APLICAÇÃO DA GEOMETRIA ESPACIAL NA ARQUITETURA

Eliane Fátima Cadorin1

Eduardo Vicentini2

RESUMO

A geometria é a mais antiga das atividades matemáticas, muito importante devido a sua aplicação no cotidiano, sendo que as primeiras considerações feitas se originaram através de simples observações e comparações entre formas e tamanhos. O conhecimento geométrico constitui parte importante do Currículo Educacional na disciplina de Matemática. Juntamente com as demais ciências, desenvolve nos alunos um modo especial de pensamento, que lhes permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vivem. As atividades práticas explorando as formas geométricas relacionadas a situações vivenciadas no cotidiano dos alunos têm como objetivo motivar e despertar o interesse pelo conhecimento matemático e desenvolver suas habilidades. Neste trabalho, a metodologia proposta para o ensino-aprendizagem da Geometria Espacial no Ensino Médio foi a análise e contextualização das formas geométricas encontradas na arquitetura. As estratégias de ação incluíram as relações existentes entre as formas arquitetônicas e a geometria, consistiu na contextualização da geometria, utilizando para tanto materiais manipuláveis, recursos tecnológicos, visualização de imagens de obras arquitetônicas desde a pré-história até a atualidade, vídeos, imagens fotográficas da arquitetura local, atividades de classe e de laboratório. Após a conclusão das atividades com os alunos verificou-se que a construção do conhecimento aconteceu de forma significativa e gradativa e foi possível aos alunos relacionar o conhecimento adquirido no cotidiano com a matemática apreendida na sala de aula.

Palavras-chave: Geometria Plana; Geometria Espacial; Arquitetura; Formas Geométricas.

1 Introdução

1 Especialista em Fundamentos de Matemática, Graduada em Ciências/Matemática e docente da Secretaria Estadual de Educação do Estado do Paraná (SEED). elianeagostinho@seed.pr.gov.br 2 Doutor em Ciências, área de concentração Física. Docente do Departamento de Física da Universidade Estadual do Centro-Oeste (UNICENTRO), Guarapuava, PR.

1

Olhando ao nosso redor observamos inúmeras formas geométricas

regulares e irregulares. A geometria aparece com grande frequência na arquitetura,

permitindo beleza e harmonia. É importante mostrar para o aluno que foi através da

Geometria Euclidiana que a humanidade construiu suas casas, suas cidades e seus

principais monumentos. E que nos dias atuais podemos notar grandes

transformações ocorridas na geometria dos objetos, das casas, das artes,

arquiteturas novas e arrojadas surgem desafiando todas as formas da geometria

clássica.

A Geometria leva o aluno a apreciar e valorizar as formas que existem ao

seu redor, relacionando-as com as formas geométricas. Assim, ao trabalharmos em

sala de aula, é importante despertar o interesse dos alunos de maneira natural e

espontânea, levando-os a perceber a beleza desafiadora da Geometria e a relação

com o meio em que ele vive. Com certeza o educando terá uma nova visão de tudo

aquilo que está ao seu redor, passando assim a explorar o mundo das formas,

relacionando as figuras planas com as espaciais, analisando, interpretando e

diferenciando as construídas pelo homem e as naturais.

A Geometria é muito importante na vida dos alunos, pois praticamente todas

as profissões usam seus princípios, e desta maneira é fundamental que saibam

articular o conhecimento teórico com o fazer prático, para que desempenhem melhor

suas capacidades. Muitas são as situações vivenciadas no ambiente onde vivem

que exigem um conhecimento mais aprofundado da geometria para que sejam

executadas, situações como pintar uma parede, construir um brinquedo ou montar

um equipamento, os quais podem se transformar em um problema e desmotivar o

aluno.

Conforme Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006, p.75,

volume 2) “o estudo da Geometria deve possibilitar aos alunos o desenvolvimento da

capacidade de resolver problemas práticos do quotidiano”. No entanto, o conteúdo

de Geometria Espacial proposto em livros didáticos é apresentado de forma

descontextualizada, apenas trabalhando com os principais sólidos geométricos, suas

características e fórmulas de áreas e volume. Alguns livros didáticos apresentam,

como material de apoio, as planificações dos principais sólidos geométricos. Apesar

deste tipo de atividade ser motivadora, não desperta a criatividade do educando,

pois as mesmas já estão praticamente prontas, faltando apenas recortar e montar

2

esses sólidos, limitando a atividade a parte artística e histórica, não auxiliando para

a construção do conhecimento.

Percebendo as dificuldades apresentadas no ensino e aprendizagem da

Matemática, este trabalho apresenta uma proposta que tem como objetivo valorizar

e apoiar a prática pedagógica a partir da aplicação dos conceitos fundamentais da

geometria, favorecendo a apropriação dos conteúdos matemáticos e contribuindo

para a aprendizagem dos alunos, bem como, desafiar o educando na construção do

raciocínio lógico no ensino da geometria, para a resolução de problemas que

ocorrem em seu quotidiano. A principal finalidade do trabalho é indicar a presença

da geometria em nosso dia a dia, e assim ampliar o interesse dos alunos nesta área,

aperfeiçoando sua visão espacial e facilitando a distinção entre o plano e o

tridimensional.

A utilização de materiais manipuláveis é uma estratégia de ensinar a

matemática de forma contextualizada, para que nossos alunos passem, antes de

tudo, a gostar da matemática e aprendam a pensar de maneira criativa e

independente, aplicando na prática os conhecimentos adquiridos. Trabalhar com

imagens de obras arquitetônicas de forma contextualizada, fazendo um estudo sobre

os traços geométricos, a perfeição das formas, mostrando a ligação entre a

arquitetura e a geometria também é uma forma de contextualizar o conhecimento

matemático e despertar no educando o prazer pelo estudo.

O objetivo central é contribuir para a aprendizagem dos alunos a partir da

aplicação dos conceitos fundamentais da Geometria em situações vivenciadas em

seu quotidiano, motivando os alunos através de atividades práticas, despertando o

interesse pelo conhecimento, estimulando a curiosidade e a criatividade do aluno,

explorando e analisando as figuras geométricas no mundo em que vivem,

desenvolvendo suas habilidades matemáticas para solucionar problemas no

ambiente familiar ou de trabalho.

