Apostila de Controle I
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Transcript of Apostila de Controle I
UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL
DO PARANA
CURSO DE ENGENHARIA ELETRONICA
APOSTILA DE CONTROLE I
PAULO ROBERTO BRERO DE CAMPOS
Curitiba, outubro de 2010
ii
Sumario
Lista de Figuras vii
Lista de Tabelas x
1 Introducao aos Sistemas de Controle 1
1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Caracterısticas dos sistemas realimentados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Modelamento de um sistema mecanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5.1 Aplicacao da 2a lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5.2 Princıpio de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5.3 Elementos mecanicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Analise de resposta transitoria para sistemas de primeira e segunda
ordem 9
2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Sistemas de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Definicao da constante de tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Sistemas de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Definicao de constante de tempo para sistemas de segunda ordem, com
ξ < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 Especificacoes de Resposta transitoria para sistemas de segunda ordem . . 14
2.7 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16iii
2.8 Resposta transitoria para sistemas de segunda ordem, para um degrau
unitario na entrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.9 Efeito dos zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.10 Resposta natural e resposta forcada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.11 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Erro em regime permanente em sistema de controle com realimentacao
unitaria 19
3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Tipo do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 Ganho Estatico (ganho DC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.6 Constantes de erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.7 Erro em regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.8 Resumo do erro em regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.9 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Analise no lugar das raızes 25
4.0.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 Projeto pelo Lugar das Raızes 35
5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 Informacoes teoricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2.1 Consideracoes preliminares de projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.2 Tipos de compensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2.3 Diretrizes gerais para o projeto do compensador . . . . . . . . . . . 37
5.2.4 Compensacao por atraso de fase (LAG) . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2.5 Compensacao por avanco de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2.6 Exemplos de lugar das raızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6 Diagramas de Bode 43
6.0.7 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43iv
7 Projeto por BODE 51
7.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.2 Projeto por BODE utilizando o compensador atraso de fase (lag) . . . . . 51
7.3 Projeto por BODE utilizando o compensador avanco de fase (lead) . . . . 53
7.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8 Linearizacao 57
8.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.2 Aproximacao linear de modelos nao lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.2.1 Para duas variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.3 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9 Diagramas de Nyquist 61
9.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
9.2 Qual o objetivo do metodo de Nyquist? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
9.3 No que se baseia o criterio de Nyquist? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.4 Princıpio do argumento ou teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9.5 Criterio de estabilidade de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9.6 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9.7 Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
10 Sintonia do compensador PID 69
10.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10.2 Informacoes teoricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10.3 Representacoes do PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.3.1 Regras de sintonia do PID de Ziegler-Nichols para sistemas contınuos 71
10.3.2 Construcao do bloco derivativo puro D . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10.4 Resumo das caracterısticas do PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
11 Projeto do compensador PID no lugar das raızes 77
11.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11.2 Informacoes teoricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77v
11.3 Caracterısticas do PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
11.4 Projeto do compensador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
11.4.1 Revisao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
11.4.2 Compensador PD - proporcional derivativo . . . . . . . . . . . . . . 80
11.4.3 Compensador PI - proporcional integral . . . . . . . . . . . . . . . 82
I Apendice 85
A Experimento sobre identificacao do polo mecanico de um motor CC 87
A.0.4 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
B Experimento sobre identificacao de um sistema termico 91
B.0.5 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
C Experimento: controle de velocidade de um motor DC 97
C.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
C.2 O sistema a controlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
C.3 Procedimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
C.3.1 Montagem do amplificador de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . 98
C.3.2 Projeto e montagem do compensador Proporcional . . . . . . . . . 98
C.4 Circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
C.4.1 Protecao do transistor de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
D Transformada de Laplace 101
D.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
D.2 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
D.3 Teoremas da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
D.4 Transformada Inversa de Laplace (anti-transformada) . . . . . . . . . . . . 105
D.4.1 Expansao em fracoes parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
D.5 Plano complexo – mapa polos-zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
D.6 Interpretacao grafica dos coeficientes da expansao em fracoes parciais . . . 109
vi
Lista de Figuras
1.1 Controle de temperatura manual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Funcao de transferencia em malha aberta com perturbacao . . . . . . . . . 3
1.3 Funcao de transferencia em malha fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Sistemas estaveis e instaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Sistema mecanico, com atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Sistema mecanico, sem atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7 Mola linear, sendo y=deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.8 Amortecedor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.9 Sistema massa-mola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.10 Sistema massa-mola, sujeito a forca externa f . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1 Diagrama em blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Plano s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Diagrama em blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Resposta de um sistema de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Resposta padronizada para um sistema de segunda ordem . . . . . . . . . 17
2.6 Diagramas de blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7 Diagrama em blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1 Funcao de transferencia em malha fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Erro em regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Erro em regime para entrada rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Erro em regime para diversos tipos de entradas . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.1 Funcao de transferencia em malha fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2 Compensacao atrair o lugar das raızes mais para a esquerda . . . . . . . . 38vii
5.3 Compensacao atraso de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.4 Compensacao avanco de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.5 Exemplos de lugar das raızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.1 Projeto do compensador atraso de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.2 Projeto do compensador avanco de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8.1 Funcao nao-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9.1 Percurso fechado no plano s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.2 Percurso fechado no plano GH(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.3 Percurso fechado no plano s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.4 a) Percurso fechado no plano s; b) Percurso fechado no plano GH(s) . . . . 63
9.5 Fase dentro e fora do contorno C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.6 Fase dentro e fora do contorno C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9.7 Contorno fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9.8 Envolvimento do contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9.9 Direcao do contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9.10 Direcao do contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.1 Estrutura de um compensador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10.2 Sistema realimentado com PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10.3 Taxa de decaimento da resposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10.4 Curva em forma de S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
10.5 Resposta para um sistema integrativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
10.6 Em malha fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
11.1 Estrutura de um compensador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
11.2 Sistema realimentado com PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
11.3 Polos complexos no plano s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
11.4 Localizacao dos polos em malha fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.5 Sistema com compensador PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
11.6 Criterio de modulo e de fase compensador PD . . . . . . . . . . . . . . . . 81
11.7 Criterio de modulo e de fase compensador PI . . . . . . . . . . . . . . . . . 83viii
C.1 Amplificador de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
C.2 Sistema de controle com compensador proporcional . . . . . . . . . . . . . 99
C.3 TL071 e TL072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
C.4 Circuito snubber para protecao dos transistores . . . . . . . . . . . . . . . 100
D.1 Filtro passa-baixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
D.2 Polos complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
D.3 Plano s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
D.4 Interpretacao grafica para calculo de A1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
D.5 Interpretacao grafica para calculo de A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
ix
x
Lista de Tabelas
10.1 Regras Ziegler-Nichols para sistemas nao integrativos . . . . . . . . . . . . 72
10.2 Regras Ziegler-Nichols para sistemas integrativos . . . . . . . . . . . . . . . 74
10.3 Regras Ziegler-Nichols em malha fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
10.4 Resumo das acoes do PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
xi
xii
Capıtulo 1
Introducao aos Sistemas de Controle
1.1 Introducao
Controle e o ato de exercer comando sobre uma variavel de um sistema para que
esta variavel siga um determinado valor, chamado valor de referencia. Um sistema
projetado para seguir um valor de referencia que se altera continuamente e chamado servo
ou controle de rastreamento. Um sistema projetado para manter uma saıda em um valor
fixado, independente de perturbacoes que possam ocorrer, e chamado um regulador ou
um controle de regulacao.
Na figura 1.1 e mostrado como e realizado o controle de temperatura de um ambiente de
forma manual. Um operador fica continuamente verificando a temperatura do ambiente,
atraves de um medidor, e ajusta a tensao aplicada no aquecedor eletrico, para aumentar
ou diminuir a potencia aplicada a resistencia eletrica do aquecedor e com isto aumentar
ou diminuir a temperatura do ambiente.
Figura 1.1: Controle de temperatura manual
UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - pagina 2
Os sistemas de controle sao projetados para desempenhar tarefas especıficas, sendo
que os requisitos impostos aos sistemas de controle sao chamados de especificacoes de
desempenho. Estas especificacoes podem ser relativas a estabilidade, velocidade de
resposta, etc.
Nesta apostila serao vistos os conceitos iniciais para se compreender e analisar um
sistema de controle.
1.2 Definicoes
Realimentacao (feedback) – tambem conhecido como retro-alimentacao. Procedi-
mento atraves do qual parte do sinal de saıda e transferida para a entrada, com o objetivo
de controlar a saıda.
Sistema de Controle – e um conjunto de componentes fısicos conectados ou relaci-
onados de maneira a comandar, dirigir ou regular a si mesmo ou a outros sistemas.
Planta – e qualquer objeto fısico a ser controlador. Exemplo: um motor DC.
Processo – sequencia de fatos ou operacoes que apresentam certa unidade. Pode ser
conceituado como qualquer operacao a ser controlada. Exemplos: processos quımicos,
processos economicos, processos biologicos. Um processo possui uma entrada, uma saıda
e realiza uma determinada operacao. Assim os termos Planta e Processo podem ser
utilizados como sinonimos, mas Processo e sempre mais abrangente que Planta.
Sistema – e uma combinacao de componentes que atuam em conjunto e realizam um
determinado objetivo. O conceito de sistemas pode ser aplicado a fenomenos abstratos,
dinamicos, tais como os encontrados em economia.
Perturbacao (ou disturbio) – e um sinal que tende a afetar de forma adversa o valor
da saıda do sistema. A perturbacao pode afetar qualquer parte de um sistema. Na figura
1.2 e mostrado uma perturbacao na saıda do sistema.
Sistema de controle em malha aberta – um sistema em que a saıda nao tem
nenhum efeito sobre a acao de controle. O sistema nao faz medicoes da saıda e nao ha
correcao do sinal atuante para que a saıda seja ajustada conforme o sinal de entrada. O
sistema da figura 1.2 e um sistema em malha aberta.
Sistema de controle realimentado (malha fechada) – e um sistema que mantem
UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - pagina 3
R(s)- C(s) -����Y(s)
-
+D(s)
+ ?
Figura 1.2: Funcao de transferencia em malha aberta com perturbacao
uma relacao prescrita entre a saıda e alguma entrada de referencia comparando-as e uti-
lizando a diferenca como um meio de controle.
Um sistema em malha fechada e representado pelo diagrama de blocos da figura 3.1.
O bloco G(s) representa a planta ou processo a ser controlado. O bloco H(s) representa o
transdutor que fara a leitura da saıda do sistema. O bloco C(s) representa o compensador
ou controlador, acrescentado para alterar alguma caracterıstica do sistema em malha
fechada.
–
+R(s) Y(s)-����- K C(s) -����-?
D(s)
+ G(s) -
�H(s)�
6
Figura 1.3: Funcao de transferencia em malha fechada
Servossistema – e um sistema de controle realimentado em que a saıda e alguma
posicao mecanica, velocidade ou aceleracao. O termo servossistema e normalmente usado
para indicar um sistema de controle de posicao.
Sistema regulador automatico (regulador) – e um sistema de controle realimentado
em que a entrada de referencia (ou a saıda desejada) e constante ou varia lentamente com
o tempo e que a tarefa principal consiste em manter a saıda real no valor desejado na
presenca de perturbacoes.
Sistema de controle de processos – e um sistema regulador automatico em que a
saıda e uma variavel, tal como: pressao, temperatura, fluxo, nıvel de lıquido, PH, etc.
Exercıcios:
UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - pagina 4
1) Explique o que significam: a) Set-point (valor de referencia); b) Sinal atuante; c)
Variavel manipulada; c) Variavel controlada; d) erro; e) off-set; f) tempo morto;
2) Qual o objetivo de se fazer o controle realimentado?
3) Qual a diferenca entre servomecanismo e regulador?
4) O que significam representacao nominal e representacao real da planta?
1.3 Caracterısticas dos sistemas realimentados
Vantagens:
1. Menor sensibilidade a variacoes nas caracterısticas dos sistema.
2. Aumento da largura de faixa
3. Exatidao aumentada - capacidade de reproduzir a entrada com fidelidade.
4. Reducao do efeito de nao-linearidades e distorcoes.
5. Permite estabilizar sistemas que sejam instaveis em malha aberta.
Desvantagem:
1. Instabilidade - tendencia para oscilacao.
O objetivo da disciplina de controle I e inicialmente estudar como representar
matematicamente o processo (planta) a ser estudado. Em seguida analisar se o sistema
em malha fechada e estavel ou nao, e o que pode ser feito para estabiliza-lo de forma a
obter determinados tipos de respostas.
1.4 Estabilidade
Diremos que um sistema sera estavel se a aplicacao de um sinal de entrada limitado
resultar em um sinal limitado na saıda, como mostrado nos dois primeiros graficos da
figura 1.4. Note que apesar da saıda do segundo sistema ser oscilatoria, ela ainda e
limitada. Este tipo de sistema e dito ser marginalmente estavel. Nos dois ultimos graficos
da figura 1.4 sao mostrados dois exemplos de sistemas instaveis.
UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - pagina 5
Figura 1.4: Sistemas estaveis e instaveis
1.5 Modelamento de um sistema mecanico
Um sistema de controle sera util apenas se for estavel. Deve-se entao buscar alguma
forma de estudar a estabilidade de um sistema de controle. Conhecer um sistema e
conhecer cada um dos elementos que compoe o sistema de controle. Uma maneira de se
obter isto e atraves do estudo das relacoes dinamicas que definem o comportamento de
cada elemento. Para isto e necessario fazer o modelamento matematico de cada elemento.
O modelo matematico de um sistema dinamico e definido como um conjunto de
equacoes que representam a dinamica do sistema precisamente, ou pelo menos, sensivel-
mente bem.
A dinamica de um sistema, seja eletrico, mecanico, termico, economico, biologico, pode
ser descrita em termos de Equacoes diferenciais.
Estas equacoes podem ser obtidas utilizando-se as leis fısicas que governam um sistema
particular, por exemplo: leis de Newton para sistemas mecanicos, leis de Kirchoff para
sistemas eletricos, etc.
A resposta de um sistema dinamico a uma determinada entrada pode ser obtida se as
equacoes diferenciais envolvidas forem resolvidas.
1.5.1 Aplicacao da 2a lei de Newton
Considere o sistema mostrado na figura 1.5.
Um bloco de massa M esta se movendo em uma superfıcie horizontal sob a influencia
de uma forca externa F , sofrendo o impedimento de uma forca de atrito D(v), que e
funcao da velocidade.
Da segunda Lei de Newton:
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Figura 1.5: Sistema mecanico, com atrito
∑F = ma e a = dv
dt
Como o atrito se opoe a forca F : F −D(v) = M dvdt
dvdt
= FM− D(v)
M
Estas equacoes definem o movimento da massa.
1.5.2 Princıpio de D’Alembert
Em qualquer instante um corpo em movimento esta em equilıbrio dinamico, ou seja, a
soma de todas as forcas que agem sobre o mesmo e nula (incluindo a forca de inercia que
sempre se opoe a aceleracao).
Exemplo: considere o bloco de massa M se movendo em uma superfıcie sem atrito, sob
a influencia de uma forca externa f(t), como mostrado na figura 1.6. Para este sistema o
somatorio de forcas e dado por:
f(t) = My = Mv = Ma
Figura 1.6: Sistema mecanico, sem atrito
1.5.3 Elementos mecanicos
Massa (M) – armazena energia cinetica (e um elemento analogo a indutancia). Uni-
dade [Kg]
Mola linear (k)– armazena energia potencial (e um elemento analogo ao capacitor).
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Caracterizado pela constante de elasticidade da mola (k), tambem denominada rigi-
dez da mola. A forca da mola depende do seu deslocamento: f(t) = ky(t). O desenho da
mola e mostrado na figura 5.1.
Amortecedor (b) – e um componente que resiste a velocidade imposta. Ele dissipa
energia: f(t) = by(t). O desenho do amortecedor e mostrado na figura 1.8.
?
yH�H�H�
?f(t)
Figura 1.7: Mola linear, sendo y=deslocamento
-y
- f(t)
Figura 1.8: Amortecedor
Exemplo 1: Considere um sistema massa-mola, em que inicialmente em repouso a
mola tem um comprimento y0. Isto e mostrado no primeiro desenho da figura 1.9. No
segundo desenho, a massa e solta e o sistema atinge um equilıbrio estatico. No terceiro
desenho e mostrado o equilıbrio de forcas.
Exemplo 2: Neste sistema sera aplicada uma forca externa f a massa. As forcas
presentes neste sistema sao mostradas na figura 1.10.
