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ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
AULA 3:
OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS:
OPERARAÇÕES NAS VARIÁVEIS DEPENDENTES;
OPERARAÇÕES NA VARIÁVEL INDEPENDENTE.
FUNÇÕES ELEMENTARES:
O DEGRAU UNITÁRIO; O IMPULSO UNITÁRIO;
A RAMPA UNITÁRIA; O PULSO UNITÁRIO;
A FUNÇÃO PORTA; O PULSO TRIANGULAR;
A FUNÇÃO SIGNUM.
2
OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS
Operações Executadas nas Variáveis Dependentes
Os sistemas processam sinais utilizando uma combinação
de algumas operações básicas.
Saída do Sistema Entrada do Sistema
SISTEMA x(t) y(t)
y(t)= f(x(t))
3
OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS
Operações Executadas nas Variáveis Dependentes
Mudança de Escala de Amplitude – o sinal y(t) é definido por:
y(t) = c x(t) para o caso contínuo;
y[n]= c x[n] para o caso discreto.
Em que c é um fator de escala.
Adição– o sinal y(t) é definido por:
y(t) = x1(t) + x2(t) para o caso contínuo;
y[n]= x1 [n] + x2 [n] para o caso discreto.
x(t) SISTEMA
y(t)
y(t)= c x(t)
x1(t) SISTEMA y(t)
y(t) = x1(t) + x2(t)
x2(t)
4
OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS
Operações Executadas nas Variáveis Dependentes
Multiplicação – o sinal y(t) é definido por:
y(t) = x1(t) . x2(t) para o caso contínuo;
y[n]= x1 [n] . x2 [n] para o caso discreto.
x1(t) SISTEMA y(t)
y(t) = x1(t) . x2(t)
x2(t)
Diferenciação – o sinal y(t) é obtido a partir da derivada de x(t).
dy(t)= x(t)
dtpara o caso contínuo;
y[n] = x[n] - x[n - 1] para o caso discreto.
x(t) SISTEMA
y(t)
y(t) = x’(t)
5
OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS
Operações Executadas nas Variáveis Dependentes
Integração – o sinal y(t) é obtido pela integração de x(t).
t
-y(t)= x( )d
para o caso contínuo;
y[n] = x[ ]
n
para o caso discreto.
x(t) SISTEMA
y(t)
y(t) = ∫ x(t)
6
OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS
Operações Executadas na Variável Independente
Escalonamento Temporal – o sinal y(t) é obtido pela mudança
de escala da variável independente, o tempo t, por um fator a.
Se a > 1, o sinal y(t) é uma versão comprimida de x(t).
1
-2 1/2 -1/2
1
1 -1
1
t t t
x(t) x(2t) x(t/2)
a=2 a=1/2
2
Se 0 < a < 1, o sinal y(t) é uma versão expandida de x(t).
y(t)= x(at), com a >0.
7
OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS
Operações Executadas na Variável Independente
Escalonamento Temporal – para o caso discreto tem-se que:
y[n] = x[kn],
x[n]
1/2
1
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
...
com k >0.
1
x[2n]
n
...
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
k = 2k = 1/2
1/2
1
x[n/2]
n
...
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
8
OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS
Operações Executadas na Variável Independente
Reversão Temporal ou Reflexão – o sinal y(t) apresenta uma
versão refletida de x(t) em relação ao eixo de amplitude.
y(t)= x(-t),
1 1
t t
x(t) x(-t)
-b a -a b
9
OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS
Operações Executadas na Variável Independente
Reversão Temporal ou Reflexão – para o caso discreto tem-se
que. y[n] = x[-n],
-0,5
0,5
n
x[n]
-1
1
-1
0
-2
1 2 -0,5
0,5
n
y[n]=x[-n]
2 1
-1
1
-1 0 -2
10
OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS
Operações Executadas na Variável Independente
Deslocamento Temporal – o sinal y(t) é uma versão de x(t)
deslocada no tempo. Sendo to o deslocamento no tempo, tem-se
que: o
y(t)= x(t -t ),
Se to > 0, então x(t) é deslocada para a direita;
Se to < 0, então x(t) é deslocada para a esquerda;
1
x(t)
t -1 1
1
x(t+2)
t -1 -3
1
x(t-2)
t 3 1
11
OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS
Operações Executadas na Variável Independente
Deslocamento Temporal – para o caso discreto tem-se que:
Exemplo: Sendo
y[n] = x[n - m], sendo que o deslocamento m deve ser um número
inteiro positivo ou negativo.
1, se n = 1 ou n = 2
x[n] = -1, se n = -1 ou n = -2
0, se n = 0 ou n > 2 .
;
;
-6 -5 -4 -3
-1
-2 -1
1
x[n+3]
n 1
-1
-3 -2 -1
1
x[n]
n 1 2 3
Determine y[n]=x[n+3]
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OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS
Operações Executadas na Variável Independente
Regra de Precedência para Deslocamento e Escalonamento
Seja x(t) um determinado sinal e y(t) =x(at-b).