2 Fundamentação Teórica

3

Ao se trabalhar como professor na Educação Básica do Estado do Paraná e

com alunos do Ensino Médio, tem-se a possibilidade de transformar a atuação

docente e a discente em relação aos conteúdos matemáticos, com a aplicação de

novas metodologias no processo de ensino e aprendizagem. Verificar

As Orientações Curriculares para o Ensino Médio atravessam por um

processo de grandes transformações, propondo um ensino preocupado com o

desenvolvimento de habilidade e competências para o exercício da cidadania e a

formação ética.

Os textos a seguir apresentam de forma concisa e contextualizada algumas

referencias teóricas a cerca do Conhecimento e o Ensino da Geometria, dando

ênfase a um breve histórico da evolução da geometria.

2.1 Contextualizando o Conhecimento e o Ensino da Geometria

Repensar o saber pedagógico requer considerar as concepções

epistemológicas que sustentam o comportamento e, desta maneira, é necessário

entender como o conhecimento é produzido nestas concepções teóricas.

Para o inatismo, o conhecimento é construído através da razão humana que

trabalhando com os princípios lógicos fundamentais pode atingir o conhecimento

verdadeiro. Esses princípios são considerados inatos, portanto, já estão na mente do

homem desde o seu nascimento e, desta maneira, a razão deve ser considerada

como fonte básica de conhecimento. Na concepção de Nogueira (2010, p.14) “as

possibilidades do conhecimento são determinadas pela bagagem hereditária pela

qual o sujeito submete-se ao processo maturacional”. Na prática pedagógica, esta

concepção representa a valorização dos dons quando afirmamos que os alunos

aprendem sozinhos, ao despertar para o conhecimento. Neste contexto, o professor

tem o papel de motivador, despertando as capacidades que já são inatas nos

alunos.

Já o empirismo acredita nas experiências sensoriais, assim todas as nossas

idéias são provenientes de nossas percepções sensoriais. Como disse o filósofo

John Locke “nada vem à mente sem ter passado pelos sentidos”. Os empiristas

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afirmam que, ao nascermos, nossa mente é como um papel em branco, desprovida

de idéias, desta maneira o conhecimento é adquirido pela experiência que nos são

dadas através dos cinco sentidos. Na escola, apoiar-se na teoria empirista, segundo

Nogueira (2010, p.14), “é visualizar o aluno como ser que nada tem e o professor

como autoridade que o conduzirá à impressão em si do conhecimento externo, posto

no ambiente para ser copiado”. Portanto, ao adotarmos esta concepção, estamos

afirmando que os alunos não constroem conhecimentos fora do ambiente escolar e

que suas suposições não têm utilidades. Assim, a única maneira segura de aprender

é com o professor e sua metodologia. Metodologia essa que acredita no

conhecimento posto de fora para dentro, realidade essa que se comprova na

Geometria onde o conhecimento pode ser visto e manipulado através de materiais

concretos.

Por outro lado, para no construtivismo, o aluno constrói o seu próprio

conhecimento através de interações com o ambiente. Conforme Nogueira (2010,

p.15), o aluno “é um indivíduo que entra para a escola com hipóteses sobre o mundo

e suas representações”. Nesta teoria, partimos da ideia de que o indivíduo-aluno já é

detentor de um saber e, considerando as experiências por ele vividas, podemos

levá-lo a construção do conhecimento verdadeiro. Nesta perspectiva, o professor

deve organizar ações que levem os alunos a pensarem de forma crítica. No

construtivismo, alunos e professores estão em constante construção, pois nas

mediações entre o conhecimento dos alunos e o conhecimento científico, há grande

troca de experiências, levando a uma relação de ensino aprendizagem mútua.

Neste contexto educacional onde as concepções epistemológicas nos

explicam como o conhecimento é produzido, precisamos perceber que nossos

alunos não são modelos pedagógicos prontos. Eles perguntam sobre tudo, têm

acesso a muitas informações e, portanto, nós professores precisamos criar

situações que sejam desafiadoras e jamais apresentar os conteúdos escolares na

forma de questões ou problemas com respostas e soluções prontas, mas sim

contextualizá-los sempre, buscando a realidade do aluno.

O conhecimento geométrico constitui parte importante do Currículo de

Matemática, porque desenvolve nos alunos um modo especial de pensamento que

lhes permitem compreender, descrever e representar, de forma organizada o mundo

em que vive.

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A geometria é importante para o homem, está inserida no seu quotidiano,

como na arquitetura das construções, no esporte, no artesanato, nas embalagens

dos produtos. Pode ser observada no espaço tridimensional, ou seja, na melhor

ocupação de espaços, na localização e na trajetória de objetos. O ensino da

geometria tem um amplo campo de aplicação prática, permitindo ao educando a

construção dos conhecimentos teóricos.

Os alunos devem perceber que a geometria esta presente no nosso universo

físico, fazendo parte da escola, pois as formas geométricas são encontradas na sua

arquitetura, nas portas e janelas, nas carteiras, no prédio, nas calçadas e no jardim.

Ao verificar e compreender os conceitos geométricos como perímetro, área, volume,

faces, arestas, vértices, o aluno estará conhecendo o espaço escolar e a

aprendizagem da geometria acontece de maneira agradável e fácil, ganhando

significado e importância.

Conforme Orientações Curriculares para o Ensino Médio,

“O estudo da geometria deve possibilitar aos alunos o

desenvolvimento da capacidade de resolver problemas práticos do

quotidiano, como, por exemplo, orientar-se no espaço, ler mapas,

estimar e comparar distâncias percorridas, reconhecer propriedades

de formas geométricas básicas, saber usar diferentes unidades de

medidas”. (Orientações Curriculares para o Ensino Médio, 2006,

p.75, volume 2)

A Geometria é considerada uma importante ferramenta no processo de

ensino-aprendizagem, pois desenvolvem o raciocínio, a compreensão, descrição e

inter-relação com o espaço em que vivemos. É a parte da matemática mais intuitiva,

concreta e ligada à realidade. Pires (2000, p.15) enfatiza que através da geometria

“a criança desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite

compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive

além de ser um campo fértil para se trabalhar com situações-problemas”.