Lembrando que no equilıbrio estatico, o sistema estaria na posicao y0 + y. Devido a
forca f o sistema se desloca x1 = x+ y.
O equilıbrio de forcas resulta em: f +Mg −Mx1 −Kx1 = 0
Substituindo x1 = x+ y, obtem-se:
f +Mg −Mx−Kx−Ky = 0, sendo que ky = Mg.
Resultando entao: f +Mg −Mx−Kx−Mg = 0, finalmente chega-se a:
f = Mx+Kx
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?
y0H�H�H�
M?
y0
?y(t)
H�H�H�H�
M
Equilıbrio estatico
?P = Mg
M6ky
Mg=ky
Figura 1.9: Sistema massa-mola.
?
y0
?x1?y
Ponto de equilıbrioestatico
�
?x
H�H�H�H�
M
?f ?P = Mg
?Mg?
f
M6
kx16
Mx1
Figura 1.10: Sistema massa-mola, sujeito a forca externa f
A forca da gravidade age da mesma forma em qualquer ponto, por isto acaba sendo
simplificada.
Por esta razao, sempre os sistema mecanicos serao equacionados em relacao a posicao
de equilıbrio estatico.
Capıtulo 2
Analise de resposta transitoria para
sistemas de primeira e segunda
ordem
2.1 Introducao
Nesta apostila serao estudadas as respostas transitorias de sistemas de primeira e
segunda ordem, analisadas no domınio do tempo.
No estudo dos sistemas de controle, as equacoes diferenciais lineares de primeira ordem
e segunda ordem sao muito importantes, porque os sistemas de ordem mais elevadas podem
ser aproximados para estes tipos de sistemas.
2.2 Sistemas de primeira ordem
Um sistema de primeira ordem possui a seguinte funcao de transferencia:
C(s)R(s)
= 1Ts+1
Na forma de diagrama de blocos tem-se:
R(s) - 1Ts+1
-C(s)
Figura 2.1: Diagrama em blocos
Uma maneira de se analisar uma funcao de transferencia e aplicar um degrau unitario
na entrada e observar a resposta na saıda. Sendo o degrau unitario R(s) = 1s, a resposta
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sera dada por:
C(s) = 1Ts+1
R(s) = 1Ts+1
1s
Separando em fracoes parciais, obtem-se:
C(s) = ATs+1
+ Bs
= −TTs+1
+ 1s
= 1s− 1
s+ 1T
Calculando a transformada inversa, obtem-se:
c(t) = 1− e− tT para t ≥ 0
A resposta ao degrau possui a seguinte forma:
0 1 2 3 4 50
0.5
1
1.5
t
c(t)
Substituindo t por valores multiplos da constante de tempo, tem-se:
para t = 0, c(t) = 0
para t = T , c(t) = 0, 632
para t = 2T , c(t) = 0, 865
para t = 3T , c(t) = 0, 950, que e a resposta dentro da faixa de 5% do valor final
para t = 4T , c(t) = 0, 982, que e a resposta dentro da faixa de 2% do valor final
para t = 5T , c(t) = 0, 993, que e a resposta dentro da faixa de 1% do valor final
2.3 Definicao da constante de tempo
Ja foi visto que a resposta de um sistema de primeira ordem a uma entrada degrau e
dada por:
c(t) = 1− e− tτ
O valor de t que torna o expoente de e igual a −1 e definido como uma Constante
de tempo.
Assim: −tτ
= −1 entao t = τ . Assim τ =constante de tempo.
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A partir da funcao de transferencia:
G(s) = 1τs+1
=1τ
s+ 1τ
Na funcao de transferencia, observa-se que τ =constante de tempo e quando se isola
o termo em s, obtem-se 1τ
=polo. Entao o polo e o inverso da constante de tempo.
Exemplo: Considerando a funcao de transferencia G(s) = 100s+20
:
a) Calcule o valor do polo: o polo e o valor de s que faz a funcao tender ao infinito,
entao polo=s=-20 rad/s.
b) Calcule a constante de tempo: pela definicao, constante de tempo = τ = 120
= 0, 05s
c) Calcule o valor final da saıda, aplicando o Teorema do Valor final:
f(∞) = limt→∞
f(t) = lims→0
sF (s) = lims→0
s100
s+ 20
1
s= 5
d) Calcule o valor final de saıda, pela resposta no tempo: separando em fracoes parciais,
obtem-se:
C(s) = 100s+20
1s
= As
+ Bs+20
= 5s− 5
s+20
Calculando a anti-transformada de Laplace:
c(t) = 5− 5e−20t
Para t =∞, obtem-se c(s) = 5.
e) Calcule o valor de c(t) para uma constante de tempo: a constante de tempo e
obtida como: −20t = −1 e t = τ = 0, 05. Substituindo este valor de t na equacao do item
anterior, c(t) = 3, 16.
2.4 Sistemas de segunda ordem
A equacao diferencial padronizada de um sistema de segunda ordem e dada por:
d2y(t)dt2
+ 2ξωndy(t)dt
+ ωn2y(t) = ωn
2x(t)
A constante ξ e chamada Coeficiente de amortecimento (ou razao de amortecimento)
A constante ωn e chamada frequencia natural nao amortecida.
A transformada de Laplace com condicoes iniciais nulas e dada por:
Y (s)s2 + 2ξωnsY (s) + ωn2Y (s) = ωn
2X(s)
A funcao de transferencia e dada por:
G(s) = Y (s)X(s)
= ωn2
s2+2ξωns+ωn2
Os polos da funcao sao dados por:
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s = −ξωn ± ωn√ξ2 − 1
O coeficiente de amortecimento (ξ) fornece indicacoes de como sera a resposta tran-
sitoria do sistema:
1. Se ξ > 1, o sistema possui dois polos reais e distintos
2. Se 0 ≤ ξ < 1, o sistema possui polos complexos conjugados, localizados em: s =
−ξωn ± jωn√
1− ξ2 = σ ± jωd
3. Se ξ = 1, o sistema possui duas raızes reais iguais.
onde: σ = taxa de decaimento
ωd = frequencia natural amortecida
Resumo:
a)0 ≤ ξ < 1 – sistema sub-amortecido (amortecimento sub-crıtico)
b) ξ = 1 – amortecimento crıtico
c) ξ > 1 – sistema super-amortecido (amortecimento super-crıtico)
0 10 20 30 40 50
0
0.5
1
t
c(t)
ξ < 1ξ = 1ξ > 1
Para ξ < 1 o lugar geometrico dos polos e mostrado na figura 11.3.
-
6
@@@I
...
+jωd
−jωd-
−σ
*
*
θ θ = cos−1ξ
. . ....
.. ....
..
s = −σ + jωd
Figura 2.2: Plano s
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2.5 Definicao de constante de tempo para sistemas
de segunda ordem, com ξ < 1
Neste caso os polos sao complexos conjugados:
s = −ξωn ± jωn√
1− ξ2 = −σ ± jωdA funcao de transferencia e dada por:
F (s) = ω2n
(s+σ+jωd)(s+σ−jωd)
No tempo, calculando a anti-transformada de Laplace, obtem-se:
f(t) = A1e(−σ−jωd)t + A2e
(−σ+jωd)t = Ae−σtsen(ωdt+ φ)
O termo e−σt e denominado taxa de decaimento.
Pela definicao de constante de tempo, vista na parte inicial da apostila: −σt = −1,
t = 1σ
= τ , desta forma:
τ = 1σ
= 1ξωn
0 20 40 60 80 100 120
−0.5
0
0.5
1
t
c(t)
Asen(ωdt+ φ)
e(−σt)
2.5.1 Exemplo
Analise o sistema abaixo, sendo ξ = 0, 5 e ωn = 10rad/s:
E(s)- ω2n
s(s+2ξωn)-i C(s)-+R(s)
- 6
Figura 2.3: Diagrama em blocos
a) Calcule os polos em malha fechada:
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b) Calcule a frequencia natural amortecida:
c) Calcule a constante de tempo do sistema
d) Determine o tio de resposta que o sistema exibe
2.6 Especificacoes de Resposta transitoria para siste-
mas de segunda ordem
As caracterısticas de desempenho desejadas de sistemas de controle sao especificadas
em termos de grandezas no domınio do tempo.
Sistemas com armazenamento de energia nao podem responder instantaneamente e
terao respostas transitorias sempre que sujeitos a alteracoes na entrada ou sujeitos a
perturbacoes.
Frequentemente as caracterısticas de desempenho de um sistema de controle sao es-
pecificadas em termos da resposta transitoria para uma entrada em degrau unitario, pois
esta entrada e facil de gerar e e suficientemente severa.
As seguintes informacoes sao usadas para especificar a resposta no tempo:
1) Tempo de atraso (delay) – td
2) tempo de subida (rise time) – tr
3) Instante de pico – tp
4) Sobressinal maximo – Mp
5) tempo de acomodacao – ts
1) Tempo de atraso (td) – e o tempo necessario para a resposta alcancar pela primeira
vez a metade do valor final.
2) Tempo de subida (tr) – e o tempo necessario para a resposta passar de 10% a 90%,
de 5% a 95% ou de 0 a 100%. Normalmente usa-se de 10% a 90%.
3) Instante de pico (tp) – e o tempo necessario para a resposta alcancar o primeiro
pico do sobressinal.
4) Sobressinal Maximo ( Mp em valor percentual) – e o valor de pico da curva de
resposta medido a partir do valor unitario, para a saıda padronizada.
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Figura 2.4: Resposta de um sistema de segunda ordem
Se o valor final do regime estacionario de resposta difere da unidade, entao normal-
mente se usa o maximo sobressinal percentual:
Mp(%) = c(tp)−c(∞)c(∞)
100%
O valor do sobressinal maximo (percentual) fornece indicacoes da estabilidade relativa
do sistema.
5) Tempo de estabilizacao (acomodacao) (ts) – e o tempo necessario para a curva de
resposta alcancar e permanecer dentro de uma faixa em torno do valor final (normalmente
±1%, ±2% ou ±5%)
O tempo de estabilizacao esta relacionado com a maior constante de tempo do sistema
de controle.
A escolha de que percentagem usar no criterio de erro, pode ser determinada a partir
dos objetivos do projeto do sistema em questao.
Comentarios:
Estas especificacoes sao importantes, pois os sistemas de controle atuam no domınio
do tempo, devendo apresentar respostas temporais satisfatorias.
E desejavel que a resposta transitoria seja suficientemente rapida e suficientemente
amortecida.
Para um sistema de segunda ordem a resposta deve estar na faixa: 0, 4 ≤ ξ ≤ 0, 8.
Valores menores que ξ ≤ 0, 4 resultam em sobressinal excessivo. Valores maiores que
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ξ ≥ 0, 8, o sistema responde de forma lenta.
2.7 Resumo
1) Rise-time – tempo de subida (tr)
tr(10%−90%)∼= 0,8+2,5ξ
ωn
2) Tempo de pico e sobressinal (tp e Mp)
tp = πωd
Mp = e− πξ√
1−ξ2 (algumas vezes Mp e expresso em valores percentuais (exemplo, Mp =
10%), mas na equacao deve ser escrito como Mp = 0, 10.
3) Tempo de estabilizacao (ts)
ts1% ∼= 4,6σ
ts2% ∼= 4σ
ts5% ∼= 3σ
2.8 Resposta transitoria para sistemas de segunda
ordem, para um degrau unitario na entrada.
A figura abaixo mostra as respostas padronizadas para um sistema de segunda ordem.
2.9 Efeito dos zeros
Zeros tem um efeito significante na resposta transitoria, para sistemas sobre-
amortecidos, especialmente se eles estao proximos a origem.
2.10 Resposta natural e resposta forcada
Quando um sistema dinamico e sujeito a forcas externas na sua entrada, a saıda re-
sultante pode ser separada em duas partes: a resposta natural yn(t) e a resposta forcada
yf (t).
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Figura 2.5: Resposta padronizada para um sistema de segunda ordem
A resposta natural e definida como a parte da resposta completa que consiste dos
modos naturais do sistema. A resposta forcada consiste de termos adicionais modais que
sao definidos pela entrada u(t).
2.11 Exercıcios
1) Para os exemplos usados nesta apostila, determine as respostas natural e forcada.
2) Dado os sistemas abaixo, reduza a um unico bloco e escreva a funcao de trans-
ferencia.
3) Dada a funcao de transferencia F(s)=C(s)/R(s) que representa um sistema em
malha aberta, sendo R(s) um degrau unitario, 2.7, determine:
a) o valor dos polos e os localize no plano s;
b) tipo de resposta;
c) coeficiente de amortecimento (ξ);
d) frequencia natural nao amortecida (ωn) e a frequencia natural amortecida (ωd);
e) Tr, Ts5%, Ts2%, Tp e Mp;
f) constante de tempo.
4) Considere o sistema representado pela funcao de transferencia que possui um zero
real em s = −1α
.
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Figura 2.6: Diagramas de blocos
-9
s2+2s+9 -
Figura 2.7: Diagrama em blocos
G(s) = αω2ns+ω
2n
s2+2ξωns+ω2n
Considerando a resposta no tempo para um degrau unitario, analise as respostas para:
a) α = 0; b) α = 1; c) α = 2; d) Comparando com uma funcao sem zero, α = 0, que
termo que aparece devido ao zero?
5) Faca os exercıcios propostos na apostila ”Efeitos de polos e zeros
na resposta.pdf”que esta no site http://pessoal.utfpr.edu.br/brero/controle 1/2 sem
2012/Exercicios/. Estes exercıcios devem ser entregues ao professor, valendo 0,4 pontos.
Capıtulo 3
Erro em regime permanente em
sistema de controle com
realimentacao unitaria
Controle 1
Prof. Paulo Roberto Brero de Campos
3.1 Introducao
Um dos objetivos de um sistema de controle e que a resposta na saıda siga um deter-
minado sinal de referencia, em regime permanente. A diferenca entre o sinal de saıda e o
sinal de referencia, em regime permanente, e definido como erro em regime permanente
(estacionario).
No mundo real devido ao atrito e outras imperfeicoes e tambem devido as carac-
terısticas do proprio sistema, a resposta regime permanente raramente segue a referencia
com exatidao. Assim, erro em regime em alguns sistemas reais e inevitavel. No projeto de
um sistema de controle, um dos objetivos e manter o erro em regime em um valor mınimo,
ou abaixo de um valor toleravel, e ao mesmo tempo a resposta transitoria deve satisfazer
um conjunto de especificacoes.
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3.2 Definicoes
Dado um sistema em malha fechada, com realimentacao unitaria, representado pelo
diagrama de blocos da figura 3.1. O bloco G(s) representa a planta ou processo a ser
controlado.
–
+R(s) Y(s)E(s)-���� - G(s) -
�
6
Figura 3.1: Funcao de transferencia em malha fechada
O erro de malha fechada e dado por:
E(s) = R(s)1+G(s))
Para encontrar o erro em regime usamos o teorema do valor final:
e(t→∞) = lims→0
sE(s)
O erro em regime de um sistema realimentado depende das caracterısticas da funcao
de transferencia em malha aberta e da entrada de referencia. Existem tres entradas que
sao mais utilizadas para teste: entrada degrau, entrada rampa e entrada parabola.
Na figura 3.2 e mostrada a resposta do sistema em malha fechada F (s) = KG(s)1+KG(s)
,
para uma entrada degrau unitario, onde G(s) = 1(s+1)(s+10)
e K = 100, sendo indicado na
figura o erro em regime na saıda.
3.3 Tipo do sistema
Os sistemas de controle podem ser classificados de acordo com sua habilidade em
seguir sinais de entrada em degrau, em rampa, em parabola, etc. Os valores dos erros
estacionarios devido a estas entradas sao indicativos da qualidade do sistema.
O tipo do sistema corresponde ao numero de integradores existentes na funcao de
transferencia em malha aberta G(s).
• Tipo 0 - nao ha integrador
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Figura 3.2: Erro em regime
• Tipo 1 - ha um integrador
• Tipo 2 - ha dois integradores
3.4 Ganho Estatico (ganho DC)
O ganho estatico de uma funcao de transferencia estavel, sem polos na origem, e
definido por:
G(0) = lims→0
G(s)
3.5 Exercıcios
a) calcule o erro em regime permanente, em malha fechada, sendo dada a funcao em
malha aberta G(s)=1/(s+1). Na entrada e aplicado um degrau unitario.
b) calcule o erro em regime permanente, em malha fechada, sendo dada a funcao em
malha aberta G(s)=10/(s+1). Na entrada e aplicado um degrau unitario.
