Apostila Minicurso Maxima 2012

7/25/2019 Apostila Minicurso Maxima 2012

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIACENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS

CURSO DE MATEMÁTICAPET MATEMÁTICA

MINICURSOS PET MATEMÁTICA

NOÇÕES BÁSICAS DE CÁLCULO COM O SOFTWARE MAXIMA

Alessandra KreutzBruna Silveira Pavlack

Gláucia Lenita DieringsMatheus Marchi

Orientadores: Profª. Drª Sandra Eliza VielmoProf. Dr. Antonio Carlos Lyrio Bidel

Santa Maria, RS, Brasil2012



SUMÁRIO

1. Introdução ....................................................................................... 3

2. Primeiros comandos ......................................................................... 4

2.1- Números.......................................................................................................... 4

2.2- Algumas funções ............................................................................................. 5

2.3- Definindo variáveis e resolvendo equações .................................................... 6

3. Gráficos de funções em duas dimensões ........................................... 8

3.1- Funções Explícitas ........................................................................................... 8

3.2- Funções Implícitas ......................................................................................... 12

3.3- Funções Paramétricas .................................................................................... 14

3.4- Outras opções de plotagem para gráficos..................................................... 16

4. Gráficos de funções em três dimensões ........................................... 20

5. Limites ........................................................................................... 22

6. Derivadas ....................................................................................... 29

6.1- Gráfico das funções e suas derivadas ............................................................ 30

6.2- Interpretação geométrica da derivada .......................................................... 31

6.3- Máximos e mínimos ...................................................................................... 33

7. Integrais ......................................................................................... 36

7.1- Integral indefinida ou definida ...................................................................... 36

7.2- Calculando áreas com integrais definidas ..................................................... 36

7.3- Área de uma região delimitada por duas funções ........................................ 37

8. Referências Bibliográficas ................................................................ 39



1. Introdução

O Maxima é um software livre disponível para a realização de cálculosmatemáticos através da manipulação de expressões simbólicas e numéricas. Estasincluem diferenciação, integração, equações diferenciais ordinárias, sistemas deequações lineares, vetores, matrizes, entre outros. Além disso, produz resultados deprecisão elevada e pode traçar gráficos de funções em duas e três dimensões.

Para fazer o download da versão do programa que será utilizado nesseminicurso basta acessar o link http://andrejv.github.com/wxmaxima/.

Este minicurso abordará diversos tipos de funções com o auxílio do software

Maxima, explorando tanto a representação gráfica quanto o cálculo diferencial eintegral.



2. Primeiros comandos

Neste capítulo serão abordados os comandos básicos para a utilização dosoftware Maxima. Primeiramente, através da opção na barra de ferramentas Editar –

Configurações, personalize o Maxima da seguinte maneira: Marque a opção Enter calcula células. Desta forma, quando você

clicar Enter, o software irá calcular o comando inserido na célula. Para mudar delinha sem calcular, deve-se clicar Shift+Enter.

2.1- Números

No Maxima é possível realizar operações aritméticas de maneira simples,usando os comandos de adição (+), subtração (-), multiplicação (*), divisão (/) e

potenciação (^). Os comandos devem sempre terminar com ponto-e-vírgula (;),seguidos de Enter para o programa mostrar os resultados.

Observação: Você pode clicar Enter com o cursor em qualquer posição dalinha. Caso você esqueça de colocar o ponto-e-vírgula (;), o Maxima fará isso paravocê.

Além desses operadores, existem os operadores relacionais (<, >, <=, >=)e o operador de definição de função (:=).

Exercício 1: Digitar expressões simples e observar os resultados.

Na divisão de inteiros m e n, o Maxima apenas simplifica a fração. Para obtero resultado na forma decimal usa-se o comando float (m/n);, ou escreve-se m/nseguido de vírgula e o comando numer. Quando um dos números da fração é real,o Maxima dará a resposta diretamente na forma decimal.

Exercício 2: Obter o valor numérico de:

a) b)

c)

No Maxima, as constantes devem ser escritas usando o símbolo %. Porexemplo, o número π deve ser escrito %pi, o número de Euler como %e e aconstante imaginária i como %i. Assim como no comando, na resposta tambémaparecerá %constante para indicar a constante. Caso você não deseja que apareça o

símbolo % na resposta, você pode desmarcar a opção Manter símbolo de percentualcom símbolos especiais na aba Editar – Configurações.



O símbolo %, quando digitado sozinho, refere-se ao último resultadoapresentado. Você ainda pode acessar a saída de comandos anteriores usando avariável %on onde n é o número da saída.

