Apostila Matemática Cálculo CEFET Capítulo 10 Apendice
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8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 10 Apendice
1/8
Captulo 10
APNDICE
10.1 Limites
Proposio 10.1. (Unicidade do limite)Se
e
'
; (
) ' 1 3
), ento
'
. Em outras palavras se o limite existe ( um
nmero real), ele nico.
Prova: Se
, ento para todo 678 @
existe B
8@
, tal que se @C E
G I
EC B
ento
E
G
EC T
'
. Se
'
, ento para todo T'
8@ existe B
'
8@ , tal que se @ C E
G I
EC B
'
ento
E
G '
EC T
' . Seja B o menor entre B
e B'
. Em particular,
I G
B
)I b
B
c e G g I p q
r
; logo, existes
1e
tal que @ C E sG
I
EC B e E
G '
E
E
G
s
b
s
G '
E E
G
s
E
b
E
s
G '
EC
CT
'
b
T
'
6
; logo, E
G '
EC
6
, para todo6
8@
; consequentemente,
'
.
Proposio 10.2.
1. Se
8@
, ento existe B8 @
tal que
8
' , para todo
1 I G
B
)I b
B
c e G g I p
.
2. Se
C@
, ento existe B8 @
tal que, para todo
1 I G
B
)I b
B
c e G g I p
tem-se
C
7 .
Prova: 1. Seja6
7 ; ento, existe B8 @
tal que para todo
1 I G
B
)I b
B
c
e
G g I p
; logo,
E
G
EC
7 ou
7C
C
7
2. Exerccio.
Proposio 10.3. Se
e"
, existem, ento para todo )
j 1 3
:
1.
k
b j
n
b j
2.
k
n
k
n
k
n
3.
, se
q
@
4.
k
n
k
"
n
, se 1
.
373
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 10 Apendice
2/8
374 CAPTULO 10. APNDICE
5.
, se
@ e qualquer natural, ou
C@
e um natural
mpar.
6.
k
n
k
n
)
se
"
8@
7. Se
e existe B 8 @ tal que
, para @ C E G
EC B , ento
.
Prova: Provaremos7
e . As demais propriedades ficam como exerccios.
2. Sejam
e
, de definio:
E
G
E
E
G
b
G
E E
EE
G
E
b
E
E E
G
E .Como
, dado6
8 @ existe B
8 @ tal que E
G
E C
6
se @ C E
G
E C B
; logo,
E
EC E
E
b
se @C E
G
EC B
. Por outro lado tambm existe B'
8@
tal que E
G
EC
C
T
'" $ & $ ( ) se @ C E
G
EC B
'
; analogamente, existe B 1 8 @ tal que E
G
EC
T
'" $
$ ( ) . Seja B um
nmero menor queB
)
B
'
eB
1
; ento:E
G
E E
E E
G
E
b
E
EE
G
E
E
E
b
6
b
E
E
6 '
C T
'
b
T
'
6
, se @C E
G
EC B
, onde6
T
'" $
$ ( )
e6 '
T
'" $ & $ ( )
.
7. Para todo6
8@ , existem B
)
B
'
8@ tal que se @ C E
G
EC B
, ento,
G
6
C
C
b
6
e se@
C E
G
EC B
'
, ento,
G
6
C
C
b
6
; considere B menor que B
e B'
; logo, se @C E
G
EC B
;ento,
G
6
C
C
b
6
.
Teorema 10.1. Seja
uma funo com domnioA
nas condies das definies. Ento
se e
somente se os limites laterais existem e
B
D
.
Prova: A condio necessria segue das definies. Reciprocamente, se os limites laterais existem e
B
D
, temos que dado6
8@ existem B
)
B
'
8 @ , tais que se
C
C
b
B
ento
E
G
EC
6
e se
G
B
'
C
C
, entoE
G
EC
6
. Note queB
eB
'
podem ser iguais ou diferentes,(arranje exemplos). Caso B
q
B
'
, considere B
mng
B
)
B
'p
; ento se E
G
EC B
temos que E
G
EC
6
.
10.2 Funes Derivveis
Teorema 10.2. Se
derivvel em
G
ento f contnua em
G
.
Prova: Como
derivvel em
G
, temos:
H G
I
G
G
G G . Devemos provar que
I
G
, o que equivalente a
I
G
G
@ .
I
G G
I
G G
G G
G G
I
G G
I
G G
G G
@P
logo,
I
G
. A recproca do teorema falsa.