3.6 Constantes de erro
Constante de erro de posicao (Kp) – e uma medida do erro em regime permanente
entre a entrada e a saıda quando a entrada e um degrau unitario (R(s) = 1/s)
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Kp = lims→0
G(s)
Constante de erro de velocidade (Kv) – e a medida do erro em regime estacionario
entre a entrada e a saıda do sistema quando a entrada e uma funcao rampa unitaria
(R(s) = 1/s2).
Kv = lims→0
sG(s)
Constante de erro de aceleracao (Ka) – e a medida do erro em regime permanente,
quando a entrada e uma funcao parabola unitaria (R(s) = 1/s3).
Ka = lims→0
s2G(s)
3.7 Erro em regime
Erro de posicao – e o erro para uma entrada Degrau:
e(∞) = 11+Kp
Erro de velocidade – e o erro para uma entrada Rampa:
e(∞) = 1Kv
Erro de aceleracao – e o erro para uma entrada parabola:
e(∞) = 1Ka
O termo erro de velocidade e o erro estacionario a uma excitacao rampa. O erro de
velocidade nao e um erro na velocidade, mas um erro na posicao do sistema devido a uma
entrada em rampa.
O erro de aceleracao, isto e, o erro estacionario devido a uma solicitacao em parabola,
e um erro em posicao.
Figura 3.3: Erro em regime para entrada rampa
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3.8 Resumo do erro em regime permanente
Figura 3.4: Erro em regime para diversos tipos de entradas
3.9 Exercıcios
Para um sistema em malha fechada com realimentacao unitaria, sendo G(s) a funcao
de transferencia em malha aberta:
1) Considere G(s) = 10/(s + 10). Calcule o erro em regime para as entradas padroes
(degrau, rampa e parabola). Qual o tipo do sistema?
2) Considere G(s) = 10/(s(s+10)). Calcule o erro em regime para as entradas padroes
(degrau, rampa e parabola). Qual o tipo do sistema?
3) Considere G(s) = 10/(s2(s + 10)). Calcule o erro em regime para as entradas
padroes (degrau, rampa e parabola). Qual o tipo do sistema?
4) Explique por que o uso de um integrador, gerando um sistema tipo 1, faz com que
o erro em regime para uma funcao degrau seja zero.
5) Calcule o ganho estatico das funcoes: a) G(s) = 1/(s2(s+10)); b) G(s) = 100/((s+
30)(s+ 10)).
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Capıtulo 4
Analise no lugar das raızes
4.0.1 Introducao
Neste capıtulo serao vistos os conceitos basicos sobre o lugar geometrico das raızes e
como obte-lo graficamente.
LUGAR DAS RAÍZES
INTRODUÇÃO
O método do Lugar das Raízes é uma forma de se representar graficamente a
localização dos pólos do sistema em malha fechada, quando se altera o valor de um
parâmetro específico, normalmente o ganho.
O método foi introduzido por W. R. Evans, em 1948, e tem sido utilizado
largamente no projeto da Engenharia de Controle e Automação.
Originalmente, era uma técnica utilizada para determinar o valor numérico dos
pólos de um sistema em malha fechada, necessitando-se assim efetuar a construção
gráfica da forma mais exata possível.
Atualmente, é possível obter os pólos do sistema em malha fechada e desenhar o
LGR usando métodos computacionais. Apesar disso, o método do lugar das raízes
continua sendo um método de grande utilidade no projeto de sistemas de controle por
permitir ao projetista definir adequadamente a estrutura do controlador apropriado a
cada sistema.
Este método permite obter graficamente todas as soluções possíveis para a
equação característica (1 + KGH=0) quando K varia de zero a infinito. Ele fornece o lugar
geométrico de todos os pólos do sistema em malha fechada para variações de K de zero
ao infinito.
MÉTODO LUGAR DAS RAÍZES
A função de transferência do circuito abaixo em malha fechada pode ser
representada na forma:
A expressão total é dita função de transferência em malha fechada. G(s).H(s) é
chamado função de transferência em malha aberta.
O objetivo é determinar PÓLOS da função de transferência em malha fechada,
pois eles caracterizam a resposta do sistema. Então a equação a ser resolvida é:
1 + G(s).H(s) = 0
F(s) = C(s) = G(s)
R(s) 1+ G(s).H(s)
+
-
R(s) C(s) G(s)
H(s)
A qual é chamada equação característica.
REGRA 1 – EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA
Para construir o lugar das raízes, obtenha a equação característica e rearrange na
forma:
Então localize os pólos e zeros do laço aberto no plano S.
Exemplo: Considere o sistema:
Então:
Desenhando os pólos e zeros de malha aberta:
REGRA 2 – PONTOS DE INÍCIO E TÉRMINO DO LUGAR DAS RAÍZES
Encontre os pontos de início e término do lugar das raízes. Como nos sistemas
reais o número de pólos de malha aberta é maior ou igual ao número de zeros (n m), o
lugar das raízes inicia para K = 0 nos pólos de malha aberta e termina em um zero de
malha aberta ou no infinito.
Existem n ramos, m dos quais irão terminar em um zero, e (n - m) ramos irão
terminar no infinito seguindo assíntotas.
EXEMPLO: No exemplo anterior, o número de pólos de malha aberta é n=4, e o
número de zeros de malha aberta é m=1. Então um ramo terminará em um zero e três
terminarão no infinito.
REGRA 3 – LUGAR DAS RAÍZES NO EIXO REAL
Determinar o lugar das raízes no eixo real. Um ponto no eixo real faz parte do
lugar das raízes se o número total de pólos e zeros de malha aberta no eixo real à direita
do ponto for impar.
1 + K (s - z1).(s - z2)......(s - zm) = 0
(s - p1).(s - p2)......(s - pn)
G(s) = K
s.(s+1)
H(s) = (s+2)
(s+3).(s+4)
1 + K. (s+2) = 0
s.(s+1) (s+3).(s+4)
j
-4 -3 -2 -1
x x o x x
EXEMPLO: Para o exemplo anterior:
REGRA 4- DETERMINAÇÃO DAS ASSÍNTOTAS
Determine as assíntotas do lugar das raízes. (n-m) ramos do lugar das raízes
terminam no infinito, seguindo as assíntotas. OS ângulos das assíntotas são:
Todas as assíntotas interceptam o eixo real no ponto dado por:
Exemplo: Para o exemplo anterior n-m = 3. Então os ângulos das assíntotas são:
Então, os ângulos serão: +180, +60, -60 e interceptam o ponto dado por:
REGRA 5 – PONTOS DE ENTRADA E SAÍDA DO EIXO REAL
Encontre os pontos de saída e entrada. Se o lugar das raízes localiza-se entre
dois pólos adjacentes no eixo real, existe no mínimo um ponto de saída. Se o lugar das
raízes localiza-se entre dois zeros adjacentes no eixo real, existe no mínimo um ponto de
entrada. Se o lugar das raízes está entre um zero e um polo no eixo real, pode não
existir nenhum ponto de entrada ou saída.
j
-4 -3 -2 -1
x x o x x
= 180(2N +1) [ N = 0,1,2,..... ]
n - m
= (p1 + p2 +p3 .....+ pn) - (z1 + z2 + .....zm)
n - m
= 180(2N +1)
3
= ( 0 - 1 - 3 - 4) -(-2) = -2
3
j
180o +60
o
x x o x x
-60o
Se a equação característica é dada por:
Então a localização do ponto de entrada ou saída será dado por:
A'(s).B(s) - A(s).B'(s) = 0
Onde o apóstrofo indica diferenciação com respeito a s.
EXEMPLO: Do exemplo anterior a equação característica é:
Então:
B(s) = s+2
A(s) = s.(s+1).(s+3).(s+4) = s4 + 8s
3+ 19s
2 + 12s
Então diferenciando com respeito a s:
B'(s) = 1
A'(s) = 4.s3 + 24.s2 + 38.s + 12
O ponto de saída obtido foi: s = -0.497
REGRA 6 – CRUZAMENTO COM O EIXO IMAGINÁRIO
Encontre os pontos onde o lugar das raízes cruza o eixo imaginário. Os pontos
onde o lugar das raízes intercepta o eixo imaginário pode ser encontrado substituindo
s=j na equação característica. Igualando as partes reais e imaginárias a zero pode-se
achar a solução para K e .
EXEMPLO: Do exemplo acima, fazendo s=j:
j.(j + 1).(j + 3).(j + 4) + k.(j + 2) = 0
Separando parte real e imaginária:
=2.57 e K=41
1 + k.B(s) = 0
A(s)
1 + K. (s+2) = 0
s.(s+1) (s+3).(s+4)
1 + K. (j+2) = 0
j.( j+1) (j+3).( j+4)
j
j=2,57 (k=41)
k=0 k=0 k= k=0 k=0
x x o x x
REGRA 7 - CRITÉRIO DE MÓDULO
Para se obter o ganho k para um determinado ponto do lugar das raízes, pode-se
usar a condição de módulo.
Da equação característica:
1 + K.G.H = 0
K.G.H = -1
k = - 1/(G.H)
Então : |k | = | 1/(G.H) |
Isto equivale a obter os módulos dos vetores de todos os pólos e zeros em
relação à este ponto do lugar das raízes.
Exemplo: Ache o ganho onde o Lugar das raízes cruza o eixo imaginário.
GH(s) = K.(s+2)/(s.(s+1).(s+3).(s+4))
k = | s.(s+1).(s+3).(s+4)/(s+2)| onde s=2.57j
k = 40,9
De forma gráfica pode-se obter o mesmo resultado:
REGRA 8 - CRITÉRIO DE ÂNGULO
A condição de ângulo é definida como:
G(s)H(s) = (1+2.L).180 para L = 0, 1, 2, ...
Escrevendo de outra forma:
= numerador - denominador = (1+2.L).180
Esta equação pode ser escrita como:
denominador - numerador = 180, para L=-1.
Esta equação afirma que escolhido um ponto no plano s, é possível verificar
se este ponto pertence ao lugar das raízes. Este ponto irá pertencer ao lugar das
raízes se o somatório dos ângulos dos pólos em relação ao ponto menos o
2,57
|A|
|B| |C| |D| |E|
|k| = |sm| |s -pi| |s - p2| .... = |A|.|B|.|D|.|E| = 41,2
|s-z1| |s - z2|..... |C|
somatório dos ângulos dos zeros em relação ao ponto for igual a 180o ou um
múltiplo dado por (1+2.L).180.
Os ângulos são positivos quando medidos no sentido anti-horário.
Esta equação é usada para a construção gráfica do lugar das raízes. Em outras
palavras, há valores particulares de s para os quais G(s).H(s) satisfaz a condição
angular. Para uma dada sensibilidade de malha, somente um certo número destes
valores de s satisfazem simultaneamente a condição de módulo.
Os valores de s que satisfazem ambas as condições, angular e de módulo, são as raízes
da equação característica.
Exemplo: da figura acima:
Para os pólos:
1= 32,50o 2= 40,5
o 3=70
o 4=90
o
Para o zero:
1=51,5o
então:
= 1 + 2 + 3 + 4 - 1 = 181,5o =(1+2L).180
o
Pelo resultado o ponto da figura pertence ao lugar das raízes.
REGRA 9
ÂNGULOS DE PARTIDA E CHEGADA (pólos e zeros complexos)
O ângulo de partida (p), do lugar das raízes de um pólo complexo, é dado
por:
p = 1800 + arg(GH)'
onde: arg(GH)' é ângulo de fase de GH, calculado no pólo complexo, mas
ignorando a contribuição daquele pólo particular.
Exemplo:
O ângulo de partida do lugar das raízes do pólo complexo em s= -1 + j é obtido
calculando o ângulo de GH para s= -1+j, ignorando a contribuição do pólo em s= -1 + j. O
resultado obtido é -45o. O ângulo de partida é p = 180 - 45= 135
o.
K (s+2)
GH =
(s + 1 + j)(s+ 1 - j)
1350 j
-1
O ângulo de chegada do lugar das raízes de um zero complexo é dado por:
c = 1800 - arg(GH)'
onde: arg (GH)' é o ângulo de fase de GH, no zero complexo, ignorando o efeito
daquele zero.
Exemplo:
O ângulo de chegada do lugar das raízes para o zero complexo em s=j é c = 180
-(-45) = 225o
REGRA 10
MARGEM DE GANHO E MARGEM DE FASE, A PARTIR DO LUGAR DAS RAÍZES
A margem de ganho é o fator pelo qual GH pode ser multiplicado, antes que o
sistema de malha fechada se torne instável.
Se o lugar das raízes não cruza o eixo j, a margem de ganho é infinita.
Para a margem de fase é necessário encontrar o ponto j1, sobre o eixo j, para o
qual |GH(j1)| =1, para o valor atual de k, isto é:
Geralmente é necessário usar um procedimento de tentativa e erro para localizar
j1. A margem de fase é calculada a partir de arg(GH(j1)) como:
k.(s+ j)(s-j)
GH =
s(s+1)
j
225o
-1
Valor de K no cruzamento do eixo imaginário
Margem de ganho =
Valor atual de K
K N(j) =1
D(j)
K = D(j1)
N(j1)
| Gh(j) | =1
PM = 180o + arg(GH(j1))
REGRA 11 - RAZÃO DE AMORTECIMENTO A PARTIR DO LUGAR DAS RAÍZES
Dado um sistema de segunda ordem:
o fator de ganho K necessário para obter-se uma razão de amortecimento especificado
(), para o sistema de segunda ordem, é obtido desenhando-se uma linha a partir da
origem a um ângulo com o eixo real negativo onde:
O fator de ganho do ponto de interseção da reta com o lugar das raízes é o valor
requerido de k
Para sistemas de ordem mais elevadas, a razão de amortecimento determinada
por este procedimento, para um par específico de pólos complexo, não determina
necessariamente o amortecimento (constante de tempo predominante) do sistema. Isto
só é válido se estes pólos complexos forem dominantes.
RESPOSTA TRANSITÓRIA PARA SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM, para um degrau
unitário aplicado na entrada.
K
GH =
(s + p1)(s+p2)
= cos-1
linha de cte j
k para especificado
j
OBS: para sistemas digitais todas as regras vistas anteriormente são válidas. O
que muda é a interpretação com relação à região de estabilidade.
Exercícios
1.a) Desenhe o lugar das raízes para o sistema abaixo. 1.b) Determine o ganho limite de
estabilidade.
2. Para os sistemas abaixo: a) Desenhe o lugar das raízes. 2.b) Determine o ganho limite
aplicando o critério de módulo. 2.c) Determine o ganho limite analiticamente. 2.d) Mostre
que o critério de ângulo pode ser usado para determinar o lugar das raízes.
(s+ 10)
(s+ 6) (s - 5)(s + 8)
(s + 2)
s
(s + 1)
( s +5)(s + 9)
2
( s - 1)(s + 2)
Capıtulo 5
Projeto pelo Lugar das Raızes
5.1 Introducao
Neste apostila serao estudadas formas para se fazer o projeto de um sistema reali-
mentado, utilizando-se o Lugar Geometrico das Raızes, denotado LGR ou, simplesmente,
LR.
O metodo do lugar das raızes e uma forma grafica de se obter as raızes da equacao
caracterıstica (que equivale aos polos em malha fechada), quando K varia de 0 a infinito.
5.2 Informacoes teoricas
Os sistemas de controle sao projetados para desempenhar tarefas especıficas, sendo
que os requisitos impostos aos sistemas de controle sao chamados de especificacoes de
desempenho. Estas especificacoes podem ser relativas a estabilidade, velocidade de
resposta, etc.
O objetivo do projeto e posicionar os polos em malha fechada em um determinado lugar
no plano complexo s, de forma que atenda as especificacoes de desempenho. Algumas vezes
apenas o ajuste do ganho permite atender as especificacoes. Outras vezes sera necessario
acrescentar um outro sistema na malha de realimentacao, denominado compensador ou
controlador, para atender as especificacoes.
O sistema em malha fechada representado pelo diagrama de blocos da figura 5.1, no
qual o bloco C(s) representa o compensador ou controlador, acrescentado para alterar
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alguma caracterıstica do sistema em malha fechada. A funcao de transferencia em malha
fechada e dada por:
F (s) = Y (s)R(s)
= KC(s)G(s)H(s)1+KC(s)G(s)H(s)
–
+R(s) Y(s)-����- K C(s) - G(s) -
�H(s)�
6
Figura 5.1: Funcao de transferencia em malha fechada
5.2.1 Consideracoes preliminares de projeto
O projeto no lugar das raızes e um metodo de tentativa e erro procurando-se posicionar
os polos em malha fechada em uma determinada regiao. Sempre no projeto busca-se
posicionar um par de polos na regiao de interesse de forma que eles sejam dominantes na
resposta. Lembre-se que o sistema pode ter um numero grande de polos, mas aqueles que
estiverem mais proximos do eixo imaginario irao determinar o tipo de resposta.
