Apostila de Matemática Financeira (2016.2) VF NÚMERO DE PERÍODOS, JURO, MONTANTE, TAXA DE JUROS e...
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Matemática Financeira 2016.2
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MatemáticaFinanceira
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SumárioCapítuloI.IntroduçãoàApostila...........................................................................................4
CapítuloII.FundamentosdaMatemáticaFinanceira.............................................................5
2.1.INTRODUÇÃO....................................................................................................................5
2.2.CAPITAL,NÚMERODEPERÍODOS,JURO,MONTANTE,TAXADEJUROSeFLUXODECAIXA........................................................................................................................................5
CapítuloIII.JurosSimples......................................................................................................8
EXERCÍCIOSDOCAPÍTULOIII..................................................................................................10
CapítuloIV.JurosCompostos..............................................................................................13
4.1.JUROSCOMPOSTOS........................................................................................................13
4.2.JUROSCOMPOSTOSNAHP12C......................................................................................14
EXERCÍCIOSDOCAPÍTULOIV..................................................................................................16
CapítuloV.TaxasEquivalentes............................................................................................20
5.1.TAXASEQUIVALENTESEMJUROSSIMPLES.....................................................................20
5.2.TAXASEQUIVALENTESEMJUROSCOMPOSTOS.............................................................21
EXERCÍCIOSDOCAOÍTULOV..................................................................................................22
CapítuloVI.DescontoSimples(DescontoComercial)...........................................................24
EXERCÍCIOSDOCAPÍTULOVI..................................................................................................25
CapítuloVII.TaxaEfetivaeTaxaReal..................................................................................30
7.1.TAXAEFETIVA..................................................................................................................30
7.2.TAXAREAL.......................................................................................................................30
EXERCÍCIOSDOCAPÍTULOVII.................................................................................................33
CapítuloVIII.SequênciadeCapitais.....................................................................................37
8.1.SEQUÊNCIASUNIFORMESPOSTECIPADAS–PMT´s........................................................37
8.2.SEQUÊNCIASUNIFORMESANTECIPADAS–PMT´s..........................................................40
8.3.SEQUÊNCIASUNIFORMESCOMPARCELASDIFERIDASOUPARCELASBALÃO................43
EXERCÍCIOSDOCAPÍTULOVIII................................................................................................46
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CapítuloIX.EquivalênciadeCapitais...................................................................................50
9.1.VALORPRESENTEEVALORFUTURO...............................................................................50
9.2.EQUIVALÊNCIADECAPITAIS............................................................................................50
9.3.VALORPRESENTELÍQUIDODEUMCONJUNTODECAPITAIS(VPL/NPV)......................51
9.3.1.VALORPRESENTELÍQUIDODEUMCONJUNTODECAPITAIS(VPL/NPV)–HP12C....53
9.4.TAXAINTERNADERETORNO(TIR/IRR)..........................................................................55
9.4.1.TAXAINTERNADERETORNO(TIR/IRR)–HP12C.......................................................57
EXERCÍCIOSDOCAPÍTULOIX..................................................................................................60
CapítuloX.SistemasdeAmortizações.................................................................................65
10.1.INTRODUÇÃOÀAMORTIZAÇÃO....................................................................................65
10.2.SISTEMADEAMORTIZAÇÃOCONSTANTE–SAC...........................................................65
10.3.TABELAPRICEOUSISTEMAFRANCÊS...........................................................................66
10.4.SISTEMAAMERICANO...................................................................................................68
EXERCÍCIOSDOCAPÍTULOX...................................................................................................69
GABARITOS.........................................................................................................................73
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CapítuloI.IntroduçãoàApostila
Caroaluno,
Procurandoatendercadavezmaisasnecessidadesdosrecémuniversitários,aEquipeDáskalosdecidiusintetizarosprincipaisassuntosdeMatemáticaFinanceira.Oresultadofoiessaapostila,aqualbuscadarintroduçãoteóricamaisresumidadoqueaencontradaemumlivro.Apesardisso,estaapostilanãodispensaoutrasfontesdeestudotaiscomoaula,livro,etc.
Alémda teoria,aapostilaestá repletadeexercíciosbaseadosnosprincipaisconteúdosenohistóricodeprovas.Algunsdestesexercíciosestãoresolvidoscomoexemplonaapostila.Outros,porém,contémapenasgabarito.
Desejamosavocêbonsestudos,umótimo iníciode faculdadeeumexcelenteresultadonasprovas.
EquipedeMatemáticaFinanceiradoDáskalos
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CapítuloII.FundamentosdaMatemáticaFinanceira
2.1.INTRODUÇÃOAMatemáticaFinanceiraestudacomoovalordodinheiromudacomotempo,comaplicaçõesfinanceiras(investimentos)ouparcelamentos.
Imaginequevocêpodeescolherentre:
• ReceberR$100hoje.
• ReceberR$100emumano.
Qualamelhorescolha?
Supondoumcenárioondesepodeaplicarodinheiroaumataxai=10%a.a.R$100hojeequivaleaR$110daquia1ano.Assim,dinheirohojesemprevalemaisdoquedinheiroamanhã.Quantomais?Tudodependedastaxasdejurosobtidas.
