MATEMÁTICA

FINANCEIRA

Universidade Metodista de São PauloProfa.Edna Agostinho ValenteMaio/2007

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MATEMÁTICA FINANCEIRA

Objetivo:

- "Estudar o crescimento no tempo de um capital aplicado, fornecendo os critérios para avaliar a rentabilidade dos investimentos no mercado de capitais."

- "Fornecer instrumentos para auxiliar o processo decisório da escolha da melhor alternativa numa economia de escassez."

- "A globalização econômica altera profundamente o cenário financeiro mundial e as oscilações imprevisíveis do mercado exigem dos profissionais da área financeira, conhecimentos profundos da matemática financeira."

Porque o homem criou as empresas?

- A história de Robson Crusoé - ensino básico de economia = essência consumista do ser humano.

a) Náufrago em uma ilha deserta - pegava peixes para se alimentar com as mãosb) Desenvolveu mecanismo mais sofisticado para a pescaria - lança ou redec) Obtinha assim recursos excedentes ao que necessitava para seu consumo,

gerando uma reserva ou poupança = garantia para o consumo do dia de amanhã

d) Necessitou de uma moradia e construiu uma cabana que lhe satisfazia não apenas o dia de amanhã, mas também os dias depois de amanhã

e) Surge assim o conceito de investimentos, ou seja, uma garantia de consumo para o depois de amanhã.

"O Investimento representa um potencial de consumos presentes e futuros."

Em nossa sociedade os recursos naturais são escassos e o homem tem que trabalhar muito para satisfazer suas necessidades, ou seja, garantir seu consumo.Em economia verificamos que os recursos que satisfazem às necessidades da humanidade são os chamados "fatores de produção":

Terra: oriundos da própria terra = imóveis, matéria-prima, insumos, etc. Trabalho: mão de obra de geração de serviços. Capital: recursos financeiros (dinheiro) necessários para custear o consumo

ou novos investimentos. Inclui-se aqui também tecnologia e capacidade empresarial.

Esses fatores de produção quando utilizados ou aplicados em determinado empreendimento são passíveis de remuneração.

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Exemplo:

- Proprietário de um imóvel (fator terra) cede o uso temporário em troca de = aluguel

- As pessoas cedem temporariamente o uso de sua mão de obra (fator trabalho) em troca de um salário.

- Os proprietários de dinheiro (fator capital) podem ceder temporariamente o uso desse recurso às instituições financeiras ou a outra pessoa, e receber em troca uma remuneração: juro.

Terra AluguelTrabalho SalárioCapital Juro

As pessoas procuram acumular fatores de produção e aplicá-los de forma a serem remuneradas adequadamente, através de aluguéis, salário ou juros para suprir suas necessidades de consumo.

Algumas pessoas preferem ser empreendedoras ao invés de remunerar seu trabalho com salário, e abrem uma empresa.

Um empreendedor consegue se antecipar às oportunidades de mercado, junta seus recursos disponíveis e monta um negócio ou empresa.

Não almeja somente a remuneração individual e isolada de cada um de seus recursos aplicados, mas também um ganho excedente, ou um valor agregado, que chamamos de lucro.

Terra AluguelTrabalho SalárioCapital Juros LUCROOportunidade do negócio e excedenteCapacidade empresarial

O valor excedente deverá compensar riscos e preocupações inerentes à atividade empresarial.

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Engenharia Econômica

Economias em desenvolvimento têm recursos escassos

Assim, a decisão "do que produzir", "como produzir", "quanto produzir" e "onde produzir" tem de ser tomada em bases racionais.

É necessária a compreensão e a correta aplicação dos métodos de análises de alternativas econômicas para alocação dos recursos tão escassos.

O conjunto desses métodos necessários na tomada de decisões constitui o que se chama de "Engenharia Econômica" = é o conjunto de conhecimentos necessários à tomada de decisão sobre investimentos.

Problema central da Engenharia Econômica:

Exemplo de um estudo de Engenharia Econômica:

a) Um problema a resolver ou uma função a executar = transportar um material

b) Diversas soluções possíveis = transporte manual, em carrinhos, em empilhadeiras, ou rolos e correias transportadoras.

c) Avaliação de cada alternativa, determinação das vantagens e desvantagens = custo, eficiência, volume transportado, etc.

d) Comparação e escolha da melhor alternativa.

Quanto maior o número de alternativas consideradas, melhor deverá ser a decisão.

Às vezes uma alternativa imperfeita pode ser a mais econômica. O importante é que a escolha não seja arbitrária, e sim decorrente de um estudo cuidadoso.

Devemos estabelecer métodos de comparação e critérios na decisão que permitam representar cada alternativa por um número e que indiquem a solução mais econômica.

A Matemática Financeira, estudando a evolução do capital no tempo, empregando para isso raciocínios, métodos e conceitos matemáticos, oferece as bases para a solução desse problema central.

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ANÁLISE MATEMÁTICA X ANÁLISE CONTÁBIL

Há dois momentos distintos que envolvem as decisões de investimentos: antes e depois.

Engenharia Econômica (Matemática Financeira) Contabilidade

Antes Depois

Exemplo: Aquisição de uma nova máquina.

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Conceitos Básicos

CAPITAL (C ou PV) - Para matemática financeira, capital é um montante em moeda corrente, disponível em determinado instante no tempo. Também chamado de Capital Inicial ou Principal, representado pela letra “C” ou “PV” (Presente Value).

JURO – É a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro.

Para o Investidor - o juro é a remuneração do investimentoPara o Tomador - o juro é o custo do capital obtido por empréstimo

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Análise da Viabilidade Econômica de Projetos

Decisão de Investir

Análise dos Relatórios Contábeis

Ao se dispor a emprestar, o dono do dinheiro, para avaliar a taxa de remuneração de seus recursos deve atentar para os seguintes fatores:

1. RISCO – probabilidade de o tomador do empréstimo não resgatar o dinheiro.

2. DESPESAS – todas as despesas operacionais, contratuais e tributárias para formalização do empréstimo e à efetivação da cobrança.

3. INFLAÇÃO – índice de desvalorização do poder aquisitivo da moeda, previsto para o prazo do empréstimo.

4. GANHO (OU LUCRO) – fixado em função das demais oportunidades de investimentos (custo de oportunidade), justifica-se pela privação, por parte de seu dono, da utilização do capital.

Portanto, a receita de Juros deve ser suficiente para cobrir o risco, as despesas e a perda do poder aquisitivo do capital emprestado, além de proporcionar certo lucro ao seu aplicador.

TAXA DE JUROS - é o índice que determina a remuneração de um capital, num determinado período de tempo (dias, meses, anos, etc.) Esse período é representado pela letra “n” ou “t”.

Matematicamente é representado por

i = J / P

Onde,

i = taxa de jurosJ= valor do juroP= capital inicial, principal, valor atual ou valor presente. As taxas de juros se referem sempre a uma unidade de tempo (mês, semestre, ano, etc.) e podem ser representadas equivalentemente de duas maneiras:

a) Taxa Percentual – Neste caso, refere-se a centos do capital, ou seja, ao que se obtém após dividir o capital por 100. É o valor dos juros para cada centésima parte do capital.

Exemplo:Qual o juro que rende um capital de $ 1.000,00, ao ser aplicado a 20% ao ano, pelo período de um ano?

J = (1000/100) x 20 x 1 J = 10 x 20 x 1

J = $ 200,00

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b) Taxa Unitária – a taxa refere-se à unidade do capital, ou seja, estamos calculando o que rende a aplicação de uma unidade de capital no intervalo de tempo referido pela taxa.

Exemplo:

Se tivermos uma taxa de 0,12 ao ano, então, a aplicação de $ 1,00 por um ano, gera um juro de $ 0,12.

No exemplo anterior, com a taxa na forma unitária ( 0,20 ao ano), temos:

J = 1000 x 0,20 x 1J = $ 200,00Para se transformar a forma percentual em unitária basta dividir a taxa expressa na forma percentual por 100.

Exemplo: 12% a.a. = 0,12 a.a 6% a.s. = 0,06 a.s 1% a.m. = 0,01 a.m.

E para transformar a taxa unitária em percentual, basta que a multipliquemos por 100.

Devemos observar que é mais fácil trabalhar-se com a forma unitária, pois se simplifica os cálculos.

OBSERVAÇÃO – Nas fórmulas de matemática financeira todos os cálculos são efetuados utilizando-se a taxa unitária de juros.

CAPITALIZAÇÃO - Operação de soma de juro ao capital.

PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO - Intervalo de tempo existente entre cada período de capitalização.

MONTANTE (ou VALOR FUTURO-FV) – é o capital acrescido do rendimento obtido durante o período de aplicação e representado pela letra “M” ou “FV” – (future value).

JUROS SIMPLES - Só o principal rende juros ao longo da vida do investimento.

JUROS COMPOSTOS - Após cada período, os juros são incorporados ao capital e passam a render juros. O período de tempo considerado é então, denominado de período de capitalização.

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FLUXO DE CAIXA - É uma sucessão de recebimentos e pagamentos, em dinheiro, para um determinado período de tempo, para uma empresa, uma família ou uma pessoa.

Exemplo: Um investimento de R$ 5.000,00, realizado em 10.01, com recebimentos de uma parcela de R$ 2.000,00 em 10.02 e outra parcela de R$ 4.000,00 em 10.03. A mesma pessoa investe mais R$ 1.000,00 em 10.04 e recebe um valor de R$ 9.000,00 em 10.05.

A representação de fluxo de caixa deverá ser feito da seguinte forma:

Diagrama do fluxo de caixa.

Os recebimentos (entradas de caixa) são representados na parte superior do eixo horizontal com setas para cima, os pagamentos (saídas de caixa) são representados na parte inferior, com setas para baixo. Quando houver pagamentos e recebimentos no mesmo momento, pode-se utilizar só a diferença entre os dois.

CAPITALIZAÇÃO SIMPLES - É o regime no qual a taxa de juros incide somente sobre o valor inicial da operação, não incide, pois, sobre os juros acumulados.

CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA – é aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior.

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SÍMBOLOS:

VP: Valor inicial da operação, capital inicial ou valor presente.

J: Valor dos juros

i : Taxa de Juros

n: número de capitalizações

VF: Montante, valor futuro, soma do capital mais juro.

FÓRMULAS:

J = VP . (i /100) . n

VP = J / [ (i /100).n ]

( i /100) = J / (VP.n)

n = J / [ VP. ( i /100) ]

VF = VP + J

VF = VP. [ ( 1 + ( i /100) . n ) ]

VP = VF / [ 1+ (i /100). n ]

(i/100) = [ (VF/VP) -1 ] / n

n = [ (VF/ VP) – 1 ] / ( i/100)

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HP-12C – Primeiro contato

Identificando uma HP-12C - A diferença de uma HP-12C para as calculadoras convencionais está na forma de entrada dos dados.

As calculadoras convencionais executam cálculos de uma forma direta, ou seja, obedecendo à seqüência natural da Matemática. Para somar 2 mais 2, tecla-se primeiro o 2, depois o (+), em seguida o 3 e, finalmente, a tecla (=). Resultado: 5.

Na HP-12C, você vai procurar a tecla igual (=) e não vai achar. A ordem de entrada dos dados da HP é diferente. Vamos fazer a mesma operação (2+3), agora usando a HP.

Após ligar a máquina, teclando ON. Depois, pressione a tecla f e o número 2, para que o visor apresente duas casas decimais.

Agora aperte novamente a tecla 2, em seguida, tecle ENTER, maior tecla da HP.

Digite a tecla 3 e por último a tecla (+). Resultado: 5.

Podemos perceber que o processo de cálculo é diferente das calculadoras convencionais.

A HP-12C é uma calculadora de tecnologia norte-americana. Portanto, suas teclas têm letras que sintetizam, em inglês, as funções que representam.

Como a HP foi projetada para fazer muitos tipos de cálculos, se ela tivesse uma tecla para cada função, seu tamanho seria bem maior. Para caber no seu bolso, o fabricante bolou uma saída inteligente: mais de uma função para determinadas teclas. Por isso encontramos teclas com até três funções, simbolizadas por caracteres impressos em cores distintas (amarelo, branco e azul).

Para utilizar a função impressa em BRANCO numa determinada tecla, basta pressioná-la diretamente, tal qual você fez quando resolveu a operação 2+3. Essas funções (em branco) são as que mais são utilizadas no dia-a-dia.

Para utilizar qualquer função impressa em AMARELO, é necessário apertar a tecla f antes de pressionar a tecla com a função desejada.

Antes de acionar qualquer função impressa em AZUL, é preciso digitar a tecla g.

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Primeiros contatos:

PILHA DE MEMÓRIA

A calculadora possui uma pilha de quatro memórias: X, Y, W e Z.

As operações matemáticas são feitas sempre entre os campos Y e X, nesta ordem.

Os números entram para a pilha pela memória X, quando se pressiona a tecla ENTER o valor de X vai para Y, o de Y, vai para W e o de W vai para Z.