Efeito da adicao de polos
A adicao de um polo na funcao de transferencia de malha aberta possui o efeito de
repelir o lugar das raızes. Normalmente o polo e posicionado no semiplano esquerdo, e isto
faz com que o lugar das raızes tenda para o semiplano direito, diminuindo a estabilidade
relativa do sistema e aumentando o tempo de acomodacao.
Efeito da adicao de zeros
A adicao de um zero na funcao de transferencia de malha aberta possui o efeito de
atrair o lugar das raızes. Normalmente o zero e posicionado no semiplano esquerdo, e
isto faz com que o lugar das raızes tenda para a regiao que em que o zero se encontra,
aumentando a estabilidade relativa do sistema e diminuindo o tempo de acomodacao. O
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efeito do zero e introduzir um grau de antecipacao no sistema aumentando a velocidade
transitoria.
Estabilidade relativa
Indica o quanto um sistema esta proximo da instabilidade. Existem diversas formas
de se fazer esta avaliacao. Por exemplo, isto pode ser avaliado pela parte real do polo,
verificando quanto proximo ela se encontra do eixo imaginario.
Estabilidade absoluta
A estabilidade absoluta indica se um sistema e estavel ou nao.
5.2.2 Tipos de compensadores
Os compensadores podem ser classificados em tres tipos:
1. Compensador PID (proporcional integral derivativo): PID = KP + KIs
+ Kds ,
podendo-se trabalhar com os elementos tambem de forma isolada, como por exemplo:
a) proporcional: KP ; b) proporcional + integral: KP + KIs
; c) proporcional +
derivativo: KP +Kds; d) integral: KIs
Obs: existem diversas formas de se representar o compensador PID: a) PID =
KP (1 + KIs
+Kds); b) PID = KP (1 + Is
+Ds).
2. Compensador avanco de fase (Lead): e um filtro passa alta. Lead = K s+as+b ,
sendo que |a| < |b| . Isto e o zero esta mais proximo da origem, no semi plano
esquerdo
3. Compensador atraso de fase (Lag): e um filtro passa baixa. Lag = K s+cs+d , sendo
que |d| < |c|. Isto e o polo esta mais proximo da origem, no semi plano esquerdo
5.2.3 Diretrizes gerais para o projeto do compensador
• O projeto do compensador e feito pela colocacao de polos e zeros. Como o sistema
deve ser causal, o numero de polos deve ser sempre maior ou igual o numero de
zeros.
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• Se o compensador tiver um polo e um zero afastados entre si, ele ira alterar o lugar
das raızes.
• Se o polo e o zero estiverem muito proximos entre si, eles nao alteram de forma
significativa o lugar das raızes: a) a contribuicao em termos de angulos do polo e do
zero possuem sinais oposto e se anulam; b) os vetores do ponto em consideracao ao
polo e ao zero, possuem praticamente o mesmo valor e se cancelam.
Exemplo
Uma maneira de se fazer o projeto no lugar das raızes e inserir polos e zeros para
alterar o lugar das raızes para que ele passe por um ponto desejado, de forma que os polos
dominantes definam as caracterısticas do sistema.
Na figura 5.2, no ıtem a, e mostrado o lugar das raızes para o sistema G(s) = 1s(s+1)(s+6)
sem compensacao. Com o objetivo de tornar o sistema mais rapido, os polos em malha
fechada devem ser posicionados o mais a esquerda possıvel no semi-plano esquerdo s. Para
isto e colocado um zero em s = −1, 5 e o polo em s = −30. Isto e mostrado no item b,
da figura 5.2.
Figura 5.2: Compensacao atrair o lugar das raızes mais para a esquerda
5.2.4 Compensacao por atraso de fase (LAG)
A forma geral do compensador Lag e: C(s) = Kα
s+ 1T
s+ 1αT
= K Ts+1αTs+1 , com α > 1.
No compensador atraso de fase o polo esta mais proximo da origem do que o zero,
|p| < |z|.
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Exemplo de compensacao por atraso de fase
Neste projeto a compensacao por atraso de fase baseia-se na colocacao de um polo e
um zero proximos entre si e proximos da origem. Como eles estao proximos entre si, as
contribuicoes de fase se cancelam e o lugar das raızes original nao e alterado. Na figura
5.3 e mostrada a colocacao de um compensador atraso de fase no lugar das raızes.
A compensacao por atraso de fase pode ser usada para alterar o valor do ganho de
malha, sem alterar o lugar das raızes.
Figura 5.3: Compensacao atraso de fase
Note que apesar do lugar das raızes nao sofrer alteracao, o ganho em regime (ganho
estatico, que equivale ao ganho DC) e alterado. Por exemplo, supondo zero z = 0, 1 e polo
p = 0, 01, tem-se aplicando o teorema do valor final Glag = K s+0,1s+0,01 = K 0,1
0,01 = K10.
O sistema compensado teria um ganho 10 vezes maior que o sistema original.
Lembrando que Kp = lims→0GH, ao acrescentar o compensador Kp = lims→0CGH =
lims→0Ks+zs+p
GH = k zpG(0)H(0). Note que o ganho estatico compensado e aumentado pela
relacao zp
em relacao ao sistema original.
Isto pode ser util, quando se quer diminuir o erro em regime, pois aumentar o ganho
do sistema significa aumentar a constante de erro em regime permanente (erro estatico).
OBS: Note que o par polo-zero muito proximo da origem, pode afetar a resposta
transitoria. Neste caso, uma das raızes em malha fechada estara proxima do zero do
compensador de atraso de fase. A resposta transitoria correspondente a esta raiz tera um
termo que decaira lentamente, mas que tera uma magnitude pequena porque o zero quase
ira cancelar o polo na funcao de transferencia. Ainda assim, o decaimento sera lento e
este termo podera influenciar seriamente o tempo de estabilizacao. Alem disto, o zero
nao estara presente na resposta a um degrau do torque de perturbacao e o transitorio
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lento sera muito mais evidente nesta situacao. Devido a este efeito e importante colocar
o polo e o zero do compensador em frequencias o mais alto possıvel, mas sem causar uma
alteracao na localizacao das raızes dominantes.
5.2.5 Compensacao por avanco de fase
No compensador avanco de fase o zero esta mais proximo da origem do que o polo,
|z| < |p|.
A forma geral do compensador Lead e: C(s) = Kα
s+ 1T
s+ 1αT
= K Ts+1αTs+1 , com α < 1.
Exemplo de compensacao por avanco de fase (LEAD)
Neste exemplo, o compensador lead e caracterizado por um par polo-zero ajustavel,
colocado longe da origem no eixo real negativo.
Neste compensador, colocando o polo bem mais distante do eixo imaginario que o zero,
a contribuicao angular do compensador e ainda positiva, pois angulozero > angulopolo.
Normalmente o polo do compensador e colocado bem a esquerda dos outros polos do
sistema.
Na figura 5.4 e mostrada uma forma de se fazer o projeto em avanco de fase. O sistema
em malha aberta tem polos em s1 = −2 e s2 = −3. Deseja-se colocar os polos dominantes
no ponto P (s = −4± j4). Para isto foi colocado um compensador lead. Como tentativa
inicial o zero foi colocado em s = −4. O polo do compensador devera ser calculado para
que θ1 + θ2 + θ4− θ3 = 180(1 + 2N). Para o exemplo, obtem-se: zero = −4 e polo = −7.6.
So que neste caso, devido a proximidade do zero com os polos complexos havera 3 polos
dominantes.
Como segunda tentativa, coloca-se o zero em s = −5 e repete-se o processo. Obtendo-
se o resultado desejado com o polo em s = −9, 4.
5.2.6 Exemplos de lugar das raızes
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Figura 5.4: Compensacao avanco de fase
Figura 5.5: Exemplos de lugar das raızes
UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - pagina 42
Capıtulo 6
Diagramas de Bode
6.0.7 Introducao
Neste capıtulo serao vistos os conceitos basicos sobre os diagramas de Bode e como
desenha-los na sua forma assintotica.
DIAGRAMAS DE BODE
1. INTRODUÇÃO
Para explicar os diagramas de Bode, vamos fazer, inicialmente, uma análise intuitiva. Dado um sistema realimentado: Para que este sistema entre em oscilação, isto é fique instável, duas condições devem ser satisfeitas: 1) O sinal de erro, aplicado em G(s) deve retornar com uma amplitude maior ou igual à original. 2) O defasamento total do circuito deve ser 0o ou 360o. Note que o sinal negativo do somador significa um defasamento de 180o. Devido a isto temos que verificar se o defasamento de G(jw) poderá ser 180o (pois os outros 180o são devido ao sinal de menos do somador) ao mesmo
tempo em que o módulo de |G(jw)| será 1. Para fazer a análise da variação da fase e do ganho serão utilizados os diagramas de Bode.
Os diagramas de Bode, são compostos por dois diagramas: a) diagrama de módulo em função da frequência e b) diagrama de fase em função da frequência.
Para entender como se utilizam estes diagramas, podemos analisar a figura abaixo
A margem de ganho é o fator pelo qual o ganho pode ser aumentado antes
que o sistema fique instável. A margem de ganho pode ser lida diretamente das curvas de Bode, medindo a distância vertical entre a curva de módulo da função
GH(j) e a linha |GH(j) |=1, isto é, a linha de 0 db, na freqüência onde GH(j)
=180º.
A margem de fase é o numero de graus de GH(j) acima de -180º, na
freqüência de cruzamento de ganho, onde o módulo da função é igual a 1 (ou seja, 0db). A margem de fase é definida como 180º mais o ângulo de fase da
f
g
Erro G(j)
Figura 1
Figura 2
Margem
de fase
Margem de ganho
0 dB
Diagrama de
fase
0º
-180º
Diagrama de
módulo
função de transferência de malha aberta na freqüência cujo módulo tem o valor
unitário, isto é: Margem de fase = [180º + argGH(jg)], onde |GH(jg)|=1 e g é chamada frequência de cruzamento de ganho.
As margens de ganho e de fase são medidas de estabilidade relativa. Os diagramas de bode são desenhados utilizando-se a função de transferência de malha aberta. Isto é uma vantagem, pois evita termos de calcular a função de transferência em malha fechada. Desta forma será possível fazer a análise do sistema em malha fechada, verificando apenas a função de transferência em malha aberta.
Pelo diagrama da figura 1, o sinal realimentado é subtraído do sinal de referência. Este sinal negativo, equivale a defasar o sinal em 180o. Desta forma para termos um defasamento de 360o do sistema em malha fechada, e que poderia tornar o sistema instável, resta verificar se a função G(s)H(s) irá causar um defasamento de 180o (pois os outros 180o são causados pelo sinal de menos do somador).
Através da figura 2 podemos ver que o diagrama de fase terá 180o no momento em que o módulo for menor que 0 dB (isto é ganho menor que 1). Isto significa que o sistema é estável.
OBS: A variável complexa s é formada pela soma de um termo real com
um termo imaginário: s= + j. Para se fazer a análise da resposta em freqüência
deve ser imposta a condição: =0; desta forma tem-se s= j. Isto significa que
estamos analisando a resposta do sistema no eixo j, ou seja a resposta em freqüência da função.
2. DEFINIÇÕES DE MF E MG
Margem de fase: é o atraso de fase adicional na frequência de cruzamento do ganho, necessário para levar o sistema ao limiar da instabilidade.
A frequência de cruzamento de ganho é a frequência na qual o módulo
da função de transferencia em malha aberta é unitário, isto é |G(jg)|= 1. A margem de fase é definida como 180º mais o ângulo de fase da função
de transferência de malha aberta, na freqüência cujo módulo tem o valor unitário:
Onde argGH(jg) é o valor da fase na frequência onde |G(jg)| = 1.
Margem de ganho: é o inverso do módulo |G(j)| na frequência onde o
ângulo de fase é – 180º. Definindo-se a frequência de cruzamento de fase (f) como a frequência na qual o ângulo de fase da função de transferência a malha aberta é igual a – 180o , a margem de ganho é:
Margem de ganho é um valor em decibéis que indica o quanto o módulo
da função de malha aberta, |GH(jg)|, está abaixo de 0db, na freqüência cuja fase vale -180º. A margem de ganho, em db, é dada por:
MF = 180o + argGH(jg)
MG = 1
|G(jf)|
OBS 1: uma margem de ganho positiva (em dB) significa que o sistema é estável. Do diagrama de módulo, o valor lido será positivo se for menor que 0db.
OBS 2 Uma margem de ganho negativa (em dB) significa que o sistema é instável. Do diagrama de módulo, o valor lido será negativo se for maior que 0db.
OBS 3: a) Para um sistema de fase mínima estável, a margem de ganho indica de quanto o ganho pode ser aumentado antes de o sistema se tornar instável. b) Para um sistema instável, a margem de ganho indica de quanto o ganho deve ser diminuído para tornar o sistema estável.
3. DESENHO DOS DIAGRAMAS DE BODE
Dada uma função de transferência, a primeira coisa a ser feita é escrevê-la na forma de Bode.
O ganho de Bode é definido como: Para o eixo de frequências (eixo x), utiliza-se uma escala logarítma para
que seja possível verificar uma grande faixa de freqüências. Para o diagrama de módulo, será utilizado 20log(módulo(função)). Isto
possibilitará somar ou subtrair todos os termos componentes do módulo. Se não fosse utilizado esta forma, seria necessario multiplicar ou dividir os termos.
Os diagramas serão obtidos utilizando-se assíntotas. 3.1 Termo constante de bode (KB) 20log|KB|
Para KB < 0, o modulo não se altera, mas a fase terá a seguinte forma:
MGdB = - 20 log|G(jf)|
G(j) = K zi (1 + j/z1) (1 + j/z2) ...
Pi (j)L (1 + j/p1) (1 + j/p1) ...
KB = K zi
Pi
Neste caso o diagrama de módulo tem uma inclinação de –20 dB/década, sendo que o ganho vale 0dB para a
freqüência = 1. Devido ao operador complexo (j) no denominador temos um defasamento de –90o .
3.2 Termo pólo na origem G(jw)=1/jw
3.3 Termo zero na origem G(jw)= jw
Neste caso o diagrama de módulo tem uma inclinação de + 20 dB/década, sendo que o ganho vale 0dB para a
freqüência = 1. Devido ao operador complexo (j) no numerador temos um defasamento de + 90o .
3.4 Termo pólo em -p
3.5 Termo zero em -p
1 + j
p
A curva assintótica é uma boa aproximação da curva real.
A curva assintótica do módulo é desenhada fazendo que o módulo seja 0dB até o valor do pólo e tenha uma inclinação de –20 dB/década a partir do valor do pólo. O erro
máximo é de –3dB, em =p. A curva assintótica da
fase é desenhada marcando-se os pontos 0,2 vezes o pólo e 5,0 vezes o pólo. Abaixo de 0,2.polo a fase vale 0
o e acima de
5,0.pólo a fase vale –90o. No
ponto =p a fase vale – 45o. O
erro máximo será de 11,3o nos
pontos 0,2.polo e 5,0.pólo.
A curva assintótica é uma boa aproximação da curva real.
A curva assintótica do módulo é desenhada fazendo que o módulo seja 0dB até o valor do pólo e tenha uma inclinação de +20 dB/década a partir do valor do pólo. O erro máximo é de 3dB, em
=p. A curva assintótica da
fase é desenhada marcando-se os pontos 0,2 vezes o pólo e 5,0 vezes o pólo. Abaixo de 0,2.polo a fase vale 0
o e
acima de 5,0.pólo a fase vale
+ 90o. No ponto =p a fase
vale + 45o. O erro máximo
será de 11,3o nos pontos
0,2.polo e 5,0.pólo.
1
1 + j
p
3.6.Termo pólos complexos
Isto é válido para 0 1.
3.7 Termo zero em + p Note que este termo significa um zero no semi-plano direito. Desta forma a fase vai para -90º .
1 + j 2 - 2
n n
Os pólos complexos aparecem sempre em pares conjugados: (s + a + bj)(s+ a – bj)
O produto dessa equação leva a uma equação da forma:
s2 + xs + y, onde
x=2a e y=a2 + b
2.
1 – j
p
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Capıtulo 7
Projeto por BODE
7.1 Introducao
Os compensadores sao utilizados para alterar alguma caracterıstica do sistema em
malha fechada original, como resposta no tempo, estabilidade, etc.
No projeto por Bode e necessario inicialmente desenhar os diagramas de Bode em
malha aberta, para em seguida, em cima destes diagramas, acrescentar o compensador,
redesenhando os diagramas de Bode.
