Apostila Elementos de Matemática Aplicada
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Elementos de Matemtica Aplicada
Wagner Queiroz Barros
Engenheiro de Petrleo
2013
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1
Esse documento foi compilado pelo Engenheiro de Petrleo Wagner Queiroz
Barros a partir de notas de aula do Professor Viatcheslav Ivanovich Priimenko,
da Universidade Estadual do Norte Fluminense - Dacy Ribeiro, Laboratrio de
Engenharia e Explorao de Petrleo LENEP.
Quaisquer dvidas ou sugestes favor enviar um e-mail para:
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2
Sumrio
1 Conceitos Bsicos de EDPs ........................................................................ 4
1.1 Definio de EDP .................................................................................. 4
1.2 Classificao de EDPs .......................................................................... 4
1.3 Soluo clssica de EDPs .................................................................... 7
2 A Equao da Onda ................................................................................... 10
2.1 Introduo ao estudo das ondas .......................................................... 10
2.2 Vibrao em uma corda, deduo da equao da onda ...................... 10
2.3 Soluo da equao da onda (Soluo de DAlembert) ...................... 14
3 Leis de Conservao Equaes de 1 Ordem no lineares ..................... 21
3.1 Derivao das leis de conservao ..................................................... 21
3.2 Soluo de equaes conservativas Mtodo das Caractersticas ...... 24
4 Catstrofe de Gradiente ............................................................................. 32
4.1 Catstrofe de gradiente ....................................................................... 32
4.2 Solues do tipo ondas de choque ...................................................... 40
5 Ondas de Rarefao .................................................................................. 52
5.1 reas de rarefao .............................................................................. 52
5.2 Soluo geral de equaes homogneas com reas de rarefao ..... 57
6 Condio de Entropia ................................................................................. 62
6.1 No unicidade de solues suaves por partes .................................... 62
6.2 Condio de entropia ........................................................................... 63
7 Propagao de Ondas em Meios Infinitos .................................................. 71
7.1 Equao de DAlembert ....................................................................... 71
7.2 Curvas caractersticas da equao da onda ........................................ 74
7.3 Soluo da equao da onda baseado nas curvas caractersticas ..... 76
7.4 Conservao de energia na equao da onda .................................... 83
8 Propagao de Ondas em Meios Semi-Infinitos ........................................ 85
8.1 Meios semi-infinitos, condio de Dirichlet .......................................... 85
8.2 Meios semi-infinitos, condio de Neumann ........................................ 89
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3
8.3 Soluo da equao da onda baseado nas curvas caractersticas para
um meio semi-infinito .................................................................................... 94
9 Propagao de Ondas em Meios Finitos.................................................... 99
9.1 Meio finito com limites fixos: ................................................................ 99
9.2 Meio finito com termo fonte Funo de Green: ............................... 109
9.3 Meio finito com limites variveis: ....................................................... 116
10 Problemas de Propagao de Ondas em Meios Finitos ........................ 120
10.1 Problema do martelo chato batendo em uma corda: ....................... 120
10.2 Problema do martelo pontiagudo batendo em uma corda: .............. 122
10.3 Problema da corda ressonante: ....................................................... 124
10.4 Problema da corda com extremidades livre: .................................... 129
11 Equao de Conservao de Calor ........................................................ 135
11.1 Conduo de calor em uma barra de comprimento finito: ............... 135
11.2 Soluo da equao do calor sem termo fonte: ............................... 137
11.3 Soluo da equao de calor considerando o termo fonte: ............. 139
11.4 Soluo final da equao de calor: .................................................. 142
Referncias Bibliogrficas .............................................................................. 146
Apndice 1: Derivadas parciais e regra da cadeia para funes dependentes de
vrias variveis ............................................................................................... 147
A1.1 Derivadas parciais ........................................................................... 147
A1.2 Regra da cadeia para funes de vrias variveis .......................... 148
Apndice 2: Soluo alternativa da equao da onda ................................... 152
Apndice 3: Ortogonalidade de Funes ....................................................... 154
A3.1 Ortogonalidade de funes do tipo seno: ........................................ 154
A3.2 Ortogonalidade de funes do tipo cosseno: .................................. 156
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1 Conceitos Bsicos de EDPs
1.1 Definio de EDP
Uma equao diferencial parcial uma equao que contm derivadas
parciais, sendo as funes desconhecidas dependentes de mais de uma
varivel. Por exemplo, a temperatura em uma placa que depende da posio e
do tempo.
Para efeitos de simplificao, a seguinte notao utilizada:
t
uut
x
uux
yx
uuxy
2
...
Pode-se definir uma EDP utilizando a seguinte notao clssica:
Considerando-se a seguinte funo:
),( yxuu , 2),( RDyx (x,y) pertencentes ao domnio D, contido no R
ento, uma funo do tipo:
0,...),,,,,,,( yyxyxxyx uuuuuuyxF , Dyx ),( (Eq. 1.1)
chamada Equao Diferencial Parcial (EDP). Segue alguns exemplos de
EDPs famosas:
1. tyxyyxxyxtt FuuCu ,,),( )( Equao da onda
2. txxt Fuu , Equao de Burgers
1.2 Classificao de EDPs
Existem seis classificaes bsicas de EDPs:
i. Quanto ordem da EDP:
A ordem da EDP a ordem da derivada parcial mais alta presente na equao.
Exemplos:
xxt uu (2 Ordem)
xt uu (1 Ordem)
senxuuu xxxt . (3 Ordem)
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5
ii. Quanto ao nmero de variveis:
Essa classificao leva em conta o nmero de variveis independentes na
equao.
Exemplos:
xxt uu (Dependente de 2 variveis, (x,t))
ur
ur
uu rrrt 211
(Dependente de 3 variveis, (r,t,))
iii. Quanto linearidade:
As equaes diferenciais parciais podem ser classificadas em lineares e no-
lineares. Existem duas formas de se definir se uma EDP linear:
1 Forma: Uma EDP dita linear se a varivel dependente e todas suas
derivadas parciais puderem ser escritas em uma forma linear do tipo:
GFuEuDuCuBuAu yxyyxyxx (Eq. 1.2)
onde A, B, C, D, E, F, e G podem ser constantes ou funes das variveis
independentes (x,y).
Exemplos:
)(. tsenueu xxt
tt
(linear)
0. txx uuu (no linear)
0. yyxx uyu (linear)
2 Forma: A equao diferencial parcial chamada de linear, se ela linear
com respeito da funo u e todas as suas derivadas. Assim as solues da
EDP podem ser obtidas a partir de uma combinao linear de outras solues.
Exemplo 1.1:
0)( xxxtt ucu (linear)
Demonstrao:
2211 uuu Uma soluo a partir de uma combinao linear de outras 2
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6
02211)(2211 xxxtt uuCuu
02)(221)(11 xxxttxxxtt ucuucu
Exemplo 1.2:
0. xt uuu (no linear)
Demonstrao:
2211 uuu Uma soluo a partir de uma combinao linear de outras 2
0. 221122112211 xt uuuuuu
Desenvolvendo e agrupando:
0.. 1221212122222211
2111 xxxtxt uuuuuuuuuu
O aparecimento de termos cruzados torna impossvel a escrita da soluo
linear como combinao linear de outras duas, assim a equao no linear.
iv. Quanto homogeneidade:
Uma EDP dita homognea quando o termo independente yxG , da Equao
1.2 for igual zero para todo ),( yx . Quando o termo yxG , for diferente de
zero, a EDP dita no homognea.
v. Quanto aos tipos de coeficientes:
Se o coeficientes A, B, C, D, E e F da Equao 1.2 forem constantes, a EDP
dita como tendo coeficientes constantes. Caso contrrio ela dita como tendo
coeficientes variveis.
vi. Trs tipos bsicos de equaes lineares:
Todas as EDPs do tipo da Equao 1.2 podem ser classificadas em
basicamente 3 tipos:
a) Parablicas: Descrevem problemas de trocas de calor e problemas de
difuso, e satisfazem a seguinte propriedade 042 ACB . b) Hiperblicas: Descrevem problemas de ondas e vibraes, e satisfazem
a seguinte propriedade 042 ACB .
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c) Elpticas: Descrevem problemas estacionrios, e satisfazem a seguinte
propriedade 042 ACB .
Exemplos:
xxt uu (A=1, B=C=0, 042 ACB ) Parablica
xxtt uu (A=1, B=0, C=-1, 442 ACB ) Hiperblica
0 xxyy uu (A=1, B=0, C=1, 442 ACB ) Elptica
1.3 Soluo clssica de EDPs
Considere uma equao diferencial parcial de ordem m:
0,...,,,,, uDuuuyxF myx , (Eq. 1.3)
2),( Ryx Para todos os pontos pertencentes a um espao mega,
contido no plano cartesiano.
Onde, define-se o operador derivada parcial:
21
)21(
mm
mmm
yx
uuD
, 21 mmm
Uma funo ),( yxu dita soluo clssica (ou soluo suave) da Equao 1.3
se:
i. )(),( mCyxu Funo ),( yxu possuir derivadas de ordem m
contnuas no subespao mega
ii. 0,...,,,,, uDuuuyxF myx , ),( yx
Exemplo 1.3:
Considere a seguinte equao da Adveco:
nteconstac
cuu xt
.
