Apostila Calculo
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5/13/2018 Apostila Calculo
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cALCULO II
FVN(:AO DE DUAS V ARIA VEIS aula 1Dominio e grafico prof. FecchioD ef.l) C ham a-se plano cartesiano Oxy 0 plano form ado pelo conjunto todas as duplas ordenadas (x.y) denum eros reais. lndica-se por R 2 = {(x,y) I x E R e Y E R}.Def.2) Seja 0 urn subconjunto do R2, CD < : ; ; ; R2). Uma co rr espondenci a f que associa a cada par (x.y) E Durn unico numero Z E R, indicada por z = f(x.y), chama-sefimqao de dUGS variaveis.
Em geral um a funcao de duas variaveis e dada por lim a formula onde as variaveis x e y sa o chamadas devariaveis independentes e z de variavel dependente.O ef.3 ) C hama-s e dominio Dr de um a funcao f de dua s v aria ve is 0 conjunto m ais am plo possivel de todos ospares (x,y) E R 2 para os quais as operacoes indicadas na formula z = f(x,y) s ejam re al iz av eis , ou seja,resultem em numeros reais. lndica-se por: I),= ((x,y) E R 2 [ z = lex. y) E R } .D efA ) Seja z = f(x,y) uma funcao de duas variaveis definida nUI11 dominio D, < : ; ; ; R1 .0 conjunto de todoso s p onto s P = (x,y, f(x,y do espaco trid im ensional indicado por It', sendo (x , y) E DI chama-se graficoda funcao de duas variaveis. Indica-se por: G, = (cx,Y.I(x,y E R " ' l (x,y) E D } .
Funcao z= f tx .y ) Dominic de z o o f(x,y) Dom inic e grafico d e z = f(x ,y )
x (x,y)dominic
grafico
x
EXER('iCIOS
I) Esbocar 0 dominic e 0 grafico d a fu nc ao z = f(x,y) = ~2S - Xl _ y"
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2) Determine 0 domlnio das funcoes e represente-e n o plan o OxyJy-x2a) z = f(x,y) =-'-,,--.5X - Y
b)z=ln(x-2y)y-2x
3) Determine 0 dorninio e esboce os graficos das funcoesa) z;:;:f(x,y)=8-x-2y b) z=f(x,y)=4-x2
TAREFAI) Determine o dominic e represente-e no plan o Oxy- J y -xa) z= f(x,y) = Resp: a)x
b) z=f(x,y)=j;+y2c) z = f(x,y) = sen (x + 2y)
In(x + y)
b) .J
X
2) Determine 0 dominic e esboce a grafico das funcoesz z z
a) z = 6 - 2x - 3y Resp: a) b)b) z = Xl + yl - 9
2 yIc) z = 2 2
X + Yx x
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CALCULO II
FVN
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EXERCICIOS1 ) C alcu lar as derivadas parcia is das funcoes abaixo, uti Iizando a reg ra pratica.
a) z -:0: l(x,y) = x"e2Y b) z = x3y2 +E+ In y + 2 c) l(x,y) = sen(x 2 y)
e) z = l(x,y) =Qrctg(Y)x f) z= l(x,y)= 1.. ~)'x -y
2) A equacao da superficie de urna rnontanha e z = 5200 - x J - 3y 2 com distancias em m etros e os pontosdo eixo x rra direcao leste e os do eixo y na direcao norte. Um alpinists esta no ponto P , correspondente aop on to Q ~(5 , 12) d o p lan o Oxy.a) Em que altura 0 a lp in is ts s e e nc on tra ?b) Se ele cam inhar na d irey 30 norte,ele estara subindo ou descendo?N este caso, qual sera a taxa de variacao?c) Se ele cam inhar na direyao leste, ele estara subindo ou descendo?N este caso, qual sera a taxa de variacao?