7.2 Projeto por BODE utilizando o compensador
atraso de fase (lag)
A funcao de transferencia do compensador atraso de fase e dada por:
C(s) = a01+s/b1+s/a
Fazendo s = jω:
C(jω) = a01+jω/b1+jω/a
O maximo defasamento depende da relacao entre o polo e o zero: b/a. O compensador
atraso de fase reduz o ganho em alta frequencias, relativamente ao ganho em baixas
frequencias e introduz um atraso de fase.
Para o proposito de estabilidade e necessario que o filtro introduza a reducao de ganho
proximo do cruzamento de 180o. Entao, a e b devem ser muito menores que a frequencia
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de cruzamento de 180o.
Figura 7.1: Projeto do compensador atraso de fase
A tecnica para obter uma margem de fase desejada e a seguinte: supoes-se que o ganho
estatico (ganho DC) do compensador (a0) e determinado em funcao das especificacoes e
φm e a margem de fase desejada:
1. Determine graficamente a frequencia, ω1, na qual o angulo de fase de G(jω1) e
aproximadamente (−180 + φm + 5o);
2. Escolha o zero do compensador como sendo: b = 0, 1ω1, para assegurar que o atraso
de fase seja pequeno na frequencia ω1. Na verdade o compensador ira introduzir
aproximadamente 5o de atraso de fase, o que foi levando em conta no passo 1.
3. Em ω1 e desejado que o ganho do sistema compensado seja 0db, ou seja:
|C(jω1)G(jω1)| = 1. O ganho do compensador em altas frequencias e a0ab, onde
a0 e o ganho para baixas frequencias. Entao o valor do polo sera:
a = 0, 1 ω1
a0|G(jω1)|
Onde G(jω1) e o modulo da funcao G(jω), no ponto ω1, obtido graficamente (sem
compensacao).
Obs: a frequencia ω1 pode ser considerada alta-frequencia para a regiao de atuacao do
compensador.
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7.3 Projeto por BODE utilizando o compensador
avanco de fase (lead)
A funcao principal do compensador em avanco e modificar a curva de resposta em
frequencia para propiciar um angulo de fase suficiente para ajustar o atraso da fase ex-
cessivo associado com a planta do sistema.
Os procedimentos para projetar um compensador em avanco de fase podem ser esta-
belecidos como segue:
1. Dada a funcao de transferencia em malha aberta G(s). Determine o ganho de
malha-aberta K a fim de satisfazer as exigencias dos coeficientes de erro.
2. Usando o ganho K anteriormente determinado, tracar o diagrama de modulo KG(s),
calcule a margem de fase do sistema com este novo ganho.
3. Em funcao das especificacoes, determine o angulo de avanco de fase necessario φm
a ser adicionado ao sistema.
4. Determine o fator de atenuacao α pelo uso da equacao senφm = 1−α1+α
. Determine
a frequencia em que o modulo do sistema nao compensado (mas considerando o
ganho K), KG(jω1), e igual a −20log( 1√α
). Selecione esta frequencia como a nova
frequencia de cruzamento do ganho. Esta frequencia corresponde a ω1 = 1T√α
e o
deslocamento de fase maximo φm ocorre nesta frequencia. Calcule T a partir desta
equacao.
5. Determine as frequencias de corte do compensador em avanco a partir de
Zero do compensador: ω = 1T
Polo do compensador: ω = 1αT
A forma do compensador Lead e:
C(s) = Kcs+ 1
T
s+ 1αT
= KcαTs+1αTs+1 , com α < 1 e K = Kcα e K o ganho calculado no
item 1.
6. Verifique a margem de ganho para se certificar se ela e satisfatoria. Se nao for, repetir
o processo do projeto modificando a localizacao do polo-zero do compensador ate
que seja obtido um resultado satisfatorio.
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Figura 7.2: Projeto do compensador avanco de fase
7.4 Exercıcios
Obs: do livro Engenharia de Controle Moderno, K. Ogata.
E1) Considere o sistema realimentado, cuja funcao de malha aberta e G(s) = 4s(s+2)
.
Projetar um compensador AVANCO DE FASE para o sistema de modo que a constante
de erro estatico de velocidade seja Kv = 20s−1, a margem de fase seja pelo menos igual a
500 e a margem de ganho seja no mınimo igual 10dB.
E2) Considere o sistema realimentado, cuja funcao de transferencia em malha aberta
e: G(s) = 1s(s+1)(0,5s+1)
. Projete um compensador atraso de fase de modo que a constante
de erro estatico de velocidade seja Kv = 5s−1, a margem de fase seja pelo menos 400 e a
margem de ganho seja no mınimo de 10dB.
Obs: do livro Sistemas de controle e retroacao, Joseph Distefano et al.
E3) Projete um compensador Avanco de Fase para o sistema, cuja funcao de trans-
ferencia de malha aberta e GH = 24s(s+2)(s+6)
e H = 1, para satisfazer as seguintes especi-
ficacoes de desempenho:
a) Quando a entrada for uma rampa estacionaria com inclinacao (velocidade) igual a
2π radianos por segundo, o erro estacionario em posicao deve ser menor ou igual a π/10
radianos.
b) Margem de fase= 450 ± 50
c) Frequencia de cruzamento de ganho ω1 ≥ 1 radianos por segundo.
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E4) Reprojetar o sistema do exercıcio anterior, usando um compensador Atraso de
Fase, para obter as seguintes especificacoes:
a) Kv ≥ 20s−1
b) Margem de fase= 450 ± 50
c) ω1 ≤ 1
E5) Reprojetar o sistema do exercıcio anterior, usando um compensador Atraso-
Avanco, para obter as seguintes especificacoes:
a) Kv ≥ 20s−1
b) Margem de fase= 450 ± 50
c) 2rad/s ≤ ω1 ≤ 5rad/s
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Capıtulo 8
Linearizacao
8.1 Introducao
Muitos sistemas fısicos sao descritos por equacoes diferenciais nao lineares que sao
representadas da seguinte forma:
x(t) = f(x) (8.1)
Estes sistemas nao podem ser analisados utilizando as ferramentas matematicas estu-
dadas na disciplina de Controle 1, como, por exemplo, transformadas de Laplace, lugar
das raızes, diagramas de bode, etc.
Contudo algumas equacoes nao-lineares podem ser aproximadas por equacoes lineares,
sob determinadas condicoes. Isto e feito representando a equacao nao-linear atraves da
serie de Taylor.
8.2 Aproximacao linear de modelos nao lineares
Dada a funcao nao linear y = f(x) eq. 1, mostrada na figura 8.1.
A linearizacao e feita em torno de um ponto de operacao, sendo que x0 e y0 sao os
pontos de operacao desejados.
A equacao 1 pode ser expandida em serie de Taylor, em torno do ponto de operacao:
y = f(x) = f(x0) +df
dx
∣∣∣∣(x=x0)
(x− x0) +1
2!
d2f
dx2
∣∣∣∣(x=x0)
(x− x0)2 + ..... (8.2)
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Figura 8.1: Funcao nao-linear
Cujas derivadas dfdx
, d2fdx2
, ..., sao calculadas para x = x0.
Se a variacao (x − x0) for pequena, pode-se desprezar os termos de mais alta ordem.
Entao a equacao 2 pode ser escrita como:
y = f(x) = f(x0) +df
dx
∣∣∣∣(x=x0)
(x− x0) = y0 + k(x− x0) (8.3)
onde:
y0 = f(x0)
k = dfdx
∣∣∣∣(x=x0)
Entao: y − y0 = k(x− x0), que pode ser escrito como: ∆y = k∆x
8.2.1 Para duas variaveis
Dada a funcao nao linear:
y = f(x1, x2)
Expandindo em serie de Taylor:
y = f(x10, x20)+[∂f∂x1
(x1−x10)+ ∂f∂x2
(x2−x20)](x10,x20)
+ 12!
[∂2f∂x21
(x1−x10)2+2 ∂2f∂x1∂x2
(x1−
x10)(x2 − x20) + ∂2f∂x22
(x2 − x20)2](x10,x20)
+ .....
Ignorando os termos de mais alta ordem, resulta:
y − y0 = k1(x1 − x10) + k2(x2 − x20)
Sendo que
y = f(x10, x20)
k1 = ∂f∂x1
∣∣∣∣(x10,x20)
k2 = ∂f∂x2
∣∣∣∣(x10,x20)
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8.3 Exemplo
Linearize a funcao y = x2, no ponto x0 = 2.
y = y(x0) + dfdx
∣∣∣∣(x=x0)
(x− x0)
y0 = x2∣∣∣∣(x0=2)
= 4
dydx
= 2x∣∣∣∣(x=2)
= 4
y = 4 + 4(x− 2) = 4 + 4∆x
y − 4 = 4∆x
∆y = 4∆x
Para testar a equacao linearizada, verifique as variacoes em torno do ponto 2 compa-
rando os resultados para a equacao original e a equacao linearizada. ∆x = 0, 02, ∆x = 0, 2,
∆x = 1
8.4 Resumo
De forma geral:
x = f(x, u)
f(x0 + ∆x, u0 + ∆u) = ∂f∂x
∣∣∣∣(x0,u0)
∆x+ ∂f∂u
∣∣∣∣(x0,u0)
∆u
∆x = ∂f∂x
∣∣∣∣(x0,u0)
∆x+ ∂f∂u
∣∣∣∣(x0,u0)
∆u
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Capıtulo 9
Diagramas de Nyquist
9.1 Introducao
A analise de Nyquist e um metodo de resposta em frequencia essencialmente grafico
para determinar a estabilidade relativa e absoluta de um sistema de controle em malha
fechada.
9.2 Qual o objetivo do metodo de Nyquist?
O objetivo do diagrama de Nyquist e fazer uma varredura no semiplano direito, uti-
lizando um contorno fechado, para verificar se ha polos em malha fechada no semiplano
direito.
Para fazer a varredura escolhe-se um percurso fechado, como mostrado na figura 9.1:
1. O percurso comeca no ponto a e vai para o ponto b, no eixo s = jω. Isto e,
variacao de jω = 0 ate jω =∞.
2. O percurso do ponto b para o ponto c e para o ponto d, e feita com um cırculo
de raio infinito: s = limR→∞
Re(jθ), −900 ≤ θ ≤ 900.
3. O percurso final vai do ponto d para o ponto e, no eixo s = jω. Isto e, variacao
de jω = −∞ ate jω = 0.
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Figura 9.1: Percurso fechado no plano s
Estes valores da variavel S sao substituıdos na funcao de transferencia G(s)H(s),
gerando um percurso fechado no plano G(s)H(s).
Exemplo: Dada a funcao de transferencia GH(s) = 1s+1
, o mapeamento do semiplano
direito do plano S resulta no percurso mostrado na figura 9.2. Note que a regiao de
limR→∞Rejθ e mapeada no ponto b′, c′, d′.
Figura 9.2: Percurso fechado no plano GH(s)
Se houver alguma singularidade (polo ou zero) no trajeto, ela deve ser evitada. Faz-se
um desvio contornando a singularidade com um raio tendendo a zero, como mostrado na
figura 9.3.
O percurso fechado no plano s resulta em um percurso fechado equivalente no plano
GH(s), isto e, o percurso no plano s e mapeado no plano GH(s).
9.3 No que se baseia o criterio de Nyquist?
Veja o seguinte exemplo, na figura 9.4:
Sera feito um percurso fechado no plano S ao redor do polo s=-2, mostrado em (a)
UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - pagina 63
Figura 9.3: Percurso fechado no plano s
Figura 9.4: a) Percurso fechado no plano s; b) Percurso fechado no plano GH(s)
na figura 9.4. Atraves desta trajetoria no plano s, obtem-se a trajetoria no plano F(s),
mostrado em (b) na figura 9.4. Note que o percurso F(s) engloba a origem dos eixos.
Dada uma funcao 1+GH(s), ao percorrer um contorno fechado no plano s, os
polos/zeros externos a este contorno terao defasamento zero.
Os polos zeros dentro do contorno terao defasamento 2π, como mostrado na figura 9.5.
Figura 9.5: Fase dentro e fora do contorno C
Este contorno fechado no plano s corresponde a um contorno fechado no plano
1+GH(s). Quando o contorno de 1+GH(s) engloba a origem, como mostrado em (b)
UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - pagina 64
da figura 9.4, significa que o contorno no plano s envolveu um polo.
Os diagramas de 1+GH(s) e GH(s) sao iguais, apenas deslocados de uma unidade.
Entao em vez de verificar se o ponto 0 no plano 1+GH(s) foi envolvido pelo contorno,
verifica-se o ponto -1 no plano GH(s).
9.4 Princıpio do argumento ou teorema de Cauchy
Seja P o numero de polos e z o numero de zeros de 1+GH(s) envolvidos por Γ.
Como para cada zero envolvido o vetor 1+GH(s) sofre uma rotacao de (−2π) em torno
da origem do plano 1+GH(s) (sentido dos ponteiros do relogio).
Como para cada polo envolvido o vetor 1+GH(s) sofre uma rotacao de (+2π) em torno
da origem do plano 1+GH(s) (sentido contrario dos ponteiros do relogio).
Conclui-se que a variacao de fase resultante 6 1 +GH(s), ou seja, o numero de vezes
que a origem do plano 1+GH(s) e envolvida indica a diferenca entre o numero de polos e
o numero de zeros envolvidos pelo contorno Γ.
6 1 +GH(s) = 2π(z − p)
N = Z − P
onde, N= e o numero de envolvimentos da origem; e Z e P sao os polos e zeros
envolvidos pelo contorno no plano S, que sao os zeros e polos da funcao 1+GH(s).
Lembrando que F (s) = G1+GH
, entao os zeros de 1+GH(s) sao sao os polos da funcao
de transferencia em malha fechada. E os polos de 1+GH(s) sao conhecidos, pois sao os
polos de GH(s).
9.5 Criterio de estabilidade de Nyquist
Uma condicao necessaria e suficiente para a estabilidade em malha fechada de um
sistema definido por GH(s) e que:
Z = N + P = 0
Ou seja, que N = −P , onde N e igual ao numero de envolvimento do ponto -1 no
plano GH(s) e P corresponde ao numero de polos instaveis de GH(s).
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9.6 Exemplos
Considere o sistema G(s) = 1s(s+1)
. O percurso a ser seguido no plano S e mostrado
na figura 9.3.
Inicia-se pelo caminho ab: faz-se s = jω para 0 < w < ∞. A funcao de transferencia
pode ser escrita como:
GH(jω) =1
jω(jω + 1)=
1
ω√ω2 + 1
6 −900 − tan−1ω (9.1)
Para os valores extremos, tem-se:
lims→0
GH(jω) =∞6 −900 lims→∞
GH(jω) = 0 6 −1800 (9.2)
Na medida que ω cresce no intervalo 0 < ω <∞, a magnitude de GH decresce de ∞
a 0 e a fase decresce de −90 a −180.
O caminho de e o espelho de ab.
O caminho bcd e mapeado na origem.
Para o caminho efa, busca-se evitar o polo, fazendo um cırculo de raio tendendo a
zero: s = limρ→0 ρejθ para −90 ≤ θ ≤ 90
limρ→0
GH(ρejθ) = limρ→0
1
ρejθ(ρejθ+1)= lim
ρ→0
1
ρejθ=∞e−jθ =∞ 6 −θ (9.3)
O caminho efa e mapeado em um semicırculo de raio infinito.
Figura 9.6: Fase dentro e fora do contorno C
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9.7 Definicoes
Um contorno fechado em um plano complexo e uma curva contınua comecando e
terminando no mesmo ponto.
Figura 9.7: Contorno fechado
Todos os pontos a direita de um contorno enquanto ele percorre uma determinada
direcao sao ditos serem envolvidos por ele.
Figura 9.8: Envolvimento do contorno
Um contorno no sentido dos ponteiros do relogio e definido como sendo positivo.
Figura 9.9: Direcao do contorno
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Na figura 9.10 sao mostrados alguns mapeamentos dos contornos do plano s para o
plano F (s) = s+1s−1 . Se o contorno no plano s envolve o polo de F(s), ha um envolvimento
da origem no plano F(s) no sentido anti-horario. Se o contorno no plano s envolve o zero
de F(s), ha um envolvimento da origem do plano F(s) no sentido horario. Se o contorno
no plano s envolve tanto o zero como o polo, ou se o contorno nao envolve nem o zero
nem o polo, entao nao ha envolvimento da origem do plano F(s) pelo lugar geometrico de
F(s). No plano s, um ponto percorre um contorno no sentido horario.