Calculando expressões com parênteses:

Exemplo: 3 x ( 4 + 5 ) = 27

3 ENTER 4 ENTER 5 + X

MEMÓRIAS DE ARMAZENAMENTO

STO = ARMAZENA

RCL = RECUPERA

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Z

W

Y

X (visor)

Quando se faz cálculos sucessivos utilizando sempre o mesmo número pode-se armazená-lo com o auxílio da função STO seguida de um dígito de 0 a 9, ou de .0 a .9, o que perfaz o total de 20 memórias

Para recuperar, basta pressionar RCL seguida do mesmo dígito.

TECLAS DE LIMPEZA

CLX limpa somente o registro X, isto é, o que está no visor.

f FIN limpa as memórias financeiras

f PRGM limpa as memórias de programação

f ∑ limpa as funções estatísticas

f REG limpa toda a pilha de memória, mais as memórias financeiras, mais os números armazenados na função STO.

PORCENTAGEM - %

Exemplo: Calcular 10% de 1.000

1000 ENTER10 %100

DIFERENÇA PERCENTUAL - ∆%

Expressa a diferença entre dois valores na forma percentual.

Exemplo: Uma pessoa comprou uma mesa por $ 360,00 e a revendeu por $ 459,00. A operação gerou lucro ou prejuízo. Qual a porcentagem?

360 ENTER459 ∆%27,5Exemplo:Um carro foi comprado por $ 5.000,00 e vendido por $ 4.300,00. Qual a taxa de prejuízo da operação? Resp: 14%

PORCENTAGEM DO TOTAL - %T

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Calcula o valor percentual de uma parcela em relação ao total.

Exemplo: Um funcionário recebeu $ 3.200,00 de salário, divido em: $ 1.440,00 de salário propriamente dito $ 800,00 de comissão $ 960,00 de hora-extra

Calcule a participação de cada item sobre o total.

3200 ENTER1440 %T45 CLX800 %T25 CLX960 %T30

CASAS DECIMAIS

Para programar o número de casas decimais que se deseja trabalhar, basta teclar f seguido do número de casas desejado.

Por exemplo:

f 0 nenhuma casa decimalf 3 três casas decimaisf 9 nove casas decimais

PONTO E VÍRGULA

A HP 12C pode trabalhar de duas formas:

a) O ponto separando os milhares e a vírgula os decimais;b) A vírgula separando os milhares e o ponto os decimais;

Para mudar a forma, desliga-se a máquina. Depois, pressionando-se a tecla ponto, liga-se a calculadora.Primeiro, vamos digitar um número qualquer, por exemplo, 3. Observe que no visor há um ponto logo depois do 3. Esse é o modelo de notação americana, que utiliza o ponto para separar a parte fracionária da parte inteira de um número. Pressione f CLX . Digite o número abaixo:

2.532,23Note que no visor aparece 2,532.23

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No Brasil, utiliza-se a vírgula para separar a parte fracionária da parte inteira, desta forma: 2.532,23. Para usarmos a notação brasileira, precisamos transformar a tecla ponto em vírgula.

Vamos fazer isso:O número 2,532.23 continua no visor, se não estiver, coloque-o.

Desligue a máquina; Pressione a tecla ON, mantendo-a pressionada; Pressione a tecla do ponto ( . ) , mantendo-a pressionada; Solte a tecla ON;

Solte a tecla do ponto ( . )

Agora o número que aparece no visor é 2.532,23, conforme utilizamos no Brasil. Se quisermos voltar ao padrão americano, é só fazermos tudo de novo.

X

POTÊNCIA – Y 3

2 x 2 x 2 = 8, podemos expressar em potência: 2 = 8

2 ENTER X3 Y8

FUNÇÕES CALENDÁRIO

A Calculadora trabalha com dois tipos de notação de data, americana MÊS/DIA/ANO e a internacional DIA/MÊS/ANO. No Brasil, utilizamos este último, para acioná-lo, basta teclar:

g D.MY

Exemplos:

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1) Calcular quantos dias existe entre 10/06/1995 e o natal do ano 2.000?

10.061995 ENTER25.122000 g ∆DYS

2025 DIAS

2)Quando vencerá um CDB de 180 dias feito em 26.05.1995? Qual o dia da semana?

26.051995 ENTER 180 g DATE 22.11.1995 3 Que é uma quarta-feira ( 1= segunda feira, 2 = terça feira, 3 = quarta feira......7 = domingo).

FUNÇÃO TROCA DE SINAIS – CHS

Permite trocar o sinal do número que está no visor.

Exemplo:

Troque o sinal de 30:

a) Digite 30b) Pressione CHS . Aparecer -30 no visor.c) Para obter novamente 30, basta teclar CHS novamente.

JUROS SIMPLES NA HP-12C

Para calcular juros simples utilizando as teclas financeiras da máquina, vamos trabalhar com as funções:

PV = Capital Inicial

n = Tempo (em dias)

i = Taxa de juros

f i = Valor dos juros simples

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Observações:

a)A seqüência das teclas f i dá o valor dos juros simples;

b)Existem duas condições essenciais para o cálculo do valor dos juros:

TAXA sempre ANUAL (10% ao ano, 25% ao ano , etc... ou 5% ao mês = 5 x 12 = 60% ao ano ).

TEMPO sempre em DIAS (125 dias, 46 dias, etc. ou 3 meses= 90 dias)

c) O valor armazenado no PV será sempre impostado com sinal negativo a fim de se obter os juros com sinal positivo. Para isso utilizaremos a tecla CHS.

Exemplo:

PV = $ 200.000,00n = 90 diasi = 160% ao anoJ = ?

Na HP-12C :

200.000,00 CHS PV 90 n

160 i f i

= 80.000,00 (no visor)

DESCONTOS

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CONCEITO

É a diferença entre o valor futuro de um título (valor nominal, valor de resgate ou valor de face) e o valor atual, valor na data da operação.

As operações de desconto representam a antecipação do recebimento (ou pagamento) de valores futuros, representados por títulos. Como, obviamente, o dinheiro tem seu custo associado ao tempo, para antecipar um valor futuro deve-se deduzir o custo de oportunidade, aplicando um desconto. Assim, o valor futuro torna-se igual ao valor presente mais o desconto.

Note-se que o desconto representa os juros associados à operação. O conceito de juros, porém, está associado a operações de capitalização (levar do presente para o futuro), enquanto o desconto costuma referir-se a operações de descapitalização (trazer do futuro para o presente).

VP = VF – D ou D = VF – VP, onde D = desconto

Nas operações de desconto, é comum o emprego de uma nomenclatura um pouco diferenciada. Por exemplo, no lugar de Valor Futuro é comum empregar a terminologia Valor Nominal. Em vez de Valor Presente, é comum usar a expressão Valor Líquido (ou Valor Recebido).

ATENÇÃO:

VALOR PRESENTE = VALOR LÍQUIDOVALOR FUTURO = VALOR NOMINAL

As operações de desconto podem ser de dois tipos: comercial (desconto também denominado “por fora”, no qual a taxa de juros incide sobre o valor futuro) ou racional (desconto também denominado “por dentro”, em que a taxa de juros incide sobre o valor presente).

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DESCONTO COMERCIAL, BANCÁRIO OU “POR FORA”.

Podemos definir o Desconto Comercial ou Desconto Bancário, ou simplesmente desconto por fora, como o valor obtido pelo cálculo do juro simples sobre o valor nominal de um determinado compromisso antes do seu vencimento.

Esta modalidade de desconto é muito usada nas operações comerciais e principalmente nas operações bancárias, tendo em vista que para as instituições financeiras é muito mais interessante do ponto de vista financeiro que as operações de Desconto Racional Simples.

Por definição:

D = N - V

Onde:

N = valor nominal de um título (valor no vencimento ou valor futuro). V = valor atual ou líquido, ou seja, o valor pelo qual o título é liquidado, ou valor da antecipação, ou ainda adiantamento de determinada quantia (valor presente).

D = desconto

Chamamos de d, a taxa aplicada para o desconto comercial (taxa de desconto).

Assim,

D = N x ( d ÷ 100 ) x n

Como se pode observar, o desconto comercial nada mais é do que o juro cobrado sobre o valor nominal ou de resgate.

Exemplos:

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1) Qual será o valor do desconto e o valor atual de uma duplicata com valor nominal de R$ 845.000,00, sendo que vencerá daqui a 45 dias, e a taxa de desconto é de 60%.

- N = 845.000- n = 45 dias- d = 60 % a.m. = 2% ao dia

D = N x ( d ÷ 100 ) x n

D = 845.000 x ( 2 ÷ 100 ) x 45 = 760.500

V = N - DV = 845.000 - 760.500 = 84.500

2) Calcular a taxa de desconto de um título de valor de face R$ 675.000,00, sendo que faltam 27 dias para seu vencimento, e o desconto foi de

R$ 273.375,00

N = 675.000D = 273.375.n = 27 dias

D = N x ( d ÷ 100 ) x n

273.375 = 675.000 x ( d ÷ 100 ) x 27

273.375_________ = d ÷ 100

675.000 x 27

d = 0,015 x 100 = 1,5% a. d. ou 45 % a.m.

Exercícios – Descontos Comercial ou Bancário

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1) Um título, de valor nominal de $ 17.000, 00, foi descontado 54 dias antes do vencimento. Supondo uma taxa de desconto bancário de 0,17 % ao dia, calcule o desconto e o valor atual desse título.

R) $ 1.560,60 e $ 15.439,40 , respectivamente

2) Um cliente entregou num banco um título de valor de $ 10.500,00, recebendo líquidos $ 9.573,90. Qual o valor do desconto e quanto tempo antes do vencimento foi descontado esse título, sabendo-se que o banco cobra uma taxa de desconto de 5,4% a.m.

R) $ 926,10 e 49 dias

3) Um título de $ 21.000,00, com vencimento de 15 de maio de 1995, foi resgatado em 27 de janeiro de 1995, por $ 16.464,00. Qual o valor do desconto e qual a taxa mensal de desconto bancário da operação.

R) $ 4.536,00 e 6% ao mês

4) Calcular a que taxa mensal um título de $ 16.000,00, com vencimento em 27 de abril de 1995, gera um desconto de $ 1.687,20, em 1º de março de 1995.

R) 5,5% ao mês

5) Calcular o valor atual de um título, com 83 dias a vencer, cujo valor nominal é igual a $ 35.000,00, sabendo-se que a taxa de desconto bancário é de 6,45% ao mês.

R) $ 28.754,25

DESCONTO RACIONAL SIMPLES OU “POR DENTRO”

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No Brasil, o desconto racional simples não é muito praticado, por um motivo simples, esta modalidade é desfavorável para aquele que possui os recursos financeiros e terá de conceder um desconto em função da negociação.

Esta modalidade será sempre mais interessante para quem solicita o desconto, mas como na maioria dos casos quem tem a posse dos recursos financeiros normalmente determina a metodologia de cálculos da operação, torna-se uma prática pouco usada.

É importante, porém, conhecer esta modalidade para poder compará-la com as demais.

As operações de desconto racional, ou por dentro, representam a aplicação direta da fórmula de capitalização dos juros simples, objetivando encontrar o valor presente.

Pela fórmula de obtenção do valor presente, no regime de juros simples, podemos chegar à fórmula de desconto racional simples:

VP = VF / (1+ i x n )

D = VF – VP então

D = VF - VF / (1+ i x n)

Podemos observar que nas operações de desconto racional a taxa incide sobre o Valor Presente da operação, por isso é também denominado Desconto por Dentro.

Exemplo:

Um título no valor nominal de $ 500, 00, com vencimento programado para daqui a três meses, foi descontado hoje. Sabendo que foi aplicado desconto racional no regime de capitalização simples, a uma taxa de 4,5% a.m., calcule o desconto e o valor líquido recebido.

D = VF – VF / (1+ i x n)D = 500,00 - 500,00 / ( 1 + 0,045 x 3 )D = 500,00 - 440,53D = 59,47

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O Valor líquido no desconto racional corresponde ao valor presente, que neste caso é:

VP = VF – D VP = 500,00 – 59,47VP = 440,53 = Valor líquido.

A taxa da operação de desconto racional ou por dentro é denominada taxa efetiva, que, como o próprio nome diz, remunera efetivamente uma operação de desconto.A taxa efetiva é aquela que incide sobre o valor presente no processo de capitalização.

CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

É aquela em que a taxa de juros incide sempre sobre capital inicial acrescidos dos juros acumulados até o período anterior.

O conceito de valor futuro é o mesmo definido anteriormente, ou seja, é a soma do capital inicial mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da dívida.

Na HP 12, os problemas de juros compostos envolvem as teclas n , i , PV e FV.

A tecla FV não é utilizada em juros simples. Passaremos a utilizá-la nos juros compostos.

Na solução de problemas de juros compostos através da HP-12, introduzimos o valor de PV negativo, a fim de alcançarmos um resultado FV positivo.