(leste) x
TAREYA1 ) Para cada uma das funcoes abaixo, calcule as derivadas parciais em relacao a x e em relacao a y) _ 3 __ 1_ R' a z _ " 2. o z 3 b) . _ x + YR ' o z _ - 2y. O Z _ _ 2_x_a z - Xl' - JX ,= Z - . - , , =y ox o-v Y~ x-y ox (x-y)- oY (X_y)2
O Z G Zc) z=senx.cosy R: -= cosX .cosv; -= -senx.senyox . ~.') ? OZ) ') 2e) z = sen (x- y) R: ox = 2.x.y cosec y );
, 2) Sendo z = In Jx2 + y2 , ealcular 0 valor de x . . g ; + y.~G Z 7 ) 2~ . = 2x- y.cosCcy )R: !
3) Uma plaea de metal aquecida esta no plano Oxy, de m odo que a tem peraturaem graus Celcius para x e y em metros e dada par Tt;x, y) = (1 6 - x2 + yo)2 .
: " C i T "TCalcule a) (_)o e b) (_)o, onde Q = (3,2) e interprete a resultado.a x - oy -R: a) A partir do ponto Q, a tem peratura dim inui 180C p or m etro de sloc ado paralelarnente ao eixo x.
b) A partir do ponte Q, a tem peratura aum enta 360(" par m etro desloeado paralelam ente 0.0 eixo y
z2
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CALCULO II
FUNyAO DE DUAS VARlA VEISRegra da Cadeia e Derivada Implicita prof. FecchioTeo.I) l" REGRA DA CADEIA , Se z=f(x,y) e um a funcao diferenciavel, on de x=g(t) e y=h(t) tambern saodiferenciaveis, entao a funca o z=f(g(t),h(t)) e um a com posicao de variavel !. A derivada total de z em relacao atedada por:
Ex 1 ) Ca1 cular ~~ , on d e z = x,y e X = = t 2 + 1 e y = In I, util izando a I R eg ra da C adeia,Solucao: Temos 0: = y' < Ix = = 2/ ' / ' 1 : : = x' Ii!, = !a \' ''/1 '0)' , ill I ' Substitui ndo na form L Ila aei rna, tern os
~~= g ~ ,~ ! t+ :' ~' = y,21 + x . + = (In 1),(21) + (t 2 + 1).(+)Teo.Z) 2a REGRA DA CADEJA , Se z=fl x.y) e um a funcao diferenciavel, onde x=g(u,v) e y=h(u,v) tarnbern saod ife re nc ia ve is, e nta o a funcao z= t~g(u ,v ), h(u, v) ) e LIma cornposicao de variaveis u e v, com as derivadas parciaisdadas por:
e
E 2) C 1 I 8- &: d 2 2 2 2 2 " " ili do s 2' F-' d Cadeia ell ar a ; , e J 7 , se n 0 Z = X + Y e x = = u - v e y = e ' , un izan 0 a " < egra a a eraSolucao: Temos &: = a~.oz+ &:, ? ' = 4 x,2 u + 2 y. v,e u,r = 4(u 2 -v2)2u+2(e/l" ')ve"\ ' = 8u 3 -8uv2 + 2ve2 U 1all cr O il 0/ 01(
e 0:=f};_.ax+3~,(;' = -8u2v+8v'+2ue21 1 1'a .. & a ., O F a .Teo.J) DERlV ADA IMPLicITA, Se z=f{x,y) e LIma funcao diferenciavel que pode ser escrita na formaim plic ita c omo F(x,y,z)=O, entao, aplicando-se a 2 1 1 Regra da Cadeia podem os obter as derivadas parciais dez=f(x,y) em relacao a x e em relacao a y', au seia, sendo of, ,}, + 0F , "',' + JF ,0: = O. onde 0' = 0 e of o j : . 0-r -r J arox C"i)x Oea,' o r 0;'obtemos e de modo analogo obtemos ~ or'oz = _ 6)'o yEx3)Sendo x.y+x.z+y.z=l,calcular (~~),' e (~~,)", onde P=(2,3,-I)SOILlyBO:Temos F(x, y, z) = x.y + x.z + y.z = 0 e aplicando as formulas acrrna no ponto P, obtemos
