Prefeitura Municipal de Santos ESTÂNCIA BALNEÁRIA

SECRETARIA DE EDUCAÇÃO DEPARTAMENTO PEDAGÓGICO

Módulo I

Equipe Interdisciplinar

Ensino Fundamental

Santos 2003

ÍNDICE I – Introdução II – Calculadora 1. Calculadora: deve ser usada? 2. A calculadora como ferramenta de trabalho (PCN). 3. Atividades propostas. III – Alfabetização Estatística 1. Pesquisa sobre analfabetismo funcional em Matemática. 2. Atividade: tabela e operações. IV – Resolução de Problemas. 1. Atividades Propostas. V – Bibliografia.

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I – INTRODUÇÃO A Matemática – Em conversas informais com alunos e pessoas, escutamos frases como: “sou péssimo em Matemática”, “não consigo entender Matemática etc.” Quantas vezes já ouvimos frases como estas? Talvez esse modo tenha sido gerado por aprendizagens de regras sem nenhum significado, sem ligação com as experiências vividas pelos alunos proporcionando a eles um amontoado de nomes e conceitos, descontextualizados, que em nada lhes dizem respeito, como nos alerta Ronca (1980): “ Muitas vezes, os professores e educadores ficam tão preocupados com o significado denotativo que se esquecem que os conceitos provocam reações à parte das experiências vividas pelos alunos e insistem em conceitos e palavras que não têm nada a ver com a experiência concreta dos seus alunos.” Com o objetivo de ilustrar essa compreensão, apresentamos, a seguir, uma história na qual o autor consegue nos divertir e, ao mesmo tempo, nos revelar, de forma explícita, a angústia que pode causar algumas aulas de Matemática

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II – CALCULADORA

1. Calculadora: deve ser usada? A mão do homem é a primeira máquina de calcular de todos os tempos. Foi por meio dos dedos das mãos e dos pés, que o homem primitivo aprendeu a contar para controlar os rebanhos necessários ao seu sustento. A origem da civilização, com o conseqüente desenvolvimento do comércio, fez com que o homem criasse instrumentos mais sofisticados para a contagem de objetos, como, por exemplo, os diversos tipos de ábaco. A calculadora deve ser entendida como uma das etapas de todo esse processo de desenvolvimento. É de fundamental importância que os alunos sejam colocados em contato, desde as séries iniciais, com esses primeiros instrumentos de cálculo, inclusive a calculadora. Os alunos devem compreender a calculadora, para utilizá-la com mais consciência, como uma continuação de dedos, pedrinhas, riscos, nós numa corda, ábacos etc. Em qualquer etapa do aprendizado, a calculadora pode ser utilizada com o objetivo de o aluno aprender e assimilar processos matemáticos, e não somente simplificar cálculos. O professor pode e deve utilizar a calculadora nos momentos que julgar adequados, mas é de fundamental importância ensinar ao aluno ao significado e a técnica de uma calculadora, assim como utilizá-la com o objetivo claro e concreto de o aluno assimilar, por meio dela, conceitos matemáticos.

Fonte: Oscar Guelli - Matemática. Uma aventura do pensamento. Editora Ática. 2. A calculadora como ferramenta de trabalho.

Afinal, devemos ou não utilizar as calculadoras?

No mundo atual, cálculos com lápis e papel devem conviver com outras modalidades, como o cálculo mental, as estimativas e o cálculo produzido pelas calculadoras. Portanto, não se podem privar as pessoas de um conhecimento importante em sua vida. A calculadora é um recurso útil para verificação de resultados, correção de erros, podendo ser um valioso instrumento de auto-avaliação. Como exemplo, imagine um aluno desafiado a descobrir e a interpretar os resultados que obtém quando divide um número sucessivamente por dois. Se começar pelo 1, obterá 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625, 0,03125; 0,015625. Usando a calculadora, é possível comparar os resultados, levantar hipóteses e estabelecer relações entre eles, construindo significados para esses números.

Fonte: Nova Escola - PCN 5ª a 8ª série - Janeiro / Fevereiro/ 2003

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3. Atividades Propostas. Trabalhando com a calculadora. Material Necessário: Calculadora

Desenvolvimento: Solicite aos alunos que tragam, para a classe, calculadoras simples. Trabalhando individualmente ou em duplas, os alunos vão discutir o funcionamento da calculadora, identificando a função de cada tecla, o armazenamento de informações (memória) etc. Depois, eles serão desafiados a: 1. Fazer aparecer no visor da calculadora um certo número (5680, por exemplo), sem teclar o número diretamente, mas usando: a) uma adição; b) uma subtração; c) uma multiplicação; d) uma divisão.