Para fazer operações envolvendo números complexos utiliza-se também a

constante %i, além de usar o comando expand para expandir o cálculo.

Exemplo: Multiplicar 5+3i e 2+4i.Com o comando expand((5+3*%i)*(2+4*%i)); , obtém-se 26%i – 2.

O comando expand também pode ser utilizado para expandir outrasexpressões matemáticas.

Exemplo: Expandir .

Com o comando expand((x+y)^2); obtém-se .

Exercício 3: Expandir as seguintes expressões:a)

b)

c)

2.2- Algumas funções

Na tabela a seguir estão descritas algumas funções matemáticas básicas noMaxima:

Função Significadosqrt (x) raiz quadrada de xabs (x) módulo de xexp (x) exponencial de x

log (x) logaritmo natural de xn! fatorial de n

sin (x) seno de xcos (x) cosseno de xtan (x) tangente de x

O Maxima não possui uma função pré-definida para logaritmo de base 10ou de outras bases. Por exemplo, podemos definir o logaritmo na base 10 através

do comando log10(x):=log(x)/log(10);, que nada mais é que aplicar a propriedade



de mudança de base. Neste caso em particular, para obter o valor numérico delog10(100), escrevemos o comando log10(100), numer;

Exercício 4: Obter o valor numérico de:

a) b)

2.3- Definindo variáveis e resolvendo equações

Para atribuir valores ou expressões a variáveis é preciso digitar a variávelseguida de dois pontos e seu valor ou expressão. Desta forma, será possível realizarcálculos utilizando esses valores. Quando quisermos remover (limpar) um valoratribuído a uma variável, usa-se o comando kill .

Exemplo: Atribuindo valores a duas variáveis, realizar um determinadocálculo com elas e, por fim, remover seus valores:

(%i1) x:5;(%o1) 5(%i2) y:8;(%o2) 8(%i3) x^2+2*y;

(%o3) 41(%i4) kill (x);(%o4) done(%i5) kill (y);(%o5) doneObservemos que agora, ao inserir o comando x; o Maxima não retorna o

valor atribuído a x anteriormente.Notemos também que, no exemplo anterior, não era necessário mostrar os

valores de x e y. Nesse caso, basta usar o símbolo $ ao invés de ponto-e-vírgula ao

final da expressão, para que o valor não seja mostrado.(%i6) x:5$(%i7) y:8$(%i8) x^2+2*y;(%o8) 41

Para resolver uma equação, usa-se o comando solve. Este comando ébastante útil e pode ser usado de várias maneiras, como, por exemplo, resolver umaequação de duas incógnitas e mostrar a solução em função de uma delas; ou

resolver várias equações e fornecer o valor de cada variável. De maneira geral, o



comando para resolver uma ou mais equações é solve([eq1,eq2,...],[var1,var2,...]);.

Exemplo: Resolver o sistema de equações lineares

.

Neste caso, usamos o comando solve([x+y=2, x-y=0],[x,y]); e obtemos[[x=1,y=1]]. Ou seja, a solução do sistema é o ponto (1,1).

Exemplo: Observar os resultados para os seguintes comandos:a) solve(3*x-4=0); . Como há somente incógnita x, o Maxima irá isolá-

lo, retornando o resultado .

b) solve(x-2*y+1=0,y);. Isolará a variável y e retornará .

c) solve([x+2*y=5,y+x=8]);. Resolverá este sistema linear de duasequações e duas variáveis, retornando e .

d) solve([x-y=0,x^2+y^2=1]);. Obterá os valores de x e y que

satisfazem este sistema não linear, retornando

e

.

e) solve([x-2*y=3,2*x-4*y=6]);. Como estas equações são LD (uma émúltipla da outra), há infinitas soluções que satisfazem este sistema, por isso, oMaxima retorna que as equações são dependentes e atribui um parâmetro para

uma das variáveis. Nesse exemplo, retornam e .

Exercício 5: Resolver os seguintes conjuntos de equações:a) =0b) c)



3. Gráficos de funções em duas dimensões

Neste capítulo veremos os comandos para traçar gráficos em duas dimensões

e opções para a construção dos mesmos.

3.1- Funções Explícitas

Para plotar o gráfico de funções explicitamente, usa-se o comandowxplot2d([funç1,funç2,...],[x,a,b]);. Com esse comando, pode-se plotar uma oumais funções em um mesmo plano cartesiano, definindo um mesmo domínio paraas funções com a opção [x,a,b].