Figura 9.10: Direcao do contorno
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Capıtulo 10
Sintonia do compensador PID
10.1 Introducao
Neste capıtulo sera estudado um problema muito comum na industria que consiste em
fazer o ajuste dos parametros, ou sintonia, do compensador PID.
10.2 Informacoes teoricas
Um dos compensadores mais utilizados na industria e o PID devido a sua simplicidade,
facilidade na sintonia dos parametros e atendimento das especificacoes.
Na figura 11.1 e mostrada a estrutura de um compensador PID. Ele e formado por um
compensador proporcional (P), um compensador integral (I) e um compensador derivativo
(D). O ajuste dos parametros Kp, Ti e Td e chamado sintonia do compensador PID. A
funcao de transferencia do PID e dada por: GPID = KP (1 + 1Tis
+ Tds).
Figura 10.1: Estrutura de um compensador PID
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Pode-se trabalhar com os elementos tambem de forma isolada, como por exemplo: a)
proporcional: KP ; b) proporcional + integral: KP + KIs
; c) proporcional + derivativo:
KP +Kds; d) integral: KIs
.
10.3 Representacoes do PID
Existem diversas formas de se representar implementar o compensador PID, sendo que
algumas sao mostradas a seguir:
1. Paralelo Ideal: u(t) = Kpe(t) + KpTr
∫e(t)dt+KpTd
de(t)dt
;
2. Formato ISA: u(t) = Kp[e(t) + 1Tr
∫e(t)dt+ Td
de(t)dt
];
3. Realizacao pratica, que alem do termo derivativo inclui um filtro passa-baixa para
reduzir amplificacao do ruıdo. Tn representa a constante de tempo do filtro: U(s) =
(KP + KIs
+ Kds1+Tns
)E(s);
4. U(s) = (KP + KIs
+Kds)E(s);
5. U(s) = (P + Is
+Ds)E(s);
6. Formato serie: U(s) = Kc[1 + 1Tis
][1 + Tds)]E(s);
Usando-se apenas a componente proporcional, o erro em regime depende do valor de
Kp, quanto maior Kp menor sera o erro em regime. Um ganho Kp elevado resulta em
grandes alteracoes na saıda para uma dada alteracao no erro. Um ganho baixo implica
que a acao de controle sera pequena. O componente proporcional consiste essencialmente
num ganho ajustavel.
O componente integral, ao adicionar um polo na origem da funcao de transferencia do
controlador, elimina o erro estacionario, mas aumenta o tempo de acomodacao e piora a
estabilidade relativa, o que usualmente e indesejavel.
A adicao do modo derivativo permite melhorar o tempo de acomodacao, mas resulta
num controlador sensıvel a ruıdos e variacoes dos parametros.
Existem diversas formas de se implementar o compensador PID em um processo.
A forma tradicional e mostrada na figura 11.2. Outras configuracoes serao vistas nas
UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - pagina 71
proximas secoes. SP significa Setpoint, e e o valor de referencia que o processo deve
atingir. PV significa Variavel do processo, e e o valor que a saıda do processo apresenta.
Offset significa o erro em regime permanente. MV significa Variavel Manipulada, e a
variavel sobre a qual o controlador atua para controlar o processo.
Figura 10.2: Sistema realimentado com PID
10.3.1 Regras de sintonia do PID de Ziegler-Nichols para siste-
mas contınuos
Chama-se sintonia de um compensador PID ao calculo dos parametros do compensador,
que sao Kp, Ti e Td.
As regras de sintonia de compensadores tem um forte componente empırico. Elas se
aplicam a processos tipo passa-baixa.
Quando o modelo do processo e conhecido, e mais adequado fazer o projeto utilizando
tecnicas de controle como Lugar das Raızes, resposta frequencial e outras tecnicas, para
encontrar os parametros mais adequados.
Para processos onde o modelamento exato da planta e muito difıcil, as regras de
sintonia ajudam a obter uma resposta otimizada.
As regras de sintonia de Ziegler-Nichols pretendem obter uma razao de decaimento de
1/4 na resposta em malha fechada, conforme mostrado na figura 10.3.
Figura 10.3: Taxa de decaimento da resposta
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Este processo apresentara um valor de ultrapassagem a uma excitacao degrau em torno
de 10%− 60%. Na media o valor de ultrapassagem e de 25%. Isto equivale a um ξ = 0, 3.
No processo de sintonia de compensadores PID, o primeiro passo e identificar a planta.
Normalmente a planta possui uma estrutura complexa, mas ela pode ser aproximada a um
processo de primeira ou segunda ordem. Para as analises feitas nesta apostila, a planta
sera aproximada a um processo de primeira ordem.
Identificacao da planta em malha aberta
Aplicando-se um degrau na entrada do processo a ser controlado, em malha aberta,
pode-se identificar o comportamento do processo atraves da forma do sinal de saıda. Para
este caso pode-se obter duas situacoes: a) sistema com comportamento nao integrativo e
b) sistema com comportamento integrativo.
a) Sintonia PID para sistemas nao integrativos
Para este tipo de sistema a resposta pode ser modelada como um sistema de primeira
ordem, sem componente integrativo, com atraso Y (s)U(s)
= KEe−Ls
1+Ts, onde U(s) = degrau
unitario.
As regras de Ziegler-Nichols permitem calcular o valor dos parametros a serem aplica-
dos ao controlador PID. Elas sao mostradas na tabela 10.1.
Tipo de controlador Funcao de transferencia Kp Ti Td
P KpTKL
maximo 0
PI Kp(1 + 1Tis
) 0,9TKL
L0,3
0
PID Kp(1 + 1Tis
+ Tds)1,2TKL
2L 0, 5L
Tabela 10.1: Regras Ziegler-Nichols para sistemas nao integrativos
Na figura 10.4 e mostrado como e feita a identificacao do sistema e qual tipo de curva
e obtida. L e o atraso de transporte (tempo morto) do processo, T e a constante de tempo
do processo e K e o ganho do processo em malha aberto, isto e K = Y (s)/U(s) = KE/U .
Se o sinal de entrada for um degrau unitario, U = 1 e K = KE.
b) Sintonia PID para sistemas com comportamento integrativo
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Figura 10.4: Curva em forma de S
Aproxima-se a resposta do processo como um atraso e um integrador. Na figura 10.5
e mostrada a resposta a um degrau unitario. A funcao de transferencia do sistema a ser
identificado e dada por: Y (s)U(s)
= KEe−Ls
TGs
Figura 10.5: Resposta para um sistema integrativo
Para se determinar os parametros do compensador PID utiliza-se as regras mostradas
na tabela 10.2.
Sintonia PID pelo metodo em malha fechada
Para um sistema em malha fechada, os valores dos ganhos integral e derivativo (Ki e
Kd) sao fixados em zero, e aumenta-se o ganho ate o limite de estabilidade, a partir do
qual o sistema em malha fechada comeca a oscilar.
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Tipo de controlador Funcao de transferencia Kp Ti Td
P Kp1KLTG
maximo 0
PI Kp(1 + 1Tis
) 0,9KLTG
L0,3
0
PID Kp(1 + 1Tis
+ Tds)1,2KLTG
2L 0, 5L
Tabela 10.2: Regras Ziegler-Nichols para sistemas integrativos
Determina-se o valor do ganho Kcr que torna o sistema oscilatorio e determina-se o
perıodo de oscilacao Pcr, conforme mostrado na figura 10.6.
onde:
Pcr=perıodo da oscilacao mantida (perıodo crıtico)
Kcr=ganho limite (ganho crıtico), em que o sistema entra em oscilacao
Figura 10.6: Em malha fechada
Os parametros do PID sao ajustados conforme as regras mostradas na tabela 10.3, a
partir de Kcr e Pcr:
Tipo de controlador Funcao de transferencia Kp Ti Td
P Kp 0, 5Kcr maximo 0
PI Kp(1 + 1Tis
) 0, 45KcrPcr1,2
0
PID Kp(1 + 1Tis
+ Tds) 0, 6Kcr 0, 5Pcr 0, 125Pcr
Tabela 10.3: Regras Ziegler-Nichols em malha fechada
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10.3.2 Construcao do bloco derivativo puro D
O controlador derivativo puro nao pode ser implementado fisicamente com elementos
passivos R, L, C, pois a funcao de transferencia tem um zero e nenhum polo. Mas pode
ser construıdo com amplificadores operacionais. O derivativo puro e um filtro passa-alta
e devido a isto o sistema ficara sensıvel a ruıdos em alta frequencia.
Um compensador derivativo ideal traz diversos problemas. Como sua magnitude cresce
quando a frequencia tende ao infinito, um diferenciador ideal produz uma amplificacao
indesejavel de ruıdos em altas frequencias que podem estar presentes na malha fechada.
Alem disto, o aumento da banda de passagem associado com o compensador derivativo
ideal poderia causar instabilidades devido a dinamicas nao-modeladas de altas frequencias.
Um compensador derivativo real e implementado da seguinte forma: Kds1+Tns
.
Exemplo: considerando um compensador PD, o compensador derivativo real e nor-
malmente implementado pela colocacao de um polo em uma frequencia entre tres a dez
vezes maiores do que a frequencia de canto KpKd
, isto e, ω = NKpKd
, onde 3 ≤ N ≤ 10. Assim
o compensador PD fısico e caracterizado por uma funcao propria:
CPD(s) =Kp(s
KDKP
+1)
(sKDNKP
+1)
10.4 Resumo das caracterısticas do PID
As acoes do PID podem ser vistas como sendo comportadas por controladores inde-
pendentes:
1. Um controlador proporcional Kp ira reduzir o tempo de subida e ira reduzir, mas
nao eliminar, o erro em regime permanente.
2. Um controlador integral Ki ira eliminar o erro em regime permanente, mas ira piorar
a resposta transitoria.
3. Um controlador derivativo Kd tera o efeito de aumentar a estabilidade do sistema,
reduzindo o sobressinal, e melhorando a resposta transitoria.
Os efeitos de cada elemento do controlador PID sao mostrados na tabela abaixo:
Note que estas correlacoes podem nao ser exatamente precisas, porque Kp, Ki e Kd
sao dependentes de cada um. De fato, mudando uma destas variaveis, pode-se provocar
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Tempo desubida
Sobressinal Tempo de aco-modacao
Erro em regimepermanente
Proporcional Diminui Aumenta Pequenas mu-dancas
Diminui
Integral Diminui Aumenta Aumenta Elimina
Derivativo Pequenasmudancas
Diminui Diminui Pequenas mu-dancas
Tabela 10.4: Resumo das acoes do PID
mundacas nas outras duas. Por isto esta tabela deve ser usada apenas como referencia,
na determinacao de Ki, Kp e Kd.
Observacao – e usual na industria a adocao do conceito de Banda Proporcional (BP)
em substituicao a Kp:
MV (t) = 100BP
(e(t) + Ir∫e(t)dt+Dtde(t)
dt)
Onde, Tempo derivativo= Dt e Taxa integral ou Reset=Ir
Capıtulo 11
Projeto do compensador PID no
lugar das raızes
11.1 Introducao
Nesta apostila serao estudados o projeto dos compensadores PI, PD e PID atraves do
lugar das raızes.
11.2 Informacoes teoricas
Um dos compensadores mais utilizados na industria e o PID devido a sua simplicidade,
facilidade na sintonia dos parametros e atendimento das especificacoes.
Na figura 11.1 e mostrada a estrutura de um compensador PID. Ele e formado por um
compensador proporcional (P), um compensador integral (I) e um compensador derivativo
(D). O ajuste dos parametros Kp, Ti e Td e chamado sintonia do compensador PID. A
funcao de transferencia do PID e dada por:
GPID = KP (1 + 1Tis
+ Tds) = KP + KIs
+Kds.
Pode-se trabalhar com os elementos tambem de forma isolada, como por exemplo: a)
proporcional: KP ; b) proporcional + integral: KP + KIs
; c) proporcional + derivativo:
KP +Kds; d) integral: KIs
.
UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - pagina 78
Figura 11.1: Estrutura de um compensador PID
11.3 Caracterısticas do PID
Usando-se apenas a componente proporcional, o erro em regime depende do valor de
Kp, quanto maior Kp menor sera o erro em regime. Um ganho Kp elevado resulta em
grandes alteracoes na saıda para uma dada alteracao no erro. Um ganho baixo implica
que a acao de controle sera pequena. O componente proporcional consiste essencialmente
num ganho ajustavel.
O componente integral, ao adicionar um polo na origem da funcao de transferencia do
controlador, elimina o erro estacionario, mas aumenta o tempo de acomodacao e piora a
estabilidade relativa, o que usualmente e indesejavel.
A adicao do modo derivativo permite melhorar o tempo de acomodacao, mas resulta
num controlador sensıvel a ruıdos e a variacoes dos parametros.
Figura 11.2: Sistema realimentado com PID
11.4 Projeto do compensador PID
O projeto e feito definindo a localizacao dos polos desejados em malha fechada, em
funcao das especificacoes de projeto.
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Em seguida, aplicando o criterio de angulo, sao testados alguns polos/zeros necessarios
para que o lugar das raızes passe pelos pontos onde devem ficar os polos em malha fechada.
Para finalizar o projeto deve-se calcular o ganho do sistema para que os polos em
malha fechada estejam localizados no ponto desejado, usando o criterio de modulo.
A equacao do PID pode ser escrita como:
GPID = KP (1 + 1Tis
+ Tds).
GPID = KPtds
(s2 + sTd
+ 1TiTd
).
O compensador PID coloca dois zeros e um polo no sistema:
1. O polo esta localizado em s = 0, sendo portanto um integrador. Com isto ele garante
erro em regime igual a zero, para um sinal degrau na entrada.
2. Os zeros sao localizados em s = − 1Td±√
( 1Td
)2 − 4( 1TiTd
)
Nesta apostila serao mostrados dois exemplos de projetos: compensador PD e com-
pensador PI. O projeto do compensador PID segue a mesma linha de raciocınio, e nao
sera exemplificado nesta apostila.
11.4.1 Revisao
Polos complexo conjugados podem ser representados no plano s como mostrado na
figura 11.3.
-
6
@@@I
...
+jωd
−jωd-
−σ
*
*
θ θ = cos−1ξ
. . ....
.. ....
..
s = −σ + jωd
Figura 11.3: Polos complexos no plano s
s = −ξωn ± jωn√
1− ξ2 = −σ ± jωdA constante ξ e chamada Coeficiente de amortecimento (ou razao de amortecimento)
A constante ωn e chamada frequencia natural nao amortecida.
σ = taxa de decaimento
ωd = frequencia natural amortecida
θ = cos−1ξ
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11.4.2 Compensador PD - proporcional derivativo
A funcao de transferencia do compensador PD e mostrado a seguir:
C(s) = Kp(1 + Tds) = Kp +KpTds
O compensador PD coloca um zero em s = −1Td
Exemplo de projeto usando um compensador PD
Considere um sistema instavel em malha aberta, dado pela funcao de transferencia
G(s) = 110.000(s2−1,1772) . Deseja-se projetar um controlador PD para estabilizar o sistema
(determinar Kp e Td) de tal forma que o coeficiente de amortecimento seja ξ = 0, 7 e
a frequencia natural nao amortecida ωn = 0, 5 rad/s. O sistema em malha fechada e
mostrado na figura 11.5.
O compensador tera a seguinte configuracao: C(s) = Kp(1 + Tds).
Partindo das relacoes conhecidas, pode-se calcular:
θ = cos−10, 7 = 45, 6
σ = ξωn = 0, 35
ωd = ωn√
1− ξ2
ωd = 0, 357
Os polos em malha fechada deverao estar localizados em s = −0, 35± j0, 357
-
6
@@@I
...
+jωd
−jωd-
−σ
*
*
θ
. . ....
.. ....
..
s = −0, 35 + j0, 357
Figura 11.4: Localizacao dos polos em malha fechada
Aplicacao do criterio de angulo
Na figura 11.6 sao mostradas as aplicacoes dos criterio de angulo e de modulo. O
criterio de angulo determina que a fase total da funcao GH para ser solucao da equacao
caracterıstica deve ser±180(2N+1). Graficamente equivale a dizer que: β1+β2−α1 = 180.
Por relacoes com triangulos pode-se calcular:
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Figura 11.5: Sistema com compensador PD
Figura 11.6: Criterio de modulo e de fase compensador PD
tan β2 = 0,3570,735
= 0, 4857, resultando em β2 = 25, 90.
tan θ = 0,3571,435
= 0, 2487, resultando θ = 13, 970. Como β1 + θ = 1800, entao β1 = 1660.
Finalmente obtem-se α = β1 + β2 − 1800 = 11, 90.
