APOSTILA ENEM MATEMÁTICA

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Cristiano Marcell Material ENEM 2014 de Matemática O material a seguir foi elaborado sem pretensões de se tornar um compêndio de matemática repleto de teorias e demonstrações. Trata-se somente de uma breve explanação dos assuntos que fazem parte do conteúdo da prova do exame Nacional do Ensino Médio, composto de resumos teóricos e exercícios. Sua finalidade é somente auxiliar na preparação dos alunos que deixam o Ensino Médio a prestarem o concurso para universidades públicas e particulares. Listo a seguir, os assuntos tratados, segundo o edital do ENEM 2013. Matemática e suas Tecnologias Conhecimentos numéricos – operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais e reais), desigualdades, divisibilidade, fatoração, razões e proporções, porcentagem e juros, relações de dependência entre grandezas, sequências e progressões, princípios de contagem. Conhecimentos geométricos – características das figuras geométricas planas e espaciais; grandezas, unidades de medida e escalas; comprimentos, áreas e volumes; ângulos; posições de retas; simetrias de figuras planas ou espaciais; congruência e semelhança de triângulos; teorema de Tales; relações métricas nos triângulos; circunferências; trigonometria do ângulo agudo. Conhecimentos de estatística e probabilidade – representação e análise de dados; medidas de tendência central (médias, moda e mediana); desvios e variância; noções de probabilidade. Conhecimentos algébricos – gráficos e funções; funções algébricas do 1.º e do 2.º graus, polinomiais, racionais, exponenciais e logarítmicas; equações e inequações; relações no ciclo trigonométrico e funções trigonométricas. Conhecimentos algébrico-geométricos – plano cartesiano; retas; circunferências; paralelismo e perpendicularidade, sistemas de equações. Objetiva-se resolver questões que tenham proximidade com as habilidades e Competências de área propostas. São elas: Competência de área 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais. H1 - Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais. H2 - Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem. H3 - Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos. H4 - Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas. H5 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos. Competência de área 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela. H6 - Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional. H7 - Identificar características de figuras planas ou espaciais. H8 - Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma. H9 - Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano. Competência de área 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano. H10 - Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.H11 – Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano. H12 - Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas. H13 - Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente. H14 – Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas. Competência de área 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano. H15 - Identificar a relação de dependência entre grandezas. H16 - Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais. H17 - Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.

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Material ENEM 2014 de Matemática

O material a seguir foi elaborado sem pretensões de se tornar um compêndio de matemática repleto de teorias e

demonstrações. Trata-se somente de uma breve explanação dos assuntos que fazem parte do conteúdo da prova do exame Nacional do Ensino Médio, composto de resumos teóricos e exercícios. Sua finalidade é somente auxiliar na preparação dos alunos que deixam o Ensino Médio a prestarem o concurso para universidades públicas e particulares. Listo a seguir, os assuntos tratados, segundo o edital do ENEM 2013.

Matemática e suas Tecnologias

Conhecimentos numéricos – operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais e reais), desigualdades, divisibilidade, fatoração, razões e proporções, porcentagem e juros, relações de dependência entre grandezas, sequências e progressões, princípios de contagem.

Conhecimentos geométricos – características das figuras geométricas planas e espaciais; grandezas, unidades de medida e escalas; comprimentos, áreas e volumes; ângulos; posições de retas; simetrias de figuras planas ou espaciais; congruência e semelhança de triângulos; teorema de Tales; relações métricas nos triângulos; circunferências; trigonometria do ângulo agudo.

Conhecimentos de estatística e probabilidade – representação e análise de dados; medidas de tendência

central (médias, moda e mediana); desvios e variância; noções de probabilidade.

Conhecimentos algébricos – gráficos e funções; funções algébricas do 1.º e do 2.º graus, polinomiais, racionais, exponenciais e logarítmicas; equações e inequações; relações no ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

Conhecimentos algébrico-geométricos – plano cartesiano; retas; circunferências; paralelismo e perpendicularidade, sistemas de equações.

Objetiva-se resolver questões que tenham proximidade com as habilidades e Competências de área propostas. São elas:

Competência de área 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais. H1 - Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais. H2 - Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem. H3 - Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos. H4 - Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas. H5 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos. Competência de área 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela. H6 - Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional. H7 - Identificar características de figuras planas ou espaciais. H8 - Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma. H9 - Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano. Competência de área 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano. H10 - Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.H11 – Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano. H12 - Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas. H13 - Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente. H14 – Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas. Competência de área 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano. H15 - Identificar a relação de dependência entre grandezas. H16 - Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais. H17 - Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.

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H18 - Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.

Competência de área 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas. H19 - Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas. H20 - Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas. H21 - Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos. H22 - Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação. H23 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos. Competência de área 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação. H24 - Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências. H25 – Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos. H26 – Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos. Competência de área 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística. H27 - Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados (não em classes) ou em gráficos. H28 - Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade. H29 - Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação. H30 – Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade. Muita paz!

Professor Cristiano Marcell

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I) Conhecimentos numéricos I.1) Operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais e reais) 1. Naturais N = {0, 1, 2, ...} N* = {1, 2, 3, ...} Nele são definidas somente duas operações: adição e

multiplicação; (Fechamento) Vale a propriedade associativa e comutativa; Os elementos neutros da adição e multiplicação são,

respectivamente, 0 e 1; Vale a propriedade distributiva para a multiplicação em

N. 2. Inteiros Relativos Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} Z- = {..., -3, -2, -1, 0} 3. Racionais

Todo número que pode ser escrito na forma 𝑎

𝑏; onde a,

b Z e b 0

Q = {x | x= 𝑎

𝑏/ a, b Z e b 0}

4. Irracionais É formado pelos números de representação decimal infinita, mas não periódica. Representa-se por: Q’ ou I. Exemplo:

Q’ = {..., , 2 , 3 4 ,

3 10 , 20 3 , ...}

5. Reais É o conjunto formado pela união dos racionais com os irracionais.

R = Q U Q’ .

Representação geométrica dos Números Reais A cada ponto de um eixo real, estará associado um número real ou vice-versa. Exemplo: 6.Intervalos reais Dados dois números distintos a e b localizados na reta real, existirá sempre uma quantidade infinita de números reais localizados entre a e b. Tais subconjuntos são chamados de Intervalos Reais. Quaisquer que sejam os números reais a e b, a < b, temos: a) {x R | a x b} é o intervalo fechado de extremos a e b. Notação: [a; b] b) {x R | a < x < b} é o intervalo aberto de extremos a e b

Notação: ]a; b[ c) {x R | a x < b} é o intervalo fechado em a e aberto em b Notação: [a; b[ d) {x R | a < x b} é o intervalo aberto em a e fechado em b Notação: ]a; b]

Exercícios

1) Os conjuntos numéricos foram surgindo à medida que certas operações aritméticas não eram fechadas dentro dos conjuntos em que eram realizadas. Assim, por exemplo, o conjunto dos números inteiros surgiu como extensão do conjunto dos números naturais. Embora a adição de dois números naturais resulte sempre em um número natural (a adição é fechada no conjunto dos números naturais), a subtração não é (a subtração de dois números naturais nem sempre resulta em um número

natural). Assinale a afirmação verdadeira: a) Os números naturais são fechados em relação à divisão. b) Os números inteiros são fechados em relação à adição. c) Os números inteiros são fechados em relação à divisão. d) A adição de dois números irracionais sempre resulta em um número irracional. e) A subtração de dois números irracionais sempre resulta em um número irracional 2)(Enem) Em 2010, um caos aéreo afetou o continente europeu, devido à quantidade de fumaça expelida por um vulcão na Islândia, o que levou ao cancelamento de inúmeros voos.

Cinco dias após o início desse caos, todo o espaço aéreo europeu acima de 6000 metros estava liberado, com exceção do espaço aéreo da Finlândia. Lá, apenas voos internacionais acima de 31 mil pés estavam liberados.

Disponível em: http://www1.folha.uol.co m.br. Acesso em: 21 abr. 2010 (adaptado).

Considere que 1 metro equivale a aproximadamente 3,3 pés. Qual a diferença, em pés, entre as altitudes liberadas na Finlândia e no restante do continente europeu cinco dias após o início do caos? a) 3 390 pés. b) 9 390 pés. c) 11 200 pés. d) 19 800 pés. e) 50 800 pés. 3) (Enem) Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas realizadas em um carro sejam obtidas em metros: a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro; b) altura b entre o solo e o encosto do piloto.

Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se, respectivamente,

- -0,5

-3 –2 –1 0 1 2 3

a b

a b

a b

a b

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a) 0,23 e 0,16. b) 2,3 e 1,6. c) 23 e 16. d) 230 e 160. e) 2 300 e 1 600. 4) (Enem)O dono de uma oficina mecânica precisa de um pistão das partes do motor, de 68 mm de diâmetro, para o conserto de um carro. Para conseguir um, esse dono vai até um ferro velho e lá encontra pistões com diâmetros iguais a 68,21 mm; 68,102 mm; 68,001mm; 68,02mm e 68,012mm. Para colocar o pistão no motor que está sendo consertado, o dono da oficina terá que adquirir aquele que tenha o diâmetro mais próximo do que precisa. Nessa condição, o dono da oficina deverá comprar o pistão de diâmetro a) 68,21 mm b) 68,102 mm c) 68,001 mm d) 68,02 mm e) 68,012 mm 5) (Enem) O medidor de energia elétrica de uma residência, conhecido por “relógio de luz”, é constituído de quatro pequenos relógios, cujos sentidos de rotação estão indicados conforme a figura: A medida é expressa em kWh. O número obtido na leitura é composto por 4 algarismos. Cada posição do número é formada pelo último algarismo ultrapassado pelo ponteiro. O número obtido pela leitura em kWh, na imagem, é:

a) 2 614. b) 3 624. c) 2 715 d) 3 725. e) 4 162. 6) (Enem)

Café no Brasil O consumo atingiu o maior nível da história no ano passado: os brasileiros beberam o equivalente a 331 bilhões de xícaras.

Veja. Ed. 2158, 31 mar. 2010.

Considere que a xícara citada na notícia seja equivalente a, aproximadamente, 120 mL de café. Suponha que em 2010 os brasileiros bebam ainda mais café, aumentando o consumo em 1/5 do que foi consumido no ano anterior. De acordo com essas informações, qual a previsão mais aproximada para o consumo de café em 2010? a) 8 bilhões de litros. b) 16 bilhões de litros. c) 32 bilhões de litros. d) 40 bilhões de litros. e) 48 bilhões de litros. 7) Um dos passatempos de Júlia é jogar o sudoku, um quebra-cabeça lógico que virou uma febre mundial. Como estratégia para preencher a grade de sudoku a seguir, Júlia começou analisando as possibilidades de preenchimento da oitava linha e deduziu, corretamente, qual o número a ser colocado na casa marcada com a bolinha preta. Como se joga o Sudoku? O objetivo do jogo é preencher uma grade 9×9, subdividida em quadrados 3×3, com os números de 1 a 9, de modo que cada

número apareça uma única vez em cada linha, em cada coluna e em cada quadrado 3×3.