Exemplo: Para plotar o gráfico da função digita-se wxplot2d(x^2,[x,-2,2]); no Maxima e obtém-se:

Note que, nesse caso, apenas restringiu-se o domínio da função. É possíveltambém limitar o intervalo em y. Por exemplo, ao digitar wxplot2d(x^2,[x,-2,2],[y,-2,6]);, têm-se:



Exemplo: Para plotar a função afim , usa-se o comando:

wxplot2d([2*x-1], [x,-2,3]);, obtendo o gráfico:

Exemplo: Observe que a função tem como inversa a função

. Plotando as funções , e a bissetriz y=x de formaconjunta através do comando wxplot2d([1/3*x+1, 3*x-3, x], [x,-5,5], [y,-5,5]);onde restringimos o intervalo em y de maneira conveniente, podemos observar asimetria entre os gráficos de e em relação a bissetriz.

Obs: Devido à escala dos eixos o gráfico não fica exatamente simétrico, mas

é possível aproximar-se dessa simetria com uma escolha adequada para a variaçãodos intervalos em x e em y.

Exemplo: Construir de forma conjunta o gráfico das seguintes funções: , e e observar ainfluência do parâmetro no gráfico dessas funções, usando o comandowxplot2d([5*x^2-3*x+2, 10*x^2-3*x+2, 15*x^2-3*x+2], [x,-15,15]);



Exemplo: Plotar

. (Lembre-se que o comando

no

Maxima é logaritmo na base natural . Para plotar na base 2 deve-se fazer mudançade base, log2(x):=log(x)/log(2);). E finalmente, usamos o comando wxplot2d(log2(x),[x,-5,5]); para plotar o gráfico da função desejada.

Exemplo: Observe o gráfico da função seno através do comandowxplot2d(sin(x),[x,-2*%pi,3*%pi]);



Dada a função qual a influência dos parâmetros a,

b, c e d em relação a função ?

Exemplo: Plotar o gráfico das seguintes funções em um mesmo planocartesiano: , e

Usando o comando wxplot2d([sin(x),3*sin(x), (1/3)*sin(x)], [x,0,2*%pi]);

observe no gráfico que o parâmetro que multiplica a função seno, altera aamplitude do gráfico.

Exemplo: Plotar o gráfico das seguintes funções em um mesmo plano

cartesiano: , e Usando o comando wxplot2d([sin(x),sin(2*x),sin(1/2*x)], [x,0,4*%pi]);

observe que o parâmetro modificou o período da função seno. No gráfico de

o período foi dividido por 2 e no gráfico de foi

multiplicado por 2.

Outra maneira de plotar uma função é defini-la primeiramente e após usar o

comando wxplot2d .



Exemplo: Definir a função e plotar seu gráfico.(%i1) f(x):=abs(x+1);(%o1) f(x)=|x+1|(%i2) wxplot2d(f,[x,-5,5]);

(%o2)

Exercício 1: Plote o gráfico das seguintes funções:a) b) c) d) +4e)

f)

3.2- Funções Implícitas

Para plotar o gráfico de funções implicitamente, deve-se, primeiramente,carregar o pacote load(implicit_plot); para então usar o comando

wximplicit_plot([funç1,funç2,...],[x,a,b],[y,c,d]);. Nas funções plotadasimplicitamente é necessário dar a variação do x e do y. Observação: O Maxima pode falhar em expressões que considera

complicada. Este fato pode ser observado no exemplo abaixo, em que o Maximaplota erroneamente um gráfico simples.

Exemplo: Plotar a função implícita .Primeiramente, carrega-se o pacote load(implicit_plot); e plota-se a função

com o comando wximplicit_plot(x-sqrt(1-y^2)=0,[x,-5,5],[y,-5,5]);.



Funções mais simples o software plota normalmente, mas é importante ter

atenção quanto ao gráfico, pois todo programa pode falhar!

Exemplo: Plotar o gráfico da função . Usando o comandowximplicit_plot(x*y=1,[x,-5,5],[y,-5,5]); obtém-se:

Exemplo: Plotar o gráfico da função implícita . Usando ocomando wximplicit_plot(x^2-y^2=1,[x,-10,10],[y,-10,10]);, obtém-se:

Exemplo: Plotar o gráfico da função implícita

. Use o

comando wximplicit_plot(cos(y)-x^2+1=0,[x,-2,2],[y,-10,10]); para obter



Exemplo: Plotar o gráfico da função com o comandowximplicit_plot(4*x^2-2*y=6, [x,-5,5],[y,-3,3]); obtendo

Exercício 2: Plote as seguintes funções implícitas:a) b)

3.3- Funções Paramétricas

Pode-se ainda plotar funções paramétricas usando o comandowxplot2d([parametric, x(t),y(t),[t,a,b]]);. No caso dos gráficos paramétricos não énecessário indicar o intervalo da variável horizontal x, já que o intervalo doparâmetro t determina o domínio. No entanto, como os gráficos são representadosnuma proporção de 4 para 3 entre os eixos horizontal e vertical, usa-se a opção [x,-

4/3/,4/3] para obter a mesma escala nos dois eixos. Por exemplo, quando se desejaplotar uma circunferência de raio 1, centrada em (0,0), o gráfico será visualizado deforma correta, caso contrário, a visualização parecerá distorcida.