Ja se conhece o angulo do zero em relacao ao polo desejado em malha fechada. E
necessario encontrar o valor do zero. Ele e obtido tambem por relacoes trigonometricas:
tan 11, 90 = 0,357x+0735
= 0, 21
x = 0, 959
O zero devera ser posicionado em s = −2, 044.
Aplicacao do criterio de modulo
Com este valor de zero, o lugar das raızes ira passar pelo ponto desejado. Mas existe
um unico ganho que ira garantir que os polos em malha fechada irao estar localizados
no ponto desejado. Este ganho deve ser calculado pelo criterio de modulo. Partindo da
equacao caracterıstica:
KpTd(1Td
+ s) 110.000(s2−1,1772) = −1
O criterio de modulo resulta:
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‖KpTd(s+ 2, 044) 110.000(s2−1,1772)‖ = ‖ − 1‖
Isolando Kp, obtem-se:
Kp = ‖10.000Td
(s+1,085)(s−1,085)(s+2,044)
‖
Onde os modulos podem ser representados por vetores:
Kp = ‖10.000Td
v1v2v3‖
Substituindo os valores, encontra-se:
Kp = 10.0000,489
1,4790,8171,73
Kp = 14.283, 5
E o compensador pode ser escrito como:
C(s) = 6.984, 6(s+ 2, 044)
11.4.3 Compensador PI - proporcional integral
A funcao de transferencia do compensador PI e mostrada a seguir:
C(s) = Kp + KIs
= Kp + KpsTI
= Kp(1 + 1sTI
)
C(s) pode ser escrito como: C(s) = KpTI
(TIs+1)s
= Kp
(s+ 1TI
)
s
O compensandor PI coloca um polo na origem (integrador) e um zero em s = −1Ti
Exemplo de projeto usando um compensador PI
Dado o sistema G(s) = 1s+1
, projete um compensador PI para as seguintes especi-
ficacoes:
1. erro em regime nulo (para entrada degrau)
2. ts5% = 0, 1s
3. ξ = 0, 707
Solucao: para atender a especificacao de erro nulo em regime, usa-se um integrado
presente no compensador PI.
Para a especificacao ts5% = 0, 1s utiliza-se a relacao ts5% ∼= 3σ
= 3ξωn
.
Entao: σ = 30,1
. Este valor define uma linha vertical cruzando o eixo real, onde todos
os polo localizados nesta linha terao o mesmo valor de σ. Para localizar o polo falta
calcular o valor da componente imaginaria.
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Figura 11.7: Criterio de modulo e de fase compensador PI
A localizacao dos polos e mostrada na figura 11.7 .
Para a especificacao de ξ = 0, 707 a linha de ξ constante e dada pela relacao θ =
cos−1 ξ = 450. O cruzamento desta linha com a linha σ calculada anteriormente define a
localizacao exata de um dos polos em malha fechada.
Aplicacao do criterio de angulo
Da figura 11.7 pode-se tirar as relacoes trigonometricas:
θ1 + β1 = 1800, e dos calculos ja realizados, θ1 = 450. Assim, β1 = 1350.
tan θ2 = 3029
, entao θ2 = 45, 970, consequentemente β2 = 134, 030.
Pelo criterio de angulo: β1 + β2 − α = 1800. Assim, α = 890.
Agora e possıvel calcular a localizacao do zero:
tanα = tan 890 = 30x
, assim x = 0, 524. E o zero devera ser colocado em s = −30, 524.
Aplicacao do criterio de modulo
O ganho sera calculado pelo criterio de modulo:
1 + C(s)G(s) = 0
|Kp(s+30,254)
s1
(s+1)| = | − 1|
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Isolando Kp:
Kp = |s+1||s||s+30,524| = 42,43×41,72
30
Kp = 59
A funcao de transferencia do compensador pode ser escrita como:
C(s) = 59 (s+30,524)s
Observacao
Pode-se tambem aplicar o criterio de modulo, substituindo o valor de s = −30 + j30
na equacao caracterıstica.
Kp = |s+1||s||s+30,524| = (−30+30j+1)(−30+j30)
−30+j30+30,524= 59
O criterio de angulo pode ser aplicado na equacao caracterıstica, substituindo o valor
s = −30 + j30.6 (s+zero)6 (s+1)6 s = −1800
Resultando em:
6 (s+ zero)− 6 (s+ 1)− 6 s = −1800
ou
− 6 (s+ zero) + 6 (s+ 1) + 6 s = 1800
Parte I
Apendice
Apendice A
Experimento sobre identificacao do
polo mecanico de um motor CC
A.0.4 Introducao
Neste experimento o aluno ira identificar o polo mecanico de um motor CC, atraves
da aplicacao de um degrau na entrada e pela medicao da resposta de saıda.
1o Experimento: Identificação dos parâmetros de um motor DC
Equipamentos:
-Osciloscópio digital
-Fonte DC (2 Amperes)
-Multimetro Digital
-Kit motor-gerador
Introdução: Um motor DC pode ser modelado como um sistema com dois pólos, onde um dos pólos representa as características mecânicas e o outro pólo representa as características elétricas do motor DC. A função de transferência do motor é mostrada a seguir:
Para se fazer a leitura da velocidade angular () necessitamos colocar um transdutor no eixo do motor, de tal forma que nos forneça uma tensão proporcional à velocidade do eixo do motor. Será colocado um gerador DC acoplado no eixo do motor, que irá fazer o papel de um taco-gerador. A função de transferência completa é mostrada a seguir: Onde: pe – pólo elétrico do motor pm – pólo mecânico do motor A função de transferência total pode ser escrita como: Identificação do pólo mecânico
Inicialmente vamos ignorar o pólo elétrico, pois sua constante de tempo é muito pequena e ele rapidamente atinge o regime permanente. Em algumas situações é possível desprezar o pólo elétrico e fazer a análise levando-se em conta apenas o pólo mecânico. Desta forma vamos supor que nosso sistema possui apenas o pólo mecânico. A função a ser identificada é mostrada a seguir. Onde Km refere-se ao ganho relativo apenas à característica mecânica do motor. Ao ser aplicado um degrau na entrada, na saída teremos a seguinte forma de onda:
m
0.63 * Vmax
Vmax Ve
Vs
t t
Vs = Kt Ve (s + pe) (s + pm)
G’(s) = Km
(s + pm)
K
(s + pe) (s + pm) Ve
K
(s + pe) (s + pm) Ve
Vs Kg
Onde m é a constante de tempo mecânica, e é o inverso do pólo
mecânico:
Lembrando o teorema do valor final: Supondo a aplicação de um degrau de valor 12 (isto é aplicamos 12 V na entrada do motor). Isto significa que: OBS: para obter o degrau da fonte CC, ela tem que estar estabilizada. Não é possivel desligar e ligar a fonte, pois ela terá um transitório até antigir o regime e isto irá alterar a resposta transitória do motor. O valor da saída em regime permanente será de: Desta forma, o valor da constante de ganho mecânica será: A função de transferência pode ser escrita como: (equação final) Apresentar relatório simplificado, contendo:
1)Nome dos alunos 2)Introdução e Objetivos 3)Medições e função de transferência: a) realize 5 medidas, iniciando o processo a partir da aplicação de um novo degrau e calcule a média dos valores. b) o degrau deve ser aplicado, mantendo a fonte estabilizada. Não é possível desligar e ligar a fonte para gerar o degrau. 4)Conclusão
Obs: no item 3, escrever a função de transferência na forma:
m = 1/pm
lim g(t) = lim s.G(s)
t s 0
Ve = 12 s
Vs() = lim s.G(s)Ve = lim s Km 12 = Km .12
s 0 s 0 (s + pm) s pm
km = Vs() . pm
12
G(s) = Km (s + pm)
G(s) = Km (s + pm)
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Apendice B
Experimento sobre identificacao de
um sistema termico
B.0.5 Introducao
Neste experimento o aluno ira identificar um sistema termico, atraves da aplicacao de
um degrau na entrada e pela medicao da temperatura de saıda.
MODELAMENTO DE UM SISTEMA TÉRMICO
Dada uma câmara, com a seguinte configuração:
Vamos buscar uma maneira de fazer o modelamento desse sistema. DEFINIÇÃO DE RESISTÊNCIA TÉRMICA Dado um material onde haja um fluxo de calor.
no qual T=temperatura e q=fluxo de calor. R=(T1 - T2)/q FLUXO DE CALOR
A diferença entre o calor fornecido e o calor perdido através das paredes é igual ao calor dentro da câmara: qi -qo = calor armazenado na câmara.
O calor acumulado dentro da câmera é proporcional à taxa de variação da temperatura na câmara, onde: C - capacitância térmica do meio dentro da câmara.
Então:
qi - qo = C dTo/dt (1)
onde: qi=calor fornecido pela resistência O fluxo de calor através das paredes da câmara é:
qo=(To-Ta)/Rt (2)
Rt - resistência térmica da parede
Substituindo (2) em (1):
qi - (To-Ta)/Rt = C dTo/dt qi - To/Rt + Ta/Rt = C dTo/dt Rtqi - To + Ta = RtC dTo/dt Rtqi + Ta = RtC dTo/dt + To
Aplicando a Transformada de Laplace:
Para a equação 3, tem-se duas variáveis de entradas: Ta e qi e uma saída To. A temperatura Ta tem o efeito de uma carga no sistema.
Note que para esse sistema a entrada é qi e a saída é To. Assim, não é possível escrever na forma de função de transferência devido ao termo Ta.
Para resolver este problema define-se a resistência térmica da câmara (Rte), como sendo:
Substituindo (4) em (3) Rte qi = SRtC To + To
Este ajuste matemático pode ser feito em situações em que o fluxo de calor qi é aplicado a uma taxa constante e Ta é constante, ou varia muito lentamente. Esta equação será utilizada no experimento.
Rte= Rt qi + Ta equação 4
qi
Rtqi + Ta = SRtC To + To equação 3
T = Rte
qi 1 + SCR
Rt
1 + SCRt
1
1 + SCRt
qi
Ta
To
MONTAGEM E IDENTIFICAÇÂO DOS PARÂMETROS DE UM SISTEMA TÉRMICO
Objetivo geral: O objetivo deste experimento é inicialmente modelar uma planta térmica e em
seguida identificar os seus parâmetros. Objetivos específicos: 1) Montagem de um sistema térmico; 2) Modelamento do sistema
térmico; 3) Identificação dos parâmetros do sistema térmico. 1) Modelamento da planta térmica
A função de transferência desejada é: Eq.1
Para medir a temperatura na câmara é usado o sensor de temperatura, LM35. Este sensor (LM35) fornece uma tensão de 10mV a cada grau Celcius, isto é Ks= 10mV/oC. Então Vo=Ks.T, onde T=temperatura da câmara em oC.
Partindo das relações físicas: Q=(V2/r)t = Pt, onde Q=quantidade de calor, sendo Energia=Q em [Joule].
A potência elétrica é igual ao fluxo de calor, isto é, P=q, sendo q=fluxo de calor. Então qi= Vi
2/r. Substituindo qi=(Vi2/r) e Vo=Ks.T na equação 1, obtém-se:
Vo/Vi2= K / (1 + .s) eq.2 Então, na prática mede-se Vi e Vo e calcula-se a constante K. Em seguida calcula-se Kf a
partir da equação: K=Ks.Kf/r 2) Montagem da planta térmica
Monte de uma planta térmica, utilizando uma resistência de chuveiro (220V - 5000W) e um sensor de temperatura (por exemplo, LM 35). A resistência e o sensor devem ser acondicionados em uma caixa, isolada termicamente, com dimensões definidas pelo aluno (como sugestão pode-se montar uma caixa de MADEIRA com as dimensões 5cm X 5cm X 5cm.
3) Medição dos parâmetros da planta
Para medir os parâmetros da planta será aplicada uma tensão na resistência e será medida a tensão do sensor de temperatura.
a)Inicialmente preencha a Tabela II, com Vi=10 V para medir o pólo do sistema.
Tabela I
Vi(V) (Vi)2 Vo(final) (V) Vo=Vo(final) - Vo(0) K=Vo / (Vi)
2 qi=(Vi)
2/r r (ohms)
0 0 Vo(0)=
10 100
b) Em seguida, as outras tensões serão usadas apenas para calcular K na tabela I.
Vi Vo
qi T
T = Kf
qi (1 + .s)
Medição do pólo térmico: preencha a tabela, identifique o valor do pólo e desenhe o gráfico
Vo= f(t). Veja as informações abaixo. Esta tabela será preenchida apenas para 10V. Tabela II Tempo (s)
Vo(V) Vo - Vo(0) Tempo (s)
Vo(V) Vo - Vo(0) Tempo (s)
Vo(V) Vo - Vo(0)
0 160 320
20 180 340
40 200 360
60 220 380
80 240 400
100 260 420
120 280 440
140 300 460
480
Tempo (s)
Vo(V) Vo - Vo(0) Tempo (s)
Vo(V) Vo - Vo(0) Tempo (s)
Vo(V) Vo - Vo(0)
500 660 820
520 680 840
540 700 860
560 720 880
580 740 900
600 760 920
620 780 940
640 800 960
Após terminar de preencher a tabela espere 30 minutos para a saída estabilizar. Espere o
tempo necessário até que Vo fique constante. Meça Vo(final).
Calcule Vo(final) =Vo(final) - Vo(0). Multiplique o valor de Vo por 0,63, some com Vo(0) e
encontre o tempo que este valor ocorreu [Vo. 0,63 + Vo(0)]. Esse tempo equivale a uma
constante de tempo (). O valor do pólo é 1/.
Escreva a função de transferência completa:
A figura abaixo mostra a forma de onda esperada:
LM35
No relatório: mostrar que a função de transferência obtida está correta, reproduzindo
através dela a tabela medida.
T =
qi
Vo(final)
Vo(0)
t
Vo
Tensão do sensor de temperatura [Vo]
Vo(0) + Vo. 0,63
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Apendice C
Experimento: controle de velocidade
de um motor DC
C.1 Introducao
Neste experimento sera realizado o controle de um sistema real que e composto de um
motor CC e um taco-gerador. Objetivo geral: O aluno devera implementar e analisar
o controle de um motor CC. Objetivo especıfico: O aluno devera ser capaz de: a)
identificar os parametros de um modelo de primeira ordem para um motor CC; b) calcular
um controlador em tempo contınuo; c) avaliar o funcionamento do sistema de controle.
C.2 O sistema a controlar
O sistema real, que servira de plataforma de experimentacao, e composto de um motor
de corrente contınua cuja velocidade angular de rotacao deseja-se controlar. A velocidade
angular e medida utilizando-se como sensor um taco-gerador acoplado ao eixo do motor
CC, cuja tensao de saıda e proporcional a velocidade angular. Assim, as variacoes de
velocidade se refletem na tensao de saıda do dispositivo.
O modelo do sistema a ser controlado sera determinado a partir de dados experimen-
tais, obtidos de ensaios do tipo resposta ao degrau, como realizado no primeiro experi-
mento.
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C.3 Procedimentos
C.3.1 Montagem do amplificador de potencia
1. Monte um amplificador de potencia, como mostrado na figura C.1. Este amplificador
tem ganho=2.
Figura C.1: Amplificador de potencia
A funcao de transferencia do motor Gm contera apenas o polo dominante, que e o polo
mecanico: Gm = Kms+pm
= keτs+1
, onde pm = e o polo mecanico e τ = 1pm
e a constante de
tempo mecanica.
C.3.2 Projeto e montagem do compensador Proporcional
1. Projete um controlador proporcional C(s) = K para obter Ts5%MF∼= 0, 5Ts5%MA.
2. Monte o sistema de controle em malha fechada, como mostrado na figura C.2. Apli-
que um degrau de valor 5 na entrada de referencia, e meca o erro em regime e o
tempo de estabilizacao, para o ganho calculado no ıtem anterior.
3. Verifique a resposta ao degrau na entrada de referencia do sistema, para diversos
valores do ganho.
4. Analise e comente os resultados obtidos.
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Figura C.2: Sistema de controle com compensador proporcional
C.4 Circuitos
Na figura C.2 o bloco somador e composto pelo amplificador operacional 1, (AO1). O
valor do resistor R + pot sera utilizado para definir o ganho em malha fechada.
Na figura C.2, o amplificador operacional (AO2) atua como um compensador propor-
cional, cujo ganho e dado por K = R2/R1.
Note que em todos os casos a tensao do gerador deve ter polaridade oposta a tensao
de referencia. A tensao de referencia sera obtida de um potenciometro, como mostrado
nas figuras.
Como alternativa ao LM741, pode-se utilizar o TL071 ou TL072 (com 2 amplificadores
no mesmo CI), mostrado na figura C.3.
