Apostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia Civil
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INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES
Se |x-a|<ε valer para todo ε>0, arbitrariamente pequeno, dizemos que a variável x tem
um limite e tal limite vale a. Simbolicamente,
Os valores x1, x2 e x3
da variável x, estão na vizinhança ε de x=a. Isto é, os valores xi
estão no intervalo a-e < xi <a+e (i=1,2,3)
LIMITE DE UMA FUNÇÃO Seja Y=f (x) uma função definida nas vizinhanças do ponto a, ou, em certos pontos
desta vizinhança. A função tende a b, quando x tende a a, ou
e, para cada número positivo ε > 0, tão pequeno quanto se queira, pode-se indicar um
δ > 0 tal que, para todo x diferente de a, verificando | x -a | < δ , a desigualdade
| f(x) - l | < ε, fica satisfeita. Diz-se então que b é o limite de f(x).
UVA Cálculo Diferencial e Integral I Profª Cinira Fernandes Apostila 1
Limite de uma variável
a
a-ε a+ε
x
axax =→ lim,
bxfax
=→
)(lim
LIMITES NOS EXTREMOS DO DOMÍNIO
São os limites em que a variável independente x tende a assumir, em módulo,
valores muito grandes positivos ( + ∞ ) ou negativos (– ∞ ). Simbolicamente:
∞+→∞−→ x
limf(x) )(lim ouxfx
Ex: Calcule os limites das funções:
a) =
∞+→ xx
1 lim
b) =
∞−→ xx
1 lim
c) =
∞+→
3
xlim
x d) =
∞−→
3
xlim
x
OPERAÇÕES COM LIMITES Supondo que gefxf
ax
==→→ ax
g(x) lim )(lim , onde ( f e g são finitos), verificam-se
para os limites as seguintes propriedades:
a) gfxgxfxgxfaxaxax
+=+=+→→→
)(lim)(lim)]()([ lim
b) gfxgxfxgxfaxaxax
−=−=−→→→
)(lim)(lim)]()([ lim
c) gfxgxfxgxfaxaxax
×=×=×→→→
)(lim)(lim)]()([ lim
d) 0 )(lim)(lim)]()([ lim ≠÷=÷=÷→→→
gcomgfxgxfxgxfaxaxax
e) nn
ax
n
axfxfxf ==
→→)](lim[)]([ lim
Observação importante: Uma função f(x) definida em um intervalo I, com a ∈ I, é
contínua em x = a, se: )()(lim afxfax
=→
Exemplo: Verificar se a função 2
4)(
2
−
−=
x
xxf é contínua em x = 3.
Resolução: Cálculo de )3(f : 523
43)3(
2
=−
−=f
Cálculo do :)(lim3
xfx→
2
4lim
2
3 −
−
→ x
x
x =
)2(
)2)(2(lim
3 −
−+
→ x
xx
x = )2(lim
3+
→x
x = 5
Como )(lim3
xfx→
= )3(f , )(xf é contínua no ponto x = 3.
Exemplo: Verificar se a função 1
7)(
−
+=
x
xxf é contínua no ponto x = 1 A função é
descontínua em x = 1
Exemplo: Verificar se a função
>+
≤+=
3 22
3 2 )(
xsex
xsexxf é contínua em x =3.
Resolução: Cálculo de )3(f : Para x = 3, tem-se 523)3( =+=f . Contudo, como
8)(lim 5)(lim33
==+−
→→ xx
xfdediferenteéxf
Como não existe o limite em x = 3, a função é descontínua .
NOTAÇÕES SIMBÓLICAS OPERACIONAIS
a)
b)
c)
d) , �−∞�� =� +∞, �é���−∞, �éí���� ���� ∈ N*
e) f)
FORMAS INDETERMINADAS
As sete formas clássicas de indeterminação são:
∞−=∞−
∞+=∞+
k
k
<∞+
>∞−=−∞×
<∞−
>∞+=+∞×
0k se ,
0k se ,)(
0k se ,
0k se ,)(
k
k
0=∞±
k
∞+=+∞ )( n
<∞−
>∞+=
0k se ,
0k se ,
0
k
−∞=−∞+−∞
+∞=+∞++∞
)( )(
)( )(
00 1 ,0 ,0 , , ,0
0∞∞×∞−∞
∞
∞ ∞ e
Aparecendo uma destas formas no cálculo do limite, deve-se adotar técnicas com o
objetivo de encontrar uma expressão correlata à forma inicial, a fim de, substituí-la e
evitar tal situação. Exemplos:
a) = = = =
Como o resultado obtido é uma indeterminação, deve-se substituí-lo por uma
expressão correlata. A técnica adotada consiste em multiplicar e dividir a expressão
indicada pelo conjugado.
= =
= =
Observe que após a aplicação do primeiro procedimento, surge outra forma de
indeterminação. Este fato nos obriga a adotar outros recursos, ou seja: divide-se
numerador e denominador pela maior potência de x
= = =
lim�→� �� �� !� "�� �
�"�!