Exemplo: Plotar o gráfico da circunferência de raio 1 na forma paramétrica.



Lembre-se que a parametrização para a circunferência de raio 1 é e , . Usando o comandowxplot2d([parametric,cos(t),sin(t),[t,0,2*%pi]],[x,-4/3,4/3]); obtém-se

De maneira geral, a equação paramétrica de uma circunferência de raio e

centro é dada por

Exemplo: Plotar de forma paramétrica a circunferência de raio 2 e centro(1,1).

Usando o comando wxplot2d([parametric, 1+2*cos(t),1+2*sin(t),[t,0,2*%pi]]); obtém-se

Note que o Maxima plota, aparentemente, uma elipse, pois as escalas nãosão as mesmas nos dois eixos. Mas, sabe-se que, a equação paramétrica de uma

elipse é dada por , onde e são os semieixos da elipse com

centro em . No caso particular r1=r2=r, temos o caso particular dacircunferência de raio r.

Exemplo: Plotar a elipse na forma paramétrica.



Sabendo que

é a equação reduzida da elipse centrada em (0,0),

tem-se que a equação na forma paramétrica é dada por . Logo,

usando o comando wxplot2d([parametric, 2*cos(t),sin(t),[t,0,2*%pi]]); obtém-se

Exemplo: Plotar na forma paramétrica a reta . Usando ocomando wxplot2d([parametric,t,2*t+1,[t,-10,10]]);, têm-se:

Exercício 3: Plote na forma paramétrica as seguintes equações:

a)

b) c)

d)

e)

3.4- Outras opções de plotagem para gráficos



Além de ser possível plotar gráficos explicitamente, implicitamente e deforma paramétrica, ainda tem-se algumas opções para personalizar seu gráfico, amaioria delas é feita por listas do tipo [comando,opção1,opção2,...]. Veja algumasopções de comandos:

A opção xlabel pode ser usada para dar um texto que identificará o eixohorizontal. Se essa opção não for usada, o eixo será identificado com o nome davariável indicada em [x,a,b]. Analogamente, o texto para identificar o eixo verticalpode ser indicado com a opção ylabel .

Exemplo: Plotar o gráfico de , modificando o nome do eixo x parafunção_quadrática e do eixo y para f(x)=x^2.

Usando as opções xlabel e ylabel plota-se o seguinte comando:wxplot2d(x^2, [x,-5,5],[xlabel,função_quadrática],[ylabel,f(x)=x^2]); e obtém-

se:

Quando plota-se mais de um gráfico no mesmo plano cartesiano, o Maximaatribui uma legenda através das expressões das funções.

Exemplo: Plotar num mesmo plano cartesiano os gráficos de e

.Usando o comando wxplot2d([x^2,x^3],[x,-2,2],[y,-2,2]); tem-se:



Mas, pode-se modificar essa legenda através de uma lista com o comandolegend da seguinte maneira [legend,nome_função1,nome_função2,...].

Exemplo: Plotar os gráficos do exemplo anterior, dando nome às funções nalegenda.

Usando o comando wxplot2d([x^2,x^3],[x,-2,2],[y,-2,2],[legend,quadrática,cúbica]); tem-se:

A palavra style deverá ir seguida por um ou mais estilos. Se houver maisfunções e conjuntos de dados do que os estilos definidos, serão repetidos estilos.

Cada estilo poderá ser lines para segmentos de reta e points para pontos isolados. lines admite um ou dois números: a largura da linha e um inteiro que

identifica uma cor; points admite um ou dois números: o primeiro número é o raio dos

pontos, e o segundo número é um inteiro que permite selecionardiferentes formas e cores;

Veja alguns exemplos:



Exemplo: Plotar o gráfico da função mudando o estilo com ocomando style.

Através do comando wxplot2d(tan(x),[x,-5,5],[y,-5,5],[style,[lines,3,5]]); tem-se um gráfico onde a linha tem espessura 3 e cor 5.

Exemplo: Plotar as funções e usando o comando style. Através do comando wxplot2d([x,2*x],[x,-

5,5],[style,[lines,1,2],[points,0.5,3]]);, obtém-se:

Observação: A numeração para cores pode variar dependendo da versão do

software Maxima.