A calculadora está programada para realizar cálculos financeiros baseados em fluxo de caixa, ou seja, com PV e FV de sinais contrários.

A unidade de tempo utilizada par o período (n) deve ser a mesma da taxas de juros (i).

Fórmulas Matemáticas n

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FV = PV. (1 + i/100) nPV = FV / (1+i/100) n ________i = √ FV/ PV - 1

n = log FV – log PV / log ( 1+ i )

JUROS COMPOSTOS NA HP-12C

Exemplo:

Dados: PV = 500.000,00 (capital inicial)N = 6 mesesI = 15% a.m.Para calcularmos os juros compostos, o primeiro passo é calcular o MONTANTE (FV) e, em seguida, subtrair o capital inicial (PV) desse montante.

J = FV-PV

Assim:

TECLAS VISOR COMENTÁRIOS

500.000 CHS PV -500.000,00 Armazena o capital6 N 6,00 Armazena o prazo15 i 15,00 Armazena a taxaFV 1.156.530,38 Calcula o Montante

Para calcular os juros compostos:

RCL FV 1.156.530,38 Chama FVRCL PV -500.000,00 Chama PV+ 656.530,38 Encontra os juros

NÃO ESQUEÇA:

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1) Antes de armazenar os dados do problema nas teclas financeiras, verifique se a unidade de tempo no período "n" é a mesma da taxa “i”. Se não for, compatibilize o período à taxa.

Exemplo:

Taxa ao mês, período em dias : mude o período para mês.

2) A calculadora HP12 trabalha também com período “n” fracionário, simplificando a solução de muitos problemas no mercado financeiro. Para isso, você deverá adequar a máquina pressionando a seqüência de teclas a seguir:

STO EEX

Note que aparecerá no visor a letra “C”, anunciando que a máquina está pronta para efetuar cálculos de juros compostos com períodos inteiros e fracionários.

É aconselhável que você conserve a sua calculadora com a indicação “C” no visor.Exemplo:

Em 16.10.06, a empresa J.Silva Ltda. Formalizou uma operação de capital de giro de $ 800.000,00, pelo prazo de 75 dias, a uma taxa de 5% ao mês. Determine o montante a pagar no vencimento, considerando que os juros são capitalizados mensalmente.

Resolução: Devemos compatibilizar as unidades de tempo e taxa, transformando 75 dias em meses.

O resultado obtido será n= 75/30 = 2,5 meses.

Fazendo na HP:

PV = 800.000,00n = 2,5 mesesi = 5% ao mês

FV = 903.781,06Se a letra “C” não estivesse no visor, a HP calcularia, no período fracionário (15dias), juros simples e no período inteiro, juros compostos, resultando em $ 904.050,00.

Observe que:

No exemplo acima, com os mesmo dados do problema, vamos calcular o período n

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na HP:

800.000,00 CHS PV5 i903.781,06 FVn = 3,00O resultado acima revela uma limitação da HP-12C : o cálculo do prazo por intermédio da tecla n é sempre um número inteiro.

A resposta correta é n = 2,5, porém a calculadora arredonda-o para o inteiro imediatamente superior (3,00), antes de armazená-lo na memória “n” e apresentá-lo no visor.Isso sempre acontece, mas não se preocupe, pois a maioria dos problemas exigidos pelo mercado é de períodos inteiros.

Contudo, se necessitar, use a fórmula:

n = log 903.781,06 – log 800.000,00 / log (1,05)

NA HP:

903.781,26 g %T800.000,00 g %T-1,05 g %T

÷ 2,5 (período em meses)

===============================================================

TAXAS DE JUROS-

TAXA - Definição - É a unidade de medida pela qual os juros são fixados na remuneração de um capital num determinado período de tempo (dias, meses, anos, etc..).Dizemos também que é um índice numérico relativo cobrado sobre um capital para a realização de alguma operação financeira.

No mercado financeiro, mesmo entre os técnicos e executivos, reina muita confusão quanto aos conceitos de taxas de juros, principalmente no que se refere às taxas nominal, efetiva e real.

“O desconhecimento generalizado desses conceitos tem dificultado o fechamento de negócios pela falta de conhecimento entre as partes.”

Por Exemplo: 6% ao ano, com capitalização anual.

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6% ao semestre, com capitalização semestral.

Entretanto, na prática, as taxas de juros e os períodos de capitalização nem sempre satisfazem essas condições.

Muitas vezes as taxas de juros são informadas no mercado e temos que adequá-las às condições padronizadas pela HP12C.

TAXA NOMINAL - É a taxa referente a um período que não coincide com o período de capitalização dos juros. A taxa nominal não corresponde, de fato, ao ganho/custo financeiro do negócio. Geralmente, tem periodicidade anual e aparece em contratos de financiamentos.

A taxa nominal é muito utilizada no mercado, quando da formalização dos negócios. Não é, porém, utilizada diretamente nos cálculos, por não corresponder, de fato, ao ganho/custo financeiro do negócio.

Exemplos:

1200 % ao ano, com capitalização mensal.450 % ao semestre, com capitalização mensal.300 % ao ano, com capitalização trimestral.

Ao afirmar que a taxa nominal de uma aplicação é de 300% ao ano, capitalizada mensalmente, estamos entendendo que a taxa é de 25% ao mês e que está sendo aplicada mês a mês.

A calculadora HP12C está baseada na condição de que a unidade referencial de tempo da taxa de juros coincide com a unidade referencial de tempo dos períodos de capitalização. Por isso, ao se utilizar a calculadora, devemos adequar a taxa ao tempo, para podermos realizar os cálculos.

TAXA EFETIVA - É a taxa de juros em que a unidade de tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.

Exemplos:

2% ao mês, capitalizados mensalmente.3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente.

A taxa efetiva é usada na calculadora HP12C na tecla i .

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TAXAS PROPORCIONAIS- Juros Simples- São taxas de juros fornecidas em unidades de tempos diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples.

O conceito de taxas proporcionais está, portanto, diretamente ligado ao regime de juros simples.

Dizemos que duas taxas são proporcionais quando se verifica que a razão entre elas é a mesma razão entre seus períodos.

Exemplos:

a) 3% a . m. é proporcional a 36% a . a.3 % - 1 mês36% - 12 meses

3 x 12 = 36 x 136 = 36

b) 0,4% ao dia é proporcional a 12 % ao mês

0,4 % - 1 dia12% - 30 dias0,4 x 30 = 12 x 112 = 12

EXERCÍCIOS:

1) Determine as taxas semestral e mensal que são proporcionais à taxa de 12 % ao ano.

2) Determine as taxas semestral, mensal e diária que são proporcionais à taxa de 24% ao ano.

TAXAS EQUIVALENTES - Juros Compostos- São taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final, no regime de juros compostos.

O conceito de taxas equivalentes está, portanto, diretamente ligado ao regime de juros compostos.Assim, a diferença entre as taxas equivalentes e taxas proporcionais se prende exclusivamente ao regime de juros considerado. As taxas proporcionais se

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baseiam em juros simples e as taxas equivalentes se baseiam em juros compostos.

1- Cálculo da taxa equivalente por fórmula matemática

Nd/nc - iq = [(1+ ic /100) – 1 ] X 100 - iq = taxa equivalente- ic = taxa conhecida- nd = período referente à taxa desconhecida- nc = período referente à taxa conhecida

Devemos atentar para o seguinte o nd e o nc devem ser expressos na mesma periodicidade e sempre na MENOR.

Por exemplo, se você quer calcular a taxa Diária equivalente a uma taxa mensal, nd e nc devem ser expressos em dias; se você quer calcular a taxa anual equivalente a uma taxa trimestral, nd e nc devem ser expressos em trimestre, e assim por diante.

2) Cálculo de taxa equivalente pelas teclas financeiras da HP-12C

Podemos achar a taxa equivalente pelas teclas financeiras da calculadora, como por exemplo:

Calcular a taxa anual equivalente a 2% ao mês.

Supomos então:

PV = 100Juros i = 2 % ao mêsPeríodo n = prazo desconhecido / prazo conhecido . n = 12 meses / 1 mês = 12

Na HP12C calculamos diretamente pelas teclas financeiras e chegamos ao valor de PV = 126,8242

Como sabemos J = FV - PV , temosJ = 126,8242 - 100,00 J = 26,8242 ENTÃO A TAXA EQUIVALENTE É 26,842 % AO ANO3) Cálculo de taxa equivalente pelo PROGRAMA DE EQUIVALÊNCIA DE

TAXAS DA HP12C

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Programa de Equivalência de Taxas:

TECLAS VISOR COMENTÁRIOS

f R/S 00- Entra no módulo de programação

f R 00- Limpa os programas existentes

1 01- 1 Introduz 1

ENTER 02- 36 Introduz ENTER

ENTER 03- 36 Introduz ENTER

RCL i 04- 45 12 Recupera o conteúdo do registro i

% 05- 25 Extrai a porcentagem

+ 06- 40 Adiciona o conteúdo do registro y ao do registro X.

RCL PV 07- 45 13 Recupera o conteúdo de PV

RCL FV 08- 45 15 Recupera o conteúdo de FV

÷ 09- 10 Divide o conteúdo do registro Y pelo conteúdo do registro X, no caso, PV por FV.

xY 10- 21 Eleva o conteúdo do registro Y pelo conteúdo X.

∆ % 11- 24 Encontra a variação percentual.

g R 0 0 12- 43 33 00 Vai para linha 00 da programação.

f R/S 0,00 Volta ao módulo de operação.

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Após colocarmos o programa de cálculo de equivalência de taxas em nossa calculadora, utilizaremos da seguinte maneira:

a) colocar a taxa que você tem na tecla i

b) colocar o número de dias em que a taxa está expressa em FV ( foi visto)

c) colocar o número de dias em que quer a taxa em PV ( preciso ver)

d) pressionar a tecla R/S para calcular a taxa equivalente.

Exemplo:

Qual a taxa equivalente anual a 10% ao mês?

10 i

30 FV

360 PV

R/S

213,84 % AO ANO

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TAXA EFETIVA x TAXA NOMINAL

Como foi visto, a taxa efetiva corresponde, de fato, ao ganho/custo financeiro do negócio. Toda taxa cuja unidade de tempo coincide com o período de capitalização de juros é uma taxa efetiva.

A taxa nominal, por outro lado, é aquela cuja unidade de tempo não coincide com o período de capitalização.

Toda taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que é a taxa de juros a ser aplicada em cada período de capitalização.

Essa taxa efetiva implícita é sempre calculada de forma proporcional, no regime de juros simples.

Exemplo:

1 )Numa taxa de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, qual será a taxa efetiva para o período de 1 mês?

12% ao ano / 12 meses = 1% ao mês

Assim, a taxa efetiva para o período de 1 mês é 1% .

4) 24 % ao ano, capitalizados semestralmente. Qual a taxa efetiva semestral?

24 % ao ano / 2 semestres = 12 % ao semestre , que é a taxa efetiva semestral.

Como podemos ver, a taxa efetiva implícita de uma taxa nominal é obtida sempre no regime de juros simples (conceito de taxas proporcionais).

Já a taxa anual equivalente a essa taxa efetiva implícita é sempre calculada no regime de juros compostos (conceito de taxas equivalentes).

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Exemplo:

Calcular a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 36% ao ano, com capitalização mensal.

1º passo: calcular a taxa efetiva implícita para capitalização mensal

36% ao ano / 12 meses = 3% a. m

2º passo: 3% ao mês = taxa efetiva mensal = i

Utilizamos o programa para cálculo de taxa equivalente da HP12 C:

3 i30 FV360 PVR/S Resultado: 42,58% ao ano, que é a taxa efetiva anual.

TAXA REAL: Taxa Real é a taxa efetiva excluída dos efeitos da inflação. A taxa real refere-se ao Juro Real, que pode ser um Ganho Real ou Custo Financeiro Real.

Devemos ressaltar que a taxa real é diferente da taxa efetiva.

Exemplo: Se você tiver um aumento de salário de 45% , para um período de 12 meses, e a inflação nesse mesmo período for 43,32%, qual será a taxa real de seu aumento.Usamos a seguinte fórmula:

TAXA REAL = 1+ (i / 100)

[ (------------------- ) -1 ] x 100

1+ (infl / 100)

Onde i = taxa bruta infl = taxa de inflação

Taxa Real = [( 1+ 0,45 ) / ( 1+ 0,4332) ] - 1Taxa Real = 1,172 %

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NOTA: Existe uma fórmula prática de encontrarmos a taxa real na HP12C:

1) Acrescente 100 ao índice de inflação

2) Acrescente 100 à taxa bruta

3) Digite a tecla ∆ %

No exemplo:

100 ENTER 43,32 + 100 ENTER 45,00 + ∆ % = 1,1722 %

EXERCÍCIOS:

1) Um cliente aplicou R$ 2.500,00 em um fundo de renda variável e obteve R$ 2.518,75. Considerando que a inflação no período foi de 1,3% , calcular o ganho ou perda real do investimento.R: 0,54% no período.

