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Otimização Extrema Generalizada Otimização Extrema Generalizada Conceito e Aplicações Conceito e Aplicações Otimização Extrema Generalizada: Conceitos e Aplicações Fabiano Luis de Sousa – Março 2010 Conceito e Aplicações Conceito e Aplicações Fabiano Luis de Sousa Coordenação de Planejamento Estratégico e Avaliação - CPA Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais 3945 7102 [email protected]

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Otimização Extrema Generalizada Otimização Extrema Generalizada Conceito e AplicaçõesConceito e Aplicações

Otimização Extrema Generalizada: Conceitos e Aplicações Fabiano Luis de Sousa – Março 2010

Conceito e AplicaçõesConceito e Aplicações

FabianoLuis de SousaCoordenação de Planejamento Estratégico e Avaliação - CPAInstituto Nacional de Pesquisas Espaciais

� 3945 7102� [email protected]

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���� O que vamos ver:

• Um Pouco Sobre Conceitos de Algoritmos Evolutivos e Otimização.

• Equilíbrio pontuado e Criticalidade auto-organizada (SOC).

• O modelo Evolutivo de Bak-Sneppen e o método da Otimização Extrema.

• GEO: Algoritmo Canônico.

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• GEO: Algoritmo Canônico.

• GEO: Outras implementações do algoritmo.

• GEO: Exemplos de aplicações em problemas reais.

• GEO: Onde poderia ser aplicado em astrofísica e astronomia?

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���� A seleção natural é um mecanismo que tende aproduzir populações “melhores”, mais adaptadas aoseu ecossistema, ao longo das gerações.

���� As características dos pais são transmitidas aos filhospor “fatores internos” (genes). Atroca de genesentre os indivíduos da população e eventualmutação, permite a geração de diversidade

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����A seleção natural é um mecanismo auto-adaptável.

mutação, permite a geração de diversidadeaumentando a chance desobrevivência da espécieàalterações no ambiente.

A seleção natural e os processos de hereditariedade e mutaçãogenéticaproveêm um mecanismo robusto e auto-adaptávelpara produção de soluções cada vez melhores. � Umnovo paradigma para geração de “problem solvers”.

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EvoluçãoAlgoritmo Evolutivo

Ambiente Problema

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Ambiente

Indivíduos/Espécies

Adaptação

Problema

Soluções Candidatas

Qualidade da Solução

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População inicial de indivíduos/espécies

Geraçãode novos indivíduos/espécies

Ciclo de um AE

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Geraçãode novos indivíduos/espéciespor meio de operadores de seleção,recombinação e/ou mutação.

Novos indivíduos

Seleção da nova população

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Geralmente AEs são utilizados para resolver problemas que possam ser colocadoscomo problemas de otimização. Por exemplo, um problema poderia ser posto naforma de:

Minimize: F(X) (Função objetivo/custo/mérito)

Sujeita a:

g ≤ 0 ; j = 1,m (Restrições desigualdade)

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gj ≤ 0 ; j = 1,m (Restrições desigualdade)

hk = 0 ; k = 1,l (Restrições igualdade)

X iinf ≤ X i ≤ X i

sup ; i = 1,n (Restrições laterais)

X = {X 1 X2 X3 X4 ... Xn} T (Variáveis de projeto)

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Exemplo

Mapa da função objetivo

Restrição desigualdade

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Espaço de projetoRestrições laterais

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A busca pelo ponto ótimo é feita tradicionalmente através de um processo iterativo usando informação do gradiente da função objetivo:

Xq = Xq-1 + αααα SqXq-1

Sq

Xq

αααα

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X = X + αααα S

Posição na iteração q

Posição na iteração q-1

Passo na direção Sq

Direção de busca na direção Sq

X

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Mas o espaço de projeto pode ser complexo...

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Algoritmos Evolutivos:

- Fazem busca global no espaço de projeto,- Não usam informação dos gradientes da função objetivo,- Podem operar diretamente com diferentes tipos de variáveis de

projeto,- Podem operar sobre espaçosde projeto com ruído, platôs,

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- Podem operar sobre espaçosde projeto com ruído, platôs,descontinuidades, etc.

- A cada iteração trabalham com uma populaçãode soluçõescandidatas.

- Pode alternar busca global com busca local: Exploration xExplotation.

- Podem ser hibridizados.- Mas, normalmente são computacionalmente mais custosos.

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XX

XX

XX1. Inicialização da população (X).YY

Funcionamento típico de um AE: Funcionamento típico de um AE: Um exemplo.Um exemplo.

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XX

XX

XX

XX

XX

XX

XX

2. Seleção dos pais.

XX

3. Recombinação/Mutação: geração de novos indivíduos(Y).

YY

YY

YY

4. Seleção dos indivíduos da nova população (p/ ex: eliminação dos menos adaptados).

5. Verifica se atingiu critério de parada.

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e em problemas multi-objetivos.

f2

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1848-1923 f1

Fronteira de Pareto

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- Programação Evolutiva: primeiras idéias 1960´s.

- Estratégias Evolutivas: primeiras idéias 1960´s.

