Análisis Probabilistico de desempeño
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1
XIV CILA CONGRESSO IBERO-LATINOAMERICANO DEL ASFALTO
Análise Probabilística de Desempenho de um Pavimento Asfáltico
João Vicente Falabella Fabrício1; João Menescal Fabrício 2
1 Afiliação: : Ecl Engenharia Consultoria e Economia AS Endereço: Rua Dezenove de Fevereiro nº 108, Botafogo, Rio de Janeiro, RJ, CEP: 22280-030 e-mail: [email protected] 2 Afiliação: Ecl Engenharia Consultoria e Economia AS Endereço: Rua Dezenove de Fevereiro nº 108, Botafogo, Rio de Janeiro, RJ, CEP: 22280-030 e-mail: [email protected]
2
RESUMO A busca da variância de um determinado parâmetro utilizado em pavimentação, que por
sua vez é dependente das variâncias de outros parâmetros, pode ser feita de uma
maneira simplificada pelo “Método do Segundo Momento de Primeira Ordem”.
Encontram-se neste caso o cálculo do desempenho de um pavimento flexível pelo
método DNER PRO-159/79, o módulo de deformação de misturas asfálticas
desenvolvida pela Shell (Sehell Normograma PH), espessuras totais das camadas
estruturais calculadas pelos métodos de dimensionamento de pavimentos etc. No
presente trabalho mostramos um estudo de caso de desempenho de um pavimento
asfáltico empregando as equações da evolução do trincamento do Método DNER-PRO
159/85. Analisando as incertezas de todos os parâmetros envolvidos, determinamos a
variância do tempo de vida útil do pavimento e, assim, foi possível avaliar a
probabilidade da duração do pavimento em razão do tempo.
PALAVRAS-CHAVE: Método do Segundo Momento de Primeira Ordem, variância,
tempo de vida útil.
3
ABSTRACT The search for variance of parameters used in the design of pavement structures, which
are dependent on other variance parameters, can be conducted whith the help of the
Method of the Second Moment of the First Order – including calculations of flexible
pavements’ performance through the DNER PRO-159/79 method, the deformation
module of asphalt mixtures developed by Shell (Sehell Normograma PH), total thickness
of structural layers calculated by pavement measurement methods etc. This paper
presents a “case study” in which this method is used, enabling the determination of the
variance of the pavement’s life span and the evaluation of its durability in relation to
time.
KEY WORDS: Method of the Second Moment of the First Order, variance, pavement’s
life.
4
ANÁLISE PROBABILÍSTICA NOS ESTUDOS DE PAVIMENTOS INTRODUÇÃO
A busca da variância de um determinado parâmetro utilizado em pavimentação que é
dependente das variâncias de outros parâmetros pode ser feita de uma maneira
simplificada pelo “Metodo do Segundo Momento de Primeira Ordem”. Estão neste caso
o cálculo do desempenho de um pavimento flexível pelo método DNER PRO-159/79
dentre outros. Este trabalho mostra um estudo de caso no qual o método foi
empregado.
MÉTODO DO SEGUNDO MOMENTO DE PRIMEIRA ORDEM
A formulação do método do Segundo Momento de Primeira Ordem, para o emprego em
estudos de pavimentação, foi desenvolvida da seguinte maneira:
Sendo um determinado parâmetro P de um pavimento uma função f(x1,x2,x3 ..., xn), na
qual xi são variáveis aleatórias independentes, como o tráfego, deflexão Benkelman,
número estrutural etc, o valor médio do parâmetro é representado por
),...,2,1()( nxxxfXf = em que ix é o valor médio da variável xi, conforme mostrado nas
Equações 1 e 2.