2) Um empréstimo foi efetuado à taxa de 8% . A inflação do mês foi de 0,80%. Quanto foi a taxa real?R: 7,14 % ao mês

3) Um capital foi emprestado à taxa de 26,83% ao ano. Sabendo-se que a inflação no período foi 23,79% calcular a taxa real.R: 2,46% ao ano.

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VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

VALOR PRESENTE - Antes de você receber, ou pagar juros, você tem que depositar dinheiro na conta (ou inversamente, pegar uma quantia emprestada).O valor presente (VP) é outro nome para o principal: refere-se ao valor do dinheiro hoje, no presente.Por exemplo, quando você entra no banco com seus $ 100 o valor do depósito é o seu valor presente. Refere-se ao valor do dinheiro, isto é, do seu investimento, hoje.

JUROS - Sempre que se pega dinheiro emprestado, é cobrada uma taxa pelo uso desses fundos. Da mesma forma, quando você investe ou deposita dinheiro em uma caderneta de poupança, você é pago pelo uso dos seus recursos.

O juro (J) refere-se à quantidade de dinheiro que se ganha ou se cobra pelo uso do dinheiro. Às vezes você ganha, como quando deposita na caderneta de poupança, às vezes você paga, quando financia um carro ou faz uma hipoteca.O valor dos juros é determinado pela taxa que o banco emprega para calculá-los.

VALOR FUTURO - Mas o tempo corre, e os juros começam a aumentar. O valor futuro (VF) é o termo usado para definir a soma do principal P e do valor dos juros acumulados no período. Acumular é um termo usado para descrever o valor cumulativo dos juros. Dois fatores influenciam a quantia do valor futuro:

- Tempo - Quanto mais o dinheiro permanecer na conta, mais juros ele vai render.

- Taxa - Quanto maior a taxa, maiores os juros e, consequentemente, o valor futuro.

Um dos conceitos mais importantes em todo o campo das finanças de empresa, ou seja, a relação entre R$ 1 hoje e R$ 1 no futuro.

Consideremos o seguinte exemplo: Uma empresa está analisando a possibilidade de investir $ 1 milhão num projeto que promete render $ 200.000 por ano durante 9 anos. Deve a empresa aceitar o projeto?

À primeira vista, se poderia dizer que sim, pois as entradas totais de $ 1,8 milhão(200.000 x 9 ) são superiores à saída de $ 1 milhão. Entretanto, esse montante de $ 1 milhão é pago imediatamente, ao passo que as parcelas anuais de $ 200.000 são recebidas no futuro.

Além disso, o pagamento imediato é conhecido com certeza, ao passo que as entradas futuras são apenas estimativas. Assim, sendo, precisamos conhecer a relação entre um dólar hoje e um dólar (possivelmente incerto) no futuro, antes de decidirmos quanto ao projeto.

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Esta relação é denominada conceito de valor do dinheiro no tempo. É importante em áreas tais como orçamento de capital, decisões de arrendamento ou compra, análise de contas a receber, esquema de financiamento, fusões e contribuições a fundos de pensão.

FLUXO DE CAIXA

A fim de simplificar o entendimento dos problemas de juros simples e juros compostos, utilizamos gráficos contendo setas dirigidas para cima e para baixo, representando assim, a entrada e a saída do dinheiro ao longo do tempo.Para saber distinguir entradas e saídas devemos definir o ponto de vista sob o qual desejamos enfocar o problema: se do cliente ou do banco ou loja.

Exemplo:

Uma aplicação de $ 100.000,00, com resgate de $ 130.000,00 no final de 30 dias.Vejamos os gráficos, sob enfoque do Banco:

PV = 100.000 (entrada)

__________↑______________________↓__________n

dias 0 30 FV = 130.000 (saída)

A linha horizontal representa o tempo, que pode ser expresso em dias, semanas, meses, anos, etc.,

No tempo 0 (zero) houve uma entrada de dinheiro ( 100.000) no banco.Após 30 dias houve uma saída de dinheiro (130.000) do banco.

Admite-se como convenção que seta para cima ↑ é entrada e que seta

0para baixo ↓ é saída. O que importa é que a entrada (PV) e a saída (FV) possuam sempre sentidos opostos.

Esses gráficos são chamados de fluxos de caixa.

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O fluxo de caixa é o conjunto de entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo.

Nos negócios, assim como na vida, existem muitas situações em que você tem que escolher entre duas ou mais opções, como comprar ou fazer um leasing. As opções normalmente envolvem ou fazer um pagamento único, ou fazer uma série de pagamentos iguais no decorrer de um período futuro. É comum termos esse tipo de situação na hora de tomarmos a decisão de comprar ou fazer um leasing de um carro ou computador, por exemplo.

A essência da decisão está em achar um padrão ou ferramenta que lhe permita comparar as opções.

O processo pelo qual nós podemos decidir o que fazer exige que encontremos uma ferramenta que compare todas as opções com uma medida padrão. Essa medida padrão pode ser encontrada se usarmos os cálculos do valor presente ou do valor futuro para determinar o valor da série de pagamentos seja no futuro, quando os pagamentos já tiverem sido feitos, seja agora, no início, como no valor presente.

Apesar de nesse momento, apresentarmos os dois cálculos, posteriormente vamos nos concentrar no cálculo do valor presente, já que esse é a ferramenta mais amplamente usada para análise de negócio

Até agora, o nosso enfoque voltou-se para o valor presente e o valor futuro de uma única quantia em dinheiro. Nesse momento, estudaremos situações financeiras em que existem múltiplos pagamentos no decorrer de um período.

Por Exemplo: Você resolve fazer um leasing de um carro importado, por $ 1.249,00 ao mês durante quatro anos ou pode comprá-lo, à vista, por $ 52.000,00.A escolha é sua. O que fazer?

Ao examinar os fluxos de caixa das duas situações, verificamos que os pagamentos múltiplos vão resultar em valores presentes e futuros maiores.

A matemática financeira nos permite comparar fluxos de caixas distintos para identificarmos a melhor alternativa de empréstimo, investimento ou financiamento.

Ao fazermos uma pesquisa de preços, por exemplo, para aquisição de uma televisão, encontramos diversas alternativas de pagamentos nas várias lojas pesquisadas:

- somente à vista- sem entrada, + 2, + 3, + 4, +5, +6 prestações- com entrada, + 2, +3 , +4 , +5 prestações- com entrada para daqui a 60 dias e restante em + 4 prestações.

E assim por diante. Onde então deveremos comprar?

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Somente podemos dizer qual a melhor opção de compra, se analisarmos cada fluxo de caixa e transformamos cada proposta em seu valor equivalente à vista.Existem vários métodos de análise de investimos, contudo em função de serem os mais utilizados no mercado, estudaremos dois: o Valor Presente Líquido – NPV(Net Present Value) e a Taxa Interna de Retorno - IRR (Internal Rate Return).

Para podermos fazer essa análise, começaremos estudando a equivalência de capitais, e sistemas de amortização.

SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS E DESEMBOLSOS

Dizemos que uma série é uniforme quando todos os seus pagamento ou desembolsos são iguais e é feita em períodos homogêneos ( a cada dia, mês, bimestre, semestre, ano, etc).

Podemos também dizer que é uma série de pagamentos ( entradas ou saídas de caixa) iguais, que ocorrem em datas separadas por intervalos de tempo constantes.

Na HP12 C, essas parcelas são chamadas PMT.

Quando as entradas ou saídas do caixa destinam-se ao pagamento de uma dívida, chamam-se série de pagamentos.

Quando se destinam a constituir um capital futuro, recebem o nome de série de desembolsos.

É comum, ao fazermos compras, utilizarmos o termo “com entrada" ou "sem entrada".

As séries de pagamentos com entrada são conhecidas como “antecipadas”.Já as séries sem entrada, são chamadas de “postecipadas”.

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Vejamos o gráfico para Série Postecipada:

PV 1 2 3 4

↑__________↓____________↓____________↓__________↓_______n

0 carência PMT

Vejamos o gráfico para Série Antecipada

PV 1 2 3 4

↑__________↓____________↓____________↓__________↓__________n

↓ 0

PMT

Antes de introduzirmos os dados na HP12C, devemos verificar qual a é a modalidade da série de pagamentos. Informe à HP12C, através das teclas:

- g 8 para postecipada

- g 7 para antecipada

Exemplo:

Compramos um carro em quatro prestações iguais de $ 6.250,00. Sabendo-se que os juros de mercado são aproximadamente 6% a.m., qual o preço do carro à vista?

Antes de introduzirmos os valores na HP, devemos observar que:

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a) o problema não nos informa se é com entrada (antecipada) ou sem entrada (postecipada), dessa forma, vamos calcular nos dois modelos.

b) PMT tem sinais contrários de PV, como podemos notar pelas setas do fluxo de caixa.

c) O número de prestações deve ser introduzido no registro n.

d) Utilizaremos os registros n, i, PV e PMT. O registro FV deve estar limpo, caso contrário o valor que estiver armazenado irá interferir nos cálculos.

Série Antecipada – (com entrada)

TECLAS VISOR COMENTÁRIOS

- g 7 BEGIN Informa que se trata de série antecipada

- f CLX 0 limpa as memórias financeiras , visor e a pilha operacional

- f 2 0,00 coloca 2 casas decimais

- 6250 PMT 6.250,00 coloca a prestação

- 6 i 6,00 coloca a taxa

- 4 n 4,00 coloca o número de prestações

PV -22.956,32 Encontra o PV- preço à vista do carro - Com entrada.

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Série Postecipada – (sem entrada)

TECLAS VISOR COMENTÁRIOS

- g 8 Coloca no modo postecipado. Verifique se a palavra BEGIN desapareceu do visor

- f CLX 0 limpa as memórias financeiras , visor e a pilha operacional

- f 2 0,00 coloca 2 casas decimais

- 6250 PMT 6.250,00 coloca a prestação

- 6 i 6,00 coloca a taxa

- 4 n 4,00 coloca o número de prestações

- PV -21.656,91 Encontra o PV- preço à vista do carro - com entrada

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EXERCÍCIOS - Série Uniforme de Pagamentos

1) Um terreno custa à vista $ 4.000,00 ou $ 513,54 em 12 parcelas mensais, com a primeira paga no ato. Qual a taxa cobrada na operação.

Resp.: 9,05%

2) Qual o valor da prestação de um empréstimo de $ 17.000,00 a ser pago em 10 prestações mensais, a juros de 7,7% a.m., sendo a primeira paga com 30 dias?

Resp.: $ 2.499,33 3) Um carro é vendido em 7 prestações mensais de $ 380,00 , sem entrada.

Sabendo-se que a taxa de juros é de 3.251,64 % ao ano, qual o seu preço à vista?

Resp: $ 973,58

4) Uma loja vende uma calça com duas opções de pagamento, $ 45,.00 à vista ou em quatro vezes mensais iguais sem entrada. Sabendo-se que a taxa de juros que o lojista aplica na venda a prazo é de 69,59 % ao ano, qual o valor de cada prestação.

Resp.: 12,54

5) Uma bicicleta é vendida por $ 150,00 a vista ou em 5 vezes mensais de $ 87,00, sem entrada. Qual a taxa de juros cobrada pelo financiamento.

Resp.: 50,48 % ao mês.

6) Pedro comprou, em 12 prestações mensais e iguais, sem entrada, um automóvel cujo preço à vista era de $ 15.000,00. Sabendo-se que o valor das prestações é de $ 1.800,00, calcule a taxa de juros mensal do financiamento.

Resp.: 6,11%

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7) Calcule o montante, ao final de dois anos, correspondente à aplicação de 12 parcelas iguais e bimestrais de $ 2.000,00 cada uma, sabendo-se que a taxa de juros é de 3,85% ao mês e que a primeira aplicação foi feita 60 dias após o início da contagem do tempo.

Resp.: $ 37.618,34

8) O magazine Baratinho está vendendo uma mercadoria por $ 1.500,00 à vista ou em seis prestações mensais e iguais de $ 330,00, vencendo a primeira no ato da compra. Calcule a taxa de juros mensal do financiamento.

Resp.: 12,67%

9) Uma loja anuncia que o preço de uma mercadoria é de $ 120,00 e que esse valor pode ser pago em três prestações iguais com entrada. Para pagamentos à vista, em dinheiro ou em cheque, a loja oferece um desconto de 10%. Qual é a taxa de juros mensal que a loja está cobrando em seus financiamentos?

Resp.: 11,55%

10) Sabendo-se que um empréstimo pode ser liquidado em 15 parcelas mensais de $ 5.000,00 cada uma, e que a taxa cobrada pelo banco é de 7,5% ao mês, calcular o valor do empréstimo:

a) pelo conceito de prestações antecipadas;b) pelo conceito de prestações diferidas.