.., of/ "2oz = _ 0 { 5 " = _Y+z => (oz)/, = - - e de modo analogo,ox /0; x + y ox 5 G Z = _ a i D , ' = _ x + z = > (oz) = _ ~0/,'1 I'o y /D: X + Y c y 5EXERCicIOS
,2, ..2 dw1 ) S en do w = e '., ,onde x = cost e y = se n I, calcular a de ri vada total dl
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2 J " ' . O Z O Z2) Se z = x + xy - y-, onde x = r + s e y = r - s, calcular as den vadas pm'clatS- eo r o s
2) J J ml' Ow3)Se w=x +y,onde x=r-u~ e y=2.l.u,ca1cule- eO r ou
22) 2 O Z O Z4)Sendo x + y- +3z -6=0 e P=(I,I,-I),caicular (-)}' e (-)/'a x q J i
5) 0 volume Y de urn monte de areia em forma de cone cresce a razao de 240 W I % e 0 raio r da base cresce a razaode 6 < '1 1 . . Calcule a taxa de variacao da altura h do cone (em relacac ao tempo), no instante em que Y=60 e r=6.
v = 1,(.If.r 2h1. 1
TAREFA1 ' '2 o w O W1) Se Hi = r + s', onde r = i- e s = p sen q, calcule - eo p a qx & &2)Se Z=-2 ,onde x=u+v-l e y=u-v-I,calcule - ey ~ ~a z o z .3) Calcular --- e - nos casas abaixo, o x a y
R: y-2xy ey+2x
y
)' 5 2 '\ I"x z + yz + xy = j. R: - :; \~ ;-_~~~:e -~::~::: b) Inz-z-2y+3x=0. R' ], e 20. ;-1 1-:4) A altura de urn cone circular reto e de 15 em e esta aumentando a raZ30 de 0,2 ( 1 % ) il 1 ' 0 raio da base e de 10em e esta dirninuindo a razao de 0,3 ' - ' % i l1 ' Qual e a taxa de variacao d o volume (em relacao ao tempo).Interprete 0 resultado. R: 0 volume esta dim inuindo a taxa de 7 0 . ; ; " " ' ; ; ' ; i l 1
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FUN\=AO DE DUAS VARlA VEIS aula4Plano Tangente, Reta Normal e Derivadas SucessivasCharna-se Plano Tangente n , num ponto P = (X o ,JiO ' zo ) de limasuperflcie z=f(x,y) diferenciavel, 0 plano que contem todas asretas tangentes a superficie que passam por P, inclusive as retasII e '2' conforrne indica a figura ao lado. Prova-se que a equacaogeral do plano J[ e dada por:
prof. Fecchio
\!tr - --,!x/'
Charna-se Reta Normal n ou reta perpendicular ao plano tangenten no ponto P , a reta perpendicular a todas as retas do plano que pas-sam por P, inclus ive as retas t] e t 2 conforrne indica a figura aolado.
As equacoes pararnetricas da reta n sao dadas porf~ :xO +(~)I'.a ..
n lY - y~ + (~ ..) ,> .a , a E Rz - Zo a
Ex.I) De a equacao do plano tangente e da reta normal a superficiez = f(x,y) = x 2 + 2y2 no ponto P = (2,-1,6).