],...,2,1[ nxxxX = (1)
),...,2,1()( nxxxfXf = (2)
Expandindo a função f(X) em série de Taylor em torno do vetor X ,obtem-se:
5
...2)(!2
)(''1)(!1
)(')()( +−+−+= XXXfXXXfXfXf (3)
A Equação 3 pode ser aproximada truncando-se a série no segundo termo, pois o
somatório a partir do terceiro termo em diante é pequeno em relação aos dois
primeiros. Assim, reescreve-se a Equação 3 da seguinte forma:
))((')()( XXXfXfXf −=− (4)
Os termos “ )()( XfXf − ” e “ XX − ” são respectivamente os desvios padrões do
parâmetro P do pavimento e do vetor X. Deste modo, a Equação 4 é reescrita da
seguinte forma:
)()(')]([ XXfXf σσ = (5)
na qual:
σ = desvio padrão
Elevando-se ao quadrado os dois lados da equação encontra-se:
)(2))('()]([ XVXfXfV = (6)
na qual:
V = variância
6
Sendo =)(Xf P, a Equação 6 recai em um somatório dos quadrados das derivadas
parciais no vetor X da função )(Xf em relação a cada um dos parâmetros xi
multiplicados por sua variância. Dessa forma, a variância do parâmetro P pode ser
expressa aproximadamente pela Equação 7:
)(.2)1()( ixVn
i ixVUPV ∑
= ∂∂
= (7)
Para encontrar a variância do parâmetro P, é necessário calcular as derivadas parciais
de P em torno do vetor X em relação a todos os parâmetros xi. Com essa finalidade,
utilizamos o método das diferenças finitas centrais. Este método visa em calcular o
parâmetro P médio (P ), dar uma variação (δ) separadamente em cada variável xi para
mais e para menos e verificar o comportamento de P. A variação de P para mais e
para menos dividida pela variação imposta a xi é uma aproximação da derivada parcial,
conforme expressa a Equação 8:
ix
ixixPixixP
ixVP
δδδ )5,0()5,0( −−+
=∂∂ (8)
Para que a Equação 8 seja válida, a magnitude de δxi deve ser suficientemente
pequena. Dessa forma, ∂P/∂xi poderia ser considerada constante ao longo do intervalo
δxi. Estudos probabilísticos na área geotécnica (fundações, taludes e contenções) têm
mostrado que uma variação δ = 10% dá uma boa aproximação na Equação 8
7
EXEMPLO DE APLICAÇÃO DO MÉTODO – ESTUDO DE CASO
Empregamos o método do Segundo Momento de Primeira Ordem com o objetivo de
complementar uma simulação de soluções de um pavimento flexível para o estudo de
viabilidade técnica e econômica da rodovia BR-163/PA, subtrecho Divisa MT/PA –
Trairão, cujo projeto de engenharia já tinha sido executado. Visando uma solução de
pavimentação por etapas, estudamos vários perfis de pavimentos. Entre esses, o que
despertou maior interesse tinha o seguinte perfil:
Revestimento de Concreto Asfáltico Usinado a Quente (CAUQ). Espessura H = 4cm;
Base Granulometricamente Estabilizada. Espessura (Hb) = 20cm;
Sub Base Granulometricamente Estabilizada. Espessura (Hsb) = 20cm;
Subleito local com Índice Suporte Califórnia (ISC) ≥ 6 recomendado pelo projeto.
A seguir, procuramos saber qual seria a probabilidade de duração desse pavimento,
visando o início de uma segunda etapa de reforço da estrutura a fim de suportar o
tráfego previsto para um período maior.
O parâmetro P escolhido para definição de Vida Útil do Pavimento (VU) foi a
percentagem de trincamento cujo valor máximo adotado foi de 30%. Para isso, foram
feitas as seguintes abordagens e cálculos para a obtenção da variância do tempo de
vida útil do pavimento projetado. Estudos análogos poderiam ser feitos para outros
parâmetros de referência no cálculo da vida útil como a irregularidade longitudinal ou o
desgaste.
Procedimentos Utilizados para a Análise Probabilística
A análise probabilística para o desempenho do pavimento foi separada em duas etapas
tendo em vista de tornar o emprego do método mais didático.