0 (Eq. 1.4)
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8
Provar que a funo ),( ctxfu )(1 RCf soluo da equao da
Adveco.
Demonstrao:
Calcular as derivadas parciais da funo u:
)(' ctxfux
ux
)).((' cctxfut
ut
Substituindo na Equao 1.4:
0 xt Cuu
0))('.()('. ctxfcctxfc
Assim, como a igualdade permanece verdadeira, a funo )( ctxfu
considerada soluo clssica (ou suave) da Equao 1.4. Essa soluo ser
demonstrada com detalhes no Tpico 3.2.
As solues do tipo )( ctxfu so chamadas de soluo do tipo onda
viajante para a direita, pois para valores crescentes de ),( tx o perfil da soluo
deslocado para a direita, como pode ser visto na Figura 1.1.
Figura 1.1: Soluo do tipo onda viajante para a direita
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Exemplo 1.4:
Considere a seguinte equao da onda:
constantec
ucu xxtt 02
(Eq. 1.5)
Provar que a soluo da Equao 1.5 uma combinao linear das solues
tipo ondas viajante para esquerda e ondas viajante para direita, ou seja, uma
combinao linear de:
)( ctxf Onda viajante para direita
)( ctxg Onda viajante para esquerda
Demonstrao:
Escrevendo a funo ),( txu como combinao linear das funes ),( txf e
),( txg :
)()(),( 21 ctxgCctxfCtxu
Calculando as derivadas parciais:
)(')(' 21 ctxgCctxfCux
)('')('' 21 ctxgCctxfCuxx
))(('))((' 21 cctxgCcctxfCut
22
21 ))((''))(('' cctxgCcctxfCutt
Substituindo as derivadas de segunda ordem na Equao 1.5:
02 xxtt ucu
0)('')('')('')('' 212
22
12 ctxgCctxfCcctxgCcctxfCc
Como a igualdade permaneceu verdadeira, podemos concluir que a
combinao linear das funes ),( txf e ),( txg soluo clssica da
Equao 1.5.
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2 A Equao da Onda
2.1 Introduo ao estudo das ondas
A noo de onda algo familiar para as pessoas de uma forma ou de outra,
uma noo intuitiva de onda uma perturbao que se propaga por um meio.
Uma descrio fsica de uma onda um transporte de energia de um ponto ao
outro sem que haja transporte de matria. Segundo Whitham (1976) uma onda
um sinal reconhecvel que transferido de uma parte de um meio para outra
parte com uma velocidade de propagao reconhecida. A Figura 2.1 mostra o
exemplo de pedras batendo em um lago gerando ondas na superfcie.
Figura 2.1: Ondas na superfcie de um lago geradas por pequenos impactos.
2.2 Vibrao em uma corda, deduo da equao da onda
A equao da onda (Equao 2.1) uma equao diferencial parcial que
descreve o fenmeno ondulatrio em vrios ramos da fsica.
xxtt ucu2 (Eq. 2.1)
Nesse tpico ser demonstrada a Equao 2.1 que modela pequenas
vibraes em uma corda totalmente esticada.
Considere uma corda totalmente esticada, homognea, que possui peso,
porm no afetada pela gravidade (vibrao em uma mesa horizontal, por
exemplo), localizada no eixo x, como mostrada na Figura 2.2.
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11
Figura 2.2: Representao de uma onda unidimensional trafegando em uma
corda totalmente esticada
Para uma total derivao da equao da onda, sero utilizadas as seguintes
consideraes:
Corda uniforme: A corda possui uma densidade linear constante;
Tenso constante: Ser assumido que a tenso ter o mesmo mdulo
em todos os pontos da corda, variando apenas a direo e o sentido;
Pequenas vibraes: A inclinao da corda indicada por ),( txux ter
sempre um valor pequeno.
Considere um elemento de comprimento infinitesimal da corda como mostrado
na Figura 2.3. Utilizando a segunda lei de Newton:
)()( aceleraoxmassaForas (Eq. 2.2)
Considera-se atuando as seguintes foras no elemento infinitesimal:
1. Foras devidas a tenso na corda:
Decompondo o vetor tenso na componente vertical em cada ponta da corda
mostrada na Figura 2.3 possvel obter a seguinte equao:
12 .. senTsenTT xxxvertical (Eq. 2.3)
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12
Figura 2.3: Representao de um elemento infinitesimal de corda
Utilizando a considerao de tenso constante, possvel observar que a
derivada espacial da funo ),( txu (funo que representa o deslocamento da
corda) possui aproximadamente o mesmo valor do seno do ngulo formado
pela corda e a horizontal, em qualquer ponto da corda, assim a Equao 2.3
pode ser escrita como:
),(),( txutxxuTT xxvertical (Eq. 2.4)
2. Foras externas:
Consideram-se foras externas principalmente as foras de campo, ou seja, o
peso da prpria corda, ou foras criadas pela passagem de outras ondas na
mesma corda. Utilizando o conceito de fora mdia no elemento infinitesimal,
as foras externas podem ser escritas como:
xtxFexternasForas ).,(_ (Eq. 2.5)
no caso da gravidade, por exemplo, mgtxF ),( .
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13
3. Fora de frico ao movimento da corda:
Essa fora pode ser modelada como sendo uma resistncia da corda
passagem da onda, utilizando o conceito de mdia, pode ser descrita como:
xtxuFricoFora t ).,(_ (Eq. 2.6)
4. Fora de restaurao
Essa fora pode ser entendida como uma fora que tende a restaurar a corda
para a posio de equilbrio, e pode ser escrita como:
xtxustauraoFora ),(_ Re (Eq. 2.7)
Observa-se que as foras com sinal negativo possuem o a direo contrria ao
movimento da corda, de forma a causar uma resistncia passagem da onda.
Substituindo as Equaes (2.4 2.7) na Equao 2.2:
xuxtxuxtxuxtxFtxutxxuT tttxx ),(),(),()],(),([
(Eq. 2.8)
onde a densidade linear da corda. Dividindo ambos os lados da equao
2.8 por x , e fazendo x tender para zero, a Equao 2.8 pode ser escrita como:
),(1 txFuuTuu txxtt
(Eq. 2.9)
Desprezando as foras externas, e de atrito que atuam na corda, a Equao
2.9 fica escrita de uma forma mais simples:
xxtt uu2 (Eq. 2.10)
onde:
T (Eq. 2.11)
-
14
2.3 Soluo da equao da onda (Soluo de DAlembert)
No Captulo 1 foi provado que as funes tipo onda viajante para a esquerda e
para a direita so solues da equao da onda, essa soluo foi obtida por
Jean le Rond d'Alembert, e ser demonstrada nesse tpico. Para o melhor
entendimento desse tpico, o Apndice 1 mostra detalhes da regra da cadeia
para funes dependentes de mais de uma varivel, e o Apndice 2 mostra
uma segunda demonstrao da soluo para a equao da onda. Antes de
demonstrar a soluo, ser feita uma descrio matemtica do problema.
O problema da soluo da equao da onda (Equao 2.10) consiste em
encontrar a soluo do seguinte conjunto:
constantec
ucu xxtt2
t
x
0 EDP Hiperblica (Eq. 2.13)
Sujeito as seguintes condies iniciais:
)()0,(
)()0,(
xgxu
xfxu
t
x Condies Iniciais (Eq. 2.14)
A soluo da Equao 2.13 ser realizada em quatro passos.
1 Passo: Transformao de coordenadas:
Para se resolver a Equao 2.13, ser utilizada uma transformao de
coordenadas ,, tx , definida por:
ctx
ctx
(Eq. 2.15)
Assim, tomando as derivadas parciais no novo sistema de coordenadas:
uucuuu ttt (Eq. 2.16)
t
uucutt
))((
tttttt uuuucu
uuucutt 2.2 (Eq. 2.17)
uuuuu xxx (Eq. 2.18)
-
15
x
uuuxx
)(
xxxxxx uuuuu
uuuuxx 2 (Eq. 2.19)
Substituindo as Equaes 2.17 e 2.19 na Equao 2.13:
uuucuuuc 2.2. 22
04 2 uc (Eq. 2.20)
Como a constante c foi definida como positiva, a Equao 2.20 pode ser
reescrita como:
0u (Eq. 2.21)
2 Passo: Soluo da equao diferencial parcial:
A Equao 2.21 pode ser resolvida utilizando-se duas integraes, uma em
relao e outra em relao . Integrando em relao obtm-se:
ddu 0
)(),( u (Eq. 2.22)
onde )( uma funo qualquer dependente apenas da varivel .
Integrando a Equao 2.22 em relao , obtm-se:
ddu
)()(),( u (Eq. 2.23)
sendo )( a funo anti-derivada de )( , e )( uma funo dependente
apenas da varivel . Assim a soluo geral da Equao 2.21 pode ser definida como a soma de quaisquer funes dependentes apenas de e .
Exemplo 2.1:
Provar que a funo 3)(),( senu soluo da Equao 2.21.