Resp.: a) $ 47.445,77 - b)$ 44.135,60

11) Em quantos pagamentos mensais de $ 2.500,00 podemos liquidar um empréstimo de $ 28.375,42, à taxa de 5,38% ao mês, sendo que a primeira prestação será paga 30 dias após a concessão do empréstimo?

Resp.: 18 pagamentos

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12) Paulo comprou um apartamento pagando $ 25.000,00 de entrada e o restante em 90 prestações mensais fixas de $ 2.100,00, sendo que o pagamento da primeira prestação ocorrerá 30 dias após o fechamento do negócio. Calcule o valor atual do apartamento supondo as seguintes taxas de juros:

a) 7,5% ao mês; Resp.: $ 52.958,28b) 8,5% ao mês; Resp.: $ 49.689,88c) 9,5% ao mês; Resp.: $ 47.098,99

13) Um apartamento está sendo vendido por $ 20.000,00 de entrada, mais 36 prestações fixas mensais iguais de $ 3.500,00, sendo a primeira prestação para 30 dias após o fechamento do negócio. Além disso, devem ser pagas ainda seis parcelas semestrais de $ 10.000,00, a primeira vencendo seis meses após o fechamento do negócio. Sabendo que a taxa de juros utilizada pela instituição financiadora da operação é de 8,00% ao mês, pede-se o valor presente do imóvel.

Resp. $ 76.981,91

14) Qual é o valor da prestação mensal referente a um financiamento de $ 15.000,00, a ser liquidado em 12 prestações, à taxa de 5% ao mês, sendo que a primeira prestação vence 120 dias após o fechamento do negócio?

Resp. $1.959,14

15) Uma loja está vendendo um automóvel em seis prestações mensais iguais de $ 4.500,00, devendo a primeira prestação ser paga 90 dias após o fechamento do negócio. Sabendo-se que a taxa de juros utilizada pela instituição financiadora da operação é de 9,5% ao mês, pede-se o valor presente do automóvel.

Resp. $ 16.587,82

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SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

Amortização é o processo de liquidação de uma dívida através de pagamentos periódicos.

Em termos financeiros, a dívida surge quando uma dada importância é emprestada por certo prazo. Quem assume a dívida obriga-se a restituir o principal mais os juros devidos, no prazo estipulado.Os empréstimos de curto e médio prazo caracterizam-se, normalmente, por serem saldados em até 3 anos, como estudado nos problemas de anuidades.Os empréstimos de longo prazo sofrem um tratamento especial, pois existem várias modalidades de restituição do principal e juros.Tais empréstimos, em geral, têm suas condições previamente estipuladas por contratos entre as partes, ou seja, credor e devedor.

DEFINIÇÕES

Alguns termos de uso corrente devem ser explicitados:

a) MUTUANTE OU CREDOR - aquele que dá o empréstimo.b) MUTUÁRIO OU DEVEDOR - aquele que recebe o empréstimoc) TAXA DE JUROS - é a taxa de juros contratada entre as partesd) IOF - imposto sobre operações financeirase) PRAZO DE CARÊNCIA - período compreendido entre o prazo de utilização e o

pagamento da primeira parcela de amortização Durante o prazo de carência, portanto, o tomador do empréstimo só paga os juros. É possível também, que as partes concordem que os juros devidos no prazo de carência sejam capitalizados e pagos posteriormente. Neste caso, não haverá desembolso de juros durante a carência.Obs.: o conceito de carência não é utilizado em anuidades postecipadas, mas sim em anuidades antecipadas.

f) PARCELAS DE AMORTIZAÇÃO - corresponde às parcelas de devolução do principal, ou seja, do capital emprestado.

g) PRAZO DE AMORTIZAÇÃO - é o intervalo de tempo durante o qual são pagas as amortizações.

h) PRESTAÇÃO - é a soma da amortização acrescida dos juros e outros encargos, pagas em dado período.

i) PLANILHA - é um quadro, padronizado ou não, onde são colocados os valores referentes ao empréstimo, ou seja, cronograma dos valores de recebimento e de pagamentos.

j) PRAZO TOTAL DO FINANCIAMENTO - é a soma do prazo de carência com o prazo de amortização.

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k) SALDO DEVEDOR - é o estado da dívida, ou seja, do débito, em um determinado instante do tempo.

l) PERÍODO DE AMORTIZAÇÃO - é o intervalo de tempo existente entre duas amortizações.

CLASSIFICAÇÃO DAS MODALIDADES DE AMORTIZAÇÃO

Qualquer um dos sistemas ou modalidades de amortização pode ter, ou não, prazo de carência.Deve-se observar que o chamado Sistema Americano sempre têm carência, pois o principal é devolvido de uma só vez.

Os principais sistemas de amortização são os seguintes:

a) SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE - SAC-

Neste sistema as parcelas de amortização são iguais entre si. Os juros são calculados, a cada período, multiplicando-se a taxa de juros contratada pelo saldo devedor existente no período anterior.Desta forma as prestações são continuamente decrescentes e formadas por parcela de principal mais juro. Assim, o valor da amortização do capital é constante em todos os períodos. Já a parcela de juros diminui a cada período, uma vez que a taxa é aplicada sobre o saldo devedor.

Em resumo o Sistema SAC apresenta: "PRESTAÇÕES DECRESCENTES E FORMADAS POR PARCELAS DE CAPITAL MAIS JURO”.

O SAC é também conhecido como Método Hamburguês, sendo utilizado em financiamentos do Sistema Financeiro da Habitação e financiamentos de empresas por parte de entidades governamentais.

Passo a passo para calcularmos os valores de um Sistema de Amortização Constante:

1) calcular a amortização do principal : dividir o valor da operação pelo número de prestações 2) apurar o saldo devedor do período - subtrair o valor da amortização do saldo devedor do período anterior3) calcular a parcela de juros: aplicar a taxa de juros sobre o saldo devedor do período anterior 4) calcular a prestação: somar o valor da amortização com a parcela de juros

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Exemplo - Um empréstimo de $ 16.000,00 deve ser quitado em 4 parcelas mensais, mediante emprego do Sistema de Amortizações Constantes - SAC. A taxa de juros mensal da operação é igual a 2%.Calcule o valor de cada parcela, sabendo-se que a primeira será paga em 30 dias.

Resposta:

O primeiro passo é preparar a Hp12C para prestação postecipada, com as teclas g 8.

Depois se divide o valor de $16.000,00 pelo número de parcelas e obtemos o valor das amortizações que será de $4.000,00.

Em seguida, calculamos o valor dos juros do primeiro período, com o saldo devedor de $ 16.000,00, obtendo assim juros de $ 320,00.

Obtemos o valor da primeira prestação que será a soma da amortização($4.000,00) mais o valor dos juros obtidos para o primeiro período( $ 320, 00). O valor da primeira prestação será então de $ 4.320,00.

Para continuarmos a nossa planilha, calculamos o saldo devedor após a primeira amortização paga que será de $ 12.000,00 ou seja , $ 16.000,00 menos $ 4.000,00

Fazemos então o cálculo dos juros do segundo período, aplicando a taxa de 2% Ao mês sobre o saldo devedor de $ 12.000,00, obtendo assim os juros de $ 240,00.

A segunda prestação paga será então $ 4.000,00 mais $ 240,00 , que é $ 4.240,00.

Continuamos os cálculos da mesma forma, para as demais parcelas.

Nossa planilha , então, ficou desta forma

PERÍODO SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO

0 16.000, 00 - - - 1 16.000,00 4.000,00 320,00 4.320,002 12.000,00 4.000,00 240,00 4.240,003 8.000,00 4.000,00 160,00 4.160,004 4.000,00 4.000,00 80,00 4.080,00

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b) SISTEMA FRANCÊS OU TABELA PRICE

Nesta modalidade a dívida é resgatada ou quitada mediante uma série de pagamentos períodos iguais. Isto significa que as prestações são constantes em todos os períodos e formadas por parcelas do capital mais juros.A parcela referente à amortização do capital aumenta o cada período, ao passo que a parcela referente aos juros diminui, mantendo assim iguais as prestações em todos os períodos.Esse sistema de amortização é o mais utilizado, pois, o fato de as prestações terem valores constantes, permite ao mutuário um melhor planejamento dos pagamentos. É muito utilizado na compra de automóveis, eletrodomésticos, etc.É conhecido como Sistema ou Tabela Price.Este sistema corresponde às séries postecipadas já estudadas anteriormente e a calculadora HP12C permite que os cálculos sejam executados da mesma forma que as operações com séries uniformes.Adicionalmente, outros cálculos como determinação dos juros ou amortizações pagas em cada prestação são facilitadas pela função (f) (AMORT).

Passo a passo para o cálculo no Sistema Price:

A ) calcular a prestação - através da HP12C, pelas teclas n , i , PV e PMT.

B) calcular a parcela de juros - fazer incidir a taxa de juros sobre o saldo devedor do

período anterior.

C) calcular a amortização - obter a amortização pela diferença entre a prestação e os juros do período.D) apurar o saldo devedor do período - subtrair o valor da amortização do saldo

devedor.

E) calcular a próxima parcela de juros - utilizando o saldo devedor encontrado no período

anterior.F) calcular a amortização do próximo período - pela diferença entre a prestação e

os juros do período.Etc...até o final do períodos do financiamento.

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EXEMPLO - Um financiamento de um equipamento no valor de $ 57.000,00 está sendo realizado pelo Sistema Francês ou Tabela Price, em seis meses, à taxa de 15% ao mês.Como fica a planilha desta operação, sabendo-se que a primeira prestação vence daqui a um mês?

1) Calculamos a prestação através HP12C, pelas teclas n, i , PV e PMT, obtendo uma prestação de $ 15.061,50.

2) Agora calcularemos os juros e a amortização também pela HP12C, utilizando a função AMORT.

Obs.: não esquecer de acionar as teclas g 8 pois trata-se de série postecipada.

Vamos ver como fazer esses cálculos em nossa calculadora:

TECLAS VISOR COMENTÁRIO

(f) FIN REG 0 limpa os registros financeiros e visor

(g) 8 - pagamento postecipado

57000 CHS PV - 57.000,00 valor presente ( valor financiado no período zero)

15 i 15,00 taxa de juros

6 n 6,00 número de prestações

PMT 15.061,50 valor das prestações

1 n (f) AMORT 8.550,00 valor dos juros do 1º período

x ≥ y 6.511,50 valor da amortização do 1 º período

RCL PV 50.488,50 saldo devedor do 1º período

1 n (f) AMORT 7.573,28 valor dos juros no 2º período

x ≥ y 7.488,23 valor da amortização do 2 º período

RCL PV 43.000,28 saldo devedor do 2ºperíodo

E ASSIM POR DIANTE, PELOS SEIS PERÍODOS.

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ATENÇÃO: Quando pressionamos 1 n (f) AMORT , a calculadora busca o valor dos juros do próximo período. No entanto, se pressionarmos 2 n (f) n, o resultado será o valor dos juros acumulados nos dois primeiros períodos. Se, em seguida, pressionarmos a tecla x ≥ y, obtemos o valor amortizado nos dois períodos, enquanto que as teclas RCL PV no fornecem o saldo devedor no final dos dois períodos também.

Esse procedimento pode ser feito para qualquer número de prestações. Desta forma fica mais fácil trabalhar com prazos alongados.

Por Exemplo: Em um financiamento de R$ 38.000,00 a ser pago em 60 meses, com taxa de juros de 3% ao mês, apurar o saldo devedor após o pagamento da 30ª parcela.

Utilizando a HP12C:

TECLAS VISOR

g 8 0,00 38000 CHS PV - 38.000,00

60 n 60,00

3 i 3,00

PMT 1.373,05

30 n (f) AMORT 30.104,01 (valor dos juros acumulados da prestação l a 30)

x ≥ y 11.087,57 (valor da amortização pelas 30 primeiras prestações)

RCL PV 26.912,43 (saldo devedor após o pagamento da 30ª parcela)

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EXERCÍCIOS - SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

1) Uma máquina de lavar roupas no valor de $ 1.200,00 está sendo financiada por uma loja de eletrodomésticos pela Tabela Price , em 4 parcelas, sem entrada. Encontrar o valor de cada prestação mensal e as parcelas de juros e amortização do capital de cada período, sabendo que a taxa de financiamento é de 11% ao mês.

2) Encontre o somatório dos juros e das amortizações do 1º ao 23º mês, bem como o saldo devedor no 23º mês relativo a uma dívida de $ 100.000,00 que está sendo paga em 36 parcelas, sem entrada, pela Tabela Price, à taxa de 10% ao mês.

Resp: $ 211.097,22 , $ 26.591,91 e $ 73.408,09

3) A quantia de $ 400.000,00 é financiada, pelo Sistema Price, em 48 prestações mensais à taxa de 6% ao mês. Calcular os juros e as amortizações contidas em 12 prestações consecutivas a partir da 30ª , exclusive.