Figura C.3: TL071 e TL072
C.4.1 Protecao do transistor de potencia
Todo circuito indutivo se opoe a variacoes de corrente. Num PWM (Pulse Width Mo-
dulation), o transistor opera em corte ou saturacao, provocando uma brusca interrupcao
da corrente do motor, gerando tensoes elevadas que podem queimar o transitor. Para
UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - pagina 100
evitar danificar o transistor e colocado um circuito de protecao, chamado Snubber. Na
figura C.4 e mostrado, no ıtem a, um snubber colocado entre o coletor e o emissor do
transistor de potencia.
Normalmente em uma operacao linear, esta protecao nao e tao crıtica. O amplificador
utilizado neste experimento opera na regiao linear. Mas para evitar qualquer problema,
sugere-se, como mostrado no item b, colocar o circuito RC em paralelo com o motor DC,
evitando com isto a brusca interrupcao da corrente.
Figura C.4: Circuito snubber para protecao dos transistores
Apendice D
Transformada de Laplace
D.1 Introducao
O estudo de um objeto ou sistema fısico pode ser feito atraves das relacoes fısicas que
descrevem o comportamento deste sistema.
As relacoes que descrevem um sistema dinamico resultam em equacoes diferenciais.
Para se entender como um sistema funciona, na maioria dos casos deve-se resolver as
equacoes diferenciais que o descrevem, o que normalmente nao e uma tarefa simples.
Para contornar este problema e possıvel utilizar uma transformacao em que funcoes
diferenciais e integrais sao transformadas em simples equacoes algebricas. Esta trans-
formacao chama-se Transformada de Laplace.
D.2 Transformada de Laplace
A transformada de Laplace transforma funcoes no tempo, cuja variavel e representada
por (t), em funcoes de frequencia complexa, cuja variavel e representada por (s), chamada
de variavel complexa.
t→ s onde s = σ + jω
A definicao da transformada de Laplace e:
£[f(t)] = F (s) =∫∞0 e−stf(t)dt
Exemplos: Calcular a transformada de Laplace para as funcoes:
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a) f(t) = e−at
F (s) =∫∞0 e−stf(t)dt =
∫∞0 e−ste−atdt
F (s) =∫∞0 e−(a+s)tdt = −1
(a+s)e−(a+s)t|∞0
F (s) = −1(a+s)
[e−∞ − e0] = 1(a+s)
F (s) = 1(a+s)
b) Funcao degrau unitario [ u(t) = 1 ]
F (s) =∫∞0 e−stu(t)dt =
∫∞0 e−st1dt
F (s) = −1se−st|∞0
F (s) = −1s
[e−∞ − e0]
F (s) = 1s
D.3 Teoremas da transformada de Laplace
1) Linearidade
Se £[f1(t)] = F1(s) e £[f2(t)] = F2(s)
Entao £[af1(t) + bf2(t)] = aF1(s) + bF2(s)
2) Derivada
£[dfdt
] = sF (s)− f(0+), sendo que f(0+) representa as condicoes iniciais da funcao
3) Derivada enesima
£[dnf
dtn] = snF (s)−
n−1∑k=0
sn−k−1dkf(t)
dtk|t=0
£[dnfdtn
] = snF (s)− sn−1f(0)− sn−2 df(t)dt|t=0 − sn−3 d
2f(t)dt2|t=0 + ...
Exemplo: Resolva a equacao, supondo condicoes iniciais nulas
d3y(t)dt3
+ 3d2y(t)dt2
+ 5dy(t)dt
+ 6y(t) = u(t)
£[d3y(t)dt3
] = s3Y (s)− s2y(0)− sdy(t)dt|t=0 − d2y(t)
dt2|t=0
£[d3y(t)dt3
] = s3Y (s)− s2y(0)− sy(0)− y(0)
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Devido a suposicao de condicoes iniciais nulas: £[d3y(t)dt3
] = s3Y (s)
£[d2y(t)dt2
] = s2Y (s)− sy(0)− y(0
Resultando em: £[d2y(t)dt2
] = s2Y (s)
£[dy(t)dt
] = sY (s)− y(0)
Resultando em: £[dy(t)dt
] = sY (s)
A transformada da equacao diferencial resulta em:
s3Y (s) + 3s2Y (s) + 5sY (s) + 6Y (s) = U(s)
Que pode ser escrita, colocando Y(s) em evidencia, como:
Y (s)[s3 + 3s2 + 5s+ 6] = U(s)
Y (s) = U(s)s3+3s2+5s+6
Sendo que Y (s) e a solucao da equacao diferencial, mas no plano complexo s.
Funcao de Transferencia – chama-se funcao de transferencia G(s) a relacao da saıda
pela entrada, para condicoes iniciais nulas. G(s) = Y (s)U(s)
, sendo Y(s) a transformada de
Laplace da variavel de saıda e U(s) a transformada de Laplace da variavel de entrada.
No exemplo anterior a funcao de transferencia e dada por:
G(s) = Y (s)U(s)
= 1s3+3s2+5s+6
4) Transformada da Integral
£[∫ t0 f(τ)dτ ] = F (s)
s
5)Teorema do valor inicial
O valor inicial da funcao f(t), isto e, f(0), cuja transformada de Laplace e F (s), e
dado por:
f(0) = limt→0
f(t) = lims→∞
sF (s)
6) Teorema do valor final
O valor final da funcao f(t), isto e, f(∞), cuja transformada de Laplace e F(s) e dado
por:
f(∞) = limt→∞
f(t) = lims→0
sF (s)
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7) Teorema da convolucao
A convolucao de duas funcoes e dada por:
f1(t) ∗ f2(t) =∫ t
0f1(τ)f2(t− τ)dτ
A transformada de Laplace da convolucao e dada por:
£[f1(t) ∗ f2(t)] = F1(s)F2(s)
Obs: para um sistema caracterizado por sua funcao peso g(t), a resposta temporal
deste sistema y(t) devido uma excitacao u(t), e dada por:
y(t) = g(t) ∗ u(t) =∫ t
0u(τ)g(t− τ)dτ
Isto significa que trabalhando no domınio do tempo, so e possıvel obter a resposta
de um sistema dinamico calculando a integral de convolucao entre o sinal de entrada e a
funcao peso do sistema.
Funcao peso - a funcao que representa as propriedades fısicas do sistema.
Se for aplicada a transformada de Laplace, obtem-se Y (s) = G(s)U(s) mostrando que
no plano s a resposta do sistema e o produto entre as transformadas do sinal de entrada e
da funcao que caracteriza o sistema, chamada funcao de transferencia do sistema. Esta e
uma grande vantagem em se trabalhar no plano s, pois analisar a resposta de um sistema
no plano s envolve apenas operacoes algebricas.
Exemplo: Dado o filtro passa-baixo mostrado na figura D.1:
R
d dd d
C vovi
Figura D.1: Filtro passa-baixa
a) calcule a resposta para um excitacao degrau unitario.
Pelas leis de Kirchhoff obtem-se:
vi = Ri+ 1c
∫idt
A tensao de saıda e a tensao sobre o capacitor:
vo = vc = 1c
∫idt
Aplicando a transformada de Laplace nestas duas equacoes, obtem-se:
VI(s) = RI(s) + 1cI(s)s
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vo = 1cI(s)s
A funcao de transferencia e dada por: G(s) = Vo(s)VI(s)
Substituindo Vo e VI na equacao de G(s), obtem-se:
G(s) = 1CRs+1
=1RC
s+ 1RC
Para uma entrada degrau unitario u(t), a transformada de Laplace e: U(s) = 1s.
Da funcao de transferencia, obtem-se a equacao de saıda no plano s:
Vo(s)VI(s)
= 1CRs+1
Vo(s) = 1CRs+1
VI(s)
Vo(s) = 1CRs+1
1s
Que e a resposta na saıda do filtro, no plano s.
b) Calcule o valor de vo(t) para o sistema em regime
vo(t)t→∞ = lims→0
sVo(s) = lims→0
s1
s
1
(sCR + 1)vo(∞) = 1
D.4 Transformada Inversa de Laplace (anti-
transformada)
E a obtencao da funcao no tempo, a partir da funcao no plano s.
f(t) = £−1[F (s)]
A forma mais simples de encontrar a transformada inversa e partindo de F (s) procu-
rar em tabelas a funcao f(t) correspondente. Se a funcao desejada nao estiver tabelada,
a tecnica consiste em reescrever F (s) como uma soma de funcoes mais simples, resul-
tando em uma soma de fracoes. Estas fracoes mais simples sao tabeladas e a partir delas
encontra-se f(t).
D.4.1 Expansao em fracoes parciais
a) Polos reais simples
Se a funcao F (s) for composta apenas por polos reais simples, ela pode ser escrita
como um somatorio de fracoes parciais:
F (s) = P (s)Q(s)
= A1
s+a1+ A2
s+a2+ A3
s+a3+ ...
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sendo que a1, a2, a3, ..., correspondem aos polos da funcao F (s). Para encontrar os
coeficientes A1, A2, A3, ..., utiliza-se a seguinte regra:
O valor de Ak e dado por:
Ak = [(s+ ak)P (s)Q(s)
]s=−ak = [ P (s)Q′(s)
]s=−ak
OBS: Q′(ak) = dQ(s)ds|s=−ak = [ Q(s)
s+ak]s=−ak
Exemplo: Dado F (s), encontre f(t)
F (s) = 1s(s+1)(s+2)
Escrevendo na forma de fracoes parciais:
F (s) = A1
s+ A2
s+1+ A3
s+2
A1 = sF (s)|s=0 = s 1s(s+1)(s+2)
|s=0 = 1(s+1)(s+2)
|s=0 = 12
A2 = (s+ 1)F (s)|s=−1 = (s+ 1) 1s(s+1)(s+2)
|s=−1 = 1s(s+2)
|s=−1 = −1
A3 = (s+ 2)F (s)|s=−2 = (s+ 2) 1s(s+1)(s+2)
|s=−2 = 1s(s+1)
|s=−2 = 12
F (s) = 12s− 1
s+1+ 1
2(s+2)
A transformada inversa de Laplace resulta em:
f(t) = 12− e−t + 1
2e−2t
b) Polos reais multiplos
Dado F (s) = P (s)Q(s)
.
Quando aparecerem polos reais e repetidos, utiliza-se a seguinte formula para calcular
o valor dos coeficientes Ak:
Aq(r−k) = { 1k!
dk
dsk[(s− sq)r P (s)
Q(s)]}s=sq
r – ordem do polo multiplo
q – numero do polo
k – variando de 0 ate (r − 1)
Exemplo:
F (s) = 1(s+2)3(s+3)
= A13
(s+2)3+ A12
(s+2)2+ A11
s+2+ A2
s+3
Como a ordem do polo e 3, k = 0, k = 1 e k = 2
A13 = (s+ 2)3F (s)|s=−2 = (s+ 2)3 1(s+2)3(s+3)
|s=−2 = 1s+3|s=−2 = 1
A12 = dds
[(s+ 2)3 1(s+2)3(s+3)
]s=−2
= dds
[(s+ 3)−1]s=−2 = −1(s+ 3)−2|s=−2 = −1(s+3)2
|s=−2 = −1
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A11 = 12d2
ds2[(s+ 2)3 1
(s+2)3(s+3)]s=−2 = 1
2d2
ds2[(s+ 3)−1]s=−2 = 1
22
(s+3)3|s=−2 = 1
O ultimo polo recai no primeiro caso, polos simples:
A2 = (s+ 3)F (s)|s=−3 = 1(s+2)3
|s=−3 = −1
F (s) pode ser escrita como:
F (s) = 1(s+2)3
− 1(s+2)2
+ 1(s+2)
− 1(s+3)
Calculando a anti-transformada de laplace, obtem-se funcao no tempo:
f(t) = t2
2e−2t − te−2t + e−2t − e−3t
c) Polos complexos
Os polos complexos resultam das raızes de uma equacao de segundo grau, em que
acontece a raiz quadrada de um numero negativo. Assim eles aparecem em pares comple-
xos conjugados. Por exemplo, dada a equacao: s2 + 6s+ 13. As raızes sao: s1 = −3 + j2
e s2 = −3− j2. Na figura D.2 estes polos sao plotados no plano complexo s.
- σ
6
jω
x- - -
x- - -
Figura D.2: Polos complexos
A equacao de segundo grau, que resulta nestes polos complexos pode ser escrita de
forma padronizada como: s2 + 2ξωns+ ω2n
A funcao de transferencia na forma padronizada e escrita como:
F (s) = ω2n
s2+2ξωns+ω2n
As raızes do denominador sao: s1,2 = −ξωn ± jωn√
1− ξ2
Assim, separando em fracoes parciais obtem-se:
A transformada inversa e dada por:
f(t) = A1e−ξωn+jωn
√1−ξ2 + A2e
−ξωn−jωn√
1−ξ2
Sendo que A1 e A2 sao complexos conjugados.
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Exemplo: calcule a anti-transformada de Laplace
F (s) = 1s2+2ξωns+ω2
n
Como os polos sao distintos, recai-se no primeiro caso.
F (s) = A1
s+ξωn−jωn√
1−ξ2+ A2
s+ξωn+jωn√
1−ξ2
A1 =s+ξωn−jωn
√1−ξ2
s2+2ξωns+ω2n|s=−ξωn+jωn
√1−ξ2 = 1
s+ξωn+jωn√
1−ξ2|s=−ξωn+jωn
√1−ξ2
A1 = 1
2jωn√
1−ξ2
A2 =s+ξωn+jωn
√1−ξ2
s2+2ξωns+ω2n|s=−ξωn−jωn
√1−ξ2 = 1
s+ξωn−jωn√
1−ξ2|s=−ξωn−jωn
√1−ξ2
A2 = 1
−2jωn√
1−ξ2
F (s) = 1
2jωn√
1−ξ21
s+ξωn−jωn√
1−ξ2− 1
2jωn√
1−ξ21
s+ξωn+jωn√
1−ξ2
f(t) = 1
2jωn√
1−ξ2e(−ξωn+jωn
√1−ξ2)t − 1
2jωn√
1−ξ2e(−ξωn−jωn
√1−ξ2)t
f(t) = e−ξωnt
ωn√
1−ξ2[ ejωnt√
1−ξ2−e−jωnt√
1−ξ2
2j]
f(t) = e−ξωnt
ωn√
1−ξ2sin(tωn
√1− ξ2)
Exercıcio: sendo dados ξ = 0, 2 e ωn = 5rad/s obtenha graficamente a resposta f(t).
a) Faca graficamente; b) Faca usando o programa Matlab.
D.5 Plano complexo – mapa polos-zeros
Dada uma funcao de transferencia:
F (s) = N(s)D(s)
= (s+a1)(s+a2)(s+b1)(s+b2)
Os valores de s que anulam a funcao de transferencia sao chamados de zeros de F (s),
que sao os valores s = −a1 e s = −a2.
Os valores de s que fazem a funcao de transferencia tender ao infinito sao denominados
de polos de F (s), que sao os valores s = −b1 e s = −b2.
Exemplo: para F (s) = (s+2)(s+3)(s+7)(s+10)
, os zeros sao s = −2 e s = −3 e os polos sao s = −7
e s = −10.
No plano complexo s = σ + jω, o polo e representado como um x e o zero como um
cırculo (◦), como mostrado na figura D.3.
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-σ
6
jω
d−2d−3
x−7
x−10
Figura D.3: Plano s
D.6 Interpretacao grafica dos coeficientes da ex-
pansao em fracoes parciais
Ja foi visto que para se obter os coeficientes de uma expansao em fracoes parciais de
uma funcao, como por exemplo, F (s) = (s+3)(s+2)(s+4)(s+7)
= A1
s+4+ A2
s+7, calcula-se:
A1 = (s+ 4)F (s)|s=−4 = (s+3)(s+2)s+7
|s=−4A1 = (−4+3)(−4+2)
−4+7= (−1)(−2)
3= 2
3
Isto equivale graficamente a desenhar vetores de todos os polos e zeros para o polos
s = −4.
-σ
6
jω
d−2d−3
x−4
x−7
�−2
�−1-3
Figura D.4: Interpretacao grafica para calculo de A1
Para A2 obtem-se:
A2 = (s+ 7)F (s)|s=−7 = (s+3)(s+2)s+4
|s=−7A2 = (−7+3)(−7+2)
−7+4= (−4)(−5)
−3 = −203
Exercıcio: Para a funcao F (s) = s+3(s+4+j5)(s+4−j5) , separe em fracoes parciais e faca a
interpretacao grafica dos coeficientes.
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-σ
6
jω
d−2d−3
x−4
x−7
�−5
�
−4
� −3
Figura D.5: Interpretacao grafica para calculo de A2