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16
Resoluo:
Substituindo a funo definida no problema na Equao 2.21:
0))(( 32
sen (Eq. 2.24)
Derivando a Equao 2.24 em relao :
)())(( 3
cos
sen
(Eq. 2.25)
Derivando a Equao 2.25 em relao :
0))((
cos (Eq. 2.26)
O que prova que a funo 3)(),( senu soluo da Equao 2.21.
3 Passo: Transformao da soluo nas coordenadas iniciais do
problema:
Para se encontrar a soluo geral da Equao 2.13 preciso aplicar a mesma
transformada de coordenadas definidas pela Equao 2.15 na Equao 2.23,
assim:
ctx
ctx
aplicadas em:
)()(),( u
resulta em:
)()(),( ctxctxtxu (Eq. 2.27)
dessa forma, a Equao 2.27 a soluo geral da Equao 2.13. Observa-se
que a Equao 2.27 composta por uma soma de ondas viajantes para a
esquerda para a direita, como foi discutido no Exemplo 1.4 do Captulo 1.
Exemplo 2.2: Provar que a equao )().(),( tcosxsentxu soluo geral da
equao da onda definida pela Equao 2.13 com 1c , e demonstrar que essa soluo pode ser escrita de acordo com a Equao 2.27.
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17
Soluo:
1 Parte: Provar que )().(),( tcosxsentxu soluo de:
xxtt ucu2 , com 1c (Eq. 2.28)
Derivando a funo ),( txu :
)()( tcosxsenu
)()( tcosxcosux
)()( tcosxsenuxx (Eq. 2.29)
)()( tensxsenut
)()( tcosxsenutt (Eq. 2.30)
Substituindo as Equaes 2.29 e 2.30 na Equao 2.28:
xxtt uu
)()()()( xcosxsenxcosxsen (Eq. 2.31)
O que prova que a funo )().(),( tcosxsentxu uma soluo da equao
da onda com 1c .
2 Parte: Escrever a funo )().(),( tcosxsentxu na forma da Equao 2.27:
Utilizando a propriedade de soma e subtrao de arcos:
)().()().()( xcostsentcosxsentxsen (Eq. 2.32)
)().()().()( xcostsentcosxsentxsen (Eq. 2.33)
somando-se as Equaes 2.32 e 2.33:
)().(2)()( tcosxsentxsentxsen
2
)(
2
)()().(
txsentxsentcosxsen
(Eq. 2.34)
como 1c , a Equao 2.34 pode ser escrita na forma:
)()(),( ctxctxtxu
sendo
-
18
2
)()(
txsenctx
Onda viajante para direita (Eq. 2.35)
2
)()(
txsenctx
Onda viajante para esquerda (Eq. 2.36)
4 Passo: Substituio das condies iniciais do problema
Nos passos anteriores foi encontrada a Equao 2.27 que soluo geral da
Equao 2.13. Nesse passo sero utilizadas as condies iniciais,
)()0,(
)()0,(
xgxu
xfxu
t
x Condies Iniciais
para se encontrar a soluo especfica do problema.
Substituindo as condies iniciais na Equao 2.27:
)()()()0()0()0,( xfxxcxcxxu (Eq. 2.37)
))(0('))(0(')0,( ccxccxxut
)()(')(')0,( xgxcxcxut (Eq. 2.38)
integrando a Equao 2.38:
Kdssgc
xxx
x
0
)(1
)()( , onde K uma constante (Eq. 2.39)
As Equaes 2.37 e 2.39 formam um conjunto de equaes lineares, cuja
soluo dada por:
Kxfdssgc
xx
x
)(2
1)(
2
1)(
0
(Eq. 2.40)
Kxfdssgc
xx
x
)(2
1)(
2
1)(
0
(Eq. 2.41)
A soluo especfica da Equao 2.13 feita substituindo )( ctx e
)( ctx nas Equaes 2.40 e 2.41, e somando as duas equaes:
-
19
Kctxfdssgc
ctxctx
x
)(2
1)(
2
1)(
0
(Eq. 2.42)
Kctxfdssgc
ctxctx
x
)(2
1)(
2
1)(
0
(Eq. 2.43)
)()(),( ctxctxtxu
)(2
1)(
2
1)(
2
1)(
2
1),(
00
ctxfdssgc
ctxfdssgc
txuctx
x
ctx
x
substituindo os limites de integrao:
dssgc
ctxfctxftxuctx
ctx
)(2
1)()(
2
1),( (Eq. 2.44)
A Equao 2.44 a soluo da equao da onda de dAlembert, onde a funo
),( txu fica escrita utilizando as condies iniciais do problema.
Exemplo 2.3:
Encontrar a soluo do seguinte problema de valor inicial:
0)0,(
)0,(2
xu
exu
uu
t
x
xxtt
(Eq. 2.45)
Soluo:
Percebe-se que a Equao 2.45 a equao da onda com 1c , assim a soluo dada pela Equao 2.44, onde:
2
)( xexf (Eq. 2.46)
0)( xg (Eq. 2.47)
substituindo as Equaes 2.46 e 2.47 na Equao 2.44:
dsc
eetxuctx
ctx
ctxctx
02
1
2
1),(
22 )()(
-
20
22 )()(2
1),( txtx eetxu (Eq. 2.48)
A Equao 2.48 a soluo da Equao 2.45, composta por uma onda viajante
para esquerda e uma onda viajante para a direita. A Figura 2.4 mostra a
soluo 2.48 plotada para vrios tempos diferentes. Pode-se observar
claramente que existem duas ondas trafegando em sentidos contrrios na
figura.
Figura 2.4: Soluo da Equao 2.45 plotada para diferentes tempos.
-
21
3 Leis de Conservao Equaes de 1 Ordem no lineares
As leis de conservao constituem equaes que contabilizam a variao de
qualquer varivel mensurvel em um sistema isolado. Constituem na
matemtica um conjunto amplo de equaes diferenciais parciais hiperblicas,
onde as equaes das ondas so um sub-grupo das leis de conservao. No
prximo tpico ser deduzido a lei de conservao em um sistema
unidimensional, e sero apresentados alguns exemplos de equaes
conservativas.
3.1 Derivao das leis de conservao
Imagine um meio unidimensional posicionado ao longo do eixo-x que contm
uma substncia mensurvel que consegue se mover ou fluir por esse meio.
Utiliza-se a varivel Q para representar essa substncia (carros, partculas,
energia, massa, etc...), para se deduzir a equao da conservao, utilizam-se
dois conceitos bsicos:
1. Concentrao:
Concentrao ou densidade definida como o nmero de unidades da
substncia Q por unidade de comprimento em um tempo t qualquer, ou seja:
tx
QNtxu
)(),( (Eq. 3.1)
Podendo ser, por exemplo, nmero de carros por quilmetro em uma rodovia,
ou gramas de uma substncia por metro de tubulao.
2. Fluxo:
Nmero de unidades da substncia Q passando por um ponto x , em um
intervalo de tempo t , assim:
xt
QNtxF
)(),( (Eq. 3.2)
Considere um pequeno segmento S definido pelos pontos a e b , mostrado na
Figura 3.1. A variao do nmero de unidades da substncia Q nesse
segmento acontecer somente de duas maneiras, ou a substncia atravessar
-
22
as fronteiras A e B , mostradas no esquema, ou a substncia ser criada ou
destruda no interior do segmento S , em outras palavras:
),()()()(
txst
QN
t
QN
t
QN
BAS
(Eq. 3.3)
Onde ),( txs definida como termo fonte de uma substncia, sendo
considerada a taxa (variao no tempo) em que a substncia Q adicionada
ou retirada do meio S .
Figura 3.1: Segmento S delimitado pelo intervalo ],[ ba do eixo-x.
