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Antiderivadas e Integrais Indefinidas
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
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Antiderivadas e Integrais Indefinidas
1.Antiderivadas
2.Notação para antiderivadas e integrais indefinidas
3.Cálculo de antiderivadas
4.Soluções particulares
5.Aplicação
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1. Antiderivadas
Até aqui, tem-nos preocupado essencial-mente o problema: dada uma função, achar a suaderivada. Muitas aplicações importantes do cálculoenvolvem o problema inverso: dada a derivada deuma função, achar a função. Suponha, por exemplo,dadas
′ ′ ′= = =2( ) 2, ( ) 3 , e ( ) 4f x g x x s t t
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1. Antiderivadas
Nosso objetivo é determinar as funções f, ge s. Formulando hipóteses adequadas, poderemoschegar ao seguinte:
[ ]= =( ) 2 porque 2 2d
f x x xdx
= = 3 3 2( ) porque 3
dg x x x x
dx
= = 2 2 ( ) 2 porque 2 4
ds t t t t
dx
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1. Antiderivadas
Esta operação, que consiste em determinara função original a partir de sua derivada, é aoperação inversa da diferenciação. É chamadaantidiferenciação.
OBS: Neste texto utilizamos a expressão “F (x) éuma antiderivada de f (x)” como sinônima de “F éuma antiderivada de f ”.
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1. Antiderivadas
Definição de Antiderivada
Uma função F é uma antiderivada de uma funçãof se, para todo x no domínio de f, temos F’ (x) = f (x).
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1. Antiderivadas
Se F (x) é uma antiderivada de f (x), entãotambém o é F (x) + C, onde C é uma constantearbitrária. Por exemplo,
= = − = +3 3 3( ) , ( ) 5, e ( ) 0,3F x x G x x H x x
são antiderivadas de 3x2 porque a derivada decada uma delas é 3x2. Acontece que todas asantiderivadas de 3x2 são da forma x3 + C. Assim, oprocesso de antidiferenciação não define umafunção única, e sim uma família de funções, quediferem entre si por uma constante.
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2. Notação para antiderivadase integrais indefinidas
O processo de antidiferenciação é tambémchamado integração e é indicado pelo símbolo
∫ Sinal de Integral
chamado sinal de integral.
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2. Notação para antiderivadase integrais indefinidas
O símbolo
∫ ( ) Integral Indefinidaf x dx
é a integral indefinida de f (x), e representa a fa-mília de antiderivadas de f (x); isto é, se F ’(x) =f (x) para todo x, então podemos escrever
= +∫�����
( ) ( )f x dx F x C
Sinal de integral Integrando Diferencial
Antiderivada
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2. Notação para antiderivadase integrais indefinidas
Onde f (x) é o integrando e C é a constantede integração. A diferencial dx na integralindefinida identifica a variável de integração. Ouseja, o símbolo
= +∫ ( ) ( )f x dx F x C
denota a “antiderivada de f em relação a x”, damesma forma que o símbolo dy/dx a “derivada de yem relação a x”.
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2. Notação para antiderivadase integrais indefinidas
Notação de Integral para Antiderivadas
A notação
onde C é uma constante arbitrária, significa que F éuma antiderivada de f. Isto é, F’ (x) = f (x) para todo xno domínio de f.
= +∫ ( ) ( )f x dx F x C
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2. Notação para antiderivadase integrais indefinidas
Exemplo 1: Utilizando a notação de integral,podemos escrever como se segue as trêsantiderivadas dadas no início desta aula.
= +∫a. 2 2dx x C
= +∫2 3b. 3x dx x C
= +∫2c. 4 2t dt t C
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O relacionamento inverso entre asoperações de integração e diferenciação pode serapresentado simbolicamente a seguir.
= ∫ A diferenciação é o inverso da integração( ) ( ) d
f x dx f xdx
′ = +∫ A integração é o inverso da diferenciação( ) ( ) f x dx f x C
3. Cálculo de antiderivadas
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Este relacionamento entre integração ediferenciação permite obtermos fórmulas deintegração diretamente a partir de fórmulas dediferenciação. A seguir são apresentadas asfórmulas de integração que correspondem aalgumas fórmulas de diferenciação já estudadas.