Por exemplo: 5680 = 5000 + 680.

2. Fazer aparecer no visor da calculadora, números determinados, usando para isso, apenas as teclas 1 e 0, e das operações. Por exemplo:

2034 = 1000 + 1000 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1. 3,21 = 1 + 1 + 1 + 0,1 + 0,1 + 0,01 3.Usar a memória da calculadora para escrever: 2345 = (2x1000) + (3x100) + (4x10) + 5. 4. No visor, aparece, por exemplo, 374309. Como substituir esse número por 324309, sem apagar o primeiro? Outras substituições: 4078009 por 4098009 4078009 por 4078039 4078009 por 3077909 403,7 por 540,63 5. No visor, aparece 43,203835. Usando apenas a adição, obtenha um número decimal com três casas após a vírgula. Depois, faça o mesmo, usando apenas a subtração. 7

6. Sem usar a tecla: da calculadora, encontrar o quociente e o resto da divisão de 67563 por 243. 7. Efetuando apenas subtrações, obter o quociente e o resto da divisão de 122 por 14. 8. Descobrir os números que estão ocultos, dando um tempo necessário, de acordo com a quantidade e o conhecimento dos alunos a respeito das operações. Pedir a alguns alunos que apresentem suas soluções à classe. Na apresentação das soluções, aparecerão casos em que os alunos usaram a adição para encontrar a resposta e outros em que foi usada a subtração. Aproveitar para discutir essas soluções, mostrando a importância de usar várias estratégias para se chegar a uma solução, escolhendo, em seguida, a que for melhor. Utilizando a calculadora, os alunos poderão, ao final, verificar se os resultados obtidos estão corretos.

+

+

+ 9. Des quanti Após e discu lousa para tr propri produ

cobrir os números que estão ocultos, dando um tempo necessário, de acordo com a dade e o conhecimento dos alunos a respeito das operações. a realização da tarefa, forme duplas de alunos para que confiram os resultados obtidos tam respostas diferentes que possam ter ocorrido. As correções podem ser feitas na

e também utilizada a calculadora, como recurso, quando o professor pode aproveitar abalhar nomenclatura relativa à multiplicação (fator, produto etc) e também as edades: comutativa, o elemento neutro: um e o zero como fator de anulação do to.

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10. Descobrir os números que estão ocultos, dando um tempo necessário (aula dupla preferencialmente), de acordo com a quantidade e o conhecimento dos alunos a respeito das operações. Após a realização da tarefa, forme duplas de alunos para que confiram os resultados obtidos. As correções podem ser feitas na lousa e também utilizando a calculadora, como recurso, quando o professor pode aproveitar para trabalhar as nomenclaturas relativas às operações apresentadas, assim como as propriedades das mesmas. Foi utilizado o método longo na operação divisão, com o objetivo de o aluno trabalhar utilizando as operações: multiplicação e subtração. Após esse processo, o professor pode trabalhar a mesma operação (divisão), utilizando o método breve.

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11. Descobrir qual a operação realizada, observando o resultado e analisando os dois números apresentados em função das quatro operações (adição, subtração, multiplicação, divisão). Por exemplo: se números digitados * forem 50 e 50, o aluno poderá, observando os resultados, descartar as operações subtração e divisão uma vez que os resultados apresentados são: 100 e 2500. Logo, restam a multiplicação e a adição, que serão escolhidas observando a ordem dos resultados e os conceitos das operações. O professor poderá sugerir como enunciado (orientando o processo) para a atividade: 11

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Trabalhando com estimativas 12. Descobrir o resultado mais provável, analisando os resultados apresentados em função da ordem dos algarismos e do conceito das operações indicadas.

III – ALFABETIZAÇÃO ESTATÍSTICA É possível ensinar alunos a coletar dados e construir gráficos já nas séries iniciais.