8
1ª Etapa Avaliação da Variância da Deflexão Benkelman
Nessa avaliação foi empregado o programa de análise de tensões e deformações
ELSYN 5 nos cálculos determinísticos. As variáveis independentes que fizeram parte
dessa etapa foram os módulos do subleito e do revestimento; o CBR do subleito; as
espessuras do revestimento, da base e da sub-base e os coeficientes de Poison de
todas as camadas.
O módulo da sub-base, considerada uma variável dependente, foi avaliado em razão do
módulo do subleito aplicando-se a Equação 9 (Asphalt Institute, Manual de Pesquias do
Programa DAMA). O módulo da base também foi avaliado por meio da mesma
equação, mas em razão do módulo da sub-base.
Assim,
ESB = K. ESL (9)
Na qual:
K = 0,2.h30,45
ESB = módulo da sub-base em MPa
ESL = módulo do sub leito em MPa
h3 = espessura da sub-base em mm
A avaliação do módulo do subleito foi obtida pela Equação 10 (Fabrício 1992- 26ª RAPV
– Avaliação Estrutural de Pavimentos Flexíveis):
ESL = 70 x ISCSL (10)
Na qual:
ESL = módulo do subleito;
9
ISCSL = Índice Suporte Califórnia do subleito.
No cálculo da variância da Deflexão Benkelman, as seguintes variáveis e seus
respectivos desvios padrões foram arbitrados com os seguintes valores:
-Módulo do revestimento ER = 20.000 Kgf/cm2 e desvio padrão s = 10.000
Kgf/cm2,
-Coeficiente de Poison de todas as camadas = 0.4 e desvio padrão = 0.1,
-Desvios padrões para as espessuras das camadas base, sub-base e
revestimento = 10% das respectivas espessuras.
No caso estudado, não houve uma avaliação mais profunda em relação aos parâmetros
relacionados acima devido a sua pequena participação na variância da deflexão. Essas
variáveis juntas respondem por 3,27% (última coluna da Tabela 1) da variância total da
Deflexão Benkelman.
O desvio padrão, adotado para o módulo do subleito, foi obtido por meios do erro
padrão de 15 pontos próximos ao ISC igual a 7 usados por Fabrício et all (1992) na
correlação do ISC x Módulo do Subleito (equação 10). Assim, os valores dos
parâmetros adotados para o Módulo do subleito foram:
Módulo médio do subleito ESL= 525 Kgf/cm2, Desvio Padrão do Módulo do Subleito s = 171 Kgf/cm2.
A média e desvio padrão do CBR do subleito foram fornecidos pelos boletins de
sondagem inclusos no projeto de pavimentação:
ISC médio do subleito = 7,5,
Desvio padrão ISC s = 1,5.
10
A tabela 1 mostra o resultado do cálculo da variância da deflexão Benkelman.
Tabela 1-Cálculo da variância das Deflexões Benkelman pelo Método do Segundo Momento de Primeira
Ordem
Na qual:
Coluna 1 – Valor médio de cada variável xi;
Coluna 2 - Valor médio da variável xi acrescido de 5% do seu valor;
Coluna 3 - Valor médio da variável xi diminuído de 5% do seu valor;
Coluna 4 – D0+ = f(xi acrescido de 5% do seu valor);
Coluna 5 – D0- = f(xi diminuído de 5% do seu valor);
Coluna 6 - ; (Coluna 4 - Coluna 5) / (Coluna 2 - Coluna 3);
Coluna 7 – Variância da variável xi = (Desvio Padrão da variável xi)2;
Coluna 8 – Contribuição da variância da variável xi na variância total de D0 = (Coluna
6)2 x Coluna 7
Coluna 9 – Percentagem da contribuição da variância da variável xi na variância total de
D0
2ª Etapa Cálculo da Variância do Tempo de Vida Útil do Pavimento.