Para se calcular o nmero de unidades da substncia Q calcula-se a integral
da concentrao nesse intervalo, assim:
b
aS
dxtxudt
d
t
QN),(
)( (Eq. 3.4)
logo a Equao 3.3 pode ser escrita como:
b
a
b
a
dxtxstbFtaFdxtxudt
d),(),(),(),( (Eq. 3.5)
A Equao 3.5 conhecida como Forma Integral da Lei da Conservao, as
funes ),( taF e ),( tbF possuem sinais contrrios, pois a substncia Q est
entrando na fronteira A , e saindo na fronteira B . Considerando as funes
),( txu e ),( txF constantes e com primeiras derivadas constantes em todo o
domnio, e utilizando o teorema fundamental do clculo, possvel escrever as
funes de fluxo da seguinte forma:
-
23
b
a
x dxtxFtbFtaF ),(),(),( (Eq. 3.6)
assim a Equao 3.5 fica escrita como:
b
a
b
a
x
b
a
t dxtxsdxtxFdxtxu ),(),(),( (Eq. 3.7)
ento:
0),(),(),( b
a
xt dxtxstxFtxu (Eq. 3.8)
o que implica que o resultado da integral deve ser sempre igual zero em
qualquer intervalo ],[ ba do domnio, ou seja:
sFu xt (Eq. 3.9)
A Equao 3.9 conhecida como Forma Diferencial da Lei da Conservao,
tambm conhecida como lei fundamental da natureza. Apesar da Equao 3.9
ter um forte significado fsico ela no consegue por si s modelar fenmenos
fsicos, sendo necessrias equaes constitutivas, que so relaes entre
),( txu e ),( txF . No caso de ),( txF dependente de ),( txu , e aplicando a
regra da cadeia, a Equao 3.9 pode ser escrita como:
suuFu xt )(' (Eq. 3.10)
Exemplo 3.1:
constantec
cuu xt
,0
0 Equao da Adveco (Eq. 3.11)
A Equao 3.11 escrita na forma da lei da conservao:
),(.),(
0
txuctxF
Fu xt Forma da Lei da Conservao (Eq. 3.12)
Exemplo 3.2:
0 xt uuu Equao de Burgers invscida (Eq. 3.13)
A Equao 3.13 escrita na forma da lei da conservao:
-
24
2
),(),(
0
2 txutxF
Fu xt
Forma da Lei da Conservao (Eq. 3.14)
Exemplo 3.3:
constante
uuuu xxxt
Equao de Burgers vscida, viscosidade (Eq. 3.15)
A Equao 3.15 escrita na forma da lei da conservao:
),(2
),(),(
0
2
txutxu
txF
Fu
x
xt
Forma da Lei da Conservao (Eq. 3.16)
Exemplo 3.4:
xxt uxu ').( (Eq. 3.17)
A Equao 3.17 escrita na forma da lei da conservao:
x
xt
uxtxF
Fu
).(),(
0
Forma da Lei da Conservao (Eq. 3.18)
3.2 Soluo de equaes conservativas Mtodo das Caractersticas"
No tpico anterior foram deduzidas as equaes conservativas (Forma
Diferencial da Lei de Conservao), nesse tpico sero discutidos mtodos de
soluo desse tipo de equao, ou seja, soluo de equaes hiperblicas de
primeira ordem. Assim o objetivo desse tpico de se resolver o seguinte
problema:
)()0,(
),(),(
0 xuxu
txFutxcu xt
Problema de Cauchy (Eq. 3.19)
O problema descrito pela Equao 3.19 conhecido como problema de
Cauchy, sendo composto por uma equao diferencial parcial e uma soluo
inicial. Para se resolver esse problema ser utilizado um mtodo conhecido
como mtodo das caractersticas, deduzido a partir da regra da cadeia
(descrita no apndice 1). Para se resolver a Equao 3.19 ser utilizada uma
parametrizao da varivel x , assim:
-
25
)),((),(
)(
ttxutxu
txx (Eq. 3.20)
derivando a funo )),(( ttxu em relao ao tempo:
xt ut
txu
t
txu
t
tx
x
txu
t
ttxu
)(),()(),()),(( (Eq. 3.21)
comparando-se as Equaes 3.19 e 3.21 chega-se a duas concluses:
),()(
txct
tx
(Eq. 3.22)
),()),((
txFt
ttxu
(Eq. 3.23)
Observa-se que a equao diferencial parcial foi transformada em duas
equaes diferenciais ordinrias, que so geralmente mais fceis de resolver.
Resolvendo a Equao 3.22:
dttxcdx ),( (Eq. 3.24)
tx
x
dttxcdx0
),(
0
(Eq. 3.25)
t
dttxcxx0
0 ),( (Eq. 3.26)
A Equao 3.26 descreve as curvas caractersticas do problema, mostradas na
Figura 3.2. Resolvendo a Equao 3.23:
dttxFdu ),( (Eq. 3.27)
ttx
x
dttxFdu0
),(
)0),0((
),( (Eq. 3.28)
t
dttxFxutxu0
0 ),()0,(),( (Eq. 3.29)
Utilizando-se o valor inicial do problema de Cauchy:
t
dttxFxutxu0
00 ),()(),( (Eq. 3.30)
-
26
Combinando as Equaes 3.26 e 3.30, chega-se a soluo final da Equao
3.19:
tt
dttxFdttxcxutxu00
0 ),()),((),( (Eq. 3.31)
O princpio fsico do mtodos das caractersticas baseia-se no fato de que um
distrbio em um ponto x qualquer do domnio se propaga ao longo de curvas
no plano ),( tx , chamadas de curvas caractersticas, mostradas na Figura 3.2.
Figura 3.2: Curvas caractersticas no plano ),( tx .
Teorema 3.1:
Seja 1
0 )( Cxu (contnua e com primeira derivada contnua), ento existe uma
soluo nica do problema de Cauchy (Equao 3.19), dada pela Equao
3.31.
Exemplo 3.5:
Resolver a equao da Adveco, descrita por:
)()0,(
0
0 xuxu
cuu xt, onde
0t
x e constantec (Eq. 3.32)
Soluo:
-
27
1 parte: Construo das caractersticas:
Encontrar curvas que satisfazem a Equao 3.24, ou seja:
cdt
dx (Eq. 3.33)
Resolvendo a Equao 3.33:
ctxx 0 (Eq. 3.34)
ou
ctxx 0 (Eq. 3.35)
Plotando-se as caractersticas descritas pela Equao 3.34 (Figura 3.3)
observa-se que as caractersticas so representadas por retas no plano ),( tx .
Figura 3.3: Caractersticas do Exemplo 3.5, considerando 3c .
-
28
2 Parte: Construo da soluo:
Construir uma soluo que satisfaa a Equao 3.27, com 0),( txF , ou seja:
0dt
du (Eq. 3.36)
ttx
x
dtdu0
),(
)0),0((
0 (Eq. 3.37)
)()0),0((),( 00 xuxutxu (Eq. 3.38)
Substituindo a Equao 3.35 na Equao 3.38, chega-se ao resultado da
Equao 3.32:
)(),( 0 ctxutxu (Eq. 3.39)
Essa soluo dada na forma de onda viajante para a direita, e foi comentada
com detalhes no Tpico 3.1.
Exemplo 3.6:
Utilizar o mtodo das caractersticas para se resolver a seguinte equao:
2)0,(
02
x
xt
exu
uu onde
0t
x (Eq. 3.40)
Soluo:
1 parte: Construo das caractersticas:
Encontrar curvas que satisfaam a seguinte equao:
0)0(
2
xx
dt
dx
(Eq. 3.41)
txx 20 (Eq. 3.42)
2 parte: Construo da soluo:
Para se construir a soluo da Equao 3.40 deve-se resolver a seguinte
equao:
-
29
0dt
du (Eq. 3.43)
ttx
x
dtdu0
),(
)0),0((
0 (Eq. 3.44)
)0),0((),( xutxu (Eq. 3.45)
Substituindo a condio inicial na Equao 3.45, encontra-se:
20),(x
etxu (Eq. 3.46)
Utilizando-se a Equao 3.42:
2)2(),( txetxu (Eq. 3.47)
A soluo dada pela Equao 3.47 do tipo onda viajante para a direita, a
Figura 3.4 mostra a soluo, plotada para diferentes tempos.
Figura 3.4: Soluo do Exemplo 3.6, para diferentes tempos.
Exemplo 3.7:
Utilizar o mtodo das caractersticas para se resolver a seguinte equao:
21
1)0,(
0
xxu
txuu xt onde
0t
x (Eq. 3.48)
Soluo:
-
30
1 parte: Construo das caractersticas:
Encontrar curvas que satisfaam a seguinte equao:
0)0( xx
xtdt
dx
(Eq. 3.49)
tx
x
tdtx
dx
00
(Eq. 3.50)
)2(0
2
. texx (Eq. 3.51)
As caractersticas definidas pela Equao 3.51 esto plotadas na Figura 3.5.
Observa-se que nesse caso as caractersticas no so definidas por retas no
plano ),( tx .
Figura 3.5: Caractersticas do Exemplo 3.7.
2 parte: Construo da soluo:
Para se construir a soluo do Exemplo 3.7 deve-se resolver a seguinte
equao:
0dt
du (Eq. 3.52)
-
31
ttx
x
dtdu0
),(
)0),0((
0 (Eq. 3.53)
)0),0((),( xutxu (Eq. 3.54)
Substituindo a condio inicial dada:
2011
),(x
txu
(Eq. 3.55)
222.11
),(tex
txu
(Eq. 3.56)
A Figura 3.6 mostra a soluo dada pela Equao 3.56 para diferentes tempos.
Figura 3.6: Soluo do Exemplo 3.7 plotada para diferentes tempos
-
32
4 Catstrofe de Gradiente
No Captulo 3 foi deduzido o mtodo das caractersticas, uma importante
ferramenta na resoluo de equaes diferenciais parciais de 1 ordem. Nesse
captulo ser discutida uma extenso do mtodo das caractersticas, utilizado
para resolver problemas em reas onde existem mais de uma caracterstica
(reas de catstrofe de gradiente).