4. Gráficos de funções em três dimensões

Para plotar um gráfico de uma função de duas variáveis é necessáriaa utilização do comando plot3d.

Para plotar o gráfico de funções explicitamente, usa-se o comandowxplot3d([funç1,funç2,...],[x,a,b],[y,a,b]);. Com esse comando, pode-se plotaruma ou mais funções em um mesmo plano cartesiano, definindo um mesmodomínio para as funções com a opção [x,a,b] e [y,a,b].

Exemplo: Plotar o gráfico de um plano em , definido pela função . Para isso, basta digitar wxplot3d(2-x-y,[x,-1,1],[y,-1,1]);, eobtém-se:

Exemplo: Plotar o gráfico da função , conhecida comosela, digita-se no Maxima wxplot3d(y^2-x^2,[x,-2,2],[y,-2,2]);, e obtém-se:

Outro modo de plotar o mesmo gráfico é utilizando o gnuplot, que permiteo manuseio do gráfico gerado de acordo com o usuário, bastando apenas clicar emcima do gráfico e girá-lo. Neste caso, digita-se plot3d(y^2-x^2,[x,-2,2],[y,-2,2]);,

e uma nova janela é aberta com o gráfico.



Exemplo: Plotar o parabolóide .Com o comando wxplot3d(y^2-x^2,[x,-10,10],[y,-10,10]);, obtém-se

Exemplo: Plotar o cone .Usando o comando wxplot3d(sqrt(y^2+x^2),[x,-4,4],[y,-4,4]); obtém-se:

Exercício 1: Plote as seguintes superfícies no Maxima:a) b)

c)



5. Limites

Diz-se que o limite de quando tende a é igual a L se é possíveltornar os valores de tão próximos de L quanto se quiser, tomando

suficientemente próximo de , mas não igual a e escreve-se .Para calcular o limite de uma função no Maxima, utiliza-se o comando limit ,

da seguinte maneira: escreve-se o comando limit seguido de parênteses, dentrodeles escreve-se a função desejada, e, entre vírgulas, a variável e o ponto para ondea função está tendendo, limit(f(x),x,a);.

Exemplo: Para calcular o limite da função , quando tende a2, escreve-se limit(x^2-4,x,2);, e obtém-se o resultado esperado: 0.

Para o cálculo de limites, usa-se alguns comandos especiais, como inf e minf

(ou –inf ), para designar infinito positivo e negativo, respectivamente. Além disso, emresultados podem aparecer as expressões und (undefined - não definido), ind(indefinido mas associado) e infinity (infinito complexo).

Exemplo: Calcular :Digitando o comando: limit(x^2-x,x,inf);, obtemos o resultado .

No Maxima é possível também calcular os limites laterais. Neste caso,acrescenta-se no comando, entre vírgulas, a opção minus (quando quiser calcular olimite à esquerda do ponto escolhido) ou plus (quando quiser calcular o limite àdireita do ponto escolhido).

Exemplo: Calcular

:

Digitando o comando anterior, obtém-se uma indeterminação. Então,calcula-se os limites laterais, digitando:

limit((x^3-3*x+4)/(x^2-4),x,-2,plus); limit((x^3-3*x+4)/(x^2-4),x,-2,minus);

Assim, obtém-se os resultados e , respectivamente. Portanto, não existe o

limite da função quando tende a .

Exercício 1: Calcular os seguintes limites:

a)

b)



Os limites são muito utilizados na construção de assíntotas e de gráficos defunções racionais.

Exemplo: Plotar o gráfico de

:

Usando o comando: wxplot2d(1/x, [x,-5,5], [y,-5,5]);, obtém-se o gráfico:

Nos pontos de descontinuidade das funções racionais, os gráficos dasfunções aproximam-se muito de uma reta vertical, chamada assíntota vertical. Noexemplo anterior, a assíntota vertical é a reta .

As assíntotas verticais auxiliam no esboço do gráfico de uma funçãoracional e elas são facilmente determinadas através da noção de limite. Diz-se que

é uma assíntota vertical da curva se pelo menos uma das seguintescondições estiver satisfeita:

Exemplo: Obter a assíntota vertical de e plotar o gráfico da

função.O primeiro item a ser analisado em uma função racional é o seu domínio,

nesse caso tem-se que . Mas se f não está definida em x=3, o queacontece com a função com pontos suficientemente próximos de 3? Para respondera esta pergunta deve-se analisar os limites laterais.

