APLICAÇÕES DA DERIVADA: MÁXIMOS E MÍNIMOS, TEOREMA DE LAGRANGE, MOVIMENTO RETILÍNEO E MÉTODO DDE NEWTON

Idéia inicial As idéias preliminares sobre o conceito de derivadas foram introduzidas primeiramente em problemas

físicos ligados ao estudo dos movimentos e aos poucos foram incorporados a outras áreas do

conhecimento.

Nas Ciências Sociais, por exemplo, a Estatística é, hoje em dia, ferramenta extremamente útil para

qualquer profissional da área. Até para investir na bolsa de valores existem teorias matemáticas que

possibilitam maximizar o lucro auferido.

Em Economia e Administração o conceito de derivadas e utilizado principalmente no estudo de

gráficos de funções, determinação de máximos e mínimos e calculo de taxas de

variações de funções.

Numa sociedade moderna em que a "eficiência" é um dos objetivos maiores, maximizar benefícios e

minimizar perdas é essencial. Quando se fala em maximizar ou minimizar algo, invariavelmente, algum

modelo matemático deve entrar em jogo.

Maximizar benefícios pode significar utilizar de maneira ótima os recursos de um hospital de tal jeito

que o maior número de pacientes possa ser beneficiado.

A derivada pode ser interpretada como taxa de variação, assim a derivada pode representar conceitos como taxa de crescimento populacional, custo marginal do produtor, taxa de inflação ou taxa com o qual os recursos naturais estão se esgotando.

Vimos, na seção anterior, que a derivada de uma função pode ser interpretada como o coeficiente

angular da reta tangente ao seu gráfico. Nesta, vamos explorar este fato e desenvolver técnicas

para o uso de derivadas para auxiliar a construção de gráficos. Estão incluídas, também, as

aplicações da derivada a problemas típicos envolvendo máximos e mínimos, taxas de variação e

cálculo de limites, que tem aplicações práticas nos mais diversos campos, como geometria,

engenharia, física, biologia e economia. Na verdade, podemos resumir tudo isto dizendo que a

derivada constitui uma ferramenta poderosa para o estudo e análise de funções.

MÁXIMOS E MÍNIMOS: APLICAÇÕES

Dentre as importantes aplicações de máximos e mínimos destacamos os problemas que têm na sua estrutura o valor máximo ou mínimo de algumas variáveis tais como área, volume, força, potência, tempo, lucro ou custo. Na prática, estes problemas são bastante abrangentes, que vão desde problemas geométricos, até problemas que dizem respeito à física, engenharia, biologia, negócios e economia.

1

DEFINIÇÃO

. Considerando uma função f dada por y = f(x), continua e definida num intervalo I e x0 um

elemento desse intervalo, representada no gráfico.

y

f(x)

f(x0)

x0 x x

. Se à variável x for acrescentado a partir do ponto x0, teremos: x0 + = x ou = x - x0,

logo, à função f(x) também será acrescentado a partir de f(x0).

Então f(x0) + = f(x) ou = f(x) – f(x0)

. Chamamos de razão incremental da função f(x), a partir de x0, a razão entre esses acréscimos

e .

. Dizemos que a função f(x) é derivável no ponto x0, se o limite da razão incremental

ou existir e for finito.

. O valor desse limite é denominado derivada da função f(x) no ponto de abscissa x0.

. Nesse caso, a derivada da função f(x) no ponto x0 será determinada pelo valor desse limite e

representado por f´(x0) =

EXEMPLOS:

a) Calcule a derivada da função f(x) = x2 no ponto x0 = 3

b) Determine a derivada da função f(x) = 2x3 – 1 no ponto x0 = -2

Valores críticos e Máximos e Mínimos relativos

2

Os valores críticos para uma função y = f(x) são valores de x, para os quais a função é definida e nos quais y’ = 0.

CLASSIFICAÇÃO DOS PONTOS EM QUE A DERIVADA É NULA ( pontos críticos)

1. Critério da Primeira Derivada

Consideremos a função f(x) , definida e derivável num intervalo [a, b] , e seja x0 [a, b] uma das raízes de f’(x). Isto é f’(x0 ) = 0.