3. Cálculo de antiderivadas
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3. Cálculo de antiderivadas
Regras Básicas de Integração
1. Regra da Constante
2. Regra do Múltiplo Constante
3. Regra da Soma
= +∫ , k é uma constantek dx kx C
=∫ ∫( ) ( ) , k é uma constantek f x dx k f x dx
[ ]+ = +∫ ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )f x dx g x dx f x dx g x dx
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3. Cálculo de antiderivadas
4. Regra da Diferença
5. Regra Simples da Potência+
= + ≠ −+∫
1
, 11
nn x
x dx C nn
[ ]− = −∫ ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )f x dx g x dx f x dx g x dx
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3. Cálculo de antiderivadas
OBS 1: A Regra Geral da Potência será estudadana Aula 37, e as Regras Exponencial e Log serãoabordadas na Aula 38.
OBS 2: Não esqueça que a Regra Simples daPotência tem a restrição de que n não pode serigual a -1; não podemos aplicá-la para calcular aintegral
∫1
dxx
Para calcular esta integral, devemos aplicar aRegra Log (Aula 38).
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3. Cálculo de antiderivadas
Exemplo 2: Calcule as integrais indefinidas
= +∫a. 2 2dx x C
= +∫b. 1dx x C
− = − +∫c. 5 5dt t C
No Exemplo 2b, costuma-se escrever a
integral simplesmente .∫1dx ∫dx
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3. Cálculo de antiderivadas
Exemplo 3: Calcule a integral indefinida
∫3x dx
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3. Cálculo de antiderivadas
Solução:
=∫ ∫3 3x dx x dx Regra do Múltiplo Constante
= ∫13 x dx Escrever x como x1
= +
2
32x
C Regra da Potência com n = 1
= +232
x C Simplificar
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3. Cálculo de antiderivadas
No cálculo de integrais indefinidas, aaplicação estrita das regras básicas de integraçãotende a gerar constantes de integração poucocômodas. Por exemplo, no Exemplo 3, poderíamoster escrito
= = + = +
∫ ∫
223
3 3 3 32 2x
x dx x dx C x C
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3. Cálculo de antiderivadas
Todavia, como C representa uma constantearbitrária, é desnecessário escrever a constantede integração como 3C. Basta escrevermos
+232
x C
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3. Cálculo de antiderivadas
No Exemplo 3, note que o padrão geral deintegração é análogo ao da diferenciação.
∫
Dado:
3x dx→
∫
Escrever como:
13 x dx→
+
Integrar:
2
32x
C→ +
Simplificar:
232
x C
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3. Cálculo de antiderivadas
Exemplo 4: Escreva sob nova forma antes deintegrar
∫ 3
1a. dx
x
∫b. x dx
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3. Cálculo de antiderivadas
Exemplo 4: Escreva sob nova forma antes deintegrar
∫
Integral dada
3
1a. dx
x−
∫
Escrever como
3x dx−
+−
Integrar
2
2x
C − +
Simplificar
2
12
Cx
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3. Cálculo de antiderivadas
Exemplo 4: Escreva sob nova forma antes deintegrar
∫
Integral dada
b. x dx ∫
Escrever como
12x dx +
Integrar
32
32
xC +
Simplificar
322
3x C
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3. Cálculo de antiderivadas
Nota: Recorde que podemos verificar pordiferenciação a resposta de um problema deantidiferenciação. Assim é que, no Exemplo 4b,podemos constatar, diferenciando, que
322
3x
é a antiderivada correta; obtemos
= =
3 12 22 2 3
3 3 2d
x x xdx
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3. Cálculo de antiderivadas
Com as cinco regras básicas de integração,podemos integrar qualquer função polinomial,conforme demonstramos no próximo exemplo.
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3. Cálculo de antiderivadas
Exemplo 5: Determine as seguintes integraisindefinidas
( )+∫a. 2x dx
( )− +∫4 2b. 3 5x x x dx
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3. Cálculo de antiderivadas
a. Aplique a Regra da Soma para integrar cadaparte separadamente
( )+ = + = + +∫ ∫ ∫2
2 2 22x
x dx x dx dx x C
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3. Cálculo de antiderivadas
b. Procure identificar cada regra básica deintegração utilizada para o cálculo desta integral
( ) − + = − + +
∫
5 3 24 23 5 3 5
5 3 2x x x
x x x dx C
= − + +5 3 23 5 15 3 2
x x x C
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3. Cálculo de antiderivadas
Exemplo 6: Determine a integral indefinida
+∫
1xdx
x
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3. Cálculo de antiderivadas
Inicialmente, escreva o quociente nointegrando como uma soma. Em seguida, escrevacada termo com expoentes racionais.