4.1 Catstrofe de gradiente
Como descrito no captulo anterior, o mtodo das caractersticas baseia-se no
fato de uma perturbao do sistema se propagar ao longo de linhas
caractersticas no domnio. Porm em alguns casos essas linhas se colapsam
em um nico ponto, inviabilizando a soluo da EDP via mtodo das
caractersticas. Para se entender a catstrofe do gradiente, considera-se o
seguinte exemplo:
Exemplo 4.1:
Plotar as caractersticas da seguinte equao diferencial:
2)0,(
0
x
xt
exu
uuu onde
0t
x (Eq. 4.1)
1 parte: Construo das caractersticas:
Encontrar curvas que satisfaam a seguinte equao:
0)0( xx
udt
dx
(Eq. 4.2)
Aplicando a definio do mtodo das caractersticas:
0dt
du (Eq. 4.3)
)0),0((),( xutxu (Eq. 4.4)
Substituindo a Equao 4.4 na Equao 4.2:
-
33
x
x
t
dtxudx
0 0
0 )0,( (Eq. 4.5)
texxx.
20
0 (Eq. 4.6)
Plotando-se a Equao 4.6 (Figura 4.1) encontram-se as curvas caractersticas
da Equao 4.1. possvel observar que as curvas caractersticas se
colapsam em um nico ponto aps aproximadamente 2.1t .
Figura 4.1: Curvas caractersticas da Equao 4.1.
Esse fenmeno est associado com o princpio que a funo soluo ),( txu
acompanha a caracterstica da soluo no plano ),,( utx . A Figura 4.2 mostra
duas curvas da funo soluo ),( txu em uma regio onde no ocorre a
catstrofe do gradiente. possvel observar que a funo ),( txu determina
uma funo contnua nesse domnio.
-
34
Figura 4.2: Funo ),( txu plotada em um domnio ),,( utx o qual no ocorre
catstrofe de gradiente.
A Figura 4.3 mostra duas curvas da funo soluo ),( txu plotada em um
domnio onde ocorre a catstrofe de gradiente. possvel perceber que no
ponto onde ocorre a catstrofe, a funo ),( txu possui dois valores diferentes,
representando uma descontinuidade na funo.
Figura 4.3: Funo ),( txu plotada em um domnio ),,( utx o qual ocorre
catstrofe de gradiente.
-
35
Traando retas paralelas ao eixo t que ligam as duas curvas na Figura 4.3
observa-se que no ponto de quebra do grfico, a reta traada faz uma vertical
em relao ao plano ),( tx , conclui-se ento que a funo ),( txu contnua
com relao ao tempo, e a catstrofe do gradiente ocorre quando a derivada
primeira da funo ),( txu em relao varivel x tende ao infinito.
Pode-se chegar mesma concluso analisando-se o perfil da soluo quando
ocorre e quando no ocorre a catstrofe do gradiente. A Figura 4.4 mostra o
avano da soluo com o tempo em um caso onde no ocorre a catstrofe do
gradiente, pode-se se perceber que a funo crescente com velocidade
crescente. A Figura 4.5 mostra o avano da soluo em um caso onde ocorre a
catstrofe do gradiente, nesse caso a funo soluo decrescente em um
intervalo com velocidade crescente, o que leva formao da catstrofe do
gradiente.
Figura 4.4: Avano do perfil da soluo ),( txu com o tempo, para um caso
onde no ocorre a catstrofe de gradiente.
Figura 4.5: Avano do perfil da soluo ),( txu com o tempo, para um caso
onde ocorre a catstrofe de gradiente.
Analisando o perfil da soluo, observa-se que no momento em que ocorre a
catstrofe de gradiente, a reta que liga os dois pontos da soluo se torna
vertical.
-
36
Definio:
Define-se tempo de queda (Breaking Time) o ponto onde ocorre a catstrofe de
gradiente pela primeira vez, ou seja, o menor tempo positivo em que ocorre a
catstrofe de gradiente.
O tempo de queda pode ser calculado da seguinte forma:
bt = tempo mnimo onde dx
txud )),(( (Eq. 4.7)
Exemplo 4.2:
Calcular o tempo de queda para uma equao diferencial parcial homognea
de primeira ordem, definida por:
)()0,(
0)(
0 xuxu
uucu xt, com
0t
Rx (Eq. 4.8)
Soluo:
Para se calcular o tempo de queda, primeiro preciso se calcular a soluo da
EDP, nesse caso, utilizando-se o mtodo das caractersticas:
0dt
du (Eq. 4.9)
ttx
x
dtdu0
),(
)0),0((
(Eq. 4.10)
)()0),0((),( 00 xuxutxu , com 0)0( xx (Eq. 4.11)
Calculando a derivada parcial da funo ),( txu em relao x :
dx
xud
dx
txud ))(()),(( 00 (Eq. 4.12)
Utilizando a regra da cadeia:
dx
xd
dx
xud
dx
txud )(.
))(()),(( 0
0
00 (Eq. 4.13)
Construindo as caractersticas desse problema:
-
37
)(ucdt
dx (Eq. 4.14)
txucxx )).(( 000 (Eq. 4.15)
Derivando em relao x :
tdx
xucd
dx
xd ))](([)(1 000 (Eq. 4.16)
Utilizando a regra da cadeia:
tdx
xd
dx
xucd
dx
xd )())](([)(1 0
0
000 (Eq. 4.17)
t
dx
xucd
dx
xd
0
000 ))](([1)(
1 (Eq. 4.18)
Combinando as Equaes 4.13 e 4.18:
0
00
0
00
))](([.1
))((
)),((
dx
xucdt
dx
xud
dx
txud
(Eq. 4.19)
Analisando a Expresso 4.19, a derivada de ),( txu em relao x tende ao
infinito quando o denominador da expresso for igual ao zero, assim o tempo
de queda calculado escolhendo o menor tempo onde:
0))](([
.10
0 dx
xucdt ob (Eq. 4.20)
Ou seja:
0
0 ))](([
1
dx
xucdt
ob
(Eq. 4.21)
Para se encontrar o tempo de quebra deve se encontrar o maior valor negativo
do denominador da Equao 4.21.
-
38
Exemplo 4.3:
Encontrar o tempo de queda do seguinte problema de Cauchy:
2)0,(
0
x
xt
exu
uuu, com
0t
Rx (Eq. 4.22)
Soluo:
A Equao 4.22 anloga a Equao 4.8, com:
20))(( 00x
exuc (Eq. 4.23)
Assim:
0
0
00 .2))](([ 2
0 xedx
xucd x (Eq. 4.23)
Essa funo ter valor mximo quando a derivada for igual ao zero, ou seja:
0))](([
2
0
002
dx
xucd (Eq. 4.24)
022 202
02
0 xee xx (Eq. 4.25)
2
10 x (Eq. 4.26)
Para valores negativos de 0x a Equao 4.23 se torna positiva, e o tempo de
queda se torna negativo. Utilizando a Equao 4.21:
0
0 ))](([
1
dx
xucdt
ob
(Eq. 4.27)
Substituindo a parte positiva da Equao 4.26, encontra-se um tempo de queda
igual a:
2
etb (Eq. 4.28)
De fato esse valor vale aproximadamente 2.1bt , fato que foi comprovado graficamente na Figura 4.1.
-
39
Exemplo 4.4:
Encontrar o tempo de queda do seguinte problema de Cauchy, e confirmar o
valor graficamente plotando as caractersticas do problema:
2
2
1
1)0,(
0
xxu
uuu xt, com
0t
Rx (Eq. 4.29)
Soluo:
A Equao 4.29 anloga a Equao 4.8, com:
22
0
00)1(
1))((
xxuc
(Eq. 4.30)
Assim:
3200
0
00
1
4))](([
x
x
dx
xucd
(Eq. 4.31)
Essa funo ter valores mximos em pontos de descontinuidade, assim:
0))](([
2
0
002
dx
xucd (Eq. 4.32)
01
1241462
0
22
0
2
0
32
0
x
xxx (Eq. 4.33)
Ou seja:
5
10 x (Eq. 4.34)
Para valores negativos de 0x a Equao 4.34 se torna positiva, e o tempo de
queda se torna negativo. Utilizando a Equao 4.21:
0
0 ))](([
1
dx
xucdt
ob
(Eq. 4.35)
Substituindo a parte positiva da Equao 4.34 na Equao 4.35, encontra-se
um tempo de queda igual a:
-
40
125
554bt (Eq. 4.36)
As caractersticas da Equao 4.29 esto plotadas na Figura 4.6. possvel
ver que o tempo de queda ocorre em um tempo aproximado de 97.0bt , que
numericamente igual ao tempo de queda encontrado na Equao 4.36.
Figura 4.6: Caractersticas do Exemplo 4.4.
4.2 Solues do tipo ondas de choque
No tpico anterior foi visto que ao depender do tipo da equao diferencial, e
do tipo da soluo inicial do problema, podem ocorrer reas onde mais de uma
caracterstica passa pelo mesmo ponto, denominada rea de catstrofe de
gradiente, foi tambm deduzida no tpico anterior, uma metodologia capaz de
se prever o tempo mnimo onde ocorre a catstrofe, denominado de tempo de
queda ou Breaking Time. Para se construir a soluo da equao diferencial
em rea de catstrofe, primeiro entenderemos o conceito de funo suave por
partes.