Proposio 10.4. SejamQ
Q
eR
R
funes derivveis; ento:
1. Regra da soma: As funesQ S R
so derivveis e
Q S R
H
Q
H
S R
H
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 10 Apendice
3/8
10.2. FUNES DERIVVEIS 375
2. Regra do produto: A funoQ R
derivvel e
Q R
H
Q
H
R
b
Q
R
H
3. Regra do quociente: A funoQ
R
derivvel, e
Q
R
H
Q
H
R
G
Q
R
H
R
' seR
q
@
Provaremos a segunda propriedade; as outras provas so anlogas.
Q R
H
G
Q R
b
G
Q R
Q R
b
G
Q R
Q
b
R
b
G
Q
R
; somando e subtraindo o termoQ
b
R
, obtemos:
Q
R
b
G
Q
R
Q
b
R
b
G
Q
b
R
b
Q
b
R
G
Q
R
; logo,
Q R
b
G
Q R
Q
b
R
b
G
R
b
R
Q
b
G
Q
Ento:
Q R
H
G
Q
b
R
b
G
R
b
R
Q
b
G
Q
; logo,
Q R
H
Q
"
G
R
b
G
R
b
R
G
Q
b
G
Q
)
pois,
G
Q
b
Q
(Q
derivvel, logo contnua). Logo
Q R
H
Q
R
H
b
R
Q
H
.
Teorema 10.3. Regra da Cadeia
Sejam
e
funes, tais que
esteja bem definida. Se
derivvel em
e
derivvel em
, ento
derivvel em
e:
H
H
H
Prova: Se
G
1
A
, provaremos que
H
G
H
G
H
G
. Consideremos a seguintefuno:
! "
G
G
G G se q
G
H
G
se G
contnua em
G
G
, de fato:
"
$
"
I
)
$
"
I
)
G
G
G G
H
G
G
tambm contnua em q
G
, pois para'
q
G
, temos:
(
'
(
'
G
G
'
G G
G
G
G G
diferencivel, logo contnua; ento,
contnua emA
, e:
"
I
G
H
G
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 10 Apendice
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376 CAPTULO 10. APNDICE
Por outro lado, se
q
G
:
G
G
G G
G G
G G
.
No caso que
G
se
q
G
, ambos os lados da ultima igualdade so nulos.
H
G
I
G
G
G G
I
G G
G G
H
G
H
G
Proposio 10.5. Se
uma funo derivvel no intervalo
) I
e
G
1 ) I
um extremo relativo de
, ento
H
G
@ .
Prova: Suponha que
G
um ponto de mximo relativo de
; como
derivvel em
) I
, temos:
H G
I
G G
G G
Mais ainda:
H
G
I
B
G
G
G
G
I
D
G
G
G
G .
i) Se
(
G
, ento
G G
8@
e
G G
@
, logo
H
G
@
.
ii) Se
G
, ento
G G
C@ e
G G
@ , logo
H
G
@ .
De i) e ii) temos que
H
G
@ . A prova para mnimo anloga.
Teorema 10.4. (do Valor Mdio)Seja
) I G
3
contnua e derivvel em
) I
. Ento existe pelo menos um
G1
) I
tal que:
H G
I G
IG
Prova: Considere a funo
G G G
I G
IG
. contnua em ) I
, derivvel
em
) I
e
I
; H
H
G
I G
IG . Pelo Teorema de Rolle aplicado a , existe
G
1
) I
tal que
H
G
@ ; ento: H
G
I G
IG
Interpretao geomtrica da funo auxiliar
i) A equao da reta que passa pelos pontose
)
e
I ) f I
:
G I
IG
G b
ii)
G
, ou seja,
representa a diferena das ordenadas do grfico de
e da reta que passapelos pontos
e
e para os pontos de mesma abscissa. Observe que no desenho anterior,
@ , para
todo
1 ) I
, pois o grfico de
est abaixo da reta que passa pore
e
.
Teorema 10.5. (Teorema do Valor Mdio Generalizado )
Sejam
e
funes contnuas em ) I
e derivveis em
) I
. Se
H
q
@ para todo
1 ) I
, ento existe pelomenos um
G 1 ) I
tal que:
H
G
H
G
I G
I G
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 10 Apendice
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10.2. FUNES DERIVVEIS 377
Prova: i) Observemos, primeiramente, que a expresso do enunciado do Teorema est bem definida. Defato, se
I
, considerando
G
, obtemos
a I
@ ; como
contnua em ) I
e derivvel em
) I
, pelo Teorema de Rolle temos que existe
G 1 ) I
tal que
H
G
@ ; ento
H
G
@
, o que uma contradio com a hiptese do Teorema. Logo,
q
I
.ii) Definamos a seguinte funo:
I G
G
G
G
I G
contnua em ) I
e derivvel em
) I
,
I
e:
H
H I G G
H
I G
Pelo Teorema de Rolle, existe
G 1 ) I
tal que
H
G
@ . Usando a expresso da derivada de
obtemos o resultado.