Paola Gentile Quais animais preferidos das crianças da 1ª série? Quantos alunos comem verdura? Quanto mede a mão de cada um deles? Curiosidades como essas podem acabar com uma simples contagem ou servir de base para um projeto capaz de iniciar seus estudantes no desenvolvimento de diversas competências, como coletar informações, organizá-las e representá-las na forma de gráficos ou tabela -além de interpretá-las criticamente. 13

Para que ler gráficos? A esse conjunto de saberes foi dado o nome de Tratamento de Informação, tratado nos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática como parte da alfabetização. Justifica-se: só está alfabetizado quem sabe ler e interpretar dados numéricos dispostos de forma organizada. “Os meios de comunicação usam essa linguagem diariamente. Por isso, é preciso decodificar essas representações visuais”, diz Diva Marília Fleming, da Universidade do Sul de Santa Catarina. Maria Sueli Monteiro, consultora do Prêmio Victor Civita, diz que, muitas vezes, os trabalhos de Tratamento da Informação terminam na produção de gráficos, sem ensinar a relacionar os dados nem a criticá-los. “É essencial propor questões com base nesse tipo de representação visual”, avalia. Nunca é cedo demais Os conteúdos do Tratamento da Informação podem ser introduzidos nos primeiros ciclos, com questão simples como as lançadas no início deste tema (texto inicial). A pesquisa adquire consistência com o uso de alguns procedimentos científicos, como a organização de dados de forma livre, a montagem de tabelas e a escrita de um pequeno relatório como conclusão. A partir da 5ª série, é possível produzir representações visuais baseadas em textos jornalísticos ou científicos e iniciar os estudantes no raciocínio combinatório, usando para isso materiais de uso comum – um bom exercício é combinar duas camisetas com três bermudas e calcular a quantidade de pares que podem ser formados. Para desenvolver um bom trabalho nessa área, a pesquisadora Clayde Regina Mendes, coordenadora do Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Campinas, sugere um roteiro adequado a todos os níveis. A seguir, uma adaptação dos principais conceitos propostos. 1. Definição do tema Decida com a turma o assunto a estudar (a votação pode gerar uma tabela). Em caso de questões polêmicas, como sexualidade ou drogas, convoque uma reunião com os pais para explicar o trabalho.Sempre que possível, convoque colegas de outras disciplinas para enriquecer o estudo. 2. Leitura do registro Busque, junto com os alunos, informações sobre o tema e faça os próprios estudos para dirigir o trabalho. 3. Objetivos Especifique as metas da pesquisa. Levante as questões que serão respondidas no final do processo. Peça que a turma opine sobre os possíveis resultados (levantamento de hipóteses) e não se esqueça de registrar sempre as hipóteses para, mais tarde, compará-las com as conclusões. 14

4. Público – alvo Defina com os estudantes quem serão os entrevistados. Assim, fica mais fácil adequar a linguagem ao público na hora de elaborar as perguntas. 5. Instrumentos de pesquisa Elabore com os alunos questões básicas, curtas e objetivas. As respostas dispostas em forma de alternativas vão facilitar a compreensão pelo entrevistado e, sobretudo, a posterior tabulação. Denomina-se formulário quando as anotações são feitas pelo pesquisador mediante as respostas do entrevistado; e questionário quando o entrevistado anota as próprias respostas. Gravador, lápis e papel são os instrumentos mais utilizados para fazer a entrevista. 6. História Conte um pouco da história da estatística, se houver interesse da garotada. Com o desenvolvimento das sociedades primitivas, surgiu a necessidade de conhecer numericamente os recursos disponíveis para tomar decisões. A palavra estatística apareceu pela primeira vez no século XVIII, proferida pelo alemão Gottfried Achemmel. Ela vem de statu, que quer dizer estado, em latim. 7. Coleta de dados Oriente os alunos a se apresentarem ao entrevistado, explicar os objetivos da pesquisa e perguntar se ele concorda em responder às questões. Caso a pessoa se recuse, o grupo não pode desanimar. Deve agradecer a atenção e procurar outro entrevistado. 8. Organização dos dados Numere os formulários, para evitar que eles sejam analisados duas vezes. A tabulação pode ser feita em duplas. 9. Conteúdos Avance nos conteúdos de Matemática conforme o nível da turma. Intervalo, fração, razão, ângulo, cálculos, proporções e porcentagem são itens que surgem naturalmente. Se os alunos têm condições de explorá-los...Para reforçar, elabore exercícios baseados em notícias de jornal ou revista. 10. Tabelas e gráficos Ensine os alunos a organizar os dados. Régua, compasso, lápis, transferidor e papel milimetrado são essenciais. Tabelas organizam informações em linhas e colunas, enquanto gráficos usam imagens (barras, setores, linhas ou setores circulares). Com as turmas mais avançadas, compare as tabelas publicadas na mídia (que têm títulos curtos e muitas cores)