O número colocado por Júlia foi a) 1. b) 4. c) 6. d) 7. e) 9. 8) O algoritmo proposto a seguir pode ser empregado para calcular o valor aproximado da raiz quadrada de um número x.

Considere 1 como valor inicial de n e R = 3 como estimativa inicial do valor da raiz quadrada de x = 11. Nessas condições, o erro E2 será igual a: a) 1/3 b) 1/27 c) -1/20 d) - 1/60 e) 1/60 9) Sophie Germain introduziu em seus cálculos matemáticos um tipo especial de número primo descrito abaixo. Se p é um número primo e se 2p + 1 também é um número primo, então o número primo p é denominado primo de Germain. Pode-se afirmar que é primo de Germain o número: a) 7 b) 17 c) 18 d) 19 e) 41

10) A metade da metade de 22012 é:

a) 21006 b) 22010 c) 22006 d) 22011 e) 2503

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11) Para registrar o resultado da operação 2101.597 , o número de dígitos necessários é:

a) 96 b) 97 c) 98 d) 99 e) 100 12)(UERJ) Em 1772, o astrônomo Johann Elert Bode, considerando os planetas então conhecidos, tabelou as medidas das distancias desses planetas ate o Sol.

A partir dos dados da tabela, Bode estabeleceu a expressão abaixo, com a qual se poderia calcular, em unidades astronômicas, o valor aproximado dessas distâncias:

Atualmente, Netuno e o planeta para o qual n = 9, e a medida de sua distancia ate o Sol e igual a 30 unidades astronômicas. A diferença entre este valor e aquele calculado pela expressão de Bode e igual a d.

3.2

𝑛−2+4

10

O valor percentual de |d|, em relação a 30 unidades astronômicas e aproximadamente igual a: a) 29% b) 32% c) 35% d) 38% e) 49% 13) A ciência e a tecnologia, no decorrer da nossa história, vêm atuando para facilitar o trabalho humano. Atualmente, a calculadora facilita e agiliza os cálculos, sendo uma ferramenta largamente difundida e presente, até em telefones celulares. No entanto, há operações com alguns números naturais que apresentam características particulares, dispensando o uso de calculadoras. Observe e analise os quadrados de números naturais formados apenas pelo algarismo 1. 12 = 1 112 = 121 1112 = 12 321 11112 = 1 234 321 Se o número 1 234 567 654 321 é o quadrado de um número natural que possui n algarismos iguais a 1, então n é igual a a) 5. b) 6. c) 7. d) 8. e) 9. 14) Analise a expressão abaixo, na qual n e um numero natural.

N = 10n - 92

O valor da soma dos algarismos de N quando n = 2013 é: a) 18111

b) 18011 c) 17111 d) 18101 e) 18112 15) Você pode adaptar as atividades do seu dia a dia de uma forma que possa queimar mais calorias do que as gastas normalmente, conforme a relação seguinte:

Enquanto você fala ao telefone, faça agachamentos:100 calorias gastas em 20 minutos.

Meia hora de supermercado: 100 calorias. Cuidar do jardim por 30 minutos: 200 calorias. Passear com o cachorro: 200 calorias em 30 minutos. Lavar roupas por 30 minutos: 200 calorias.

Disponível em: http://cyberdiet.terra.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).

Uma pessoa deseja executar essas atividades, porém, ajustando o tempo para que, em cada uma, gaste igualmente 200 calorias. A partir dos ajustes, quanto tempo a mais será necessário para realizar todas as atividades: a) 50 minutos. b) 60 minutos. c) 80 minutos. d)120 minutos.

e) 170 minutos. I.2) Desigualdades, divisibilidade, fatoração, razões e proporções, porcentagem e juros e relações de dependência entre grandezas.

7. Operações Fundamentais

7.1.Adição

A + B = C (Os termos A e B são as parcelas enquanto o termo C e a soma ou total.).

Propriedades

1) Comutativa

Dados dois números naturais a e b temos: a + b = b + a

2) Associativa.

Dados três ou mais números naturais quaisquer, temos que: a + (b +c) = (a + b) + c

3) Existência do elemento neutro.

Zero é o elemento neutro da adição, isto é, sendo a um número qualquer, temos:a + 0 = 0 +a = a

4) Fechamento.

O conjunto dos números naturais é fechado para a adição, isto é, a soma de dois ou mais números naturais terá como resultado um número natural.

7.2.Subtração

M – S = R (Os termos M e N são, respectivamente, minuendo e subtraendo, enquanto o termo R e a diferença ou resto.).

OBS: M + S + R = 2M

7.3.Multiplicação

A. B = C (Os termos A e B são os fatores, multiplicando e multiplicador enquanto o termo C e o produto.).

Propriedades

1) Comutativa

Dados dois números naturais a e b temos: a . b = b . a

2) Associativa.

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Dados três ou mais números naturais quaisquer, temos que: a . (b .c) = (a . b) . c

3) Existência do elemento neutro.

Um é o elemento neutro da adição, isto é, sendo a um número qualquer, temos: a . 1 = 1. a = a

4) Fechamento.

O conjunto dos números naturais é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois ou mais números naturais terá como resultado um número natural.

7.3.Divisão

Dividendo D d divisor

Resto r q quociente

Onde: D = d . q + r

Resto máximo = d - 1

Resto mínimo = 0

Quando o resto é nulo, a divisão é exata e o dividendo diz-se divisível pelo divisor; caso contrário, inexata, com dividendo não divisível pelo divisor.

Exercícios

16) A soma de três números naturais consecutivos é um número

a) par

b) impar

c) primo

d) quadrado perfeito

e) múltiplo de 3.

17) Na soma abaixo indicada, as letras C, D, L e S substituem algarismos maiores do que zero e menores do que 9.

Assim, C + D + L + S será igual a:

a)20.

b)19.

c)18.

d)17.

e)16.

18) Uma régua é dividida em partes iguais, e a distância compreendida por cinco marcações consecutivas mede 48 cm,como ilustra a figura abaixo.

O comprimento da régua, em centímetros, é

a) 144

b) 148

c) 130

d) 228

e) 360

19)(ENEM) No gráfico estão representados os gols marcados e os gols sofridos por uma equipe de futebol nas dez primeiras partidas de um determinado campeonato.

Considerando que, neste campeonato, as equipes ganham 3 pontos para cada vitória, 1 ponto por empate e 0 ponto em caso de derrota, a equipe em questão, ao final da décima partida, terá acumulado um número de pontos igual a

a) 15.

b) 17.

c) 18.

d) 20.

e) 24.

20) Uma fábrica de fósforos usa as seguintes definições:

caixa: conjunto de 45 fósforos; maço: conjunto de 10 caixas; pacote: conjunto de 12 maços.

Dividindo-se 13 pacotes, 5 maços, 8 caixas e 22 fósforos por 8, obtém-se um número p de pacotes, m de maços, c de caixas e f de fósforos. Qual o valor da soma p + m + c + f ?

a) 20

b) 23

c) 25

d) 28

e) 30

21) Um aluno, quando multiplicou um número por 60, esqueceu-se de colocar o zero à direita e obteve um resultado inferior de 291006 do que deveria ter encontrado. Calcular o número.

a) 5389

b) 5388

c) 5379

d) 4389

e) 5380

22) Uma pessoa tem 36 moedas. Um quarto dessas moedas é de 25 centavos, um terço é de 5 centavos, e as restantes são de 10 centavos. Essas moedas totalizam a quantia de:

a) 8,75

b) 7,35

c) 5,45

d) 4,35

e) 8,46

23) A Polícia Federal interceptou duas malas abarrotadas de dinheiro, contendo um total de R$ 3.000.000,00, somente em notas de 100 e de 50 reais. A quantidade de cédulas de 100 da

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mala preta era igual à quantidade de cédulas de 50 da mala marrom, e vice-versa.

O número total de cédulas encontradas foi de:

a) 45.000

b) 50.000

c) 48.000

d) 40.000

e) 49.000

24)(ENEM) Uma pesquisa de opinião foi realizada para avaliar os níveis de audiência de alguns canais de televisão, entre 20h e 21h, durante uma determinada noite.

Os resultados obtidos estão representados no gráfico de barras a seguir:

A percentagem de entrevistados que declararam estar assistindo à TvB é APROXIMADAMENTE igual a:

a) 15%

b) 20%

c) 22%

d) 27%

e) 30%

25) (ENEM) Uma escola de ensino médio tem 250 alunos que estão matriculados na 1•, 2• ou 3• série. 32% dos alunos são homens e 40% dos homens estão na 1• série. 20% dos alunos matriculados estão na 3• série, sendo 10 alunos homens. Dentre os alunos da 2• série, o número de mulheres é igual ao número de homens.

A tabela anterior pode ser preenchida com as informações dadas:

O valor de a é:

a) 10

b) 48

c) 92

d) 102

e) 120

26) (ENEM) No quadro a seguir estão as contas de luz e água de uma mesma residência. Além do valor a pagar, cada conta mostra como calculá-lo, em função do consumo de água (em m¤) e de eletricidade (em kWh). Observe que, na conta de luz, o valor a pagar é igual ao consumo multiplicado por um certo fator. Já na conta de água, existe uma tarifa mínima e diferentes faixas de tarifação.

Suponha que dobre o consumo d'água. O novo valor da conta será de:

a) R$ 22,90

b) R$ 106,46

c) R$ 43,82

d) R$ 17,40

e) R$ 22,52

27) (PUC)Os preços cobrados por um digitador por página impressa são:

Somente texto: R$ 1,50

Texto com figuras: R$ 2,50

Ele digitou 134 páginas e cobrou R$ 250,00 por esse trabalho.

Se t é o número de páginas digitadas só com texto e f com texto e figuras, então é verdade:

a) f = 53

b) t = 80

c) f = 49

d) t = 2f

e) f < 30

28) (FUVEST) Um copo cheio de água pesa 325 g. Se jogarmos metade da água fora, seu peso cai para 180 g.

O peso do copo vazio é:

a) 20 g

b) 25 g

c) 35 g

d) 40 g

e) 45 g

29)(UERJ) Em uma atividade escolar, qualquer número X, inteiro e positivo, é submetido aos procedimentos matemáticos descritos abaixo, quantas vezes forem necessárias, até que se obtenha como resultado final o número 1.