Para sabermos se em x0 temos pontos de máximo ou de mínimo relativo, vamos estudar o sinal de f’(x) numa vizinhança V conveniente de x0 :

X0 é abscissa do ponto máximo relativo se, para todo x V, tivermos:

Obs: concavidade para baixo

X0 é abscissa do ponto de mínimo relativo se, para todo x V, tivermos:

Obs: concavidade para cima

X0 não é extremante da f(x) se, para todo x V, tivermos:

ou

3

Nesse caso dizemos que x0 é a abscissa de um ponto de inflexão horizontal de f(x) e que f(x0) não é extremo da função.

ObS:PONTOS DE INFLEXÃO- São pontos que não são considerados nem máximos nem mínimos.- quando a derivada se anula no ponto mas não muda de sinal;- são pontos onde a concavidade muda de sentido;- as setas indicam a concavidade da curva ( fazer ex. )

RESUMINDO:1º. Dada a função f(x), calcula-se f’(x);

2º resolve-se a equação f ’ (x) = 0 ;

3º Sendo x0 uma das raízes de f’ (x), estuda-se o sinal de f’(x) em x0:- Se passar de positiva a negativa, há ponto de máximo;- se passar de negativo a positivo, há ponto de mínimo;- nos demais casos há inflexão.

EXEMPLOS:

1) Estudar no que se refere a máximo e mínimo, a função y = x2

2) Dada a função f(x) = x3 – 3x , determinar e classificar os pontos máximos e ou mínimos.

2. Critério da 2ª Derivada Esse critério é possivelmente o mais útil para máximos e mínimos

Se uma função f tem 2ª derivada f’’ , podemos usar f’’ para determinar os intervalos de concavidade da função.

4

Obs: f’’ mede a taxa de variação da inclinação f ’(x), da reta tangente ao gráfico de f no ponto ( x, f(x) ).

A relação entre concavidade e coeficiente angular da tangente determina uma caracterização simples de concavidade em termos de sinal da derivada segunda.

Supor que a derivada segunda f” seja positiva num intervalo . Logo , a derivada primeira f’ é crescente no intervalo. Mas f ‘ é o coeficiente angular da tangente, portanto é crescente e a curva do gráfico de f tem concavidade para cima no intervalo.

Por outro lado, se f” é negativo no intervalo, então f’ é decrescente. Logo, o coeficiente angular da tangente é decrescente e a curva do gráfico de f tem concavidade para baixo no intervalo.

SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA DERIVADA

– se f”(x) > 0, quando a < x < b f tem concavidade para cima em a < x < b

- se f” (x) < 0, quando a < x < b f tem concavidade para baixo em a < x < b.

CONCLUSÃO

Dada uma função f(x) contínua e cuja f ‘ (x) também derivável no intervalo I = ] a, b [ .

Se x0 I , tal que f ‘ (x0) = 0, então:

- se f” (x0) < 0 x0 é ponto máximo relativo de f(x);

- se f” (x0) > 0 x0 é ponto de mínimo relativo de f(x).Se ocorrer também que a derivada segunda se anula pra x = x0, isto é, f”(x0) = 0, não podemos afirmar que x0 é abscissa de um ponto de máximo, de mínimo ou de inflexão. Nesse caso usamos o primeiro critério.

5

RESUMINDO:

1º. Encontra-se os valores críticos resolvendo f ‘(x) = 0 ;

2º. Para um valor crítico x = x0:a) F(x) possui um valor máximo ( concavidade p/ baixo) se f” (x0) < 0;

b) F(x) possui valor mínimo concavidade p/ cima ) se f” (x0) > 0

Obs: O teste é inconcludente se f”(x0) = 0 ou se torna infinita, nesse caso, o teste da derivada primeira tem que ser usado.