As Principais Linhas dos Algoritmos EvolutivosAs Principais Linhas dos Algoritmos Evolutivos

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- Algoritmos Genéticos: primeiras idéias 1960/70´s.

- Programação Genética: primeiras idéias 1990´s.

⇒ Grande desenvolvimento a partir dos anos 1990´s.

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� Eldredge,N. andS. J. Gould. 1972. Punctuated

� A observação paleontológica de que as espécies passam freqüentemente porlongos períodos de estabilidade (stasis) entre momentos deintensa atividadeevolutiva não é simplesmente, como proposto desde Darwin, resultado daimperfeição dos registros fósseis, mas uma característicaintrísica do mecanismoevolutivo: As espécies estão emequilíbrio pontuado (punctuated equilibria).

A evolução pode se dar em saltos:

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� Eldredge,N. andS. J. Gould. 1972. Punctuatedequilibria: an alternative to phyletic gradualism. InSchopf, T.J.M. (ed.) Models in Paleobiology, p. 82-115. Freeman, Cooper and Co., San Francisco.

Niles Eldredge

Stephen Jay Gould

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Equilibrio pontuado é umacaracterística de um sistema emSOC(Bak e Sneppen, 1993).

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hPer Bak e Kim Sneppendesenvolveram um modelosimplificado de evolução,para mostrar que eco-sistemas apresentam umcomportamento crítico auto-organizado (Self-OrganizedCriticality - SOC) (PhysicalReview Letters, 1993). K. Sneppen P. Bak

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hA teoria de SOC postula que grandes sistemas interativos evoluemnaturalmente para um estado crítico onde uma pequena perturbação em um deseus elementos pode gerar “avalanches” que podem alcançar qualquer elementodo sistema.� A distribuição de probabilidades das avalanches é descritaporuma lei de potência.

O que é SOC ?

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(Thomsen, 2001)

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(Solé et al, Nature, 1997)Extinção de espécies. (Keitt e Stanley, Nature, 1998)

Mercado financeiro.(Mandelbrot, 1963)

SOC ?SOC ?Terremotos.(Sethna et al, Nature, 2001)

Popularidade de um artigo. (Redner, EPJ-B, 1998)

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SOC ?SOC ?

Trincas em materiais anisotrópicos. (Zapperi et al, Nature,1997)

Magnetos.(Sethna et al, Nature, 2001)

Tempo de espera em consulta médica. (Smethurst, Willians, Nature, 2001)

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“Evolução”

Modelo de Bak-Sneppen

Avalanche no estado crítico

O modelo de Bak-Sneppen

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Equilíbrio pontuado

Distribuição das avalanches

“Evolução” das espécies

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� Um método de otimização baseado no modelo de Bak-Sneppenpossibilitaria o aparecimento de soluções ótimas rapidamente,sistematicamente modificando as espécies menos adaptadas dapopulação, ao mesmo tempo em que poderia escapar de mínimoslocais através de “avalanches”.

�������� OptimizationOptimization WithWith ExtremalExtremal

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�������� OptimizationOptimization WithWith ExtremalExtremalDynamicsDynamics (Boettcher(Boettcher eePercus,Percus, PhysicalPhysical ReviewReviewLetters,Letters, 20012001))..

� OTIMIZAÇÃOOTIMIZAÇÃO EXTREMAEXTREMA : Uma nova meta-heurística paraachar soluções de alta qualidade em problemas difíceis deotimização.

S. Boettcher A. Percus

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�Aplicações originais do método EO:

� Vantagem a priori da EO sobre o SA e o GA:

� Problemas difíceis em otimização combinatória (Particionamento de grafos, caixeiro viajante, “satisfiability”, coloração de grafos, “spin

� Apenas um parâmetro livre para ajustar.

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� “Uma definição geral para o índice de adaptabilidade das variáveis pode ser ambígua, ou mesmo impossível” (Boettcher e Percus, 2001).

grafos, caixeiro viajante, “satisfiability”, coloração de grafos, “spin glasses”).

� Desafios e limitações do método da EO:

� Como aplicá-lo à problemas com variáveis contínuas?

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❖❖❖❖❖❖❖❖OTIMIZAÇÃO EXTREMA GENERALIZADA OTIMIZAÇÃO EXTREMA GENERALIZADA ❖❖❖❖❖❖❖❖Generalized Extremal Optimization – GEO (De Sousa e Ramos, 2002)

� Um algoritmo que extenda o método da EO de forma a aplicá-lo facilmente aproblemas de projeto ótimo que apresente um espaço de projeto commorfologia complexa (multimodal, disjunto, com severas não-linearidades naFO, etc) onde possam existir variáveis contínuas, inteirasou discretas.

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Variável de projeto

Cada bit representa uma espécie

Modelo de Bak-Sneppen

GEOGEO

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Inicialize aleatoriamente L bits que codificam N variáveis de projeto.

Para cada bit atribua um índice de adaptabilidade (∆Fi = F(X)i -F(X)ref) que indica ao ganho ou perda que a F(X) tem se o bit mudar,comparada a um dado valor de referência.

