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Analise Matemática I
Tema I: Introdução
Aula 6: Equações e inequações.
Sistemas de equações.
Ano académico 2017
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Aula 06
Sistemas de duas equações lineares com dois variáveis.
Sistema de duas equações com dois variáveis
quadrático
Ano académico 2017
Analise Matemática I
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Sumário
Definição de sistemas de duas equações lineares com dois
variáveis.
Métodos de solução
Tipos de solução
Sistema de duas equações com dois variáveis quadrático
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Bibliografia
Autor Título Editorial Data
Barnett, Ziegler y Byleen
Pré-Cálculo, funciones y gráficas Mc.Graw-Hill 2000
Zuma Medeiros , Valéria
Pré-Cálculo 2ª edição revista r atualizada
CENGAGE Learning
2012
Demana Pré-Cálculo PEARSON
Addison Wesley 2010
Stewart Pré-Cálculo CENGAGE Learning
5ta Edição
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Aplicação dos sistemas de equações lineares
São inúmeros os problemas de engenharia onde se recai na solução de um sistema de equações lineares. Como exemplos, podemos citar: • O cálculo de esforços em problemas de estática; • O cálculo de tensões e correntes em um circuito elétrico composto por elementos lineares; • O balanço de massa em sistemas físicos lineares; • A solução de equações diferenciais lineares por métodos numéricos como elementos finitos e diferenças finitas, etc.
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Definição. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis
Um sistema de duas equações lineares com dois variáveis é
um conjunto de equações do tipo:
Onde x e y são variáveis e a, b, c, d, h e k são
constantes reais.
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Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis
Uma solução de um sistema de duas equações lineares
com duas variáveis é um par ordenado de números reais
que satisfaz cada uma das equações.
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Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis
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Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis
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Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis
Contudo, sabemos também que nem todos os sistemas lineares tem solução. Como por exemplo,
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Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis
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Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis
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Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis
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Solução. Método da substituição
1. Isolar uma variável: Escolher uma equação e isolar uma das variáveis.
2. Substituir: substitua a expressão que determinou no passo 1 na outra
equação para obter uma equação com uma variável. Logo resolva-a para
obter o valor dessa variável.
3. Substituir na equação da variável isolada. Substitua o valor que
encontrou no passo 2 na expressão que encontrou no passo 1 para
determinar a variável que falta.
Calcule as soluções do sistema:
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Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis. Suporte gráfico
Calcule as soluções do sistema:
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Solução. Método do cancelamento
1. Ajustar os coeficientes: Multiplica-se uma ou mais das equações por
quantidades adequadas de modo que o coeficiente de uma variável de
uma equação seja o negativo de seu coeficiente na outra equação.
2. Adicionar as equações: Adicionam-se as duas equações para eliminar
uma variável, logo resolve para determinar o valor da variável restante.
3. Substituir: Substitui-se o valor que determinou no passo 2 em uma das
equações originais, e resolve-se para determinar o valor da variável
restante.
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Método do cancelamento. Exemplo
Calcule as soluções do sistema:
***** As soluções são independentes do método
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Método de Cramer
***** As soluções são independentes do método
Gabriel Cramer (31 de Julho de 1704 - 4 de janeiro de 1752) foi um matemático
suizo nascido em Ginebra.
O MÉTODO DE CRAMER É UTILIZADO NA PROCURA DE SOLUÇÕES A SISTEMAS
DE EQUAÇÕES COM N EQUAÇÕES E N VARIÁVEIS.
O método consiste em representar os coeficientes de cada variável de todas
as equações em forma de matrizes e calculam-se discriminantes da seguinte
forma:
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Método de Cramer. Exemplo
PARA UM SISTEMA DE DUAS EQUAÇÕES COM DUAS VARIÁVEIS
Sistema:
Representação Matricial:
Solução:
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Método de Cramer. Exemplo
PARA UM SISTEMA DE DUAS EQUAÇÕES COM DUAS VARIÁVEIS
Sistema:
Representação Matricial:
Solução:
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Método de Cramer. Exemplo
PARA UM SISTEMA DE TRÊS EQUAÇÕES COM TRÊS VARIÁVEIS
Sistema:
Representação Matricial:
Solução:
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Método de Cramer. Exemplo
Calcular um discriminante de 3x3:
=(j.e.i + b.f.l + k.h.c) – (l.e.c + k.b.i + h.f.j)
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Método de Cramer. Exemplo
PARA UM SISTEMA DE TRÊS EQUAÇÕES COM TRÊS VARIÁVEIS
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Método de Cramer. Exemplo
PARA UM SISTEMA DE TRÊS EQUAÇÕES COM TRÊS VARIÁVEIS
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Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis. Classificação
De acordo com sua conjunto solução, os sistemas lineares
podem ser de três tipos:
Compatíveis
• Determinados: Quando possuem apenas uma solução.
• Indetermináveis: Quando possuem infinitas soluções.
Incompatíveis: Quando não possuem nenhuma solução.
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Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis . Exemplo 1
Calcule as soluções do sistema:
*****O sistema neste caso não tem solução e podemos dizer
que é incompatível
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Calcule as soluções do sistema:
Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis . Exemplo 1
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Sistema de duas equações com dois variáveis quadrático
5x2 – 4y = 5,3
x + 3y = 7 A
5x2 – 4xy = 5,3
x + 3y = 7 C
x + 3y = 7 x·y = 40
B*
D 5x2 – 4y2 = 5,3
x2 + 3y2 = 7
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Sistema de duas equações com dois variáveis
quadrático. Soluções. Exemplo 2
Aplican-se os mesmos métodos que nos sistemas de duas
equações lineares com dois variáveis.
Exemplo:
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Sistema de duas equações com dois variáveis
quadrático. Soluções. Exemplo 2
Exemplo:
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Sistema de duas equações com dois variáveis
quadrático. Soluções. Exemplo 2
Exemplo:
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Solução. S.2.E.L com dois variáveis. Suporte gráfico. Exemplo 2
(7;43)
(43;7)
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Historia
Os babilônios estudavam problemas que conduziam a equações, há muitos anos. Um exemplo disso foi encontrado em um bloco de barro que data cerca de 300 a. C. , contendo o seguinte problema:
Dois campos tem área total de 1800 jardas quadradas. Um produz grãos em 2/3 de um alqueire por jarda quadrada, enquanto o outro produz grãos em 1/2 de um alqueire por jarda quadrada. Se o lucro total é de 1100 alqueires. Qual o tamanho de cada campo?
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Historia
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Historia
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Historia