EXERCÍCIO:

1) Determinar os pontos de máximo ou de mínimo relativos da função f(x) = 3x4 – 12x2 + 5, definida em R, usando o critério da segunda derivada.

f’(x) = 12x3 – 24xf” (x) = 36x2 - 24

subst as raízes de f’(x) na segunda derivada

xi = 0 ; x2 = e x3 = -

para x = 0 f” (0) = -24 < 0 abscissa de ponto máximo ( 0, 5 )

para x = f” ( ) = 48 > 0 abscissa de ponto mínimo ( , - 7 )

para x = - f”(- ) = 48 > abscissa de ponto mínimo (- , -7 )

2)

Testes para máximos e mínimos de y=f(x)

Método da Primeira Derivada:

a) Achar f'(x) e os valores críticos. b) Fazer x crescer passando pelos valores críticos. Para um valor crítico x = x0,

f (x) passa por um máximo [ = f (x0)] se f' (x) passar de + para –; f (x) passa por um mínimo [ = f (x0)] se f' (x) passar de – para +;

f (x) não passa por máximo nem mínimo se f' (x) não trocar de sinal

Método da Segunda Derivada. a) Achar f'(x) e os valores críticos. b) Achar a segunda derivada f"(x). c) Para um valor crítico x = x0

f(x) passa por um máximo [= f(x0)] se f"(x0) < 0

6

f(x) passa por um mínimo [= f(x0)] se f"(x0) > 0 O teste falha se f"(x) = 0 em x = x0 ou se torna infinita.

EXEMPLOS:

1) Dividir o número 120 em duas partes tais que o produto P de uma pelo quadrado da outra,

seja máximo.

Solução:

Seja x uma parte; a outra será (120 – x). Então P = (120 – x) x2 ⇒ Os valores críticos são x = 0 e x = 80.

O valor crítico x = 0 é excluído sem dificuldade.

As partes procuradas são x = 80 e x = 120 – x = 40.

Lista 01

13. Determinar os possíveis pontos máximos ou mínimos das funções ( pontos críticos ):

a) f(x) = x2 – 3x b) y = 2x3 + 3x2 +_ 1 c) f(x) = ( x – 1)2 + 3

14. Dadas as funções abaixo, determinar os pontos críticos, classificá-los como ponto

máximo ou mínimo e determinar os pontos ( x0, f(x0) ) , tal que f´(x0) = 0:

a) y = 1 – x2 b) y = 3x2 – 4x + 2

15. Um determinado produto tem preço de produção de R$ 4,00. Ao vende-lo a x reais o fabricante

espera vender ( 30 – 2x ) unidades. A que preço deve ser vendido o produto para que haja lucro

máximo?

Gasto produção: 4(30 – 2x) ----------- 120 – 8x

Valor apurado na venda: x( 30-2x) --------- -2x2 + 30x

Lucro: l(x) = ( -2x2 + 30x) – ( 120 – 8x ) ------------ l(x) = -2x2 + 38x – 120

L’ (x) = -4x + 38 -------4x + 38 = 0 --------x = 19/2 = 9,5

Portanbto, o produto deve ser vendido a R$ 9,50

Lista de mat Apl I:

12. P = 130 + 2 é a função que dá, em milhões de habitantes, a população de um pais em função

7

do tempo x em anos, a partir de hoje. A derivada da função população é a função crescimento

populacional que dá o crescimento da população por ano, nesse pais, a partir de hoje.

a) determinar a função crescimento populacional;

b) quantos habitantes terá esse pais daqui a quatro anos?

c) quanto a população estará crescendo por ano daqui a exatamente quatro anos?

13. Determinar os possíveis pontos máximos ou mínimos das funções ( pontos críticos ):

a) f(x) = x2 – 3x b) y = 2x3 + 3x2 +_ 1 c) f(x) = ( x – 1)2 + 3

14. Dadas as funções abaixo, determinar os pontos críticos, classificá-los como ponto

máximo ou mínimo e determinar os pontos ( x0, f(x0) ) , tal que f´(x0) = 0:

a) y = 1 – x2 b) y = 3x2 – 4x + 2

15. Um determinado produto tem preço de produção de R$ 4,00. Ao vende-lo a x reais o fabricante

espera vender ( 30 – 2x ) unidades. A que preço deve ser vendido o produto para que haja lucro

máximo?