A obtenção de y(t) a partir de x(t) envolve as operações de
escalonamento e deslocamento.
Em qual sequência devem ser executadas as operações?
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OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS
Operações Executadas na Variável Independente
Regra de Precedência para Deslocamento e Escalonamento
Façamos primeiro o escalonamento e depois o deslocamento:
O escalonamento temporal de x(t) pelo fator a resulta em x(at).
Para se efetuar o deslocamento temporal de x(at) deve-se
substituir t por t-b, resultando em .
Portanto, esta sequência de operações não é a correta!
x(a(t - b))=x(at - ab)) y(t)
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OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS
Operações Executadas na Variável Independente
Regra de Precedência para Deslocamento e Escalonamento
Façamos, agora, o deslocamento e depois o escalonamento:
Para se efetuar o deslocamento temporal de x(t) deve-se
substituir t por t-b, resultando em x(t-b).
O escalonamento temporal de x(t-b) pelo fator a resulta em
x(at-b)=y(t).
Portanto, esta é a sequência correta para se efetuar as
operações!
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OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS
Operações Executadas na Variável Independente
Regra de Precedência para Deslocamento e Escalonamento
Exemplo – Determine x[2n+3] sendo x[n] conforme mostrado
no gráfico abaixo;
-1
-3 -2 -1
1
x[n]
n 1 2 3 1 2 3
-6 -5 -4
-1
-3 -2 -1
1
x[n+3]
n 1 2 3
-1
-3 -2 -1
1
x[2n+3]
n
16
SINAIS ELEMENTARES
O Degrau Unitário (contínuo)
Para o caso contínuo
é definido por:
1, para t > 0u(t)=
0, para t < 0
1
t
u(t)
Em geral tem-se que:
0
0
0
1, para t >tu(t - t )=
0, para t < t
1
t0 t
u(t-t0)
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SINAIS ELEMENTARES
O Degrau Unitário (contínuo)
Um pulso pode ser escrito como uma combinação de
degraus.
1
t1 t
u(t-t1)
1
t2 t1 t
x(t)
1
t2 t
u(t-t2)
1 2x(t)= u(t - t ) - u(t - t )
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SINAIS ELEMENTARES
O Degrau Unitário (discreto)
Para o caso discreto é definido por:
1, para n 0u[n] =
0, para n < 0
1
u[n]
n
...
0 1 2 3 4 5 6 -3 -2 -1
Em geral tem-se que:
0
0
0
1, para n nu[n - n ] =
0, para n < n
1
u[n-n0]
n
n0=3
...
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
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SINAIS ELEMENTARES
O Degrau Unitário (discreto)
Alguns sinais discretos podem ser escritos como uma
combinação de degraus.
1, para 0 n 6x[n] =
0, caso contrário
Exemplo – Um sinal discreto
1
x[n]
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -3 -2 -1
Escrever x[n] como superposição de
duas funções degraus.
Resposta:
x[n] =u[n] -u[n -7]
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SINAIS ELEMENTARES
O Impulso Unitário (contínuo) - A Função Delta de Dirac
Para o tempo contínuo é definido como:
-
(t)= 0, para t 0 e
(t)dt = 1
A integral pode
ser escrita como:
O impulso tem valor infinito em t=0, porém, intensidade
unitária, pois a área sob o mesmo é 1.
O impulso deslocado é expresso por:
δ(t)
t
-
0
0(t)dt = 1
0
-0
0 0
t
0t
(t - t )= 0, para t t e
(t - t )dt = 1
t0
δ(t-t0)
t
21
SINAIS ELEMENTARES
O Impulso Unitário (contínuo)
Um pulso retangular, conforme mostrado na figura abaixo,
pode ser usado para se entender melhor a função impulso.
Observe que, quando T tende a zero,
a amplitude do pulso tende a infinito,
enquanto sua largura tende a zero.
A área é sempre igual a 1.
0(t)=lim g(t)
T
1/T
T/2
-T/2 t
g(t)
Dessa forma, o impulso pode ser escrito como:
22
SINAIS ELEMENTARES
O Impulso Unitário (contínuo)
Exemplo em que aparece um impulso.
Observe que a constante de tempo
(t=RC) é nula (R=0). Isto significa
que uma carga, Q =CV0, deve ser
armazenada no capacitor num
intervalo de tempo infinitesimal. Um
impulso de corrente deve ocorrer em
t=0.
C V0 u(t) + -
VC
-t/RC
c 0V (t)=V (1- e )
23
SINAIS ELEMENTARES
Propriedade Seletiva do Impulso
Qual o valor da integral?
Como
0-
f(t) (t - t )dt =
?