Dessemodo,abstraímosumdosprincipaisconceitosdamatemáticafinanceira:
ODINHEIROTEMVALORNOTEMPO.
Sabendo-sequeessaéabasedetodaaMatemáticaFinanceira,desenvolveremosaolongodaapostila conceitos que envolvem, basicamente, valores monetários, taxas e o tempo. Taisanálisessãofundamentaistantoparapessoasfísicasquantoparaempresas,afimdeentenderoquerealmenteestáportrásdequalqueroperaçãofinanceira.
2.2.TERMOSDAMATEMÁTICAFINANCEIRACapital (C): É o valor inicial que um agente possuí, seja como caixa livre – que pode sermovimentadoaqualquermomento,oucomoinvestimento.Casooagentenãopossuacapital,essepodeserobtidonomercado–emprestado.
NúmerodePeríodos(n):Éonúmerodeperíodos,quepodeserexpressoemdias,meses,anos,ouqualqueroutramedidadetempo,presenteemdeterminadaoperaçãofinanceira.
Juro (J): Custo do empréstimo para o tomador (agente obteve dinheiro emprestado) eremuneraçãoparaoemprestador(agentequeemprestouseucapital).
Montante(M):ÉovalorfinalqueotomadordeempréstimopagaaoemprestadoràM=C+J
TaxadeJuros(i):Doinglêsinterest,éaalíquotadojuroemdeterminadoperíodo,expressoemporcentagem.Essataxaé,geralmente,aplicadasobredeterminadocapital.Matematicamente:J=C.i
Fluxo de Caixa: É a representação de operações financeiras, podendo ser expressograficamente,tendonoeixo“X”otempo,oupormeiodeumatabela.
Ciente dos termos utilizados emmatemática financeira, vejamos umexemplo resolvido quepermiteumavisualizaçãopráticadaaplicaçãodostermos:
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Exemploresolvido1:ConsiderequeumapessoaaplicaR$1.000emumfundodeinvestimentospor12mesese,apósesteperíodo, recebeR$1.100.Desenheo fluxodecaixa,determineocapital,montante,juroetaxadejuros.
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Solução:
Dessaforma,aTaxadeJuros(i)éde10%.Comochegamosaesseresultado?
!"$ = &. (, *+,+( = $&
Dica:EmMatemáticaFinanceira,utilizamostermosparadenominarcadatipodeoperaçãoedescrevercadacaracterísticadoitemsobreoqualtratamos.Porexemplo,paradenominaroCapital, às vezes, utiliza-se o termo Valor Presente ou Valor Investido. Para denominar oMontante,àsvezes,utiliza-seotermoValorFuturoouValorNominal.Outrossinônimospodemaparecer.
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CapítuloIII.JurosSimplesHádoistiposderegimesdecapitalização:osimpleseocomposto.Oregimedecapitalizaçãosimpleséaqueleondeojurogeradoemcadaperíodoéconstanteeabasedecálculoésempreocapitalinicial.Jánoregimedecapitalizaçãocomposto,ojurogeradonoprimeiroperíodoéconsideradoparadeterminarojurodosegundoperíodo.Assim,háincidênciadejurosobreojurosgeradonoperíodoanterior.
Nesse capítulo trataremos do juros simples,os quais são calculados utilizando o regime decapitalizaçãosimples.Dessaforma,comointroduzido,ojurosempreincidesobreovalorinicialaplicadoouemprestado(capital),resultandoemJurosConstantes.Matematicamente:$ = &. (Assim,casodeterminadocapitalsejaaplicadoaumadeterminadataxadejuro,omontanteserádadopor:
- = . + 0. 1
- = . + (.. 3). 1
5 = &(6 + (. 7)Percebaquenademonstraçãoanterior,comojáintroduzido,onsignificaonúmerodeperíodospeloqualodinheiroficouaplicado/emprestado.Notetambémqueonúmerodeperíodosestámultiplicandoataxadejurosi.Ademais,Mrepresentaomontante,ouseja,ocapitalacrescidodejuros.
Dessemodo,seumCapitalficaaplicadoaumataxadejuroside10%a.m.durante12meses,omontanteseráocapitalmais120%dejurosobreocapital(10%a.m.x12meses).
Exemplo resolvido 1: Utilizando o conceito de juros simples, calcule o montante e o jurosrecebidoemumaaplicaçãofinanceiradeR$10.000,00,durante3mesesaumataxade2%a.m.
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Solução:
Dados:. = 10.000 i = 2% n = 3
Jurorecebidoemcadamês:J = .. 3 = 200
Jurorecebidonoperíodo:J = .. 3 1 = @AA
Montante:- = . 1 + 3. 1 = 6A. @AA
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EXERCÍCIOSDOCAPÍTULOIII1) UminvestidoraplicouR$200.000emdólaresamericanos.Apósalgumtempo,vendeu
osdólaresadquiridoseobteveR$240.000comessaoperaçãodecâmbio.Qualfoiataxadejuroobtidapeloinvestidornoperíodo?