Devido a sua importância, o ensino da geometria tem adquirido lugar de

destaque nas reformas educacionais nos últimos anos. Nos Parâmetros Curriculares

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Nacionais (PCNs, 1998), o ensino da geometria é proposto como fator fundamental

para o desenvolvimento de habilidades e competências matemáticas no ensino

fundamental e médio.

Desta maneira, é importante resgatar o ensino da Geometria como uma das

áreas fundamentais da matemática, devido a sua importância no desenvolvimento

do pensamento espacial e do raciocínio visual, indispensável para a compreensão

de mundo e participação na sociedade. Nos últimos anos este estudo tem avançado

bastante, mas não pode ser reduzido apenas a aplicações de fórmulas e

construções de sólidos geométricos, desligada da realidade dos alunos.

2.2 Geometrias: Um breve histórico e evolução3

Nada se pode afirmar sobre as verdadeiras origens da geometria. Foi

apenas a cerca de seis mil anos que o homem começou a usar a escrita e, somente

a partir daí, tiveram início os registros mais organizados, documentando e ilustrando

a vida e os costumes dos povos da antiguidade. As informações sobre épocas

anteriores à escrita são resgatadas de objetos e de vestígios que restaram daqueles

povos. Os antropólogos e arqueólogos se encarregam de estudá-los, não raro

apoiados em suposições sobre o significado de documentos e peças encontradas.

As primeiras considerações feitas sobre a geometria são muito antigas, se

originaram através de simples observações e comparações entre formas e

tamanhos. A noção de distância foi um dos primeiros conceitos geométricos, que

surgiu através da necessidade do homem demarcar suas terras e, através dessas

delimitações, surgiu à noção de figuras geométricas simples.

Os relatos localizados no antigo Egito demonstram que o vale do Rio Nilo foi

o local onde a geometria se transformou em ciência. De fato, a palavra “geometria”

significa “medida de terra” e esse termo está associado ao historiador grego

Heródoto (séc. V a.C.) que aponta sua origem na agrimensura ou medições de

terrenos. Esses conhecimentos surgiram de necessidades práticas nas atividades

ligadas a agricultura e engenharia.

3 Este texto está baseado nos livros de BOYER, Carl Benjamim e EVES, Howard Whitley.7

As demonstrações geométricas foram iniciadas pelos gregos, principalmente

com Tales de Mileto (séc. VI a.C.), que foi considerado um dos “sete sábios” da

antiguidade e o fundador da geometria demonstrativa, utilizando métodos dedutivos

na geometria. Mais tarde, Pitágoras (séc. V a.C.), continuou a sistematização da

geometria, fundando a escola pitagórica, uma irmandade unida por mistérios, ritos e

cerimônias, que se dedicava ao estudo de filosofia, matemática e ciências naturais.

Posteriormente, Platão (séc. IV a.C.), mostrou interesse pela geometria,

evidenciando a necessidade de demonstrações mais rigorosas e dedutivas e não

apenas verificação experimental. Discípulo da escola platônica, Euclides de

Alexandria (séc. III a.C.), reuniu a maior parte dos conhecimentos matemáticos da

época em uma obra memorável denominada Elementos, composta por 13 volumes,

organizada a partir de princípios e definições. O método axiomático, presente na

obra de Euclides, dominou a matemática por muitos séculos, inspirando a

humanidade em outros campos do saber.

Durante o período do “Renascimento”, Leonardo Fibonacci (1170 - 1240)

retomou o estudo da Geometria Espacial, em 1220 escreveu a obra “Practica

Geometriae” que aborda a Geometria e a Trigonometria. No século XVI, o

matemático René Descartes introduziu a ideia de Geometria Cartesiana ou

Geometria Analítica, ao misturar Álgebra e Geometria e, assim, ensinou a

transformar pontos, retas e circunferências em números, demonstrando como fazer

contas com as figuras geométricas. No século XVII, o físico Isaac Newton

desenvolveu o cálculo diferencial e integral, tornando possível calcular a área e o

volume de qualquer figura geométrica, independente de sua forma.

Ainda no período do renascimento, os artistas buscando mais realismo em

suas obras introduziram os conceitos de pontos de fuga e perspectivas com o

objetivo de retratar as sensações de profundidade nos objetos e pinturas.

Na França em 1822, Jean-Victor Poncelet, engenheiro e matemático, dá

início à verdadeira criação da geometria projetiva, que estabelece as bases

geométricas para a representação de uma imagem sobre uma superfície plana como

percebida pelo olho. Em 1963, Girard Desargues formulou esses conceitos

matematicamente, desenvolvendo a “Geometria Projetiva”.

No século XIX, com o desenvolvimento da geometria projetiva e os novos

cálculos, até então todos fundamentados na Geometria Euclidiana, passou-se por

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uma grande reestruturação. Através das pesquisas de Gaspard Monge, Carl

Friedrich Gauss, Nicolai Ivanovich Lobachevski, Janos Bolyai e Geog Friedrich

Bernharo Riemann, a geometria foi reescrita sem a utilização do quinto postulado de

Euclides, surgindo assim a Geometria Diferencial de curvas e superfícies do espaço.

Em 1885, o matemático Henri Poincaré cria a geometria topológica, a qual

derrubou a crença de que a geometria euclidiana seria a única possível a descrever

exatamente o espaço físico. Os estudos de Topologia abriram caminhos para a

moderna teoria dos Grafos, a qual é aplicada para planejar desde as redes de

serviços urbanos, como água e eletricidade, até as de computadores.

Em 1899, a geometria passou por uma grande transformação, onde o

alemão David Hilbert (1862-1943) fez uma análise de todos os acontecimentos

matemáticos dos séculos anteriores, com base neste estudo, novos conceitos de

tempo e espaço foram consolidados como a teoria da relatividade de Albert Einstein.