A partir de X = 11, por exemplo, os procedimentos são aplicados quatro vezes. Veja a sequência dos resultados

obtidos:

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Iniciando-se com X = 43, o número de vezes que os procedimentos são utilizados é igual a:

a) 7

b) 8

c) 9

d) 10

30) (UERJ) Uma grade retangular é montada com 15 tubos de 40 cm na posição vertical e com 16 tubos de 50 cm na horizontal. Para esse tipo de montagem, são utilizados encaixes nas extremidades dos tubos, como ilustrado abaixo:

Se a altura de uma grade como essa é igual ao comprimento de x tubos, e a largura equivale ao comprimento de y tubos, a expressão que representa o número total de tubos usados é: a) x2 + y2 + x + y + 1 b) xy + x + y + 1 c) xy + 2x +2 y d) 2xy + x + y I.3) Sequências ,progressões e princípios de contagem. 8. Progressão Aritmética(PARTE 1) Definição: Progressão aritmética é uma sequência de números reais cuja diferença entre um termo e seu antecedente, a partir do segundo, é uma constante a qual chamamos de razão.

Considere a sucessão (3,11,19,...) 8.1. Fórmula Geral do Termo da P.A.

a n = a1 + (n - 1) r Do exemplo anterior, calculemos o 10º termo: a10 = a1 + (10-1) r a10 = 3 + 9. 8 a10 = 75 8.2.Soma dos n primeiros termos de uma P.A.

Sa a n

n

n

( ).1

2 Do exemplo anterior, calculemos a soma dos 10

primeiros termos:

390

2

10).753(

2

10).(

10

10

10110

S

S

aaS

Três termos em P.A.podem ser escritos com (x - r, r , x + r)

9.Progressão Geométrica(PARTE 2)

É qualquer sucessão em que a divisão entre cada termo e o termo anterior, a partir do segundo termo, é uma constante q denominada razão. Ex.: (3, 12, 48, 192,...) 9.1.Fórmula Geral do Termo da P.G.

q =

1

2

a

a =

2

3

a

a = ... = 4

a n = a1. q n-1

9.2. Soma dos n primeiros termos de uma P.G.

1

.ou

1

)1.( 11

q

aqaS

q

qaS n

n

n

n

Da PG anterior, calculemos o 5º termo e a soma dos 5 primeiros termos:

a5 = a1. q 5-1 a5 = 3. 4 4 a5 = 768

Sa q a

q

S

5

5 1

5

1

786 4 3

4 1

1023

.

.

S5

Obs.: Os três primeiros em P.G.: (r/q, r, r. q) 9.3. Soma dos infinitos termos de uma P.G. convergente

q

aS

1

1 ( -1 < q < 1)

Ex: P.G.C.:

.......5

2.....

25

2

5

2

n125

2

S

2 5

1 1 5

2 5 2

5

5

4

1

2

/

/

/.

4 / 5

Exercícios

31) Passando em uma sala de aula, um aluno verificou que, no quadro-negro, o professor havia escrito os números naturais ímpares da seguinte maneira:

O aluno achou interessante e continuou a escrever, até a décima linha. Somando os números dessa linha, ele encontrou a) 800 b) 900 c) 1000 d) 1100 e) 1200 32) Num laboratório, foi feito um estudo sobre a evolução de uma população de vírus. Ao final de um minuto do início das observações, existia 1 elemento na população; ao final de dois minutos, existiam 5, e assim por diante. A seguinte seqüência de figuras apresenta as populações do vírus (representado por um círculo) ao final de cada um dos quatro primeiros minutos.

Page 9: APOSTILA ENEM MATEMÁTICA

Cristiano Marcell

Supondo que se manteve constante o ritmo de desenvolvimento da população, o número de vírus no final de 1 hora era de: a) 241. b) 238. c) 237. d) 233.

e) 232. 33)

Enquanto no mundo o número de turistas cresce, no Brasil ele diminui. Essa é uma das conclusões do relatório da Organização Mundial de Turismo, divulgado recentemente. Revista Veja, 05 nov. 2003. Se as variações anuais no número de turistas estrangeiros apresentadas no gráfico acima formassem uma Progressão Aritmética, o número de turistas estrangeiros que visitariam o Brasil em 2003, em milhões, seria igual a: a) 1,2 b) 2,4 c) 2,6 d) 2,9 e) 3,2 34) Considere um polígono convexo de nove lados, em que as medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão aritmética de razão igual a 5°. Então, seu maior ângulo mede, em graus, a) 120

b) 130 c) 140 d) 150 e) 160 35) Considere a disposição de números abaixo.

O primeiro elemento da quadragésima linha é a) 777. b) 778. c) 779. d) 780.

e) 781. (UERJ/ADPTADA) Leia atentamente o texto. A figura acima apresenta 25 retângulos.

Observe que quatro desses retângulos contêm

números e um deles, a letra n. Podem ser escritos, em todos os outros retângulos,

números inteiros positivos, de modo que, em cada linha e em cada coluna, sejam formadas progressões aritméticas de cinco termos. 36) A soma dos elementos da quarta linha da figura é igual a: a) 300 b) 370 c) 380 d) 375 e) 390 37) O número que deve ser escrito no lugar de n é: a) 100 b) 105 c) 200 d) 320 e) 104 38) (UNICAMP)Uma curva em formato espiral, composta por arcos de circunferência, pode ser construída a partir de dois pontos A e B, que se alternam como centros dos arcos. Esses arcos, por sua vez, são semicircunferências que concordam sequencialmente nos pontos de transição, como ilustra a figura abaixo, na qual supomos que a distância entre A e B mede 1cm.

a) Determine a área da região destacada na figura.

b) Determine o comprimento da curva composta pelos primeiros 20 arcos de circunferência. 39) Pontes de treliças são formadas por estruturas de barras, geralmente em forma triangular, com o objetivo de melhor suportar cargas concentradas. Nas figuras a seguir, há uma sequência com 1, 2 e 3 setores triangulares com as respectivas quantidades de barras de mesmo comprimento.

Page 10: APOSTILA ENEM MATEMÁTICA

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Observando nas figuras que o número de barras é função do número de setores triangulares, qual é o número N de barras para n setores triangulares? a) N = 3 + 2n - 1 para n ≥ 1 b) N = 3n para n ≥ 1 c) N = 3n2 + 2n para n ≥ 1

d) N = 3 + 2(n2 - 1) para n ≥1 e) N = 1 + 2n para n ≥ 1 40) A sequência de triângulos equiláteros, ilustrada na figura abaixo, apresenta certo número de pontos assinalados em cada triângulo.

Seguindo a lógica utilizada na construção da sequência, o número de pontos que estarão assinalados no oitavo triângulo é a) 65 b) 54 c) 45 d) 56 41) (PUC) A soma de todos os números naturais ímpares de 3

algarismos é: a) 220.000 b) 247.500 c) 277.500 d) 450.000 e) 495.000 42) O tempo destinado à propaganda eleitoral gratuita é dividido entre três coligações partidárias em partes diretamente proporcionais aos termos da progressão aritmética: t, t + 6, t2. Nessas condições, de cada hora de propaganda eleitoral gratuita, a coligação partidária à qual couber a maior parte do tempo t, medido em minutos, ficará com:

a) 26 min b) 28 min c) 30 min d) 32 min 43) "A matemática é um saco? Talvez não, pelo menos depois de ler esse livro de Devlin, um norte-americano especialista em neurolingüística. Ele mostra que o raciocínio numérico é instintivo no ser humano e se baseia no mesmo princípio que rege a linguagem: a habilidade de lidar com símbolos. A partir daí, analisa o funcionamento do nosso cérebro e ressalta a beleza da matemática - 'a ciência dos padrões.' Superinteressante, junho, 2004. p. 91.

Lembrando que "o raciocínio numérico é instintivo no ser humano e se baseia (...) na habilidade de lidar com símbolos", a expressão do termo geral de uma progressão aritmética, formada de números naturais cuja soma dos n primeiros termos é dada por Sn = 2 n2, é a) 2n - 4 b) 4n – 2 c) 2n d) 4n e) 4 - 2n 44) No quadro abaixo, em cada linha e em cada coluna, os elementos formam uma progressão aritmética.

Sabendo-se que as razões das progressões da segunda linha e da segunda coluna são iguais, então a• + c3 é igual a

a) 12. b) 11. c) 10. d) 13. 45) Uma decoradora usou 210 garrafas plásticas de 33 cm de altura para confeccionar uma árvore de natal em forma de triângulo. Para isto usou uma placa triangular na qual colou as garrafas da seguinte forma: uma garrafa na primeira fila, duas na segunda fila, e assim sucessivamente, acrescentando uma garrafa a cada fila. Qual deve ser a altura da placa, sabendo que não há sobreposição de garrafas, não há espaço entre uma fila e outra e que sobram 10 cm no topo e 10 cm na base da árvore? a) 3,8 m b) 5,4 m c) 6,6 m d) 6,8 m e) 7,13 m 46) A figura a seguir representa um modelo plano do desenvolvimento vertical da raiz de uma planta do mangue. A partir do caule, surgem duas ramificações da raiz e em cada uma delas surgem mais duas ramificações e, assim, sucessivamente. O comprimento vertical de uma ramificação, dado pela distância vertical reta do início ao fim da mesma, é sempre a metade do comprimento da ramificação anterior.

Sabendo que o comprimento vertical da primeira ramificação é de h1 = 1 m, qual o comprimento vertical total da raiz, em metros, até h10?

a) 1

2. (1 −

1

210) b)

1

2. (1 −

1

29)

c) 2. (1 −1

210) d) 2. (1 −

1

1010)

e) 2. (1 −1

29)

Page 11: APOSTILA ENEM MATEMÁTICA

Cristiano Marcell

47) A população de uma colônia da bactéria E. coli dobra a cada 20 minutos. Em um experimento, colocou-se, inicialmente, em um tubo de ensaio, uma amostra com 1.000 bactérias por mililitro. No final do experimento, obteve-se um total de 4,096 x 106 bactérias por mililitro. Assim sendo, o tempo do experimento foi de: a) 3 horas e 40 minutos. b) 3 horas. c) 3 horas e 20 minutos. d) 4 horas. 48) Sejam a e b números reais tais que: (i) a, b e a + b formam, nessa ordem, uma PA; (ii) 2a, 16 e 2b formam, nessa ordem, uma PG. Então o valor de a é: a) 2/3 b) 4/3 c) 5/3 d) 7/3 e) 8/3 49) O fractal chamado floco de neve de Koch é obtido a partir de um triângulo equilátero, dividindo-se seus lados em 3 partes iguais e construindo-se, sobre a parte do meio de cada um dos lados, um novo triângulo equilátero.