16. Um sitiante plantou 30 abacateiros e cada árvore produz 100 abacates em média. Pretendendo

aumentar o número de arvores o sitiante sabe que cada arvore nova plantada fará diminuir em 2

8

abacates o número médio produzido pelas árvores. Quantas árvores deverá plantar para obter o

número máximo de abacates?

Teorema de RolleSeja f uma função que satisfaz as seguintes hipótese:i) f é continua em [a,b]ii) f é derivável em (a,b)iii) f (a) = f (b)Então existe um número c (a,b) tal que f '(c) = 0 .

TEOREMA DE LAGRANGE ( Teorema do Valor Médio)

Seja f(x) contínua em um intervalo fechado [a, b]. Se f(x) for derivável no intervalo aberto (a, b), então

existe pelo menos um ponto x0 , entre a e b tal que

Geometricamebte isto significa que se A e B são pontos de uma curva contínua que possui tangente em todo ponto intermediário, então existe pelo menos um ponto da curva entre A e B no, quel a reta tangente tem coeficiente angular igual ao da reta AB.

H) f(x) é continua em [a,b]     f(x) é derivável em (a,b)

T) Existe c pertencente a (a,b) / f'(c)=

...............................................................................

9

Exemplo;

.....................................................................................................................................

Demostración:

Definamos uma função auxiliar g(x) = f(x) + h(x), h pertencente a R.

g é continua em [a,b] por ser uma de função continua,

g é derivável em (a,b) por ser uma de função derivável.

Queremos que g(a) seja igual a g(b) para aplicar o teorema de Rolle

=> f(a) + ha = f(b) + hb => f(a) - f(b) = hb - ha = h(b - a)

f(a) - f(b)

=> h = -----------

b - a

=> pelo teorema. de Rolle, existe c pertencente a (a,b) / g'(c) = 0

g'(x) = f'(x) + h

f(b) - f(a)

g'(c) = f'(c) + h = 0 => f'(c) = -----------

b – a

...........................................................

Dem 2

Para compreender o significado do Teorema do Valor Médio faremos uma analogia com a seguinte

situação:

Se a média de velocidade, em uma viagem de carro de uma cidade a outra, é de 80Km/h, então em algum momento da viagem o velocímetro do carro deve ter marcado 80Km/h. Fazendo uma

10

leitura em termos matemáticos, seja a posição do carro em cada instante . Se a viagem começa em (horas) e termina em (horas), a velocidade média é dada por .... . (TVM)

A afirmação de que em algum momento da viagem a velocidade instantânea deve ser igual a velocidade

média, significa que em algum tempo tem-se ................

Considere por exemplo,ol caso donde x es el tiempo y f(x) la distancia de un automóvil desde su

punto de partida a lo largo de cierto camino.

Entonces (f(b) - f(a))/(b - a) es la velocidad promedio del automóvil en el período b - a. (Recordar

que velocidad = distancia/tiempo)

Por lo tanto f'(a)=limx->a (f(x) - f(a))/(x - a) es la velocidad del auto en el tiempo a.

Si por ejemplo el auto ha recorrido 200km. en 2 hs., la velocidad promedio fue de 100km. por hora.

Por el teorema de Lagrange podemos decir que, al menos en un momento durante esas dos horas,

el auto tuvo una velocidad de exactamente 100km/h.

Xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

MOVIMENTO RETILÍNEO ( lagrange, novo Pag 97 )

É o movimento de um corpo em linha reta. Quando estudamos o movimento retilineo, podemos supor que o corpo está se movendo ao longo de um dos eixos de um sistema de coordenadas. Se a função s(t) representa a posição do corpo no instante t, a taxa de s(t) com t é a velocidade v(t); a taxa de variaçlão de v(t) é a aceleração a(t). Em outras palavras, v(t) = s’(t) e a(t) = v’(t).