+ = +
∫ ∫1 1x x
dx dxx x x
Escrever como uma soma
( )−= +∫
1 12 2x x dx Usar expoentes racionais
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3. Cálculo de antiderivadas
= + +3 1
2 2
3 122
x xC
= + +3 1
2 222
3x x C
Aplicar a Regra da Potência
Simplificar
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3. Cálculo de antiderivadas
Nota: Ao integrar quocientes, não cometa o errode integrar numerador e denominadorseparadamente. Assim é que, no Exemplo 6,
( )++ ≠ ∫∫∫
11 x dxxdx
x x dx
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4. Soluções particulares
Já vimos que a equação
= ∫ ( )y f x dx
tem infinitas soluções, cada uma das quais diferedas outras por uma constante. Isto significa que osgráficos de duas antiderivadas quaisquer de f sãotranslações verticais uma da outra. A figura aseguir mostra os gráficos de várias antiderivadasda forma
( )= = − = − +∫2 3( ) 3 1y F x x dx x x C
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4. Soluções particulares
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4. Soluções particulares
Cada uma dessas antiderivadas é umasolução de
= −23 1dy
xdx
Em muitas aplicações da integração,dispomos de informação suficiente paradeterminar uma solução particular. Para tanto,basta conhecermos o valor de F (x) para um valorde x.
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4. Soluções particulares
Por exemplo, na figura anterior há apenasuma curva que passa pelo ponto (2, 4). Paradeterminar esta curva, lançamos mão dainformação abaixo
Solução geral= − +3( )F x x x C
=(2) 4F Condição inicial
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4. Soluções particulares
Levando esta condição inicial na soluçãogeral, verificamos que
( )= − + = ⇒ = −3(2) 2 2 4 2F C C
Assim, a solução particular é
= − −3( ) 2F x x x
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4. Soluções particulares
Exemplo 7: Determine a solução geral de
′ = −( ) 2 2F x x
e a solução particular que satisfaz a condiçãoinicial
=(1) 2F
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4. Soluções particulares
Inicialmente, integremos para determinar asolução geral.
( )= −∫( ) 2 2F x x dx
= − +2 2x x C
Integrar F ’(x) para obter F (x)
Solução geral
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4. Soluções particulares
Com a condição inicial F (1) = 2, podemosescrever
( )= − + = ⇒ =2(1) 1 2 1 2 3F C C
Assim, a solução particular é
= − +2( ) 2 3F x x x Solução particular
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4. Soluções particulares
A figura a seguir exibe graficamente estasolução. Note que cada uma das curvas representauma solução da equação
′ = −( ) 2 2F x x
A curva em destaque, entretanto, é a únicasolução que passa pelo ponto (1, 2), o que significaque
= − +2( ) 2 3F x x x
é a única solução que satisfaz a condição inicial.
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4. Soluções particulares
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5. Aplicação
Exemplo 8: Joga-se uma bola para cima, de umaaltura inicial de 80 pés, com uma velocidade inicialde 64 pés por segundo, conforme a figura a seguir.Deduza a função posição que dê a altura s (em pés)como função do tempo t (em segundos). Em queinstante a bola atinge o solo?
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5. Aplicação
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5. Aplicação
Representemos por t = 0 o tempo inicial.Então, as duas condições dadas podem ser escritascomo a seguir:
=(0) 80s
′ =(0) 64s
A altura inicial é de 80 pés
A velocidade inicial é de 64 pés por segundo
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5. Aplicação
Como a aceleração devida à gravidade é de32 pés por segundo por segundo, temos:
′′ = −( ) 32s t
′ = −∫( ) 32s t dt
Aceleração devida à gravidade
Integrar s ”(t) para obter s ’(t)
1( ) 32s t t C′ = − + Função velocidade
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5. Aplicação
Levando em conta a velocidade inicial,concluímos que C1 = 64
′ = − +( ) 32 64s t t
( )= − +∫( ) 32 64s t t dt
Função velocidade
Integrar s ’(t) para obter s(t)
= − + +22( ) 16 64s t t t C Função posição
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5. Aplicação
Utilizando a altura inicial, temos que C2 = 80.Assim, a função posição é
Função posição= − + +2( ) 16 64 80s t t t
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5. Aplicação
Para determinar o instante em que a bolaatinge o solo, igualemos a zero a função posição eresolvamo-la em relação a t.
− + + =216 64 80 0t t
( )( )− + − =16 1 5 0t t
= − =1, 5t t
Igualar s (t) = 0
Fatorar
Resolver em relação a t
Como o tempo deve ser positivo, concluímosque a bola atinge o solo 5 segundos após ter sidolançada.