Este processo de formação continua indefinidamente até a obtenção de um floco de neve de Koch. Supondo que o lado do triângulo inicial meça 1 unidade de comprimento, a área do floco de neve de Koch formado será, em unidades quadradas, equivalente a: a) √3/5

b) √3/4 c) 2√3/5

d) √3/2

50) No interior de uma sala, na forma de um paralelepípedo com altura h, empilham-se cubos com arestas de medidas 1, 1/3, 1/9, 1/27, e assim por diante, conforme mostra a figura.

O menor valor para a altura h, se o empilhamento pudesse ser feito indefinidamente, é: a) 3 b) 5/2 c) 7/3 d) 2 e) 3/2 51) A figura indica infinitos triângulos isósceles, cujas bases medem, em centímetros, 8, 4, 2, 1, ...

Sabendo que a soma da área dos infinitos triângulos hachurados na figura é igual a 51, pode-se afirmar que a área do retângulo de lados h e d é igual a a) 68. b) 102. c) 136. d) 153. e) 192. 52) Marlene confecciona leques artesanais com o formato de um setor circular, como representado na figura a seguir.

Para enfeitar os leques, usa pequenas contas brilhantes que dispõe da seguinte maneira: no vértice do leque, primeira fileira, coloca apenas uma conta; na segunda fileira horizontal posterior coloca duas contas; na terceira fileira horizontal coloca quatro, na quarta fileira horizontal dispõe oito contas e assim sucessivamente. Considere que Marlene possui 515 contas brilhantes para enfeitar um leque. Com base nessas informações, é correto afirmar que o número máximo de fileiras completas nesse leque é:

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 53) A figura 1 mostra um molusco 'Triton tritonis' sobre uma estrela do mar.

Um corte transversal nesse molusco permite visualizar, geometricamente, uma sequência de semicírculos. O esquema na figura 2 indica quatro desses semicírculos.

Admita que as medidas dos raios (AB, BC, CD, DE, EF, FG, ...) formem uma progressão tal que (AB)/(BC) = (BC)/(CD) = (CD)/(DE) = (DE)/(EF) = ... Assim, considerando AB = 2, a soma AB + BC + CD + DE + ... será equivalente a:

a) 2 + √3 b) 2 + √5

c) 3 + √3

d) 3 + √5

Page 12: APOSTILA ENEM MATEMÁTICA

Cristiano Marcell

54) O número de assinantes de uma revista de circulação na grande BH aumentou, nos quatro primeiros meses de 2005, em progressão geométrica, conforme assinalado na tabela abaixo:--

Com base nessas informações, pode-se afirmar que, de

fevereiro para abril, o número de assinantes dessa revista teve um aumento igual a: a) 1.050 b) 1.155 c) 1.510 d) 1.600 55) (UFRRJ) Uma forte chuva começa a cair na UFRRJ formando uma goteira no teto de uma das salas de aula. Uma primeira gota cai e 30 segundos depois cai uma segunda gota. A chuva se intensifica de tal forma que uma terceira gota cai 15 segundos após a queda da segunda gota. Assim, o intervalo de tempo entre as quedas de duas gotas consecutivas reduz-se à metade na medida em que a chuva piora. Se a situação assim se

mantiver, em quanto tempo, aproximadamente, desde a queda da primeira gota, a goteira se transformará em um fio contínuo de água? a) 1h b) 30 min c) 15 min d) 10 min e) 21 min 56) Se n é um número natural e x = 2n , a soma dos divisores de x é: a)2.(2n-1)

b)2n+1-1 c) 2n -1 d) 2n+1-2 e) 2n-1 57) "Thomas Malthus (1766-1834) assegurava que, se a população não fosse de algum modo contida, dobraria de 25 em 25 anos, crescendo em progressão geométrica, ao passo que, dadas as condições médias da terra disponíveis em seu tempo, os meios de subsistência só poderiam aumentar, no máximo, em progressão aritmética". A lei de Malthus cita progressões aritméticas (PA) e progressões geométricas (PG). Se os dois primeiros termos de uma das sequências são x1 = 6 e x2 = 12 e sabendo-se que possuem mesmo valor numérico para razão, o quinto termo será: a) x5 = 16 se for uma PA e x5= 24 se for uma PG. b) x5= 24 se for uma PA e x5= 96 se for uma PG. c) x5= 30 se for uma PA e x5= 30 se for uma PG. d) x5= 30 se for uma PA e x5= 96 se for uma PG. e) x5= 48 se for uma PA e x5= 72 se for uma PG. 58) No início de janeiro de 2004, Fábio montou uma página na internet sobre questões de vestibulares. No ano de 2004, houve 756 visitas à página. Supondo que o número de visitas à página, durante o ano, dobrou a cada bimestre, o número de visitas à página de Fábio no primeiro bimestre de 2004 foi a) 36. b) 24. c) 18. d) 16.

e) 12. 59) Uma formiga minúscula, cujo tamanho é desprezível, faz um percurso linear. Inicialmente, caminha para a direita uma distância de 1 m. Então, ela vira para a esquerda, caminhando metade da distância do seu ponto corrente. Se a formiga continuar caminhando para a direita e para a esquerda, sempre andando a metade da distância previamente caminhada, a formiga percorrerá, a partir da origem, a distância de: a) 1 m b) 2 m c) 4 m d) 8 m e) 10 m 60) (UERJ) Observe a representação do trecho de um circuito elétrico entre os pontos X e Y, contendo três resistores cujas resistências medem, em ohms, a, b e c.

Admita que a sequência (a, b, c) é uma progressão geométrica de razão 1/2 e que a resistência equivalente entre X e Y mede 2,0 Ω. O valor, em ohms, de (a + b + c) é igual a: a) 21,0 b) 22,5 c) 24,0 d) 24,5 10. Princípio Fundamental da Contagem 10.1. Definição

Se um evento que ocorre em n situações independentes e sucessivas, tendo a primeira situação ocorrendo de m1 maneiras, a segunda situação ocorrendo de m2 maneiras e assim sucessivamente até a n-ésima situação ocorrendo de mn maneiras, então, temos que o número total de ocorrências será dado pelo produto:

m1.m2.m3......mn

10.2.Fatorial Usada na determinação do produto dos antecessores de um número maior que 1. Por exemplo: 1! = 1 2! = 2. 1 = 2 3! = 3 . 2 .1 = 6 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 Para qualquer n natural maior que zero, temos que n! = n.(n – 1)! OBS: 0! = 1 e 1! = 1

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Exercícios

61) Numa prova havia 4 itens para que os alunos respondessem V (verdadeiro) ou F (falso). De quantas maneiras diferentes um aluno que vai “chutar” todas as repostas poderá responder esses itens? a) 15 b) 12 c) 14 d) 16 e) 20

62) (ENEM) No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura.

O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contraste, então o número de variações que podem ser obtidas para a paisagem é: a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10. 63) (UNESP) Um certo tipo de código usa apenas dois

símbolos, o número zero (0) e o número um (1) e, considerando esses símbolos como letras, podem-se formar palavras. Por exemplo: 0, 01, 00, 001 e 110 são algumas palavras de uma, duas e três letras desse código. O número máximo de palavras, com cinco letras ou menos, que podem ser formadas com esse código é: a) 120. b) 62. c) 60. d) 20. e) 10. 64) O mapa abaixo representa a divisão do Brasil em suas regiões. O mapa deve ser colorido de maneira que regiões com

uma fronteira em comum sejam coloridas com cores distintas. Determine o número (n) de maneiras de se colorir o mapa, usando-se 5 cores. Indique n/10.

a) 50 b) 52 c) 54 d) 56 e) 60

65) Para gerar sua senha de acesso, o usuário de uma biblioteca deve selecionar cinco algarismos de 0 a 9, permitindo-se repetições e importando a ordem, em que eles foram escolhidos. Por questões de segurança, senhas que não tenham nenhum algarismo repetido são consideradas inválidas. Por exemplo, as senhas 09391 e 90391 são válidas e diferentes, enquanto que a senha 90381 é inválida. O número total de senhas válidas que podem ser geradas é igual a a) 69.760. b) 30.240. c) 50.000. d) 19.760. e) 100000 66)(UERJ)Uma bicicleta de marchas tem três engrenagens na coroa, que giram com o pedal, e seis engrenagens no pinhão, que giram com a roda traseira. Observe a bicicleta a seguir e as tabelas que apresentam os números de dentes de cada engrenagem, todos de igual tamanho. Cada marcha é uma ligação, feita pela corrente, entre uma engrenagem da coroa e uma do pinhão.

Um dente da 1• engrenagem da coroa quebrou. Para que a corrente não se desprenda com a bicicleta em movimento, admita que a engrenagem danificada só deva ser ligada à 1• ou à 2• engrenagem do pinhão. Nesse caso, o número máximo de marchas distintas, que podem ser utilizadas para movimentar a bicicleta, é de: a) 10 b) 12 c) 14 d) 16

67) (UNESP) Dois rapazes e duas moças irão viajar de ônibus, ocupando as poltronas de números 1 a 4, com 1 e 2 juntas e 3 e 4 juntas, conforme o esquema.

O número de maneiras de ocupação dessas quatro poltronas, garantindo que, em duas poltronas juntas, ao lado de uma moça sempre viaje um rapaz, é a) 4. b) 6. c) 8. d) 12. e) 16. 68)(UFF) Hoje em dia, é possível realizar diversas operações bancárias a partir de um computador pessoal ligado à Internet. Para esse acesso, o cliente de determinado banco, após digitar o número de sua agência e conta corrente, deverá introduzir uma

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senha de quatro dígitos a partir de um teclado virtual como o da figura.

Para inserir um dígito da senha da sua conta corrente,

o cliente deste banco deve clicar em um dos quatro botões indicados pela inscrição “clique aqui”; isto é, para inserir o dígito 4, por exemplo, pode-se clicar no botão “clique aqui” situado abaixo dos dígitos “0, 4 ou 7” ou naquele situado abaixo dos dígitos “2, 4 ou 8”. Pode-se afirmar que o número total de senhas compostas por quatro dígitos distintos que estão associadas à sequência de “cliques”, primeiro, no botão correspondente aos dígitos 1, 5 ou 8; depois, no botão correspondente aos dígitos 0, 4 ou 7; novamente no botão correspondente aos dígitos 1, 5 ou 8 e, por último, no botão correspondente aos dígitos 0, 4 ou 7, é igual a: a) 12 b) 24 c) 36 d) 54 e) 81 69) (UFPEL) Maurício de Sousa, criador de uma famosa revista com histórias em quadrinhos, baseou a criação de seus personagens em amigos de infância e nos filhos, conferindo a cada um deles características distintivas e personalidades marcantes. A turma da Mônica e todos os demais personagens criados pelo escritor estão aí, com um tipo de mensagem carinhosa, alegre, descontraída e até matemática, dirigida às crianças e aos adultos de todo o mundo.