Parâmetro Xi + 5% Xi - 5% D0+ D0- ∆D0/∆XI V(xi) ((∆D0/∆XI)^2)xV(xi) % de V (D0)
Módulo do revestimento 21000 19000 63,22 63,34 -6E-05 100000000 0,36 0,07%Coef. de Poison do Revestimento 0,42 0,38 63,18 63,38 -5 0,01 0,25 0,05%
Espessura do revestimento 4,20 3,80 63,06 63,49 -1,075 0,16 0,1849 0,04%Coef. de Poison da base 0,42 0,38 63,26 63,27 -0,25 0,01 0,000625 0,00%
Espessura da base 21,000 19,000 62,23 64,38 -1,075 4,00 4,6225 0,96%Coef. de Poison da sub-base 0,42 0,38 63,41 63,14 6,75 0,01 0,455625 0,09%
Espessura da sub-base 21 19 62,95 63,62 -0,335 4,00 0,4489 0,09%CBR do subleito 7,9 7,1 61,79 64,90 -4,14667 2,56 44,01880178 9,12%
Módulo do subleito 551 499 60,34 66,51 -0,11752 30625,0 422,9877778 87,61%Coef. de Poison da subleito 0,42 0,38 62,61 63,84 -30,75 0,01 9,455625 1,96%
100,00%CBR 7,13 498,75
H sub base 20 cm482,78
Desv Padrão de D0 21,97TOTAL = V(D0)
D0 médio
Valor Médio20000
0,4
0,44,0
63,28
0,420
20
0,45257,5
1 2 3 4 5 6 7 8 9
11
Na segunda etapa calculamos a variância do tempo de vida útil. Para tal, utilizamos as
equações de desempenho do método de restauração do DNER PRO 159/79 baseado
nas equações de Queirós (1982 – Equação 11 e Equação 12). As incertezas envolvidas
no processo foram: o tráfego, o número estrutural corrigido, o tráfego necessário para o
aparecimento da primeira trinca, a percentagem de área trincada e a deflexão
Benkelman cuja variância foi calculada na etapa anterior.
Tráfego necessário para o aparecimento da primeira trinca
Log N = 1.202 + 5.96.Log SNC (11)
Erro Padrão = 0,44
Percentagem de área trincada
CR = -18,53 +0,0456.B.Ln (N) + 0,00501.B.AGE.Ln (N) (12)
Erro Padrão = 12,616
Na qual:
N = Número N da AASHTO
SNC = Número estrutural corrigido
CR = Percentagem de área trincada
B = Deflexão Benkelman em centésimos de milímetros
AGE = Idade do pavimento em anos
Para avaliação do tempo de vida útil do pavimento empregamos o critério do
trincamento e fixamos um limite máximo de 30% de área trincada para o qual a rodovia
necessitaria de uma restauração.
12
O número estrutural corrigido foi calculado conforme o método PRO 159/79 e
arbitrado um desvio padrão de 10% do seu valor:
Número Estrutural Corrigido Médio SNC = 3.14,
Desvio Padrão s = 0,314.
Estudos feitos pelo CENTRAN (Centro de Excelência em Engenharia de
Transportes) avaliaram um número N final, para um período de 10 anos, valores entre
5,2 x106 e 1,3 x107. Para efeito de cálculo, foi mantida uma taxa de crescimento anual
do tráfego de 3,4% e calculado o tráfego inicial para se atingir esses dois extremos no
período mencionado. As incertezas quanto ao tráfego foram expressas somente tendo
em vista o tráfego inicial tomando como valor médio a média desse tráfego para esses
dois extremos e para o desvio padrão a diferença entre essa média e os valores iniciais
extremos:
Tráfego inicial médio N = 7,71x105
Desvio padrão s = 3,29x105
Um dos parâmetros para se avaliar a evolução do trincamento é a idade do pavimento
na data do levantamento das condições de superfície. Esse dado de entrada foi
estimado por meio da Equação 12 e a projeção do tráfego com o tempo decorrido para
o aparecimento da primeira trinca. Os valores médios para esse tráfego e o desvio
padrão foram:
Tráfego necessário para o aparecimento da primeira trinca N = 14.701,
Desvio padrão s = 13.051
Cabe notar, conforme visualizado na última coluna da Tabela 2, que os 3
parâmetros abordados acima respondem somente por 0,17% na variância da vida útil
13
do pavimento. A deflexão e o próprio erro padrão da Equação 11 tem um peso de
40,80% e 59,03%, respectivamente, na variância da vida útil do pavimento.