No século XX, muitos pesquisadores trabalham no aprimoramento da

disciplina da Teoria do Caos, da qual surge o estudo de figuras geométricas

espaciais com formas e dimensões fracionárias, pois existe uma infinidade de

fenômenos na natureza, como o contorno das montanhas, a superfície dos pulmões

humanos, que não podem ser descritos por figuras geométricas regulares, como

triângulos, círculos e quadrados. Esta nova área das ciências matemáticas é

denominada de Geometria dos Fractais de Benoit Mandelbrot, que descreve as

formas da natureza com suas irregularidades e fragmentações. A geometria dos

fractais tem uma enorme aplicação. Para os biólogos, ajuda a compreender o

crescimento das plantas. Para os físicos, possibilita o estudo de superfícies

intrincadas. Para os médicos, dá uma nova visão da anatomia interna do corpo.

Desta maneira, a história da geometria inicia-se nas primeiras manifestações

dos gregos, na forma de geometria demonstrativa, até chegar à atualidade, trilhando

o caminho das não-euclidianas e dos fractais. A geometria tem evoluído de maneira

considerável e contribuído para o avanço não só da Matemática, mas da ciência e

tecnologia.

3 Desenvolvimento do Projeto

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O Material didático desenvolvido teve como finalidade o aperfeiçoamento

das metodologias utilizadas no processo de ensino aprendizagem dos educandos, a

partir da aplicação dos conceitos fundamentais da geometria, proporcionando uma

prática pedagógica dinâmica, utilizando a leitura de imagens e contextualização das

formas geométricas, presentes na arquitetura. Ampliando o interesse dos alunos e

fornecendo ferramentas e subsídios para aumentar sua motivação no estudo e

aplicação, facilitando a diferenciação entre figuras planas e tridimensionais.

O trabalho foi desenvolvido com os alunos da 2ª série do Ensino Médio, do

Colégio Estadual Professor Agostinho Pereira, pertencentes à Rede Pública de

Ensino do Paraná e consistiu na contextualização da geometria, utilizando para tanto

materiais manipuláveis, recursos tecnológicos e a arquitetura local.

A organização do trabalho pedagógico, por meio de etapas possibilita ao

professor, ampliar a percepção do aluno sobre o contexto histórico, e atingir os

objetivos propostos, principalmente nas relações e distinções entre espaço e plano.

Desta maneira o procedimento metodológico adotado na implementação do projeto

em sala de aula aconteceu em etapas citado no cronograma abaixo.

Para atingir os objetivos propostos, principalmente nas relações e distinções

entre espaço e plano e para ampliar a percepção do aluno sobre o contexto

histórico, o trabalho pedagógico foi desenvolvido por meio de etapas, conforme

cronograma da Figura 1.

Percebe-se que a maioria dos alunos tem dificuldades na compreensão dos

conceitos geométricos. Daí a importância de introduzir a Geometria Espacial através

de uma revisão da Geometria Plana, para que o aluno consiga perceber a ligação

entre as figuras planas e os sólidos geométricos. Na primeira etapa “Introdução a

Geometria Espacial” foi utilizado material multimídia com a apresentação das figuras

da geometria plana e, de forma instigadora, os alunos foram motivados através de

perguntas a demonstrar os conteúdos já conhecidos ao longo de seus estudos.

Durante esta etapa foi possível perceber que a maioria dos alunos reconhece a

forma geométrica de duas dimensões e consegue definir a relação com a área e o

perímetro.

A partir deste momento e ainda utilizando o material multimídia, foi

estabelecida a relação entre a figura plana e a construção da figura espacial, como

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por exemplo, mostrando que a partir do quadrado construímos o cubo, do retângulo

o prisma e o cilindro, do triângulo a pirâmide e o cone, de um semicírculo a esfera.

Na sequência, trabalho-se com os sólidos geométricos de acrílico, para

facilitar a visualização, utilizando formas variadas como cubos, prismas, pirâmides,

cilindros e esferas. Neste momento, ao se fazer a transição da figura bidimensional

para a tridimensional, verificou-se que os alunos reconhecem os sólidos geométricos

e conseguem perceber a noção de profundidade, através do volume, mas têm

dificuldades em conceituá-los.

Figura 1: Cronograma com etapas do trabalho pedagógico desenvolvido

Para complementar e fixar os conceitos geométricos, passou-se para a

segunda etapa “Exibição de Vídeo”. Neste momento foi utilizado um vídeo que

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destaca a importância da Geometria no cotidiano, “Onde está a matemática que não

vejo?”4. Neste material encontram-se as formas geométricas presentes em nosso dia

a dia e em locais diversos. Após a apresentação do mesmo foi aberto um espaço

onde os alunos tiveram a oportunidade de fazer questionamentos, colocações e

argumentar com base em conhecimentos adquiridos no decorrer dos anos. Neste

momento, alguns alunos contribuíram com suas experiências, fizeram colocações

sobre as formas geométricas encontradas nas construções da cidade onde vivem,

relembraram as formas encontradas na natureza e nos jogos recreativos,

percebendo que a matemática esta presente em todas as atividades, tanto nas

formas geométrica, como também nas relações numéricas.

Através desta atividade foi possível perceber que a capacidade educativa

proporcionada pelo vídeo foi muito relevante, e apresentou uma forma dinâmica de

estabelecer relações entre o conteúdo abordado, as imagens e a realidade,

identificando o conhecimento que o aluno traz da sua vivência em relação às formas

geométricas de seu cotidiano.

Na terceira etapa “Leitura de Imagens e Contextualização”, aproveitando o

enfoque das aulas anteriores, novamente foi utilizado material multimídia, elaborado

através de uma pesquisa bibliográfica, buscando na antiguidade o surgimento das

primeiras obras arquitetônicas, possibilitando ao aluno, um breve histórico das

formas geométricas encontradas na arquitetura desde a pré-história até os dias

atuais. No decorrer da apresentação, relatou-se um pouco da história de cada

período, visualizando uma imagem arquitetônica da época.

A apresentação iniciou pela Pré-História, a qual foi um período muito

fascinante da história humana. O que se conhece desta época é através de

pesquisas de historiadores e antropólogos. O período Neolítico, é também chamado

de “Idade da pedra polida”, é o período em que o homem começa a ter domínio no

trabalho com as pedras, construindo estruturas megalíticas. A Arquitetura do período

Neolítico tem como principal monumento o Santuário de Stonehenge, construído no

Condato de Wiltshire na Inglaterra e considerado Patrimônio Mundial da UNESCO.