Teorema 10.6. (LHpital)Sejam
e
funes derivveis num domnioA
que pode ser um intervalo aberto ou uma reunio de intervalosabertos, exceto possivelmente num ponto
e
q
@ , para todo
q
.
1. Se"
@ e"
H
H
, ento:
H
H
2. Se"
e
H
H
, ento:
H
H
Prova: 1. Provaremos que:
B
B
H
H
, o outro caso analogo. Consideremos as funes:
se
q
@ se
e
se
q
@ se
Sejaj
8
,
e
so derivveis em
) j
e
B
B
B
B
@
H
H
e
H
H
em
) j
. Se
1 ) j
; ento e
so contnuas em )
; logo, pelo teorema dovalor mdio generalizado, existe
G
1 )
tal que:
G
G
H
G
H
G
)
como
@ , temos
H
G
H
G se
G 1 )
. Ento:
B
B
I B
H
G
H
G
B
H
H
B
H
H
P
pois se
(
; ento
G
(
.
Fazendo
; ento
H
G
H
' e
H
G
H
' ; logo
(
G
B
"
G
B
H
H
(
H
H
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 10 Apendice
6/8
378 CAPTULO 10. APNDICE
10.3 Funes Integrveis
Proposio 10.6. Se
e
so funes integrveis em ) I
, ento:
1. Linearidade da Integral.
b j
funo integrvel em ) I
, para todo )
j 1 3
e:
b j
b j
2. Monotonicidade da Integral. Se
em ) I
; ento,
3. E
E integrvel e:
4. Sejam
C C
I
e
uma funo integrvel em )
e
)I
respectivamente. Ento
integrvel em ) I
e:
b
Prova: 1. Provaremos que para toda partio de ) I
e para todo 1
)
teremos que
$
$
G
b j
existe. De fato:
$
$
G
b j
$
$
G
b
j
$
$
G
bj
$
$
G
b j
)
pois
e
so integravis em ) I
; logo:
b j
b j
2. Por 1. provaremos que se
G
; ento,
@ . Para toda partio de ) I
e para todo
1
)
temos que
@ ; logo,
@ e:
$
$
G
@
4. Para toda partio de ) I
tal que
para algum $ ; ento )
subdividido em % subintervalose
)I
em G
% subintervalos; logo:
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 10 Apendice
7/8
10.3. FUNES INTEGRVEIS 379
b
Ento:
$
$
G
$
$
G
b
$
$
G
; logo:
b
Teorema 10.7. Fundamental do Clculo.
Se
uma funo integrvel em
) I
e admite uma primitiva
em
) I
, ento:
I G
Prova: Suponhamos que
seja uma funo integrvel em ) I
e que existe uma primitiva
de
em ) I
. Consideremos a seguinte partio de ) I
: G
C
C
'
C
C
I
.
No difcil ver que:
I G
G
. (Por exemplo, faa
e desenvol-
va a soma). Do teorema do Valor Mdio para
em
)
, temos que para cada $ existe 1
)
tal que
G
H
G
, pois
primitiva de
. Logo:
I G
Se para cada partio do intervalo os so escolhidos como antes; ento,
$
$
G
I G
e:
I G
.
Teorema 10.8.Seja
) I G
3
uma funo contnua. A funo
derivvel e:
H )
ou)
H
Prova: Seja
13
tal que
b
1 ) I
:
b
G
(
G
(
b
(
Suponha que
8@ . Como
contnua no intervalo
) b
, pelo teorema de Weierstrass, existemQ
)
R
1
) b
tal que
Q
R
, ento
(
Q
(
(
R
P
logo,
Q
(
R
, e
Q
(
R
. Por outro lado, se
@ , ento
Q
eR
, e:
G
Q
Q
)
G
R
R
)
pois
contnua; ento:
G
b
G
, donde
H
. Analogamente se
C@
.
-
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 10 Apendice
8/8
380 CAPTULO 10. APNDICE