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Apoio à Decisão Multicritério

Lupércio F. Bessegato

PUC Minas – IEC2007

Roteiro

1. Introdução2. Conceitos e Princípios Básicos3. Soma Ponderada4. Produto Ponderado5. Soma Ponderada Modificada6. Método Electre I

Conceitos e Princípios Básicos

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Análise Multicritério

• Ferramenta de apoio à decisão com dois componentes:√ Construção do modelo√ Gestão do processo

Modelo

Materializado por conjunto de algoritmos associados a objetivos.

ModeloProcesso

deDecisãoLegitima

Influencia

Passos Para Construção

1. Definição de conjunto de alternativas para avaliação

2. Definição de critérios de avaliação dependentes de parâmetros (impactos, etc.)

3. Ponderação e agregação dos critérios de acordo a modelo matemático

3

Ferramenta Monobjetivo

Em geral são matematicamente bem estruturadas, mas nem sempre representam bem a realidade, pois a comparação de alternativas possíveis raramente faz-se de acordo a um só critério.

Ferramentas Multicritério

• Utilizadas em situações em que estádisponível mais de uma opção de sistema, associados a uma mesma função de desempenho

• Vantagens:√ Melhora transparência do processo de decisão√ Define e coloca em evidência a

responsabilidade do decisor.

Conceitos (1)

• Ação: Elementos para comparação(política, programa, projeto, alternativa, etc.)

• Critérios: Representam as conseqüências das ações e permitirão julgamento

• Avaliação: Determinação da valia da ação, através de comparação com padrão de referência.

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Conceitos (2)

• Análise multicritério: Busca explicitar critérios para interpretar distintas conseqüências de ação

• Agregação: Operação para obtenção de síntese através de algoritmo

• Análise de sensibilidade: Observação da variação do resultado final através de variação de elemento do sistema. (dados, limites, pesos, etc.)

Proposição de ações potenciais

Proposição de critérios

Avaliação de ações potenciais

Proposição de método de agregação

Fixação dos valores dos parâmetros

Proposição de análise de sensibilidade

Aplicação do método de agregação

Recomendação

Escolha das ações potenciais

Escolha dos critérios

Validação das avaliações

Aceitação do método de agregação

Escolha das análises de sensibilidade

Ponderação dos critérios

Decisão

Fac

ilita

dor D

ecisor

Estudos de base

Etapas do Processo de Decisão

• Formulação do Problema:Sobre o que se quer decidir

• Determinação de conjunto de ações potenciais• Elaboração de família coerente de critérios:

Para avaliação dos efeitos da ação (impacto)• Determinação de pesos dos critérios• Agregação de critérios• Recomendação

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Escala dos Critérios

• Ordinal:

Permite apenas a aplicação das relações >, <, =.

• Cardinal:

Permite a aplicação das 4 operações aritméticas básicas

Família Coerente de Critérios

• Exaustividade:Consideração de todos os pontos de vista

• Não redundância:Considerar cada ponto de vista apenas uma vez

• Coerência:A é preferida a B se suas avaliações são iguais com exceção de pelo menos um critério em que a avaliação de A é melhor que a de B.

Pesos dos Critérios

• Exprimem, de alguma maneira, a importância relativa a cada critério;

• Ponderação de critérios pode ser realizada por:√ Hierarquização de critérios√ Distribuição de pesos√ Regressão múltipla√ Etc.

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Agregação de Critérios

Avaliação dos diferentes critérios para cada ação, segundo um modelo matemático definido.