Note que, quando tomamos valores pela direita de 3, esses valores sãomaiores que 3. Logo quando , . Assim,

Analogamente, quando tomamos valores pela esquerda de 3, tem-se

. Logo,



Portanto, x=3 é uma assíntota vertical e podemos plotar com maior

facilidade o gráfico de .Para calcular esses limites laterais no Maxima, usa-se os comandos:limit(1/(x-3), x, 3, plus); para limite lateral à direita de 3 e limit(1/(x-3), x, 3,minus); para limite lateral à esquerda de 3.

Para plotar a assíntota vertical no Maxima, precisa-se usar o comando defunção implícita. Para isso, primeiramente deve-se carregar o pacote através docomando load(implicit_plot);. E em seguida, plota-se o gráfico com o comando:wximplicit_plot([f(x,y)=0,g(x,y)=0], [x,a,b], [y,c,d], [style, [lines, espessura, cor],[lines, espessura, cor]]);, onde o comando style permite alterar cor e espessura

dos gráficos, como visto anteriormente.Nesse exemplo, tem-se wximplicit_plot([x=3,y*(x-3)=1], [x,-1,5],[y,-5,5],

[style, [lines,1,4], [lines,2,5]]);, onde a função terá espessura 1 e cor 4 e aassíntota vertical terá espessura 2 e cor 5.

Observe que somente o conceito de assíntota vertical, muitas vezes nãopermite saber o comportamento do gráfico da função:

Exemplo: Dada a função , esboce o gráfico de .

Primeiramente, analisa-se que o domínio da função, onde e em seguida o que acontece próximo de . Temos que

, pois no numerador tem-se um número negativo e no denominador um

número positivo e muito próximo de zero. E, , pois no

numerador tem-se um número negativo e no denominador um número negativo e

muito próximo de zero. Portanto, é uma assíntota vertical da curva .



Na dúvida, pode-se calcular os limites através dos comandos:limit(x/(x+4), x, -4, plus); e limit(x/(x+4), x, -4, minus);.

Observe o gráfico da assíntota vertical:

load(implicit_plot);wximplicit_plot(x=-4, [x,-6,4],[y,-5,5], [style,[lines,2,3]]);

Somente com essa informação, é possível esboçar o gráfico de ? A resposta, obviamente, é não!Pode-se fazer, pelo menos, duas perguntas importantes a repeito do

comportamento desse gráfico: a curva tem interseção com o eixo x? O que

acontece com a curva quando x tende ao infinito? Veja:Para descobrir se há interseção com o eixo x, devem-se encontrar ospontos em que .

Portanto, o gráfico passa pelo ponto (0,0).E quando se pergunta o que acontece no infinito, busca-se saber se há

alguma assíntota horizontal da curva, e isso ocorre quando

ou

No exemplo anterior:

e



Ou, no Maxima, limit(x/(x+4), x, inf); para limite tendendo a + infinito elimit(x/(x+4), x, -inf); para limite tendendo a – infinito.

Portanto, a reta é uma assíntota horizontal.

Essas informações adicionais permitem esboçar o gráfico com facilidade.Vejamos:

load(implicit_plot);wximplicit_plot([x=-4,y=1, y*(x+4)=x], [x,-10,4],[y,-5,5]);

Exercício 2: Obtenha as assíntotas verticais e horizontais, se existirem, àcurva definida pelas seguintes funções. Além disso, construa o gráfico das funções,

juntamente com as assíntotas encontradas. Verifique no software Maxima se seuesboço está correto.

a)

b)

c)

Ainda pode-se ter outro tipo de assíntota para uma função racional que é a

assíntota oblíqua. Sabe-se que a função racional é do tipo , onde

e são polinômios. Se o grau do numerador for uma unidade maior que o graudo denominador, então o gráfico de tem uma assíntota oblíqua do tipo

e a distância vertical entre o gráfico e a assíntota oblíqua tende a zeroquando ou .

Na prática, para descobrir qual é a assíntota oblíqua, divide-se o polinômio por e o resultado dessa divisão será a assíntota oblíqua.

É importante observar que se o gráfico de uma função tem assíntota oblíqua

então ele não terá assíntota horizontal. Da mesma forma, se tiver assíntota



horizontal, não terá assíntota oblíqua. Note também que o gráfico poderáinterceptar uma dessas assíntotas, mas nunca interceptará a assíntota vertical.

Exemplo: Obter as assíntotas da função racional

e esboçar seu

gráfico.Note primeiro que . Há assíntota vertical?

Logo, é uma assíntota vertical.

Há assíntota horizontal? Não!

Para responder isso não é necessário calcular o limite quando ou , basta observar que o grau do numerador é uma unidade maior que o graudo denominador, portanto há uma assíntota oblíqua e não há assíntota horizontal.