Temos ~o=2x::::::>(;:;) =4 e J ;;= 4y ::::::>(a Z) = -4 .ill ~ I' ~ ~ I'Logo, n{4(x - 2) - 4( y + 1 ) - (z - 6) = O. Entao, n{4.x - 4y - z - 6 = 0 e {
X = 2+4a! y = -1- 4a, a E R
z=6-a
Def Seja z=fix.y) um a funcao diferenciavel de duas variaveis e ~.~ e g suas derivadas parciais, tam berndiferenciaveis de duas variaveis. As derivadas parciais das duas ultimas sao charnadas de derivadas parciaisd e 2" ordem ou derivadas parciais segundas d a fu nc ao . i - l a 4 derivadas parciais de 2" o rde rn :
a) Derivadas parciais de 2" ordempuras b) Derivadas parciais de 2" ordem mistasa 2 f a O f a 2 l a a l .~ = -::;-(~) = j .(x,y) r i . , a = ::h. ( - a ' ) = . fx, .(x,y)ox ox ox '''Y x uy Xa 2 l a a f a 2 l a O f .a ; 2 = = a y (a y) = lJ ) '(x ,y ) ax~ ' = ax (~ ) = . /p.(x,y)
De modo a na lo go , v eriflc am os que a funcao z=ftx.y) tern 8 derivadas parciais de 3" ordern.T d d . d '. S . f ~ f( ) o r elf ,/ reo . as cenva as nustas: ejam as uncoes z = x,Y , a t ' 0" JH~' e ~~; de d ua s v aria ve is, co ntin ua sn,uma reg iao aberta R , nas p rox imidades de um ponto Q=(x,y). Entao J'/ = (hem toda a reuiao R., a v o , ' e r o x 0Urna generalizacao deste teorem a pode ser resurnida na seguinte frase: Nas derivadas de ordem superior, 0que importa eo numero de vezes que se deriva em relacao a cada variavel e na o a ordern de derivacao,E 2) S d f() x .. . J~} a~rx . en o z : : " " : x, Y = e .sen y + In(x.y), calcule ~ e ~o:_..;'(CL' ( ! \ - u ' (
Solucao: : = r , (x, y) = e ' .sen y +~ = > ~ , ~ : ,= I;x, y) = = eX .cos ye r-L. = l (x y) = e' .cos v + _La J " . Y , "' )" ()l r l ( ) .r: : : : : : > aH~) =."".x ,y =e .c o sy
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EXERCicIOS , ) ,1) Ache a equacao do plano tangente 1[ e da reta normal n ao elips6ide .~ + y- + :~~ 3 em P= (2, 1 ,3) e asinterseccoes A , Bee do plano com os eixos coordenados
x2) Ache 0 plano tangente e a reta norm al : 't sup erfic ie d ada no ponto dado
a)z;;::e".seny em P ;;::(I,y ;,e ) b)x"+ 2y2+3z"-6=0 em P;;::(I,L-I)
a ~ f a " l a " f3) Seja z = lex, y) ;;::eJ,'. cos(2x). Calcular -- e ---'----ax2ay' a/ax axayax
TAREFA1) Ache a plano tangente e a reta norm al a superficie dada no ponto dado.
a) z = 3x 2y-x, em P=(1,2,S) b) X l +2y2 +3z 2 = 4, er n P=(I,O,I)R : n{llx+ 3y-z -1 2=0 n{x+2z-4=0
{X=I+f3
n y=O , /JERz=I+3/3{
X;;:: I +11an y = 2 + 3a, a E R
z;;::5-a
J'r o'!2) Mostre qu e para cada um a das funcoes abaixo temos - - - + + ~; ;: : 0ox qv2ya) z = f(x,y) =) )x- + y-
c) 2XZ2 - 3x y- 4x = 7, em P = (J ,= J ,2)n{7x-3y+8z-26;;:: 0
{X=1+7 f
n y = - 1 - 3 t, (E Rz = 2 + 8 1
b) z = e' se n y + e '" cosx " . yc) z = In(x- + y-) + arcfg( . :__)x
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FUN< ;Ao DE DUAS VARIA VEIS aula 5prof. Fecchioerivada Direcional e Gradientez /
t A der iv ad a d ir ec io na l generalize 0 conceito da derivada parcial, poisfornece a taxa de variacao de uma funcao z=fix.y), num a direcao esco-Ihida, nao necessariarnente na direcao dos eixos x au y.Seja a funcao z= f(x,y), continua num dominic D e que possui deriva-das parciais tambem continuas em D .Def) Charna-se derivada direcional de z=fix.y) no ponto- .-Q : :: : C X : o , Yo) e na direcao do vetor unitario u= (a,h) ::::ai + hjqualquer. u nurnero real indicado por D-f(xo 'Yo) e dado por" .