Definio:
Uma funo ),( txu que divide o domnio R em duas regies distintas R e
R (Figura 4.7) dita suave por partes quando obedecer as seguintes
condies:
-
41
i. A funo possui primeiras derivadas contnuas nos intervalos R e R ,
e a funo soluo do seguinte conjunto de equaes:
)()0,(
0
0 xuxu
Fu xt,
)0(
),(
sxx
Rtx
Lei de conservao (Eq. 4.37)
)()0,(
0
0 xuxu
Fu xt,
)0(
),(
sxx
Rtx
Lei de conservao (Eq. 4.38)
ii. O limite )0),0((),( sxtx tendendo pelas regies R e R existem,
podendo assumir valores diferentes.
Figura 4.7: Domnio de uma funo suave por partes, onde sx a curva de
descontinuidade da funo.
A Figura 4.8 mostra um exemplo de uma funo suave por partes. possvel
ver que nos domnios R e R a funo ),( txu contnua e com primeiras
derivadas contnuas, sendo que a curva sx define um plano de
descontinuidade na funo, sendo que os limites laterais existem possuindo
valores diferentes.
-
42
Figura 4.8: Funo ),( txu suave por partes.
Para se resolver o problema da catstrofe do gradiente, observa-se que se
pode escrever uma curva no plano ),( tx , onde as caractersticas se unem,
tornando assim a regio de caractersticas uniforme, a Figura 4.9 mostra uma
curva s qualquer, onde as caractersticas se encontram de ambos os lados,
tornando a regio das caractersticas uniforme.
Figura 4.9: Construo da curva s na regio de catstrofe de gradiente.
-
43
A construo da soluo resolvendo-se a equao da continuidade na forma
diferencial utilizando o mtodo das caractersticas interrompida a partir do
tempo de queda, porm o processo fsico um processo contnuo no tempo,
no havendo paradas, assim devemos voltar lei de conservao na forma
diferencial, com termo fonte nulo, dada por:
),(),(),( tbFtaFdxtxudt
d b
a
(Eq. 4.39)
Considerando o conceito de soluo suave, o domnio agora segmentado em
duas regies dividas por uma curva )),(( ttxss , como mostrado na Figura
4.10, a Equao 4.39 pode ser escrita como:
),(),(),(),()(
)(
tbFtaFdxtxudxtxudt
dtx
a
b
tx
s
s
(Eq. 4.40)
Figura 4.10: Domnio da soluo segmentado em dois domnios.
Desenvolvendo o lado esquerdo da equao:
),(),()),(()),(()(
)(
tbFtaFdxttxudt
ddxttxu
dt
dtx
a
b
tx
s
s
(Eq. 4.41)
Utilizando a regra da cadeia para se resolver a derivada, e integral por partes
para se resolver a integral:
)()(
)()]),(([)]),(([)),((
tx
a
tx
a
ss
dxdt
tdx
dx
ttxud
dt
ttxuddxttxu
dt
d (Eq. 4.42)
-
44
)()()(
)()]),(([),()),((
tx
a
tx
a
t
tx
a
sss
dxdt
tdx
dx
ttxuddxtxudxttxu
dt
d (Eq. 4.43)
)( 2)()( )(
).,(),(),()),((tx
a
ss
tx
a
t
tx
a
sss
dxdtdx
txdtxu
dt
dxtxudxtxudxttxu
dt
d
(Eq. 4.44)
Como )(tx depende apenas de t , a Equao 4.44 pode ser escrita como:
dt
dxtxudxtxudxttxu
dt
d ss
tx
a
t
tx
a
ss
),(),()),(()()(
(Eq. 4.45)
Analogamente para o segundo termo do lado esquerda da Equao 4.41:
dt
dxtxudxtxudxttxu
dt
d ss
b
tx
t
b
tx ss
),(),()),(()()(
(Eq. 4.46)
Substituindo as Equaes 4.45 e 4.46 na Equao 4.41:
),(),(),(),(),(),()(
)(
tbFtaFdt
dxtxudxtxu
dt
dxtxudxtxu ss
b
tx
ts
s
tx
a
t
s
s
(Eq. 4.47)
Fazendo sxa e
sxb , a Equao 4.47 pode ser escrita como:
),(),(),(),( txFtxFdt
dxtxu
dt
dxtxu ss
ss
ss
(Eq. 4.48)
Que pode ser escrita da seguinte forma:
),(),(
),(),(
txutxu
txFtxF
dt
dx
ss
sss
(Eq. 4.49)
De acordo com a equao deduzida, uma soluo suave por partes que
satisfaz a lei de conservao na forma integral deve satisfazer a Equao 4.49.
Essa equao tambm chamada de condio de Rankine-Hugoniot, que
pode ser escrita utilizando-se a notao de funo salto, dada por:
][
][
u
F
dt
dxs Condio de Rankine-Hugoniot (Eq. 4.50)
-
45
Para se encontrar precisamente essa curva, necessita-se de um dado inicial,
para isso se utiliza o tempo de queda descrito na Tpico 4.1, assim, encontrar
a funo que descreve a curva ),( txs o mesmo que se resolver a seguinte
equao:
bbs
s
ss
xtx
u
F
dt
dx
tx
)(
][
][
),( (Eq. 4.51)
Sendo o ponto ),( bb tx o ponto onde ocorre a catstrofe de gradiente pela
primeira vez.
Definio:
Dada uma funo ),( txu , que seja soluo suave de 0 xt Fu , satisfazendo
a condio de Rankine-Hugoniot, essa soluo dita ondas de choque, e a
funo salto ),( txs que divide o domnio em duas partes dita caminho de
choque.
Exemplo 4.5:
Resolver o seguinte problema de valor inicial:
0,0
0,1)0,(
0
x
xxu
uuu xt
(Eq. 4.52)
Soluo:
1 Passo: Construo das caractersticas:
udt
dx (Eq. 4.53)
Como a Equao 4.52 homognea, as caractersticas so dadas da seguinte
forma:
txuCxx )).(( 000 (Eq. 4.54)
Ou seja:
-
46
0,
0,
0
0
xx
xtxx (Eq. 4.55)
As caractersticas do problema esto plotadas na Figura 4.11. possvel
observar que o breaking time ocorre no ponto )0,0(),( bb tx .
Figura 4.11: Caractersticas do Exemplo 4.5.
2 Passo: Construo da soluo:
De acordo com a Figura 4.11 existe uma zona de catstrofe de gradiente,
assim a soluo ser construda utilizando-se o conceito de ondas de choque.
0dt
du (Eq. 4.56)
)0,(),( 0xutxu (Eq. 4.57)
Utilizando a definio de soluo suave por partes:
Rx
Rxtxu
,0
,1),( (Eq. 4.58)
Portando, para se encontrar as regies R e R , deve-se encontrar a curva de
caminho de choque. Assim, utilizando a Equao 4.51:
-
47
bbs
s
ss
xtx
u
F
dt
dx
tx
)(
][
][
),( (Eq. 4.59)
A funo fluxo pode ser encontrada utilizando-se a seguinte definio:
xx uuF . (Eq. 4.60)
Integrando a Equao 4.60 em relao a varivel x , tem-se:
2
2uF (Eq. 4.61)
Assim, a Equao 4.59 pode ser escrita como:
0)0(
2
1
),(
22
s
s
ss
x
uu
uu
dt
dx
tx (Eq. 4.62)
De acordo com a Equao 4.58 0u e 1u , assim:
0)0(
2
1
),(
s
s
ss
x
dt
dx
tx (Eq. 4.63)
2
txs (Eq. 4.64)
A Figura 4.12 mostra as caractersticas plotadas considerando a curva de
caminho de choque dada pela Equao 4.64, assim a soluo final pode ser
escrita como:
2,0
2,1
),(t
x
tx
txu (Eq. 4.65)
A Figura 4.13 mostra a Soluo 4.65 plotada para diferentes tempos.
possvel observar que a frente de choque se move com velocidade igual a 5.0 .
-
48
Figura 4.12: Caractersticas do Exemplo 4.5 plotadas junto curva de caminho
de choque.
Figura 4.13: Soluo do Exemplo 4.5 para diferentes valores de tempo.
Exemplo 4.6:
Resolver o seguinte problema de valor inicial:
1,1
1,2)0,(
02
x
xxu
uuu xt
(Eq. 4.66)
-
49
Soluo:
1 Passo: Construo das caractersticas:
Como a Equao 4.66 homognea, as caractersticas so dadas da seguinte
forma:
txuCxx )).(( 000 (Eq. 4.67)
Ou seja:
1,
1,4
0
0
xtx
xtxx (Eq. 4.68)
As caractersticas do problema esto plotadas na Figura 4.14. possvel
observar que o breaking time ocorre no ponto )0,1(),( bb tx .
Figura 4.14: Caractersticas do Exemplo 4.6.
2 Passo: Construo da soluo:
De acordo com a Figura 4.14 existe uma zona de catstrofe de gradiente,
assim a soluo ser construda utilizando-se o conceito de ondas de choque.