Qual é a assíntota oblíqua?Fazendo a divisão dos polinômios tem-se:

Observe que -5 é o resto da divisão e a assíntota oblíqua é a reta .

Para saber se há interseção do gráfico da função com a assíntota oblíqua,calcula-se

e observa-se que não há nenhum x que satisfaça a

igualdade.Para um esboço bem detalhado, verifica-se ainda as interseções com os eixos

cartesianos, e obtém-se os pontos (3,0), (-3,0) e (0,9/4).

Com o esboço feito, verifique suas respostas no Maxima:load(implicit_plot);wximplicit_plot([x=2,y=x/2+1, y*(2*x-4)=x^2-9], [x,-5,5],[y,-5,5]);



Exercício 3: Encontre as assíntotas e construa o gráfico das seguintes

funções:

a)

b)

c)

Exercício 4: Quantas assíntotas horizontais pode ter o gráfico de ? Justifique.



6. Derivadas

Para calcular a derivada de uma função usa-se o comando diff(f(x),x,n) , onde f é a função, x a variável em relação a qual se deseja derivar e n o número de

vezes a se derivar.

Exemplos:1) diff(x^4,x,1);

2) diff(3*x^2,x,3);

3)

diff(x^3+2*y^2,y,1);

OBS: O comando Diff(f,x,n), com D maiúsculo, apenas indica a derivada aser calculada.

Exemplo: Diff(x^4,x,1);

Exercício 1: Calcule as derivadas das funções indicadas: a) Derivada segunda de b) Derivada primeira de c) Derivada terceira de d) Derivada primeira de , em relação a .e) Derivada primeira de

f) Derivada décima quinta de

g) Derivada sétima de

Também, através deste comando é possível calcular derivadas parciais.Exemplos:

1) Calcular a derivada primeira em relação a x e derivada segunda emrelação a y da função . Comando: diff(x*y^2,x,1,y,2);

2) Calcular a derivada primeira em relação a x e derivada primeira emrelação a y da função Comando: diff(y^3*cos(2*x),x,1,y,1);

Exercício 2: Calcule as derivadas parciais das funções indicadas:



, derivada primeira em relação à y e derivadasegunda em relação à x;b) , derivada segunda em relação à z e derivadaprimeira em relação à x;

c) , derivada primeira em relação à y e derivada primeira

em relação à x;d) , derivada segunda em relação à z e derivada segundaem relação à y.

6.1- Gráfico das funções e suas derivadas

Segue alguns exemplos do gráfico da função e sua derivada.

Exemplos:1) e

Comando: wxplot2d([x^2+2*x-1, 2*x+2], [x,-5,5], [y,-5,8]);

2)

,

e

Comando: wxplot2d([x^2+2*x-1,2*x+2, 2], [x,-5,5], [y,-5,8]);



Exercício 3: Calcule as derivadas solicitadas e faça o gráfico da função e

suas derivadas:

a) Até a derivada segunda de ;

b) Até a derivada terceira de ;c) Até a derivada primeira de

6.2- Interpretação geométrica da derivada

Uma ideia do significado geométrico da derivada de uma função pode ser

observada ao plotar o campo de direções de uma função. Para isso, inicialmentedevemos carregar o comando load(plotdf); e então plotar plotdf(f’(x));.

Exemplo: Calcular a derivada primeira de e a seguir plotar o seucampo de direções.

diff(x^2,x,1);plotdf(%);



Observe que, se clicarmos sobre um determinado ponto no gráfico,aparecerá a curva que passa pelo ponto, que é exatamente uma parábola.



6.3- Máximos e mínimos

Para determinar os pontos de máximo e mínimo de uma função,inicialmente é necessário encontrar os pontos críticos da função. Após, analisar se

são de fato, ponto de máximo, de mínimo ou nenhum dos dois. Existem doisteoremas do Cálculo que são essenciais nesta tarefa.

Teorema 6.3.1 (Teste da derivada primeira)Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a,b], que possui derivada

em todo ponto do intervalo aberto (a, b), exceto possivelmente num ponto c.i) Se para todo e para todo , então f tem

um máximo relativo em c.ii) Se para todo e para todo , então f tem

um mínimo relativo em c.Vamos utilizar o Maxima como ferramenta para encontrar os máximos e

mínimos de uma função.

Exemplo: Obter os pontos de máximo e mínimo relativos da função .

Primeiro calcula-se , com o comando: diff(x^3-7*x+6,x,1); obtendo-se .

A seguir, resolver a equação

através do comando: solve([3*x^2-

7], [x]); obtendo e

, os quais são os pontos críticos de .