= = = 1 Conclusão: = 1
b) = =
= = = = 6
)32(lim 2xxx
x−++
∞→)32( 2
∞−+∞+∞ )3( ∞−+∞+∞ )( ∞−∞
)( ∞−∞
)32(
)32)(32(lim
2
22
xxx
xxxxxx
x +++
+++−++
∞→ )32(
)32(lim
2
22
xxx
xxx
x +++
−++
∞→
)32(
32lim
2xxx
x
x +++
+
∞→ )32(
32lim
2∞++∞+∞
+∞
∞→x ∞
∞
x
xxx
x
x
x )32(
32
lim2
+++
+
∞→
x
x
xx
x
x
x
xx
x
x
+++
+
∞→
222
2 32
32
lim
132
1
32
lim
2+++
+
∞→
xx
xx
1001
02
+++
+
11
2
+)32(lim 2
xxxx
−++∞→
3
9lim
2
3 −
−
→ x
x
x 33
932
−
−
0
0
3
9lim
2
3 −
−
→ x
x
x )3(
)3)(3(lim
3 −
−+
→ x
xx
x)3(lim
3+
→x
x)33( +
LIMITE EXPONENCIAL FUNDAMENTAL
1
1limou 1
1lim ex
ex
x
x
x
x=
+=
+
−∞→+∞→
Onde e é um número irracional, chamado número de Euler.
Façamos x variar de 1 até +∞.
21
111
1
=
+→=x 5,2
4
9
2
112
2
==
+→=x
36,227
64
3
113
3
==
+→=x 44,2
256
625
4
114
4
==
+→=x
59,210
10.59,2
10
1110
10
1010
≅≅
+→=x 705,2
100
11100
100
≅
+→=x
717,21000
111000
1000
≅
+→=x
ex =≅
∞++→+∞→
+∞
...71828182,21
1
Uma forma equivalente desse limite é:
ex x
x=+
→
1
0)1(lim
Exemplos. Calcule os limites indicados abaixo:
a) x
x x
4)1
1(lim ++∞→
b)x
x x)
11(lim −
−∞→ c) x
xx
5
0)1(lim −
−→
O conceito de continuidade
Ao definir Lim f(x), se x a, analisamos o comportamento da função f(x) para valores
de x próximos de a, mas diferentes de a. Vimos que Lim f(x) pode existir, mesmo que f
não esteja definida no ponto a. Se f está definida em x=a e Lim f(x) existe, ainda pode
ocorrer que este limite seja diferente de f(a). Uma idéia muito simples de função real
contínua é a de uma função que possa ser traçada em uma folha sem retirar a caneta do
papel. Caso se interrompa o gráfico da função e se comece em outro local do papel,
ocorre uma "descontinuidade". Em contextos avançados, observa-se que este critério é
errado, mas para o momento tal análise é suficiente.
Abaixo, mostramos um gráfico de uma função f contínua (sem interrupção) e um
gráfico de uma função g descontínua com uma série de problemas.
Na função descontínua g, observamos que: Não existe Lim g(x), se x b, pois os
limites laterais de g=g(x) são diferentes, isto é:
Limx b_ g(x) = s
Limx b+ g(x) = k embora g(b)=k.
1. Não existe Lim g(x) quando x c, pois
Limx c_ g(x) =
Limx c+ g(x) = embora g(c)=k.
2. Em x=d, temos
Limx d_ g(x) = Limx d+ g(x) = s e g(d)=s. Assim Limx d g(x)=s
que coincide com o valor de g no ponto x=d, isto é:
Limx d g(x) = g(d) = s
3. Em x=e, o valor que se obtém não é o esperado, aqui
Limx e_ g(x) = k = Limx e+ g(x) mas g(e)=z, logo
Limx e g(x) g(e)
Definição de função contínua:
Seja uma função f:|a,b| R e a<c<b. A função f é contínua no ponto c, se Lim f(x)
existe, quando x c e é igual a f(c), ou de uma forma mais concisa:
Limx cf(x)=f(c)
onde |a,b| é um intervalo da forma: (a,b), (a,b], [a,b) ou [a,b].
Se não existe Lim f(x) ou se existe Lim f(x) quando x c, mas Lim f(x) é diferente de
f(c), dizemos que a função f é descontínua em x=c.
Limites trigonométricos
Limites envolvendo infinito
a) b) c) d)
Limite de uma função polinomial para
Seja a função polinomial . Então:
OBSERVAÇÃO: Quando x →→→→ + ∞∞∞∞ ou x →→→→ – ∞∞∞∞, o
limite de um polinômio é igual ao limite do seu termo de maior grau.
Exemplos:
a) lim�→��2$� + $ − 3� & lim�→� 2$� & ∞
b) lim�→'��3$( − 4$� + 2$ + 1� & lim�→'� 3$( & −∞
c) lim�→'� +��,��'!����"�-. & lim�→'� ��,�� & lim�→'�2$ & −∞