Resp: $ 155.647,55 e $ 151.061,19

4) O Banco Alfa concedeu um financiamento de $ 20.000,00 para a Fábrica de Roupas Charme, amortizável pelo Sistema Price, em 10 prestações mensais. Sabendo-se que a

taxa de juros desse financiamento é de 4% ao mês, pede-se:

a) o valor da terceira prestação;b) o valor do saldo devedor após o pagamento da quinta prestação;c) o valor dos juros acumulados após o pagamento da sexta prestação;d) o valor das amortizações acumuladas após o pagamento da sexta

prestação;

Resp: a) $ 2.465,82 b) $ 10.977,39

c) $ 3.745,58 d) $ 11.049,34

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INTRODUÇÃO À ENGENHARIA ECONÔMICA

Engenharia Econômica é o estudo dos métodos e técnicas usados pra a análise econômico-financeira de investimentos. Esses métodos e técnicas devem ter base científica e encontram na matemática financeira as suas justificativas.

A necessidade de analisar investimentos propõe os problemas, a engenharia econômica apresenta as técnicas de solução e a matemática financeira justifica essas técnicas.

A análise de investimentos compreende não apenas as alternativas entre dois ou mais investimentos para a escolha do melhor, mas também a análise de um único investimento com a finalidade de julgar se é de seu interesse ou não.

Na análise de investimentos só serão levados em conta os fatores quantificáveis, isto é, que os puderem ser expressos em unidades de capital.

Se fatores não quantificáveis vão influir na tomada de decisão, essa análise não poderá ser feita com um estudo matemático. Assim, na escolha entre dois equipamentos, por exemplo, não teria sentido uma análise matemática que envolvesse preços, capacidade de produção, custos operacionais, durabilidade, etc., se a pretensão fosse adquirir o mais estético ou o de menor porte.

Quando apenas um investimento é analisado quanto à sua rentabilidade, costuma-se fazer uma comparação entre a sua taxa de renda e uma taxa ideal, isto é, que o investidor estabelece como a taxa mínima de renda para que o investimento seja considerado atraente do ponto de vista financeiro.

Essa taxa ideal se chama taxa mínima de atratividade ou apenas taxa de atratividade. É comum adotar como taxa de atratividade a taxa de mercado, isto é, a taxa à qual qualquer capital pode ser aplicado sem dificuldade.

TAXA DE ATRATIVIDADE – Na concretização de um projeto de investimento o capital utilizado é, em geral, remunerado. É o custo da utilização do capital por parte da empresa.

É claro que o projeto de investimento só será interessante, do ponto de vista econômico, se a taxa de rendimento que ele produzir for superior à taxa de custo do capital.

Também, ao avaliarmos um projeto, temos de levar em conta a taxa de juros do mercado financeiro. Obviamente, a taxa de juros funciona como custo de oportunidade. Se a taxa de rendimento do projeto for superior à taxa de juros do mercado financeiro, haverá interesse econômico em levar adiante o projeto.

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Tais situações práticas identificam a taxa de custo do capital (ou a taxa de juros do mercado financeiro) como a taxa de rentabilidade mínima aceitável para um projeto de investimento.

A taxa de custo de capital e a taxa de juros do mercado financeiro constituem-se, cada uma a seu tempo, em referenciais para determinar a taxa mínima de atratividade (TMA) de um projeto e caracterizam um parâmetro para sua aceitação ou rejeição.

MÉTODOS DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS

Os administradores de empresas, independentemente do tamanho delas e do seu campo de atuação, sempre se defrontaram com a necessidade de avaliar projetos de investimentos.

Os métodos para realizar essa avaliação variam desde a pura intuição do administrador aos mais sofisticados modelos matemáticos.

Existem muitos métodos para análise de investimentos, mas apenas os chamados métodos exatos são dignos de credibilidade, pois só estes se baseiam nos princípios de equivalência de capitais.

São eles: o método da Rentabilidade Simples, o método do Período de Retorno (Payback), o Valor Presente Líquido (VPL ou NPV) e o método da Taxa Interna de Retorno (TIR ou IRR).

1) RENTABILIDADE SIMPLES – Esse método baseia-se numa relação denominada rentabilidade simples, que indicaremos com a letra h.

A rentabilidade simples de um projeto é a relação entre o lucro anual médio provável gerado por ele, indicado por L, e o total do investimento, indicado por G.

Assim,

h = L ÷ G

Podemos verificar que o índice h revela o retorno anual por unidade de capital investido no projeto. O projeto de investimento será tanto melhor quanto maior for a quantidade de recuperação dos recursos por unidade de investimento.

A grande vantagem desse índice é a facilidade de cálculo, obtido a partir das receitas e custos orçados para o projeto. Entretanto, esse índice apresenta a desvantagem básica de não considerar os efeitos do tempo sobre o valor do dinheiro.

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2) PAYBACK – Período de Retorno de Investimento

Também conhecido por pay-back period , o período de retorno do investimento é um dos métodos de avaliação mais largamente difundidos entre os administradores de empresas.

O método consiste, basicamente, na determinação do número de períodos necessário para recuperar o capital investido.

A partir desse dado a empresa decide sobre a implementação do projeto, comparando-o com os seus referenciais de tempo para recuperação do investimento.

O período de retorno do investimento, indicado pela letra p, é a relação entre o total do investimento e o lucro anual médio provável gerado pelo projeto. Simbolicamente temos:

h = G ÷ L , tendo em vista a expressão já estudada: h = L ÷ G, temos

que:

p = 1 ÷ h

Essa fórmula nos mostra que o período de retorno do investimento equivale ao inverso da rentabilidade simples do projeto e, portanto, apresenta as mesmas vantagens e desvantagens desse índice.

A maior vantagem do payback é a facilidade de se fazer o cálculo, pois se consideram apenas os valores de entradas e saídas de caixa, demonstrados em diagrama de fluxo de caixa, por exemplo.

Por outro lado, como esse método não leva em conta o valor do dinheiro no tempo, poderão ocorrer situações em que projetos desiguais do ponto de vista do fluxo de caixa apresentem o mesmo pay-back period, tornando-os indiferentes à luz desse indicador.

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Exemplo:

Quantos anos precisaremos esperar até que os fluxos de caixa acumulados desse investimento se iguale ou superem seu custo? Num investimento inicial de $ 50.000, temos o seguinte fluxo de caixa:

ANO FLUXO DE CAIXA

1 30.0002 20.0003 10.0004 5.000

Depois do primeiro ano a empresa recupera $ 30.000, deixando $ 20.000 a descoberto. O fluxo de caixa no segundo ano é exatamente igual a $ 20.000, ou seja, o investimento "se paga" em exatamente dois anos. Em outras palavras, o período de payback (ou simplesmente payback) é de dois anos. Se exigíssemos um payback de, digamos, três anos ou menos, o investimento seria aceitável. Isso mostra a regra do payback.

Critérios de decisão:

Todo projeto deve ter um prazo limite para retornar os investimentos.

Se o payback for menor que o período de Payback máximo aceitável, se aceita o projeto;

Se payback for maior que o período de Payback máximo aceitável, rejeita-se o projeto.

Outro Exemplo:

Os fluxos de caixa projetados para uma proposta de investimento são

ANO FLUXO DE CAIXA1 $ 1002 $ 2003 $ 500

Este projeto custa $ 500. Qual o período de payback desse investimento?O custo inicial é de $ 500.

Após os dois primeiros anos, os fluxos de caixa totalizam $ 300. Após o terceiro ano, os fluxos de caixa totalizam $ 800, e, portanto, o projeto paga-se em algum momento entre o final do ano 2 e do ano 3.

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Como o fluxo de caixa acumulado nos dois primeiros anos é igual a $ 300, precisamos recuperar outros $ 200 no terceiro ano.

O fluxo de caixa do terceiro ano é $ 500, portanto: $ 200/ 500 = 0,40.

Assim, devemos esperar 2, 4 anos para recuperar os $ 500, que foi nosso investimento.

O período de payback, portanto, é de 2,40 anos, ou cerca de dois anos e cinco meses.

CONCLUSÃO

Agora que sabemos calcular o período de payback de um investimento, a utilização da regra para a tomada de decisão torna-se imediata.

Seleciona-se determinado período de corte, digamos, por exemplo, dois anos, e todos os projetos de investimento com período de Payback de dois anos ou menos são aceitos, e todos os outros com Payback superior a dois anos são rejeitados.

Talvez o maior problema com a regra do período de payback seja estabelecer o período de corte correto, porque não temos nenhuma base objetiva para escolher um número específico.

Para resumir, o período de payback é um tipo de medida de "ponto de equilíbrio". Como o valor do dinheiro no tempo é ignorado, você pode encarar o período de payback como sendo o tempo necessário para haver equilíbrio num sentido contábil, mas não em sentido econômico.

Apesar de suas limitações, o payback é geralmente utilizado por grandes e sofisticadas empresas em decisões relativamente menos importantes. Uma das razões para isso acontecer é a de que, no caso de muitas decisões, simplesmente não vale a pena fazer análises detalhadas, pois o custo da análise superaria o custo de um possível erro.

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MÉTODO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO

O método do valor presente líquido, ou simplesmente, método do valor presente, consiste em calcular o valor presente líquido (NPV) do fluxo de caixa (saldo das entradas e saídas de caixa) do investimento que está sendo analisado, usando a taxa de atratividade que foi utilizada.

Em outras palavras, esse método é caracterizado, basicamente, pela transferência para a data zero das entradas e saídas do fluxo de caixa associado ao projeto, tendo como base de cálculo a taxa mínima de atratividade.

Se o valor encontrado NPV for positivo, esse valor representará quanto a renda do investimento excede a renda esperada, isto é, significa que a taxa de renda que o investimento proporciona ultrapassa a taxa de atratividade. Neste caso, o investimento analisado interessa ao investidor.

Se o valor encontrado NPV for negativo, esse valor representará quanto falta para que a renda do investimento atinja a renda desejada, isto é, significa que a taxa de renda que o investimento proporciona é menor que a taxa de atratividade. Neste caso o investimento não interessa ao investidor.

Essa técnica, criada inicialmente para análise de projetos de investimentos, foi bastante difundida numa época em que os instrumentos disponíveis para cálculos eram extremamente precários.

Assim, um empresário, ao analisar a conveniência da compra de um equipamento, fixava a taxa mínima de retorno desejada, e com base nesta taxa, calculava o valor presente das receitas estimadas para os próximos meses ou anos, que seriam geradas pela utilização do novo equipamento. Se o valor presente das receitas, deduzido o valor de compra do equipamento, resultasse num valor positivo, o empresário faria o investimento, visto que, neste caso, a taxa efetiva de retorno seria seguramente maior que a taxa mínima de retorno fixada; se a diferença fosse negativa, o equipamento não seria adquirido.

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Exemplo: Uma empresa transportadora está analisando a conveniência de compra de um caminhão no valor de $ 103 milhões. Segundo os técnicos dessa empresa, a utilização desse veículo nos próximos cinco anos deverá gerar receitas líquidas estimadas de $ 30, $ 35, $32, $ 28, e $ 20 milhões, respectivamente. Sabendo-se que no final do 5º. Ano se espera vender esse caminhão por 17 milhões, verificar qual a decisão da empresa pra taxas de retorno fixadas em 15% e 18% ao ano. Obs: fluxo de caixa no 5º.ano corresponde ao preço de venda do caminhão + receita do ano = 17 + 20 = 37.

Após fazermos os cálculos, que explicaremos em seguida, obtivermos as seguintes respostas:

a) Valor presente líquido para taxa mínima de 15% = $ 5,01. Como o valor presente líquido é positivo, significa que a taxa efetiva de retorno é superior à taxa mínima fixada e, portanto, o investimento deverá ser feito.

b) Valor presente líquido para taxa mínima de 18% = - $ 2,35. Nesse caso, como o valor presente líquido é negativo, o investimento não deverá ser feito, visto que taxa efetiva de retorno é menor que a mínima fixada.

No Brasil, com o desenvolvimento do mercado financeiro e de capitais e como advento de calculadoras mais sofisticadas, esse método de análise foi adaptado às operações financeiras e comumente utilizado de forma distorcida em relação às suas origens.

Vamos usar um exemplo para entender melhor:

Um empréstimo de $ 22.000,00 será liquidado em três prestações mensais e sucessivas de $ 12.000,00, $ 5.000,00 e $ 8.000,00. Considerando uma taxa de juros de 7% ao mês, calcular o valor presente líquido.

Como o valor presente líquido neste caso resulta em $ 122,52 e é positivo, isso significa que a taxa de juros cobrada no empréstimo é superior a 7% ao mês.

A técnica de valor presente líquido passou então a ser utilizada para se determinar apenas o valor presente da operação nos casos em que são conhecidas a taxa de juros e os valores de pagamentos ou recebimentos.

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CONCLUSÃO

Se o resultado do VPL ou NPV for maior que zero, ou seja, positivo, significa que o valor presente das entradas supera o valor presente das saídas de caixa. Nesse caso, o projeto será economicamente interessante à taxa de juros considerada. Quando maior o Valor Presente Líquido, mais interessante será o projeto de investimento.