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com as feitas para trabalhos científicos (que precisam seguir normas da Associação Brasileira de Normas Técnicas, bem mais formais). 11. Análise dos dados Elabore perguntas cujas respostas possam ser deduzidas das representações e relacionadas com o conhecimento adquirido nas leituras iniciais. O ideal é que esse procedimento se repita ao longo de todo o projeto, mas com as tabelas e os gráficos prontos, fica mais fácil levar os dados. Assim todos vão reforçar o raciocínio crítico. 12. Relatório Mostre como se faz produzir um relatório. O documento – padrão tem introdução, objetivos, uma descrição de como os dados foram colhidos, o nome dos pesquisadores, os resultados, as tabelas e os gráficos produzidos e uma conclusão final. 13. Avaliação Faça anotações durante todo o projeto sobre as observações e o raciocínio dos alunos. Anote tudo para aprimorar o próximo projeto. É fundamental analisar o relatório final para saber se as idéias estão organizadas de forma a confirmar que houve aprendizado. 14. Divulgação Envie cópias para outros professores e organize uma exposição para os alunos explicarem os procedimentos e conclusões às outras turmas. Fonte: Nova Escola - Janeiro e Fevereiro 2003

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1. Pesquisa sobre Analfabetismo Funcional em Matemática.

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Folha de São Paulo – 25/02/2003 2. Atividade: Tabela e operações. 18

Aproveitando o período de férias escolares, a Prefeitura de uma cidade realizou um show musical para jovens e crianças. O show foi apresentado de terça a domingo durante os meses de janeiro e fevereiro. A tabela abaixo foi preenchida por um funcionário da Prefeitura e visa mostrar: ▪ o dia da semana em que o show era mais freqüentado; ▪ o total de freqüentadores do mês de janeiro e do mês de fevereiro; ▪ o total de freqüentadores durante todo o período em que o show se realizou. Caiu um pouco de tinta borrando a tabela. Descubra os números que ficaram ocultos pela mancha.

IV – RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Como se resolvem problemas? A Resolução de Problemas é um dos assuntos mais discutidos atualmente no ensino de Matemática. Há muitas pessoas, no mundo inteiro, estudando a questão. Aqui, apresentamos algumas discussões, que estão longe de esgotar o tema, mas oferecem uma oportunidade para eflexão e quem sabe, para experimentar uma estratégia nova em sala de aula. r

O que é um Problema?

É qualquer situação que exija o pensar do indivíduo para solucioná-la.

O que é um problema matemático?

É qualquer situação que exija a maneira matemática de pensar e conhecimentos matemáticos para solucioná-la. Objetivos da resolução de problemas 19

— Fazer o aluno pensar; — Desenvolver o raciocínio; — Ensinar o aluno a enfrentar situações novas; — Observar a aplicabilidade da Matemática; — Tornar as aulas mais interessantes e desafiadoras; — Dar uma boa base matemática. Como resolvê-los? A solução de um problema pode ser encontrada por diversos caminhos, entretanto, seria interessante uma apresentação das fases de Resolução de Problemas, criada pelo matemático George Polya , que são: 1) Compreender o problema a) O que se pede? b) Quais são os dados e as condições do problema? c) É possível fazer uma figura, um esquema ou um diagrama? d) É possível estimar a resposta? 2) Elaborar um plano a) Plano para solução; b) Estratégia para resolução; c) Lembrar se tem algum problema semelhante que pode ajudar na resolução do problema; d) Tentar organizar os dados em tabelas ou gráficos; e) Tentar resolver o problema por partes. 3) Executar o plano a) Execute o plano elaborado, verificando-o passo a passo. b) Efetue todos os cálculos indicados no plano; c) Execute todas as estratégias pensadas, obtendo várias maneiras de resolver o mesmo problema. 4) Retrospecto ou verificação a) Examine se a solução obtida está correta; b) Existe outra maneira de resolver o mesmo problema? Características de um bom problema

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— Ser desafiador para o aluno; — Ser real para o aluno; — Ser interessante para o aluno; — Ser o elemento desconhecido de um problema realmente desconhecido; — Ter um nível adequado de dificuldade.

Dificuldade de um problema

— Linguagem utilizada; — Tamanho e estrutura das frases; — Vocabulário matemático; — Complexidade dos números.

