analise_vetorial

FISP – FACULDADES INTEGRADAS DE SÃO PAULO CURSO DE ENGENHARIA DE ELÉTRICA

ELETROMAGNETISMO

ANÁLISE VETORIAL

PROFª Drª FABIANA APARECIDA TOLEDO SILVA

SÃO PAULO / 2002

S U M Á R I O 1 – Introdução .......................................................................... 01 2 – Análise Vetorial .................................................................. 01 2.1 – Campos Escalares ........................................................ 01 2.2 – Campos Vetoriais .......................................................... 01 2.3 – Álgebra Vetorial ........................................................... 02 2.4 – Sistemas de Coordenadas .............................................. 06 2.5 – Operador Nabla (

→∇ ) .................................................... 13

2.6 – Exercícios ..................................................................... 17 2.7 – Exercícios Complementares ........................................ 20 3 - Questionário ....................................................................... 21 4 - Bibliografia......................................................................... 21

_____________________________________________________________________ 1 Análise Vetorial

1. INTRODUÇÃO

A linguagem da teoria de campo eletromagnético é fundamentalmente

matemática e, em particular, fortemente baseada na análise matemática.

Como em muitos casos uma apresentação matemática da análise vetorial é

bastante abstrata, e como certos aspectos desta análise vetorial são particularmente

essenciais ao estudo da teoria do campo eletromagnético, torna-se aconselhável

uma rápida discussão dos aspectos principais dessa matéria.

2 - ANÁLISE VETORIAL É um processo matemático para abreviar as complicações matemáticas.

• Campo : define-se um campo como a especificação de uma certa grandeza

ao longo de toda uma região.

2.1- CAMPOS ESCALARES

• Quando a cada ponto da região do espaço corresponde um escalar.

Exemplos : campos de temperatura, densidades, potenciais, massa, volume,

resistividade.

Seja 222),,( zyxzyx ++=Φ , onde, para cada valor constante de Φ define-se uma

superfície.

2.2- CAMPOS VETORIAIS

• Quando a cada ponto ),,( zyx da região do espaço corresponde um vetor.

Exemplos : campos de velocidade, gravitacional, elétrico, magnético.


Seja →→→→

++=∇ zyx axyzazyaxyzyx 3),,( 2 , onde →∇ define um campo vetorial.

2.3- ÁLGEBRA VETORIAL

→→→→++= zzyyxx aAaAaAA e

→→→→++= zzyyxx aBaBaBB

2.3-1. Os vetores podem ser somados ou subtraídos. Ou seja :

→→→→→

±+±+±=± zzzyyyxxx aBAaBAaBABA )()()(

2.3-2. As leis associativa, distributiva e comutativa são válidas. Isto é :

→→→→

→→→→

→→→→→→

+=+

+=+

++=++

ABBA

BkAkBAk

CBACBA

)(

)()(

2.3-3. Produto escalar de dois vetores é por definição

→→

→→→→

→→

⋅=⋅

⋅⋅=⋅

BeAvetoresosentreângulomenorotarepre

ABBA

BescalarABABA

AB

AB

sen

)"("cos||||

θ

θ

)()( vadistributiCABACBA→→→→→→→

+⋅=+⋅

OBS.: 2222

2zyx AAAAAAA ++===⋅

→→→

Operacionalmente o produto escalar é definido como:


zzyyxx BABABABA ++=⋅→→

0=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅→→→→→→→→→→→→

yzzyxzzxxyyx aaaaaaaaaaaa

1=⋅+⋅=⋅→→→→→→

zzyyxx aaaaaa

Uma das aplicações mais importantes do produto escalar é a de encontrar a

componente de um vetor numa dada direção.

