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Apontamentos de matemática – 6.º ano Sólidos Geométricos

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Poliedros

Poliedros são sólidos limitados apenas por superfícies planas.

As pirâmides e os prismas são alguns dos poliedros.

Por exemplo, a esfera e o cone não são poliedros.

Faces, vértices e arestas são os elementos de um poliedro.

Prismas

Prismas são poliedros limitados por duas superfícies iguais situadas em planos paralelos

(bases). As restantes faces são a faces laterais e são paralelogramos.

Um prisma reto tem as arestas laterais perpendiculares às arestas das bases e as faces laterais

são retângulos.

São retos o segundo, quarto e quinto prismas a contar da esquerda.

Um prisma oblíquo é aquele que não é reto.

São oblíquos o primeiro e terceiro prismas a contar da esquerda

Um prisma reto é regular quando as bases são polígonos regulares

É reto o quinto prisma a contar da esquerda

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Pirâmides

Pirâmides são poliedros com uma base (polígono) e com as faces laterais triangulares que se

unem num vértice.

Uma pirâmide é regular quando a base é um polígono regular e as faces laterais são iguais.

Classificação dos prismas e das pirâmides

Os prismas e as pirâmides classificam-se de acordo com o número de lados do polígono da

base.

Polígono da base Nome do prisma ou pirâmide

Triângulo triangular

Quadrilátero quadrangular

Pentágono pentagonal

Hexágono hexagonal

Heptágono heptagonal

Octógono octogonal




Exercícios

Observe as representações dos seguintes sólidos geométricos.

a) Indique, usando as letras, todos os sólidos que são:

Poliedros ________________________ Não poliedros ____________________

Prismas ________________________ Pirâmides _______________________

b) Escreva o nome dos sólidos:

E) _________________________________ F) ___________________________________

G) _________________________________

c) Complete a tabela seguinte relativa aos sólidos representados.

Sólido Nome do sólido Número

de faces

Número

de arestas

Número

de vértices Polígono da base

A

B

C

D

d) Suponha que vai construir o sólido D. Para isso irá recortar, em cartolina, as faces que

formam esse sólido, e que têm a forma de polígonos. Indique quantos e quais os polígonos

precisas de recortar.

_____________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

e) Indique (usando as letras) um sólido que tenha:

Uma base triangula _____ Duas superfícies circulares _____

Bases quadradas _____ Oito faces _____

Cinco vértices _____ Dez arestas_____




Resolução

a) Poliedros: A, B, Cm D, F e G Não poliedros: E

Prismas: A, D, e F Pirâmides: B, C e G

b) E) Cilindro F) Prisma quadrangular G) Pirâmide pentagonar

c)

Sólido Nome do sólido Número

de faces

Número

de arestas

Número

de vértices Polígono da base

A Prisma quadrangular 6 12 8 Quadrilátero

B Pirâmide triangular 4 6 4 Triângulo

C Pirâmide quadrangular 5 8 5 Quadrilátero

D Prisma hexagonal 8 18 12 Hexágono

d) São necessários dois hexágonos e seis quadriláteros

e) Uma base triangular: B Duas superfícies circulares: E Bases quadradas: F

Oito faces: D Cinco vértices: C Dez arestas: G




Relação entre os elementos dos prismas e das pirâmides e o polígono da base

Num prisma, o número de:

- vértices é igual ao dobro do número de lados do polígono da base;

- arestas é igual ao triplo do número de lados do polígono da base;

- faces é igual ao número de lados do polígono da base mais dois.

Numa pirâmide, o número de:

- vértices é igual ao número de lados do polígono da base mais um;

- arestas é igual ao dobro do número de lados do polígono da base;

- faces é igual ao número de lados do polígono da base mais um;

- vértices é igual ao número de faces.

Nota: As relações anteriores devem ser compreendidas com base na observação de sólidos

geométricos.

Relação de Euler

Num poliedro convexo 2A V F , sendo

A – número de arestas, V – número de vértices, F - número de faces

Exemplo: Um cubo tem 12 arestas, 8 vértices e 6 faces.

Podemos verificar que 𝐴 + 12 = 8 + 6

Poliedros convexos e côncavos

Um poliedro diz-se convexo quando qualquer segmento que reta que une quaisquer dos seus

pontos está nele contido. Se não for convexo, o poliedro diz-se côncavo.

Os sólidos B e C são convexos. Os sólidos A e D não são convexos (são côncavos)

Os sólidos B e C são convexos. Os sólidos A e D não são convexos (são côncavos)




Exercícios

1. O triângulo representado é a base de uma pirâmide.

a) Indique:

O nome da pirâmide _______________________________________

O número de: faces _____; arestas _____ ; vértices _____

b) Explique como determinou o número de arestas.

_____________________________________________________________________________

c) Se o triângulo representado fosse a base de um prisma, quantas arestas teria? ___________

Mostre como chegou à resposta

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

2. Na figura está representada a superfície lateral de um prisma.

a) Qual é o polígono da base do prisma?