1. Atividades Propostas. 1) (Puc-MG) Dos 13200 candidatos de um vestibular da Puc-MG, 1400 tinham menos de 18

anos. A taxa de porcentagem daqueles que eram maiores de 18 anos era, aproximadamente (5ª, 6ª, 7ª, 8ª séries)

a) ( ) 81,6% b) ( ) 82,7% c) 89,4% d) 85,2% 2) A área de um quadrado é dada pelo quadrado da medida do lado. Um quadrado tem 9 cm de

lado e sua área corresponde a 45% da área de um retângulo. Nessas condições, qual é a área do retângulo? (5ª, 6ª, 7ª, 8ª séries)

X 9 cm

X 9 cm

A = X²

a) ( ) 150 cm² b) ( ) 160 cm² c) ( ) 180 cm² d) ( ) 200 cm² 3) (UF – MG) A capacidade de um recipiente é 5 litros. Para encher esse recipiente com 70% de uma substância A e 30% de uma substância B foram gastos R$ 1450,00. Se o preço do litro da substância A é de R$ 200,00, então o litro da substância B custa: (5ª, 6ª, 7ª, 8ª séries) a) ( ) R$ 700,00 b) ( ) R$ 750,00 c) ( ) R$ 650,00 d) ( ) R$ 500,00

4) Considere as afirmações: (7ª, 8ª séries) I) 7³ + 7³ = 76 II) 105 : 105 = 10º III) (3 + 5)² = 3² + 5² IV) (6²)³ = 65

Quantas dessas afirmações são falsas? a) ( ) 0 b) ( ) 1 c) ( ) 2 d) ( ) 3 5) Sendo a = 27. 38 . 7 e b = 25 . 36 , o quociente de a por b é igual a: (7ª e 8ª séries)

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a) ( ) 252 b) ( ) 36 c) ( ) 126 d) ( ) 48 6) A figura seguinte representa uma estrela formada por 12 triângulos: (6ª, 7ª e 8ª séries)

A cada triângulo está associado um número, de acordo com os códigos

indicados no quadro seguinte:

Nº + 4

Nº - 10

Nº + 2

Nº - 20

Considerando que o número 28 está associado ao triângulo colorido hachurado, determine os números A, B, C, D e E. A=_______ B=_______ C=_______ D=________ E=________ 7) Considere as afirmações (7ª e 8ª séries) I) 6 é um número irracional II) 16 é um número racional III) 303030,0 ..... é um número irracional IV) 0 (zero) é um número racional Quantas dessas afirmações são verdadeiras? a) ( ) 4 b) ( ) 3 c) ( ) 2 d) ( ) 1 8) Qual é o número que expressa o valo aproximado, com uma casa decimal, da expressão

2 + 3 - 5 (7ª e 8ª séries)? a) ( ) 1,9 b) ( ) 1,1 c) ( ) 0,9 d) ( ) 1

9) Um número real é expresso por O valor desse número é: (6ª, 7ª e 8ª séries) a) ( ) 0,25 b) ( ) 1,25 c) ( ) 1,55 d) ( ) 0,75

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10) Considere o polinômio n² + n + 41. Construa a tabela, atribuindo 10 valores diferentes e consecutivos para “n”. Os quatro primeiros já estão feitos. Utilize a calculadora como recurso para conferência dos resultados.

n n² + n + 41 0 41 1 43 2 47 3 53

a) Há algum fato ou regularidade numérica que chame a sua atenção? b) Calcule o valor da expressão n² + n + 41 para n = 20. c) Calcule o valor da expressão para n = 25.

V – BIBLIOGRAFIA - GUELLI, Oscar. Matemática. Uma Aventura do Pensamento: Àtica. - Revista Nova Escola, Janeiro / Fevereiro – 2003. - Jornal Folha de São Paulo, 25 fevereiro – 2003. - GIOVANNI , José Ruy – Giovanni Junior, José Ruy – Matemática Pensar e Descobrir, São Paulo: FTD, 2000. (Coleção Matemática Pensar e Descobrir). - Parâmetros Curriculares Nacionais. -RONCA, A.C.C. Aprendizagem significativa. IN PENTEADO, W.M.A (org.) Psicologia e ensino. São Paulo: Papelivros, 1980 p. 59 – 83. - História em Quadrinhos: Chico Bento (1995). - POLYA, G A arte de Resolver Problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1978. - DANTE, L.R. Didática da Resolução de Problemas. De Matemática. São Paulo: Àtica, 1989. - Experiência Matemáticas. Secretaria de Estado da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas (2ª versão preliminar) - BIGODE, A. J. L. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2000. (Coleção Matemática hoje é assim). Gabarito 1 – c 2 – c 3 – b 4 – d 5 – a 6 – A = 32, B = 8, C = -2, D = 0, E = -10 7 – b 8 – c 9 – d 10 – a) Os valores numéricos da expressão são números primos b) n = 461 c) n = 691

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