Utilizando a definio de soluo suave por partes:
-
50
Rx
Rxtxu
,1
,2),( (Eq. 4.69)
Portando, para se encontrar as regies R e R , deve-se encontrar a curva de
caminho de choque. Assim:
bbs
s
ss
xtx
u
F
dt
dx
tx
)(
][
][
),( (Eq. 4.70)
A funo fluxo pode ser encontrada utilizando-se a seguinte definio:
xx uuF .2 (Eq. 4.71)
Integrando a Equao 4.60 em relao a varivel x , tem-se:
3
3uF (Eq. 4.72)
Assim, a Equao 4.59 pode ser escrita como:
1)0(
3
1
),(
33
s
s
ss
x
uu
uu
dt
dx
tx (Eq. 4.73)
De acordo com a Equao 4.69 1u e 2u , assim:
1)0(
3
7
),(
s
s
ss
x
dt
dx
tx (Eq. 4.74)
13
7
txs (Eq. 4.75)
A Figura 4.15 mostra as caractersticas plotadas considerando a curva de
caminho de choque dada pela Equao 4.75, assim a soluo final pode ser
escrita como:
-
51
13
7,1
13
7,2
),(t
x
tx
txu (Eq. 4.76)
A Figura 4.16 mostra a Soluo 4.76 plotada para diferentes tempos.
possvel observar que a frente de choque se move com velocidade 3/7 .
Figura 4.15: Caractersticas do Exemplo 4.6 plotadas junto curva de caminho
de choque.
Figura 4.16: Soluo do Exemplo 4.6 para diferentes valores de tempo.
-
52
5 Ondas de Rarefao
No Captulo 3 foi deduzido o mtodo das caractersticas para soluo de
equaes diferenciais parciais de 1 ordem, e no Captulo 4 foi deduzida uma
extenso do mtodo das caractersticas para lidar com reas de catstrofe de
gradiente. Nesse captulo ser deduzida a soluo para uma rea ainda no
discutida por onde no se passa nenhuma caracterstica, denominadas reas
de rarefao.
5.1 reas de rarefao
Como discutido no tpico anterior, quando a funo soluo decrescente com
velocidade crescente algumas reas podem possuir mais de uma
caracterstica, denominadas reas de catstrofe de gradiente. Nesse tpico
sero discutidas algumas equaes que possuem um vazio no plano das
caractersticas, essas reas so denominadas reas de rarefao. Para se
entender melhor a formao dessas zonas, o tpico ser comeado com o
Exemplo 5.1:
Exemplo 5.1:
Plotar as caractersticas da seguinte equao diferencial:
0,1
0,0)0,(
0
x
xxu
uuu xt
(Eq. 5.1)
Soluo:
Utilizando o fato da Equao 5.1 ser homognea:
txucxx )).(( 000 (Eq. 5.2)
0,
0,
0
0
xtx
xxx (Eq. 5.3)
As caractersticas dadas pela Equao 5.3 esto plotadas na Figura 5.1.
possvel ver o aparecimento de uma zona 0R onde no passam
caractersticas, tal zona denominada zona de rarefao.
-
53
Figura 5.1: Caractersticas do Exemplo 5.1.
Para melhor entendimento da soluo do tipo ondas de rarefao, antes de se
apresentar a soluo geral, ser resolvido o Exemplo 5.1.
Podemos aproximar a soluo do problema inicial por um problema que possui
as caractersticas homogneas, apenas substituindo a condio inicial, da
seguinte forma:
x
xxg
x
xu
uuu xt
,1
),(
,0
)0,(
0
(Eq. 5.4)
A Figura 5.2 mostra a diferena entre os perfis das solues iniciais dada pelas
Equaes 5.1 e 5.4. A Figura 5.3 mostra as caractersticas da Equao 5.4.
Do fato da Equao 5.4 ser homognea, a soluo pode ser escrita da seguinte
forma:
tx
txtxg
x
txu
,1
),,(
,0
),( (Eq. 5.5)
-
54
Figura 5.2: Modificao da soluo inicial da Equao 5.1.
Figura 5.3: Caractersticas da Equao 5.4.
Agora tomando o seguinte limite:
),(lim0
txu
(Eq. 5.6)
Tem-se:
tx
txtxg
x
txu
,1
0),,(
0,0
),( (Eq. 5.7)
-
55
A Figura 5.4 mostra as caractersticas da Equao 5.7. Agora o problema se
tornou se encontrar uma funo ),( txg que possua caractersticas contnuas e
que seja soluo da Equao 5.1. De acordo com a Figura 5.4 a inclinao das
caractersticas muda na zona de rarefao, o que indica que a funo ),( txg
possua a seguinte forma:
t
xgtxg ),( (Eq. 5.8)
Figura 5.4: Caractersticas da Equao 5.7.
Assim, como a funo ),( txg deve ser soluo da Equao 5.1:
0)],([
),()],([
dx
txgdtxg
dt
txgd (Eq. 5.9)
01
''2
tt
xg
t
xg
t
x
t
xg (Eq. 5.10)
01
'2
t
x
tt
xg
t
xg (Eq. 5.11)
-
56
A Equao 5.11 admite duas solues:
constantetxg ),( (Eq. 5.12-a)
t
xtxg ),( (Eq. 5.12-b)
Para se decidir qual soluo melhor representa o Problema 5.1, deve-se
analisar a condio de Rankine-Hugoniot nas duas solues, assim:
1: Soluo 5.12-a:
tx
txa
x
txu
,1
0,
0,0
),( , onde constantea (Eq. 5.13)
Aplicando a condio de Rankine-Hugoniot nas descontinuidades da funo:
uu
uu
u
F
dt
dxs22 )()(
2
1
][
][ (Eq. 5.14)
020
a
dt
dx
sx
s (Eq. 5.15)
Ou seja, 0a .
12
1
a
dt
dx
tx
s
s
(Eq. 5.16)
Ou seja, 1a .
Como a constante a tem que assumir dois valores diferentes, a Equao 5.13
no obedece condio de Rankine-Hugoniot.
2: Soluo 5.12-b:
tx
txt
x
x
txu
,1
0,
0,0
),( (Eq. 5.17)
Aplicando a condio de Rankine-Hugoniot nas descontinuidades da funo:
-
57
uu
uu
u
F
dt
dxs22 )()(
2
1
][
][ (Eq. 5.18)
020
t
x
dt
dx
sx
s (Eq. 5.19)
12
1
t
x
dt
dx
tx
s
s
(Eq. 5.20)
Fazendo 0x na Equao 5.19, e tx na Equao 5.20, observa-se que a Equao 5.17 obedece condio de Rankine-Hugoniot, sendo considerada
a soluo da Equao 5.1.
A Figura 5.5 mostra a soluo dada pela Equao 5.17 plotada para diferentes
tempos. Observa-se a presena de uma onda de avano da soluo, chamada
de onda de rarefao.
Figura 5.5: Soluo da Equao 5.1, para diferentes valores de tempo.
5.2 Soluo geral de equaes homogneas com reas de rarefao
No Tpico 5.1 foi construda uma soluo do tipo ondas de rarefao para
resolver o Exemplo 5.1. Nesse tpico ir ser construda uma soluo geral que
pode ser aplicada em todos os casos. Assim ser construda a soluo do
seguinte problema de Cauchy:
axu
axuxu
uuCu xt
,
,)0,(
0)(
(Eq. 5.21)
-
58
Soluo:
Utilizando o fato da Equao 5.21 ser homognea, as caractersticas so
dadas da seguinte forma:
txucxx )).(( 00 (Eq. 5.22)
axtuucx
axtuucxx
,)).((
,)).((
0
0 (Eq. 5.23)
De acordo com a Equao 5.23 as caractersticas so retas, plotadas na Figura
5.6.
Figura 5.6: Caractersticas da Equao 5.21.
Da mesma forma que o Exemplo 5.1, a soluo da Equao 5.21 pode ser
aproximada da seguinte forma:
])).(([,
])).(([])).(([),,(
])).(([,
),(
tuucaxu
tuucaxtuucatxg
tuucaxu
txu (Eq. 5.24)
De acordo com a Figura 5.6 a inclinao das caractersticas muda na zona de
rarefao, o que indica que a funo ),( txg possua a seguinte forma da
Equao 5.8, porm deslocada de uma constante a , ou seja:
-
59
t
axgtxg ),( (Eq. 5.25)
Assim, calculando as derivadas parciais da funo ),( txg atravs da regra da
cadeia:
2
)().,('
)],([
t
axtxg
dt
txgd (Eq. 5.26)
ttxg
dx
txgd 1).,('
)],([ (Eq. 5.27)
Substituindo as Equaes 5.26 e 5.27, na Equao 5.21:
01
).,(')).,(()(
).,('2
ttxgtxgC
t
axtxg (Eq. 5.28)
0)(1
)).,((),('2
t
ax
ttxgCtxg (Eq. 5.29)
Da mesma forma que na Equao 5.11, a Equao 5.29 possui duas solues
distintas, assim verificando a condio de Rankine-Hugoniot nas duas
condies, chega-se a concluso que a soluo fisicamente coerente da
Equao 5.29 dada por:
0)(1
)).,((2
t
ax
ttxgC (Eq. 5.30)
t
axtxgC
)()),(( (Eq. 5.31)
Por isso, a funo ),( txg dada da seguinte forma:
t
axCtxg
)(),( 1 (Eq. 5.32)
Logo, a soluo da Equao 5.21 dada por:
-
60
])).(([,
])).(([])).(([,)(
])).(([,
),( 1
tuucaxu
tuucaxtuucat
axC
tuucaxu
txu (Eq. 5.33)
Exemplo 5.2:
Resolver o seguinte problema de Cauchy:
1,2
1,1)0,(
03
x
xxu
uuu xt
(Eq. 5.34)
Soluo:
1 Passo: Construo das caractersticas:
Como a Equao 5.34 homognea, as caractersticas so dadas da seguinte
forma:
txucxx )).(( 00 (Eq. 5.35)
1,8
1,
0
0
xtx
xtxx (Eq. 5.36)
As caractersticas do problema esto plotadas na Figura 5.7. possvel
perceber uma zona de rarefao que comea no ponto )0,1(),( bb tx .