_______________________________

b) Qual é o nome do prisma?

________________________________

c) Mostre que uma pirâmide não pode ter o mesmo número de arestas que esse prisma tem.

_________________________________________________________________________

3. Qual é o polígono da base de:

a) Um prisma com 18 arestas? _______________________________

b) Um prisma com 10 vértices? _______________________________

c) Um prisma com 6 faces? ___________________________________

d) Uma pirâmide com 12 arestas? _____________________________

e) Uma pirâmide com 6 vértices? ______________________________

f) Uma pirâmide com 4 faces? _________________________________




4. Responda às questões seguintes apresentando a explicação de como chegou à resposta.

Nota: As questões seguintes referem-se a prismas e pirâmides

a) Que sólido geométrico tem duas bases e nove arestas?

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

b) Pode existir um sólido com oito vértices e doze arestas?

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

c) Quantas arestas tem um sólido geométrico com cinco vértices?

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

d) Qual é o sólido cujas faces laterais são quadriláteros e tem dez vértices?

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

5. Pode existir:

a) Um prisma com 4 faces? ______________________________________________

b) Um prisma com 9 vértices? ____________________________________________

c) Uma pirâmide com 14 arestas? _________________________________________

d) Uma pirâmide com 17 arestas? _________________________________________

e) Um prisma com 21 arestas? ____________________________________________

6. Mostre que um poliedro convexo com 150 arestas e 100 vértices tem 52 faces.

7. A tabela refere-se a poliedros convexos. Complete-a e mostre como chegou aos resultados.

Faces Vértices Arestas

Sólido 1 7 10

Sólido 2 10 26

Sólido 3 31 60




Resolução

1. O triângulo representado é a base de uma pirâmide.

a) Pirâmide triangular. Tem 4 faces, 6 arestas e 4 vértices.

b) Três arestas na e base e três laterais,

Ou, o número de arestas é o dobro de número de lados da base: 3 × 2 = 6

c) Teria 9 arestas, três em cada base e três laterais.

Ou, o número de arestas é o triplo de número de lados do polígono da base: 3 × 3 = 9

2. Na figura está representada a superfície lateral de um

prisma.

a) Pentágono.

b) Prima pentagonal.

c) O prisma tem 15 arestas e o número de arestas de uma pirâmide é par, logo não há

pirâmides com 15 arestas.

3. Qual é o polígono da base de:

a) Hexágono. Seis arestas em cada base e seis laterais

b) Pentágono. Cinco vértices em cada base.

c) Quadrilátero. Tem duas bases e quatro faces laterais.

d) Hexágono. Seis arestas na base e seis laterais.

e) Pentágono. Cinco vértices na base mais um.

f) Triângulo. Uma base e três faces laterais.

4. Responda às questões seguintes apresentando a explicação de como chegou à resposta.

Nota: As questões seguintes referem-se a prismas e pirâmides

a) Se tem duas bases é um prisma. Das nove arestas, são três em cada base e três laterais.

Então o polígono da base é um triângulo. É um prisma triangular.




b) Sim, é o prisma quadrangular.

c) O número mínimo de vértice de um prisma é seis, logo o sólido é uma pirâmide com quatro

vértices na base e um oposto à base. É a pirâmide pentagonal que tem cinco arestas na base e

cinco laterais. R: 10 arestas.

d) Se as faces laterais são quadriláteros é um prisma e se tem dez vértices são cinco em cada

base, que é um pentágono. R: Prisma pentagonal.

5. Pode existir:

a) Não, o número mínimo de faces de um prisma é cinco, no prisma triangular.

b) Não, o número de vértices de um prisma é par.

c) Sim, é a pirâmide heptagonal.

d) Não, o número de arestas de uma pirâmide é par.

e) Sim, o prisma heptagonal.

6. Usando a relação de Euler, 𝐴 + 2 = 𝐹 + 𝑉

150 + 2 = 100 + 52

152 = 152

7. A tabela refere-se a poliedros convexos. Complete-a e mostre como chegou aos resultados.

Usa-se a relação de Euler, 𝐴 + 2 = 𝐹 + 𝑉

Sólido 1

𝐴 + 2 = 𝐹 + 𝑉

𝐴 + 2 = 7 + 10

𝐴 + 2 = 17

𝐴 = 17 − 2

𝐴 = 15

Sólido 2

𝐴 + 2 = 𝐹 + 𝑉

26 + 2 = 10 + 𝑉

28 = 10 + 𝑉

𝑉 = 28 − 10

𝑉 = 18

Sólido 3

𝐴 + 2 = 𝐹 + 𝑉

60 + 2 = 𝐹 + 31

62 = 𝐹 + 31

𝐹 = 62 − 31

𝐹 = 31

Faces Vértices Arestas

Sólido 1 7 10 15

Sólido 2 10 18 26

Sólido 3 31 31 60


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