Seguindo uma análise pelo teorema acima tem-se que para e

, . Para

tem-se . Assim, pelo Teste da

derivada primeira, conclui-se que tem um máximo relativo em e um

mínimo relativo em .

Para melhor visualização, construa o gráfico da e observe o máximo e

mínimo relativo.Comando: plot2d([x^3-7*x+6], [x,-15,15], [y,-15,15]);



Teorema 6.3.2 (Teste da derivada segunda)

Seja f uma função contínua em um intervalo [a,b] e derivável em (a, b). Alémdisso, seja c um ponto crítico de f no intervalo (a, b), isto é, tal que fadmite a derivada segunda em (a, b), então:

i) Se , f tem um valor máximo relativo em c.ii) Se , f tem um valor mínimo relativo em c.

Exemplo: Obter os máximos e mínimos relativos de , aplicando o teste da derivada segunda.

Primeiro calcula-se através do comando: diff(-4*x^3+3*x^2+18*x,x,1); obtendo . A seguir, obtém-se pelo comando: diff(-4*x^3+3*x^2+18*x,x,2);

retornando .Resolvemos a equação , com o comando: solve([-

12*x^2+6*x+18], [x]); obtemos e . Como

<0

segue que é um ponto de máximo relativo de Seu valor máximo

relativo em é dado por .

Analogamente como >0 segue que é um ponto demínimo relativo de Seu valor mínimo relativo em é dado por

.

Para melhor visualização, construa o gráfico da e observe o máximo emínimo relativo.

Comando: wxplot2d([-4*x^3+3*x^2+18*x], [x,-5,5], [y,-25,25]);



7. Integrais

7.1- Integral indefinida ou definida

Para integrar uma função usa-se o comando integrate(f, x), onde f é a funçãoe x a variável em relação a que deseja integrar. Usa-se o comando acima quando sequer uma integral indefinida. Caso queira uma integração definida usa-se ocomando integrate(f, x, a, b);, onde a e b são os limites de integração.

Exemplos:1) integrate(x^2,x);

2) integrate(x^2+y^2,y);

3) integrate(x^3,x,0,1);

7.2- Calculando áreas com integrais definidas

Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se é uma funçãocontínua no intervalo , e , isto é, é uma primitiva ou anti-derivada de , então

Exemplo: Usar a integração para calcular a área da região delimitada peloeixo x e pela função , no intervalo .

Geometricamente:



No Maxima, usando o comando integrate(2*x+1, x, 1, 3); obtém-se 10, ou

seja, a área desta região é 10 unidades de área.

Exercício 1: Use integração para calcular a área das regiões delimitadas peloeixo x e pelas seguintes funções:

b) Analise as três respostas.

7.3- Área de uma região delimitada por duas funções

Considere f e g funções contínuas em um intervalo [a,b] tais quef(x)≥g(x)≥0, ou seja, os gráficos de f e g estão acima do eixo x e ainda o gráficode f está acima do gráfico de g. Considere, por exemplo, e eobserve a figura abaixo . Como encontrar o valor da área da região que está abaixodo gráfico de f, acima do gráfico de g e entre as retas x=a e x=b?



Observe que a área procurada pode ser obtida descontando a área da regiãosob o gráfico da g, da área da região sob o gráfico da f. Em outras palavras, emtermos de integrais temos

No caso do exemplo em particular, temos:

Exemplo: Calcular a área da região delimitada pelos gráficos das funções e .

No Maxima, a visulaização desta região pode ser obtida pelo

comando: wxplot2d([x^2,-x^2+4*x], [x,0,3], [y,0,5]); Primeiramente usando o comando solve([-x^2+4*x=x^2], [x]);encontra-se x=0 e x=2, que são os valores de x onde as funções seinterceptam;

Para encontrar a área procurada usa-se o comando integrate(-x^2+4*x, x, 0, 2) - integrate(x^2, x, 0, 2);, encontrando assim aárea igual a 8/3.

Exercício 2: Calcule a área da região delimitada pelo gráfico das funçõesindicadas.

a) e ;

e e .



8. Referências Bibliográficas

Introdução ao Software MAXIMA. Disponível em<http://cmup.fc.up.pt/cmup/v2/include/filedb.php?id=289&table=publicacoes&fie

ld=file> Acesso em 11 jan. 2013.

O Emprego do Software Maxima no Apoio ao Ensino da Matemática. Disponível em <http://www.inf.unioeste.br/~rogerio/Tutorial-modII-parteB-funcoes-trig.pdf> Acesso em 11 jan. 2013.

Apostila Minicurso Maxima 2012

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