A derivada direcional de z=flx.y), n o p on to Q e na direcao do vetor i i : : : :(a, h ) e igual a tang ente do ang ulo r d a f ig ur a.Se if forma angulo () com 0 eixo x (a partir de X e no senti do anti-horatio), entao, 0 versor if e dado porif :::: co s 8.T + sen 8.7 . Logo, LIma formula alternativa para a clerivada direcional a partir do Angulo e e dada P O l ' :
A derivada direcional po de ser escrita como urn produto escalar do vetor (:).1 + (:. ). } pclo vetor unitarioij ::::aI + b} , ou seja D - le x, y) = (~ , t)(a, b) . Neste caso , 0 p ri rn eiro v eto r c hama -s e gradiente de z=ftx.v) e
II ~
in dica-se p or Vf(x,y). Portanto, Vf(x y):::: f{ ! . f + J j . j e D - f(x , y) ::::V f(x ,y ) . ~ . Assim, n o p on to, ox qy . ,--_---'L ----,-D - f(x o,y o) :: :: V {(x o,Y o) uil
Q ; ; : : (xo'Yo)' temosz
x
e
Uma vez que a derivada direcional e 0 produto escalar dos vetoresVf(x,y) e u = = (o,b) e sen do a 0 angulo forrnado por eles,temos [);/(x,y):::: VI(x,y ). ~ ;; :: lV :f( x.Y) I. I~ I. cosa . Logo,
D~f(x ,y) = IVl(x,y)j.cosa, pois F I : : : : 1. Portanto:f D.f(x ,y ) {em valor maximo se a==OSe 0::; a::; n:::::> 1/.' )D-- l(x ,y ) tem valor minima se a;;:: nl 1/
ou seja, Df(x ,Y),"dl ' = = 1V:{(x,y)i e Df(x'Y)lIIin;;:: -I f( x y)1
1) 0 vetor gradiente no ponto Q e perpendicular a curva de ntvel que passa por esse ponto.2) 0 modulo do vetor gradienre em Q e a taxa de crescimento maxima da funcao nesse ponto.3) Ernbora 0 v eto r g ra die nte aponte na direcao de crescimento maximo, ele nao a pont a n ec es sa ri ament e
na direcao do ponto maximo. Ele fornece uma solucao local para 0 crescirnento maximo e q uan docalculado em diversos pontos ele indica um a trajet6ria de crescirnento m axim o (trajet6ria ortogonai).
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EXERCicIOS1) Ache a d eriv ad a d ire cio nal da funcao z = l(x,y) = x-1 - 3xy + 4y2 no ponto Q =(1 ,2)- . -a) na direcao do vetor W = 3i + 4j b) na direcao definida pelo angulo () = %
2) Dada a funcao z = f(x, y) = x.eY, os pontos Q= (2,O ) e R= ( I i ,2), calcule: a) A taxa de variacao. (derivada)de f(x ,y) no ponto Q e na direcao de QR b) Em que direcao a partir de Q , t{x,y) tern taxa de variacaomaxima? c) Qual e a taxa de variacao maxima?
