Universidade do Estado de Santa CatarinaCentro de Cincias Tcnolgicas - CCTDepartamento de Matemtica - DMATApostila deClculo Diferencial e Integral Ixy() x f y =PQ0x1x( )0 0x f y =( )1 1x f y =tsxy() x f y =PQ0x1x( )0 0x f y =( )1 1x f y =tsHome page: http://www.joinville.udesc.br/portal/professores/eliane/Joinville, fevereiro de 2012.1FormulrioCrculo Trigonomtrico:Adaptado de: http://tipo10.blogspot.com/2008/09/crculo-trigonomtrico.htmlAcesso: 15/12/2011.Funes trigonomtricas:COCAHipCOCAHip1. Seno: sen(o) = CCHij; 2. Cosseno: cos (o) = CHij;3. Tangente: tg(o) = CCC = sen(o)cos (o).2Relaes Trigonomtricas:1. sen2(o) + cos2(o) = 1;2. tg2(o) + 1 = sec2(o) ;3. 1+cotg2(o) =cossec2(o) ;4. sen(c /) = sen(c) cos (/) sen(/) cos (c) ;5. cos(c /) = cos (c) cos (/) ( sen(c) sen(/) ;6. sen(2o) = 2 sen(o) cos (o) ;7. cos (2o) = cos2(o) sen2(o);8. sen2(o) = 12 12 cos (2o);9. cos2(o) = 12 12 cos (2o);Propriedades de Logartmos:1. logo (c) = 1; 2. logo 1 = 0;3. logo (/c) = logo/ + logoc; 4. logo_/c_ = logo/ logoc;5. logo (/c) = c logo/; 6. logbc = logcclogc/;Propriedades de Exponenciais:1. cb+c= cb.cc; 2. cbc= _cb_c= (cc)b;3.c_cb = cbc; 4.n_c/ =n_c. n_/;5.n_c/ =n_cn_/; 6. cloga b= /.Funes Hiperblicas:1. Seno Hiperblico: senh(r) = caca2;2. Cosseno Hiperblico: cosh (r) = ca+ ca2.Relaes para Funes Hiperblicas:1. cosh2(r) senh2(r) = 1;2. senh(r) + cosh (r) = ca;3. cosh (r) senh(r) = ca;34. 1 tgh2(r) = sech2(r) ;5. cotgh2(r) 1 =cossech2(r) ;6. senh(r + ) = senh(r) cosh () + cosh (r) senh() ;7. cosh (r + ) = cosh (r) cosh () +senh(r) senh() ;8. senh(2r) = 2 senh(r) cosh (r) ;9. cosh (2r) = cosh2r+sinh2(r) ;10. senh2r = cosh (r) 12;11. cosh2r = cosh (r) + 12.Funo Par: , (r) = , (r)Funo mpar: , (r) = , (r)Funo Peridica: , (r + 1) = , (r)Limites Notveis:1. lim&0sen(n)n= 1; 2. lim&01 cos (n)n= 0;3. lim&o_1 + 1n_&= c; 4. lim&0c&1n= ln c.Formas Indeterminadas ou Indeterminaes:00, , 0,+, 00, 1o e 0.Denio de Derivada:,t (r) =lima0, (r + r) , (r)r.Aproximao Linear Local:, (r0 + r) , (r0) + ,t (r0) r.4Tabela de DerivadasSejam n = n(r) e = (r) funes derivveis e : R.Funo Derivada1. = nat = :na1;2. = n t = nt + tn;3. = nt = ntnt2;4. = c&, c0 e c ,= 1 t = nt.c&ln c;5. = c&t = ntc&;6. = logon, c0 e c ,= 1 t = &0& logoc;7. = ln n t = &0& ;8. = sen(n) t = nt cos n;9. = cos n t = ntsen(n);10. = tg(n) t = nt sec2(n);11. = cotg(n) t = ntcossec2(n);12. = sec (n) t = nttg(n) sec (n);13. = cossec(n) t = ntcossec(n)cotg(n);14. = senh(n) t = nt cosh (n);15. = cosh n t = ntsenh(n);16. = tgh(n) t = ntsech2(n);17. = cotgh(n) t = ntcossech2(n);18. = sech(n) t = ntsech(n)tgh(n);19. = cossech(n) t = ntcossech(n)cotgh(n) ;20. = arcsen(n) t =nt_1 n2;21. = arccos n t = nt_1 n222. =arctg(n) t =nt1 +n2;23. =arccotg(n) t = nt1 +n2;24. = arcsec n, [n[ _ 1 t =nt[n[_n21, [n[1;25. =arccossec(n), [n[ _ 1 t = nt[n[_n21, [n[1;26. =argsenh(n) t =nt_n2 + 1;27. =argcosh(n) t =nt_n21, n1;28. =argtgh(n) t =nt1 n2, [n[ < 1;29. =argcotgh(n) t =nt1 n2, [n[1;30. = argsech(n) t = ntn_1 n2, 0 < n < 1;31. = argcossech(n) t = nt[n[_1 +n2, n ,= 0.5Tabela de Integrais Imediatas1. _ nadn = na+1: + 1 + c, : ,= 1;2. _ dnn= ln [n[ + c;3. _ c&dn =c&ln