Na seqüência, trabalhou-se com a Antiguidade, destacando-se a Arquitetura

do Egito Antigo, onde os egípcios demonstravam uma profunda religiosidade em sua

arquitetura, pois eles acreditavam que a vida humana sofria interferência dos deuses

4 http://www.youtube.com/watch?v=XuJpwCFL1xA&featu re=related

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e a vida após a morte era mais importante que a vida terrena. As obras mais

famosas desta época são as pirâmides do deserto de Gizé, mas a primeira e mais

importante foi a Pirâmide de DJoser, também conhecida como a pirâmide de

degraus construída em Sacará. A Arquitetura da Grécia Antiga tem características

marcantes na construção de templos religiosos, na utilização de colunas e simetrias,

estabelecendo proporções matemáticas precisas. O Parthenon, construído na

Acrópole de Atenas, é a construção mais conhecida e admirada por ter sido o templo

dedicado a Deusa Atena. A Arquitetura da Roma Antiga destaca-se pela solidez de

seus monumentos, arcos, abóbodas e tetos curvos, que permitiam criar espaços

internos mais amplos e livres do excesso de colunas, mas sempre preocupada em

expressar a realidade, buscando um ideal de beleza. Um dos monumentos mais

conhecidos é o Panteão de Agripa, construído em Roma durante o reinado do

Imperador Adriano.

A apresentação seguiu pela Idade Média, onde a arquitetura teve um grande

avanço com as novas tecnologias aplicadas. Nesta época destacam-se a Arquitetura

Paleocristã, onde as primeiras construções foram denominadas de catacumbas, que

são conhecidos como cemitérios subterrâneos e espaços utilizados para cultos

secretos e refúgios às perseguições, a mais famosa é a Catacumba de Flávia

Domitilla construída nas proximidades de Roma; a Arquitetura Visigótica destaca-se

na construção de pequenas igrejas devido à falta de materiais e técnicas

apropriadas, com traços marcantes nas coberturas de madeira ou pedras, a Igreja

de Santa Comba de Bande, construída na Espanha é a única deste período que esta

conservada em sua integridade; a Arquitetura Moçarabe se caracterizava pela

construção de igrejas em pedras ou tijolos, com decorações internas exaltando

motivos vegetalistas e geométricos, a construção mais importante foi a Igreja de

Santa Maria de Melque, construída na Espanha; a Arquitetura Bizantina destaca-se

na utilização da forma de cúpula e a planta de eixo central ou cruz grega a qual

possui braços de igual comprimento, o caráter majestoso deste período pode ser

observado na Basílica de Santa Sofia, construída em Constantinopla, que a partir

1953 tornou-se o Museu de Santa Sofia; a Arquitetura Românica tem como aspectos

mais significativos à utilização de abóbodas, pilares maciços, paredes espessas,

colunas terminadas em capitéis cúbicos, com aberturas estreitas usadas como

janelas, por serem grandes e sólidas eram conhecidas como “fortaleza de Deus”,

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uma das mais conhecidas é a Abadia de Mont Saint-Michel, construída na França; a

Arquitetura Gótica tem com principal característica a substituição das paredes

espessas por vitrais coloridos trabalhados em rosáceas, uma das construções mais

famosa é a catedral de Notre-Dame, construída em Paris.

Na sequência da aula, foi trabalhado com a Idade Moderna dando ênfase a

Arquitetura Renascentista na península itálica, com traços marcados pelo

movimento cultural europeu entre os séculos XIV e XVI, o qual buscou resgatar os

valores das civilizações gregas e romanas e exaltar a potencialidade realizadora do

homem. Uma obra importante desta época foi a Capela Pazzi, construída em

Florença, tendo como principal característica a estrutura geométrica. A Arquitetura

Barroca na península itálica predominou no século XVII e XVIII, tendo enfoque na

exuberância e requinte, deixando de lado os valores de simplicidade e racionalidade

e insistiram nos efeitos decorativos. Uma obra arquitetônica importante deste

período é a Igreja de São Lorenzo, construída em Turim, projetada pelo arquiteto

Guarino Guarini. Já no Brasil, a Arquitetura Barroca iniciou no século XVIII, onde

desenvolveu uma arquitetura de caráter religioso, utilizando em suas construções a

pedra de arenito e madeira. O interior das igrejas era ornamentado com pinturas e

esculturas de madeiras policromadas. Uma de suas principais construções é a Igreja

de São Miguel das Missões, construída no Rio Grande do Sul, a qual em 1940

passou a abrigar o Museu das Missões, projetado pelo arquiteto Lucio Costa.

A transição ocorrida entre os séculos XVIII e XIX determinou uma nova

tendência estética nas criações européias, o neoclassicismo. A Arquitetura

Neoclássica esta presente nas construções civis e religiosas, seguindo o modelo dos

templos greco-romanos, onde predominavam as colunas, as abóbodas e a cruz

grega, sendo uma das obras mais importantes da época a Igreja de Santa

Genoveva, construída em Paris, a qual em 1789 foi transformada em Panteão

Nacional, pois abriga os restos mortais de importantes personagens da história

francesa.

Continuando a aula, foi trabalhado com a Idade Contemporânea, onde a

arquitetura brasileira passa por grandes transformações entre os séculos XIX e XX,

seguindo duas tendências européias: o Ecletismo que utilizava estilos do passado

com finalidade decorativa, relevos de estuque pré-moldados, platibandas, grandes

vidraças e ferragens importadas da França e da Bélgica, tendo como obra

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arquitetônica famosa desta época o Theatro Jose de Alencar, construído em

Fortaleza, no Ceará, e o Art Nouveau, que tinha como principal característica a

tendência decorativista, predominando as linhas geométricas e os motivos florais,

valorizando os objetos ornamentais de decoração como lampadários, castiçais e

vasos, sendo uma obra importante da época o Palacete da Vila Penteado,

construído em São Paulo, para servir de residência do Conde Álvares Penteado.