3) A temperatura T em C de urn ponto P= (x,y) com x e y em metros deum a chapa circular aquecida e dada por T = ~ , sendo a origem 0.r +y +2centro da chapa. Uma formiga encontra-se no ponto Q= 1.2) e segue num adirecao onde a tem peratura dim inui 0 rnais rapido possivel.
a) Determ ine a direcao d a fo rm ig ab) Determ ine a taxa de dirninuicao da tem peratura para a form iga
TARE FA1) Ache a deri vada d iree io na l d e z = In _ J ' j - O x - ' -+-]-2y - em P = (X ,~) e na d irecao de ~.= (J2,12). R: " I : ?2) Calcule a derivada direcional de z = I(x,y) = Xl - 6 . 1 ' 1 no ponto Q= (7,2) e a) na direcao de () = 45 b) na direcao de e = 1350 c) na direcao em que ela e maxima, R: a) - 5fi b) -1 9.J"2 e) 2.J l933) Ache a derivada direcional m axima de 2 = I(x,y) = /e2x no ponto Q= (2,-I) e ache 0 vetor no sentidodesta derivada. R: Df(2,-I) liI,ix = .JI3.e4 e \7/(2,-1) = (-2.e4 ,3.e4)4) A equacao da superflcie de um a m ontanha e 2 = 5200 - x3 - 3y2 , comdistancias em m etros, pontos do eixo x na direcao lestee do eixo y nadirecao norte. U m esquiador esta em p= ( ~5, 1 2,4643). P ede-sea) Em que direcao ele conseguira a descida mais rapida? R : v = (75,72)b) Qual a taxa de variacao desta descida? R : - . J I 0809 ~ -1 03,95 ' 7 " ,c) Se ele se mover na direcao sudoeste, estara subindo au descendo?d) Qual a taxa de variacao neste caso? R : 147/2 = : 103,63 ' % / , subindo
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v1.LvULV II
aula 6lTN
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2) Urn fabricante de caixas em forma de paraleleplpedo com dimensoes, x, y e z deseja que a soma docomprim ento z com 0 p erlm etro da seccao transversal a este cornprim en toseja igual a 1 08 ern, Q uais as dimensoes da caixa para que se u vo lum e sejam ax imo? "r--------1y
x , , " - - - - - - - - 'z
3) Uma estacao transrnissora de TV atende a tres cidades A , B e C cu jas p osicoes relativas estao in dicadasno grafico ao lado . D eterm ine 0 local onde a estacao deve estar Iocalizada,para que a soma dos quadrados das distancias a cada cidade seja a m inimaposs ivel , (Adi st anci a entre (a,b) e (c,d) e d=~(e-a)2 +(d-b)2) v km0
30A20 ' "
1 0.0-2 o -IP 10 "0 3 p-1 (1 c
- . . .
TAREFA
Xk l 1 1
1) D eterm ine os pontos de m axim o, rninirno ou sela das funcoes abaixo, se existirerna) z = 9 - 2x + 4y - x 2 - 4y2 R: max. em (-1, 112) b) z >f(x,y):= e X cosy R : nenhumc) z = xy - 2x - y R: sela em (1 ,2) d) z:= x2 + .1"2 + x2y + 4 R : m in. ern (0,0) e sela em ()2,-1 )
2) Um a caixa em form a de paraJeJepipedo sem tam pa, tern volume igual a 500 em '>a) Ache as dim ensoes x, y e z da caixa de modo que sua area seja m inim a.b) Qual o valor da area m inima? R :a)x= IOcrn , y=l O cm ez= 5cm b)300cm2
3) Urn predio tem a form a de urn paralelepipedo com 12000 m' . Estirna-se que os'custos semestrais de m anutencao serao de R$ 6,00 por m' para 0 tapa R$ 2,00 porm 2 para as paredes frontal e traseira e R$ 1 ,00 pOI' 1 1 1 2 p ara as pared es laterals.a) A che as dirnensoes x, y e z do predio para que 0 custo sernestral de
m anutencao seja m .nimo. Sugestao: Custo= Iarea em m' )x(p reyo por m2).c) Qual e o custo sem estral de m anutencao estim ad o?R: a) x ~12 ,6m, y ~ 2 5 , 2 1 1 1 , Z ~ 3 7 , 8 1 1 1 . b) C = . 5715,76
DDDDDDD "lDD yx