Dizemos que umc orpo está avancando( movendo-se para frente) quando v(t) > 0 e recuando ( movendo-se pra tras ) quando v(t) < 0. Quando v(t) = 0, o corpo não está avançando e nem recuando e dizemos que está estacionário. Finalmente, dizemos que um corpo esdtá acelerendo quando a(t) > 0 e deszacelerando quando a(t) < 0. Resumindo:

Movimento retilíneo

Se a posição no instante t de um corpo que se move em linha reta é dada por s(t), o corpo tem uma

Velocidade v(t) = s’(t) =

Aceleração a(t) = v ‘(t) =

Se a posição é medida em metros e o tempo em segundos, a velocidade é medida em metros ppor segundo ( m/s) e a aceleração em metro por segundo ao,quadrado ( m/s2).

11

EXEMPLOS:

1) Um corpo se move em linha reta de tal forma que sua posição no instante t é dada por s(t) = t3 – 6.t2

+ 9t + 5.

a) determinar a velocidade docorpo e discuta seu movimento entre os instantes t = 0 e t = 4.

b) determinar a distancia percorrida pelo corpo entre nosd instantes t = 0 e t = 4.

c) determinar a aceleração do corpo e os intervalos de tempo nos quais está acelerando e desacelerando entre os instantes t = 0 e t = 4.

a) A velocidade é dada por v(t) = = 3t2 – 12t + 9 . O corpo está estacionário quando v(t) = 3t2

– 12t + 9 = 3(t – 1)(t – 3) = 0. Into é, nos instantes t = 1 e t = 3. Em todos os outros instantes, o corpo está avançando ou recuando de acordo com a tabela:

intervalo Sinal de v(t) Descrição do movimento0 < t < 1 + Avanço de s(0) = 5 para s(1) = 9

1 < t < 3 - Recua de s(1) = 9 para s(3) = 53 < t < 4 + Avanço de s(3) = 5 para s(4) = 9

b) O corpo se desloca para a frente de s(0) = 5 até s(1) = 9, volta para s(3) n= 5, mfinalmente, se desloca para frente ate s(4) = = 9. Assim, a distancia total percorrida é:

D = = 12

0 < t<1 1 <t < 3 3 < t 4

c) A aceleração do corpo é dada por: a(t) = = 6t – 12 = 6(t – 2)

d) O corpo está acelerando [a(t) > 0 ] no intervalo 2 < t < 4 e desacelerando [a(t) < 0] no intervalo 0 < t < 0.

2) Movimento de um projétil

Uma pessoa que está no alto de um edifício de 3 metros de altura lança uma bola verticaçmente para cima com uma velocidade inicial de 29 m/s.

a) Determine a altura e velocidader da bola no instante t;

b) em que instante a bola chega ao chão e qual a velocidade no momento do impacto?

c) qual é a distância total percorrida pela bola?

a) como g = 9,8, v0 = 29 e h0 = 34, a naltura da bola em mrelação ao solo no instante t é dada por

12

H(t) = - 4,9t2 + 29t + 34 metros.

A velocidade no instante t é v(t) = = -9,8t + 29 m/s.

b) no instante em que a bola chega ao chao, H = 0. Resolvendo a equação -4,9t2 + 29t + 34 = 0, verificamos que isto ocorre para t = 7 e para t = -1. Desprezando o tempo negativo, que não faz sentido neste contexto, chegamos à conclusão de que o impacto ocorre no instante t = 7s e que aa velocidade no momento do impacto é v(7) = -9,8(7) + 29 = -39,6.

( o sinal negativo significa que a bola está descendo no momento do impacto).

c) a velocidade é nula quando v(t) = -9,8t + 29 = 0, o que acontece no instante t = 3s. Para t < 3, a ve.locidade é positiva e a bola está subindo; Para t > 3, a velocidade é negativa e a bola está descendo. Assim, a bola atringe o mponto mais alto da trjetória no instante t = 3 s.

d) a bola é lançada de uma altura H(0) = 34 metros e atinge uma altura máxima H(3) = 76,9 metros antes de cair. Assim

Distãncia total = ( 76,9 – 34) + 76,9 = 119,8 metros

MÉTODO DE NEWTON

Método de Newton

http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Newton

As três primeiras iterações do método de Newton.