• Agregação total:Ações comparadas conjuntamente em operação única

• Agregação parcial:Comparação par a par das ações, estabelecendo relações de superação entre elas

Métodos de Análise Multicritério

• Soma ponderada• Produto ponderado• Soma ponderada modificada• Método Electre I

Notação

g: critérioa: açãog(a): avaliação de uma açãoPreferências: Obedecem a uma ordemg(a1) > g(a2) ou g(a1) < g(a2)

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Definições

• Matriz de avaliações(tabela de performances)

√ linhas correspondem às ações

√ colunas correspondem aos critérios de avaliação

Soma Ponderada

Objetivo

Atribuir peso para cada critério e calcular, para cada ação, a soma do produto do peso pelo critério de avaliação

8

Metodologia

• Matriz de avaliação

• Notação:ai: i-ésima açãoCj: j-ésimo critériopj: peso do critério jEij: avaliação do critério j para a ação i

mnnnn

m

m

m

m

EEEa

EEEaEEEapppCCC

,2,1,

,22,21,22

,12,11,11

21

21

LLLLLL

Soma Ponderada

• Soma ponderada da ação i:

• Se a soma dos pesos for 1:

∑

∑

=

== m

jj

m

jjij

i

p

pES

1

1

∑=

=m

jjiji pES

1

Critério de Decisão

• A melhor opção entre as ações será aquela que apresentar o maior (ou menor) valor

• É necessário que as avaliações tenham o mesmo sentido em todos os critérios(quanto maior melhor ou quanto menor melhor)Para ajustar: multiplicar por -1

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Exemplo #1

Escolha de equipamento para realizar determinada atividade

• Critérios ambientais para escolha:Consumo energia (kWh/ano) - 80% Produção de resíduos (ton/ano) - 20%

• Critério de Escolha:√ Consumir a menor quantidade de energia√ Produzir a menor quantidade de resíduo

Solução

20.00040.000C

10.00080.000B

5.000100.000A

20%80%

ClassificaçãoSoma Ponderada

Resíduos(ton/ano)

Energia(kWh/ano)

36.000

66.000

81.000

1

2

3

Limitação

• Sensibilidade à mudança de escala

• Compensação entre critérios

10

Sensibilidade à Escala

20.000.00040.000C

10.000.00080.000B

5.000.000100.000A

20%80%

ClassificaçãoSoma Ponderada

Resíduos(kg/ano)

Energia(kWh/ano)

4.032.000

2.064.000

1.080.000

3

2

1

A mudança de escala influencia o resultado da soma ponderada

Problema da sensibilidade pode ser resolvido com Soma Ponderada Modificada

Compensação entre Critérios

Ação com avaliação muito negativo sob um critério, pode ser compensada por avaliação mais positiva em outros critérios

ExemploComparação entre alunos em 4 disciplinas

10,07,07,07,0Aluno 2

6,07,57,57,5Aluno 1

1334Peso

4321 ClassificaçãoSoma Ponderada

Matéria

7,3

7,42

1

10,07,07,07,0Aluno 2

4,07,08,08,0Aluno 1

1334Peso

4321 ClassificaçãoSoma Ponderada

Matéria

7,3

7,4

2

1

11

Compensação entre critérios

A distorção provocada pela compensação entre critérios pode ser amenizada com o Produto Ponderado

Soma Ponderada - Comentários

• Tem deficiências graves quando os critérios são de caráter geral

• Instrumento cômodo quando se trata de critérios diretamente associados a fenômeno observável ou mensurável

Produto Ponderado

12

Notação

• Matriz de avaliação

• Notação:ai: i-ésima açãoCj: j-ésimo critériopj: peso do critério jEij: avaliação do critério j para a ação i

mnnnn

m

m

m

m

EEEa

EEEaEEEapppCCC

,2,1,

,22,21,22

,12,11,11

21

21

LLLLLL

Produto Ponderado

• Produto ponderado da ação i:

• Se a soma dos pesos for 1:

( ) ∑

=

= ∏ j

jj

pm

j

piji EP

1

1

( )∏=

=m

j

piji

jEP1

Produto Ponderado – Comentários

• Utiliza-se o zero (cardinal ou ordinal) para eliminar ação indesejada;