Figura 5.7: Caractersticas do Exemplo 5.2.
-
61
2 Passo: Construo da soluo
A soluo do tipo onda de rarefao pode ser escrita utilizando-se a Equao
5.33, dessa forma:
]81[,2
]81[]1[,)1(
]1[,1
),( 1
tx
txtt
xC
tx
txu (Eq. 5.37)
Nesse problema a funo )(uC dada da seguinte forma:
3)( uuC (Eq. 5.38)
Dessa forma, a soluo da Equao 5.24 dada por:
]81[,2
]81[]1[,)1(
]1[,1
),( 3
tx
txtt
x
tx
txu (Eq. 5.39)
A Figura 5.8 mostra a soluo dada pela Equao 5.39 plotada para diferentes
tempos.
Figura 5.8: Soluo do Exemplo 5.2 plotadas em diferentes tempos.
-
62
6 Condio de Entropia
As solues do tipo ondas de choque e ondas de rarefao so solues
particulares da lei de conservao, quando utilizada a noo de soluo
suave por partes. Nesse tpico ser visto que a noo de soluo suave por
partes pode fazer com que um mesmo problema possua diversas solues,
assim a condio de entropia ser utilizada para se definir qual soluo possui
maior significado fsico.
6.1 No unicidade de solues suaves por partes
Considere o seguinte problema de Cauchy:
0,1
0,0)0,(
0
x
xxu
uuu xt
(Eq. 6.1)
Utilizando-se a soluo do tipo onda de rarefao, a soluo da Equao 6.1
pode ser escrita como:
tx
txt
x
x
txu
,1
0,
0,0
),( (Eq. 6.2)
Porm, utilizando-se a soluo do tipo ondas de choque, a soluo da Equao
6.1 pode ser escrita como:
xtA
tAxAtA
Atx
txu
)1(2
1,1
)1(2
1
2
1,
2
1,0
),( , onde )10( A (Eq. 6.3)
Assim a Equao 6.1 possui uma soluo do tipo onda de rarefao, e infinitas
solues do tipo ondas de choque, note que todas as solues obedecem
condio de Rankine-Hugoniot.
-
63
6.2 Condio de entropia
Quando um problema de valor inicial tem mais de uma soluo, utiliza-se a
condio de entropia para se escolher a soluo mais realista do ponto de vista
da fsica do problema. A condio de entropia pode ser definida da seguinte
forma:
Definio:
Uma funo ),( txu satisfaz a condio de entropia se possvel encontrar
uma constante positiva E que satisfaz:
t
E
h
txuthxu
),(, (Eq. 6.4)
Para todo Rx e 0t .
Graficamente a condio de entropia expressa inclinao mxima que funo
pode possuir com relao varivel x, como pode ser visto na Figura 6.1.
Figura 6.1: Representao grfica da condio de entropia.
A condio de entropia tambm pode ser representada utilizando-se o conceito
de derivada parcial, da seguinte forma:
t
E
h
txuthxuh
),(,lim 0 (Eq. 6.5)
Que pode ser escrito como:
t
Etxux ),( , Rx , e 0t . (Eq. 6.6)
-
64
Assim voltando ao Problema 6.1, deve-se analisar a condio de entropia nas
solues do tipo ondas de choque e ondas de rarefao.
I. Condio de Entropia na soluo do tipo ondas de choque:
A Figura 6.2 mostra o grfico da soluo dada pela Equao 6.3, possvel ver
que a maior inclinao acontece nos pontos de descontinuidade da funo,
assim, analisando o ponto da primeira descontinuidade, quando 2/Atx :
h
A
h
txuthxu
),(, (Eq. 6.7)
h
Ah 0lim (Eq. 6.8)
O que indica que as solues do tipo ondas de choque no satisfazem a
condio de entropia.
Figura 6.2: Soluo do tipo ondas de choque, da Equao 6.1, para um tempo
1t qualquer.
-
65
II. Condio de Entropia na soluo do tipo ondas de rarefao:
A Figura 6.3 mostra o grfico representando a soluo do tipo ondas de
rarefao para uma tempo t qualquer. possvel ver que a maior inclinao
ocorre no intervalo 1,0 tx , dessa forma:
),('
),(,11 ttu
h
txuthxux
(Eq. 6.9)
Figura 6.3: Soluo do tipo ondas de rarefao, da Equao 6.1, para um
tempo 1t qualquer.
1
11
1),('
tttu x , 01 t (Eq. 6.10)
Dessa forma, utilizando-se a condio de entropia:
t
E
h
txuthxu
),(,, quando 1E (Eq. 6.11)
Assim a soluo do tipo ondas de rarefao satisfaz a condio de entropia,
sendo a soluo mais fisicamente aceita.
Exemplo 6.1:
Verificar se a soluo do tipo ondas de rarefao da equao 6.12 satisfaz a
condio de entropia.
-
66
0,2
0,10,
0,,02
x
xxu
txuuu xt
(Eq. 6.12)
Soluo:
1 Passo: Construo das curvas caractersticas:
Do fato da Equao 6.12 ser homognea, as caractersticas so definidas da
seguinte forma:
txucxx )).(( 00 (Eq. 6.13)
0,4
0,
0
0
xtx
xtxx (Eq. 6.14)
A Figura 6.4 mostra as caractersticas definidas pela Equao 6.14. possvel
observar a formao de uma zona de rarefao a partir do tempo 0t .
Figura 6.4: Caractersticas da Equao 6.12.
2 Passo: Construo da soluo:
A soluo do tipo ondas de rarefao dada de acordo com a seguinte
equao:
-
67
tx
txtt
x
tx
txu
4,2
4,
,1
),( (Eq. 6.15)
A Figura 6.5 mostra o perfil da soluo do Problema 6.12, para um tempo 1t
qualquer a partir do incio.
Figura 6.5: Perfil da soluo da Equao 6.12, para um tempo 1t qualquer a
partir do incio do problema.
3 Passo: Verificao da condio de entropia
De acordo com a Figura 6.5, a inclinao mxima quando 1tx , dessa
forma:
),('
),(,11 ttu
h
txuthxux
(Eq. 6.16)
tx
txtxt
tx
txu x
4,0
4,2
1
,0
),(' (Eq. 6.17)
-
68
Combinando as Equaes 6.16 e 6.17:
0),('lim 11
txu xtx
(Eq. 6.18)
11
2
1),('lim
1t
txu xtx
, 01 t (Eq. 6.19)
Assim, aplicando a condio de entropia:
t
E
h
txuthxu
),(,, quando
2
1E (Eq. 6.20)
Assim a soluo do tipo ondas de rarefao dada pela Equao 6.15 satisfaz a
condio de entropia.
Exemplo 6.2:
Verificar se a soluo do tipo ondas de rarefao da equao 6.21 satisfaz a
condio de entropia.
0,1
0,00,
0,,02
x
xxu
txuuu xt
(Eq. 6.21)
Soluo:
1 Passo: Construo das curvas caractersticas:
As curvas caractersticas so dadas por:
0,
0,
0
0
xtx
xxx (Eq. 6.22)
A Figura 6.6 mostra as caractersticas definidas pela Equao 6.22. possvel
observar a formao de uma zona de rarefao a partir do tempo 0t .
-
69
Figura 6.6: Caractersticas da Equao 6.21.
2 Passo: Construo da soluo:
A soluo do tipo ondas de rarefao dada de acordo com a seguinte
equao:
tx
txt
x
x
txu
,1
0,
0,0
),( (Eq. 6.23)
A Figura 6.7 mostra o perfil da soluo do Problema 6.21, para um tempo 1t
qualquer a partir do incio do problema.
3 Passo: Verificao da condio de entropia
De acordo com a Figura 6.7, a inclinao mxima quando 0x , dessa forma:
),0('
),(,1tu
h
txuthxux
(Eq. 6.24)
-
70
Figura 6.7: Perfil da soluo da Equao 6.21, para um tempo 1t qualquer a
partir do incio do problema.
xt
txxt
x
txu x
,0
0,2
1
0,0
),(' (Eq. 6.25)
Combinando as Equaes 6.24 e 6.25:
0),('lim 10
txu xx
(Eq. 6.26)
),('lim 10
txu xx
, 01 t (Eq. 6.27)
De acordo com a Equao 6.27 impossvel encontrar um valor E positivo que satisfaa a condio de entropia, logo, a soluo do tipo ondas d