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Disciplina: Matemática

Série: 3ªEM - 4º BIMESTRE

Professor: Gilson

Assunto: Análise Combinatória

ANÁLISE COMBINATÓRIA

ARRANJO SIMPLES FORMULÁRIO

A m m m m m pmp, ( ) ( ) ( ) ... ( ) 1 2 3 1

ou

Am

m pmp,!

( )!

PERMUTAÇÕES SIMPLES PERMUTAÇÕES COM REPETIÇÃO: Pm = Am,m = m!

P

ma b c km

a b c k, , ,..., !!. !. !..... !

COMBINAÇÕES SIMPLES FORMULÁRIO

Cm

p m pmp,!

!.( )!

ou

CA

pm pmp

,,

!

ALTERA A ORDEM ALTERA O AGRUPAMENTO

ALTERA A ORDEM

NÃO ALTERA O AGRUPAMENTO

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Importante: COMBINAÇÕES COMPLEMENTARES

C Cmp

mm p

Exemplo: C C2017

203

TESTES: 01) Numa cidade os telefones são dados por números de sete algarismos. O prefixo de um bairro é

42. Nesse bairro, o número de telefones possíveis, com todos os algarismos distintos, é: (A) 40.320 (B) 30.320 (C) 10.720 (D) 8.320 (E) 6.720 02) Quantos números ímpares, de algarismos diferentes, situados entre 2.000 e 4.000, podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 ? (A) 100 (B) 120 (C) 180 (D) 240 (E) 360 03)(UFRGS) - Os números dos telefones de uma cidade são constituídos por 6 dígitos. Sabendo que o

primeiro dígito nunca pode ser zero e que os números dos telefones passarão a ser de 7 dígitos, o

aumento possível na quantidade dos telefones será: (A) 81.103 (B) 90.103 (C) 81.104 (D) 81.105 (E) 90.105 04)(CEFET-PR) - Dentre as permutações das letras da palavra TRIÂNGULO, o número das que

começam por vogal é: (A) P9 (B) P8 (C) 2.P8 (D) 4.P8 (E) P4.P8

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05) O número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra ARARA é: (A) 120 (B) 60 (C) 30 (D) 20 (E) 10 06)(PUCSP) - Quantas matrizes quadradas de ordem 3 podem ser formadas, usando os números 1,

2, 3 e seis zeros ? (A) 84 (B) 120 (C) 504 (D) 720 (E) 3024 07) O número de triângulos que podem ser traçados utilizando-se 12 pontos de um plano, não

havendo 3 pontos em linha reta, é: (A) 4.368 (B) 220 (C) 180 (D) 144 (E) 48 08)(PUCRS) - Numa reunião de jovens, há 10 rapazes e 5 garotas. O número de grupos de 5 jovens

que poderiam ser formados, tendo cada grupo no máximo 1 rapaz é: (A) 42 (B) 50 (C) 51 (D) 84 (E) 102 09)(UFRGS) - Um professor organizou uma lista com 4 questões de Geometria e 6 de Álgebra, da

qual indicou um conjunto diferente de 7 questões para cada um de seus alunos resolver. O número de

alunos que recebeu todas as questões de Geometria para resolver é, no máximo, de (A) 15 (B) 20 (C) 35 (D) 42 (E) 120

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10)(FGV-SP) - Dois grupos de excursionistas, um deles com 20 elementos e o outro com 15 elementos, encontram-se em um certo local de um país distante. Se todas as pessoas de um grupo cumprimentarem todas as pessoas do outro grupo, o número de cumprimentos será igual a: (A) 35 (B) 300 (C) 595 (D) 1190 (E) 1200 11)(UFRGS) - De um ponto A a um ponto B existem 5 caminhos; de B a um terceiro ponto C existem 6 caminhos; e de C a um quarto ponto D existem também 6 caminhos. Quantos caminhos

existem para ir do ponto A ao ponto D ? (A) 17 (B) 30 (C) 180 (D) 680 (E) 4080

TESTES COMPLEMENTARES

12) Quantos números de 4 algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4

e 5 ? (A) 60 (B) 240 (C) 300 (D) 360 (E) 420 13)(PUCRS) - Uma pessoa deseja viajar por via rodoviária de uma cidade A para uma cidade B,

passando obrigatoriamente por 2 outras cidades X e Y. Existem 3 estradas que ligam A a X, 4 estradas ligando X a Y e 2 estradas de Y a B. O número total de trajetos, nestas condições, ligando A

a B, é: (A) 9 (B) 14 (C) 18 (D) 24 (E) 29 14) O número de permutações distintas possíveis com as oito letras da palavra PARALELA,

começando todas com a letra P, será de: (A) 24 (B) 120 (C) 360 (D) 420 (E) 720

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15)(FUVEST) - Num programa transmitido diariamente, uma emissora de rádio toca sempre as