No caso do VPL ou NPV for igual à zero, significa que o valor presente das entradas é igual ao valor presente das saídas de caixa. Nessa situação, o projeto ainda não é desinteressante do ponto de vista econômico, pois as entradas futuras são equivalentes ao desembolsos realizados como o projeto. Isso implica dizer que o projeto produz retorno igual à taxa de atratividade da empresa.

Por fim, se o VPL ou NPV for menor que zero, ou seja, negativo, significa que o valor presente das entradas é inferior ao valor presente das saídas de caixa. Nesse caso, o projeto não será economicamente interessante à taxa de juros considerada, pois não ocorre sequer a recuperação do investimento realizado.

Quando vários investimentos estão sendo analisados, pode ocorrer que todos sejam interessantes ou desinteressantes, ou ainda que alguns sejam interessantes e outros não. Em qualquer dos casos, o investimento mais interessante é o que apresenta maior NPV.

Valor Presente Líquido (VPL) - a diferença entre o valor de mercado de um investimento e o seu custo.

MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR ou IRR)

O método da taxa interna de retorno consiste em calcular a taxa que anula o valor presente líquido do fluxo de caixa do investimento analisado.

Essa taxa é chamada de Taxa Interna de Retorno (ou IRR, do inglês, Internal Rate of Return) e corresponde à taxa de lucratividade esperada dos projetos de investimento. Por definição, a taxa interna de retorno (TIR ou IRR), de um projeto é a taxa de juros par qual o valor presente líquido é nulo.

A Taxa Interna de Retorno de um fluxo de caixa pode ser entendida como sendo a taxa de juros para qual o valor presente líquido das entradas iguala o valor presente das saídas do seu fluxo de caixa. Caracteriza, desta forma, a taxa de remuneração do capital investido.

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Após determinar a TIR do projeto, devemos compará-la com a TMA (taxa mínima de atratividade). O projeto será considerado rentável e, portanto, atraente do ponto de vista econômico se sua TIR for, no mínimo, igual à TMA. Ou seja, TIR deve ser maior, ou igual, a TMA.

Se vários investimentos são comparados, o melhor é o que tem a maior taxa interna de retorno. Se forem empréstimos que estão sendo analisados, o melhor é o que oferece a menor taxa interna de retorno.

O cálculo da TIR ou IRR torna-se bastante complexo quanto existem mais de duas entradas oriundas do mesmo capital, na medida em que implicará uma equação que só será resolvida por tentativa e erro; daí seu resultado ser apurado através da calculadora financeira.

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE:

O método da TIR pressupõe, implicitamente, que os fluxos intermediários de caixa do projeto sejam reinvestidos à sua taxa interna de retorno. Essa premissa é de fundamental importância na utilização prática desse método.

Nessa linha de raciocínio, ou seja, reinvestimento dos fluxos intermediários à TIR, o método que estamos analisando é mais adaptado a projetos de maior duração, nos quais a empresa pode efetivamente reinvestir os mencionados fluxos intermediários.

EXEMPLO

Para ilustrar a idéia por trás da TIR, considere um projeto que custa $ 100,00 hoje e rende $ 110 daqui a um ano.

Suponha que lhe façam a seguinte pergunta: "Qual é o retorno desse investimento?" O que você responderia?

Parece tanto natural quanto óbvio afirmar que o retorno é de 10%, porque você recebe $ 1,10 de volta. De fato, 10% é a taxa interna de retorno, ou TIR, deste investimento.

Esse projeto com uma TIR de 10% é um bom investimento? Mais uma vez, aparentemente só será um bom investimento se nossa taxa exigida de retorno for inferior a 10%.

A intuição está correta, e ilustra a regra da TIR: "Com base na regra da Taxa Interna de Retorno - TIR, um investimento é aceito se a TIR é maior do que o retorno exigido. Caso contrário deve ser rejeitado."

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Cálculos do VPL (NPV) e da TIR (IRR) pela Calculadora HP-12C

Em todo o processo de análise de projetos e decisões de investimentos, a matemática financeira possui um papel fundamental, pois, com a aplicação das técnicas certas, é possível avaliar com maior clareza e segurança os riscos inerentes a esses processos.

O processo de análise de projetos depende de várias combinações para se calcular o retorno total dos projetos e escolher a melhor alternativa.

A metodologia mais utilizada para se estudar o processo de análise de projeto é a do diagrama do fluxo de caixa.

a) Fluxo de caixa simples: Este modelo é normalmente usado quando estamos analisando projetos onde ocorre um único pagamento ou recebimento

FV ___________↑↓ 0 1 PV

b) Fluxo de caixa convencional: Neste modelo, existirá uma saída ou entrada inicial e, em seguida, haverá uma série de pagamentos ou recebimentos. Neste caso, o fluxo será composto somente de pagamentos ou somente de recebimentos dependendo do pagamento inicial (entrada ou saída).

PV 1 2 3 4↑__________↓____________↓____________↓__________↓_______n0 PMT

b) Fluxo de caixa não convencional : Neste modelo, existirá uma saída ou uma entrada inicial e, em seguida, haverá uma série de pagamentos ou recebimentos alternados, ou seja, poderão ocorrer recebimentos ou pagamentos no mesmo fluxo.

PV 1 2 3 4 ↑__________↓____________↑___________↑__________↓_______n0 PMT

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Tanto no item "b" quanto no item "c" pode ocorrer o que chamamos de série mista, ou seja, ao contrário das séries uniformes, as séries de pagamentos podem ter diferentes valores em um mesmo fluxo de caixa.

A calculadora HP12C possui algumas funções financeiras para serem utilizadas em operações com séries não uniformes:

g CF0 : do inglês Cash Flow 0, armazena o fluxo de caixa na data zero.

g CF j : do inglês Cash Flow j , armazena o fluxo de caixa na data j ( j entre 1 e 20)

g N j : armazena o número de fluxos de caixa repetidos

f NPV : do inglês Net Present Value , calcula o valor presente líquido de um fluxo de caixa não uniforme). f IRR : do inglês Internal Rate Return = Taxa Interna de Retorno

Exemplo:

Calcule o VPL do fluxo de caixa apresentado a seguir. Estima-se que o custo de oportunidade (ou taxa de atratividade) dos recursos da empresa seja aproximadamente 8% ao mês.

ANO FLUXO DE CAIXA

0 - 125.000,001 45.000,002 35.000,003 50.000,004 35.000,005 30.000,00

Vamos fazer o cálculo na HP-12C:

125000 CHS g CF0 45000 g CFj 35000 g CFj 50000 g CFj 35000 g CFj 30000 g CFj

8 if NPV

RESULTADO: 32.508,68 = Valor Presente Líquido do fluxo de caixa.

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No exemplo acima, a TIR seria encontrada, aplicando-se as teclas f IRR , e obteríamos uma taxa interna de retorno de 17,95% ao mês.

2º. Exemplo:

José fez um investimento com quatro meses de duração, conforme o fluxo abaixo:

Período Fluxo

0 - 2.000,001 720,002 1.080,003 04 1.200,00

a) Calcule o Valor Presente Líquido para uma taxa de 15% ao mês.b) Calcule a Taxa Interna de Retorno.

Resposta: a) NPV = 128,83 b) IRR = 18,12% ao mês

3º. Exemplo:

Calcular o valor presente líquido (NPV) do fluxo de caixa a seguir, para uma taxa de atratividade de 3% ao mês:

Período Fluxo

0 - 2.000,001 1.000,002 1.000,003 1.000,004 3.000,00

Observe que no diagrama acima aparecem três entradas iguais e consecutivas (CF1, CF2 e CF3). Neste caso, já que o valor de CFj ocorre mais de uma vez, digita-se g FV para informar o número de vezes que ele ocorreu.

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Assim, na HP-12c :

2000 CHS g PV 1000 g CFj3 g Nj3.000 g CFj 3 i f CF0(NPV)

NPV = 3.494,07

Podemos ainda calcular a taxa interna de retorno IRR, apertando a tecla f IRR: 50 %

ANÁLISE DE PROJETOS

Segundo o professor Lawrence J.Gitman, em seu livro "Princípios da Administração Financeira", 7ª edição, publicado pela Editora Harbra, os projetos de uma empresa podem ser classificados em dois tipos:

a) Projetos Independentes: São projetos cujos fluxos de caixa não estão relacionados ou são independentes entre si; a aceitação de um deles não exclui a consideração posterior dos demais projetos.

b) Projetos ou Investimentos Mutuamente Excludentes - São projetos que possuem a mesma função e, consequentemente, competem entre si.

A aceitação de um projeto desse tipo elimina a consideração posterior de todos os outros projetos do grupo.

Se dois investimentos X e Y forem mutuamente excludentes, aceitar um significa rejeitar o outro.

Dois projetos que não são mutuamente excludentes são independentes. Por exemplo, se possuirmos um terreno de esquina, poderemos construir um posto de gasolina ou prédio de apartamentos, mas não os dois. Essas são alternativas mutuamente excludentes.

Assim, concluímos que:

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"Decisão de Projetos ou Investimentos Mutuamente Excludentes significa uma situação na qual aceitar um projeto ou investimento impede que se aceite outro."

A questão agora é: dados dois ou mais projetos mutuamente excludentes, qual é o melhor?

A resposta é simples: aquele que tiver o maior Valor Presente Líquido - VPL.

Porém não podemos afirmar que o melhor é aquele que possui a maior TIR, no caso de investimentos mutuamente excludentes.

Sempre que temos projetos mutuamente excludentes, não devemos classificá-los com base em seus retornos.

Em lugar disso, precisamos examinar os VPLs relativos para evitar a possibilidade de fazer a escolha errada. Lembre-se, de que no final das contas, estamos interessados em criar valor para os acionistas, e, portanto, a opção que possuir maior VPL é a preferida, independentemente dos retornos relacionados.

Pensar dessa maneira parece contrariar a intuição. Suponha que você disponha de duas alternativas de investimento. Um deles tem um retorno de 10% e o torna imediatamente $ 100 mais rico.

O outro tem 20% de retorno e o torna $ 50 mais rico. Qual deles você preferiria? Claro que Ter $ 100 em vez de $ 50, independentemente dos retornos, e, portanto gostamos mais do primeiro investimento.

Apesar das deficiências, a TIR é muito usada na prática, até mais do que o VPL.

Quando as pessoas em geral, e em particular os analistas financeiros, analisam investimentos, aparentemente preferem falar em termos de taxas de retorno do que de valores monetários.

Por exemplo: Um administrador prefere dizer a outro: "A reforma da ala do setor administrativo tem retorno de 20%. De alguma forma isso deve ser mais simples do que dizer:" a uma taxa de desconto de 10%, o valor presente líquido é $ 4.000”.

Por fim, sob algumas circunstâncias, a TIR pode ter uma vantagem prática em relação ao VPL. Não podemos estimar o VPL a menos que conheçamos a taxa de desconto apropriada, mas ainda podemos estimar a TIR. Suponha que não conheçamos o retorno exigido de um investimento, mas descobrimos, por exemplo, que tem um retorno de 40%. Estaríamos inclinados a aceitá-lo, uma vez que é muito pouco provável que o retorno exigido seja tão alto.

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TÍTULOS UM INVESTIMENTO ATRAENTE

MERCADO DE CAPITAIS

O Mercado de Capitais corresponde a um conjunto de ambientes físicos e virtuais, onde são negociados fundos de capital, são tomadas e recebidas a títulos de empréstimos grandes quantias de recursos financeiros, para financiamentos de curto, médio ou longo prazo. Os fundos de capital são representados por títulos e valores mobiliários representativos de dívida e de mercado acionário.

A primeira colocação de títulos se dá através do que chamamos de mercado primário. Após a colocação inicial, a negociação dos títulos passa a ocorrer no mercado secundário (bolsa de valores).

Nesse mercado atuam governos, empresas, bancos, agências de desenvolvimento, fundos de pensão, seguradoras, etc. São inúmeras as empresas, de diversos setores da economia, que atuam nesse ambiente, seja captando ou emprestando recursos.

Essas operações se concretizam através da emissão, compra, venda e resgate de títulos. Os instrumentos mais frequentemente negociados são: commercial paper, eurobonus, ADR, entre outros.

Note-se que, não apenas títulos são negociados, mas também os chamados contratos futuros de mercadorias, metais preciosos, moedas ou taxas de juros. Esses contratos são denominados de derivativos.

Através do Mercado de Capitais as empresas podem captar recursos para viabilizar projetos e investimentos. Na outra ponta estão os investidores que maximizam seus resultados realizando lucro com a aquisição de títulos.

Quando pensamos em empréstimos, o fazemos tendo em mente empréstimos bancários. No Mercado de Capitais, os empréstimos são conhecidos por empréstimos “não bancários”, ou seja, os tomadores não levantam recursos junto a instituições financeiras, mas sim, junto a investidores.

Uma vez que os recursos são tomados diretamente dos investidores, os tomadores conseguem evitar a intermediação financeira efetuada pelos bancos.