A aula seguiu trabalhando com a Arquitetura Moderna, onde apareceram as

primeiras construções com a utilização de estruturas metálicas, as quais

apresentaram formas inovadoras em relação ao passado, como às estruturas de

ferro e as pranchas de vidro na construção de edifícios, uma obra arquitetônica

muito importante é a Torre Eiffel, construída em Paris. A Moderna Arquitetura

Brasileira abandonou os excessos decorativos, adotando as linhas retas e também

as linhas curvas, muito utilizadas nos projetos inovadores do arquiteto brasileiro

Oscar Niemeyer, que mostrou sua capacidade criadora em várias obras espalhadas

pelo Brasil, como a Igreja de São Francisco, construída em Belo Horizonte e a

Catedral Metropolitana Nossa Senhora Aparecida, construída em Brasília.

Para encerrar esta etapa, foi trabalhado com a Arquitetura Contemporânea,

com tendências arquitetônicas modernas com novas concepções estéticas, com

espaços que apresentam formas belas e arrojadas, mas que facilitem o acesso e a

circulação das pessoas. Obras de diversos arquitetos contemporâneos encontram-

se espalhadas por todo o Brasil, como o Museu da Arte em São Paulo, o Fórum de

Teresina, a Ópera de Arame em Curitiba, a Estação das Docas em Belém do Pará, a

Ponte JK em Brasília, entre tantas outras obras.

Durante a apresentação foi dada a oportunidade para que os alunos

participassem analisando e contextualizando as imagens, estabelecendo

correlações entre as imagens e a realidade. A interação dos alunos aconteceu

espontaneamente em vários momentos ao longo da aula, pois a metodologia

utilizada deixou o assunto mais dinâmico e atraente e as imagens da arquitetura

apresentadas em cada um dos períodos eram novidades para a turma. A aula

transcorreu de maneira tranqüila e interessante, deixando os alunos motivados ao

longo da apresentação, assim os mesmos fizeram colocações e perguntas sobre as

imagens arquitetônicas. Como a maiorias das imagens estavam sendo vista pela

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primeira vez, eles estavam eufóricos e ao mesmo tempo percebendo a beleza das

obras arquitetônicas apresentadas.

Na quarta etapa “Atividades de Classe” estabeleceu-se os conhecimentos

científicos e formais da geometria espacial. Para isso a turma foi dividida em grupos

de cinco alunos, onde cada grupo recebeu cinco folhas de papel com o desenho dos

principais sólidos planificados (pirâmide e prisma de base quadrangular, cilindro,

cone e cubo). No decorrer da atividade cada grupo era responsável por recortar e

montar os sólidos recebidos. Nesta aula, aproveitando o enfoque já trabalhado

anteriormente, quando foi estabelecida a relação entre a figura plana e a construção

da figura espacial através de material multimídia e da utilização dos sólidos em

acrílicos, os alunos estabeleceram as relações existentes entre as figuras planas e

os sólidos geométricos, através do manuseio das figuras planificadas. Observou-se

que, mesmo com o material concreto em mãos, os alunos encontraram dificuldades

para visualizar que aquelas figuras planas formariam após a construção uma figura

espacial ou tridimensional.

Após a construção dos sólidos pelos grupos, foi o momento de interpretá-los

e deduzir as fórmulas referentes às superfícies laterais, totais e volumes. No início,

os alunos apresentaram dificuldades para visualizar a relação existente entre as

figuras planas que estavam contidas no sólido e suas fórmulas, como por exemplo,

perceber que um cubo é formado por quadrados de mesmas dimensões e assim,

utilizando a fórmula da área do quadrado, se consegue calcular a superfície do

sólido. Aos poucos essa dificuldade foi desaparecendo e os alunos conseguiram

perceber quais as figuras planas que formavam os demais sólidos e quais as

fórmulas seriam necessárias para determinar as superfícies e o volume.

Nesta etapa foram proporcionadas aos alunos diferentes metodologias para

concretizar o processo de ensino aprendizagem, e a apartir deste momento foram

retomados todos os conceitos geométricos através da resolução de problemas

envolvendo a arquitetura e suas formas.

A atividade envolvendo a resolução de problemas foi desenvolvida em grupo

durante a aula. Neste momento alguns alunos apresentaram dificuldades em

identificar as fórmulas que deviam ser aplicadas para resolver os problemas, e só

conseguiram interpretar e definir as fórmulas a serem utilizadas juntamente com a

professora. Assim, foi de extrema importância fazer com que os alunos

16

participassem desta atividade e nos momentos que encontraram dificuldades

ocorreu à intervenção da professora.

Na quinta etapa “Atividades de Laboratório”, a atividade foi desenvolvida no

laboratório de informática. Inicialmente a turma foi dividida em equipes de

aproximadamente 10 alunos e, antes de desenvolvermos a atividade, os alunos

realizaram uma pesquisa com registros fotográficos de obras da arquitetura local. Na

sequência, após a coleta deste material fotográfico, as equipes trabalharam no

laboratório de informática, onde identificaram, nestas obras arquitetônicas, as formas

geométricas espaciais nelas contidas. Após uma análise criteriosa das imagens os

alunos confeccionaram material multimídia, dando ênfase às formas geométricas

espaciais encontradas nas imagens da nossa arquitetura.

Esta atividade foi realizada com muito empenho e participação dos alunos.

Porém, houve a necessidade de auxiliá-los durante o desenvolvimento deste

material. Todos os conceitos apreendidos anteriormente foram revistos. Após a

realização da atividade, cada equipe apresentou seu material confeccionado, onde

destacaram e fizeram colocações sobre as formas geométricas espaciais

encontradas nas imagens fotográficas da arquitetura local.

Ao final das apresentações, observou-se que as equipes conseguiram

realizar a atividade atingindo os objetivos propostos e, ao se depararem com uma

situação de experimentação, a qual não estavam acostumados, percebeu-se muita

criatividade na exploração das formas geométricas, momento esse onde ocorreu

uma maior percepção visual do espaço, levando cada aluno a perceber o que

mudou na forma de visualizar as imagens e informações do seu quotidiano.