mesmas 10 músicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as possíveis seqüências

dessas músicas serão necessários aproximadamente: (A) 100 dias (B) 10 anos (C) 1 século (D) 10 séculos (E) 100 séculos. 16)(UFRGS) -Para colocar preços em seus produtos, uma empresa desenvolveu um sistema

simplificado de código de barras formado por cinco linhas separadas por quatro espaços. Podem ser

usadas linhas de três larguras possíveis e espaços de duas larguras possíveis. O número total de

preços que podem ser representados por esse código é (A) 1440. (B) 2880. (C) 3125. (D) 3888. (E) 4320. 17)(UFSM) - No Brasil, as placas dos automóveis serão formadas por 3 letras e 4 algarismos.

Considerando que nosso alfabeto tem 26 letras, o número de placas diferentes possíveis, sem que

haja repetição de letras e algarismos, é (A) 263 x 104 (B) 26 x 25 x 24 x 104 (C) 3 x 26 x 4 x 10 (D) 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 (E) 263 x 10 x 9 x 8 x 7 18)(PUCRS) Formam-se todos os números compreendidos entre 2000 e 3000, com algarismos

distintos, escolhidos entre 1, 2, 3, 4 e 5. O total de números assim formados é (A) 24 (B) 48 (C) 60 (D) 120 (E) 240 19)(UFRGS) - O número máximo de quadriláteros com vértices em 8 pontos distintos marcados em

um círculo é: (A) 24 (B) 70 (C) 840 (D) 350 (E) 1680

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20)(PUC) - Em um plano há 11 pontos, sendo que apenas 5 estão em linha reta. O número de

triângulos distintos que se pode formar unindo-se 3 quaisquer desses pontos é: (A) 165 (B) 155 (C) 145 (D) 135 (E) 125 21)(PUC) - Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 formam-se os números possíveis de 3 algarismos distintos. Dentre esses, os divisíveis por 2 são em número de: (A) 24 (B) 36 (C) 40 (D) 54 (E) 60 22)(PUC) - O número de frações diferentes entre si e diferentes de 1 que podem ser formadas com os números 3, 5, 7, 11, 13, 19 e 23 é: (A) 35 (B) 42 (C) 49 (D) 60 (E) 120 23)(UFRGS) - Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles restaurante. Sabendo-se que a locomotiva deve ir à frente, e que o vagão restaurante não

pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes de montar a

composição é: (A) 120 (B) 320 (C) 500 (D) 600 (E) 720 24)(MACK) - Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 e sem repetição, pode-se escrever x números maiores

que 2500. Calcule x. (A) 79 (B) 120 (C) 162 (D) 198 (E) 240

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25)(UECE) - A quantidade de números inteiros compreendidos entre os números 1000 e 4500 que

podemos formar utilizando somente os algarismos 1, 3, 4, 5 e 7, de modo que não figurem algarismos repetidos, é: (A) 48 (B) 54 (C) 60 (D) 72 (E) 90 26)(UFRGS) O número de circunferências do plano cartesiano que contém três pontos do conjunto {

(0,0) , (1,1) , (3,3) , (4,4) , (2,0) , (2,3) , (3,1) } é (A) 4 (B) 31 (C) 35 (D) 186 (E) 221 27)(UFRGS) - Com os algarismos ímpares pode-se formar n números maiores que 200 e que tenham

apenas três algarismos distintos. O valor de n é (A) 10 (B) 48 (C) 60 (D) 72 (E) 96 28)(UFRGS) - Em uma classe de 12 alunos, um grupo de 5 será selecionado para uma viagem. De quantas maneiras distintas este grupo poderá ser formado, sabendo que, entre os 12 alunos, 2 são

irmãos e só poderão viajar se estiverem juntos ? (A) 30.240 (B) 594 (C) 462 (D) 408 (E) 372 29)(PUCRS) - O maior número de retas definidas por 12 pontos dos quais 7 são colineares é (A) 44 (B) 45 (C) 46 (D) 90 (E) 91

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30)(UFRGS) - O número de múltiplos de três, com quatro algarismos distintos, escolhidos entre 3 , 4 ,

6 , 8 e 9 é (A) 24 (B) 36 (C) 48 (D) 72 (E) 96 31)(UFRGS) - No sistema de emplacamento de veículos que começa a ser implantado, as placas têm

3 letras como prefixo, podendo haver letras repetidas. Usando apenas as vogais, o número máximo de

prefixos é (A) 15 (B) 35 (C) 60 (D) 90 (E) 125 32)(UFRGS) - O número máximo de triângulos que se pode obter quando se escolhem, para seus

vértices, 10 pontos distintos, sobre uma elipse, é (A) 40 (B) 60 (C) 120 (D) 300 (E) 720