Uma vantagem do Mercado de Capitais sobre as tradicionais formas de financiamentos está no prazo. As possibilidades de capitar recursos por prazos mais dilatados do que os tradicionais são muito maiores.

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INSTRUMENTOS FINANCEIROS

Chamamos de Instrumentos Financeiros os instrumentos emitidos e negociados entre os envolvidos. São instrumentos que representam valor e confiam remuneração ou rentabilidade aos seus portadores através do pagamento de juros.

TÍTULOS – São instrumentos financeiros negociáveis representativos de valor e seus portadores os negociam no mercado secundário. É a sua facilidade de negociação que reflete a aceitabilidade no mercado e sua liquidez. Os investimentos se processam por meio desses instrumentos. O ato de investir assume forma através da aquisição dos títulos.Simultaneamente à compra, temos a venda desses instrumentos, que se traduz na captação de recursos por parte do emissor.Os títulos podem possuir as seguintes características:

Dívida - Aqui o instrumento é emitido com vencimento definido, convencionando-se prazo e forma de pagamento dos juros e do principal.

Ações - São títulos que garantem ao portador uma participação no capital de uma empresa, tornando o investidor um co-proprietário da sociedade, podendo Ter direito a recebimento de dividendos.

Na realidade, um título é um empréstimo feito por uma empresa ou governo. O governo ou empresa emite títulos para um objetivo - por exemplo, uma montadora quer construir uma nova fábrica para montar um novo modelo de carro, ou um governo quer emitir títulos para construir um novo estádio para as Olimpíadas.

Ao vender o título, o emitente ( a empresa ou o governo) recebe o dinheiro , e o comprador tem dinheiro garantido no futuro, ou uma série de pagamentos garantidos no futuro. O prazo geralmente varia de 10 a 20 anos, ou mais. É um acordo contratual de longo prazo entre o emissor e o possuidor do título.

Existem dois tipos de títulos, os títulos com cupom e os títulos com cupom zero.

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COMO FUNCIONAM OS CUPONS DOS TÍTULOS

A maioria dos títulos de empresas é chamada de títulos com cupom, porque eles geram um pagamento periódico (o cupom), normalmente a cada seis meses, sobre o prazo de duração do título.

O cupom é determinado pela taxa de cupom, que é a taxa garantida do título, conforme especificado pelo emitente. A taxa fica em vigor pelo prazo do título, produzindo pagamentos de cupons e, portanto, garantindo o fluxo de caixa. Quando da emissão, o ,investidor compra o título pelo seu valor de face ( ou quase isso) e então recebe o valor de face do título quando do vencimento. Dependendo das condições do mercado, o valor do título pode sofrer um desvio para mais ou para menos em relação ao seu valor de face.

As condições do cupom do título são bastantes semelhantes às de um contrato; elas se prendem a um fluxo de caixa definido ao longo do prazo do título. Esse tipo de instrumento financeiro é muito atraente para planos de aposentadoria pessoal porque garante uma renda no futuro, e complementa a aposentadoria ou plano de previdência privada.

Exemplo:

Imagine que uma empresa emita um título com prazo de 10 anos, a uma taxa de cupom de 8%, com valor de face de R$ 1.000,00. Qual o fluxo de caixa correspondente para o investidor ?

Veja : + $ 1.000

$80 $80 $80 $80 $80 $80 $80 $80 $80 $80 $80

↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑__________________ano 10

↓ $ 1.000

Considere que os pagamentos dos cupons são anuais e que o preço de venda é $ 1.000. As quantias nas setas apontando para cima representam o retorno do investimento, quantias das setas que apontam para baixo representam custos do investimentos. Observe que no pagamento final, o valor de face de $ 1.000 também é incluído.

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Emitente A empresa ou governo que toma o dinheiro

Valor de face $ 1.000 O valor do título ao vencimento, também chamado de valor par. Poderia ser o preço do título à emissão. Quando do vencimento, esta é a quantia paga ao investidor.

Taxa do cupom 8% A taxa empregada no contrato quando da missão do título para determinar o cupom. A taxa do cupom é geralmente muito próxima à taxa de desconto, mas pode ser mais alta se a empresa emitente for considerada como de risco.

Cupom $ 80 O pagamento de juros ao investidor - valor de face vezes a taxa de cupom (0,08 x $ 1.000). Se os cupons forem anuais, o investidor recebe toda a quantia uma vez ao ano; se semestral, ele recebe metade do valor do cupom a cada seis meses. A maioria das obrigações de empresas é de cupom semestral.

Prazo 10 anos O número de anos do investimento. Os títulos podem ser de curto a médio prazo, variando entre 6 meses e 30 anos.

Taxa de Desconto A taxa atualmente empregada pelo Federal Reserve Bank para empréstimos de curto prazo. Para atrair compradores do título, a taxa do cupom tem de ser maior que a taxa de curto prazo.

Por que as taxa de cupom variam?

Como vimos o comportamento da taxa de desconto vai influenciar o mercado de títulos, e particularmente aquelas empresas que planejam sua emissão. Mas outro fator que influencia a escolha da taxa do cupom é a saúde financeira do emissor. Uma empresa com bom crédito na praça conseguirá obter uma taxa mais baixa do seu empréstimo do que uma empresa que se especulam estar à beira da falência; essa será obrigada a oferecer uma taxa mais alta devido ao risco que oferece e à relutância dos bancos em aceitar o risco que ela representa.

Assim, quando empresas que oferecem maior risco emitem seus títulos, elas devem oferecer taxas de cupons maiores que as taxas praticadas pelo mercado para empresas consideradas seguras.Os compradores de títulos exigem um prêmio para investir em empresas menos seguras. E quanto maior o risco da empresa, maior o valor do prêmio.

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Uma vez estabelecida a taxa do cupom para emissão de títulos, ela fica em vigor até o título vencer, quando o último cupom e o valor de face são pagos aos investidores. A taxa de desconto pode variar, afetando assim novas emissões, isto é, novos títulos entrarão no mercado com pagamentos maiores ou menores do cupom, dependendo da taxa de desconto.

TÍTULO DE CUPOM ZERO

São títulos emitidos sem qualquer pagamento intermediário, isto é, sem cupom. Assim, em vez de você receber cupons, você recebe um desconto. Diferentemente dos títulos de empresas, os títulos de cupom zero são instrumentos financeiros vendidos com desconto, não tem cupons e, quando do seu vencimento, pagam o valor de face do título. O preço do título é normalmente o valor presente da quantia de face descontada a taxa de emissão (a taxa impressa no título, da mesma forma que a taxa do cupom), que é usada para calcular o preço, isto é, o valor com desconto.

Juntemos tudo em um exemplo. Imagine que a Secretaria de Educação do Estado de Nova York emita um título de cupom zero a uma taxa de 8% para ajudar na construção de um alojamento estudantil no campus de uma universidade. Qual é o fluxo de caixa correspondente para o investidor?

Observe que o valor de face do título é $ 1.000, e não há pagamento de cupom.

No ano 10 você recebe o valor de face

________________________________________________↑↓ Anos 1 - 9 $ 1.000 (ano 10)$ 463,19 Não há emissão de cupons Taxa de Desconto: 8% Calculando o Preço do Título de Cupom Zero - Os títulos de cupom zero são instrumentos de puro valor presente, isto é, a chave para calcular o seu preço é simplesmente calcular o valor presente de $ 1.000,00, descontados a 8% por 10 anos. Assim, o emitente recebe o valor presente do valor de face ( o mesmo que o valor futuro) do título, descontada a taxa de juros.

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Matematicamente: -X

VP = VF (1 + 0,08) -10

VP = 1.000 ( 1,08 )

VP = 463,19

Na HP 12C

$ 1000,00 CHS FV 10 n8 iPV ?

PV = 463,19

TENTE VOCÊ:

Calcule você o preço de um Título de Cupom Zero com Prazo de 20 anos.

Títulos emitidos por governos normalmente empregam longos períodos de vencimento ( por exemplo, 20 anos) . Determine o preço de um título de $ 1.000,00 com uma taxa de cupom de 8%, se o seu vencimento for em 20 anos.

Resposta: $ 214,55

COMO O TEMPO AFETA O PREÇO

Existe uma relação muito importante entre o período de tempo que um título de cupom zero é mantido e o valor do título - quanto mais próximo o vencimento do título, mais o preço do título se aproxima do valor de face.

Vamos considerar que o valor de um título seja o seu preço, caso você deseje vendê-lo. Para ajudar a nossa matemática, considere o caso em que o Departamento de Trânsito de S. Paulo esteja emitindo títulos de cupom zero por 20 anos, para financiar melhorias nas estradas do estado. Imagine que, quando da sua emissão, você compre um título com valor de face de $ 10.000,00, como uma estratégia para sua aposentadoria, a uma taxa de 7,5%, pelo valor de $ 2.354,13.

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Enquanto você fica com o título, como o seu valor se modifica?Especificamente, qual o seu preço, à medida que se aproxima a data de vencimento? Isto é, se você precisasse vender o título antes do vencimento, para atender a uma emergência familiar, quanto ele valeria?

Para determinar o preço ( considerando uma taxa de juros de 7,5% durante o período), simplesmente calcule os valores presentes com lançamentos diferentes para o número de anos que faltam para o vencimento. O que você deve perceber é que à medida que o vencimento se aproxima, o preço se aproxima do valor de face de $ 10.000,00.

Preço 0 anos: $ 2.354,13Preço 5 anos: $ 3.379,66Preço 10 anos: $ 4.851,94Preço 15 anos: $ 6.965,59Preço 18 anos: $ 8.653,33Preço 20 anos: $ 10.000,00

Estes cálculos mostram que quanto mais você ficar com o título, mais o seu valor se aproxima do valor de face.

Como Modificações nas Taxas de Desconto Afetam o Preço

A taxa de desconto e o valor de um título são inversamente proporcionais. Isto é, quando a taxa de desconto sobe, o valor do título cai, e vice - versa: se a taxa de desconto é reduzida, o valor do título aumenta.

Vamos comprovar isso, com o nosso título de $ 10.000,00 de cupom zero e taxa 7,5%.

Vamos fazer dois cálculos: em um , a taxa de desconto aumenta para 8 % faltando 10 anos para o vencimento e no outro, a taxa de desconto cai para 7%.

Para calcular o preço, simplesmente calcule o valor presente da quantia de face, descontado à nova taxa pelo número de anos que faltam para o vencimento.O preço do título (isto é, o seu valor ) será determinado com respeito a cada uma das taxas, resultando:

Preço = VP 10 anos a 8% = $ 4.631,93

Preço = VP 10 anos a 7,5 % = $ 4.851,94

Preço = VP 10 anos a 7,00% = $ 5.083,49

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Podemos verificar que quando a taxa de desconto aumenta de 7 para 8, o valor do título diminui. Ainda assim, ao se aproximar do vencimento, os preços convergem para o valor de face do título.

O QUE FAZ DOS TÍTULOS UM INVESTIMENTO ATRAENTE

Investidores privados (como você) compram títulos por causa do fluxo de caixa garantido que eles oferecem para o futuro. Grandes investidores (por exemplo, fundos de pensão e companhias de seguros) compram grandes quantidades desses títulos para terem fixo um fluxo de caixa que lhes garanta pagar os seus beneficiários, cujos planos de aposentadoria são por eles administrados.

Essa fixação do fluxo de caixa é o motivo pelo qual os títulos costumam ser chamados de instrumentos de renda fixa, pois o seu fluxo de caixa é fixo, isto é, previsível, diferentemente de ações, que flutuam conforme as condições de mercado.

Como o Risco Afeta as Taxas dos Cupons - A taxa de desconto e a taxa de juros do mercado apesar de terem um valor muito próximo, não são a mesma. A taxa de desconto é a taxa que o Federal Reserve Bank (o Banco Central americano) usa em empréstimos a bancos comerciais. Os bancos comerciais, por seu turno, emprestam dinheiro a uma variada gama de clientes, desde os seus melhores clientes (empresas seguras) àqueles que precisam de um refinanciamento (mais arriscadas), e também para hipotecas e crédito ao consumidor.Para cada uma dessas situações, o banco estabelece uma taxa acima da taxa de desconto, para garantir a lucratividade, e ainda assim ser competitivo com os outros bancos que oferecem o mesmo tipo de serviço. O termo taxa de juros pode-se aplicar a qualquer uma dessas taxas de mercado. Assim, quanto mais risco existir no empréstimo, maior será a taxa do cupom.

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Fontes Bibliográficas:

Matemática Financeira- Lilia Ladeira Veras- Editora AtlasMatemática Financeira - James Teixeira e Scipione Di Pierro NetoMatemática Financeira e Engenharia Econômica - Nivaldo Elias Pilão e Paulo Roberto Vampré HummelCálculo Financeiro das Tesourarias – Bancos e Empresas- José Roberto Securato.Matemática Financeira: José Dutra Vieira Sobrinho

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