Exemplo 1: Obter a componente (escalar) de →B na direção de um unitário

→a :

BaBa BaBaB θθ cos||cos||||→→→→→

=⋅=⋅

→→

aB,θ

→

B

→

a→→

⋅ aB

→→

aB ,θ

→

B

→

a

→→→

⋅ aaB

componente escalar

⇓ ⇓componente vetorial

Figura 1

( Produto Escalar = “ Projeção” )

Exercício 1 : Dados zyx aaaA→→→→

−+= 342 e yx aaB→→→

−= , calcule :


a) xaBA→→→

⋅

b) xaB→→

⋅

c) zaA→→

⋅

2.3-4. Produto vetorial de dois vetores é definido por:

→→→

→→

→→→→→⋅=×

BeAporformadoplanoaonormalunitáriovetoroén

BeAentreângulomenoroé

BvetorialABAnBA

AB

AB

θ

θ )"("sen||||


Como todo plano possui duas direções orientadas normais, a partir de um

determinado ponto, torna-se necessário especificar qual o sentido da normal

correspondente ao produto→A e

→B . Para isto utiliza-se a “regra da mão direita”.

Figura 2 – Regra da Mão Direita

Sendo:

→→→→

→→

→

→

×−=×

−×

−

−

ABBA

polegardedoBA

médiodedoB

indicadordedoA

Aplicando-se o produto vetorial aos vetores unitários encontra-se :

0

0

0

=×−=×−=×

=×=×−=×

×=×=×

→→→→→→→→

→→→→→→→→

→→→→→→→→

zzxyzzxy

yyzyxzyzx

xxzxzyzyx

aaaaaaaa

aaaaaaaa

aaaaaaaa

z

O cálculo do produto vetorial por meio da sua definição exige mais trabalho

que o cálculo do produto escalar pois precisamos não somente encontrar o ângulo

entre os vetores, mas também encontrar a expressão para o vetor unitário normal →n .

Este trabalho pode ser evitado usando-se componentes cartesianas para os dois


vetores →A e

→B , expandindo-se então o produto vetorial em soma de novos

produtos vetoriais simples, cada um envolvendo dois vetores unitários:

)()(→→→→→→→→

++×++=× zzyyxxzzyyxx aBaBaBaAaAaABA

→→→→→−+−+−=× zxyyxyzxxzxyzzy aBABAaBABAaBABABA )()()(

ou escrito de uma forma mais fácil de ser interpretada : (determinante)

zyx

zyx

zyx

BBBAAAaaa

BA

→→→

→→=×

Exemplo 2 : Determine →→

× BA , dados zyx aaaA→→→→

+−= 32 e zyx aaaB→→→→

+−−= 524

2.4- SISTEMAS DE COORDENADAS A posição de um ponto no espaço pode ser referida sem ambigüidade a um

sistema de coordenadas adequado no espaço, do mesmo modo como no plano. São


de uso corrente três sistemas distintos: coordenadas cartesianas, coordenadas

esféricas, coordenadas cilíndricas.

Figura 3 – Sistema de Coordenadas Cartesianas

Figura 4 – Sistema de Coordenadas Cilíndricas

Figura 5 – Sistema de Coordenadas Esféricas


Se um dado problema apresentar simetria esférica ou cilíndrica, poder-se-á

empregar o sistema cartesiano. Há casos, entretanto, onde as soluções não

mostram simetria no sistema cartesiano, assumindo inclusive, características

complicadas se o mesmo for empregado. Sendo assim sempre que surgir um

problema onde seja evidente a simetria esférica, usaremos o sistema de

coordenadas esféricas, o mesmo ocorre para o caso de haver simetria cilíndrica.

Para relacionar um sistema com outro, inspecionando a figura acima chega-se a:

a) CARTESIANO E CILÍNDRICO

Figura 6

zzyx

===

φρφρ

coscos

ou

zzxyarctg

yx

=

=

>+=

φ

ρ 022

Vê-se com isto, que facilmente transformamos uma função escalar de um

sistema para o outro.

Já uma função vetorial, expressa em um sistemas de coordenadas, requer

duas etapas a fim de ser expressa em outro sistema, devido ao fato de que

geralmente é necessário um outro conjunto de componentes vetoriais.