33)(PUCRS) - Num torneio internacional de voleibol participam 5 países, cada um com uma seleção e

um juiz. Levando em conta que todos os times devem se confrontar duas vezes e que os juízes não

podem apitar as partidas das quais o seu país participa, o número máximo de partidas que um juiz

apita no torneio é

(A) 20 (B) 15 (C) 12 (D) 10 (E) 6

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TEORIA DAS PROBABILIDADES

Em um experimento aleatório chamamos de n(U) o número de elementos do espaço amostral e de

n(A) o número de um determinado evento. A probabilidade de ocorrência do evento A será

representada por P(A) e calculada por:

P An An U

( )( )( )

TESTES: 01)(FGV) - Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. Sorteando-se uma bolinha, a probabilidade de que o número observado seja múltiplo de 8 é: (A) 3/25 (B) 7/50 (C) 1/10 (D) 8/50 (E) 1/5 02) No lançamento de um dado não viciado o resultado foi um número maior do que 3, qual é a

probabilidade de esse ser um número par ? (A) 1/6 (B) 1/2 (C) 1/3 (D) 2/5 (E) 2/3 03) Numa comunidade de 1000 habitantes, 400 são sócios de um clube A, 300 de um clube B e 200 de ambos. Escolhendo-se uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade dessa pessoa ser sócia de A ou de B ? (A) 75% (B) 60% (C) 50% (D) 45% (E) 30% 04) Uma pessoa joga uma moeda quatro vezes, qual a probabilidade de sair CARA nas quatro jogadas ? (A) 1/2 (B) 1/4 (C) 1/8 (D) 1/16 (E) 1

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05)(UPF) - Uma urna contém 3 bolas brancas e 4 bolas pretas. Tira-se, sucessivamente, 2 bolas. Então a probabilidade das bolas serem da mesma cor, é: (A) 1/7 (B) 2/7 (C) 3/7 (D) 4/7 (E) 5/7 06)(CESGRANRIO) - Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem apenas três

apartamentos ocupados. A probabilidade de cada um dos três andares tenha exatamente um

apartamento ocupado é: (A) 2/5 (B) 3/5 (C) 1/2 (D) 1/3 (E) 2/3 07)(VUNESP) - Dois jogadores, A e B vão lançar um par de dados. Eles combinam que, se a soma

dos números dos dados for 5, A ganha, e, se essa soma for 8, B é quem ganha. Os dados são

lançados. Sabe-se que A não ganhou. Qual a probabilidade de B ter ganho? (A) 10/36 (B) 5/32 (C) 5/36 (D) 5/35 (E) não se pode calcular sem saber os números sorteados 08) Se num grupo de 10 homens e 6 mulheres sorteamos 3 pessoas para formarem uma comissão,

qual a probabilidade de que essa comissão seja formada por 2 homens e 1 mulher?

(A) 356

(B) 956

(C) 1556

(D) 2756

(E) 3356

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09)(UFRGS) - Dentre um grupo formado por dois homens e quatro mulheres, três pessoas são

escolhidas ao acaso. A probabilidade de que sejam escolhidos um homem e duas mulheres é de (A) 25%. (B) 30%. (C) 33%. (D) 50%. (E) 60%. 10)(UFRGS) - Em uma gaveta, cinco pares diferentes de meias estão misturados. Retirando-se ao acaso duas meias, a probabilidade de que elas sejam do mesmo par é de (A) 1/10. (B) 1/9. (C) 1/5. (D) 2/5. (E) 1/2. 11)(UFRGS) - As máquinas A e B produzem o mesmo tipo de parafuso. A porcentagem de parafusos

defeituosos produzidos, respectivamente, pelas máquinas A e B é de 15% e de 5%. Foram misturados, numa caixa 100 parafusos produzidos por A e 100 produzidos por B. Se tirarmos um parafuso ao acaso e ele for defeituoso, a probabilidade de que tenha sido produzido pela máquina A é

de (A) 10% (B) 15% (C) 30% (D) 50% (E) 75% 12) Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. São sorteadas duas bolas sem reposição e

verifica-se que o número da primeira é maior do que o número da segunda. Qual a probabilidade de

que esses números sejam consecutivos?