Se os personagens da história em quadrinhos acima continuassem permutando as letras, com o objetivo de formar todos os anagramas possíveis, eles obteriam mais: a) 718 anagramas.

b) 360 anagramas.

c) 720 anagramas. d) 362 anagramas. e) 358 anagramas. 70) (ENEM) Estima-se que haja, no Acre, 209 espécies de mamíferos, distribuídas conforme a tabela a seguir.

Deseja-se realizar um estudo comparativo entre três dessas espécies de mamíferos - uma do grupo Cetáceos, outra do grupo Primatas e a terceira do grupo Roedores. O número de conjuntos distintos que podem ser formados com essas espécies para esse estudo é igual a a) 1.320. b) 2.090. c) 5.845. d) 6.600. e) 7.245. 71) (UERJ) Observe o quadrinho abaixo.

As quatro pessoas que conversavam no banco da praça poderiam estar sentadas em outra ordem. Considerando que o fumante ficou sempre numa das extremidades, o número de ordenações possíveis é: a) 4 b) 6 c) 12 d) 24 e) 48 72) (UNIFESP) As permutações das letras da palavra PROVA foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de cinco letras em um dicionário. A 73ª palavra nessa lista é: a) PROVA. b) VAPOR. c) RAPOV. d) ROVAP. e) RAOPV. 74) Num programa transmitido diariamente, uma emissora de rádio toca sempre as mesmas 10 músicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as possíveis seqüências dessas

Page 15: APOSTILA ENEM MATEMÁTICA

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músicas serão necessários aproximadamente: a) 100 dias. b) 10 anos. c) 1 século. d) 10 séculos. e) 100 séculos 75)(ENEM) Em um jogo disputado em uma mesa de sinuca, há 16 bolas: 1 branca e 15 coloridas, as quais, de acordo com a coloração, valem de 1 a 15 pontos (um valor para cada bola colorida). O jogador acerta o taco na bola branca de forma que esta acerte as outras, com o objetivo de acertar duas das quinze bolas em quaisquer caçapas. Os valores dessas duas bolas são somados e devem resultar em um valor escolhido pelo jogador antes do início da jogada. Arthur, Bernardo e Caio escolhem os números 12, 17 e 22 como sendo resultados de suas respectivas somas. Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de ganhar o jogo é: a) Arthur, pois a soma que escolheu é a menor. b) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 4 possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio. c) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio. d) Caio, pois há 10 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 8 possibilidades para a escolha de Bernardo. e) Caio, pois a soma que escolheu é a maior. 11. Razões e proporções, porcentagem e juros e relações de dependência entre grandezas. 11.1.Razão Chama-se razão entre dois números a e b ao quociente

indicado entre eles. Notação : b

a ou a : b.

Termos da razão :

a Antecedente b conseqüente

11.2.Razões Especiais I) Velocidade Média: É a razão entre o espaço percorrido e o tempo gasto para percorrê-lo.

Vm

S

t

ll) Escala: É a razão entre o comprimento de um segmento no desenho (mapa, planta) e o comprimento real desse segmento.

Escala = r

d

Exemplo: Em um mapa, a distância entre Montes Claros e Viçosa é representada por um segmento de 7,2 cm. A distância real entre essas cidades é de 4320km. Vamos calcular a escala deste mapa. As medidas devem estar na mesma unidade, logo 4320km = 432 000 000 cm

Observação: Para se achar a razão entre as “áreas” faz-se (d / r)2 e entre os “volumes” , ( d / r )3. III) Densidade demográfica Calcula-se dividindo-se a quantidade de habitantes de uma região pela área dessa região.

11.3.Proporção É uma igualdade entre razões.

Notação d

c

b

a ou a : b :: c : d.

Termos : a e d extremos b e c meios Propriedade Fundamental O produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

d

c

b

a a . d = b . c

Não podemos esquecer que

db

ca

d

c

b

a

Quarta proporcional

x

c

b

a

Proporção contínua: os meios são idênticos

c

b

b

a

Terceira proporcional.

x

b

b

a

Grandezas diretamente proporcionais Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando-se (ou diminuindo-se) uma, a outra também aumenta (ou diminui) na mesma razão. Ex.: Tempo e Distância Grandezas inversamente proporcionais Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando-se uma a outra diminui na mesma razão, e vice-versa. Ex.: Velocidade e Tempo

Exercícios

76) Determine a razão entre 37 candidatos e 222 candidatos. a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/6 77) (ENEM) Se compararmos a idade do planeta Terra, avaliada em quatro e meio bilhões de anos (4,5 × 10ª anos), com a de uma pessoa de 45 anos, então quando começaram a florescer os primeiros vegetais, a Terra já teria 42 anos. Ela só conviveu com o homem moderno nas últimas quatro horas e, há cerca de uma hora, viu-o começar a plantar e a colher. Há menos de um minuto percebeu o ruído de máquinas e de indústrias e, como denuncia uma ONG de defesa do meio

ambiente, foi nesses últimos sessenta segundos que se produziu todo o lixo do planeta! Na teoria do " Big Bang", o Universo surgiu há cerca de 15 bilhões de anos, a partir da explosão e expansão de uma densíssima gota. De acordo com a escala proposta no texto, essa teoria situaria o início do Universo há cerca de a) 100 anos. b) 150 anos.

Page 16: APOSTILA ENEM MATEMÁTICA

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c) 1000 anos. d) 1500 anos. e) 2000 anos. 78) (ENEM) Muitas usinas hidroelétricas estão situadas em barragens. As características de algumas das grandes represas e usinas brasileiras estão apresentadas no quadro a seguir.

A razão entre a área da região alagada por uma represa e a potência produzida pela usina nela instalada é uma das formas de estimar a relação ente o dano e o benefício trazidos por um projeto hidroelétrico. A partir dos dados apresentados no quadro, o projeto que mais onerou o ambiente em termos de área alagada por potência foi

a) Tucuruí b) Furnas c) Itaipu d) Ilha Solteira e) Sobradinho 79) (ENEM) Em uma empresa, existe um galpão que precisa ser dividido em três depósitos e um "hall" de entrada de 20m£, conforme a figura abaixo. Os depósitos I, II e III serão construídos para o armazenamento de, respectivamente, 90, 60 e 120 fardos de igual volume, e suas áreas devem ser proporcionais a essas capacidades.

A largura do depósito III dever ser, em metros, igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 80)(ENEM) Um engenheiro, para calcular a área de uma cidade, copiou sua planta numa folha de papel de boa qualidade, recortou e pesou numa balança de precisão, obtendo 40 g. Em seguida, recortou, do mesmo desenho, uma praça de dimensões reais 100 m × 100 m, pesou o recorte na mesma balança e obteve 0,08 g. Com esses dados foi possível dizer que a área da cidade, em metros quadrados, é de, aproximadamente, a) 800. b) 10 000. c) 320 000. d) 400 000. e) 5 000 000. 81)(ENEM) Os níveis de irradiância ultravioleta efetiva (IUV) indicam o risco de exposição ao Sol para pessoas de pele do tipo II - pele de pigmentação clara. O tempo de exposição segura (TES) corresponde ao tempo de exposição aos raios solares sem que ocorram queimaduras de pele. A tabela mostra a correlação entre riscos de exposição, IUV e TES.

Uma das maneiras de se proteger contra queimaduras provocadas pela radiação ultravioleta é o uso dos cremes protetores solares, cujo Fator de Proteção Solar (FPS) é calculado da seguinte maneira: FPS = TPP/TPD TPP = tempo de exposição mínima para produção de vermelhidão na pele protegida (em minutos). TPD = tempo de exposição mínima para produção de vermelhidão na pele desprotegida (em minutos). O FPS mínimo que uma pessoa de pele tipo II necessita para evitar queimaduras ao se expor ao Sol, considerando TPP o intervalo das 12:00 às 14:00h, num dia em que a irradiância efetiva é maior que 8, de acordo com os dados fornecidos, é a) 5. b) 6. c) 8. d) 10. e) 20. 82) (ENEM)Dados divulgados pelo Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais mostraram o processo de devastação

sofrido pela Região Amazônica entre agosto de 1999 e agosto de 2000. Analisando fotos de satélites, os especialistas concluíram que, nesse período, sumiu do mapa um total de 20000 quilômetros quadrados de floresta. Um órgão de imprensa noticiou o fato com o seguinte texto: O assustador ritmo de destruição é de um campo de futebol a cada oito segundos. Considerando que um ano tem aproximadamente 32 x 106 s (trinta e dois milhões de segundos) e que a medida da área oficial de um campo de futebol é aproximadamente 10­£ km£ (um centésimo de quilômetro quadrado), as informações apresentadas nessa notícia permitem concluir que tal ritmo de desmatamento, em um ano, implica a destruição de uma área de

a) 10000 km2, e a comparação dá a idéia de que a devastação não é tão grave quanto o dado numérico nos indica. b) 10000 km2, e a comparação dá a idéia de que a devastação é mais grave do que o dado numérico nos indica. c) 20000 km2, e a comparação retrata exatamente o ritmo da destruição. d) 40000 km2, e o autor da notícia exagerou na comparação, dando a falsa impressão de gravidade a um fenômeno natural. e) 40000 km2 e, ao chamar a atenção para um fato realmente grave, o autor da notícia exagerou na comparação.

83)(ENEM) Para o registro de processos naturais e sociais devem ser utilizadas diferentes escalas de tempo. Por exemplo, para a datação do sistema solar é necessária uma escala de bilhões de anos, enquanto que, para a história do Brasil, basta uma escala de centenas de anos. Assim, para os estudos relativos ao surgimento da vida no Planeta e para os estudos relativos ao surgimento da escrita, seria adequado utilizar, respectivamente, escalas de: a) Vida no Planeta: Milhares de anos Escrita: Centenas de anos b) Vida no Planeta: Milhões de anos

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Escrita: Centenas de anos c) Vida no Planeta: Milhões de anos Escrita: Milhares de anos d) Vida no Planeta: Bilhões de anos Escrita: Milhões de anos e) Vida no Planeta: Bilhões de anos Escrita: Milhares de anos 84)(ENEM) Já são comercializados no Brasil veículos com motores que podem funcionar com o chamado combustível flexível, ou seja, com gasolina ou álcool em qualquer proporção. Uma orientação prática para o abastecimento mais econômico é que o motorista multiplique o preço do litro da gasolina por 0,7 e compare o resultado com o preço do litro de álcool. Se for maior, deve optar pelo álcool. A razão dessa orientação deve-se ao fato de que, em média, se com um certo volume de álcool o veículo roda dez quilômetros, com igual volume de gasolina rodaria cerca de a) 7 km. b) 10 km. c) 14 km. d) 17 km. e) 20 km. 85) (ENEM) Um biólogo mediu a altura de cinco árvores distintas e representou-as em uma mesma malha quadriculada, utilizando escalas diferentes, conforme indicações na figura a seguir.

