Introducao Limites

Limites - parte 1

Wellington D. Previeropreviero@utfpr.edu.br

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Universidade Tecnologica Federal do Parana - UTFPRCampus Londrina

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Sumario

1 Introducao

2 Limites

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Introducao Limites

Numero de ouro

Exemplo 1: Numero de ouro

O numero de ouro (ou razao aurea) e uma constante realirracional denotada pela letra grega φ, em homenagem aoescultor grego Phideas.

φ =1 +√

52

≈ 1,618033988

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Numero de ouro

Exemplo 1: Numero de ouro

A sequencia da Fibonacci e gerada a partir da seguinte regra:os dois primeiros termos sao iguais a 1, e cada elemento, apartir do terceiro, e obtido somando-se os dois anteriores. SejaFn o n-esimo termo da sequencia.

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Numero de ouro

Exemplo 1: Numero de ouro

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Numero de ouro

Exemplo 1: Numero de ouro

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Numero de ouro

Exemplo 1: Numero de ouroNa ultima coluna da tabela anterior sugere que, a medidaque o valor de n aumenta, a razao Fn

Fn−1se aproxima (ou

tende) cada vez mais do numero de ouro.Notacao: n→∞⇒ Fn

Fn−1→ φ.

Notacao: limn→∞Fn

Fn−1= φ.

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Introducao

Exemplo 2: Problema da reta tangente

Dado grafico de uma funcao (ou equacao) e um pontoP(x0, y0), determine a reta tangente ao grafico em P.

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Introducao

Exemplo 2: Problema da reta tangente

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Introducao

Exemplo 2: Problema da reta tangente

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Introducao

Exemplo 2: Problema da reta tangente

rsec : reta secante que passa pelos pontos P e Q.

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Introducao

Exemplo 2: Problema da reta tangente

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Introducao

Exemplo 2: Problema da reta tangente

A medida que o ponto Q se aproxima de P, a reta secantese aproxima de uma posicao limite. Esta posicao limite edenotada pela reta tangente.Notacao: Q → P ⇒ rsec → rtg .Notacao: limQ→P rsec = rtg .

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Exemplo 3: Problema da area

Considere o grafico da funcao f (x) = x2. Determine a area (A)compreendida pelo grafico da funcao ao eixo x no intervalo[0,2].

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Introducao

Exemplo 3: Problema da area

Soma da area dos retangulos (n = 4): A4 = 1,75u.a.

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Introducao

Exemplo 3: Problema da area

Soma da area dos retangulos (n = 8): A8 = 2,1875u.a.

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Introducao

Exemplo 3: Problema da area

Soma da area dos retangulos (n = 16):A16 = 2,421875u.a.

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Introducao

Exemplo 3: Problema da area

Soma da area dos retangulos (n = 32):A36 = 2,542968751u.a.

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Exemplo 3: Problema da area

Soma da area dos retangulos (n = 64):A64 = 2,604492187u.a.

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Introducao

Exemplo 3: Problema da area

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Introducao

Exemplo 3: Problema da area

A medida que a quantidade de retangulo (n) aumenta, asoma da area se aproxima (ou tende) de um valor limite.Notacao: n→∞⇒ An → A.Notacao: limn→∞ An = A.

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Limites

Objetivo

Dada a funcao y = f (x), verificar qual o comportamento dafuncao quando a variavel independente x se aproxima de umvalor especıfico a.

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Limites

Exemplo 1

Qual o comportamento da funcao f (x) = x2 − x + 4 quando avariavel x se aproxima do valor 2?

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Limites: exemplo 1

x 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1f (x) 5,71 5,9701 5,997001 6,003001 6,0301 6,31

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Limites: exemplo 1

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Limites

Exemplo 1

Solucao:limx→2

(x2 − x + 4) = 2

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Limites

Exemplo 2

Sendo f (x) =x√

x + 1− 1, determine limx→0 f (x).

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Limites: exemplo 2

x -0,1 -0,01 -0,001 0,001 0,01 0,1f (x) 1,9486 1,99498 1,999499 2,0004998 2,004987 2,04880

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Limites: exemplo 2

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Limites

Exemplo 2

Solucao:limx→0

x√x + 1− 1

= 2

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Limites

Exemplo 3Deetermine limx→0 senπ

x .

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Limites: exemplo 3

x -0,1 -0,01 -0,001 0,001 0,01 0,1f (x) 0 0 0 0 0 0

limx→0

senπ

x= 0 ?

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Limites: exemplo 3

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Limites

Exemplo 3

Solucao:limx→0

senπ

x= @

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Limites

Exemplo 4

Determine limx→0senx

x .

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Limites: exemplo 4

x -0,1 -0,01 -0,001 0,001 0,01 0,1f (x) 0,99833 0,999983 0,99999983 0,99999983 0,999983 0,99833

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Limites: exemplo 4

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Limites

Exemplo 4

Solucao:limx→0

senxx

= 1

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