Tabela 2 - Cálculo da variância da vida útil do pavimento pelo Método do Segundo Momento de Primeira
Ordem
Na qual:
Coluna 1 – Valor médio de cada variável xi;
Coluna 2 - Valor médio da variável xi acrescido de 5% do seu valor;
Coluna 3 - Valor médio da variável xi diminuído de 5% do seu valor;
Coluna 4 – VU+ = f(xi acrescido de 5% do seu valor);
Coluna 5 – VU- = f(xi diminuído de 5% do seu valor);
Coluna 6 - ; (Coluna 4 - Coluna 5) / (Coluna 2 - Coluna 3);
Coluna 7 – Variância da variável xi = (Desvio Padrão da variável xi)2;
Coluna 8 – Contribuição da variância da variável xi na variância total da V.U. = (Coluna
6)2 x Coluna 7
Coluna 9 – Percentagem da contribuição da variância da variável xi na variância total da
V.U.
PROBABILIDADES DO TEMPO DE VIDA ÚTIL
A partir do tempo médio de vida útil do pavimento e de seu respectivo desvio padrão, é
possível calcular a probabilidade do pavimento durar mais do que um determinado
número de anos. A Tabela 3 e gráfico da Figura 2 apresentam a probabilidade de vida
Parâmetro Xi + 5% Xi - 5% VU+ VU- ∆VU/∆XI V(xi) ((∆VU/∆XI)^2)xV(xi) % de V (VU)Número Estrutural Corrigido 3,30 2,98 12,016 12,002 0,043531 0,10 0,000182101 0,00%
Tráfego para aparecimento da primeira Trinca 15436 13966 12,009 12,007 1,55E-06 7,63E+07 0,000182858 0,00%Deflexão Benkelman 66,15 59,85 11,440 12,634 -0,18954 482,78 17,34356546 40,80%
Tráfego Inicial 809550 732450 11,978 12,040 -8,1E-07 1,08E+11 0,071406803 0,17%Trincamento admissível 31,5 28,5 12,603 11,412 0,397069 159,16 25,09428969 59,03%
100,00%
3,008 9,013,104 1,096
30
TOTAL = V(VU) 42,51Desv Padrão de VU 6,52
VU médiA (ANOS)
Valor Médio3,14
14701
12,01
63771000
170E+08
1 2 3 4 5 6 7 8
14
útil do pavimento ser maior do que determinado período previsto. Para tal cálculo
adotamos o modelo de distribuição normal conforme mostra a Figura 1.