Qual é a árvore que apresenta a maior altura real?

a) I b) II c) III d) IV e) V 86)(ENEM)

A resistência elétrica e as dimensões do condutor

A relação da resistência elétrica com as dimensões do

condutor foi estudada por um grupo de cientistas por meio de vários experimentos de eletricidade. Eles verificaram que existe proporcionalidade entre:

resistência (R) e comprimento ( ℓ ), dada a mesma secção transversal (A);

resistência (R) e área da secção transversal (A), dado o mesmo comprimento (ℓ ) e

comprimento (ℓ ) e área da secção transversal (A), dada a

mesma resistência (R). Considerando os resistores como fios, pode-se exemplificar o estudo das grandezas que influem na resistência elétrica utilizando as figuras seguintes.

As figuras mostram que as proporcionalidades

existentes entre resistência (R) e comprimento ((ℓ), resistência (R) e área da secção transversal (A), e entre comprimento ((ℓ) e área da secção transversal (A) são, respectivamente, a) direta, direta e direta. b) direta, direta e inversa. c) direta, inversa e direta. d) inversa, direta e direta. e) inversa, direta e inversa. 87)(ENEM)

No monte de Cerro Armazones, no deserto de Atacama,

no Chile, ficará o maior telescópio da superfície terrestre, o Telescópio Europeu Extremamente Grande (E-ELT). O E-ELT terá um espelho primário de 42 m de diâmetro, “o maior olho do mundo voltado para o céu”.

Disponível em: http://www.estadao.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).

Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora fez uma suposição de que o diâmetro do olho humano mede aproximadamente 2,1 cm. Qual a razão entre o diâmetro aproximado do olho humano, suposto pela professora, e o diâmetro do espelho primário do telescópio citado? a) 1 : 20

b) 1 : 100 c) 1 : 200 d) 1 : 1 000 e) 1 : 2 000 88) Uma torneira enche um tanque em 12 horas; uma outra torneira enche-o em 15 horas. Estando o tanque vazio e abrindo-se as duas torneiras no mesmo instante, em quanto tempo ficará cheio? a) 5 horas b) 6 horas c) 6 horas e 40 minutos d) 7 horas e) 4 horas 89) Um reservatório é alimentado por duas torneiras que enchem em 6 horas. Se a primeira, sozinha, enche-o em 10 horas, em quanto tempo a segunda, funcionando só, deixará o reservatório cheio? a) 15 horas b) 16 horas c) 14 horas d) 11 horas e) 13 horas 90) Uma raposa está adiantada 60 pulos seus sobre um cão que a persegue. Enquanto que a raposa dá 10 pulos, o cão dá 8 pulos, 3 pulos do cão valem 5 pulos da raposa. Quantos pulos dará o cão para alcançar a raposa? a) 140 b) 141 c) 142 d) 143 e) 144

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12.regra de três. - Chamamos de três ao processo prático destinado a resolver problemas que envolvam grandezas direta ou inversamente proporcionais. Inversamente proporcionais. PROBLEMA RESOLVIDO 1. 24 operários trabalhando 6 horas por dia, durante 18 dias, fazem uma estrada de 45 km num terreno de dificuldade 2, sendo a capacidade dos operários expressa por 3. Quantos dias levarão 30 operários, trabalhando 8 horas por dia, para fazer uma estrada de 80 km, num terreno de dificuldade 5 e cuja capacidade dos operários é expressa por 4 Solução: 24 op .....6 h ........ 18 d ..... 45 km ... 2 dif .......... 3 cap 30 op .. 8 h .......... x .... 80 km .....5 dif ...........4 cap

x 364245830

358061824

;

1. Escreve-se 18 (quantidade da mesma espécie que x,

no numerador); 2. 24 op. Gastam 18 dias; 1 op. Gastará mais dias (24 no

numerador) e 30 op. Gastarão menos dias (30 no denominador);

3. Trabalhando 6 horas por dia os op. Gastam tantos dias; trab. Uma hora por dia, gastarão mais dias (6 no numerador) e trab. 8, gastarão menos ( 8 no denominador);

4. para fazer 45 km, os operários levam tantos dias; 5. para fazer 1 km, levarão menos dias (45 no

denominador) e para fazer 80 km levarão mais dias (80 no numerador);

6. quando a dificuldade é 2, os op. Levam tantos dias; 7. quando a dificuldade é 1, levarão menos dias (2 no

denominador) e quando a dificuldade for 5, levarão mais dias (5 no numerador);

8. quando a capacidade dos op. É 3, eles levam tantos dias; quando a cap. É 1, eles levarão mais dias (3 no numerador) e quando a cap. É 4 levarão menos dias (4 no denominador).

Resp: 36 dias Obs: Quando a capacidade (força, habilidade, experiência, prática) do operário diminui, ele passa a levar mais tempo, para fazer um determinado trabalho. PROBLEMA RESOLVIDO 2. 36 operários trabalhando 8 horas por dia durante 12 dias, abrem uma estrada de 15 km. Quantos dias de 6 horas, gastarão 48 operários, para abrir outra estrada de 20 km, supondo-se que os operários da segunda turma são duas vezes mais produtivos que os da primeira e que a dificuldade do primeiro trabalho está para a do segundo, como 4 para 5 Solução: Representa-se por 1 a capacidade (ou produtividade da 1.ª por 4 e a da 2.ª por 5); 36 op .....8 h ......12 d ......15 km ....1 cap....... 4 dif 48 op ... 6 h ..... x ........ 20 km ..2 cap . ..... 5 dif

x 10

4215648

512081236

; 36 operários gastam 12 dias; 1 operário gasta mais dias ou 36

12 e 48 operários gastam menos dias ou 48

1236 ;

Trabalhando 8 h por dia os operários levam tantos dias; trabalhando 1 hora por dia, levam mais dias (8 no numerador e 6 no denominador); Para fazer 15 km os operários gastam tantos dias, para fazer 1 km gastam menos dias (15 no denominador e 20 no numerador); Quando a capacidade é 1 os operários gastam tantos dias e quando for 2, gastarão menos dias, 2 vezes menos (2 no denominador); Sendo a dificuldade 4 os operários levam tantos dias; sendo a dificuldade 1, os operários levarão menos dias (4 no denominador e 5 no numerador). Resp: 10 dias PROBLEMA RESOLVIDO 3. Um automóvel, andando 8 horas por dia, percorre 9000 km em 15 dias. Quantas horas ele deverá andar, por dia, para percorrer 15000 km em 25 dias, diminuindo sua velocidade de 1/5 Solução: Representa-se a velocidade inicial por 5/5; diminuída de 1/5, fica reduzida a 4/5; eliminam-se os denominadores iguais e a velocidade ficam: 5 e 4; 8 h..........15 d ......9000 km ............ 5 veloc. x.............25 d ......15000 km ...........4 veloc.

X 104900025

515000815

;

Para percorrer uma distância em 15 dias, o automóvel deverá andar 8 horas por dia; para percorrer a mesma distância em um dia deverá andar mais horas ou 15 8; 15 no numerador e 25 no outro termo da fração (o denominador); Para percorrer 9000 km, o automóvel deve andar 8 horas por dia; para percorrer 1 km, poderá andar menos horas (9000 no denominador e 15000 no numerador); Quando a velocidade é 5, o automóvel deve andar tantas horas por dia; quando a velocidade é 1, deverá andar mais horas (5 no numerador e 4 no denominador). Resp: 10 horas

Exercícios

91) Em uma hora, 4 máquinas produzem 1200 parafusos. Nesse mesmo tempo, 3 máquinas produzirão quantos parafusos? a) 800 b) 900 c) 1000 d) 1100 e) 1600 92) Uma torneira despeja 18 litros de água em 9 minutos. Em 2 horas e 15 minutos despejará: a) 300 b) 270 c) 240 d) 220 e) 200 93) Um construtor utilizando 16 operários trabalhando 6 horas por dia constrói uma determinada obra em 180 dias. Quantos operários deverá ser utilizados para fazer a mesma obra trabalhando 8 horas por dia no prazo de 120 dias? a) 23 b) 25 c) 28

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d) 18 e) 20

94) Se k abelhas, trabalhando k meses do ano, durante k dias no mês e durante k horas por dia, produzem k litros de mel; então o número de litros de mel produzidos por w abelhas, trabalhando w horas por dia, em w dias e em w meses do ano, será:

a) 2

3

w

k

b) 3

5

k

w

c) 3

4

w

k

d) 4

3

k

w

e) 3

4

k

w

95) ( UNICAMP ) Uma obra será executada por 13 operários (de mesma capacidade de trabalho) trabalhando durante 11 dias com jornada de trabalho de 6 horas por dia. Decorridos 8 dias do início da obra 3 operários adoeceram e a obra deverá ser concluída pelos operários restantes no prazo estabelecido anteriormente. Qual deverá ser a jornada diária de trabalho dos operários restantes nos dias que faltam para a conclusão da obra no prazo previsto ? a) 7h 42 min b) 7h 44 min c) 7h 46 min d) 7h 48 min e) 7h 50 min

96)

Admita que os pássaros levem exatamente três semanas para construir seu ninho, nas condições apresentadas nos quadrinhos. Se eles quiserem construir o ninho em apenas duas semanas, trabalhando 9 horas diárias, deverão juntar, por dia, a seguinte quantidade de gravetos: a) 600 b) 800 c) 900 d) 1000 e) 1200 97) Uma cafeteira elétrica tem, no recipiente onde se coloca a água, um mostrador indicando de 1 a 20 cafezinhos. O tempo gasto para fazer 18 cafezinhos é de 10 minutos, dos quais 1 minuto é o tempo gasto para aquecer a resistência. Qual o tempo gasto por essa mesma cafeteira para fazer 5 cafezinhos ? a) 3 min

b) Menos de 3 min c)Entre 3 min. e 3,5 min d) 3,5 min e) Mais de 3,5 min. 98) Doze marinheiros pintaram o casco de um contratorpedeiro em 4 dias e 4 horas. Quantos marujos, da mesma capacidade de trabalho, serão necessários para pintar o mesmo casco em 6 dias e 6 horas?