• Soma ponderada atenua o efeito de valores extremos

• Produto ponderado reforça a influência de valores extremos

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Produto Ponderado – Exemplo

1,000,001,00D0,800,800,01C

0,500,950,05B0,500,500,50A60%20%20%

321 Produto Ponderado

Soma Ponderada

Critério

0,800,640,50

0,50

0,000,330,36

0,50

Soma Ponderada Modificada

Notação

• Matriz de avaliação

• Notação:ai: i-ésima açãoCj: j-ésimo critériopj: peso do critério jEij: avaliação do critério j para a ação i

mnnnn

m

m

m

m

EEEa

EEEaEEEapppCCC

,2,1,

,22,21,22

,12,11,11

21

21

LLLLLL

14

Metodologia

• Em cada critério, identificar a ação de referência (Eref,j)(Ex.: pior desempenho)

• Calcular o desvio relativo entre a avaliação de cada ação e a avaliação de referência

jref

ijji E

ECadesvio

,

),( =

Metodologia (2)

• A avaliação global de cada ação dáse pela soma ponderada dos desvios resultantes para todos os critérios

• Maximiza-se (ou minimiza-se) esta soma.

∑=

m

jjji pCadesvio

1

).,(

Soma Ponderada Modificada –Comentários

• Facilita a agregação e interpretação ao associar os diferentes critérios com avaliações entre 0 e 1;

• Os aspectos de compensação de critérios permanecem, como no caso da soma ponderada clássica

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Método Electre I

Motivação

• Baseia-se em relações de superação entre ações

• Processo de análise de superação parcial, comparando as ações par a par

• Como vantagem, não postula a existência de ótimo absoluto.

Indiferença, Preferência e Incomparabilidade

Indiferença

Preferência

Incomparabilidade

incapacidade de distinguir

dilema

15 g 16 g

16

Relação de Superação

• ai é indiferente a ak:Há razões claras que justifiquem uma equivalência entre as ações

• ai é preferível a ak:Há razões claras que justifiquem uma preferência significativa em favor de uma das ações

• ai é incomparável a ak:Inexistência de razões claras que justifiquem uma das duas situações anteriores

Superação

• ai é supera ak:ai é pelo menos tão boa quanto ak segundo a maior parte dos critérios e não existem critérios segundo os quais ai é muito pior que ak.

Estudo de CasoObjetivo:

Definição de local para implantação de aterro sanitário

Ações potenciais:7 áreas possíveis, considerados 5 critérios para a tomada de decisão.

Critério de Escolha:Maximização: bom desempenho corresponde a valor elevado.

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Critérios Ambientais para Escolha

8%Qualitativo

(maior o interesse menor a avaliação)

Possibilidade de outros usos para a área(esporte, turismo, proteção ao patrimônio, etc.)

12%Qualitativa(0 a 10)

Residentes atingidos pelo impacto(direção dos ventos, distância e topografia (barulho), ângulo de visão, etc.)

10%Qualitativa

(0 a 10)10 = área ideal

Aptidão da área para suportar poluição(permeabilidade do solo, profundidade lençol freático, etc.)

45%Valores negativosCusto do transporte até a área ($R x ton/ano)

25%Valores negativosPreço do terreno ($R/m2)

PesoEscalaCritério

Matriz de Avaliação

138,57-982-45a7

214,05-734-80a6

167,58-1.321-30a5

208,06-596-60a4

175,54-413-100a3

244,52-269-150a2

183,55-284-120a1

8%12%10%45%25%

Possibilidade outros Usos

Residentes Atingidos

Estado Ambiental

Transporte($R.km/ano)

PreçoTerreno($R/m2)

Passos da Metodologia

• Estabelecer matriz de avaliação:• Transformar os valores cardinais em

ordinais• Estabelecer a matriz de avaliação

transformada• Definir condições de concordância• Definir as condições de discordância• Estabelecer relação de superação• Localização do núcleo

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Transformação da Escala

• Para evitar influência da unidade adotada

-20

20

30 150

Preço do Terreno

Esc

ala

Tra

nfor

mad

a

Y = A X + BAxyB

xxyy

A

−=

−−

=minmax

minmax

Transformação Escala – Comentários

• Amplitude: comprimento da escala transformada, seu valor médio deve ser zero, o limite superior seja positivo e o inferior, negativo