2) UmcapitaldeR$15.000foiaplicadoataxade3%a.m.(JS)duranteumtrimestre.Qualovalordomontante?
3) Um investidor aplicou R$20.000 em um ações XPTO. O capital sofreu umadesvalorizaçãode76%noperíodo.Qualéovalordomontante?
4) AnafezumaaplicaçãodeR$50.000ataxade12%a.a.emumfundodeinvestimentos.Oprazodaaplicaçãofoide2trimestres.QualovalorresgatadoporAna?
5) Qualéamelhoralternativa: investirR$10.000aumataxade12%a.a. (jurosimples)durante4mesesouinvestiromesmovalorpelomesmoperíodoaumataxade12%a.a.noregimedejurocomposto?(senecessário,videcapítuloquatro).
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6) CalculeosjurossimplesproduzidosporR$40.000,00,aplicadosàtaxade36%a.a.,durante125dias(senecessário,videcapítulocinco).
7) Qualocapitalque,aplicadoajurossimplesde1,2%a.m.,rendeR$3.500,00dejurosem75dias?
8) Seataxadeumaaplicaçãoéde150%aoano,quantosmesesserãonecessáriosparadobrarumcapitalaplicadopormeiodecapitalizaçãosimples?
9) UmainvestidoraaplicouumcapitaldeR$1.200,00aumataxade2%aomêsdurante14meses.Determineosjuroseomontantedessaaplicação:
10) Umcapitalaplicadoajurossimplesdurante2anos,sobtaxadejurosde5%aomês,gerouummontantedeR$26.950,00.Determineovalordocapitalaplicado.
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11) UminvestidoraplicouaquantiadeR$500,00emumfundodeinvestimentoqueoperanoregimedejurossimples.Após6mesesoinvestidorverificouqueomontanteeradeR$560,00.Qualataxadejurosdessefundodeinvestimento?
12) Determinadaquantiafoiaplicadaajurossimplesde6%aomês,durante5mesese,emseguida,omontantefoiaplicadodurantemais5meses,ajurossimplesde4%aomês.No final dos 10meses, o novomontante foi de R$ 234,00. Qual o valor da quantiaaplicadainicialmente?
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CapítuloIV.JurosCompostos4.1.JUROSCOMPOSTOSOsjuroscompostossãocalculadosutilizandooregimedecapitalizaçãocomposta,ondeojurodoperíodoanterioragrega-seaomontantedoperíodoseguinte.Destaforma,ojurodoperíodoésemprecalculadosobreocapitaladicionadodetodososjurosqueincidiramsobreomesmocapitalnosperíodosanteriores,deformaquetemosjurosincidindosobrejuros.
Podemosresumirtalmovimentodaseguintemaneira:
Exemplificandoemnúmeros,notequeovalordojurossealteraemcadaperíodo.
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4.2.JUROSCOMPOSTOSNAHP12CPara facilitar o cálculo dos juros compostos utilizamos calculadoras financeiras. Por padrão,utilizaremosaHP12Cparaexemplificarousodessasferramentas,umavezqueéacalculadoramaisutilizadapelosalunos.
Paraisso,deve-seaprenderautilizaçãodasteclasfinanceiras,asquaissãoutilizadasparaessetipodecálculo:
ComointroduzidonoCapítuloII,asteclasdestacadassignificamrespectivamente:
n=Númerodeperíodosaoqualserefereocálculo.
i=TaxadeJuroComposto,doinglêsinterest.
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PV=ValorPresenteouCapital,doinglêspresentvalue.
FV=Montante,ValorFuturoouValorNominal,doinglêsfuturevalue.
Exemplo1:UtilizandoaCalculadoraFinanceira,calculeomontanteeojurosrecebidoemumaaplicação financeira de R$ 10.000,00, durante 3 meses, a uma taxa de 2% a.m. em juroscompostos.
Solução:
Cálculoatravésdafórmula:
Dados:. = 10.000;i = 2%;n = 3
- = . ∗ (1 + 3)Cà- = 10000 ∗ (1 + 0,02)D5 = 6A. @6E, AFàG = @6E, AF
CálculoatravésdaHP12C:
Dados:. = 10.000;i = 2%;n = 3
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EXERCÍCIOSDOCAPÍTULOIV
1) UmcapitalnovalordeR$30.000foiaplicadoataxadejurocompostode3%a.m.durante20meses(JC).Qualomontantedoinvestimento?
2) JosephinvestiuR$500.000,00emumfundoderendafixaàtaxadejurocompostode2%aomês,por65dias.Entretanto,nomomentoderesgataroinvestimento,obancoefetuouacobrançadeumataxadeadministraçãode0,95%sobreovaloraplicado, alémde ter recolhido imposto de renda, equivalente a 27,5%, sobre orendimento.
a) Qualomontantedoinvestimento?
b) Qualovalorlíquidoresgatado?
3) Umcapitalaplicadoa taxade1%a.m. (JC)durante9meses resultouem jurodeR$15.000.Qualovalordocapital?
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