modelo deexcitação pode ser obtido com o conceito da transformada de Fourier apresentado a seguir

F(Ω) =1

2π

+∞Z−∞

f(t)e−iΩtdt, (11.410)

onde f(t) é a excitação dada pelas equações (11.216), (11.308) e (11.400), para os casosde eixos rígidos na frente e na traseira, suspensão independente na frente e eixo rígido natraseira e suspensão independente na frente e na traseira, respectivamente.Com isto definido, a resposta do problema, em freqüência é obtida a partir da equação

(11.409), sendo a resposta no tempo dada pela transformada inversa, definida a seguir

z(t) =

+∞Z−∞

Z(Ω)eiΩtdΩ. (11.411)

Tendo-se em mãos a solução do problema, que no caso podem ser os deslocamentos, asvelocidades ou as acelerações, é possível fazer a análise dos esforços, ou do ruído bem comodo conforto do veículo, dependendo do interesse do analista.

Rugosidade da pista

A determinação da excitação, f(t), é função da rugosidade do solo zsi (t) bem como darigidez dos pneus. É interessante salientar que a rugosidade do solo, da forma que estámostrada acima, é função não somente da geometria da superfície do contato pneu pista,



Figura 11.11: Modelo de pista para velocidade constante.

mas também do tempo. Como a geometria do solo é invariante com o tempo, esta variávelé introduzida na função rugosidade zsi (t) a partir da velocidade de deslocamento do veículo.Para o caso em questão, onde não há um interesse em estudar o problema com aceleraçõesna direção do eixo x ou axial, a variação da velocidade do veículo não será considerada.A construção da função rugosidade zsi (t) a partir da geometria da superfície de contato

com o solo é apresentada a seguir para um caso simples, porém o procedimento é geral epode ser estendido para qualquer tipo de geometria. Para isto seja uma pista plana onde oveículo se desloca com velocidade constante v, onde, em uma determinada posição x1, existeum obstáculo na pista. Este obstáculo é uma rampa que termina na posição x2. A partirdesta posição a pista fica novamente plana, porém com uma altura k em relação ao primeirotrecho. O modelo da superfície zsi (x) desta pista está mostrado na Figura 11.11.A função rugosidade do solo, em termos da posição x é dada por:

zsi (x) =

⎧⎨⎩0 para -∞≤ x ≤ x1

k(x2−x1) (x− x1) para x1 ≤ x ≤ x2

k para x2 ≤ x ≤ ∞(11.412)

Considerando que o veículo não perca velocidade na subida da rampa, pode-se escreverque:

x = vt (11.413)

onde:



x - é a posição do veículo;v - é a velocidade de deslocamento do veículo;t - tempo.

Com isto, a função zsi (t) pode ser escrita a partir da equação (11.412) com a mudançade coordenadas definida na expressão (11.413).

zsi (t) =

⎧⎨⎩0 para -∞≤ t ≤ t1k

(t2−t1) (t− t1) para t1 ≤ t ≤ t2k para t2 ≤ t ≤ ∞

(11.414)

onde:t1 =

x1v

t2 =x2v


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