• Recomenda-se relação entre a amplitude e os pesos atribuídos a cada critério, evitando-se amplitudes fracionárias

Correção Escala

Amplitude 40 60 20 30 10Máximo 20 30 10 15 5Mínimo -20 -30 -10 -15 -5

A 0,33 0,06 3,33 6,00 0,91B 30,00 45,34 -16,67 -36,00 -16,82

P r e ç oT e r r e n o

C u s t o d oTranspor te

E s t a d oA m b i e n t a l

Res iden tesAt ing idos

Poss ib i l i dadesd e U s o

($R/m 2 ) ( $ R x k m / a n o ) (Qual i ta t ivo) (Qual i ta t ivo) (Qual i ta t ivo)P e s o 2 5 % 45% 1 0 % 12% 8 %

Crit

ério

19

Matriz de Avaliação

-5157-1115a7

2-12033a6

-2910-3020a5

11231110a4

-1-3-322-3a3

5-9-1030-20a2

0-15029-10a1

8%12%10%45%25%

Possibilidade outros Usos

Residentes Atingidos

Estado Ambiental

Transporte($R.km/ano)

PreçoTerreno($R/m2)

Condições de Concordância

• gj(ai): avaliação do critério j da ação ai

• pj: peso do critério j• J+(ai, ak) = gj(ai) > gj(ak)

conjunto de critérios para os quais ai é preferida à ak

• J=(ai, ak) = gj(ai) = gj(ak)

conjunto de critérios para os quais ai é preferida à ak

• J-(ai, ak) = gj(ai) < gj(ak)conjunto de critérios para os quais ai é preferida à ak

Condições de Concordância (2)

soma dos pesos dos critérios do conjunto J+(ai, ak)

soma dos pesos dos critérios do conjunto J=(ai, ak)

soma dos pesos dos critérios do conjunto J-(ai, ak)

∑+

=+

Jjki paaP ),(

∑=

==

Jjki paaP ),(

∑−

=−

Jjki paaP ),(

20

Índice de Concordância

P = P+(ai, ak) + P=(ai, ak) + P-(ai, ak)

Conjunto de concordância:

J = J+(ai, ak) U J=(ai, ak)

PaaPaaP

C kikiik

),(),( =+ +=

Exemplo

J+(a1, a6)= {2} => P+(a1, a6)= 45%

J=(a1, a6)= {3} => P=(a1, a6)= 10%

J-(a1, a6)= {1, 4, 5} => P-(a1, a6)= 25+12+8

= 45%

Conjunto de concordância: {2, 3}

55,0100

104516 =

+=C

Teste de Concordância

A partir de qual valor dos índices Cik a concordância com a hipótese de superação parece suficientemente forte para admitir esta hipótese como verdadeira?

21

Teste de Concordância (2)

• Limite de concordância (c):Mínimo de concordância necessário para que a proposição “ai supera ak” não seja rejeitada

• Teste de concordância: Cik = c

• Valores de c podem ser fixados entre 0,5 e 1.

valores abaixo de 0,5 não tem sentido

Matriz de Concordância

-0,470,570,470,470,470,47a7

0,53-0,530,080,430,350,45a6

0,430,47-0,350,470,470,47a5

0,530,920,65-0,550,470,55a4

0,530,570,530,45-0,470,37a3

0,530,650,530,530,53-0,65a2

0,530,550,530,450,630,35-a1

Ação

a7a6a5a4a3a2a1

Limite de concordância: c = 0,65a2 supera a1a2 supera a6a4 supera a5a4 supera a6

Condições de Discordância

• Procuram-se os conjuntos de discordância J-(ai, ak) para cada par de ações (ai, ak).