99) A ração para 12 animais, durante 8 dias custa 24.000,00. O custo da ração para 18 animais, durante 6 dias é de:

a) 48.000,00

b) 27.000,00

c) 21.333,33

d) 16.000,00

e) 12.000,00

100) Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual eficiência, são capazes de produzir 500 peças em 5 dias, se operarem 5 horas por dia. Se 10 máquinas iguais às primeiras operassem 10 horas por dia durante 10 dias, o número de peças produzidas seria:

a) 1000

b) 2000

c) 4000

d) 5000

e) 8000

101) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais para o almoço durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais de 500 empregados, a quantidade de marmitas já adquiridas, seria suficiente para um número de dias igual a:

a) 10

b) 12

c) 15

d) 18

e) 20

102) Dois guindastes, trabalhando juntos, descarregam um navio em 6 horas. Trabalhando em separado, sabendo-se que um deles pode descarregar o navio em 5 horas menos que o outro, quantas horas levaria cada um?

a) 5 e 10

b) 11 e 16

c) 10 e 15

d) 3 e 8

e) 6 e 11

103) Jean constrói 20 cadeiras em 3 dias de 4 horas de trabalho por dia. Wiliam constrói 15 cadeiras do mesmo tipo em 8 dias de 2 horas de trabalho por dia. Trabalhando juntos, no ritmo de 6 horas por dia, produzirão 250 cadeiras em quantos dias?

104)(ENEM) Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de: a) 920 kg.

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b) 800 kg. c) 720 kg. d) 600 kg. e) 570 kg. 105)(UERJ) Na tabela a seguir, um determinado sanduíche é utilizado como padrão de comparação do poder de compra dos trabalhadores de seis cidades diferentes. Na cidade de São Paulo, o menor número de minutos necessários para comprar um único sanduíche é representado por x.

Considere que a jornada de trabalho é a mesma em todas as cidades. O valor aproximado de x corresponde a: a) 48 b) 46 c) 42 d) 40 13. Porcentagem.

O símbolo n% representa a fração n /100 e serve para fazer comparação com grupos de 100 elementos. Ex.: Quando falamos que uma turma de 50 alunos possui 40% de homens, significa que se a turma possuísse 100 alunos, 40 seriam homens. Mas como só há 50, concluímos que 20 são homens.

Para calcular n% de um valor A, basta multiplicar n% .A. Fator de aumento Em geral, se um valor A sofre um aumento de n%, o novo valor N é dado por: N = A + n%.A N = A. (1 + n%)

Fator de multiplicação pode ser um acréscimo ou um decréscimo no valor do produto. Sendo um produto aumentou 10% então seu fator de multiplicação é de 1 + (taxa de acréscimo), sendo essa taxa de 0,1. Portanto, seu fator de multiplicação é de 1,1. Se um produto teve um desconto de 10% então seu fator de multiplicação é de 1 – (taxa de decréscimo), sendo essa taxa de 0,1 temos 1 – 0,1 = 0,9

Acréscimo Fator de Multiplicação

10% 1,1

15% 1,15

18% 1,18

20% 1,2

63% 1,63

86% 1,86

100% 2

Vendendo um ingresso que custou R$40,00 com um acréscimo de 20% temos: 40 multiplicado por 1,2 = R$48,00 Decréscimo Fator de Multiplicação

10% 0,9

15% 0,85

18% 0,82

20% 0,8

63% 0,37

86% 0,14

100% 0 Descontando 10% no valor de R$30,00 temos: 30 multiplicado por 0,90 = R$27,00

Exercícios

106) (UERJ) Uma fábrica de doces vende caixas com 50 unidades de bombons recheados com dois sabores, morango e caramelo. O custo de produção dos bombons de morango é de 10 centavos por unidade, enquanto o dos bombons de caramelo é de 20 centavos por unidade. Os demais custos de produção são desprezíveis. Sabe-se que cada caixa é vendida por R$ 7,20 e que o valor de venda fornece um lucro de 20% sobre o custo de produção de cada bombom. Calcule o número de bombons de cada sabor contidos em uma caixa. 107) (UERJ)João abriu uma caderneta de poupança e, em 1¡. de janeiro de 2006, depositou R$ 500,00 a uma taxa de juros, nesse ano, de 20%. Em 1¡. de janeiro de 2007, depositou mais R$ 1.000,00. Para que João tenha, nessa poupança, em 1¡. de janeiro de 2008, um montante de R$ 1.824,00, a taxa de juros do segundo ano deve corresponder a: a) 12% b) 14% c) 16% d) 18% 108) Após se fazer uma promoção em um clube de dança, o número de frequentadores do sexo masculino aumentou de 60 para 84 e, apesar disso, o percentual da participação masculina passou de 30% para 24%. Considerando-se essas informações, é correto afirmar que o número de mulheres que frequentam esse clube, após a promoção, teve um aumento de a) 76%. b) 81%. c) 85%. d) 90%. 109) Na última eleição para diretor de um clube, na qual 11% dos sócios votaram em branco e 13% anularam o voto, o vencedor obteve 52% dos votos válidos. Não são considerados válidos os votos em branco e os votos nulos. Todos os sócios votaram. Nestas condições o vencedor, de fato, obteve de todos os sócios um percentual de votos da ordem de a) 38,02 % b) 39,52 % c) 40,50 % d) 41,05 % 110)(FUVEST) No próximo dia 08/12, Maria, que vive em Portugal, terá um saldo de 2.300 euros em sua conta corrente, e uma prestação a pagar no valor de 3.500 euros, com vencimento nesse dia. O salário dela é suficiente para saldar tal prestação, mas será depositado nessa conta corrente apenas no dia 10/12. Maria está considerando duas opções para pagar a prestação:

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1. Pagar no dia 8. Nesse caso, o banco cobrará juros de 2% ao dia sobre o saldo negativo diário em sua conta corrente, por dois dias; 2. Pagar no dia 10. Nesse caso, ela deverá pagar uma multa de 2% sobre o valor total da prestação. Suponha que não haja outras movimentações em sua conta corrente. Se Maria escolher a opção 2, ela terá, em relação à opção 1, a) desvantagem de 22,50 euros. b) vantagem de 22,50 euros. c) desvantagem de 21,52 euros. d) vantagem de 21,52 euros. e) vantagem de 20,48 euros. 111) Quando estava lendo uma reportagem sobre a sua banda favorita, Paula observou que havia um borrão de tinta no texto, como é mostrado a seguir:

Curiosa, Paula determinou que o número de ingressos oferecidos para a área vip foi a) 260. b) 400. c) 540. d) 760. e) 910. 112) Determinada loja vende todos os produtos com pagamento para 45 dias. Para pagamento à vista, a loja oferece 8% de desconto. A taxa mensal de juro simples paga pelo cliente que prefere pagar após 45 dias é, aproximadamente, de: a) 0% b) 5,3% c) 8% d) 5,8% e) 4,2% 113)(ENEM) O Aedes aegypti é vetor transmissor da dengue. Uma pesquisa feita em São Luís - MA, de 2000 a 2002, mapeou os tipos de reservatório onde esse mosquito era encontrado. A tabela a seguir mostra parte dos dados coletados nessa pesquisa.

Se mantido o percentual de redução da população total de A. aegypti observada de 2001 para 2002, teria sido encontrado, em 2003, um número total de mosquitos: a) menor que 5.000. b) maior que 5.000 e menor que 10.000. c) maior que 10.000 e menor que 15.000. d) maior que 15.000 e menor que 20.000. e) maior que 20.000. 114)(ENEM) Não é nova a ideia de se extrair energia dos oceanos aproveitando-se a diferença das marés alta e baixa. Em 1967, os franceses instalaram a primeira usina "maré-motriz", construindo uma barragem equipada de 24 turbinas, aproveitando-se a potência máxima instalada de 240 MW, suficiente para a demanda de uma cidade com 200 mil habitantes. Aproximadamente 10% da potência total instalada são demandados pelo consumo residencial. Nessa cidade francesa, aos domingos, quando parcela dos setores industrial e comercial pára, a demanda diminui 40%. Assim, a produção de energia correspondente à demanda aos domingos será atingida mantendo-se I. todas as turbinas em funcionamento, com 60% da capacidade máxima de produção de cada uma delas. II. a metade das turbinas funcionando em capacidade máxima e o restante, com 20% da capacidade máxima. III. quatorze turbinas funcionando em capacidade máxima, uma com 40% da capacidade máxima e as demais desligadas. Está correta a situação descrita a) apenas em I. b) apenas em II. c) apenas em I e III. d) apenas em II e III. e) em I, II e III. 115) Ricardo e Aline têm, respectivamente, 19 e 17 anos. Aline terá 92% da idade de Ricardo daqui a ____ anos. Preenche-se corretamente a lacuna com a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 9 116) No Brasil, segundo o Censo 2000, o número de jovens na faixa de 15 a 29 anos é de 49 milhões. Isso representa 28% do total da população brasileira e é responsável por cerca de 50% dos jovens da América Latina. Em 2000 a população de jovens da América Latina correspondia, em milhões, a: a) 98 b) 74 c) 49 d) 26 e) 13 117)(ENEM) Uma cooperativa de radiotáxis tem como meta atender em no máximo 15 minutos a pelo menos 95% das chamadas que recebe. O controle dessa meta é feito ininterruptamente por um funcionário que utiliza um equipamento de rádio para monitoramento. A cada 100 chamadas, ele registra o número acumulado de chamadas que não foram atendidas em 15 minutos. Ao final de um dia, a cooperativa apresentou o seguinte desempenho:

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Esse desempenho mostra que, nesse dia, a meta estabelecida foi atingida: a) nas primeiras 100 chamadas. b) nas primeiras 200 chamadas. c) nas primeiras 300 chamadas. d) nas primeiras 400 chamadas. e) ao final do dia. 118) No Brasil, o número de cursos superiores via internet tem crescido nos últimos anos, conforme mostra o gráfico abaixo.

Desde 2001, quando foram autorizados pelo governo, até 2004, o percentual de aumento desses cursos foi de a) 6%. b) 7%. c) 70%. d) 600%. e) 700% 119) João está à procura de um imóvel para adquirir. Após várias pesquisas de mercado, achou o imóvel de seus sonhos, porém, por não ter a quantia suficiente para pagar o valor solicitado, pechinchou com o vendedor, obtendo dois descontos sucessivos de 20% e 5% no valor inicial do imóvel. O valor da taxa única que representa esses dois descontos é a) 23%. b) 24%. c) 25%. d) 26%. e) 27%. 120)(UERJ) No dia 5 de dezembro, uma loja aumenta os preços de seus produtos em 60%. Na liquidação após o Ano Novo, os mesmos produtos sofrem um desconto de 27,5%, em relação aos preços reajustados em 5 de dezembro. Após esta liquidação, podemos constatar que os preços dos produtos, em relação aos preços do dia 4 de dezembro, sofreram uma variação percentual de: a) 16,0% b) 29,0% c) 32,5% d) 44,0% 121)(ENEM) Uma pesquisa sobre orçamentos familiares, realizada recentemente pelo IBGE, mostra alguns itens de despesa na distribuição de gastos de dois grupos de famílias com rendas mensais bem diferentes.