Seja um vetor →A dados em coordenadas cartesianas:

→→→→++= zzyyxx aAaAaAA , onde as componentes são função de zeyx, . Agora

queremos encontrar um vetor em coordenadas cilíndricas:

→→→→

++= zz aAaAaAA φφρρ onde as componentes são função de zeφρ, .

1o) Mudança das Componentes:

Para encontrar qualquer uma das componentes, devemos lembrar da

discussão sobre o produto escalar a qual estabelece que quando se deseja a

componente em uma direção, ela pode ser obtida efetuando-se o produto escalar

unitário na direção desejada pelo vetor em questão:

→→→→→→

⋅=⋅=⋅= zz aAAaAAaAA φφρρ

Desenvolvendo os produtos escalares:

ρρρρ

→→→→→→→→⋅+⋅=++= aaAaaAaaAaAaAA yyxxzzyyxx )(

φφφφ

→→→→→→→→⋅+⋅=++= aaAaaAaaAaAaAA yyxxzzyyxx )(

2o) Determinar os produtos:

φφ

φφ

φρ

φρ

cossen

sencos

=⋅=⋅

−=⋅=⋅→→→→

→→→→

aaaa

aaaa

yy

xx

∴ φφρ sencos yx AAA +=

φφφ cossen yx AAA +−=


Exercício 2 : Transformar o vetor zyx azaxayB→→→→

+−= em coordenadas cilíndricas.

b) CARTESIANO E ESFÉRICO

Figura 7


θρφθρφθρ

coscoscoscossen

===

zyx

ou

=

°≤≤°

++=

>++=

xyarctg

zyxz

zyx

φ

θθ

ρ

)1800(arccos

0

222

222

A mudança de variáveis e componentes segue o mesmo processo anterior:

→→→→

++= φφθθρρ aAaAaAA

→→→→→→

⋅=⋅=⋅= φφθθρρ aAAaAAaAA

ρρρρρ

→→→→→→→→→→⋅+⋅+⋅=++= aaAaaAaaAaaAaAaAA zzyyxxzzyyxx )(

θφθφθρ cossensencossen zyx AAAA ++=

θθθθθ


θφθφθθ sensencoscoscos zyx AAAA −+=

φφφφφ


φφφ cossen yx AAA +−=


Exercício 3 : Determine os três componentes esféricos do vetor→→

= xa

yxzG


2.5- OPERADOR NABLA ( →∇ )

Relembremos inicialmente que uma função escalar f dependendo de mais de

uma variável, por exemplo zeyx, , coordenadas do sistema cartesiano de eixos, é

notada sob a forma ),,( zyxf

e cujas derivadas parciais, se existentes, são notadas:

zf

yf

xf

∂∂

∂∂

∂∂ ,,

O operador nabla (→∇ ) é um vetor, que em coordenadas cartesianas possui

os seguintes componentes:

∂∂

∂∂

∂∂=∇

→

zyx,,

Que será freqüentemente escrito sob a forma.

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

→→→→→→→k

zj

yi

xa

za

ya

xzyx

Onde zyx aaa→→→

,, são os vetores unitários ortogonais do sistema de

coordenadas retangulares ou cartesianas.

Nabla é um operador matemático ao qual, isolado não podemos associar

nenhum sentido geométrico. É na interação de nabla com outras grandezas que ele

passará a ter um significado geométrico.

Se definirmos agora um vetor →A de componentes zyx AAA ,, que também

dependam de zyx ,, , →∇ (nabla) poderá interagir com um vetor ou com um escalar,

sob a forma mostrada abaixo:


!

!

!

⇒=⋅∇−

⇒=×∇−

⇒=⋅∇−

∇→

→→→

→→→

→

→

vetorgradUUprodutoU

vetorArotAvetorialproduto

escalarAdivAescalarprodutoA

escalar

vetor

vetor

:

:

:

Obs.: “O operador Nabla é definido apenas em coordenadas cartesianas.”