Na sexta etapa “Resolução de Problemas”, a classe foi dividida novamente

em equipes formadas por três alunos, onde foram propostos problemas envolvendo

as formas geométricas encontradas em diferentes locais arquitetônicos. Os

problemas exigiram muita atenção dos alunos na interpretação, para que fossem

utilizadas as fórmulas corretas para solucioná-los. Alguns alunos apresentaram

dificuldades para compreender o enunciado do problema, e definir quais as fórmulas

que deveriam ser utilizadas nos cálculos. Novamente foi necessária a intervenção da

professora para auxiliar os alunos na interpretação dos problemas. A intervenção

aconteceu através de perguntas de interpretação e análise do tipo: qual a forma

geométrica encontrada no problema, quais as informações que temos no problema,

17

o que queremos saber, quais as fórmulas são necessárias aplicar para encontrar a

solução.

Durante o desenvolvimento da atividade, percebeu-se que, na sequência

dos problemas, os alunos tentavam buscar a solução utilizando a mesma linha de

raciocínio apresentada anteriormente, e após a resolução de alguns problemas, eles

interagiam com seus colegas de equipe, o que proporcionou um melhor

desempenho dos mesmos em solucionar os problemas restantes. Diante das

dificuldades apresentadas pelos alunos na interpretação de problemas, constatou-se

que a intervenção do professor no processo de interpretação e resolução do

problema é decisiva, pois a abstração acontece de forma gradativa na aprendizagem

do aluno.

A sétima etapa “Revisão” aconteceu durante uma aula onde foram revistos

todos os conteúdos apreendidos anteriormente com os alunos. Essa retomada

aconteceu de forma simples através de um debate com perguntas e respostas, entre

professor e alunos.

A oitava etapa “Avaliação” foi necessária para fundamentar o trabalho

pedagógico. Ela aconteceu de forma continua, em todas as etapas, durante as

atividades desenvolvidas em sala de aula e no laboratório de informática. Na

avaliação das atividades desenvolvidas pelos alunos, percebeu-se uma melhora

significativa na interpretação e solução dos problemas propostos, em comparação

com o observado na quarta etapa, onde os alunos apresentaram dificuldades em

interpretar os sólidos, deduzir, identificar e aplicar as fórmulas na resolução dos

problemas propostos. Lá as dificuldades foram superadas com a intervenção da

professora, mas essa ajuda ocorreu de maneira indutiva. Já na sexta etapa, que

envolveu a resolução de problemas, novamente os alunos apresentaram a mesma

dificuldade na interpretação dos enunciados e definição das fórmulas a serem

aplicadas. Para solucionar essa dificuldade a professora utilizou o método do

questionamento através de perguntas diretas. Após essa primeira intervenção,

percebeu-se que nos próximos problemas os alunos buscavam a solução seguindo

o mesmo raciocínio utilizado anteriormente.

Desta maneira foi possível perceber que a metodologia utilizada para

conduzir as atividades durante as aulas, por meio de recursos visuais, recursos

tecnológicos, materiais concretos e resolução de problemas contextualizados

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provocou uma mudança de atitudes dos alunos, com isso melhorou a participação e

motivação, conseqüentemente um envolvimento maior dos alunos em relação aos

conteúdos geométricos.

Todas as etapas e atividades citadas acima estão disponíveis no Portal do

PDE, na Produção Didático-Pedagógica5, que é uma unidade didática para os

alunos com referência na utilização da Geometria Espacial e suas aplicações na

arquitetura, esse material poderá ser útil a professores que tenham interessem e

queiram usá-los em suas práticas docentes.

3.1 Contribuições do “Grupo de Trabalho em Rede” – GTR

Os Grupos de Trabalho em Rede - GTR/2011 constituem uma das

atividades da Turma do PDE/2010 e caracteriza-se pela interação a distância entre o

Professor PDE e os demais professores da Rede Pública Estadual, cujo objetivo é a

socialização e discussão das produções e atividades desenvolvidas. O GTR

desenvolvido neste trabalho teve como objetivo contribuir para a aprendizagem dos

alunos a partir da aplicação dos conceitos fundamentais da Geometria em situações

vivenciadas em seu quotidiano e foi um espaço muito importante onde aconteceram

interações entre educadores de todo o Estado, e desta maneira ocorreram trocas de

experiências em atividades realizadas e vivenciadas pelos educadores em

realidades diferentes.

Nesse ambiente virtual GTR o trabalho desenvolvido foi exposto, onde os

professores PDE’s socializam o Projeto de Intervenção Pedagógica e o Material

Didático Implementado, proporcionando aos professores participantes expressarem

suas opiniões e sugestões a respeito do projeto, e oportunizam formação na

modalidade à distância, por meio do Ambiente Virtual de Aprendizagem, aos

professores da Rede Estadual de Educação do Estado do Paraná.

O GTR foi de fundamental importância, pois atingiu o objetivo proposto no

início do trabalho, que era a socialização e discussão das produções e atividades

desenvolvidas durante o PDE, o que aconteceu com sucesso, pois tantos nos fóruns

5 http:// www.diaadiaeducacao.pr.gov.br

19

quanto nas atividades propostas, ocorreu uma troca de experiências fantástica entre

os participantes. Muitas contribuições foram obtidas, tanto para o desenvolvimento e

implementação da produção didática, como outras atividades que complementaram

o material construído.

No ambiente virtual, os professores participantes expressaram suas opiniões

e sugestões a respeito do projeto e do material pedagógico. Um resumo dessas

colocações está descrita a seguir.

Os resultados obtidos apontaram para uma aprendizagem significativa e

prazerosa, ocorrendo uma sintonia entre alguns participantes na percepção de que o

projeto "Aplicação da Geometria Espacial na Arquitetura” trazia inovações no ensino

da geometria, e o quanto foi importante e valioso o processo da busca por imagens

arquitetônicas antigas e atuais, inclusive as da arquitetura local.

No tocante à Produção Pedagógica, os participantes perceberam que as

diferentes metodologias utilizadas foram fundamentais para a construção do

conhecimento. Ressaltando que a pesquisa histórica favoreceu a

interdisciplinaridade, fundamentando todo o trabalho e fazendo com que os alunos

visualizassem a arquitetura como construção humana ao longo da história. Outro

fator relevante foi a visualização dos locais indicados na retomada da história das

obras arquitetônicas desde a pré-história até os dias atuais, oportunizando aos

alunos uma viagem no tempo, permitindo maior interação entre todos os

participantes do processo.