Considere duas famílias com rendas de R$ 400,00 e R$ 6.000,00, respectivamente, cujas despesas variam de acordo com os valores das faixas apresentadas. Nesse caso, os valores, em R$, gastos com alimentação pela família de maior renda, em relação aos da família de menor renda, são, aproximadamente, a) dez vezes maiores. b) quatro vezes maiores. c) equivalentes. d) três vezes menores. e) nove vezes menores. 122) (ENEM)Uma empresa lançou um produto em dois tamanhos de embalagem e peso. Uma com 750 g ao preço de R$ 9,00 e outra com 300 g do mesmo produto com valor de R$ 5,80. A embalagem maior utiliza 15% a menos de papelão que duas das menores. Além da economia para o consumidor, na compra de 1,5 kg desse produto na embalagem maior a economia de papelão, em termos percentuais, é de: a) 30%. b)32%. c) 45%. d) 47%. e) 52%

123) (ENEM)Um professor dividiu a lousa da sala de aula em quatro partes iguais. Em seguida, preencheu 75% dela com conceitos e explicações, conforme a figura seguinte.

Algum tempo depois, o professor apagou a lousa por completo e, adotando um procedimento semelhante ao anterior, voltou a preenchê-la, mas, dessa vez, utilizando 40% do espaço dela. Uma representação possível para essa segunda situação é:

124) (ENEM) Antes de uma eleição para prefeito, certo instituto realizou uma pesquisa em que foi consultado um número significativo de eleitores, dos quais 36% responderam

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que iriam votar no candidato X; 33%, no candidato Y e 31%, no candidato Z. A margem de erro estimada para cada um desses valores é de 3% para mais ou para menos. Os técnicos do instituto concluíram que, se confirmado o resultado da pesquisa, a) apenas o candidato X poderia vencer e, nesse caso, teria 39% do total de votos. b) apenas os candidatos X e Y teriam chances de vencer. c) o candidato Y poderia vencer com uma diferença de até 5% sobre X. d) o candidato Z poderia vencer com uma diferença de, no máximo, 1% sobre X. e) o candidato Z poderia vencer com uma diferença de até 5% sobre o candidato Y. 125) (ENEM)Considere duas famílias com rendas de R$ 400,00 e R$ 6.000,00, respectivamente, cujas despesas variam de acordo com os valores das faixas apresentadas. Nesse caso, os valores, em R$, gastos com alimentação pela família de maior renda, em relação aos da família de menor renda, são, aproximadamente, a) dez vezes maiores. d) três vezes menores. b) quatro vezes maiores. e) nove vezes menores. 126) A participação dos estudantes na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) aumenta a cada ano. O quadro indica o percentual de medalhistas de ouro, por região, nas edições da OBMEP de 2005 a 2009.

Em relação à edições de 2005 e 2009 da OBMEP, qual o percentual médio de medalhistas de ouro da região nordeste. a) 14,6% b) 18,2% c) 18,4% d) 19,0 % e) 21,0% 14. Relações de dependência entre grandezas. 127)(ENEM)

O saldo de contratações no mercado formal no setor varejista da região metropolitana de São Paulo registrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve incremento de 4 300 vagas no setor, totalizando 880 605 trabalhadores com carteira assinada.

Disponível em: http://www.folha.uol.co m.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado).

Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano. Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses,

janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantidades nesses meses é: a) y = 4 300.x b) y = 884005.x c) y = 872 005 + 4 300.x d) y = 876 305 + 4 300.x e) y = 880 605 + 4 300.x

128)(ENEM) O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100 000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350 000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120 000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 150 000,00. As duas empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada. Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas? a) 100n + 350 = 120n + 150 b) 100n + 150 = 120n + 350 c) 100(n + 350) = 120(n + 150) d) 100(n + 350 000) = 120(n + 150 000) e) 350(n + 100 000) = 150(n + 120 000) 129) (ENEM) O Índice de Massa Corporal (IMC) é largamente utilizado há cerca de 200 anos, mas esse cálculo representa muito mais a corpulência que a adiposidade, uma vez que indivíduos musculosos e obesos podem apresentar o mesmo IMC. Uma nova pesquisa aponta o Índice de Adiposidade Corporal (IAC) como uma alternativa mais fidedigna para quantificar a gordura corporal, utilizando a medida do quadril e a altura. A figura mostra como calcular essas medidas, sabendo-se que, em mulheres, a adiposidade normal está entre 19% e 26%. Uma jovem com IMC = 20 kg/m2, 100 cm de circunferência dos quadris e 60 kg de massa corpórea resolveu averiguar seu IAC. Para se enquadrar aos níveis de normalidade de gordura corporal, a atitude adequada que essa jovem deve ter diante da nova medida é (Use √3 = 1,7 e √1,7 = 1,3)

a) reduzir seu excesso de gordura em cerca de 1%. b) reduzir seu excesso de gordura em cerca de 27%. c) manter seus níveis atuais de gordura. d) aumentar seu nível de gordura em cerca de 1%. e) aumentar seu nível de gordura em cerca de 27%.

130)(ENEM)

Uma equipe de paleontólogos descobriu um rastro de dinossauro carnívoro e nadador, no norte da Espanha.

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O rastro completo tem comprimento igual a 15 metros e consiste de vários pares simétricos de duas marcas de três arranhões cada uma, conservadas em arenito. O espaço entre duas marcas consecutivas mostra uma pernada de 2,5 metros. O rastro difere do de um dinossauro não-nadador: "são as unhas que penetram no barro - e não a pisada -, o que demonstra que o animal estava nadando sobre a água: só tocava o solo com as unhas, não pisava", afirmam os paleontólogos.

Internet: <www.noticias.uol.com.br> (com adaptações).

Qual dos seguintes fragmentos do texto, considerado isoladamente, é variável relevante para se estimar o tamanho do dinossauro nadador mencionado? a) "O rastro completo tem 15 metros de comprimento" b) "O espaço entre duas marcas consecutivas mostra uma pernada de 2,5 metros" c) "O rastro difere do de um dinossauro não-nadador" d) "são as unhas que penetram no barro - e não a pisada" e) "o animal estava nadando sobre a água: só tocava o solo com as unhas" 131)(UFF) Em um sistema de coordenadas cartesianas retangulares Oxy, a curva plana de equação y = R3/(x2 + R2), sendo R uma constante real positiva, é conhecida como feiticeira de Agnesi em homenagem à cientista Maria Gaetana Agnesi. Pode-se afirmar que esta curva: a) está situada abaixo do eixo x; b) é simétrica em relação ao eixo y; c) é simétrica em relação à origem; d) intercepta o eixo x em dois pontos; e) intercepta o eixo y em dois pontos. 132)(ENEM) Um boato tem um público alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhece o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhece. Em outras palavras, sendo R a rapidez e propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhece o boato, tem-se: R(x) = kx(P – x), em que k é uma constante positiva característica do boato. Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44000 pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a: a) 11000

b) 22000 c) 33000 d) 38000 e) 44000 133)(ENEM) O jornal de uma pequena cidade publicou a seguinte notícia:

CORREIO DA CIDADE ABASTECIMENTO COMPROMETIDO

O novo pólo agroindustrial em nossa cidade tem

atraído um enorme e constante fluxo migratório, resultando em um aumento da população em torno de 2000 habitantes por ano, conforme dados do nosso censo:

Esse crescimento tem ameaçado nosso fornecimento de água, pois os mananciais que abastecem a cidade têm capacidade para fornecer até 6 milhões de litros de água por dia. A prefeitura, preocupada com essa situação, vai iniciar uma campanha visando estabelecer um consumo médio de 150 litros por dia, por habitante. A análise da notícia permite concluir que a medida é oportuna. Mantido esse fluxo migratório e bem sucedida a campanha, os mananciais serão suficientes para abastecer a cidade até o final de a) 2005. b) 2006. c) 2007. d) 2008. e) 2009.

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GABARITO

I.1) Conhecimentos numéricos – operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais e reais)

1 (b) 2 © 3 (b)

4 (e) 5 (a) 6 (e) 7 © 8 (d) 9 (e)

10 (b) 11 (d) 12 (a)

13 © 14 (d) 15 (b)

I.2) Desigualdades, divisibilidade, fatoração,. PARTE 1

16 (e)

17 (a) 18 (a)

19 © 20 © 21 (a)

22 (d) 23 (d) 24 (a)

25 © 26 © 27 © 28 © 29 (a) 30 (d)

I.3) Sequências ,progressões e princípios de contagem. 31 © 32 ©

33 © 34 (e)

35 (e)

36 (d) 37 (b) 38 a) 25π/2

b) 210π 39 (e)

40 © 41 (b) 42 (d)

43 (b) 44 © 45 (d)

PARTE 2 46 © 47 (d) 48 (e) 49 © 50 (e)

51 © 52 © 53 (d)

54 (b) 55 (a) 56 (b)

57 (d) 58 (e)

59 (b) 60 (d)

Princípio Fundamental da Contagem

61 (d) 62 (b) 63 (b)

64 ©

65 (a)

66 © 67 (e)

68 © 69 (e) 70 (a)

71 © 72 (e) 73 (e)

74 (e) 75 ©

Razões e proporções, porcentagem e juros e relações de

dependência entre grandezas. 76 (e) 77 (b)

78 (e) 79 (d) 80 (e)

81 (b) 82 (e) 83 (e)

84 © 85 (d)

86 © 87 (e) 88 ©

89 (a) 90 (e) 91 (b)

92 (b) 93 (d) 94 (e) 95 (d) 96 (d) 97 (d) 98 8 99 (b)

100 ©

101 © 102 ©

103 16

104 (a) 105 © 106 40 bombons de morango e 10

bombons de caramelo 107 (b)

108 (d) 109 (b) 110 ©

111 (b) 112 (d) 113 (e) 114 (e) 115 © 116 (a) 117 (e) 118 (d) 119 (b)

120 (a) 121 (b) 122 (b)

123 © 124 (d) 125 (b)

126 © 127 ©

128 (a) 129 (a) 130 (b)

131 (b) 132 (b) 133 (e)

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