0 0(t - t )= 0, para t t a integral é diferente de zero.
somente em t=t0 . Assim, tem-se que:
0 0 0 0 0 0- - -
f(t) (t - t )dt = f(t ) (t - t )dt = f(t ) (t - t )dt = f(t )
0 0-
f(t) (t - t )dt = f(t )
E também 0 0 0f(t) (t - t )= f(t ) (t - t )
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SINAIS ELEMENTARES
Relação entre a função degrau e a função impulso
Observe os gráficos abaixo:
-0
du(t)(t)= e
dt
u(t)= ( )d
t
1
T/2
-T/2 t
f(t) O segundo gráfico corresponde à
derivada do primeiro.
Quando T tende a zero f(t) tende a u(t)
e df(t)/dt tende a δ(t).
Dessa forma, o impulso pode ser visto
como a derivada do degrau.
1/T
T/2
-T/2 t
df(t)/dt
25
SINAIS ELEMENTARES
O Impulso Unitário (caso discreto) – A Função Delta
de Kronecker
Em tempo discreto, o impulso unitário é definido como:
1, para n= 0[n] =
0, para n 0
O impulso deslocado é expresso por.
1
δ[n]
n
0
0
0
1, para n= n[n - n ] =
0, para n n
n0
1
δ[n-n0]
n
26
SINAIS ELEMENTARES
Propriedade Seletiva do Impulso (caso discreto)
Qual o valor do somatório?
Como
0
-
x[n] [n - n ]
?
0 0[n - n ] = 0, para n n tem-se que
0 0
-
x[n] [n - n ] x[n ]
Observe que, para o caso discreto pode-se escrever:
0 0x[n] [n - n ] x[n ]
27
SINAIS ELEMENTARES
Relação entre o degrau e o Impulso discreto)
Pode-se observar facilmente que:
[n] = u[n] - u[n - 1] 1
u[n]
n
...
0 1 2 3 4 5 6 -3 -2 -1
1
u[n-1]
n
...
0 1 2 3 4 5 6 -3 -2 -1
1
δ[n]
n
28
SINAIS ELEMENTARES
Relação entre o degrau e o Impulso discreto
Pode-se observar também que:
1
u[n]
n
...
0 1 2 3 4 5 6 -3 -2 -1
0u[n] = [n - n ]
0 0n
1
δ[n]
n
n0=0
1
1
δ[n-1]
n
n0=1
+ +
2
1
δ[n-2]
n
n0=2
+ ...
29
SINAIS ELEMENTARES
A Rampa Unitária (caso contínuo)
Para o tempo contínuo é definida como: t, para t 0 e
t0, para t < 0
( )r
Ou simplesmente r t t u(t)( )
t
r(t)
45°
Observe que d r(t)
u tdt
( )
E também que r t u( )d
( )t
1
t
u(t)
30
SINAIS ELEMENTARES
A Rampa Unitária (caso discreto)
Para o tempo discreto é definida como: n, para n 0 e
[n]0, para n < 0
r
Ou simplesmente r[n] n u[n]
Observe que u[n] [n+1] - r[n]r
E também que
1
n
r[n]
-3
2
-1 0 -2 1 2 3
3 ...
0r[n] = u[n ]
0
1
1
n
n
1
n
r[n+1]
-3
2
-1 0 -2 1 2 3
3 ...
31
SINAIS ELEMENTARES
Exercício - Determine uma expressão analítica para a função
x(t) mostrada no gráfico abaixo.
2
t
x(t)
2 3
x t tu(t) - 3tu(t - 2)+ 2tu(t - 3)+
6[u(t - 2) - u(t - 3)].
( )
Resposta:
32
SINAIS ELEMENTARES
O pulso Unitário
É definido por: 1/ , para 0 < t < e
p t0, para t < 0 ou t >
( )
1/τ
0
τ t
p(t)
Observe que a área do pulso é unitária.
-p(t)dt = 1
33
SINAIS ELEMENTARES
A Função Porta ou Pulso de Porta
É definido por:
1, para t < et 2
ret
0, para t2
( )
Quando τ =1. temos a chamada
Função Porta Unitária ret(t),
cuja área é 1.
-ret(t)dt = 1
1
τ /2 - τ /2 t
ret(t/τ)
Possui amplitude 1.
34
SINAIS ELEMENTARES
O Pulso Triangular
É definido por:
t1 - 2 para t
t 2( )
0, para t2
Possui altura 1.
τ /2 - τ /2
1
t
Δ(t/τ)
Quando τ =1. temos a chamada
Função Triângulo Unitário Δ(t),
cuja base é 1.
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SINAIS ELEMENTARES
A Função Signum ou Função Sinal
É definido por: 1, para t > 0 sgn(t)
-1, para t < 0
-1
1
t
sgn(t) Relações úteis:
sgn(t) u(t) - u(-t)
sgn(t) 2u(t) - 1
u(t) sgn(t) 1 1
2 2
1
t
u(t)
36
SINAIS ELEMENTARES
Exercícios:
1- Determine uma expressão analítica para a função pulso
unitário.
2- Determine uma expressão analítica para a função porta.
3- Determine uma expressão analítica para o pulso triangular
unitário.