O trabalho realizado com a arquitetura local foi muito significante, pois levou

o aluno a ter um novo olhar sobre a cidade, percebendo melhor os detalhes

arquitetônicos e valorizando mais os detalhes artístico das construções. A proposta

de ensinar a geometria utilizando obras arquitetônicas da antiguidade e locais

favorecem a interdisciplinaridade promovendo a integração entre os conteúdos

matemáticos e áreas afins do conhecimento tornando o processo de ensino

aprendizagem mais interessante e significativo.

4 Considerações Finais

20

O projeto deixa claro que a utilização de metodologias diferenciadas durante

as atividades que propiciam a interação social, a motivação, a cooperação e a

contextualização em sala de aula, faz a diferença no aprendizado e no ambiente

escolar, pois o aluno participa ativamente no processo de construção do

conhecimento, através de interações com o ambiente. Conforme Nogueira (2010,

p.15) o aluno “é um indivíduo que entra para a escola com hipóteses sobre o mundo

e suas representações”. Nesta teoria parte-se da ideia de que o aluno já é detentor

de um saber e, considerando as experiências por ele vividas, é possível levá-lo à

construção do conhecimento verdadeiro.

Durante o desenvolvimento das etapas, foi necessária uma mudança no

papel do professor e consequentemente dos alunos, implicando em uma maior

dedicação, onde o professor que tradicionalmente é visto como um transmissor de

informações passou a ser o orientador, motivador e aliado dos alunos no processo

de ensino-aprendizagem, e os educando aprendizes atuantes no processo da

construção do conhecimento. Esta dinâmica é característica o construtivismo, onde

alunos e professores estão envolvidos num processo constante de construção do

conhecimento. Nas mediações entre o conhecimento dos alunos e o conhecimento

cientifico, há grande troca de experiências levando a uma relação de ensino

aprendizagem mútua.

Os alunos têm acesso a muitas informações, assim é importante criar

situações que sejam desafiadoras. Ao trabalhar com os conceitos geométricos de

forma contextualizada, a partir da realidade em que eles vivem, a aula passa a ser

mais interessante e significativa, sendo mais uma alternativa para o Ensino da

Geometria. A diversificação das metodologias durante as aulas foi muito importante

e a contextualização dos conteúdos através das imagens ajudou na estruturação do

pensamento, levando o aluno a compreender e interpretar melhor os conceitos

matemáticos.

Todas as etapas realizadas em sala de aula foram desenvolvidas em

grupos, o que de certa forma aproximou os alunos, proporcionando uma troca de

experiências e conhecimento, promovendo uma aprendizagem individual e coletiva,

construindo o conhecimento através da cooperação, pois nas dificuldades

encontradas os alunos se ajudavam mutuamente. A atividade extraclasse, onde

ocorreu à busca por imagens fotográficas da arquitetura local, foi mais uma forma

21

dos alunos associarem conhecimentos escolares aos do meio em que vivem,

passando a dar mais importância aos conteúdos abordados em sala de aula.

Após a conclusão das atividades com os alunos, utilizando a leitura de

imagens e a contextualização da geometria em obras arquitetônicas, verificou-se

que a construção do conhecimento aconteceu de forma significativa e gradativa no

tocante a interpretação e resoluções das situações problemas, pois os alunos

conseguiram relacionar o conhecimento adquirido no cotidiano com a matemática

apreendida na sala de aula.

Desta maneira acredita-se que a proposta aqui apresentada é executável

como uma nova metodologia de trabalho, desde que o professor organize ações que

levem os alunos a pensarem de forma crítica, contribuindo no processo de ensino

aprendizagem da matemática.

Referências

ARGAN, Giulio Carlo. Arte Moderna; 10ª ed. Tradução Denise Bottmann e Federico Carotti. São Paulo: Editora Schwarcz Ltda, 2006.

BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática; Tradução: Elza F. Gomide. São Paulo. Edgar Blucher, 1974.

COTRIM, Gilberto. Fundamentos da Filosofia: História e grandes temas; 16.ed. São Paulo: Saraiva, 2006.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática – Ensino Médio; volume único, 1ª ed. São Paulo: Editora Ática, 2005.

EVES, Howard Whitley. Introdução à História da Matemática; Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas, São Paulo: Editora da UNICAMP, 2004.

EVES, Howard. Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula: Geometria; Tradução: Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual Editora Ltda, 1992.

GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática Completa – Ensino Médio; volume 2, 2ª ed. Renovada, São Paulo: Editora FTD, 2005.

22

NOGUEIRA, Clélia Maria Ignatius; KATO, Lilian Akemi; BARROS, Rui Marcos de Oliveira. Teoria e prática em educação matemática: aproximação da universidade com a sala de aula. Maringá: Eduem, 2010.

PIRES, Céli Maria Carolino; CURI, Eddna; CAMPOS, Tânia Maria Mendonça. Espaço e Forma: a construção de noções geométricas pelas crianças das quatro séries iniciais do ensino fundamental. São Paulo: PROEM, 2000.

SANTOS, Carlos Alberto Marcondes dos; GENTIL, Nelson; GRECO, Sergio Emilio. Matemática – Ensino Médio; volume único, 7ª ed. São Paulo: Editora Ática, 2003.

SANTOS, Maria das Graças Vieira Proença dos. História da Arte; 17ª ed. São Paulo: Editora Ática, 2007.

SMOLE, Kátia Cristina Stocco; DINIZ, Maria Ignez de Souza Vieira. Matemática – Ensino Médio; volume 2, 5ª ed. São Paulo, Editora Saraiva, 2005.SOUZA, Joamir Roberto de. Novo Olhar Matemática – Ensino Médio; volume 3, 1ª ed. São Paulo: Editora FTD, 2010.

SECRETARIA DE EDUCAÇÃO BÁSICA - BRASILIA. Orientações Curriculares para o ensino médio; volume 2: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília, 2006.

SECRETARIA DE EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília, 1998.

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO DO PARANÁ. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Curitiba, 2008.

TOLEDO, Marília; TOLEDO, Mauro. Didática de Matemática: como dois e dois: a construção da matemática. São Paulo: FTD, 1997.

23