• Calcula-se a diferença entre a avaliação da ação ak (g(ak)) e a avaliação da ação ai (g(ai)) para cada critério discordante

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Índice de Discordância (Dik)

• dj*: amplitude da escala do critério de máxima

discordância

• O índice oferece a medida da oposição manifestada pelo(s) critério(s) discordante(s) àaceitação da hipótese de superação

∈−

∅== −

−

),(,)()(max{

),(,0

* kij

ijkj

ki

ik aaJjagag

aaJseD

δ

Teste de Discordância

Até que ponto a oposição dos critérios discordantes é tolerável com relação àhipótese de superação?

Teste de Discordância (2)

• Limite de discordância (d):Máximo de discordância tolerado para que a proposição “ai supera ak” não seja rejeitada

• Teste de concordância: Dik = d

• Valores de c podem ser fixados entre 0 e 0,5.

valores acima de 0,5 perdem o significado

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Exemplo

J-(a1, a2)= {2, 4, 5}

g2(a2) – g2(a1) = (30) – (29) = 1

g4(a2) – g4(a1) = (-9) – (-15) = 6

g5(a2) – g5(a1) = (5) – (0) = 5

Max{gj(a2) – gj(a2)} = 6

d*= d4 = 30

Índice de discordância: 20,0306

12 ==D

Matriz de Discordância

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7

a1 - 0,20 0,40 0,90 0,75 0,33 1,00a2 0,25 - 0,42 0,75 1,00 0,58 0,88a3 0,12 0,14 - 0,50 0,58 0,17 0,46a4 0,30 0,31 0,17 - 0,25 0,09 0,13a5 0,99 1,00 0,86 0,69 - 0,56 0,32a6 0,43 0,44 0,31 0,80 0,70 - 0,90a7 0,66 0,68 0,54 0,37 0,13 0,24 -

Açã

o

Relação de Superação

Uma ação ai supera a ação ak se os critérios para os quais ai é ao menos tão boa quanto ak são suficientemente importantes e se as considerações dos critérios restantes não oferecem uma oposição muito vigorosa a esta proposição

Ou seja: Cik = c e Dik = d

24

Relação de Superação

Limite de discordância: 0,35

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7

a1 - 0,20 0,40 0,90 0,75 0,33 1,00a2 0,25 - 0,42 0,75 1,00 0,58 0,88a3 0,12 0,14 - 0,50 0,58 0,17 0,46a4 0,30 0,31 0,17 - 0,25 0,09 0,13a5 0,99 1,00 0,86 0,69 - 0,56 0,32a6 0,43 0,44 0,31 0,80 0,70 - 0,90a7 0,66 0,68 0,54 0,37 0,13 0,24 -

Açã

o

Limite de concordância: 0,5

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7

a1 - 0,35 0,63 0,45 0,53 0,55 0,53a2 0,65 - 0,53 0,53 0,53 0,65 0,53a3 0,37 0,47 - 0,45 0,53 0,57 0,53a4 0,55 0,47 0,55 - 0,65 0,92 0,53a5 0,47 0,47 0,47 0,35 - 0,47 0,43a6 0,45 0,35 0,43 0,08 0,53 - 0,53a7 0,47 0,47 0,47 0,47 0,57 0,47 -

Açã

o

Relação de Superação (2)

a1Sa6; a2Sa1;a3Sa6a4Sa1, a4Sa3, a4Sa5, a4Sa6, a4Sa7

a7Sa5

-010000a7

0-00000a6

00-0000a5

111-101a4

0100-00a3

00000-1a2

010000-a1

Ação

a7a6a5a4a3a2a1

Gráfico de Superação

a1Sa6; a2Sa1;a3Sa6

a4Sa1, a4Sa3, a4Sa5, a4Sa6, a4Sa7,a7Sa5

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

25

Núcleo

• Para condições de concordância pouco exigentes (c=0,50) as melhores soluções do problema são as ações a2 e a4

• Para desempatar, são necessários estudos mais detalhados para elas

Referências

Bibliografia Recomendada

• Maystre et Bollinger (Lausanne)Aide à la négociation multicritère

• Maystre, Pictet et Simos (Lausanne) Méthodes multicritères ELECTRE