c + c, c0 e c ,= 1;4. _ c&dn = c&+ c;5. _ sin (n) dn = cos n + c;6. _ cos (n) dn = sin n + c;7. _ sec2(n) dn = tg(n) + c;8. _cossec2(n) dn = cotg(n) + c;9. _ sec (n) dn = ln [sec (n) + tg (n)[ + c;10. _cossec(n) dn = ln [cossec (n) cotg (n)[ + c;11. _dnn2 + c2 = 1carctg_nc_+ c.67Captulo 1Nmeros Reais, Intervalos e FunesObjetivos Identicar os conjuntos numricos; Conhecer e aplicar as propriedades relativas adio e multiplicao de nmerosreais; Utilizar as propriedades relacionadas com as desigualdades estritas e no estritas; Operar com equaes e inequaes com e sem valor absoluto; Determinar o campo de denio de uma funo; Operar com funes; Obter funes compostas; Identicar funes pares, mpares e peridicas; Determinar a inversa de uma funo; Esboar grcos de funes usando translao; Reconhecer os tipos de funes: polinomiais; racionais; irracionais; potenciais;exponenciais; logartmicas; trigonomtricas; hiperblicas; e hiperblicas inversas;1.1 NmerosOs primeiros nmeros conhecidos foram os Nmeros Contveis, ou seja, oconjunto dos Nmeros Naturais, representado por N, isto :N = 0. 1. 2. 3. ....As operaes com os nmeros naturais foram responsveis pela criao dosnmeros negativos, assim:r + c = / = r = / c,onde c e / so nmeros naturais.Estes nmeros, juntamente com os nmeros naturais formam o conjunto dosNmeros Inteiros, representado por Z, isto :Z = .... 3. 2. 1. 0. 1. 2. 3. ....A resoluo de equaes do tipocr = / = r = /c,com c e / nmeros inteiros onde c no nulo, pode levar ao surgimento de nmerosno inteiros. Desta forma, os nmeros da formabo com c e / nmeros inteiros e c ,= 0formam um conjunto de nmeros, denominado Nmeros Racionais, representado porQ. E os nmeros (fraes) decimais innitos no peridicos so denominados NmerosIrracionais, representados por . So exemplos de nmeros irracionais: :, c, _2, _3,_5, ...Observando a reta numerada, vemos que a todos os pontos foram atribudosnmeros. Temos, ento que, a reunio dos nmeros racionais com os nmeros irracionaisse denomina conjunto dos Nmeros Reais, representado por R.0 -1 -2 1 2123215521Como o clculo envolve nmeros reais, vejamos algumas denies e pro-priedades fundamentais destes nmeros, embora no tenhamos interesse em mostrarcomo estas propriedades so tiradas dos axiomas e teoremas.Denio 2:Soma: \c. / R =(c + /) RProduto: \c. / R =(c./) R, satisfazendo as pro-priedades:1. Comutativa: \c. / R =_ c + / = / + cc./ = /.c;92. Associativa: \c. /. c R =_ c + (/ + c) = (c + /) + cc. (/.c) = c. (/.c);3. Existncia de elemento neutro:_ \c R. 0 R , c + 0 = 0 + c = c\c R. 1 R , c.1 = 1.c = c;4. Elemento oposto: \c R. c R , c + (c) = (c) + c = 0;5. Elemento inverso: \c R e c ,= 0, c1 R , c. (c1) = (c1) .c = 1;6. Distributiva: \c. /. c R =c. (/ + c) = c./ + c.c.Denio 2: Subtrao: \c. / R =(c /) R.Denio 3: Diviso: \c. / R e / ,= 0. ob R.1.2 DesigualdadesAxioma de Ordem: No conjunto dos nmeros reais, existe um subconjunto, R+ , ditoreais positivos, tais que:1. se c R, exatamente uma das trs armaes verdadeira: c = 0, c positivoou c positivo;2. a soma e o produto de reais positivos um nmero real positivo;Denio 4: O nmero real c negativo se, e somente se, c