Escolhae “flip” umbit daseqüênciacomprobabilidadeP ∝ k-τ

O A

lgor

itmo

GE

OO

Alg

oritm

o G

EO

Ordene os bits de acordo com seu indice de adaptabilidade, atribuindok = 1 para o menos adaptado e k = L para o mais adaptado

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Escolhae “flip” umbit daseqüênciacomprobabilidadePk ∝ k-τ

Retorne a melhor solução encontrada durante a busca

O A

lgor

itmo

GE

OO

Alg

oritm

o G

EO

Faça a nova configuração de bits ser a corrente

Critério de parada satisfeito?Não

Sim

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⇒⇒⇒⇒ Características do GEO canônico:

• Codificação binária das variáveis.

• Um parâmetro livre que permite ajustar a busca para que sejatotalmente aleatória (τ = 0) ou “gulosa” (τ >> ). Tem-se observadoque, para um dado problema, geralmenteτótimo fica no intervalo [0,505,0].

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5,0].

• Restrições laterais incorporadas pela codificação binária. Restriçõesdesigualdade e igualdade incorporadas com penalização.

• Bits podem ser mutados por variável: GEOvar.

• GEOvar melhor que GEO em problemas pouco restritos e sem ruído.

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Generalized Extremal OptimizationGeneralized Extremal Optimization

GEO1: Tracks improvements in objective function during ranking.GEO2: Introduces re-initialization during the search.GEO3: GEO with multi-ranking.GEO4: GEO with real codification and mutation with variable base.

Canonical versions: GEO and GEOCanonical versions: GEO and GEOvarvar

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GEOGEOparpar: GEO for multiprocessor environment.

GEOGEOrealreal: GEO with real codification and Gaussian mutation.

MM--GEOGEO: GEO for multi-objective problems.

GEOGEOdiscdisc: GEO with discrete codification.

Hybrid versions: GEOHybrid versions: GEOannealedannealedGEO4_ES.

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Algumas Aplicações do Algumas Aplicações do GEO a Problemas ReaisGEO a Problemas Reais

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GEO a Problemas ReaisGEO a Problemas Reais

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GEO: Aplicações

Otimização de perfil aerodinâmico para planadores de alta performance

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GEO: Aplicações

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Projeto de umconjunto tubo decalor/radiadorespacial

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GEO: Aplicações

Projeto ótimo do subsistemade controle térmico daplataforma multi-missão.

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Solução multi-objetivo

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GEO: Aplicações

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Projeto ótimo deuma constelaçãode satélites radar.

Solução multi-objetivo

MAPSAR

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GEO: Aplicações

Otimizaçãoestruturaldiscreta.

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inviávelviável

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GEO: Aplicações

Identificação depropriedades demateriais.

Problema com ruído

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GEO: Aplicações

Geraçãoautomática dedadosparateste

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dadosparatestede software.

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GEO: Aplicações

Desenvolvimento denovos produtos.

VESPAR (Variable EmmitanceSPAceRadiator)

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Onde o GEO poderia Onde o GEO poderia ser aplicado em ser aplicado em

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Astronomia e Astronomia e Astrofísica?Astrofísica?

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-ajuste de dados.

-achar solução parasistemas de equações nãolineares.

� Qualquer problema quepossa ser formulado comoum problema deotimização, por exemplo:

Exemplos:

- Determinação da curva de rotaçãode galáxias.

- Determinação de um sinal multi-periódico com ruído egaps. (porexemplo, caracterização do sinal deestrelas pulsantes).

- Modelamento do “vento” solar.

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Determinação de umsinal multi-periódicocom ruído e gaps. (porexemplo, caracterizaçãodo sinal de estrelaspulsantes).

Determinação dacurva de rotaçãode galáxias.

Função objetivo

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Modelamento do “vento” solar

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O GEO:���� É uma meta-heuristica desenvolvida para ser aplicada em problemas

complexos de otimização (inclusive problemas inversos).

���� É capaz de lidar com restrições lineares e não lineares.

���� Pode ser aplicado à problemas com variáveis contínuas, inteiras, discretasou uma combinação das mesmas.

���� Apenas um parâmetro livre para ajustar (versão canônica).

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���� Nenhuma aplicação conhecida em astronomia ou astrofísica,até omomento...

���� É capaz de lidar com problemas multi-objetivo diretamente.

���� Facilmente paralelizável: GEOpar.

���� Mostrou-se bastante útil na solução de problemas reais.

���� CMC-324 : Otimização Evolutiva (2o trimestre).

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OBRIGADO!OBRIGADO!

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Lallement serpentine velocipede – 1866- Quadro: madeira.- Transmissão: não tinha.- Suspensão: não tinha.- Freios: não tinha.- Rodas: madeira- Pneus: não tinha

Specialized Stumpjumper MTB – 2008- Quadro: carbono.- Transmissão: 27 velocidades.- Suspensão: dianteira e traseira independentes.- Freios: a disco nas duas rodas.- Rodas: alumínio.- Pneus: borracha/kevlar.