Podemos calcular estas três expressões:

ADIVERGÊNCI

• Cartesianas z

Ay

Ax

AAAdiv zyx

∂∂+

∂∂

+∂∂

=⋅∇=→→→

• Cilíndricas z

AAAAAdiv z

∂∂

+∂∂

+∂

∂=⋅∇=

→→→

φρρρ

ρφρ 1)(1

• Esféricas φθ

θθθ

φθ ∂

∂+

∂∂+

∂∂=⋅∇=

→→→ Ar

Ar

Arrr

AAdiv r sen1)sen(

sen1)(1 2

2

GRADIENTE

• Cartesianas zyx azUa

yUa

xUUgradU

→→→→

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇=

• Cilíndricas zazUaUaUUgradU

→→→→

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇= φρ

φρρ1


• Esféricas φθφθθ

→→→→

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇= aU

raU

ra

rUUgradU r

sen11

ROTACIONAL

• Cartesianas

zxy

yzx

xyz a

yA

xA

ax

Az

Aa

zA

yAAArot

→→→→→→

∂∂

−∂

∂+

∂∂−

∂∂

+

∂

∂−

∂∂=×∇=

• Cilíndricas

zzz a

AAaA

zA

az

AAAArot→→→→→→

∂∂

−∂

∂+

∂∂−

∂∂

+

∂

∂−

∂∂=×∇=

φρρ

ρρφρρφ

φρ

ρφ )(11

• Esférica

φθ

θφ

θφ

θφθ

φθθ

θ

→→

→→→→

∂∂−

∂∂

+

∂

∂−

∂∂

+

∂∂

−∂

∂=×∇=

aAr

rAr

ar

rAAr

aAAr

AArot

rr

r

)(1)(sen

11

)sen(sen1

2.6- EXERCÍCIOS

1. Seja 32 yzxy +=Φ . Achar a derivada direcional no ponto )2,1,0( , na orientação

do vetor zyx aaaV→→→→

++= 2 .


2. Dada a superfície 42 =xyz , obter o vetor unitário normal à superfície no ponto

)2,1,1(

2. Seja a função r , distância de um ponto ),,( zyxM à origem )0,0,0(O . Determinar

o gradiente desta função .


3. Dado zyxx azayaeA

→→→→++= sen2cos25 , calcule

→→⋅∇ A na origem.

4. Dado zazazaB→→→→

++= φρφρ φρ222 sen4sen3cos2 .


5. Dado φθρ ρφθρ→→→→

++= aaaC 213sen .

6. Dado o campo vetorial genérico :

zx

x aeyabxyA→→→

++= )()cos( , calcule →→

×∇ A


7. Dado o campo vetorial genérico zaaeA→→

−→

−= φφ ρρ cos5cos5 , em coordenadas

cilíndricas, pede-se →→

×∇ A em )0,2

3,2( π


8. Dado o campo vetorial genérico θθ→→

= aA sen10 , em coordenadas esféricas, pede-

se →→

×∇ A em )0,2

,2( π

2.7- EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES [2]

Resolva os seguintes exercícios :

EXERCÍCIOS PÁGINA

E1.1, E1.2 7

E1.3 9

E1.4 11

E1.5 15

E1.6, E1.7 16

E1.8, E1.9, E1.10 19

31 21


4- QUESTIONÁRIO

1) Definir Derivada Direcional e Gradiente.

2) Definir divergência de uma função vetorial.

3) Definir Rotacional de uma função.

4) O que é o operador →∇ (nabla)?

5) Qual é o significado físico do Divergente?

6) Qual é o significado físico do Rotacional?

7) Qual é o significado físico do Gradiente?

5- BIBLIOGRAFIA

[1] MARTINS, N. “Introdução à Teoria da eletricidade e do Magnetismo”., Editora

Edgard Blucher Ltda, 2a Edição, 1975.

[2] HAYT JR, W. H. “Eletromagnetismo”. Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda, ,

3a Edição, 1983.

[3] QUEVEDO, C. P. “Eletromagnetismo”. Edições Loyola, 1993.

[4] EDMINISTER, J. A. “Eletromagnetismo – 310 Problemas Resolvidos”. Coleção

Schaum, Ed. McGraw-Hill do Brasil, 1980

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