Em análise numérica, o método de Newton (ou método de Newton-Raphson) tem o objetivo de estimar as raízes de uma função. Para isso, toma-se um ponto qualquer da função, calcula-se a equação da tangente (derivada) da função nesse ponto, calcula-se o intercepto da tangente ao eixo das abcissas, calcula-se o valor da função nesse ponto, e repete-se o processo, que deve tender a uma das raízes da função rapidamente, ou não tender a nada, deixando isso claro logo. Em notação matemática representa-se desta forma:

13

,

onde n indica a n-ésima iteração do algoritmo e é a derivada da função f em xn.

Para que se obtenha sucesso na iteração deve-se primeiramente delimitar um intervalo, a fim de escolher um valor estimado inicial adequado, para que a convergência de (xn) seja propícia. Para tanto existem apenas quatro condições a serem satisfeitas:

O intervalo delimitado deve conter a raiz de f; A função f deve ser diferenciável em todo o intervalo;

A primeira derivada no intervalo não deve trocar de sinal;

A segunda derivada no intervalo não deve trocar de sinal.

Uma vez delimitado um intervalo que cumpra tais exigências, escolhe-se para o valor-inicial o ponto mais à esquerda se o produto da primeira pela segunda derivada for negativo, ou escolhe-se o ponto mais à direita se ocorrer o contrário, se o produto for positivo.

Este é considerado por muitos autores o melhor método para encontrar sucessivas melhores aproximações de raizes (ou zeros) de uma determinada função real. A convergência frequentemente é rápida, em especial se a estimativa inicial (ou chute inicial) está "suficientemente próximo" da raiz da função. O método é atribuido a Sir Isaac Newton (1643-1727) e Joseph Raphson (1648-1715).

Em 1984, Allan J. Macleod num artigo da International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, mostrou que o método iterativo de Newton-Raphson para equações não lineares pode ser considerado um membro da família geral de um parâmetro de métodos de segunda ordem [1].

Xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Zero de Funções: Método de Newton

O método de Newton é um dos métodos iterativos mais gerais para resolver f(x) = 0. Começa-se a iteração com uma estimativa inicial x0 da solução . Dada uma estimativa xi, o método de Newton aproxima f(x) pela reta tangente ao ponto f(xi). O zero da reta tangente (isto é, o ponto onde esta reta intersecta o eixo das abscissas) é tomado como nova estimativa de . Veja na Figura 1 uma ilustração desse método. Para derivar as fórmulas usadas pelo método, vamos expandir f(x) por uma série de Taylor ao redor do ponto xi:

A linha tangente é dada pelos dois primeiros termos da série

Igualando a zero temos:

14

(3)

Para a nossa função f(x) definida por (2), temos que a sua derivada f ’(x) é:

(4)

Observamos que para calcular cada nova estimativa só precisamos da estimativa imediatamente anterior. Ou seja, são suficientes duas variáveis para fazer isso (não precisa ir armazenando todas as estimativas x0, x1, x2, ...). Um algoritmo possível é o seguinte (note que basicamente só temos x0 e x1):

1. Comece com e um valor inicial x0; 2. Calcule xi+1 usando (3), (2) e (4).

3. Se então pare.

4. Se então pare.

5. Faça xi = xi + 1 e retorne ao passo 2.

Para a implementação do programa, você pode assumir que as tolerâncias tol1e tol2sejam tol1 = tol2 = 0,0001 , e como valor inicial adote x0 = 0,10 ( = 10% ).

Obs:

1) FUNÇÃO CONTINUA

* Diz-se que a função f é contínua no ponto a se e só se existir o limite de f quando x tende para a e o valor desse limite coincide com o valor da função no ponto a.

15

16