Figura1 – Distribuição de freqüência da vida útil do pavimento
Tabela 3 – Probabilidade de vida útil x Período em anos
1 ano 95% 11 anos 56% 21 anos 8%2 anos 94% 12 anos 50% 22 anos 6%3 anos 92% 13 anos 44% 23 anos 5%4 anos 89% 14 anos 38% 24 anos 3%5 anos 86% 15 anos 32% 25 anos 2%6 anos 82% 16 anos 27% 26 anos 2%7 anos 78% 17 anos 22% 27 anos 1%8 anos 73% 18 anos 18% 28 anos 1%9 anos 68% 19 anos 14% 29 anos 0%
10 anos 62% 20 anos 11% 30 anos 0%
Probabilidade de vidaútil maior do que:
Probabilidade de vidaútil maior do que:
Probabilidade de vidaútil maior do que:
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35Vida Útil
Freq
uênc
ia
(Anos)
15
Figura 2 – Probabilidade de vida útil x Período em anos
CONCLUSÕES
O estudo deste caso, que utilizou o Método Probabilístico do Segundo Momento
de Primeira Ordem, quantificou as incertezas envolvidas na análise de desempenho do
pavimento projetado avaliando as probabilidades de sua duração para diversos
períodos em razão do parâmetro trincamento. No entanto, os valores encontrados não
são absolutos, pois eles são dependentes do modelo de desempenho empregado, do
programa de análise tensão/deformação, do número de variáveis envolvidas, do
método probabilístico utilizado e principalmente do tipo de distribuição empregada. A
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0 5 10 15 20 25 30
Vida Útil
Prob
abili
dade
(Anos)
16
distribuição normal é a mais adotada em estatística, mas talvez não seja a mais
adequada para o estudo em questão. O método do Segundo Momento tem a vantagem
de ser menos trabalhoso, envolvendo uma quantidade pequena de cálculos se
comparado a outros métodos como a Simulação de Monte Carlo e Estimativas
Pontuais. Uma outra vantagem deste método é fornecer a contribuição de cada variável
independente na variância da variável dependente. O método mostrou a grande
influência do módulo do subleito na variância da Deflexão Benkelman (87,61%). Tal
percentagem foi majorada devido ao uso da correlação ISCSL x MÓDULOSL obtida em
pesquisas na ocasião em que J. M. Fabrício (1992) estudava a aplicação do Modelo de
Hoog na avaliação estrutural de pavimentos flexíveis em rodovias federais. Chamamos
também atenção o grande peso (59,03%) que o erro padrão da equação de
desempenho exerce na variância da vida útil.
17
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE PAVIMENTAÇÃO. Manual de Pavimentação Urbana Vol m- Fascículo 4. Controle Estatistico de Qualidade, 1995
ASTM, Designation: C 670 -%. Standard Practice for Preparing Precision and Bias Statements for Test Methods for Construction Materials.American Society For
Testing and Materials
BERGADO, DENNES T.; PATRON, BUENAVENruRA C. & YOUYONGWATANA, WISll.
Ranalysis of Embaknkments Failures on Soft Ground Using Empirical Autocorrelations: LI & LO (eds). Probabilistic Methods in Geotechnical Enginnering.
A.A. Balkema, Roteterdam, Brookfield, 1993.
DEP ARTAMENTO NACIONAL DE INFRA ESTRUTURA TERRESTRE. PRO 159/85;
Projeto de Restauração de Pavimentos Flexíveis e Semi-Rígidos, 1985
G. N. SMITH. Probability and Statistics in Civil Engineering. Collins Professional and
Techical Books, 1986
LUMB, P. Statistical Methods in Soillnvestigation. 5th Australian-N. Zeland
Conference (SMFE) -Auckland. N.Z. 1967
FABRÍCIO, J. M.; SILVA, G. M.; GONÇALVES, E. A. G.; FABRÍCIO, O. F; FABRÍCIO, J.
V. F.. 26ª RAPV – Avaliação Estrutural de Pavimentos Flexíveis.
FABRÍCIO, J. V. FALABELLA; Análises Probabilisticas da Estabilidade de Taludes e Contenções. Dissertação de mestrado, Pontificia Universidade Católica do Rio de
Janeiro. 2003.
18
QUEIROZ, CEZAR A.V.; Performance Prediction Models for Pavement Manegement in Brazil. Tese de Doutorado, The University of T exas at Austin.
RÉTHATI, LÁSZL6, Probabilistic Solutions in Geotechnics. Elsevier Amsterdam -
Oxford -New York- Tokyo 1988
TAN,C.P., DONALD J. B. & MELCHERS, R. E. Probabili8tic Slip Analysis ofEarth and Rockfill Dam8. LI & LO (eds). Probabilistic Methods in Geotechnical Enginnering.
A.A. Balkema, Roteterdam, Brookfield, 1993.
WONNACOTT, THOMAS H. & WONNACOTT, RONALD J. Introductory Statistics for Business and Economics, 2nd Ed. Ed. J. Wiley and Sons, Nova York