(A) 239

(B) 439

(C) 213

(D) 413

(E) 613

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TESTES COMPLEMENTARES 13)(FUVEST - SP) - Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores positivos de 60, a probabilidade de que ele seja primo é: (A) 1/2 (B) 1/3 (C) 1/4 (D) 1/5 (E) 1/6 14)(VUNESP - SP) - Numa gaiola estão 9 camundongos rotulados , 1 , 2 , 3 , . . . , 9 . Selecionando-se conjuntamente 2 camundongos ao acaso (todos têm igual possibilidade de serem escolhidos) , a probabilidade de que na seleção ambos os camundongos tenham rótulo ímpar é: (A) 0,3777... (B) 0,47 (C) 0,17 (D) 0,2777... (E) 0,1333... 15)(FEI-SP) - Em uma pesquisa realizada em uma Faculdade foram feitas duas perguntas aos alunos. Cento e vinte responderam �sim� a ambas; 300 responderam �sim� à primeira; 250 responderam �sim�

à segunda e 200 responderam �não� a ambas. Se um aluno for escolhido ao acaso, qual é a

probabilidade de ele ter respondido �não� à primeira pergunta? (A) 1/7 (B) 1/2 (C) 3/8 (D) 11/21 (E) 4/25 16)(FATEC-SP) - Considere todos os números de cinco algarismos distintos obtidos pela permutação

dos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8. Escolhendo-se um desses números, ao acaso, a probabilidade de ele ser

um número ímpar é: (A) 1 (B) 1/2 (C) 2/5 (D) 1/4 (E) 1/5

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17)(F . Objetivo - SP) - Uma urna contém apenas 10 bolas. Essas bolas são de diversas cores, e

somente 4 são brancas. Sabe-se que as bolas diferem apenas na cor. Retira-se uma bola ao acaso, e em seguida retira-se outra bola, sem reposição da primeira. A probabilidade de obter duas bolas que

não sejam ambas brancas é: (A) 2/15 (B) 13/15 (C) 1/3 (D) 3/5 (E) 2/9 18)(EFOA-MG) - Uma pessoa tem em mãos um chaveiro com 5 chaves parecidas, das quais apenas

uma abre determinada porta. Escolhe uma chave ao acaso, tenta abrir a porta, mas verifica que a chave escolhida não serve. Na segunda tentativa, com as chaves restantes, a probabilidade de a pessoa abrir a porta é de: (A) 20% (B) 25% (C) 40% (D) 75% (E) 80% 19)(U.C.SALVADOR) - das 180 pessoas que trabalham em uma empresa, sabe-se que 40% têm nível

universitário e 60% são do sexo masculino. Se 25% do número de mulheres têm nível universitário, a

probabilidade de selecionar-se um funcionário dessa empresa que seja do sexo masculino e não

tenha nível universitário é: (A) 5/12 (B) 3/10 (C) 2/9 (D) 1/5 (E) 5/36 20)(F .Maringá - PR) - Um número é escolhido ao acaso entre 20 inteiros, de 1 a 20. A probabilidade de o número escolhido ser primo ou quadrado perfeito é:

(A) 15

(B) 225

(C) 4 25

(D) 25

(E) 3 5

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21)(FASP) - Um colégio tem 400 alunos. Destes, 100 estudam Matemática , 80 estudam Física , 100

estudam Química , 20 estudam Matemática , Física e Química , 30 estudam Matemática e Física , 30

estudam Física e Química e 50 estudam somente Química. A probabilidade de um aluno , escolhido

ao acaso , estudar Matemática e Química é: (A) 1/10 (B) 1/8 (C) 2/5 (D) 5/3 (E) 3/10 22)(CESCEM-SP) - De um total de 100 alunos que se destinam aos cursos de Matemática, Física e

Química, sabe-se que: 1) 30 destinam-se à Matemática e, destes, 20 são do sexo masculino; 2) o total de alunos do sexo masculino é 50, dos quais 10 destinam-se à Química; 3) existem 10 moças que se destinam ao curso de Química. Nestas condições, sorteando-se um aluno, ao acaso, do grupo total e sabendo-se que é do sexo

feminino, a probabilidade de que ele se destine ao curso de Matemática vale:

(A) 15

(B) 14

(C) 13

(D) 12

(E) 1 23)(UFRGS) - Considere dois dados, cada um deles com seis faces, numeradas de 1 a 6. Se os dados são lançados ao acaso, a probabilidade de que a soma dos números sorteados seja 5 é

(A) 1

15.

(B) 221

.

(C) 1

12.

(D) 1

11.

(E) 19

.

15

24)(ENEM) � As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos se

encontraram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A

distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico abaixo.

Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a criança

premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é

(A) 13 .

(B) 14 .

(C) 715 .

(D) 723 .

(E) 725 .

GABARITOS

ANÁLISE COMBINATÓRIA 01) E 04) D 07) B 10) B 13) D 16) D 19) B 22) B 25) C 28) E 31) E 02) D 05) E 08) C 11) C 14) D 17) D 20) B 23) D 26) B 29) C 32) C 03) D 06) C 09) B 12) C 15) E 18) A 21) A 24) D 27) B 30) D 33) C TEORIA DAS PROBABILIDADES 01) A 04) D 07) B 10) B 13) C 16) C 19) B 22) A 02) E 05) C 08) D 11) E 14) D 17) B 20) E 23) E 03) C 06) A 09) E 12) C 15) D 18) B 21) A 24) E