positivo.Denio 5: Desigualdade EstritaOs smbolos < (menor que) e(maior que) so denidos por:i. c < / se, e somente se, / c positivo;ii. c/ se, e somente se, c / positivo.Denio 6: Desigualdade No EstritaOs smbolos _ (menor ou igual) e _ (maior ou igual) so denidos por:i. c _ / se, e somente se, c < / ou c = /;ii. c _ / se, e somente se, c/ ou c = /.As desigualdades denidas acima, satisfazem as propriedades:1. c0 se, e somentes se, c positivo;2. c < 0 se, e somentes se, c negativo;3. c0 se, e somentes se, c negativo;104. c < 0 se, e somentes se, c positivo;5. Transitiva: Se c < / e / < c, ento c < c;6. Se c < / e c R+, ento c + c < / + c;7. Se c < / e c < d, ento c + c < / + d;8. Se c < / e c R++, ento c.c < /.c;9. Se c < / e c R+, ento c.c/.c;10. Se 0 < c < / e 0 < c < d, ento c.c < /.d;11. Se c/ e /c, ento cc;12. Se c/ e c R, ento c + c/ + c;13. Se c/ e cd, ento c + c/ + d;14. Se c/ e c R++, ento c.c/.c;15. Se c/ e c R+, ento c.c < /.c;16. Se c/0 e cd0, ento c.c/.d;17. Se c < /, com ambos positivos ou negativos, ento1o 1b.Denio 7:R+ = r R : r ,= 0R+ = r R : r _ 0R++ = r R : r0R = r R : r _ 0R+ = r R : r < 01.3 IntervalosDenio 8:Intervalos so conjuntos innitos de nmeros reais. Geome-tricamente, correspondem a segmentos de reta sobre um eixo coordenado. Por exemplo,se c < /, ento o intervalo aberto de c a /, denotado por (c. /), o segmento de retaque se estende de c at /, excluindo-se os extremos; e o intervalo fechado de c at /,denotado por [c. /], o segmento de reta que se estende de c at /, incluindo-se osextremos. Estes intervalos podem ser expressos na notao de conjuntos como(c. /) = r R , c < r < /;[c. /] = r R , c _ r _ /..11Um intervalo pode incluir um extremo, mas no outro. Estes intervalos sochamados semi-abertos (ou, algumas vezes, semi-fechados). Alm disso, possvel umintervalo estender-se indenidamente em uma ou em outra direo, escrevemos + nolugar do extremo direito, e para indicar que o intervalo se estende indenidamente nadireo negativa, escrevemos , no lugar do extremo esquerdo. Os intervalos que seestendem entre dois nmeros reais so chamados de intervalos nitos, enquanto que osque se estendem indenidamente em uma ou em ambas as direes so chamados deintervalos innitos.Notao de Intervalo Notao de Conjuntos Classicao(c. /) r R , c < r < / Finito; aberto[c. /] r R , c _ r _ / Finito; fechado[c. /) r R , c _ r < / Finito; semi-aberto(c. /] r R , c < r _ / Finito; semi-aberto(. /] r R , r _ / Innito; fechado(. /) r R , r < / Innito; aberto[c. +) r R , r _ c Innito; fechado(c. +) r R , rc Innito; aberto(. +) R Innito; aberto e fechadoExemplo 2: Determinar os valores de r que satisfazem a desigualdades:1. r23r _ 10;Soluo:Subtraindo-se 10 em ambos os lados, obtm-se a inequao:r23r 10 _ 0. (1)As razes da equao r23r 10 = 0 so 2 e 5.Estas razes dividem o eixo coordenado em trs intervalos abertos: (. 2) . (2. 5)e (5. +) .Analisando os sinais de r2 3r 10 = (r + 2) (r 5) em cada intervalo, temosque:Intervalo Ponto de teste Sinal (r + 2) (r 5) no ponto de teste(. 2) -3 () () = +(2. 5) 0 (+) () = (5. +) 6 (+) (+) = +Portanto, a soluo da desigualdade (1) o = [2. 5] .2. 2r 5